Geometrijske volumetrijske figure i njihovi nazivi: lopta, kocka, piramida, prizma, tetraedar. Volumetrijska tijela

Kao i kod problema pronalaženja područja, potrebne su vam samopouzdane vještine crtanja - to je gotovo najvažnija stvar (budući da će sami integrali često biti laki). Možete savladati kompetentne i brze tehnike crtanja nastavni materijali i Geometrijske transformacije grafova. Ali, zapravo, o važnosti crteža sam već govorio nekoliko puta na času.

Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu; pomoću određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, dužinu luka, površinu rotacije i još mnogo toga više. Tako da će biti zabavno, budite optimistični!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravni. Uvedeni? ... Pitam se ko je šta predstavio... =))) Već smo našli njegovu oblast. Ali, osim toga, ova figura se također može rotirati i rotirati na dva načina:

– oko ose apscise;
– oko ose ordinata.

Ovaj članak će ispitati oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najviše poteškoća, ali je u stvari rješenje gotovo isto kao i kod češćih rotacija oko x-ose. Kao bonus na koji ću se vratiti problem nalaženja površine figure, a ja ću vam reći kako pronaći područje na drugi način - duž ose. To nije toliko bonus koliko se materijal dobro uklapa u temu.

Počnimo s najpopularnijim tipom rotacije.

ravna figura oko ose

Primjer 1

Izračunajte volumen tijela koji se dobije rotacijom figure ograničene linijama oko ose.

Rješenje: Kao iu problemu pronalaženja površine, rješenje počinje crtanjem ravne figure. Odnosno, na ravnini je potrebno konstruirati lik ograničen linijama, i ne zaboravite da jednadžba određuje os. Kako efikasnije i brže dovršiti crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija I Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Ovo je kineski podsjetnik, i dalje u ovom momentu Ne stajem više.

Crtež ovdje je prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, to je ona koja se rotira oko ose, a rezultat rotacije je blago jajolik leteći tanjir koji je simetričan oko ose. U stvari, tijelo ima matematičko ime, ali ja sam previše lijen da razjasnim bilo šta u priručniku, pa idemo dalje.

Kako izračunati zapreminu tijela okretanja?

Zapremina tijela okretanja može se izračunati pomoću formule:

U formuli, broj mora biti prisutan prije integrala. Tako se i dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je sa ovom konstantom.

Mislim da je lako pogoditi kako postaviti granice integracije “a” i “be” iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafikom parabole na vrhu. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli.

U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose. Ovo ništa ne mijenja - integrand u formuli je na kvadrat: , dakle integral je uvek nenegativan, što je vrlo logično.

Izračunajmo volumen tijela rotacije koristeći ovu formulu:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovori:

U svom odgovoru morate navesti dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 „kockica“. Zašto kubni jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Može biti kubnih centimetara, može biti Cubic Meters, možda kubnih kilometara itd., toliko malih zelenih čovječuljki vaša mašta može staviti u leteći tanjir.

Primjer 2

Pronađite zapreminu tela, formirana rotacijom oko ose figure, ograničena linijama , ,

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunajte volumen tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise figure ograničene linijama , , i

Rješenje: Hajde da na crtežu prikažemo ravnu figuru ograničenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednačina definira os:

Željena figura je osenčena plavom bojom. Kada se rotira oko svoje ose, ispada nadrealna krofna sa četiri ugla.

Izračunajmo zapreminu tijela okretanja kao razlika u zapremini tela.

Prvo, pogledajmo lik zaokružen crvenom bojom. Kada se rotira oko ose, dobija se skraćeni konus. Označimo volumen ovog skraćenog konusa sa .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zeleno. Ako zarotirate ovu figuru oko ose, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manji. Označimo njen volumen sa .

I, očigledno, razlika u zapremini je upravo zapremina naše „krofne“.

Koristimo standardnu ​​formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

1) Lik zaokružen crvenom bojom je odozgo omeđen pravom linijom, dakle:

2) Figura zaokružena zelenom bojom je odozgo omeđena pravom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela okretanja:

Odgovori:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg konusa.

Sama odluka je često napisana kraće, otprilike ovako:

Sada se malo odmorimo i pričamo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je primijetio Perelman (drugi) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je mala po površini, a zapremina tijela okretanja je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječna osoba u svom životu popije ekvivalent sobe površine 18. kvadratnih metara, što se, naprotiv, čini premalim volumenom.

Generalno, obrazovni sistem u SSSR-u je bio zaista najbolji. Ista Perelmanova knjiga, objavljena davne 1950. godine, veoma dobro razvija, kako reče humorista, razumevanje i uči vas da tražite original nestandardna rješenja probleme. Nedavno sam sa velikim zanimanjem ponovo pročitala neka poglavlja, preporučujem, dostupna je čak i humanistima. Ne, ne treba da se smiješ što sam ponudio slobodno vrijeme, erudicija i široki horizonti u komunikaciji su odlična stvar.

Nakon lirske digresije, sasvim je prikladno odlučiti se kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunajte volumen tijela formiranog rotacijom oko ose ravne figure ograničene linijama , , gdje je .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Imajte na umu da se svi slučajevi javljaju u opsegu, drugim riječima, gotova ograničenja integracije su zapravo data. Ispravno nacrtajte grafikone trigonometrijske funkcije, da vas podsjetim na materijal za lekciju o geometrijske transformacije grafova: ako je argument podijeljen sa dva: , tada se grafovi dvaput razvlače duž ose. Preporučljivo je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama da tačnije završite crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Inače, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Proračun volumena tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko ose

Drugi pasus će biti još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela okretanja oko ordinatne ose također je prilično čest gost u testovi. Usput će se razmotriti problem nalaženja površine figure druga metoda je integracija duž ose, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas naučiti da pronađete put do najisplativijeg rješenja. U tome ima i praktičnog životnog smisla! Kako se sa osmehom prisećala moja profesorica metodike matematike, mnogi maturanti su joj se zahvalili rečima: „Vaš predmet nam je mnogo pomogao, sada smo efikasni menadžeri i optimalno upravljamo kadrovima“. I ovom prilikom izražavam joj veliku zahvalnost, pogotovo što stečeno znanje koristim za koju nam je namjeru =).

Preporučujem ga svima, čak i potpunim lutkama. Štaviše, materijal naučen u drugom paragrafu pružiće neprocenjivu pomoć u izračunavanju dvostrukih integrala.

Primjer 5

S obzirom na ravnu figuru omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama.
2) Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Pažnja!Čak i ako želite da pročitate samo drugu tačku, prvu Neophodno procitaj prvu!

Rješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Napravimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija specificira gornju granu parabole, a funkcija donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čija se površina može pronaći, zasjenjena je plavom bojom.

Kako pronaći površinu figure? Može se naći na „uobičajeni“ način, o čemu se razgovaralo na času Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Štaviše, površina figure se nalazi kao zbir površina:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Zbog toga:

Zašto je uobičajeno rješenje loše u ovom slučaju? Prvo, dobili smo dva integrala. Drugo, integrali su korijeni, a korijeni u integralima nisu dar, a osim toga, možete se zbuniti u zamjeni granica integracije. U stvari, integrali, naravno, nisu ubojiti, ali u praksi sve može biti mnogo tužnije, samo sam izabrao “bolje” funkcije za problem.

Postoji racionalnije rješenje: ono se sastoji u prelasku na inverzne funkcije i integracija duž ose.

Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti “x” kroz “y”. Prvo, pogledajmo parabolu:

Ovo je dovoljno, ali budimo sigurni da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

Lakše je sa ravnom linijom:

Sada pogledajte osu: povremeno nagnite glavu udesno za 90 stepeni dok objašnjavate (ovo nije šala!). Figura koja nam je potrebna leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. U ovom slučaju, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da se područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Šta se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka: Treba postaviti granice integracije duž ose striktno odozdo prema gore!

Pronalaženje područja:

U segmentu, dakle:

Obratite pažnju kako sam izvršio integraciju, ovo je najviše racionalan način, a u sljedećem pasusu zadatka bit će jasno zašto.

Za čitaoce koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobijena je originalna integrand funkcija, što znači da je integracija izvršena ispravno.

Odgovori:

2) Izračunajmo volumen tijela nastalog rotacijom ove figure oko ose.

Ponovo ću nacrtati crtež u malo drugačijem dizajnu:

Dakle, lik osjenčan plavom bojom rotira oko ose. Rezultat je "lebdeći leptir" koji rotira oko svoje ose.

Da bismo pronašli zapreminu tela rotacije, integrisaćemo duž ose. Prvo trebamo prijeći na inverzne funkcije. Ovo je već urađeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovo naginjemo glavu udesno i proučavamo našu figuru. Očigledno, zapreminu tela rotacije treba naći kao razliku u zapreminama.

Rotiramo lik zaokružen crvenom bojom oko ose, što rezultira skraćenim konusom. Označimo ovaj volumen sa .

Rotiramo lik zaokružen zelenom bojom oko ose i označavamo ga volumenom rezultirajućeg tijela rotacije.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

Koja je razlika u odnosu na formulu iz prethodnog paragrafa? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, mnogo je lakše pronaći , umjesto da prvo podignemo integrand na 4. stepen.

Odgovori:

Međutim, ne bolesni leptir.

Imajte na umu da ako se ista ravna figura rotira oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije, s drugačijim volumenom, prirodno.

Primjer 6

Zadana je ravna figura omeđena linijama i osom.

1) Idite na inverzne funkcije i pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama integracijom preko varijable.
2) Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Zainteresovani mogu pronaći i površinu figure na „uobičajeni“ način, provjeravajući pritom tačku 1). Ali ako, ponavljam, rotirate ravnu figuru oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije s drugačijim volumenom, usput, tačan odgovor (također za one koji vole rješavati probleme).

Kompletno rješenje za dvije predložene tačke zadatka nalazi se na kraju lekcije.

Da, i ne zaboravite nagnuti glavu udesno da biste razumjeli tijela rotacije i granice integracije!

Tema: „Pravna figure i volumetrijska tijela»

Ciljevi:

generalizirati ideje o ravnim geometrijskim figurama i volumetrijskim geometrijskim tijelima;

stvoriti uslove pod kojima učenici „otkrivaju“ način da dobiju trodimenzionalnu figuru.

Zadaci:

konsolidirati znanja o klasifikaciji ravnih figura i trodimenzionalnih tijela, njihovim temeljnim razlikama;

uvesti koncepte “tela revolucije” i “poliedra”;

uspostaviti vezu između nauke geometrije i likovne umetnosti;

kreirati model kocke koristeći origami tehniku;

razvijati logičko i prostorno razmišljanje, pažnju, pamćenje, maštu, kreativnost;

neguju tačnost i pridržavanje sigurnosnih pravila pri radu sa alatima.

Oprema: interaktivna tabla, prezentacija, modeli trodimenzionalnih geometrijskih oblika, materijali (pojedinačne kartice).

Tokom nastave.

Organiziranje vremena. Stvaranje situacije uspjeha.

II . Ažuriranje osnovnih znanja.

Učitelj osnovne škole: - Ljudi, danas je naša lekcija posvećena geometriji.

Prisjetimo se šta je geometrija? (Prevedeno s grčkog, riječ „geometrija“ znači „premjer zemljišta“. U matematici, „geometrija“ je nauka koja proučava geometrijske figure i njihova svojstva)

Učitelj osnovne škole: - Koje geometrijske oblike poznajete? (Kvadrat, pravougaonik, kocka, lopta, itd.)

Učitelj osnovne škole: - Na koje se tipove mogu podijeliti ovi geometrijski oblici? (Zapreminska geometrijska tijela, ravni geometrijski oblici, osnovni geometrijski koncepti)

Učitelj osnovne škole: - Tema naše lekcije je "Pravne figure i trodimenzionalna tijela."

Svi objekti su ravni ili trodimenzionalni.

Po čemu se ravne figure razlikuju od trodimenzionalnih tijela? (Plosne figure imaju samo dužinu i širinu, dok volumetrijske figure imaju dužinu, visinu i širinu.)

Profesor likovne kulture: - Tu steprvi zadatak (prema opcijama):boje ravnih oblika toplim bojama, a volumetrijska tijela su hladna. Prisjetimo se koje boje se nazivaju toplim, a koje hladnim?

Učitelj osnovne škole: - Kakva je struktura volumetrijskih tijela? (Rubovi, lica, baza, vrh).

- Ko će na modelu prikazati navedene dijelove volumetrijskih tijela?

Učitelj osnovne škole: - Da se konsolidujemo, uradimodrugi zadatak

(prema opcijama):

1 opcija - Zasjeniti prednju i gornju ivicu kocke.

Opcija 2 - Nacrtajte rubove koji nedostaju.

Opcija 3 - Izbrojite broj vrhova u petougaonoj prizmi.

Učitelj osnovne škole: - Sada idemo da se igramo. Hajde da shvatimo ko je s kim "prijatelj" (narandža sa loptom, šargarepa sa konusom, limun sa ovalom, kutija sa pravougaonikom).

nastavnik likovne kulture: - Geometriju možemo pronaći i u umjetnosti. Na primjer, spomenici geometrijskim figurama:

Kocka skulpture u parku Zabeel, Dubai UAE

Svijetleća kocka u Pekingu

Volim ovomramorna lopta instaliran na Bolshaya Sadovaya, centralnoj ulici grada Rostova na Donu. Neverovatno precizni oblici ove lopte iznenađuju sve ljubitelje matematike, a posebno geometrije.

Spomenik pravilnim poliedrima u Njemačkoj

Nepravilan trougao u belgijskom selu

Projekat spomenika umetniku Kazimiru Maljeviču u Moskovskoj oblasti

Kazemir Malevich je bio sovjetski umjetnik koji je živio u 20. stoljeću, koji je stvorio nefigurativna djela koja se sastoje od geometrijskih figura, gdje glavna uloga square plays.

Autoportret Kazimira Maleviča

Ova umjetnost se zove “suprematizam” (superiornost, nadmoć). Na primjer, jedna od njegovih prvih slika "Crni kvadrat".

Žena nosi vodu

III . Otkriće nečeg novog.

1. Tijela revolucije i poliedri.

Učitelj osnovne škole: - Volumetrijska tijela se također dijele u dvije grupe: tijela rotacije i poliedre.

Zašto mislištijela rotacije ? (Cilindar se može smatrati tijelom dobivenim rotacijom pravokutnika oko svoje strane kao ose. Konus se može smatrati tijelom dobivenim rotacijom pravougaonog trougla oko svoje strane kao osa.)

nastavnik likovne kulture: - Pogledaj raspored.

Učitelj osnovne škole: - Kako okarakterisati poliedre? ( poliedar - geometrijsko tijelo, omeđen sa svih strana rubovima. Stranice strana nazivaju se ivicama poliedra, a krajevi ivica se nazivaju vrhovi poliedra.)

nastavnik likovne kulture: - Kako prikazati trodimenzionalne figure?

Trodimenzionalne figure su prikazane pomoću chiaroscura, inače je nemoguće pokazati da se "izdižu" iznad lista papira. A pomoću isprekidane linije prikazana je nevidljiva kontura. Pokušajmo prikazati volumen tijela okretanja i poliedara koristeći chiaroscuro.Treći zadatak :

Opcija 1 - konus;

Opcija 2 - piramida;

Opcija 3 - cilindar.( Analiza radova.)

IV . Minut fizičkog vaspitanja. ( Izvodi se uz pjesmu “Tačka, tačka, zarez...”)

Tačka, tačka, zarez.

Pokazuju se rukama dok čuče.

Ispalo je smiješno lice.

Ruke do ušiju, tijelo se okreće.

Ruke, noge, krastavac

Pokažite ruke, noge, nacrtajte oval rukama

Ispostavilo se da je to mali čovjek.

Ruke na pojasu, okreće tijelo lijevo, desno.

Šta će ove tačke vidjeti?

Trepćuće trepavice - prsti

Šta će ove olovke izgraditi?

Ruke naprijed do ramena

Koliko su daleko ove noge?

Oni će ga odvesti

Koraci na mestu

Kako će živeti na svetu -

Za ovo nismo odgovorni:

Ruke na pojasu - tijelo se naginje lijevo i desno

Nacrtali smo ga

Sjedni

To je sve!

Ustao

V . Praktičan rad.

nastavnik likovne kulture: - Jedna od važnih prostornih geometrijskih figura je kocka.

Koja je ravna figura lice kocke? (Kvadrat)

Koliko lica ima kocka? (6)

A sada ćemo sastaviti kocku tehnikom origami. Takva kocka se može saviti od identičnih dijelova. Trebalo bi ih biti onoliko koliko ima lica kocke. Povežite dijelove prema dijagramu. Oštri uglovi stavi ga u džepove. Zapamtite: svaki kut mora biti umetnut u džep. Radit ćete u parovima. Svaki par će riješiti svoju kocku. Od prikupljenih kockica napravićemo još jednu geometrijsku figuru - stepenastu piramidu.

VI . Izložba i analiza radova.

VII . Sažetak lekcije. - U koje se grupe mogu podijeliti volumetrijska tijela? (Tela revolucije i poliedri)

Navedite primjere tijela rotacije. Koja ravna figura leži ispod stošca, sfere ili cilindra?

Navedite primjere poliedara. Koliko lica ima kocka?

VIII .Reflection.

VIII . Zadaća. G.s.46-47 (prikaži zapreminu prizme, cilindra, piramide, zapiši vidljive i nevidljive ivice i lica)

Geometrijske volumetrijske figure su čvrste materije, koji zauzimaju nenulti volumen u euklidskom (trodimenzionalnom) prostoru. Ove figure proučava grana matematike koja se zove "prostorna geometrija". Znanje o svojstvima trodimenzionalnih figura koristi se u inženjerstvu i prirodnim naukama. U članku ćemo razmotriti pitanje geometrijskih trodimenzionalnih figura i njihovih imena.

Geometrijska tijela

Kako ova tijela imaju konačnu dimenziju u tri prostorna pravca, za njihovo opisivanje u geometriji se koristi sistem od tri koordinatne ose. Ove ose imaju sledeća svojstva:

1. One su ortogonalne jedna prema drugoj, odnosno okomite.
2. Ove ose su normalizovane, što znači da su osnovni vektori svake ose iste dužine.
3. Rezultat je bilo koja od koordinatnih osa vektorski proizvod dva druga.

Govoreći o geometrijskim volumetrijskim figurama i njihovim nazivima, treba napomenuti da svi oni pripadaju jednoj od 2 velike klase:

1. Klasa poliedara. Ove figure, na osnovu naziva klase, imaju ravne ivice i ravne strane. Lice je ravan koja ograničava oblik. Tačka u kojoj se spajaju dva lica naziva se ivica, a tačka u kojoj se spajaju tri lica naziva se vrh. Poliedri uključuju geometrijske figure kocke, tetraedre, prizme i piramide. Za ove figure vrijedi Ojlerova teorema, koja uspostavlja vezu između broja stranica (C), ivica (P) i vrhova (B) za svaki poliedar. Matematički, ova teorema se piše na sljedeći način: C + B = P + 2.
2. Klasa okruglih tijela ili tijela okretanja. Ove figure imaju barem jednu zakrivljenu površinu koja ih formira. Na primjer, lopta, konus, cilindar, torus.

Što se tiče svojstava volumetrijskih figura, treba istaknuti dvije najvažnije od njih:

1. Prisutnost određenog volumena koji figura zauzima u prostoru.
2. Prisutnost svake trodimenzionalne figure

Oba svojstva za svaku figuru su opisana posebnim matematičkim formulama.

Razmotrimo u nastavku najjednostavnije geometrijske volumetrijske figure i njihova imena: kocka, piramida, prizma, tetraedar i lopta.

Figura kocke: opis

Geometrijska figura kocka je trodimenzionalno tijelo formirano od 6 kvadratnih ravnina ili površina. Ova figura se naziva i pravilan heksaedar, jer ima 6 strana, ili pravougaoni paralelepiped, jer se sastoji od 3 para paralelnih stranica koje su međusobno okomite jedna na drugu. Zove se kocka čija je osnova kvadrat i čija je visina jednaka stranici osnove.

Kako je kocka poliedar ili poliedar, na nju se može primijeniti Ojlerova teorema da bi se odredio broj njenih ivica. Znajući da je broj stranica 6, a kocka ima 8 vrhova, broj ivica je: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Ako dužinu stranice kocke označimo slovom „a“, tada će formule za njen volumen i površinu izgledati ovako: V = a 3 i S = 6*a 2, respektivno.

Piramidalna figura

Piramida je poliedar koji se sastoji od jednostavnog poliedra (osnova piramide) i trokuta koji se spajaju sa bazom i imaju jedan zajednički vrh (vrh piramide). Trokuti se nazivaju bočne strane piramide.

Geometrijske karakteristike piramide zavise od toga koji poligon leži u njenoj osnovi, kao i od toga da li je piramida ravna ili kosa. Pravom piramidom se smatra piramida kod koje prava linija okomita na osnovu, povučena kroz vrh piramide, siječe bazu u njenom geometrijskom centru.

Jedna od jednostavnih piramida je četvorougaona ravna piramida, u čijem dnu leži kvadrat sa stranom „a“, visina ove piramide je „h“. Za ovu piramidalnu figuru, zapremina i površina biće jednaki: V = a 2 *h/3 i S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2, respektivno. Primjenjujući to, uzimajući u obzir činjenicu da je broj lica 5, a broj vrhova 5, dobijamo broj ivica: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Figura tetraedra: opis

Geometrijska figura tetraedar se shvata kao trodimenzionalno telo formirano od 4 lica. Na osnovu svojstava prostora, takva lica mogu predstavljati samo trouglove. Dakle, tetraedar je poseban slučaj piramide, koja u svojoj osnovi ima trokut.

Ako su sva 4 trokuta koja tvore lice tetraedra jednakostranična i jednaka jedan drugome, onda se takav tetraedar naziva pravilnim. Ovaj tetraedar ima 4 lica i 4 vrha, broj ivica je 4 + 4 - 2 = 6. Primjenjujući standardne formule iz geometrije ravni za dotičnu figuru, dobijamo: V = a 3 * √2/12 i S = √ 3*a 2, gdje je a dužina stranice jednakostraničnog trougla.

Zanimljivo je primijetiti da u prirodi neke molekule imaju oblik pravilnog tetraedra. Na primjer, molekula metana CH 4, u kojoj se atomi vodika nalaze na vrhovima tetraedra i povezani su s atomom ugljika kovalentnim hemijske veze. Atom ugljika se nalazi u geometrijskom centru tetraedra.

Oblik tetraedra, koji je jednostavan za proizvodnju, također se koristi u inženjerstvu. Na primjer, tetraedarski oblik se koristi u proizvodnji sidara za brodove. Napominjemo da je NASA-ina svemirska sonda Mars Pathfinder, koja je sletjela na površinu Marsa 4. jula 1997. godine, također imala oblik tetraedra.

Figura prizme

Ova geometrijska figura se može dobiti uzimanjem dva poliedra, postavljanjem međusobno paralelnih u različitim ravnima prostora i povezivanjem njihovih vrhova u skladu s tim. Rezultat će biti prizma, dva poliedra se zovu njene baze, a površine koje spajaju ove poliedre imat će oblik paralelograma. Prizma se naziva ravnom ako su njene stranice (paralelogrami) pravokutnici.

Prizma je poliedar, pa je za nju tačna Ojlerova teorema. Na primjer, ako je osnova prizme šesterokut, tada je broj stranica prizme 8, a broj vrhova je 12. Broj ivica će biti jednak: P = 8 + 12 - 2 = 18 Za ravnu prizmu visine h, u čijoj osnovi leži pravilan šestougao sa stranicom a, zapremina je jednaka: V = a 2 *h*√3/4, površina je jednaka: S = 3*a*(a* √3 + 2*h).

Govoreći o jednostavnim geometrijskim volumetrijskim figurama i njihovim nazivima, treba spomenuti loptu. Volumetrijsko tijelo koje se zove lopta podrazumijeva se kao tijelo koje je ograničeno na sferu. Zauzvrat, sfera je skup tačaka u prostoru jednako udaljenih od jedne tačke, koja se naziva središte sfere.

Kako lopta pripada klasi okruglih tijela, za nju ne postoji koncept stranica, ivica i vrhova. Površina sfere koja okružuje loptu nalazi se po formuli: S = 4*pi*r 2, a zapremina lopte se može izračunati po formuli: V = 4*pi*r 3 /3, gdje je pi broj pi (3.14), r je polumjer sfere (kuglice).

Volumetrijska tijela Osvrnite se oko sebe i svuda ćete pronaći volumetrijska tijela. To su geometrijski oblici koji imaju tri dimenzije: dužinu, širinu i visinu. Na primjer, zamišljati višespratnica, dovoljno je reći: “Ova kuća ima tri ulaza, dva prozora široka i šest spratova visoka.” Poznato vam iz osnovna škola pravougaoni paralelepiped i kocka su potpuno opisani u tri dimenzije. Svi objekti oko nas imaju tri dimenzije, ali se ne mogu svi nazvati dužinom, širinom i visinom. Na primjer, za drvo možemo odrediti samo visinu, za uže - dužinu, za rupu - dubinu. A za loptu? Ima li i tri dimenzije? Kažemo da tijelo ima tri dimenzije (da je volumetrijsko) ako se u njega može staviti kocka ili lopta. I sfera, i cilindar i konus imaju tri dimenzije.

Poliedri Tijelo koje je omeđeno ravnim mnogokutnicima naziva se poliedar. Na primjer, kocka je ograničena jednakim kvadratima. Poligoni koji formiraju površinu poliedra nazivaju se lica. Stranice ovih poligona su ivice poliedara. Vrhovi poligona, vrhovi poliedara. Na primjer, kocka ima 6 strana (sve su jednake kvadrate), 12 ivica i 8 vrhova.

Poliedri. Piramida. Poliedar na desnoj strani ima poseban naziv: pravilna četvorougaona piramida. Čuvena Keopsova piramida ima upravo ovaj oblik: u njenoj osnovi je kvadrat, a bočne strane su jednaki trokuti. Koliko strana, ivica i vrhova ima ovaj poliedar? Neki od oblika na slici su poliedri, a neki nisu. Pod kojim brojevima su prikazani poliedri?

Konveksni i nekonveksni poligoni Poligoni, kao što već znamo, mogu biti konveksni i nekonveksni. Konveksni poligon leži na jednoj strani bilo koje linije koja sadrži bilo koju stranu poligona. A za nekonveksan, možete pronaći stranu takvu da ravna linija koja ga sadrži "siječe" poligon na dijelove. Na slici je žuti poligon konveksan, a plavi nekonveksan. Poliedri također mogu biti konveksni ili nekonveksni. Konveksni poliedar leži na jednoj strani bilo koje ravni koja sadrži bilo koju od njegovih strana. A za nekonveksni poliedar može se pronaći takvo lice da će ga ravnina koja prolazi kroz njega "isjeći" na komade. Žuti poliedar na slici je konveksan, a plavi poliedar nije konveksan. Koji brojevi na slici pokazuju konveksne poliedre, a koji nekonveksne?

Odgovorite na pitanja: 1. Koja je površina kocke: a) segmenta, b) tačke, c) kvadrata. 2.Šta je ivica kocke: a) segment, b) tačka, c) kvadrat. 3.Šta predstavlja vrh kocke: a) segment, b) tačku, c) kvadrat. 4.Koliko lica ima? pravougaoni paralelepiped: a) 8b) 6c) 12 5. Poliedar je a) bilo koje zapreminsko tijelo b) tijelo koje je ograničeno ravnim mnogokutnicima

Odgovorite na pitanja: 6. Šta leži u osnovi pravilne piramide a) pravougaonikb) kvadratc) paralelogram 7. Koja figura je lice pravilne piramide a) pravougaonikb) kvadratc) pravilan trokut 8. Konveksni poliedar a) leži na jednoj strani bilo koje ravni koja sadrži bilo koju od svojih strana b) bilo koje volumetrsko tijelo c) leži na obje strane bilo koje ravni koja sadrži bilo koju od svojih strana. 9.Koji su brojevi prikazani na slici za konveksne poliedre?

Korišteni resursi: Školska web stranica učenje na daljinu(Moskva) škole na daljinu (Moskva) Online Enciklopedija širom svijeta OGRANNIK.html OGRANNIK.html Yandex / slike %D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD% D0% B0%D 1%8F%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1 %85%D1%83%D0%B3%D0%BE %D0 %BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0 %D1%8F%20%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8 %D0%B4 %D0 %B0&spsite= ru%3A8080%2For%2Fget_att.jsp%3Fatt_id%3D2493&rpt=simage udžbenik geometrije 6-9