इंटीग्रल भागों द्वारा एकीकरण की एक विधि है। समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरण

किसी दिए गए अंतराल X में अवकलनीय फ़ंक्शन F(x) को कहा जाता है फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न f(x), या f(x) का अभिन्न अंग, यदि प्रत्येक x ∈X के लिए निम्नलिखित समानता है:

एफ " (एक्स) = एफ(एक्स)। (8.1)

किसी दिए गए फलन के लिए सभी प्रतिअवकलन ज्ञात करना उसका कहलाता है एकीकरण। अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्यकिसी दिए गए अंतराल पर f(x) X फ़ंक्शन f(x) के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का सेट है; पद का नाम -

यदि F(x) फलन f(x) का कुछ प्रतिअवकलन है, तो ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।

अभिन्नों की तालिका

सीधे परिभाषा से हमें अनिश्चितकालीन अभिन्न के मुख्य गुण और सारणीबद्ध अभिन्न की एक सूची प्राप्त होती है:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

सारणीबद्ध अभिन्नों की सूची

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (एम ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - पाप x + C

7. = आर्कटैन x + C

8. = आर्क्सिन x + C

10. = - सीटीजी एक्स + सी

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

कई कार्यों को एकीकृत करने के लिए, परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें या प्रतिस्थापन,आपको इंटीग्रल को सारणीबद्ध रूप में कम करने की अनुमति देता है।

यदि फलन f(z) [α,β] पर सतत है, तो फलन z =g(x) का एक सतत अवकलज है और α ≤ g(x) ≤ β, तो

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

इसके अलावा, दाईं ओर एकीकरण के बाद, प्रतिस्थापन z=g(x) किया जाना चाहिए।

इसे सिद्ध करने के लिए, मूल अभिन्न को इस रूप में लिखना पर्याप्त है:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

उदाहरण के लिए:

भागों द्वारा एकीकरण की विधि

मान लीजिए u = f(x) और v = g(x) ऐसे फलन हैं जिनमें सततता है। फिर कार्य के अनुसार

d(uv))= udv + vdu या udv = d(uv) - vdu.

अभिव्यक्ति d(uv) के लिए, प्रतिअवकलन स्पष्ट रूप से uv होगा, इसलिए सूत्र इस प्रकार है:

∫ यूडीवी = यूवी - ∫ वीडीयू (8.4.)

यह सूत्र नियम को व्यक्त करता है भागों द्वारा एकीकरण. यह अभिव्यक्ति udv=uv"dx के एकीकरण को अभिव्यक्ति vdu=vu"dx के एकीकरण की ओर ले जाता है।

उदाहरण के लिए, आप ∫xcosx dx खोजना चाहते हैं। आइए हम u = x, dv = cosxdx रखें, इसलिए du=dx, v=sinx। तब

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x पाप x - ∫sin x dx = x पाप x + cosx + C.

भागों द्वारा एकीकरण के नियम का दायरा चरों के प्रतिस्थापन की तुलना में अधिक सीमित है। लेकिन अभिन्नों के पूरे वर्ग हैं, उदाहरण के लिए,

∫x k ln m xdx, ∫x k synbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax और अन्य, जिनकी गणना भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके सटीक रूप से की जाती है।

समाकलन परिभाषित करें

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा इस प्रकार प्रस्तुत की गई है। मान लीजिए कि एक फलन f(x) को एक अंतराल पर परिभाषित किया गया है। आइए हम खंड को [ए,बी] में विभाजित करें एनबिंदुओं के अनुसार भाग ए= एक्स 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ एक्स आई =एक्स आई - एक्स आई-1. f(ξ i)Δ x i के रूप का योग कहा जाता है अभिन्न योग, और λ = maxΔx i → 0 पर इसकी सीमा, यदि यह मौजूद है और परिमित है, कहलाती है समाकलन परिभाषित करेंफ़ंक्शन f(x) का एपहले बीऔर निर्दिष्ट है:

F(ξ i)Δx i (8.5).

इस मामले में फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अंतराल पर अभिन्न, संख्या ए और बी कहा जाता है अभिन्न की निचली और ऊपरी सीमाएँ.

निम्नलिखित गुण एक निश्चित अभिन्न के लिए सत्य हैं:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

अंतिम संपत्ति कहलाती है माध्य मान प्रमेय.

मान लीजिए f(x) निरंतर है। फिर इस खंड पर एक अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग है

∫f(x)dx = F(x) + C

और होता है न्यूटन-लीबनिज सूत्र, निश्चित अभिन्न को अनिश्चितकालीन अभिन्न से जोड़ना:

एफ(बी) - एफ(ए)। (8.6)

ज्यामितीय व्याख्या: निश्चित अभिन्न अंग ऊपर से वक्र y=f(x), सीधी रेखाओं x = a और x = b और अक्ष के एक खंड से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार का क्षेत्र है बैल.

अनुचित अभिन्न अंग

अनंत सीमाओं वाले समाकलन तथा असंतत (अनबाउंड) कार्यों के समाकलन कहलाते हैं तुम्हारा अपना नहीं. प्रथम प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग -ये एक अनंत अंतराल पर अभिन्न अंग हैं, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(8.7)

यदि यह सीमा अस्तित्व में है और परिमित है, तो इसे कहा जाता है f(x) का अभिसारी अनुचित समाकलनअंतराल पर [a,+ ∞), और फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अनंत अंतराल पर समाकलनीय[ए,+ ∞). अन्यथा अभिन्न कहा जाता है अस्तित्व में नहीं है या भिन्न है.

अंतराल (-∞,b] और (-∞, + ∞) पर अनुचित समाकलन को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

आइए हम एक असीमित फलन के समाकलन की अवधारणा को परिभाषित करें। यदि f(x) सभी मानों के लिए सतत है एक्सखंड, बिंदु c को छोड़कर, जिस पर f(x) में अनंत असंततता है दूसरे प्रकार का अनुचित अभिन्न अंगएफ(एक्स) ए से लेकर बी तकराशि कहलाती है:

यदि ये सीमाएँ अस्तित्व में हैं और सीमित हैं। पद का नाम:

अभिन्न गणना के उदाहरण

उदाहरण 3.30.∫dx/(x+2) की गणना करें.

समाधान।आइए हम t = x+2 को निरूपित करें, फिर dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + सी = एलएन|एक्स+2| +सी.

उदाहरण 3.31. ∫ tgxdx ज्ञात कीजिए।

समाधान।∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. मान लीजिए t=cosx, तो ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + सी = -ln|cosx|+C.

समाधान।

उदाहरण3.33. खोजो ।

समाधान। = .

उदाहरण3.34 . ∫arctgxdx खोजें।

समाधान। आइए भागों द्वारा एकीकृत करें। आइए हम u=arctgx, dv=dx को निरूपित करें। फिर du = dx/(x 2 +1), v=x, जहां से ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; क्योंकि
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

उदाहरण3.35 . ∫lnxdx की गणना करें.

समाधान।भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. फिर ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

उदाहरण3.36 . ∫e x synxdx की गणना करें।

समाधान।आइए हम u = e x, dv = synxdx, फिर du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x synxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx निरूपित करें। हम अभिन्न ∫e x cosxdx को भागों द्वारा भी एकीकृत करते हैं: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx। हमारे पास है:
∫ ई एक्स कॉसएक्सडीएक्स = ई एक्स सिनएक्स - ∫ ई एक्स सिनएक्सडीएक्स। हमने संबंध ∫e x synxdx = - e x cosx + e x synx - ∫ e x synxdx प्राप्त किया, जिससे 2∫e x synx dx = - e x cosx + e x synx + C.

उदाहरण 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x की गणना करें।

समाधान।चूँकि dx/x = dlnx, तो J= ∫cos(lnx)d(lnx)। एलएनएक्स को टी के माध्यम से प्रतिस्थापित करने पर, हम तालिका अभिन्न जे = ∫ लागतडीटी = सिंट + सी = पाप (एलएनएक्स) + सी पर पहुंचते हैं।

उदाहरण 3.38 . जे = की गणना करें।

समाधान।यह मानते हुए कि = d(lnx), हम lnx = t प्रतिस्थापित करते हैं। फिर जे = .

उदाहरण 3.39 . अभिन्न जे = की गणना करें .

समाधान।हमारे पास है: . इसलिए =
=
=. इस तरह दर्ज किया गया: sqrt(tan(x/2)).

और यदि परिणाम विंडो में आप ऊपरी दाएं कोने में शो स्टेप्स पर क्लिक करते हैं, तो आपको एक विस्तृत समाधान मिलेगा।

भागों द्वारा एकीकरण क्या है? इस प्रकार के एकीकरण में महारत हासिल करने के लिए, आइए सबसे पहले किसी उत्पाद के व्युत्पन्न को याद करें:

$((\left(f\cdot g \right))^(\ prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

प्रश्न उठता है: अभिन्नों का इससे क्या लेना-देना है? आइए अब इस समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करें। तो चलिए इसे लिखते हैं:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\ prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

लेकिन स्ट्रोक का प्रतिव्युत्पन्न क्या है? यह केवल फ़ंक्शन ही है, जो स्ट्रोक के अंदर है। तो चलिए इसे लिखते हैं:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

इस समीकरण में, मैं शब्द को व्यक्त करने का प्रस्ताव करता हूं। हमारे पास है:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

यह वही है भागों सूत्र द्वारा एकीकरण. इस प्रकार, हम अनिवार्य रूप से व्युत्पन्न और फ़ंक्शन का आदान-प्रदान कर रहे हैं। यदि प्रारंभ में हमारे पास एक स्ट्रोक का एक अभिन्न अंग था जिसे किसी चीज़ से गुणा किया गया था, तो हमें एक स्ट्रोक से गुणा किए गए किसी नए चीज़ का एक अभिन्न अंग मिलता है। बस यही नियम है. पहली नज़र में, यह सूत्र जटिल और अर्थहीन लग सकता है, लेकिन वास्तव में, यह गणनाओं को बहुत सरल बना सकता है। चलो देखते हैं।

अभिन्न गणना के उदाहरण

समस्या 1. गणना करें:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

आइए लघुगणक से पहले 1 जोड़कर अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

हमें ऐसा करने का अधिकार है क्योंकि न तो संख्या और न ही कार्य बदलेगा। आइए अब इस अभिव्यक्ति की तुलना हमारे सूत्र में लिखी गई बातों से करें। $(f)"$ की भूमिका 1 है, इसलिए हम लिखते हैं:

$\begin(संरेखित करें)& (f)"=1\दायां तीर f=x \\& g=\ln x\दायां तीर (g)"=\frac(1)(x) \\\end(संरेखित)$

ये सभी फ़ंक्शन तालिकाओं में हैं. अब जब हमने अपनी अभिव्यक्ति में शामिल सभी तत्वों का वर्णन कर लिया है, तो हम भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र का उपयोग करके इस अभिन्न को फिर से लिखेंगे:

\[\begin(संरेखित करें)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d) )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ अंत(संरेखित करें)\]

बस, अभिन्न मिल गया।

समस्या 2. गणना करें:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

यदि हम $x$ को व्युत्पन्न के रूप में लेते हैं, जिससे अब हमें प्रतिअवकलन खोजने की आवश्यकता है, तो हमें $((x)^(2))$ मिलेगा, और अंतिम अभिव्यक्ति में $((x)^(2) होगा )( (\text(e))^(-x))$.

जाहिर है, समस्या सरल नहीं है, इसलिए हम अभिन्न चिह्न के तहत कारकों की अदला-बदली करते हैं:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

आइए अब संकेतन का परिचय दें:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\राइटएरो f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

आइए $((\text(e))^(-x))$ में अंतर करें:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\ prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ बाएँ(-x \दाएँ))^(\प्रधान ))=-((\text(e))^(-x))$

दूसरे शब्दों में, पहले ऋण को जोड़ा जाता है और फिर दोनों पक्षों को एकीकृत किया जाता है:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\प्राइम ))=-((\text(e))^(- x))\दायाँ तीर ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\प्राइम )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \दाएं))^(\प्राइम ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(संरेखित)\]

अब आइए $g$ फ़ंक्शन को देखें:

$g=x\राइटएरो (g)"=1$

हम अभिन्न की गणना करते हैं:

$\begin(संरेखित करें)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \दाएं)+C \\\end(संरेखित)$

इसलिए, हमने भागों द्वारा दूसरा एकीकरण किया है।

समस्या 3. गणना करें:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

इस मामले में, हमें $(f)"$ के लिए क्या लेना चाहिए और $g$ के लिए क्या? यदि $x$ एक व्युत्पन्न के रूप में कार्य करता है, तो एकीकरण के दौरान हमें $\frac(((x)^(2)) मिलेगा )(2 )$, और हमारा पहला कारक कहीं भी गायब नहीं होगा - यह $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ होगा। इसलिए, आइए कारकों को फिर से स्वैप करें:

$\begin(संरेखित करें)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\राइटएरो f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\राइटएरो (g)"=1 \\\ अंत(संरेखित)$

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और भागों द्वारा एकीकरण सूत्र के अनुसार इसका विस्तार करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(संरेखित)\]

बस, तीसरी समस्या हल हो गई।

अंत में, आइए एक और नज़र डालें भागों सूत्र द्वारा एकीकरण. हम कैसे चुनें कि कौन सा कारक व्युत्पन्न होगा और कौन सा वास्तविक कार्य होगा? यहां केवल एक ही मानदंड है: जिस तत्व को हम अलग करेंगे उसे या तो एक "सुंदर" अभिव्यक्ति देनी होगी, जो तब कम हो जाएगी, या भेदभाव के दौरान पूरी तरह से गायब हो जाएगी। इससे पाठ समाप्त होता है।

निम्नलिखित सूत्र कहा जाता है भागों सूत्र द्वारा एकीकरण अनिश्चितकालीन अभिन्न में:

भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण को लागू करने के लिए, इंटीग्रैंड को दो कारकों में विभाजित किया जाना चाहिए। उनमें से एक को निरूपित किया जाता है यू, और शेष दूसरे कारक को संदर्भित करता है और द्वारा दर्शाया गया है डीवी. फिर विभेदन द्वारा हम पाते हैं ड्यूऔर एकीकरण - कार्य वी. उसी समय, के लिए यू डीवी- इंटीग्रैंड का ऐसा भाग जिसे आसानी से एकीकृत किया जा सके।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करना कब लाभदायक है? फिर कब इंटीग्रैंड में शामिल है :

1) - लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस, साथ ही व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस (उपसर्ग "चाप" के साथ), फिर, भागों द्वारा एकीकरण के दीर्घकालिक अनुभव के आधार पर, इन फ़ंक्शंस को निरूपित किया जाता है यू;

2) , , - ज्या, कोज्या और घातांक से गुणा पी(एक्स) x में एक मनमाना बहुपद है, तो इन फलनों को इसके द्वारा निरूपित किया जाता है डीवी, और बहुपद के माध्यम से है यू;

3) , , , , इस मामले में भागों द्वारा एकीकरण दो बार लागू किया जाता है।

आइए हम पहले मामले के उदाहरण का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण की विधि का मूल्य समझाएं। मान लीजिए कि अभिन्न चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में एक लघुगणकीय फ़ंक्शन शामिल है (यह उदाहरण 1 होगा)। भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके, इस तरह के एक अभिन्न अंग को केवल बीजगणितीय कार्यों (अक्सर एक बहुपद) के अभिन्न अंग की गणना करने के लिए कम किया जाता है, यानी, इसमें लॉगरिदमिक या व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन शामिल नहीं होता है। पाठ की शुरुआत में दिए गए भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करना

हम पहले पद में (अभिन्न के बिना) एक लघुगणकीय फलन प्राप्त करते हैं, और दूसरे पद में (अभिन्न चिह्न के अंतर्गत) एक फलन प्राप्त करते हैं जिसमें लघुगणक नहीं होता है। एक बीजगणितीय फलन का समाकलन उस समाकलन की तुलना में बहुत सरल होता है जिसके चिह्न के अंतर्गत एक लघुगणकीय या व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन अलग से या एक बीजगणितीय कारक के साथ पाया जाता है।

इस प्रकार, का उपयोग कर भागों के सूत्रों द्वारा एकीकरण एकीकरण तुरंत नहीं किया जाता है: किसी दिए गए अभिन्न को ढूंढना दूसरे को खोजने के लिए कम हो जाता है। भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण का अर्थ यह है कि इसके अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप, नया अभिन्न अंग सारणीबद्ध हो जाता है या कम से कम मूल की तुलना में सरल हो जाता है।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि दो कार्यों के उत्पाद को अलग करने के लिए सूत्र के उपयोग पर आधारित है:

तो इसे फॉर्म में लिखा जा सकता है

जो पाठ के आरंभ में ही दिया गया था।

फ़ंक्शन को एकीकृत करके खोजते समय वीइसके लिए प्रतिअवकलन फलनों का एक अनंत सेट प्राप्त होता है। भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण को लागू करने के लिए, आप उनमें से कोई भी ले सकते हैं, और इसलिए वह जो एक मनमाना स्थिरांक से मेल खाता है साथ, शून्य के बराबर. इसलिए, फ़ंक्शन ढूंढते समय वीमनमाना स्थिरांक साथदर्ज नहीं किया जाना चाहिए.

भागों द्वारा एकीकरण की विधि का एक बहुत ही विशेष अनुप्रयोग है: इसका उपयोग अभिन्न चिह्न के तहत कार्यों की डिग्री को कम करने के लिए आवश्यक होने पर एंटीडेरिवेटिव कार्यों को खोजने के लिए आवर्ती सूत्रों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। डिग्री को कम करना तब आवश्यक होता है जब उदाहरण के लिए, दूसरे और उनके उत्पादों से अधिक शक्तियों के लिए साइन और कोसाइन जैसे कार्यों के लिए कोई सारणीबद्ध अभिन्न अंग नहीं होते हैं। आवर्ती सूत्र पिछले सदस्य के माध्यम से अनुक्रम के अगले सदस्य को खोजने का एक सूत्र है। संकेतित मामलों के लिए, लक्ष्य को क्रमिक रूप से डिग्री कम करके प्राप्त किया जाता है। इसलिए, यदि समाकलन x की चौथी घात के लिए एक ज्या है, तो भागों द्वारा एकीकृत करके आप तीसरी घात के लिए ज्या के समाकलन के लिए एक सूत्र पा सकते हैं, इत्यादि। इस पाठ का अंतिम पैराग्राफ वर्णित कार्य के लिए समर्पित है।

भागों द्वारा एकीकरण को एक साथ लागू करना

उदाहरण 1. भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

समाधान। एकीकृत अभिव्यक्ति में - लघुगणक, जिसे, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, उचित रूप से दर्शाया जा सकता है यू. ऐसा हमारा विश्वास है , ।

हम पाते हैं (जैसा कि सैद्धांतिक संदर्भ के स्पष्टीकरण में पहले ही उल्लेख किया गया है, हम तुरंत पहले पद में (एक अभिन्न अंग के बिना) एक लघुगणकीय फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं, और एक फ़ंक्शन जिसमें दूसरे पद में एक लघुगणक शामिल नहीं होता है (अभिन्न चिह्न के तहत):

और फिर से लघुगणक...

उदाहरण 2.अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

समाधान। होने देना , ।

लघुगणक वर्ग में मौजूद है. इसका मतलब यह है कि इसे एक जटिल कार्य के रूप में विभेदित करने की आवश्यकता है। हम देखतें है
,
.

हम फिर से भागों द्वारा दूसरा अभिन्न पाते हैं और पहले से उल्लिखित लाभ प्राप्त करते हैं (पहले पद में (अभिन्न के बिना) एक लघुगणकीय फ़ंक्शन होता है, और दूसरे पद में (अभिन्न चिह्न के तहत) एक फ़ंक्शन होता है जिसमें कोई शामिल नहीं होता है लघुगणक).

हम मूल अभिन्न पाते हैं:

उदाहरण 3.

समाधान। लघुगणक की तरह चापस्पर्शरेखा को बेहतर तरीके से दर्शाया जाता है यू. तो चलो , ।

तब ,
.

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

हम एक चर को बदलकर दूसरा अभिन्न अंग पाते हैं।

वेरिएबल पर लौटना एक्स, हम पाते हैं

.

हम मूल अभिन्न पाते हैं:

.

उदाहरण 4. भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

समाधान। घातांक को इससे निरूपित करना बेहतर है डीवी. हमने इंटीग्रैंड को दो कारकों में विभाजित किया है। ऐसा मानना

उदाहरण 5. भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग ज्ञात करें:

.

समाधान। होने देना , । तब , ।

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र (1) का उपयोग करके, हम पाते हैं:

उदाहरण 6.भागों द्वारा एकीकरण द्वारा अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

समाधान। घातांक की तरह ज्या को भी आसानी से दर्शाया जा सकता है डीवी. होने देना , ।

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं:

हम फिर से भागों द्वारा एकीकरण लागू करते हैं

उदाहरण 10.भागों द्वारा एकीकरण द्वारा अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

.

समाधान। जैसा कि सभी समान मामलों में होता है, कोज्या को इससे निरूपित करना सुविधाजनक होता है डीवी. हम दर्शाते हैं , .

तब , .

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

हम दूसरे कार्यकाल में भागों द्वारा एकीकरण भी लागू करते हैं। हम दर्शाते हैं , .

इन नोटेशनों का उपयोग करते हुए, हम उल्लिखित शब्द को एकीकृत करते हैं:

अब हम आवश्यक अभिन्न पाते हैं:

जिन अभिन्नों को भागों द्वारा एकीकरण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है, उनमें वे भी हैं जो सैद्धांतिक भाग में उल्लिखित तीन समूहों में से किसी में शामिल नहीं हैं, जिनके लिए अभ्यास से ज्ञात होता है कि इसे निरूपित करना बेहतर है यू, और किस माध्यम से डीवी. इसलिए, इन मामलों में, आपको सुविधा के विचार का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो पैराग्राफ "भागों द्वारा एकीकरण की विधि का सार" में भी दिया गया है: के लिए यूकिसी को इंटीग्रैंड का एक हिस्सा लेना चाहिए जो भेदभाव के दौरान अधिक जटिल नहीं हो जाता है, लेकिन डीवी- इंटीग्रैंड का ऐसा भाग जिसे आसानी से एकीकृत किया जा सके। इस पाठ का अंतिम उदाहरण ऐसे ही एक अभिन्न का समाधान है।

प्रतिअवकलन एवं अनिश्चित समाकलन की अवधारणा। प्रतिअवकलजों के संग्रह पर प्रमेय. अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण. अभिन्नों की तालिका.

एक फ़ंक्शन F(x) को किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन कहा जाता है यदि फ़ंक्शन F(x) इस अंतराल पर निरंतर है, और अंतराल के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर निम्नलिखित समानता होती है: F'( एक्स) = एफ(एक्स)

प्रमेय 1. यदि किसी फलन F(x) के अंतराल पर एक प्रतिअवकलज F(x) है, तो F(x)+C रूप के सभी फलन उसी अंतराल पर इसके प्रतिअवकलज होंगे। इसके विपरीत, फ़ंक्शन y = f(x) के लिए किसी भी प्रतिअवकलन Ф(x) को Ф(x) = F(x)+C के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां F(x) प्रतिअवकलन कार्यों में से एक है, और C एक मनमाना है स्थिर।

सबूत:

प्रतिअवकलज की परिभाषा के अनुसार हमारे पास F'(x) = f(x) है। यह मानते हुए कि स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं

(F(x)+C)' = F'(x)+C' = F'(x) = f(x). इसका मतलब यह है कि F(x)+C, y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलज है। आइए अब दिखाते हैं कि यदि फ़ंक्शन y = f(x) एक निश्चित अंतराल पर दिया गया है और F(x) इसके प्रतिअवकलन में से एक है , तो Ф (x) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

वास्तव में, हमारे पास एक प्रतिअवकलन की परिभाषा है

Ф'(x) = F(x)+C और F'(x) = f(x).

लेकिन दो फलन जिनके अंतराल पर समान व्युत्पन्न होते हैं, एक दूसरे से केवल एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं। इसका मतलब यह है कि Ф(x) = F(x)+C, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

परिभाषा।

किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन y = f(x) के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट को इस फ़ंक्शन का अनिश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है और इसे ∫f(x)dx = F(x)+C से दर्शाया जाता है।

फ़ंक्शन f(x) को इंटीग्रैंड कहा जाता है, और उत्पाद f(x)*dx को इंटीग्रैंड कहा जाता है।

वे अक्सर कहते हैं: "अनिश्चित समाकलन लें" या "अनिश्चित समाकलन की गणना करें", इसका अर्थ निम्नलिखित है: समाकलन के लिए सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात करें,

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

अभिन्नों की तालिका

अनिश्चितकालीन अभिन्न में प्रतिस्थापन और भागों द्वारा एकीकरण।

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण विधिइसमें एक नया एकीकरण चर (यानी, प्रतिस्थापन) पेश करना शामिल है। इस मामले में, दिए गए इंटीग्रल को एक नए इंटीग्रल में घटा दिया जाता है, जो कि सारणीबद्ध या कम करने योग्य होता है ("सफल" प्रतिस्थापन के मामले में)। प्रतिस्थापनों के चयन के लिए कोई सामान्य विधियाँ नहीं हैं।

मान लीजिए कि अभिन्न ∫f(x)dx की गणना करना आवश्यक है। आइए प्रतिस्थापन x =φ(t) करें, जहां φ(t) एक फ़ंक्शन है जिसका निरंतर व्युत्पन्न है। फिर dx=φ"(t) dt और अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए एकीकरण सूत्र की अपरिवर्तनीय संपत्ति के आधार पर, हम प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करते हैं ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( t)dt इस सूत्र को अनिश्चितकालीन अभिन्न में प्रतिस्थापन सूत्र चर भी कहा जाता है। इस समानता के दाहिने पक्ष का अभिन्न अंग खोजने के बाद, हमें नए एकीकरण चर t से वापस चर x पर जाना चाहिए।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि

मान लीजिए u=u(x) और ν=v(x) ऐसे फलन हैं जिनके निरंतर अवकलज हैं। फिर d(uv)=u dv+v du.

इस समानता को एकीकृत करने पर, हम ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu या प्राप्त करते हैं

∫उडव =उव - ∫वडु

परिणामी सूत्र को भागों द्वारा एकीकरण सूत्र कहा जाता है। यह अभिन्न ∫udv की गणना को अभिन्न ∫vdu की गणना तक कम करना संभव बनाता है, जो मूल की तुलना में काफी सरल हो सकता है।

भागों द्वारा एकीकरण- निश्चित और अनिश्चित समाकलन को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि, जब एक समाकलन आसानी से समाकलनीय होता है और दूसरा अवकलनीय होता है। अनिश्चित और निश्चित दोनों प्रकार के अभिन्नों को खोजने की एक काफी सामान्य विधि। जब आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता होती है तो मुख्य संकेत एक निश्चित फ़ंक्शन होता है जिसमें दो फ़ंक्शन के उत्पाद शामिल होते हैं जिन्हें बिंदु-रिक्त एकीकृत नहीं किया जा सकता है।

FORMULA

इस पद्धति का सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए, आपको सूत्रों को समझने और सीखने की आवश्यकता है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग में भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

एक निश्चित अभिन्न अंग में भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

समाधान के उदाहरण

आइए अभ्यास में भागों द्वारा एकीकरण के समाधान के उदाहरणों पर विचार करें, जो अक्सर परीक्षणों के दौरान शिक्षकों द्वारा प्रस्तावित किए जाते हैं। कृपया ध्यान दें कि अभिन्न प्रतीक के अंतर्गत दो कार्यों का गुणनफल होता है। यह इस बात का संकेत है कि यह विधि समाधान के लिए उपयुक्त है।