एक समान रूप से आवेशित विमान का विद्युत क्षेत्र। एक अनंत समान रूप से आवेशित विमान के क्षेत्र की गणना करने के लिए गॉस के प्रमेय का अनुप्रयोग

पहले हमने वो दिखाया था विद्युत क्षेत्र, एक अनंत समान रूप से चार्ज की गई प्लेट द्वारा निर्मित सजातीय है, अर्थात, क्षेत्र की ताकत सभी बिंदुओं पर समान है, और तीव्रता वेक्टर को विमान के लंबवत निर्देशित किया जाता है, और इसका मापांक बराबर होता है ई ओ = σ/(2ε ओ). ऐसे क्षेत्र की बल रेखाओं का परिवार प्लेट के लंबवत समानांतर रेखाओं का एक समूह है। चित्र में. 275, 276 क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रक्षेपण का एक ग्राफ भी दिखाता है ई ज़ेडप्रति अक्ष जेडप्लेट के लंबवत (हम इस अक्ष के मूल को प्लेट पर रखेंगे)। स्पष्ट है कि इस क्षेत्र की क्षमता केवल समन्वय पर निर्भर करती है जेड, अर्थात्, इस मामले में समविभव सतहें आवेशित प्लेट के समानांतर समतल हैं।



चावल। 275



चावल। 276
शून्य संभावित स्तर की पारंपरिक पसंद के साथ φ(z → ∞), एक मनमाना बिंदु की क्षमता एक इकाई धनात्मक आवेश को किसी दिए गए बिंदु से अनंत तक ले जाने के कार्य के बराबर होती है। चूंकि तनाव का मापांक स्थिर है, इसलिए ऐसा कार्य (और, परिणामस्वरूप, क्षमता) अनंत के बराबर हो जाता है! नतीजतन, शून्य संभावित स्तर का निर्दिष्ट विकल्प इस मामले में अनुपयुक्त है।
इसलिए आपको शून्य स्तर चुनने की मनमानी का फायदा उठाना चाहिए। यह समन्वय के साथ एक मनमाना बिंदु का चयन करने के लिए पर्याप्त है z = z हे, और इसे एक मनमाना संभावित मान निर्दिष्ट करें φ(z o) = φ o(चित्र 277)।

चावल। 277
अब, एक मनमाना बिंदु पर संभावित मूल्य की गणना करने के लिए φ(z), आप क्षेत्र की ताकत और क्षमता के बीच संबंध का उपयोग कर सकते हैं

यह ध्यान में रखते हुए कि इस मामले में क्षेत्र की ताकत स्थिर (पर) है z > 0) यह अभिव्यक्ति फॉर्म में लिखी गई है

जिससे निर्देशांक (पर) पर क्षमता की वांछित निर्भरता का पता चलता है z > 0)

विशेष रूप से, आप प्लेट की क्षमता का एक मनमाना मूल्य निर्धारित कर सकते हैं, अर्थात सेट कर सकते हैं जेड = जेड ओ = 0, φ = φ ओ. फिर एक मनमाना बिंदु पर क्षमता का मूल्य फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किया जाता है

जिसका ग्राफ चित्र 278 में दिखाया गया है।

चावल। 278
तथ्य यह है कि अनंत के सापेक्ष क्षमता असीम रूप से बड़ी हो गई है - आखिरकार, एक अनंत प्लेट में भी असीम रूप से बड़ा चार्ज होता है। जैसा कि हमने पहले ही जोर दिया है, ऐसी प्रणाली एक आदर्शीकरण है - अनंत प्लेटें मौजूद नहीं हैं। वास्तव में, सभी निकायों के सीमित आयाम होते हैं, इसलिए उनके लिए शून्य क्षमता का पारंपरिक विकल्प संभव है, हालांकि इस मामले में क्षेत्र वितरण बहुत जटिल हो सकता है। विचाराधीन आदर्शीकरण के ढांचे के भीतर, हमारे द्वारा उपयोग किए गए शून्य स्तर के विकल्प का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

आइए हम दो समान रूप से आवेशित समानांतर प्लेटों द्वारा निर्मित क्षेत्र क्षमता का वितरण ज्ञात करें, जिनके आवेश परिमाण में समान और चिह्न 1 में विपरीत हैं (चित्र 279)।

चावल। 279
आइए हम एक प्लेट पर सतह आवेश घनत्व को निरूपित करें +σ , और दूसरे पर −σ . प्लेटों के बीच की दूरी एचहम मान लेंगे कि यह प्लेटों के आकार से काफी छोटा है। आइए हम एक समन्वय प्रणाली, अक्ष का परिचय दें जेडजो प्लेटों के लंबवत है, निर्देशांक की उत्पत्ति प्लेटों के बीच में रखी जाएगी। जाहिर है, असीम रूप से बड़ी प्लेटों के लिए, सभी क्षेत्र विशेषताएँ (ताकत और क्षमता) केवल समन्वय पर निर्भर करती हैं जेड. अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर क्षेत्र की ताकत की गणना करने के लिए, हम एक अनंत समान रूप से चार्ज की गई प्लेट और सुपरपोजिशन सिद्धांत द्वारा बनाई गई क्षेत्र की ताकत के लिए परिणामी अभिव्यक्ति का उपयोग करेंगे।
प्रत्येक समान रूप से आवेशित प्लेट एक समान क्षेत्र बनाती है, जिसका मापांक बराबर होता है ई ओ = σ/(2ε ओ), और दिशाएँ चित्र 280, 281 में दर्शाई गई हैं।



चावल। 280

चावल। 281
सुपरपोजिशन सिद्धांत के अनुसार क्षेत्र की ताकत को जोड़ने पर, हम पाते हैं कि प्लेटों के बीच की जगह में क्षेत्र की ताकत है ई = 2ई ओ = σ/ε ओएक प्लेट की क्षेत्र शक्ति का दोगुना (यहां व्यक्तिगत प्लेटों के क्षेत्र समानांतर हैं), और प्लेटों के बाहर कोई क्षेत्र नहीं है (यहां व्यक्तिगत प्लेटों के क्षेत्र विपरीत हैं)।
कड़ाई से बोलते हुए, सीमित आकार की प्लेटों के लिए क्षेत्र एक समान नहीं है; परिमित आकार की प्लेटों की क्षेत्र रेखाएँ चित्र 282 में दिखाई गई हैं।



चावल। 282
समरूपता से सबसे मजबूत विचलन प्लेटों के किनारों के पास देखे जाते हैं (अक्सर इन विचलनों को कहा जाता है)। धार प्रभाव). हालाँकि, प्लेटों के मध्य से सटे क्षेत्र में क्षेत्र को उच्च सटीकता के साथ सजातीय माना जा सकता है, अर्थात इस क्षेत्र में किनारे के प्रभावों को नजरअंदाज किया जा सकता है। ध्यान दें कि प्लेटों के बीच की दूरी और उनके आकार का अनुपात जितना छोटा होगा, इस अनुमान में त्रुटियां उतनी ही कम होंगी।
क्षेत्र क्षमता के वितरण को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, शून्य क्षमता के स्तर का चयन करना आवश्यक है। हम मान लेंगे कि प्लेटों के मध्य में स्थित तल में विभव शून्य के बराबर है, अर्थात हम डालते हैं φ = 0 पर जेड = 0.
शून्य संभावित स्तर को चुनने में मनमानी के बावजूद, सिस्टम की समरूपता के आधार पर हमारी पसंद को तार्किक रूप से उचित ठहराया जा सकता है। दरअसल, विचाराधीन आवेशों की प्रणाली समतल के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब में खुद को दोहराती है जेड = 0और आरोपों के संकेतों में एक साथ परिवर्तन। इसलिए, यह वांछनीय है कि संभावित वितरण में समान समरूपता हो: यह सभी क्षेत्र कार्यों के संकेत में एक साथ परिवर्तन के साथ दर्पण प्रतिबिंब पर बहाल हो जाता है। शून्य विभव के चयन के लिए हमने जो विधि चुनी है वह इस समरूपता को संतुष्ट करती है।



चावल। 283
आइए हम धनावेशित प्लेट की क्षमता को निरूपित करें +φओ, तो ऋणावेशित प्लेट का विभव बराबर होगा φo. इन संभावनाओं को प्लेटों के बीच क्षेत्र की ताकत के पाए गए मूल्य और ताकत और संभावित अंतर के बीच संबंध का उपयोग करके आसानी से निर्धारित किया जा सकता है विद्युत क्षेत्र. इस मामले में इस कनेक्शन के समीकरण का रूप है +φo − φ o = एह. इस संबंध से हम प्लेट विभव का मान निर्धारित करते हैं φ o = σh/(2ε o). यह ध्यान में रखते हुए कि प्लेटों के बीच क्षेत्र एक समान है (इसलिए क्षमता रैखिक रूप से बदलती है), और प्लेटों के बाहर कोई क्षेत्र नहीं है (इसलिए यहां क्षमता स्थिर है), समन्वय पर क्षमता की निर्भरता जेडजैसा दिखता है (चित्र 284)

चावल। 284

 स्वतंत्र कार्य के लिए असाइनमेंट.
 1. विचार किए गए सभी उदाहरणों में, रिवर्स ऑपरेशन करें: सूत्र का उपयोग करके पाए गए संभावित वितरण का उपयोग करें ई एक्स = −Δφ/Δxविचारित क्षेत्रों की शक्तियों की गणना करें।
 2. सूत्र (6) को सख्ती से व्युत्पन्न करें।
 3. निम्नलिखित "विरोधाभास" की गुणात्मक व्याख्या करें। एक फ्लैट संधारित्र के क्षेत्र में, "अनंत" क्षमता को अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है: अक्ष की सकारात्मक दिशा में चलते समय जेड"अनंत" की क्षमता बराबर निकली −φओ; नकारात्मक अक्ष दिशा में चलते समय जेड − +φओ, जब अक्षों के साथ चलते हैं एक्सया वाई− शून्य के बराबर है. तो सीमित आकार की दो प्लेटों की वास्तविक प्रणाली में "अनंत" की क्षमता क्या है?

1 ऐसी व्यवस्था कहलाती है फ्लैट संधारित्र, हम बाद में इन उपकरणों का अधिक विस्तार से अध्ययन करेंगे।

आइए मान लें कि चार्ज सकारात्मक है। विमान को निरंतर सतह घनत्व के साथ चार्ज किया जाता है। समरूपता से यह निष्कर्ष निकलता है कि क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर तीव्रता की दिशा समतल के लंबवत होती है (चित्र 2.10)। यह स्पष्ट है कि समतल के सापेक्ष सममित बिंदुओं पर, क्षेत्र की ताकत परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होती है।

आइए आवेशित तल पर एक क्षेत्र का चयन करें। आइए इस क्षेत्र को एक बंद सतह से घेरें। एक बंद सतह के रूप में, आइए हम एक बेलनाकार सतह की कल्पना करें जिसमें विमान के लंबवत जेनरेटर और परिमाण के आधार हों, जो विमान के सापेक्ष सममित रूप से स्थित हों। आइए हम इस सतह पर गॉस के प्रमेय को लागू करें . सतह के किनारे से कोई प्रवाह नहीं होगा, क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर यह शून्य है। आधारों के लिए समान। इसलिए, सतह के माध्यम से कुल प्रवाह बराबर होगा। सतह के अंदर चार्ज होता है. गॉस के प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित शर्त पूरी होनी चाहिए: , कहाँ । (3)

प्राप्त परिणाम सिलेंडर की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात। समतल से किसी भी दूरी पर क्षेत्र की ताकत परिमाण में समान होती है। तनाव रेखाओं का चित्र चित्र में दिखाए अनुसार दिखता है। 2.11. नकारात्मक रूप से आवेशित विमान के लिए, सदिशों की दिशाएँ विपरीत में बदल जाएंगी। यदि विमान परिमित आयामों का है, तो प्राप्त परिणाम केवल उन बिंदुओं के लिए मान्य होगा जिनकी प्लेट के किनारे से दूरी प्लेट से दूरी से काफी अधिक है (चित्र 2.12)।