Proširite ovu funkciju u Fourierov niz. Fourierov niz: istorijat i uticaj matematičkog mehanizma na razvoj nauke

Funkcije, razlažući ih na komponente. Naizmjenične struje a tipični su napon, pomak, brzina i ubrzanje koljenastih mehanizama i akustičkih valova praktični primjeri primjena periodičnih funkcija u inženjerskim proračunima.

Proširenje Fourierovog reda temelji se na pretpostavci da se sve funkcije od praktične važnosti u intervalu -π ≤x≤ π mogu izraziti u obliku konvergentnih trigonometrijskih redova (niz se smatra konvergentnim ako je niz parcijalnih suma sastavljen od njegovih članova konvergira):

Standardna (=obična) notacija kroz zbir sinx i cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

gdje su a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. realne konstante, tj.

Gdje se, za raspon od -π do π, koeficijenti Fourierovog reda izračunavaju pomoću formula:

Koeficijenti a o , a n i b n se nazivaju Fourierovi koeficijenti, a ako se mogu pronaći, tada se poziva serija (1). pored Furijea, koja odgovara funkciji f(x). Za seriju (1), pojam (a 1 cosx+b 1 sinx) naziva se prvi ili osnovni harmonik,

Drugi način za pisanje niza je korištenje relacije acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Gdje je a o konstanta, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 su amplitude različitih komponenti i jednako je a n =arctg a n /b n.

Za niz (1), termin (a 1 cosx+b 1 sinx) ili c 1 sin(x+α 1) naziva se prvim ili osnovni harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ili c 2 sin(2x+α 2) se naziva drugi harmonik i tako dalje.

Za precizno predstavljanje složenog signala obično je potreban beskonačan broj pojmova. Međutim, u mnogima praktični problemi dovoljno je razmotriti samo prvih nekoliko pojmova.

Fourierovi nizovi neperiodičnih funkcija s periodom 2π.

Proširivanje neperiodičnih funkcija u Fourierove redove.

Ako je funkcija f(x) neperiodična, to znači da se ne može proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je definirati Fourierov red koji predstavlja funkciju u bilo kojem rasponu širine 2π.

S obzirom na neperiodičnu funkciju, nova funkcija se može konstruirati odabirom vrijednosti f(x) unutar određenog raspona i ponavljanjem izvan tog raspona u intervalima od 2π. Budući da je nova funkcija periodična s periodom 2π, može se proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Na primjer, funkcija f(x)=x nije periodična. Međutim, ako ga je potrebno proširiti u Fourierov niz u intervalu od o do 2π, onda se izvan ovog intervala konstruira periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).

Za neperiodične funkcije kao što je f(x)=x, zbir Fourierova serija jednak je vrijednosti f(x) u svim tačkama u datom opsegu, ali nije jednak f(x) za tačke izvan opsega. Da bi se pronašao Fourierov red neperiodične funkcije u rasponu 2π, koristi se ista formula Fourierovih koeficijenata.

Parne i neparne funkcije.

Kažu da je funkcija y=f(x) čak, ako je f(-x)=f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi parnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na y-os (odnosno, oni su zrcalne slike). Dva primjera parnih funkcija: y=x2 i y=cosx.

Kažu da je funkcija y=f(x) čudno, ako je f(-x)=-f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi neparnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

Proširenje Fourierovog reda u kosinusima.

Fourierov red parne periodične funkcije f(x) s periodom 2π sadrži samo kosinusne članove (tj. nema sinusne članove) i može uključivati ​​konstantan član. dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov red neparne periodične funkcije f(x) sa periodom 2π sadrži samo članove sa sinusima (tj. ne sadrži članove sa kosinusima).

dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov niz u poluciklusu.

Ako je funkcija definirana za raspon, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se proširiti u niz samo u sinusima ili samo u kosinusima. Rezultirajući Fourierov red se zove blizu Fouriera u poluciklusu.

Ako želite da dobijete razlaganje Poluciklusni Fourier po kosinusima funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada je potrebno konstruirati parnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je parna funkcija simetrična u odnosu na f(x) os, povlačimo liniju AB, kao što je prikazano na sl. ispod. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala dobijena trokutastog oblika je periodičan sa periodom od 2π, onda konačni graf izgleda ovako, pokaži. na sl. ispod. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju u kosinusima, kao i prije, izračunavamo Fourierove koeficijente a o i a n

Ako želite da dobijete funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada morate konstruirati neparnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je neparna funkcija simetrična u odnosu na ishodište, konstruišemo liniju CD, kao što je prikazano na Sl. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući pilasti signal periodičan sa periodom od 2π, tada konačni graf ima oblik prikazan na Sl. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju poluciklusa u smislu sinusa, kao i prije, izračunavamo Fourierov koeficijent. b

Fourierov red za proizvoljan interval.

Proširenje periodične funkcije s periodom L.

Periodična funkcija f(x) se ponavlja kako se x povećava za L, tj. f(x+L)=f(x). Prijelaz sa prethodno razmatranih funkcija s periodom od 2π na funkcije s periodom od L je prilično jednostavan, jer se može izvršiti promjenom varijable.

Da bismo pronašli Fourierov red funkcije f(x) u opsegu -L/2≤x≤L/2, uvodimo novu varijablu u tako da funkcija f(x) ima period od 2π u odnosu na u. Ako je u=2πx/L, tada je x=-L/2 za u=-π i x=L/2 za u=π. Također neka je f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourierov red F(u) ima oblik

Gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Međutim, češće gornja formula rezultira ovisnošću o x. Pošto je u=2πx/L, to znači du=(2π/L)dx, a granice integracije su od -L/2 do L/2 umjesto - π do π. Prema tome, Fourierov red za ovisnost o x ima oblik

gdje su u rasponu od -L/2 do L/2 koeficijenti Fourierovog reda,

(Granice integracije mogu se zamijeniti bilo kojim intervalom dužine L, na primjer, od 0 do L)

Fourierov red na poluperiodu za funkcije specificirane u intervalu L≠2π.

Za supstituciju u=πh/L, interval od x=0 do x=L odgovara intervalu od u=0 do u=π. Posljedično, funkcija se može proširiti u niz samo u kosinusima ili samo u sinusima, tj. V Fourierov niz u poluciklusu.

Kosinusna ekspanzija u rasponu od 0 do L ima oblik

Fourierovi nizovi periodičnih funkcija s periodom 2π.

Fourierov red nam omogućava da proučavamo periodične funkcije razlažući ih na komponente. Naizmjenične struje i naponi, pomaci, brzina i ubrzanje koljenastih mehanizama i akustični valovi tipični su praktični primjeri korištenja periodičnih funkcija u inženjerskim proračunima.

Proširenje Fourierovog reda temelji se na pretpostavci da se sve funkcije od praktične važnosti u intervalu -π ≤x≤ π mogu izraziti u obliku konvergentnih trigonometrijskih redova (niz se smatra konvergentnim ako je niz parcijalnih suma sastavljen od njegovih članova konvergira):

Standardna (=obična) notacija kroz zbir sinx i cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

gdje su a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. realne konstante, tj.

Gdje se, za raspon od -π do π, koeficijenti Fourierovog reda izračunavaju pomoću formula:

Koeficijenti a o , a n i b n se nazivaju Fourierovi koeficijenti, a ako se mogu pronaći, tada se poziva serija (1). pored Furijea, koja odgovara funkciji f(x). Za seriju (1), pojam (a 1 cosx+b 1 sinx) naziva se prvi ili osnovni harmonik,

Drugi način za pisanje niza je korištenje relacije acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Gdje je a o konstanta, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 su amplitude različitih komponenti i jednako je a n =arctg a n /b n.

Za niz (1), termin (a 1 cosx+b 1 sinx) ili c 1 sin(x+α 1) naziva se prvim ili osnovni harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ili c 2 sin(2x+α 2) se naziva drugi harmonik i tako dalje.

Za precizno predstavljanje složenog signala obično je potreban beskonačan broj pojmova. Međutim, u mnogim praktičnim problemima dovoljno je razmotriti samo prvih nekoliko pojmova.

Fourierovi nizovi neperiodičnih funkcija s periodom 2π.

Proširenje neperiodičnih funkcija.

Ako je funkcija f(x) neperiodična, to znači da se ne može proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je definirati Fourierov red koji predstavlja funkciju u bilo kojem rasponu širine 2π.

S obzirom na neperiodičnu funkciju, nova funkcija se može konstruirati odabirom vrijednosti f(x) unutar određenog raspona i ponavljanjem izvan tog raspona u intervalima od 2π. Budući da je nova funkcija periodična s periodom 2π, može se proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Na primjer, funkcija f(x)=x nije periodična. Međutim, ako ga je potrebno proširiti u Fourierov niz u intervalu od o do 2π, onda se izvan ovog intervala konstruira periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).

Za neperiodične funkcije kao što je f(x)=x, zbir Fourierovog reda je jednak vrijednosti f(x) u svim tačkama u datom rasponu, ali nije jednak f(x) za tačke izvan dometa. Da bi se pronašao Fourierov red neperiodične funkcije u rasponu 2π, koristi se ista formula Fourierovih koeficijenata.

Parne i neparne funkcije.

Kažu da je funkcija y=f(x) čak, ako je f(-x)=f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi parnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na y-os (odnosno, oni su zrcalne slike). Dva primjera parnih funkcija: y=x2 i y=cosx.

Kažu da je funkcija y=f(x) čudno, ako je f(-x)=-f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi neparnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

Proširenje Fourierovog reda u kosinusima.

Fourierov red parne periodične funkcije f(x) s periodom 2π sadrži samo kosinusne članove (tj. nema sinusne članove) i može uključivati ​​konstantan član. dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov red neparne periodične funkcije f(x) sa periodom 2π sadrži samo članove sa sinusima (tj. ne sadrži članove sa kosinusima).

dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov niz u poluciklusu.

Ako je funkcija definirana za raspon, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se proširiti u niz samo u sinusima ili samo u kosinusima. Rezultirajući Fourierov red se zove blizu Fouriera u poluciklusu.

Ako želite da dobijete razlaganje Poluciklusni Fourier po kosinusima funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada je potrebno konstruirati parnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je parna funkcija simetrična u odnosu na f(x) os, povlačimo liniju AB, kao što je prikazano na sl. ispod. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući trokutasti oblik periodičan sa periodom od 2π, onda konačni graf izgleda ovako: na sl. ispod. Pošto moramo dobiti Fourierovu ekspanziju u kosinusima, kao i prije, izračunavamo Fourierove koeficijente a o i a n

Ako treba da dobijete Fourierova poluperiodična sinusna ekspanzija funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada je potrebno konstruirati neparnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je neparna funkcija simetrična u odnosu na ishodište, konstruišemo liniju CD, kao što je prikazano na Sl. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući pilasti signal periodičan sa periodom od 2π, tada konačni graf ima oblik prikazan na Sl. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju poluciklusa u smislu sinusa, kao i prije, izračunavamo Fourierov koeficijent. b

Fourierov red za proizvoljan interval.

Proširenje periodične funkcije s periodom L.

Periodična funkcija f(x) se ponavlja kako se x povećava za L, tj. f(x+L)=f(x). Prijelaz sa prethodno razmatranih funkcija s periodom od 2π na funkcije s periodom od L je prilično jednostavan, jer se može izvršiti promjenom varijable.

Da bismo pronašli Fourierov red funkcije f(x) u opsegu -L/2≤x≤L/2, uvodimo novu varijablu u tako da funkcija f(x) ima period od 2π u odnosu na u. Ako je u=2πx/L, tada je x=-L/2 za u=-π i x=L/2 za u=π. Također neka je f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourierov red F(u) ima oblik

(Granice integracije mogu se zamijeniti bilo kojim intervalom dužine L, na primjer, od 0 do L)

Fourierov red na poluperiodu za funkcije specificirane u intervalu L≠2π.

Za supstituciju u=πh/L, interval od x=0 do x=L odgovara intervalu od u=0 do u=π. Posljedično, funkcija se može proširiti u niz samo u kosinusima ili samo u sinusima, tj. V Fourierov niz u poluciklusu.

Kosinusna ekspanzija u rasponu od 0 do L ima oblik

Fourierovi redovi su prikaz proizvoljne funkcije sa određenim periodom u obliku niza. IN opšti pogled ovu odluku naziva se dekompozicija elementa u ortogonalnoj bazi. Proširenje funkcija u Fourierov red je prilično moćan alat za rješavanje različitih problema zbog svojstava ove transformacije tokom integracije, diferencijacije, kao i pomjeranja izraza argumentom i konvolucijom.

Nepoznata osoba višu matematiku, kao i sa radovima francuskog naučnika Furijea, najverovatnije neće razumeti šta su ove „serije“ i čemu su potrebne. U međuvremenu, ova transformacija je postala prilično integrirana u naše živote. Koriste ga ne samo matematičari, već i fizičari, hemičari, doktori, astronomi, seizmolozi, okeanografi i mnogi drugi. Pogledajmo pobliže radove velikog francuskog naučnika koji je napravio otkriće koje je bilo ispred svog vremena.

Čovjek i Fourierova transformacija

Fourierovi nizovi su jedna od metoda (zajedno sa analizom i ostalima). Ovaj proces se dešava svaki put kada osoba čuje zvuk. Naše uho unutra automatski način rada vrši transformaciju elementarne čestice u elastičnom mediju raspoređeni su u redove (duž spektra) uzastopnih vrijednosti nivoa glasnoće za tonove različite visine. Zatim, mozak pretvara ove podatke u zvukove koji su nam poznati. Sve se to dešava bez naše želje ili svesti, samo od sebe, ali da bismo razumeli te procese, biće potrebno nekoliko godina da se izuči višu matematika.

Više o Fourierovoj transformaciji

Fourierova transformacija se može izvesti analitičkim, numeričkim i drugim metodama. Fourierovi redovi se odnose na numeričku metodu razlaganja bilo kakvih oscilatornih procesa - od okeanskih plima i svjetlosnih valova do ciklusa solarne (i drugih astronomskih objekata) aktivnosti. Koristeći ove matematičke tehnike, možete analizirati funkcije, predstavljajući sve oscilatorne procese kao niz sinusoidnih komponenti koje se kreću od minimuma do maksimuma i nazad. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj proces se može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednačina koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem topline, svjetlosti ili električna energija. Također, Fourierovi nizovi omogućavaju izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilatornim signalima, što omogućava ispravnu interpretaciju eksperimentalnih zapažanja dobijenih u medicini, hemiji i astronomiji.

Istorijska referenca

Osnivač ove teorije je francuski matematičar Jean Baptiste Joseph Fourier. Ova transformacija je kasnije nazvana po njemu. U početku je naučnik koristio svoju metodu da proučava i objasni mehanizme toplotne provodljivosti - širenja toplote u unutrašnjosti čvrste materije. Fourier je predložio da se početna nepravilna raspodjela može razložiti na jednostavne sinusoide, od kojih će svaka imati svoj temperaturni minimum i maksimum, kao i svoju fazu. U ovom slučaju, svaka takva komponenta će se mjeriti od minimuma do maksimuma i nazad. Matematička funkcija koja opisuje gornji i donji vrh krivulje, kao i fazu svakog od harmonika, naziva se Fourierova transformacija izraza raspodjele temperature. Autor teorije je opću funkciju distribucije, koju je teško matematički opisati, sveo na vrlo pogodan niz kosinusa i sinusa, koji zajedno daju originalnu distribuciju.

Princip transformacije i pogledi savremenika

Naučnikovi savremenici - vodeći matematičari ranog devetnaestog veka - nisu prihvatili ovu teoriju. Glavni prigovor je bila Fourierova tvrdnja da se diskontinuirana funkcija, koja opisuje pravu liniju ili diskontinuiranu krivu, može predstaviti kao zbir sinusoidnih izraza koji su kontinuirani. Kao primjer, razmotrite Hevisajdov korak: njegova vrijednost je nula lijevo od diskontinuiteta i jedan desno. Ova funkcija opisuje ovisnost električna struja iz privremene varijable kada je krug zatvoren. Savremenici teorije u to vrijeme nikada se nisu susreli sa sličnom situacijom u kojoj bi diskontinuirani izraz bio opisan kombinacijom kontinuiranih, običnih funkcija kao što su eksponencijalne, sinusne, linearne ili kvadratne.

Šta je zbunilo francuske matematičare oko Furijeove teorije?

Na kraju krajeva, ako je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, onda se zbrajanjem beskonačnog trigonometrijskog Fourierovog niza može dobiti tačan prikaz koraka izraza čak i ako ima mnogo sličnih koraka. Početkom devetnaestog veka takva izjava je izgledala apsurdno. Ali uprkos svim sumnjama, mnogi matematičari proširili su opseg proučavanja ovog fenomena, odvodeći ga dalje od proučavanja toplotne provodljivosti. Međutim, većinu naučnika i dalje muči pitanje: „Može li se zbir sinusoidnog niza konvergirati na tačna vrijednost diskontinuirana funkcija?

Konvergencija Fourierovih redova: primjer

Pitanje konvergencije se postavlja kad god je potrebno sabrati beskonačne nizove brojeva. Da biste razumjeli ovaj fenomen, razmislite klasičan primjer. Hoćete li ikada moći doći do zida ako je svaki sljedeći korak upola manji od prethodnog? Recimo da ste dva metra od cilja, prvi korak vas vodi do polovine, sljedeći vas vodi do tri četvrtine, a nakon petog ćete preći gotovo 97 posto puta. Međutim, bez obzira na to koliko koraka napravite, nećete postići željeni cilj u strogom matematičkom smislu. Koristeći numeričke proračune, može se dokazati da je na kraju moguće prići što bliže određenoj udaljenosti. Ovaj dokaz je ekvivalentan demonstraciji da će zbir jedne polovine, jedne četvrtine, itd. težiti jedinstvu.

Pitanje konvergencije: Drugi dolazak, ili Naprava lorda Kelvina

Ponavljano ovo pitanje porasla krajem devetnaestog veka, kada su pokušali da koriste Furijeov red da predvide intenzitet oseke i oseke. U to vrijeme, Lord Kelvin je izumio instrument, analogni računarski uređaj koji je omogućio vojnim i trgovačkim mornarima da prate ovaj prirodni fenomen. Ovaj mehanizam je određivao skupove faza i amplituda iz tabele visina plime i odgovarajućih vremenskih tačaka, pažljivo mjerenih u datoj luci tokom cijele godine. Svaki parametar je bio sinusoidna komponenta izraza visine plime i bila je jedna od regularnih komponenti. Rezultati mjerenja uneseni su u računski instrument Lorda Kelvina, koji je sintetizirao krivulju koja je predviđala visinu vode kao funkciju vremena tokom sljedeće godine. Vrlo brzo su iscrtane slične krivulje za sve luke svijeta.

Što ako je proces poremećen diskontinuiranom funkcijom?

U to vrijeme se činilo očiglednim da instrument za predviđanje plimnih valova sa veliki iznos elementi računa mogu izračunati veliki broj faze i amplitude i tako pružaju više tačna predviđanja. Međutim, pokazalo se da se ovaj obrazac ne primjećuje u slučajevima kada je ekspresija plime koja bi se trebala sintetizirati sadržavala oštar skok, odnosno bio je diskontinuiran. Ako se u uređaj unesu podaci iz tabele vremenskih momenata, on izračunava nekoliko Fourierovih koeficijenata. Originalna funkcija se vraća zahvaljujući sinusoidnim komponentama (u skladu sa pronađenim koeficijentima). Nesklad između originalnog i rekonstruiranog izraza može se izmjeriti u bilo kojoj tački. Kada se vrše ponovljeni proračuni i poređenja, jasno je da se vrijednost najveće greške ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirani u području koje odgovara tački diskontinuiteta, au bilo kojoj drugoj tački teže nuli. Godine 1899., ovaj rezultat je teoretski potvrdio Joshua Willard Gibbs sa Univerziteta Yale.

Konvergencija Fourierovih redova i razvoj matematike općenito

Fourierova analiza nije primjenjiva na izraze koji sadrže beskonačan broj skokova u određenom intervalu. Općenito, Fourierovi redovi, ako je originalna funkcija predstavljena rezultatom stvarnog fizičkog mjerenja, uvijek konvergiraju. Pitanja konvergencije ovaj proces za specifične klase funkcija dovelo je do pojave novih grana u matematici, na primjer, teorije generaliziranih funkcija. Vezana je za imena kao što su L. Schwartz, J. Mikusinski i J. Temple. U okviru ove teorije, jasno i precizno teorijska osnova pod takvim izrazima kao što su Diracova delta funkcija (opisuje područje jedne oblasti koncentrisano u infinitezimalnom susjedstvu tačke) i Heavisideov “korak”. Zahvaljujući ovom radu, Fourierovi redovi su postali primjenjivi na rješavanje jednačina i problema koji uključuju intuitivne koncepte: tačka naboj, masa tačke, magnetni dipoli i koncentrisano opterećenje na zraku.

Fourierova metoda

Fourierovi redovi, u skladu sa principima interferencije, počinju dekompozicijom složenih oblika na jednostavnije. Na primjer, promjena toka topline se objašnjava njegovim prolaskom kroz različite prepreke iz toplotnoizolacioni materijal nepravilnog oblika ili promjena zemljine površine - zemljotres, promjena orbite nebesko telo- uticaj planeta. Po pravilu, takve jednačine koje opisuju jednostavne klasične sisteme mogu se lako riješiti za svaki pojedinačni val. Furije je to pokazao jednostavna rješenja takođe se mogu sabrati da bi se dobila rešenja za složenije probleme. U matematičkom smislu, Fourierovi redovi su tehnika za predstavljanje izraza kao sume harmonika - kosinusa i sinusa. Stoga je ova analiza poznata i kao „harmonička analiza“.

Fourierov niz - idealna tehnika prije "kompjuterskog doba"

Prije stvaranja kompjuterske tehnologije, Fourierova tehnika je bila najbolje oružje u arsenalu naučnika u radu s talasnom prirodom našeg svijeta. Fourierov red u složenom obliku omogućava rješavanje ne samo jednostavnih problema koji mogu biti direktnu primjenu Newtonove zakone mehanike, ali i osnovne jednačine. Većina otkrića Njutnove nauke u devetnaestom veku omogućila je samo Furijeova tehnika.

Fourierova serija danas

Sa razvojem računara, Fourierove transformacije su se podigle na kvalitativni nivo novi nivo. Ova tehnika je čvrsto uspostavljena u gotovo svim oblastima nauke i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video. Njegova implementacija je postala moguća samo zahvaljujući teoriji koju je razvio francuski matematičar početkom devetnaestog veka. Dakle, Fourierov niz u složenom obliku omogućio je iskorak u proučavanju svemira. Osim toga, utjecao je na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara i seizmologije.

Trigonometrijska Fourierova serija

U matematici, Fourierov red je način predstavljanja proizvoljnih složenih funkcija kao zbir jednostavnijih. U opštim slučajevima, broj takvih izraza može biti beskonačan. Štaviše, što se njihov broj više uzima u obzir u izračunu, to je tačnije. konačni rezultat. Najčešće se koristi kao protozoa trigonometrijske funkcije kosinus ili sinus. U ovom slučaju, Fourierovi redovi se nazivaju trigonometrijskim, a rješenje takvih izraza naziva se harmonijska ekspanzija. Ova metoda igra važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijski niz pruža sredstvo za prikazivanje i proučavanje funkcija; Osim toga, omogućava rješavanje brojnih problema iz matematičke fizike. Konačno, ova teorija je doprinijela razvoju niza veoma važnih grana matematičke nauke (teorija integrala, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, poslužio je kao polazna tačka za razvoj sljedećih funkcija realne varijable, a također je postavio temelj za harmonijsku analizu.

Fourierov red proširenja parnih i neparnih funkcija proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Fourierovog niza Fourierov red u općim ortogonalnim sistemima funkcija Fourierov red u ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Beselova nejednakost Jednakost Parseval Zatvoreni sistemi Kompletnost i zatvorenost sistema

Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red Funkcija f(x), definirana na intervalu \-1, gdje je I > 0, naziva se parnom ako je graf parne funkcije simetričan u odnosu na ordinatnu os. Funkcija f(x), definirana na segmentu J), gdje je I > 0, naziva se neparnom ako je graf neparne funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Primjer. a) Funkcija je parna na intervalu |-jt, jt), budući da je za sve x e b) Funkcija je neparna, budući da je proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusi Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Furijeovog reda Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija Fourierov red za ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema c) Funkcija f (x)=x2-x, pri čemu ne pripada ni parnim ni neparnim funkcijama, budući da je funkcija f(x), koja zadovoljava uslove teoreme 1, parna na intervalu x|. Onda za sve tj. /(x) cos nx je parna funkcija, a f(x) sinnx je neparna. Stoga će Furijeovi koeficijenti parne funkcije f(x) biti jednaki. Dakle, Fourierov red parne funkcije ima oblik f(x) sin h - parna funkcija. Dakle, imat ćemo Dakle, Fourierov red neparne funkcije ima oblik Primjer 1. Proširite funkciju 4 u Fourierov red na intervalu -x ^ x ^ n Pošto je ova funkcija parna i zadovoljava uvjete teoreme 1, onda njegov Fourierov red ima oblik Nađi Fourierove koeficijente. Imamo Primjenjujući integraciju po dijelovima dva puta, dobijamo da Dakle, Fourierov red ove funkcije izgleda ovako: ili, u proširenom obliku, Ova jednakost vrijedi za bilo koje x €, budući da je u tačkama x = ±ir zbir serija se poklapa sa vrijednostima funkcije f(x) = x2, budući da su grafovi funkcije f(x) = x i zbroj rezultirajućeg niza dati na Sl. Komentar. Ovaj Fourierov red nam omogućava da pronađemo zbir jednog od konvergentnih numeričkih redova, naime, za x = 0 dobijamo da je Primjer 2. Proširiti funkciju /(x) = x u Fourierov red na intervalu. Funkcija /(x) zadovoljava uslove iz teoreme 1, pa se može proširiti u Fourierov red, koji će zbog neparnosti ove funkcije imati oblik Integrirajući po dijelovima, nalazimo Fourierove koeficijente Fourierov red ove funkcije ima oblik Ova jednakost vrijedi za sve x B u tačkama x - ±t, suma Fourierovog reda se ne poklapa sa vrijednostima funkcije /(x) = x, jer je jednaka Izvan intervala [-*, i-] suma serije je periodični nastavak funkcije /(x) = x; njegov grafikon je prikazan na sl. 6. § 6. Proširivanje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Neka je na intervalu data ograničena po komadima monotona funkcija /. Vrijednosti ove funkcije na intervalu 0| može se dalje definisati na razne načine. Na primjer, možete definirati funkciju / na segmentu tc] tako da /. U ovom slučaju kažu da) se „proširuje na segment 0] na paran način“; njegov Fourierov niz će sadržavati samo kosinuse. Ako je funkcija /(x) definirana na intervalu [-l-, mc] tako da je /(, tada je rezultat neparna funkcija, a onda kažu da je / „prošireno na interval [-*, 0] na neparan način” U ovom slučaju, Fourierov niz će sadržavati samo sinuse Funkcija se može proširiti u Fourierov niz: a) kosinusima; b) po sinusima. M Ova funkcija, sa svojim parnim i neparnim nastavcima u segment |-x,0) bit će ograničena i po komadima monotona. a) Proširiti /(z) u segment 0) a) Proširiti j\x) u segment (-π,0| na paran način (slika 7), tada će njegov Fourierov red i imati oblik Π = 1 gdje su Fourierovi koeficijenti jednaki, odnosno za Dakle, b) Proširimo /(z) u segment [-x,0] na neparan način (slika 8). Zatim njegov Fourierov red §7. Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Neka funkcija fix) bude periodična s periodom od 21,1 ^ 0. Da bismo je proširili u Fourierov red na intervalu gdje je I > 0, vršimo promjenu varijable postavljanjem x = jt . Tada će funkcija F(t) = / ^tj biti periodična funkcija argumenta t sa periodom i može se proširiti na segment u Fourierov red Vraćajući se na promjenljivu x, tj. postavku, dobijamo sve teoreme za Fourierove nizove periodičnih funkcija s periodom 2π , ostaju važeći za periodične funkcije s proizvoljnim periodom 21. Konkretno, također ostaje važeći dovoljna indikacija dekompozibilnost funkcije u Fourierovom redu. Primer 1. Proširiti u Fourierov red periodičnu funkciju sa periodom 21, datu na intervalu [-/,/] formulom (slika 9). Budući da je ova funkcija parna, njen Fourierov red ima oblik Zamjenom pronađenih vrijednosti Fourierovih koeficijenata u Fourierov red, dobijamo Napominjemo jednu stvar važna imovina periodične funkcije. Teorema 5. Ako funkcija ima period T i integrabilna je, tada za bilo koji broj a vrijedi jednakost m. odnosno integral segmenta čija je dužina jednaka periodu T ima istu vrijednost bez obzira na položaj ovog segmenta na brojevnoj osi. U stvari, vršimo promjenu varijable u drugom integralu, pod pretpostavkom. Ovo daje i stoga, geometrijski, ovo svojstvo znači da u slučaju područja zasjenjenog na Sl. 10 oblasti su međusobno jednake. Konkretno, za funkciju f(x) s periodom dobijamo proširenje u Fourierov niz parnih i neparnih funkcija, proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Fourierov red za funkciju s proizvoljnim period Kompleksna notacija Fourierovog niza Fourierov red u općim ortogonalnim sistemskim funkcijama Fourierov red u ortogonalnom sistemu Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema Primjer 2. Funkcija x je periodična s periodom Zbog neparnosti ove funkcije, bez izračunavanja integrala, možemo reći da za bilo koje Dokazano svojstvo, posebno, pokazuje da se Furijeovi koeficijenti periodične funkcije f(x) s periodom od 21 mogu izračunati korištenjem formula gdje je a proizvoljno pravi broj(imajte na umu da funkcije cos - i sin imaju period 2/). Primjer 3. Proširiti u Fourierov red funkciju datu na intervalu s periodom 2x (slika 11). 4 Nađimo Fourierove koeficijente ove funkcije. Stavljajući formule nalazimo da će za Prema tome, Fourierov red izgledati ovako: U tački x = jt (tačka diskontinuiteta prve vrste) imamo §8. Kompleksni prikaz Fourierovog reda Ovaj dio koristi neke elemente sveobuhvatna analiza(vidi Poglavlje XXX, gdje su sve radnje koje se ovdje izvode sa složenim izrazima strogo opravdane). Neka funkcija f(x) zadovolji dovoljne uslove za proširenje u Fourierov red. Tada se na segmentu x] može predstaviti nizom oblika. Koristeći Ojlerove formule. Zamjenom ovih izraza u nizu (1) umjesto cos πx i sin φx imaćemo Uvedimo sljedeću notaciju. Tada će niz (2) uzeti oblik Dakle, Fourierov red (1) je predstavljen u kompleksnom obliku (3). Nađimo izraze za koeficijente kroz integrale. Imamo Slično, nalazimo Konačne formule za s„, s_p i s mogu se napisati na sljedeći način: . . Koeficijenti c„ se nazivaju kompleksni Fourierovi koeficijenti funkcije za periodičnu funkciju s periodom. složen oblik Fourierovi redovi će poprimiti oblik u kojem se koeficijenti Cn izračunavaju pomoću formula. Konvergencija redova (3) i (4) podrazumijeva se na sljedeći način: nizovi (3) i (4) se nazivaju konvergentni za datu vrijednost g, ako postoje ograničenja Primjer. Proširite funkciju perioda u složeni Fourierov niz. Ova funkcija zadovoljava dovoljne uslove za proširenje u Fourierov red. Nađimo kompleksne Fourierove koeficijente ove funkcije. Imamo za nepar za par n, ili, ukratko. Zamjenom vrijednosti) konačno dobijamo Napomena da se ovaj niz može napisati i na sljedeći način: Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija 9.1. Ortogonalni sistemi funkcija Označimo skupom svih (realnih) funkcija definiranih i integrabilnih na intervalu [a, 6] s kvadratom, tj. onih za koje postoji integral Konkretno, sve funkcije f(x). na intervalu [a , 6], pripadaju 6], a vrijednosti njihovih Lebesgueovih integrala poklapaju se sa vrijednostima Riemannovih integrala. Definicija. Sistem funkcija, gdje, se naziva ortogonalnim na intervalu [a, b\, ako uvjet (1) posebno pretpostavlja da nijedna funkcija nije identična nuli. Integral se shvata u Lebesgueovom smislu. a količinu nazivamo normom funkcije. Ako u ortogonalnom sistemu za bilo koji n imamo, onda se sistem funkcija naziva ortonormalnim. Ako je sistem (y>„(x)) ortogonan, onda je sistem Primer 1. Trigonometrijski sistem je ortogonan na segmentu. Sistem funkcija je ortonormalni sistem funkcija na primjeru 2. Kosinusni sistem i sinusni sistem su ortonormirani. Uvedemo oznaku da su ortogonalni na intervalu (0, f|, ali ne ortonormalni (za I F- 2). Pošto su njihove norme COS Primjer 3. Polinomi definirani jednakošću se nazivaju Legendre polinomi (polinomi). Jer n = 0 Može se dokazati da funkcije formiraju ortonormalni sistem na intervalu. Pokažimo, na primjer, ortogonalnost Legendrovih polinoma. U ovom slučaju, integrirajući n puta , nalazimo pošto za funkciju t/m = (z2 - I)m svi derivati ​​do reda m - I uključujući nestaju na krajevima segmenta [-1,1). Definicija. Sistem funkcija (pn(x)) se naziva ortogonalnim na intervalu (a, b) preko prepusta p(x) ako: 1) za sve n = 1,2,... postoje integrali pretpostavio da je težinska funkcija p(x) definisana i pozitivna svuda na intervalu (a, b) sa mogućim izuzetkom konačnog broja tačaka u kojima p(x) može nestati. Nakon što smo izvršili diferencijaciju u formuli (3), nalazimo. Može se pokazati da su Chebyshev-Hermite polinomi ortogonalni na intervalu Primjer 4. Sistem Beselovih funkcija (jL(pix)^ je ortogonan na intervalu nula Besselove funkcije Primjer 5. Razmotrimo Chebyshev-Hermite polinome , koji se može definirati pomoću jednakosti. Fourierov red u ortogonalnom sistemu Neka postoji ortogonalni sistem funkcija u intervalu (a, 6) i neka niz (cj = const) konvergira na ovom intervalu funkciji f(x): Množenje obje strane posljednje jednakosti po - fiksno) i integrišući preko x od a do 6, zbog ortogonalnosti sistema dobijamo da ova operacija ima, uopšteno govoreći, čisto formalni karakter. Međutim, u nekim slučajevima, na primjer, kada se niz (4) ravnomjerno konvergira, sve funkcije su kontinuirane i interval (a, 6) je konačan, ova operacija je legalna. Ali za nas je sada važno formalno tumačenje. Dakle, neka je data funkcija. Formiramo brojeve c* prema formuli (5) i napišemo niz na desnoj strani funkcije f(x) u odnosu na sistem (^n(i)). nazivaju se Fourierovi koeficijenti funkcije f(x) u odnosu na ovaj sistem. Znak ~ u formuli (6) samo znači da su brojevi Cn povezani sa funkcijom f(x) formulom (5) (ne pretpostavlja se da red s desne strane uopće konvergira, a još manje konvergira funkciji f (x)). Stoga se prirodno postavlja pitanje: koja su svojstva ove serije? U kom smislu ona “predstavlja” funkciju f(x)? 9.3. Konvergencija u prosjeku Definicija. Niz konvergira elementu ] u prosjeku ako je norma u prostoru Teorema 6. Ako niz ) konvergira ravnomjerno, tada konvergira u prosjeku. M Neka niz ()) ravnomjerno konvergira na intervalu [a, b] funkciji /(x). To znači da za svakoga, za sve dovoljno veliko n, imamo Dakle, iz čega slijedi naša izjava. Obrnuto nije tačno: niz () može u prosjeku konvergirati na /(x), ali ne može biti ravnomjerno konvergentan. Primjer. Razmotrimo niz nx. Lako je vidjeti da ova konvergencija nije uniformna: postoji e, na primjer, takvo da, bez obzira koliko je n, na intervalnom kosinusnom Fourierovom redu za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksna reprezentacija. Fourierovog reda Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija Fourierov red za ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema i neka Označimo sa c* Fourierove koeficijente funkcije /(x ) ortonormalnim sistemom b Razmotrimo linearnu kombinaciju gdje je n ^ 1 fiksni cijeli broj i pronađi vrijednosti konstanti pri kojima integral poprima minimalnu vrijednost. Zapišimo ga detaljnije Integrirajući član po član, zbog ortonormalnosti sistema, dobijamo prva dva člana na desnoj strani jednakosti (7), a treći član je nenegativan. Stoga, integral (*) uzima minimalnu vrijednost pri ak = sk Integral se naziva aproksimacija srednjeg kvadrata funkcije /(x) linearnom kombinacijom Tn(x). Dakle, aproksimacija srednjeg kvadrata funkcije /\ uzima minimalnu vrijednost kada. kada je Tn(x) 71. parcijalni zbir Fourierovog reda funkcije /(x) nad sistemom (. Postavljanjem ak = sk, iz (7) dobijamo Jednakost (9) naziva se Beselov identitet. lijeva strana je nenegativna, onda iz nje proizlazi Beselova nejednakost, budući da sam ovdje proizvoljan, Beselova nejednakost se može predstaviti u pojačanom obliku, tj. za bilo koju funkciju / niz kvadratnih Fourierovih koeficijenata ove funkcije u ortonormiranom sistemu. Pošto je sistem ortonormalan na intervalu [-x, m], onda nejednakost (10) prevedena u uobičajenu notaciju trigonometrijskog Fourierovog reda daje relaciju do koja vrijedi za bilo koju funkciju /(x) s integrabilnim kvadratom. Ako je f2(x) integrabilno, onda zbog neophodno stanje konvergencijom niza na lijevoj strani nejednakosti (11), dobijamo da. Parsevalova jednakost Za neke sisteme (^„(x)), predznak nejednakosti u formuli (10) može se zamijeniti (za sve funkcije f(x) 6 ×) znakom jednakosti. Rezultirajuća jednakost naziva se Parseval-Steklovska jednakost (uslov potpunosti). Beselov identitet (9) nam omogućava da zapišemo uslov (12) u ekvivalentnom obliku. Dakle, ispunjenje uslova potpunosti znači da parcijalni sumi Sn(x) Fourierovog reda funkcije /(x) konvergiraju funkciji. /(x) u prosjeku, tj. prema normi prostora 6]. Definicija. Ortonormalni sistem ( se naziva potpun u b2[ay b] ako se svaka funkcija može u prosjeku aproksimirati s bilo kojom točnošću linearnom kombinacijom oblika sa dovoljno velikim brojem članova, tj. ako za bilo koju funkciju /(x) ∈ b2 [a, b\ i za bilo koje e > 0 postoji prirodni broj nq i brojevima a\, a2y..., tako da Ne Iz gornjeg rezonovanja slijedi Teorema 7. Ako je ortonormalizacijom sistem ) potpun u prostoru, Fourierov red bilo koje funkcije / nad ovim sistemom konvergira na f(x) na prosječno, tj. po normi Može se pokazati da je trigonometrijski sistem potpun u prostoru. To implicira tvrdnju. Teorema 8. Ako joj funkcija /o njen trigonometrijski Fourierov red konvergira u prosjeku. 9.5. Zatvoreni sistemi. Kompletnost i zatvorenost sistema Definicija. Ortonormalni sistem funkcija \ naziva se zatvorenim ako u prostoru Li\a, b) ne postoji funkcija različita od nule, ortogonalna na sve funkcije. Vježbe 1. Proširite funkciju 2 u Fourierov niz u intervalu (-i-, x) 2. Proširite funkciju u Fourierov niz u intervalu (-tr, tr) 3. Proširite funkciju 4 u Fourierov niz u interval (-tr, tr) u Fourierov red u funkciji intervala (-jt, tr) 5. Proširite funkciju f(x) = x + x u Fourierov red u intervalu (-tr, tr). 6. Proširiti funkciju n u Fourierov red u intervalu (-jt, tr) 7. Proširiti funkciju /(x) = sin2 x u Fourierov red u intervalu (-tr, x). 8. Proširiti funkciju f(x) = y u Fourierov red u intervalu (-tr, jt) 9. Proširiti funkciju f(x) = | sin x|. 10. Proširiti funkciju f(x) = § u Fourierov red u intervalu (-π-, π). 11. Proširiti funkciju f(x) = sin § u Fourierov red u intervalu (-tr, tr). 12. Proširiti funkciju f(x) = n -2x, datu u intervalu (0, x), u Fourierov red, proširujući je u interval (-x, 0): a) na paran način; b) na čudan način. 13. Proširiti funkciju /(x) = x2, datu u intervalu (0, x), u Fourierov red u sinusima. 14. Proširiti funkciju /(x) = 3, datu u intervalu (-2,2), u Fourierov red. 15. Proširite funkciju f(x) = |x|, datu u intervalu (-1,1), u Fourierov red. 16. Proširite funkciju f(x) = 2x, specificiranu u intervalu (0,1), u Fourierov red u sinusima.

Ministarstvo opšteg i stručnog obrazovanja

Sochi Državni univerzitet turizam

i odmarališta

Pedagoški institut

Matematički fakultet

Katedra za opštu matematiku

DIPLOMSKI RAD

Fourierovi redovi i njihove primjene

U matematičkoj fizici.

Završio: student 5. godine

potpis o redovnom obrazovanju

Specijalnost 010100

"matematika"

Kasperova N.S.

Student matični broj 95471

Naučni rukovodilac: vanredni profesor, kandidat.

tehnički potpis nauke

Pozin P.A.

Soči, 2000

1. Uvod.

2. Koncept Fourierovog reda.

2.1. Određivanje koeficijenata Fourierovog reda.

2.2. Integrali periodičnih funkcija.

3. Znaci konvergencije Fourierovih redova.

3.1. Primjeri proširenja funkcija u Fourierov red.

4. Napomena o proširenju periodične funkcije u Fourierov red

5. Fourierov red za parne i neparne funkcije.

6. Fourierov red za funkcije s periodom 2 l .

7. Proširenje neperiodične funkcije u Fourierov red.

Uvod.

Jean Baptiste Joseph Fourier - francuski matematičar, član Pariške akademije nauka (1817).

Prvi Fourierovi radovi vezani su za algebru. Već na predavanjima 1796. izložio je teoremu o broju pravim korenima algebarska jednačina leži između ovih granica (objavljeno 1820), nazvano po njemu; kompletno rješenje broj realnih korijena algebarske jednadžbe dobio je 1829. godine J.S.F. Napadom. Godine 1818. Fourier je istraživao pitanje uslova za primjenjivost metode numeričkog rješavanja jednačina koju je razvio Newton, ne znajući za slične rezultate koje je 1768. godine dobio francuski matematičar J.R. Murailem. Rezultat Fourierovog rada na numeričkim metodama za rješavanje jednačina je "Analiza određenih jednačina", objavljena posthumno 1831.

Fourierova glavna oblast proučavanja bila je matematička fizika. Godine 1807. i 1811. predstavio je Pariškoj akademiji nauka svoja prva otkrića o teoriji širenja toplote u čvrsto telo, a 1822. objavljen poznato delo„Analitička teorija toplote“, koja je igrala glavnu ulogu u kasnijoj istoriji matematike. Ovo - matematička teorija toplotna provodljivost. Zbog općenitosti metode, ova knjiga je postala izvor svega savremenim metodama matematičke fizike. U ovom radu Fourier je izveo diferencijalna jednadžba toplotne provodljivosti i razvijenih ideja u većini generalni pregled koju je ranije iznio D. Bernoulli, razvio je metodu za razdvajanje varijabli (Fourierova metoda) za rješavanje jednačine toplote pod određenim datim graničnim uslovima, koju je primijenio na niz posebnih slučajeva (kocka, cilindar, itd.). Ova metoda se zasniva na predstavljanju funkcija trigonometrijskim Fourierovim redovima.

Fourierovi redovi su sada postali dobro razvijen alat u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadžbi za rješavanje graničnih problema.

1. Koncept Fourierovog reda.(str. 94, Uvarenkov)

Fourierovi redovi igraju važnu ulogu u matematičkoj fizici, teoriji elastičnosti, elektrotehnici, a posebno u njihovoj poseban slučaj– trigonometrijski Fourierov red.

Trigonometrijski niz je niz oblika

ili simbolično:

gdje su ω, a 0, a 1, …, a n, …, b 0, b 1, …, b n, … konstantni brojevi (ω>0).

Neki problemi u fizici su istorijski doveli do proučavanja takvih serija, na primer, problem vibracija struna (18. vek), problem pravilnosti u pojavama toplotne provodljivosti, itd. U primenama, razmatranje trigonometrijskih nizova , prvenstveno je povezan sa zadatkom predstavljanja datog kretanja, opisanog jednadžbom y = ƒ(χ), u

Dakle, dolazimo do sljedećeg problema: saznati da li za datu funkciju ƒ(x) na datom intervalu postoji niz (1) koji bi konvergirao na ovom intervalu ovoj funkciji. Ako je to moguće, onda kažu da je na ovom intervalu funkcija ƒ(x) proširena u trigonometrijski niz.

Niz (1) konvergira u nekoj tački x 0, zbog periodičnosti funkcija

i zbog toga

2. Određivanje serijskih koeficijenata korištenjem Fourierovih formula.

Neka je periodična funkcija ƒ(x) s periodom 2π takva da je predstavljena trigonometrijskim nizom koji konvergira datoj funkciji u intervalu (-π, π), tj. da je zbir ovog niza:

Pretpostavimo da je integral funkcije na lijevoj strani ove jednakosti jednak zbiru integrala članova ovog niza. Ovo će biti tačno ako pretpostavimo da je niz brojeva sastavljen od koeficijenata datog trigonometrijskog niza apsolutno konvergentan, tj.

Niz (1) je majoriziran i može se integrirati pojam po član u intervalu (-π, π). Integrirajmo obje strane jednakosti (2):

Procijenimo zasebno svaki integral koji se pojavljuje na desnoj strani:

dakle,

Procjena Fourierovih koeficijenata.(Bugrov)

Teorema 1. Neka funkcija ƒ(x) perioda 2π ima kontinuirani izvod ƒ ( s) (x) red s, zadovoljavajući nejednakost na cijeloj realnoj osi:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

zatim Fourierovi koeficijenti funkcije ƒ zadovoljiti nejednakost

Dokaz. Integracija po dijelovima i vodeći računa o tome

ƒ(-π) = ƒ(π), imamo

Integracija desna strana(7) dosljedno, uzimajući u obzir da su izvode ƒ ΄, …, ƒ (s-1) kontinuirane i uzimaju iste vrijednosti u tačkama t = -π i t = π, kao i procena (5), dobijamo prvu procenu (6).

Druga procjena (6) dobija se na sličan način.

Teorema 2. Za Fourierove koeficijente ƒ(x) vrijedi sljedeća nejednakost:

Dokaz. Imamo