Εξισώσεις με εφαπτομένη. Βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα, ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικές και τετραγωνικές ανισώσεις, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα προβλήματα είναι η εξής: πρέπει να καθορίσετε τον τύπο του προβλήματος που επιλύετε, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.

Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.

Η κατάσταση είναι διαφορετική με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τεκμηριωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.

Μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του με βάση την εμφάνιση μιας εξίσωσης. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.

Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».
2. Φέρτε την εξίσωση σε «πανομοιότυπες συναρτήσεις».
3. παραμετροποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.

Ας σκεφτούμε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς γνωστές συνιστώσες.

Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Βήμα 3.Βρείτε την άγνωστη μεταβλητή.

Παράδειγμα.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Λύση.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Αντικατάσταση μεταβλητής

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Ανάγοντας την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).

Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.

Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.

Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.

Παράδειγμα.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Λύση.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού:

αμαρτία 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.

Παράδειγμα.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Λύση.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ομογενείς εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Μειώστε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα

α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)

ή στη θέα

β) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

α) cos x ≠ 0;

β) cos 2 x ≠ 0;

και πάρτε την εξίσωση για το tan x:

α) a tan x + b = 0;

β) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Λύση.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Έστω tg x = t, τότε

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ή t = -4, που σημαίνει

tg x = 1 ή tg x = -4.

Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλους τους πιθανούς τριγωνομετρικούς τύπους, ανάγετε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που επιλύεται με τις μεθόδους I, II, III, IV.

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.

Λύση.

1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;

Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.

Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ως αποτέλεσμα, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Η ικανότητα και η ικανότητα επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.

Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με τη λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων.Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων ενσωματώνει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται με τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις κατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία εκμάθησης των μαθηματικών και της προσωπικής ανάπτυξης γενικότερα.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις λύνονται, κατά κανόνα, χρησιμοποιώντας τύπους. Να σας υπενθυμίσω ότι οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι:

sinx = α

cosx = α

tgx = α

ctgx = α

x είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί,
α είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Και εδώ είναι οι τύποι με τους οποίους μπορείτε να γράψετε αμέσως τις λύσεις σε αυτές τις απλούστερες εξισώσεις.

Για ημιτονοειδή:

Για το συνημίτονο:

x = ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z

Για εφαπτομένη:

x = αρκτάνη a + π n, n ∈ Z

Για συμεφαπτομένη:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το θεωρητικό μέρος της επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επιπλέον, τα πάντα!) Τίποτα απολύτως. Ωστόσο, ο αριθμός των σφαλμάτων σε αυτό το θέμα είναι απλώς εκτός γραφημάτων. Ειδικά αν το παράδειγμα αποκλίνει ελαφρώς από το πρότυπο. Γιατί;

Ναι, επειδή πολλοί άνθρωποι γράφουν αυτά τα γράμματα, χωρίς να καταλαβαίνω καθόλου τη σημασία τους!Γράφει με προσοχή, μήπως συμβεί κάτι...) Αυτό πρέπει να διευθετηθεί. Τριγωνομετρία για τους ανθρώπους ή άνθρωποι για τριγωνομετρία τελικά!;)

Ας το καταλάβουμε;

Μια γωνία θα είναι ίση με τόξο α, δεύτερος: -arccos α.

Και πάντα έτσι θα βγαίνει.Για κάθε ΕΝΑ.

Αν δεν με πιστεύετε, τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας.) Άλλαξα τον αριθμό ΕΝΑ σε κάτι αρνητικό. Τέλος πάντων, έχουμε μια γωνία τόξο α, δεύτερος: -arccos α.

Επομένως, η απάντηση μπορεί πάντα να γραφτεί ως δύο σειρές ριζών:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μία:

x= ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z

Και αυτό είναι όλο. Λάβαμε έναν γενικό τύπο για την επίλυση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης με συνημίτονο.

Αν καταλαβαίνετε ότι αυτό δεν είναι κάποιου είδους υπερεπιστημονική σοφία, αλλά απλώς μια συντομευμένη έκδοση δύο σειρών απαντήσεων,Θα μπορείτε επίσης να χειρίζεστε εργασίες "C". Με ανισώσεις, με επιλογή ριζών από ένα δεδομένο διάστημα... Εκεί η απάντηση με συν/πλην δεν λειτουργεί. Αλλά αν αντιμετωπίσετε την απάντηση με επιχειρηματικό τρόπο και τη χωρίσετε σε δύο ξεχωριστές απαντήσεις, όλα θα επιλυθούν.) Στην πραγματικότητα, γι' αυτό το εξετάζουμε. Τι, πώς και πού.

Στην απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση

sinx = α

παίρνουμε επίσης δύο σειρές ριζών. Πάντα. Και αυτές οι δύο σειρές μπορούν επίσης να ηχογραφηθούν σε μια γραμμή. Μόνο αυτή η γραμμή θα είναι πιο δύσκολη:

x = (-1) n τόξο a + π n, n ∈ Z

Όμως η ουσία παραμένει η ίδια. Οι μαθηματικοί απλώς σχεδίασαν έναν τύπο για να κάνουν μία αντί για δύο καταχωρήσεις για σειρές ριζών. Αυτό είναι όλο!

Ας ελέγξουμε τους μαθηματικούς; Και ποτέ δεν ξέρεις...)

Στο προηγούμενο μάθημα, συζητήθηκε λεπτομερώς η λύση (χωρίς τύπους) μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης με ημίτονο:

Η απάντηση είχε ως αποτέλεσμα δύο σειρές ριζών:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Αν λύσουμε την ίδια εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε την απάντηση:

x = (-1) n τόξο 0,5 + π n, n ∈ Z

Στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια ημιτελής απάντηση.) Ο μαθητής πρέπει να το γνωρίζει αυτό τόξο 0,5 = π /6.Η πλήρης απάντηση θα ήταν:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Αυτό εγείρει ένα ενδιαφέρον ερώτημα. Απάντηση μέσω x 1; x 2 (αυτή είναι η σωστή απάντηση!) και μέσω της μοναξιάς Χ (και αυτή είναι η σωστή απάντηση!) - είναι το ίδιο πράγμα ή όχι; Θα μάθουμε τώρα.)

Αντικαθιστούμε στην απάντηση με x 1 αξίες n =0; 1; 2; κ.λπ., μετράμε, παίρνουμε μια σειρά από ρίζες:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.

Με την ίδια αντικατάσταση σε απάντηση με x 2 , παίρνουμε:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 και ούτω καθεξής.

Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις τιμές n (0; 1; 2; 3; 4...) στον γενικό τύπο για το single Χ . Δηλαδή ανεβάζουμε μείον ένα στη μηδενική ισχύ, μετά στην πρώτη, δεύτερη κ.λπ. Λοιπόν, φυσικά, αντικαθιστούμε το 0 στον δεύτερο όρο. 1; 2 3; 4, κλπ. Και μετράμε. Παίρνουμε τη σειρά:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.

Αυτό είναι το μόνο που μπορείτε να δείτε.) Ο γενικός τύπος μας δίνει ακριβώς τα ίδια αποτελέσματαόπως και οι δύο απαντήσεις χωριστά. Όλα ταυτόχρονα, με τη σειρά. Οι μαθηματικοί δεν ξεγελάστηκαν.)

Μπορούν επίσης να ελεγχθούν τύποι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Αλλά δεν θα το κάνουμε.) Είναι ήδη απλά.

Έγραψα όλη αυτή την αντικατάσταση και επαλήθευση συγκεκριμένα. Εδώ είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ένα απλό πράγμα: υπάρχουν τύποι για την επίλυση στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων, μόνο μια σύντομη περίληψη των απαντήσεων.Για αυτή τη συντομία, έπρεπε να εισαγάγουμε συν/πλην στο διάλυμα συνημιτόνου και (-1) n στο ημιτονικό διάλυμα.

Αυτά τα ένθετα δεν παρεμβαίνουν με κανέναν τρόπο σε εργασίες όπου χρειάζεται απλώς να γράψετε την απάντηση σε μια στοιχειώδη εξίσωση. Αλλά αν πρέπει να λύσετε μια ανισότητα ή τότε πρέπει να κάνετε κάτι με την απάντηση: επιλέξτε ρίζες σε ένα διάστημα, ελέγξτε για ODZ κ.λπ., αυτές οι εισαγωγές μπορούν εύκολα να αναστατώσουν ένα άτομο.

Αρα τι πρέπει να κάνω? Ναι, είτε γράψτε την απάντηση σε δύο σειρές, είτε λύστε την εξίσωση/ανίσωση χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε αυτές οι παρεμβολές εξαφανίζονται και η ζωή γίνεται ευκολότερη.)

Μπορούμε να συνοψίσουμε.

Για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, υπάρχουν έτοιμοι τύποι απαντήσεων. Τέσσερα κομμάτια. Είναι καλοί για να γράφουν αμέσως τη λύση μιας εξίσωσης. Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε τις εξισώσεις:

sinx = 0,3

Εύκολα: x = (-1) n τόξο 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Κανένα πρόβλημα: x = ± τόξο 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Εύκολα: x = αρκτάνη 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Ένα έμεινε: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Αν λάμπεις από γνώση, γράψε αμέσως την απάντηση:

x= ± τόξο 1,8 + 2π n, n ∈ Z

τότε ήδη λάμπεις, αυτό... εκείνο... από μια λακκούβα.) Σωστή απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις. Δεν καταλαβαίνετε γιατί; Διαβάστε τι είναι το συνημίτονο τόξου. Επιπλέον, εάν στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης υπάρχουν πινακοποιημένες τιμές ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης, συνεφαπτομένης, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 και ούτω καθεξής. - η απάντηση μέσα από τις καμάρες θα είναι ημιτελής. Τα τόξα πρέπει να μετατραπούν σε ακτίνια.

Και αν συναντήσετε ανισότητα, κάντε like

τότε η απάντηση είναι:

x πn, n ∈ Z

υπάρχουν σπάνιες ανοησίες, ναι...) Εδώ πρέπει να λύσετε χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τι θα κάνουμε στο αντίστοιχο θέμα.

Για όσους διαβάζουν ηρωικά αυτές τις γραμμές. Δεν μπορώ παρά να εκτιμήσω τις τιτάνιες προσπάθειές σας. Μπόνους για εσάς.)

Δώρο:

Όταν γράφετε τύπους σε μια ανησυχητική κατάσταση μάχης, ακόμη και οι έμπειροι σπασίκλες συχνά μπερδεύονται σχετικά με το πού πn, Και που 2π n. Εδώ είναι ένα απλό κόλπο για εσάς. Σε Ολοιφόρμουλες αξίας πn. Εκτός από τη μοναδική φόρμουλα με συνημίτονο τόξου. Στέκεται εκεί 2πn. Δύοοξύ άκρο της σφύρας. Λέξη-κλειδί - δύο.Στην ίδια φόρμουλα υπάρχουν δύουπογράψει στην αρχή. Συν και πλην. Εδώ και εκεί - δύο.

Αν έγραψες λοιπόν δύουπογράψτε πριν από το συνημίτονο τόξου, είναι πιο εύκολο να θυμάστε τι θα συμβεί στο τέλος δύοοξύ άκρο της σφύρας. Και συμβαίνει και το αντίστροφο. Το άτομο θα χάσει το σημάδι ± , φτάνει στο τέλος, γράφει σωστά δύο Pien, και θα συνέλθει. Υπάρχει κάτι μπροστά δύοσημάδι! Το άτομο θα επιστρέψει στην αρχή και θα διορθώσει το λάθος! Σαν αυτό.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Απαιτεί γνώση των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας - το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου, η έκφραση της εφαπτομένης μέσω του ημιτόνου και του συνημιτόνου και άλλα. Για όσους τα έχουν ξεχάσει ή δεν τα γνωρίζουν, συνιστούμε να διαβάσετε το άρθρο "".
Έτσι, γνωρίζουμε τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, ήρθε η ώρα να τους χρησιμοποιήσουμε στην πράξη. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνμε τη σωστή προσέγγιση, είναι μια αρκετά συναρπαστική δραστηριότητα, όπως, για παράδειγμα, η επίλυση ενός κύβου του Ρούμπικ.

Με βάση το ίδιο το όνομα, είναι σαφές ότι μια τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης.
Υπάρχουν οι λεγόμενες απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις. Δείτε πώς μοιάζουν: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Ας σκεφτούμε πώς να λύσετε τέτοιες τριγωνομετρικές εξισώσεις, για λόγους σαφήνειας θα χρησιμοποιήσουμε τον ήδη γνωστό τριγωνομετρικό κύκλο.

sinx = α

cos x = α

ταν x = α

κούνια x = α

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση λύνεται σε δύο στάδια: ανάγουμε την εξίσωση στην απλούστερη μορφή της και στη συνέχεια τη λύνουμε ως απλή τριγωνομετρική εξίσωση.
Υπάρχουν 7 βασικές μέθοδοι με τις οποίες λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις.

1. Μεταβλητή υποκατάσταση και μέθοδος αντικατάστασης

Λύστε την εξίσωση 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Χρησιμοποιώντας τους τύπους μείωσης παίρνουμε:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Αντικαταστήστε το cos(x + /6) με το y για να απλοποιήσετε και να πάρετε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση:

2 ετών 2 – 3 ετών + 1 + 0

Οι ρίζες των οποίων είναι y 1 = 1, y 2 = 1/2

Τώρα ας πάμε με την αντίστροφη σειρά

Αντικαθιστούμε τις τιμές του y που βρέθηκαν και παίρνουμε δύο επιλογές απάντησης:

2. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης

Πώς να λύσετε την εξίσωση sin x + cos x = 1;

Ας μετακινήσουμε τα πάντα προς τα αριστερά, ώστε το 0 να παραμείνει στα δεξιά:

sin x + cos x – 1 = 0

Ας χρησιμοποιήσουμε τις ταυτότητες που συζητήθηκαν παραπάνω για να απλοποιήσουμε την εξίσωση:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Ας παραγοντοποιήσουμε:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Παίρνουμε δύο εξισώσεις

3. Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Μια εξίσωση είναι ομοιογενής ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο αν όλοι οι όροι της είναι σχετικοί με το ημίτονο και το συνημίτονο της ίδιας ισχύος της ίδιας γωνίας. Για να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση, προχωρήστε ως εξής:

α) μεταφέρει όλα τα μέλη του στην αριστερή πλευρά.

β) αφαιρέστε όλους τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων.

γ) εξισώστε όλους τους παράγοντες και τις αγκύλες με 0.

δ) λαμβάνεται μια ομοιογενής εξίσωση χαμηλότερου βαθμού σε αγκύλες, η οποία με τη σειρά της χωρίζεται σε ημίτονο ή συνημίτονο υψηλότερου βαθμού.

ε) να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει για το tg.

Λύστε την εξίσωση 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο sin 2 x + cos 2 x = 1 και ας απαλλαγούμε από τα ανοιχτά δύο στα δεξιά:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Διαιρέστε με το cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Αντικαταστήστε το tan x με y και λάβετε μια τετραγωνική εξίσωση:

y 2 + 4y +3 = 0, των οποίων οι ρίζες είναι y 1 =1, y 2 = 3

Από εδώ βρίσκουμε δύο λύσεις στην αρχική εξίσωση:

x 2 = αρκτάν 3 + k

4. Επίλυση εξισώσεων μέσω της μετάβασης σε μισή γωνία

Λύστε την εξίσωση 3sin x – 5cos x = 7

Ας προχωρήσουμε στο x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Ας μετακινήσουμε τα πάντα προς τα αριστερά:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Διαιρέστε με συν(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Για εξέταση, ας πάρουμε μια εξίσωση της μορφής: a sin x + b cos x = c,

όπου a, b, c είναι κάποιοι αυθαίρετοι συντελεστές και το x είναι ένας άγνωστος.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με:



Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης, σύμφωνα με τριγωνομετρικούς τύπους, έχουν τις ιδιότητες sin και cos, δηλαδή: ο συντελεστής τους δεν είναι μεγαλύτερος από 1 και το άθροισμα των τετραγώνων = 1. Ας τους συμβολίσουμε αντίστοιχα ως cos και sin, όπου - αυτό είναι η λεγόμενη βοηθητική γωνία. Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή:

cos * sin x + sin * cos x = C

ή sin(x + ) = C

Η λύση σε αυτή την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση είναι

x = (-1) k * arcsin C - + k, όπου



Πρέπει να σημειωθεί ότι οι συμβολισμοί cos και sin είναι εναλλάξιμοι.

Λύστε την εξίσωση sin 3x – cos 3x = 1

Οι συντελεστές σε αυτή την εξίσωση είναι:

a = , b = -1, οπότε διαιρέστε και τις δύο πλευρές με = 2

Μπορείτε να παραγγείλετε μια αναλυτική λύση στο πρόβλημά σας!!!

Μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης («sin x, cos x, tan x» ή «ctg x») ονομάζεται τριγωνομετρική εξίσωση και είναι οι τύποι τους που θα εξετάσουμε περαιτέρω.

Οι απλούστερες εξισώσεις είναι «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», όπου «x» είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί, «a» είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Ας γράψουμε τους τύπους ρίζας για καθένα από αυτά.

1. Εξίσωση `sin x=a`.

Για το `|a|>1` δεν έχει λύσεις.

Όταν `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Εξίσωση `cos x=a`

Για `|a|>1` - όπως στην περίπτωση του ημιτονοειδούς, δεν έχει λύσεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών.

Όταν `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Ειδικές περιπτώσεις για ημίτονο και συνημίτονο σε γραφήματα.

3. Εξίσωση `tg x=a`

Έχει άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Εξίσωση `ctg x=a`

Έχει επίσης έναν άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Τύποι για τις ρίζες των τριγωνομετρικών εξισώσεων στον πίνακα

Για ημιτονοειδή:
Για το συνημίτονο:
Για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:
Τύποι επίλυσης εξισώσεων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Η επίλυση οποιασδήποτε τριγωνομετρικής εξίσωσης αποτελείται από δύο στάδια:

• με τη βοήθεια της μετατροπής του στο απλούστερο.
• λύστε την απλούστερη εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τους τύπους ρίζας και τους πίνακες που γράφτηκαν παραπάνω.

Ας δούμε τις κύριες μεθόδους λύσης χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Αλγεβρική μέθοδος.

Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει την αντικατάσταση μιας μεταβλητής και την αντικατάστασή της σε μια ισότητα.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

κάντε μια αντικατάσταση: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, μετά `2y^2-3y+1=0`,

βρίσκουμε τις ρίζες: `y_1=1, y_2=1/2`, από τις οποίες ακολουθούν δύο περιπτώσεις:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Παραγοντοποίηση.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `sin x+cos x=1`.

Λύση. Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους της ισότητας προς τα αριστερά: `sin x+cos x-1=0`. Χρησιμοποιώντας , μετασχηματίζουμε και παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Αρχικά, πρέπει να μειώσετε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση σε μία από τις δύο μορφές:

`a sin x+b cos x=0` (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού) ή `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Στη συνέχεια, διαιρέστε και τα δύο μέρη με «cos x \ne 0» - για την πρώτη περίπτωση, και με «cos^2 x \ne 0» - για τη δεύτερη. Λαμβάνουμε εξισώσεις για «tg x»: «a tg x+b=0» και «a tg^2 x + b tg x +c =0», οι οποίες πρέπει να λυθούν χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Λύση. Ας γράψουμε τη δεξιά πλευρά ως `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Αυτή είναι μια ομοιογενής τριγωνομετρική εξίσωση του δεύτερου βαθμού, διαιρούμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της με το 'cos^2 x \ne 0', παίρνουμε:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Ας εισάγουμε την αντικατάσταση `tg x=t`, με αποτέλεσμα `t^2 + t - 2=0`. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι «t_1=-2» και «t_2=1». Επειτα:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Μετακίνηση στη μισή γωνία

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Λύση. Ας εφαρμόσουμε τους τύπους διπλής γωνίας, με αποτέλεσμα: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 συν^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Εφαρμόζοντας την αλγεβρική μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, λαμβάνουμε:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Στην τριγωνομετρική εξίσωση «a sin x + b cos x =c», όπου a,b,c είναι συντελεστές και x είναι μια μεταβλητή, διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το «sqrt (a^2+b^2)»:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))».

Οι συντελεστές στην αριστερή πλευρά έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δηλαδή το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με 1 και οι μονάδες τους δεν είναι μεγαλύτερες από 1. Ας τους συμβολίσουμε ως εξής: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, τότε:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο ακόλουθο παράδειγμα:

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `3 sin x+4 cos x=2`.

Λύση. Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το `sqrt (3^2+4^2)`, παίρνουμε:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))».

`3/5 αμαρτία x+4/5 cos x=2/5`.

Ας συμβολίσουμε `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Εφόσον `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, τότε λαμβάνουμε το `\varphi=arcsin 4/5` ως βοηθητική γωνία. Στη συνέχεια γράφουμε την ισότητά μας με τη μορφή:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών για το ημίτονο, γράφουμε την ισότητα μας με την ακόλουθη μορφή:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Κλασματικές ορθολογικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Πρόκειται για ισότητες με κλάσματα των οποίων οι αριθμητές και οι παρονομαστές περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Λύση. Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε τη δεξιά πλευρά της ισότητας με το «(1+cos x)». Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν, παίρνουμε «1+cos x \ne 0», «cos x \ne -1», «x \ne \pi+2\pi n, n \in Z».

Ας εξισώσουμε τον αριθμητή του κλάσματος με μηδέν: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Στη συνέχεια `sin x=0` ή `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Δεδομένου ότι ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, οι λύσεις είναι `x=2\pi n, n \in Z` και `x=\pi /2+2\pi n` , `n \σε Z`.

Απάντηση. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Η τριγωνομετρία, και ειδικότερα οι τριγωνομετρικές εξισώσεις, χρησιμοποιούνται σχεδόν σε όλους τους τομείς της γεωμετρίας, της φυσικής και της μηχανικής. Η φοίτηση ξεκινά στη 10η τάξη, υπάρχουν πάντα εργασίες για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, οπότε προσπαθήστε να θυμάστε όλους τους τύπους των τριγωνομετρικών εξισώσεων - σίγουρα θα σας φανούν χρήσιμες!

Ωστόσο, δεν χρειάζεται καν να τα απομνημονεύσετε, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσετε την ουσία και να μπορέσετε να την αντλήσετε. Δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται. Δείτε μόνοι σας βλέποντας το βίντεο.

Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας καταλήγει τελικά στην επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Και σε αυτό ο τριγωνομετρικός κύκλος αποδεικνύεται και πάλι ο καλύτερος βοηθός.

Ας θυμηθούμε τους ορισμούς του συνημιτόνου και του ημιτόνου.

Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι η τετμημένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί σε μια περιστροφή μέσω μιας δεδομένης γωνίας.

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι η τεταγμένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί σε μια περιστροφή μέσω μιας δεδομένης γωνίας.

Η θετική φορά κίνησης στον τριγωνομετρικό κύκλο είναι αριστερόστροφα. Μια περιστροφή 0 μοιρών (ή 0 ακτίνων) αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (1;0)

Χρησιμοποιούμε αυτούς τους ορισμούς για να λύσουμε απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις.

1. Λύστε την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από όλες τις τιμές της γωνίας περιστροφής που αντιστοιχούν σε σημεία του κύκλου του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με .

Ας σημειώσουμε ένα σημείο με τεταγμένη στον άξονα τεταγμένων:

Σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή παράλληλη στον άξονα x μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Παίρνουμε δύο σημεία που βρίσκονται στον κύκλο και έχουν μια τεταγμένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε γωνίες περιστροφής σε και ακτίνια:

Αν, αφήνοντας το σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής ανά ακτίνιο, γυρίσουμε έναν πλήρη κύκλο, τότε θα φτάσουμε σε ένα σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής ανά ακτίνιο και έχει την ίδια τεταγμένη. Δηλαδή, αυτή η γωνία περιστροφής ικανοποιεί και την εξίσωσή μας. Μπορούμε να κάνουμε όσες «αδρανείς» περιστροφές θέλουμε, επιστρέφοντας στο ίδιο σημείο και όλες αυτές οι τιμές γωνίας θα ικανοποιήσουν την εξίσωσή μας. Ο αριθμός των περιστροφών "αδράνειας" θα υποδηλωθεί με το γράμμα (ή). Εφόσον μπορούμε να κάνουμε αυτές τις περιστροφές τόσο προς θετικές όσο και προς αρνητικές κατευθύνσεις, (ή) μπορούμε να λάβουμε οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.

Δηλαδή, η πρώτη σειρά λύσεων στην αρχική εξίσωση έχει τη μορφή:

, , - σύνολο ακεραίων αριθμών (1)

Ομοίως, η δεύτερη σειρά λύσεων έχει τη μορφή:

, Οπου , . (2)

Όπως ίσως μαντέψατε, αυτή η σειρά λύσεων βασίζεται στο σημείο του κύκλου που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής κατά .

Αυτές οι δύο σειρές λύσεων μπορούν να συνδυαστούν σε μία καταχώρηση:

Αν πάρουμε (δηλαδή, ζυγό) σε αυτό το λήμμα, τότε θα πάρουμε την πρώτη σειρά λύσεων.

Αν πάρουμε (δηλαδή, περιττό) σε αυτό το λήμμα, τότε παίρνουμε τη δεύτερη σειρά λύσεων.

2. Τώρα ας λύσουμε την εξίσωση

Δεδομένου ότι αυτή είναι η τετμημένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που λαμβάνεται με περιστροφή κατά μια γωνία, σημειώνουμε το σημείο με την τετμημένη στον άξονα:

Σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή παράλληλη προς τον άξονα μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Θα πάρουμε δύο πόντους ξαπλωμένοι στον κύκλο και έχοντας μια τετμημένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε γωνίες περιστροφής σε και ακτίνια. Θυμηθείτε ότι όταν κινούμαστε δεξιόστροφα έχουμε αρνητική γωνία περιστροφής:

Ας γράψουμε δύο σειρές λύσεων:

,

,

(Φτάνουμε στο επιθυμητό σημείο περνώντας από τον κύριο πλήρη κύκλο, δηλαδή.

Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μια καταχώρηση:

3. Λύστε την εξίσωση

Η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (1,0) του μοναδιαίου κύκλου παράλληλη προς τον άξονα OY

Ας σημειώσουμε ένα σημείο πάνω του με τεταγμένη ίση με 1 (ψάχνουμε την εφαπτομένη της οποίας οι γωνίες είναι ίση με 1):

Ας συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή των συντεταγμένων με μια ευθεία γραμμή και ας σημειώσουμε τα σημεία τομής της ευθείας με τον μοναδιαίο κύκλο. Τα σημεία τομής της ευθείας γραμμής και του κύκλου αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής επί και :

Επειδή τα σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής που ικανοποιούν την εξίσωσή μας βρίσκονται σε απόσταση ακτίνων μεταξύ τους, μπορούμε να γράψουμε τη λύση ως εξής:

4. Λύστε την εξίσωση

Η ευθεία των συνεφαπτομένων διέρχεται από το σημείο με τις συντεταγμένες του μοναδιαίου κύκλου παράλληλες προς τον άξονα.

Ας σημειώσουμε ένα σημείο με τετμημένη -1 στη γραμμή των συνεφαπτομένων:

Ας συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή της ευθείας και ας το συνεχίσουμε μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Αυτή η ευθεία γραμμή θα τέμνει τον κύκλο σε σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής σε και ακτίνια:

Εφόσον αυτά τα σημεία χωρίζονται μεταξύ τους με απόσταση ίση με , μπορούμε να γράψουμε τη γενική λύση αυτής της εξίσωσης ως εξής:

Στα δοσμένα παραδείγματα που απεικονίζουν τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, χρησιμοποιήθηκαν πινακικές τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ωστόσο, εάν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης περιέχει μια μη πινακοποιημένη τιμή, τότε αντικαθιστούμε την τιμή στη γενική λύση της εξίσωσης:

ΕΙΔΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ:

Ας σημειώσουμε τα σημεία του κύκλου του οποίου η τεταγμένη είναι 0:

Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τεταγμένη είναι 1:

Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με -1:

Δεδομένου ότι είναι συνηθισμένο να υποδεικνύουμε τιμές πλησιέστερες στο μηδέν, γράφουμε τη λύση ως εξής:

Ας σημειώσουμε τα σημεία του κύκλου του οποίου η τετμημένη είναι ίση με 0:

5.
Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τετμημένη είναι ίση με 1:

Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τετμημένη είναι ίση με -1:

Και κάπως πιο σύνθετα παραδείγματα:

1.

Το ημίτονο είναι ίσο με ένα εάν το όρισμα είναι ίσο με

Το όρισμα του ημιτονοειδούς μας είναι ίσο, οπότε παίρνουμε:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το 3:

Απάντηση:

2.

Το συνημίτονο είναι μηδέν αν το όρισμα του συνημίτονου είναι

Το όρισμα του συνημίτονου μας είναι ίσο με , οπότε παίρνουμε:

Ας εκφράσουμε , για να το κάνουμε αυτό κινούμαστε πρώτα προς τα δεξιά με το αντίθετο πρόσημο:

Ας απλοποιήσουμε τη δεξιά πλευρά:

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2:

Σημειώστε ότι το πρόσημο μπροστά από τον όρο δεν αλλάζει, αφού το k μπορεί να πάρει οποιαδήποτε ακέραια τιμή.

Απάντηση:

Και τέλος, παρακολουθήστε το μάθημα βίντεο "Επιλογή ριζών σε μια τριγωνομετρική εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο"

Αυτό ολοκληρώνει τη συζήτησή μας για την επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Την επόμενη φορά θα μιλήσουμε για το πώς θα αποφασίσουμε.