Keplerova tri zakona o kretanju planeta. Keplerovi zakoni. Kosmičke brzine

Oblik elipse i stepen njene sličnosti sa krugom karakteriše odnos , gde je c- udaljenost od centra elipse do njenog fokusa (pola međužižne udaljenosti), a- glavna poluosa. Magnituda e naziva se ekscentricitet elipse. At c= 0 i e= 0 elipsa se pretvara u krug.

Dokaz prvog Keplerovog zakona

Zakon univerzalna gravitacija Newton navodi da "svaki objekt u svemiru privlači svaki drugi objekt duž linije koja povezuje centre mase objekata, proporcionalno masi svakog objekta, i obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između objekata." Ovo pretpostavlja da je ubrzanje a ima oblik

U koordinatnom obliku pišemo

Zamjenom i u drugu jednačinu dobijamo

što je pojednostavljeno

Nakon integracije zapisujemo izraz

za neku konstantu, a to je specifični ugaoni moment (Nek).

Jednačina kretanja u pravcu postaje jednaka

Newtonov zakon univerzalne gravitacije povezuje silu po jedinici mase sa udaljenosti kao

Gdje G- univerzalna gravitaciona konstanta i M- masa zvezde.

Kao rezultat

Ovo diferencijalna jednadžba Ima zajednička odluka:

za proizvoljne integracione konstante e i θ 0 .

Zamjena u od 1/ r i stavljajući θ 0 = 0, dobijamo:

Dobili smo jednadžbu konusnog presjeka sa ekscentricitetom e i ishodište koordinatnog sistema u jednom od žarišta. Dakle, prvi Keplerov zakon slijedi direktno iz Newtonovog zakona univerzalne gravitacije i Newtonovog drugog zakona.

Keplerov drugi zakon (zakon oblasti)

Keplerov drugi zakon.

Svaka planeta se kreće u ravni koja prolazi kroz centar Sunca, a vektor radijusa koji povezuje Sunce i planetu u jednakim vremenima briše sektore jednake površine.

U odnosu na naš Sunčev sistem, dva koncepta su povezana sa ovim zakonom: perihel- tačka orbite najbliže Suncu, i afelija- najudaljenija tačka orbite. Dakle, iz Keplerovog drugog zakona proizilazi da se planeta neravnomjerno kreće oko Sunca, imajući veću linearna brzina nego u afelu.

Svake godine početkom januara Zemlja se brže kreće pri prolasku kroz perihel, pa se i prividno kretanje Sunca duž ekliptike na istok dešava brže od proseka za godinu. Početkom jula, Zemlja se, prolazeći afel, kreće sporije, pa se stoga kretanje Sunca po ekliptici usporava. Zakon područja pokazuje da je sila koja upravlja orbitalnim kretanjem planeta usmjerena prema Suncu.

Dokaz drugog Keplerovog zakona

Po definiciji, ugaoni moment čestice tačke sa masom m a brzina se piše kao:

gdje je radijus vektor čestice i impuls čestice.

A-prioritet

Kao rezultat imamo

Hajde da razlikujemo obe strane jednačine s obzirom na vreme

zbog vektorski proizvod paralelni vektori je jednak nuli. primeti, to F uvek paralelno r, pošto je sila radijalna, i str uvek paralelno v a-priorat. Stoga možemo reći da je to konstanta.

Keplerov treći zakon (harmonični zakon)

Kvadrati perioda okretanja planeta oko Sunca povezani su kao kocke velikih poluosi orbita planeta.

Gdje T 1 i T 2 - periodi okretanja dvije planete oko Sunca, i a 1 i a 2 - dužine velikih poluosi njihovih orbita.

Njutn je ustanovio da gravitaciono privlačenje planete određene mase zavisi samo od njene udaljenosti, a ne od drugih svojstava kao što su sastav ili temperatura. Takođe je pokazao da Keplerov treći zakon nije sasvim tačan – u stvari, uključuje i masu planete: , gde M je masa Sunca, i m 1 i m 2 – planetarne mase.

Pošto je utvrđeno da su kretanje i masa povezani, ova kombinacija Keplerovog harmonijskog zakona i Newtonovog zakona gravitacije koristi se za određivanje mase planeta i satelita ako su poznate njihove orbite i orbitalni periodi.

Dokaz trećeg Keplerovog zakona

Keplerov drugi zakon kaže da radijus vektor rotirajućeg tijela izbacuje jednake površine za jednake vremenske periode. Ako sada uzmemo vrlo male periode vremena u trenutku kada se planeta nalazi u tačkama A I B(perihel i afel), tada možemo aproksimirati područje trokutovima čija visina je jednaka udaljenosti od planete do Sunca, a baza je jednaka proizvodu brzine i vremena planete.

Koristeći zakon održanja energije za ukupna energija planete u tačkama A I B, pišemo

Sada kada smo našli V B, možemo pronaći sektorsku brzinu. Pošto je konstantna, možemo odabrati bilo koju tačku elipse: na primjer, za tačku B dobijamo

Međutim, ukupna površina elipse je (koja je jednaka π ab, zbog ). Vrijeme za potpunu revoluciju je stoga jednako

Imajte na umu da ako masa m nije zanemarljivo u poređenju sa M, tada će se planeta okretati oko Sunca istom brzinom i istoj orbiti kao i materijalna tačka koja se okreće oko mase M + m(cm.

I. Kepler je cijeli život pokušavao da dokaže da je naš solarni sistem neka vrsta mistične umjetnosti. U početku je pokušao da dokaže da je struktura sistema slična pravilnim poliedrima iz starogrčke geometrije. U Keplerovo vrijeme bilo je poznato da postoji šest planeta. Vjerovalo se da su smješteni u kristalne sfere. Prema naučniku, ove sfere su bile locirane na takav način da se poliedri uklapaju tačno između susednih ispravan oblik. Između Jupitera i Saturna postavljena je kocka upisana spoljašnje okruženje, u koji je sfera upisana. Između Marsa i Jupitera postoji tetraedar itd. Poslije duge godine posmatranja nebeskih objekata, pojavili su se Keplerovi zakoni i on je opovrgnuo svoju teoriju poliedra.

Zakoni

Geocentrični ptolomejski sistem svijeta zamijenjen je sistemom heliocentričnog tipa koji je stvorio Kopernik. Još kasnije, Kepler je identifikovao oko Sunca.

Nakon mnogo godina posmatranja planeta, pojavila su se tri Keplerova zakona. Pogledajmo ih u članku.

Prvo

Prema prvom Keplerovom zakonu, sve planete u našem sistemu kreću se duž zatvorene krive koja se naziva elipsa. Naša svjetiljka se nalazi u jednom od fokusa elipse. Dva su od njih: to su dvije tačke unutar krive, zbir udaljenosti od kojih je do bilo koje tačke elipse konstantan. Nakon dugih opservacija, naučnik je uspio otkriti da se orbite svih planeta našeg sistema nalaze gotovo u istoj ravni. Neka nebeska tijela kreću se po eliptičnim orbitama blizu kruga. I samo se Pluton i Mars kreću po izduženijim orbitama. Na osnovu toga, prvi Keplerov zakon nazvan je zakon elipsa.

Drugi zakon

Proučavanje kretanja tijela omogućava naučniku da ustanovi da je ono veće u periodu kada je bliže Suncu, a manje kada je na maksimalnoj udaljenosti od Sunca (to su tačke perihela i afela).

Keplerov drugi zakon kaže sljedeće: svaka planeta se kreće u ravni koja prolazi kroz centar naše zvijezde. Istovremeno, vektor radijusa koji povezuje Sunce i planetu koja se proučava opisuje jednake površine.

Dakle, jasno je da se tijela neravnomjerno kreću oko žutog patuljka i da imaju perihel maksimalna brzina, a kod afela - minimalno. U praksi se to može vidjeti u kretanju Zemlje. Svake godine početkom januara naša planeta se kreće brže tokom svog prolaska kroz perihel. Zbog toga se kretanje Sunca duž ekliptike događa brže nego u drugim periodima godine. Početkom jula, Zemlja se kreće kroz afel, uzrokujući da se Sunce kreće sporije duž ekliptike.

Treći zakon

Prema trećem Keplerovom zakonu, uspostavlja se veza između perioda okretanja planete oko zvijezde i njene prosječne udaljenosti od nje. Naučnik je primenio ovaj zakon na sve planete našeg sistema.

Objašnjenje zakona

Keplerovi zakoni mogli su se objasniti tek nakon što je Newton otkrio zakon gravitacije. Prema njemu, fizički objekti učestvuju u gravitacionoj interakciji. Ima univerzalnu univerzalnost, kojoj su podložni svi objekti materijalnog tipa i fizičkih polja. Prema Newtonu, dva nepokretna tijela djeluju jedno na drugo sa silom proporcionalnom proizvodu njihove težine i obrnuto proporcionalnom kvadratu razmaka između njih.

Indignant Movement

Kretanje naših tijela Solarni sistem kontrolisan gravitacionom silom žutog patuljka. Kada bi tijela privlačila samo sila Sunca, tada bi se planete kretale oko njega tačno prema Keplerovim zakonima kretanja. Ovaj tip pomaci se nazivaju neporemećeni ili Keplerovi.

Zapravo, sve objekte u našem sistemu ne privlači samo naša zvijezda, već i jedni druge. Stoga se nijedno tijelo ne može kretati tačno po elipsi, hiperboli ili kružnici. Ako tijelo tokom kretanja odstupi od Keplerovih zakona, onda se to naziva perturbacija, a samo kretanje se naziva perturbirano. To je ono što se smatra stvarnim.

Orbite nebeska tela nisu fiksne elipse. Tokom privlačenja od strane drugih tijela, orbitalna elipsa se mijenja.

Doprinos I. Newtona

Isaac Newton je bio u stanju da izvede zakon univerzalne gravitacije iz Keplerovih zakona kretanja planeta. Da bi riješio kosmičko-mehaničke probleme, Newton je koristio univerzalnu gravitaciju.

Nakon Isaka, napredak u oblasti nebeske mehanike sastojao se od razvoja matematičke nauke, koji se koristi za rješavanje jednačina koje izražavaju Newtonove zakone. Ovaj naučnik je uspeo da ustanovi da je gravitacija planete određena njenom udaljenosti i masom, ali indikatori kao što su temperatura i sastav nemaju nikakav uticaj.

U njegovom naučni rad Njutn je pokazao da Keplerov treći zakon nije sasvim tačan. Pokazao je da je prilikom proračuna važno uzeti u obzir masu planete, jer su kretanje i težina planeta povezani. Ova harmonijska kombinacija pokazuje vezu između Keplerovih zakona i zakona gravitacije koje je identificirao Newton.

Astrodinamika

Primjena Newtonovih i Keplerovih zakona postala je osnova za nastanak astrodinamike. Ovo je grana nebeske mehanike koja proučava kretanje kosmička tela umjetno stvoreni, i to: sateliti, međuplanetarne stanice, razni brodovi.

Astrodinamika se bavi proračunima orbita svemirskih letjelica, a također određuje koje parametre lansirati, koju orbitu lansirati, koje manevre treba izvesti, te planiranjem gravitacionog efekta na brodove. I to nije sve praktični problemi, koji se stavljaju ispred astrodinamike. Svi dobijeni rezultati koriste se za izvođenje širokog spektra svemirskih misija.

Nebeska mehanika, koja proučava kretanje prirodnih kosmičkih tela pod uticajem gravitacije, usko je povezana sa astrodinamikom.

Orbite

Orbita se shvata kao putanja tačke u datom prostoru. U nebeskoj mehanici opšte je prihvaćeno da putanja nekog tela u gravitacionom polju drugog tela ima znatno veću masu. IN pravougaoni sistem koordinate, putanja može imati oblik konusnog presjeka, tj. biti predstavljen parabolom, elipsom, krugom, hiperbolom. U ovom slučaju, fokus će se poklopiti sa centrom sistema.

Dugo se vjerovalo da orbite trebaju biti kružne. Naučnici su dugo vremena pokušavali odabrati upravo kružnu opciju kretanja, ali nisu uspjeli. I samo je Kepler uspio objasniti da se planete ne kreću po kružnoj orbiti, već po izduženoj. To je omogućilo otkrivanje tri zakona koji bi mogli opisati kretanje nebeskih tijela u orbiti. Kepler je otkrio sljedeće elemente orbite: oblik orbite, njen nagib, položaj ravnine orbite tijela u prostoru, veličinu orbite i vremensku referencu. Svi ovi elementi određuju orbitu, bez obzira na njen oblik. U proračunima, glavna koordinatna ravan može biti ravan ekliptike, galaksije, planetarnog ekvatora, itd.

Brojna istraživanja pokazuju da prema geometrijski oblik orbite mogu biti eliptične ili kružne. Postoji podjela na zatvorene i otvorene. Prema kutu nagiba orbite prema ravni Zemljinog ekvatora, orbite mogu biti polarne, nagnute i ekvatorijalne.

Prema periodu okretanja oko tijela, orbite mogu biti sinhrone ili sunce-sinhrone, sinhrone-dnevne, kvazi-sinhrone.

Kako je Kepler rekao, sva tijela imaju određenu brzinu kretanja, tj. orbitalna brzina. Može biti konstantan tokom cijele revolucije oko tijela ili promjene.

> Keplerov treći zakon

Definicija

Cilj učenja

Uslovi

Glavne tačke

Definicija

Kvadrat orbitalnog perioda planete direktno je proporcionalan kubu njegove poluprimarne orbitalne ose.

Cilj učenja

Primijenite Keplerov treći zakon da okarakterišete kretanje planeta.

• Astronomska jedinica – prosječna udaljenost Zemlja-Sunce (149.600.000 km).
• Siderična godina je orbitalni period Zemlje. Za to vrijeme Sunce se vraća u isti položaj u odnosu na zvijezde nebeske sfere. Duži je od tropskog za 20,4 minuta zbog precesije ekvinocija.

Glavne tačke

Suština Keplerov treći zakon kretanje planeta u orbiti jednostavnim riječima– formula i formulacija: primjena u astronomiji, orbitalni obrazac, uloga Newtonovih zakona.

Kvadrat orbitalnog perioda nalazi se u direktnoj proporciji sa kubom orbitalne poluose. Keplerov treći zakon objavljen je 1619. Prikazuje odnos između udaljenosti planeta do Sunca i njihovih orbitalnih perioda. U formuli se izražava kao P 2 œa 3, gdje je P orbitalni period planete, a velika poluosa.

Kvadrat orbitalnog perioda nalazi se u direktnoj proporciji sa kubom orbitalne poluose.

Konstanta proporcionalnosti

Kepler je ovaj zakon stvorio tokom svog pokušaja da shvati "muziku sfera", zbog čega je ranije nazvan harmoničkim zakonom.

Izvođenje Keplerovog trećeg zakona

Možete ga dobiti iz Newtonovih zakona kretanja i univerzalnog zakona gravitacije. Počnimo s kružnom orbitom male mase oko velike. Gravitacija odražava centripetalnu silu na m. Počnimo s drugim Newtonovim zakonom:

F neto = ma c = m (v²/r)

Očitavanje sile na masu daje gravitaciju, pa je zamjenjujemo za F mrežu:

Masa m je smanjena:

Na ovom mjestu sve mase m padaju istim ubrzanjem. Vidimo da se na određenom radijusu orbite svih masa kreću istom brzinom. Da biste izveli Keplerov treći zakon, potrebno je da dobijete period P:

Zamijenite prethodnim:

Rješenje za P 2:

Koristeći indekse za dva različita satelita, možete dobiti:

Ovo je Keplerov treći zakon. Ne zaboravite da radi samo za poređenje satelita istog matičnog tijela, pošto je M poništeno.

Sada da vidimo šta se dešava sa P 2 = 4π 2 GM/r 3 za odnos r³/P². Može se koristiti za izračunavanje mase matičnog tijela:

Ako su r i P poznati, tada se može naći M glavnog tijela.

Krajem 16. vijeka. Danski astronom I. Kepler, proučavajući kretanje planeta, otkrio je tri zakona njihovog kretanja. Na osnovu ovih zakona, I. Newton je izveo formulu za zakon univerzalne gravitacije. Kasnije je I. Newton, koristeći zakone mehanike, riješio problem dvaju tijela – izveo je zakone po kojima se jedno tijelo kreće u gravitacionom polju drugog tijela. Dobio je tri generalizovana Keplerova zakona.

Keplerov prvi zakon

Pod uticajem gravitacije, jedno nebesko telo se kreće u gravitacionom polju drugog nebeskog tela duž jednog od konusnih preseka - kruga, elipse, parabole ili hiperbole.

Planete se kreću oko Sunca po eliptičnoj orbiti (slika 15.6). Tačka u orbiti koja je najbliža Suncu se zove perihel, najdalje - afelija. Linija koja povezuje bilo koju tačku elipse sa fokusom se zove radijus vektor

Omjer udaljenosti između žarišta i glavne ose (prema najvećem promjeru) se naziva ekscentricitet e. Što je ekscentricitet veći, to je elipsa izduženija. Velika poluosa elipse a je prosječna udaljenost planete od Sunca.

Komete i asteroidi se također kreću po eliptičnim orbitama. Za krug e = 0, za elipsu 0< е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.

Kretanje prirodnih i vještačkih satelita oko planeta, kretanje jedne zvijezde oko druge u binarnom sistemu također se pridržava ovog prvog generalizovanog Keplerovog zakona.

Keplerov drugi zakon

Svaka planeta se kreće na takav način da radijus vektor planete opisuje jednaka područja u jednakim vremenskim periodima.

Planeta putuje od tačke A do A" i od B do C" u isto vreme.

Drugim riječima, planeta se najbrže kreće u perihelu, a najsporije kada se nalazi na najvećoj udaljenosti (u afelu). Dakle, Keplerov drugi zakon određuje brzinu planete. Što je planeta bliže Suncu, to je veća. Tako je brzina Halejeve komete u perihelu 55 km/s, a u afelu 0,9 km/s.

Keplerov treći zakon

Kocka velike poluose orbite tijela, podijeljena s kvadratom njegovog perioda okretanja i zbirom masa tijela, je konstantna vrijednost.

Ako je T period okretanja jednog tijela oko drugog tijela na prosječnoj udaljenosti A onda je Keplerov treći generalizovani zakon napisan kao

a 3 /[T 2 (M 1 + M 2)] = G/4π 2

gdje su M 1 i M 2 mase privlačenja dva tijela, a G je gravitacijska konstanta. Za Sunčev sistem, masa Sunca je masa bilo koje planete, a zatim

Desni deo Jednačina je konstanta za sva tijela Sunčevog sistema, što glasi Keplerov treći zakon, koji je naučnik dobio iz opservacija.

Keplerov treći generalizirani zakon nam omogućava da odredimo mase planeta iz kretanja njihovih satelita, a mase dvostrukih zvijezda iz elemenata njihovih orbita.

Kretanje planeta i drugih nebeskih tijela oko Sunca pod utjecajem gravitacije odvija se prema tri Keplerova zakona. Ovi zakoni omogućavaju izračunavanje položaja planeta i određivanje njihove mase iz kretanja satelita oko njih.

Astronomija. 11. razred - Bilješke o udžbeniku "Fizika-11" (Myakishev, Bukhovtsev, Charugin) - Fizika u učionici

U svijetu atoma i elementarne čestice gravitacionih sila su zanemarive u odnosu na druge vrste interakcija sila između čestica. Veoma je teško posmatrati gravitacionu interakciju između različitih tela oko nas, čak i ako su njihove mase hiljade kilograma. Međutim, gravitacija je ta koja određuje ponašanje “velikih” objekata kao što su planete, komete i zvijezde, a gravitacija je ta koja nas sve drži na Zemlji.

Gravitacija kontroliše kretanje planeta u Sunčevom sistemu. Bez toga bi se planete koje čine Sunčev sistem raspršile u različitim smjerovima i izgubile u ogromnim prostranstvima svjetskog svemira.

Obrasci kretanja planeta već dugo vremena privlače pažnju ljudi. Proučavanje kretanja planeta i strukture Sunčevog sistema dovelo je do stvaranja teorije gravitacije - otkrića zakona univerzalne gravitacije.

Sa tačke gledišta zemaljskog posmatrača, planete se kreću po veoma složenim putanjama (slika 1.24.1). Prvi pokušaj stvaranja modela svemira napravio je Ptolomej (~ 140). U centar svemira Ptolomej je postavio Zemlju, oko koje su se planete i zvijezde kretale u velikim i malim krugovima, kao u kolu.

Geocentrični sistem Ptolomej je trajao više od 14 vekova i zamenjen je tek sredinom 16. veka heliocentrična kopernikanski sistem. U Kopernikanskom sistemu, putanje planeta su se pokazale jednostavnijim. Njemački astronom Johanes Kepler je početkom 17. vijeka, na osnovu Kopernikanskog sistema, formulisao tri empirijska zakona kretanja planeta Sunčevog sistema. Kepler je koristio rezultate posmatranja kretanja planeta danskog astronoma Tycha Brahea.

Keplerov prvi zakon (1609):

Sve planete se kreću po eliptičnim orbitama, sa Suncem u jednom fokusu.

Na sl. Slika 1.24.2 prikazuje eliptičnu orbitu planete čija je masa mnogo manja od mase Sunca. Sunce je u jednom od žarišta elipse. Tačka najbliža Suncu P putanja se zove perihel, tačka A, najdalje od Sunca - afelija. Udaljenost između afela i perihela je glavna os elipse.

Gotovo sve planete Sunčevog sistema (osim Plutona) kreću se po orbitama koje su bliske kružnim.

Keplerov drugi zakon (1609):

Radijus vektor planete opisuje jednaka područja u jednakim vremenskim periodima.

Rice. Slika 1.24.3 ilustruje Keplerov 2. zakon.

Keplerov drugi zakon je ekvivalentan zakonu održanja ugaonog momenta. Na sl. 1.24.3 prikazuje vektor zamaha tijela i njegovih komponenti i površinu opisanu radijus vektorom za kratko vrijeme Δ t, približno jednako površini trokuta sa bazom rΔθ i visina r:

Ovdje je ugaona brzina.

Momentum L u apsolutnoj vrijednosti jednak je proizvodu modula vektora i:

Iz ovih odnosa proizilazi:

Dakle, ako je prema Keplerovom drugom zakonu, onda ugaoni moment L ostaje nepromijenjen prilikom kretanja.

Konkretno, budući da su brzine planete u perihelu i afelu usmjerene okomito na vektore radijusa i iz zakona održanja ugaonog momenta slijedi:

Keplerov treći zakon (1619):

Kvadrati orbitalnih perioda planeta povezani su kao kocke velikih poluosi njihovih orbita:

Keplerov treći zakon važi za sve planete u Sunčevom sistemu sa tačnošću većom od 1%.

Na sl. 1.24.4 prikazuje dvije orbite, od kojih je jedna kružna sa polumjerom R, a drugi je eliptičan sa velikom poluosom a. Treći zakon kaže da ako R = a, onda su periodi okretanja tijela u ovim orbitama isti.

Uprkos činjenici da su se pojavili Keplerovi zakoni najvažnija faza u razumijevanju kretanja planeta, oni su i dalje ostali samo empirijska pravila izvedena iz astronomskih posmatranja. Keplerovim zakonima bilo je potrebno teorijsko opravdanje. Odlučan korak u tom pravcu napravio je Isak Njutn, koji je otkrio 1682 zakon univerzalne gravitacije:

Gdje M I m- mase Sunca i planete, R- udaljenost između njih, G= 6,67·10 -11 N·m 2 /kg 2 - gravitaciona konstanta. Njutn je bio prvi koji je izrazio ideju da gravitacione sile određuju ne samo kretanje planeta Sunčevog sistema; djeluju između bilo kojeg tijela u Univerzumu. Konkretno, već je rečeno da je sila gravitacije koja djeluje na tijela blizu površine Zemlje gravitacijske prirode.

Za kružne orbite, Keplerov prvi i drugi zakon su automatski zadovoljeni, a treći zakon kaže da T 2 ~ R 3, gdje je T period cirkulacije, R- radijus orbite. Iz ovoga možemo dobiti ovisnost gravitacijske sile o udaljenosti. Kada se planeta kreće kružnom putanjom, na nju djeluje sila koja nastaje zbog gravitaciona interakcija planete i sunce:

Ako T 2 ~ R 3 onda

Svojstvo konzervativnosti gravitacionih sila nam omogućava da uvedemo koncept potencijalna energija . Za sile univerzalne gravitacije zgodno je brojati potencijalnu energiju iz beskonačne tačke.

Potencijalna energija tijela mase m nalazi na udaljenosti r iz nepokretnog tijela mase M, jednak je radu gravitacionih sila pri kretanju mase m od date tačke do beskonačnosti.

Matematički postupak za izračunavanje potencijalne energije tijela u gravitacionom polju sastoji se od sumiranja rada na malim pomacima (slika 1.24.5).

Zakon univerzalne gravitacije ne primjenjuje se samo na isklesane mase, već i na sferno simetrična tijela. Rad gravitacione sile na malom pomaku je:

Ukupan rad obavljen pri kretanju tjelesne mase m od početne pozicije do beskonačnosti nalazi se zbrajanjem rada Δ Ai na male pokrete:

U granici na Δ ri→ 0 ovaj zbir ulazi u integral. Kao rezultat proračuna za potencijalnu energiju, dobijamo izraz

Znak minus označava da su gravitacijske sile sile privlačenja.

Ako se tijelo nalazi u gravitacionom polju na nekoj udaljenosti r od težišta i ima određenu brzinu v, njegova ukupna mehanička energija je jednaka

U skladu sa zakonom održanja energije, ukupna energija tijela u gravitacionom polju ostaje nepromijenjena.

Ukupna energija može biti pozitivna ili negativna, ili jednaka nuli. Predznak ukupne energije određuje prirodu kretanja nebeskog tijela (slika 1.24.6).

At E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r max. U ovom slučaju, nebesko tijelo se kreće eliptična orbita(planete Sunčevog sistema, komete).

At E = E 2 = 0 tijelo se može udaljiti u beskonačnost. Brzina tijela u beskonačnosti će biti nula. Tijelo se kreće parabolična putanja.

At E = E 3 > 0 dešava se kretanje duž hiperbolička putanja. Tijelo se udaljava u beskonačnost, imajući rezervu kinetičke energije.

Keplerovi zakoni se ne odnose samo na kretanje planeta i drugih nebeskih tijela u Sunčevom sistemu, već i na kretanje umjetnih Zemljinih satelita i svemirskih letjelica. U ovom slučaju, centar gravitacije je Zemlja.

Prva kosmička brzina je brzina kojom se satelit kreće po kružnoj orbiti u blizini Zemljine površine.

Ova brzina se mora postići da bi se savladala gravitacija Zemlje i uklonilo tijelo (npr. satelit) u orbituZemlja.

Druga brzina bijega naziva se minimalna brzina koja se mora dati svemirskoj letjelici na površini Zemlje kako bi ona, nakon što je savladala Zemljina gravitacija, pretvoren u vještački satelit Sunca (vještačka planeta). U tom slučaju, brod će se udaljiti od Zemlje po paraboličnoj putanji.

Rice. 1.24.7 ilustruje brzine bijega. Ako je brzina svemirski brod jednak υ 1 = 7,9·10 3 m/s i usmjeren paralelno sa površinom Zemlje, tada će se brod kretati kružnom orbiti na maloj visini iznad Zemlje. Pri početnim brzinama većim od υ 1, ali manjim od υ 2 = 11,2·10 3 m/s, orbita broda će biti eliptična. Pri početnoj brzini od υ 2, brod će se kretati po paraboli, a pri još većoj početnoj brzini po hiperboli.