Cara mengekstrak akar 2. Bagaimana cara mencari akar kuadrat? Properti, contoh ekstraksi akar

Siswa selalu bertanya: “Mengapa saya tidak bisa menggunakan kalkulator dalam ujian matematika? Bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat suatu bilangan tanpa kalkulator? Mari kita coba menjawab pertanyaan ini.

Bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat suatu bilangan tanpa bantuan kalkulator?

Tindakan akar pangkat dua kebalikan dari aksi mengkuadratkan.

√81= 9 9 2 =81

Jika Anda mengambil akar kuadrat dari suatu bilangan positif dan mengkuadratkan hasilnya, Anda akan mendapatkan bilangan yang sama.

Dari bilangan-bilangan kecil yang merupakan kuadrat eksak dari bilangan asli, misalnya 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, akar kuadrat dapat diekstraksi secara lisan. Biasanya di sekolah mereka mengajarkan tabel kuadrat bilangan asli sampai dua puluh. Dengan mengetahui tabel ini, mudah untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Dari angka yang lebih besar dari 400 Anda dapat mengekstraknya menggunakan metode seleksi dengan menggunakan beberapa tips. Mari kita coba melihat metode ini dengan sebuah contoh.

Contoh: Ekstrak akar angka 676.

Kita perhatikan bahwa 20 2 = 400, dan 30 2 = 900, yang berarti 20< √676 < 900.

Kuadrat eksak bilangan asli diakhiri dengan 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Angka 6 diberikan oleh 4 2 dan 6 2.
Artinya jika akarnya diambil dari 676, maka akarnya adalah 24 atau 26.

Masih harus diperiksa: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Menjawab: √676 = 26 .

Lagi contoh: √6889 .

Karena 80 2 = 6400, dan 90 2 = 8100, maka 80< √6889 < 90.
Angka 9 diberikan oleh 3 2 dan 7 2, maka √6889 sama dengan 83 atau 87.

Mari kita periksa: 83 2 = 6889.

Menjawab: √6889 = 83 .

Jika Anda kesulitan menyelesaikannya dengan metode seleksi, Anda dapat memfaktorkan ekspresi radikalnya.

Misalnya, temukan √893025.

Mari kita faktorkan angka 893025, ingat, Anda melakukannya di kelas enam.

Kita peroleh: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Lagi contoh: √20736. Mari kita faktorkan angka 20736:

Kita peroleh √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Tentu saja, faktorisasi memerlukan pengetahuan tentang tanda-tanda habis dibagi dan keterampilan faktorisasi.

Dan akhirnya, ada aturan untuk mengekstraksi akar kuadrat. Mari berkenalan dengan aturan ini dengan contoh.

Hitung √279841.

Untuk mengekstrak akar bilangan bulat multi-digit, kita membaginya dari kanan ke kiri menjadi sisi-sisi yang berisi 2 digit (tepi paling kiri mungkin berisi satu digit). Kami menulisnya seperti ini: 27'98'41

Untuk mendapatkan digit pertama dari akar (5), kita ambil akar kuadrat dari kuadrat sempurna terbesar yang terdapat pada sisi pertama di sebelah kiri (27).
Kemudian kuadrat angka pertama akar (25) dikurangkan dari muka pertama dan muka berikutnya (98) dijumlahkan (dikurangi).
Di sebelah kiri bilangan yang dihasilkan 298, tuliskan dua digit akar (10), bagi dengan bilangan puluhan bilangan yang diperoleh sebelumnya (29/2 ≈ 2), uji hasil bagi (102 ∙ 2 = 204 tidak boleh lebih dari 298) dan tulis (2) setelah digit pertama akar.
Kemudian hasil bagi 204 dikurangi dari 298 dan sisi berikutnya (41) ditambahkan ke selisihnya (94).
Di sebelah kiri bilangan yang dihasilkan 9441, tulis hasil kali ganda dari angka-angka akar (52 ∙2 = 104), bagi bilangan puluhan bilangan 9441 (944/104 ≈ 9) dengan hasil kali ini, ujilah hasil bagi (1049 ∙9 = 9441) haruslah 9441 dan tuliskan (9) setelah angka kedua akarnya.

Kami menerima jawaban √279841 = 529.

Ekstrak dengan cara yang sama akar pecahan desimal. Hanya bilangan radikal yang harus dibagi menjadi wajah-wajah sehingga koma berada di antara wajah-wajah tersebut.

Contoh. Carilah nilai √0.00956484.

Ingatlah bahwa jika pecahan desimal memiliki jumlah desimal ganjil, akar kuadrat tidak dapat diekstraksi darinya.

Jadi sekarang Anda telah melihat tiga cara untuk mengekstrak root. Pilih salah satu yang paling cocok untuk Anda dan praktikkan. Untuk belajar memecahkan masalah, Anda perlu menyelesaikannya. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, .

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Seringkali, ketika memecahkan masalah, kita dihadapkan pada bilangan besar yang perlu kita ekstrak Akar pangkat dua. Banyak siswa memutuskan bahwa ini adalah kesalahan dan mulai menyelesaikan kembali keseluruhan contoh. Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh melakukan ini! Ada dua alasan untuk ini:

1. Akar yang berjumlah besar memang muncul dalam permasalahan. Terutama dalam bentuk teks;
2. Ada algoritma dimana akar-akar ini dihitung hampir secara lisan.

Kami akan mempertimbangkan algoritma ini hari ini. Mungkin beberapa hal tampak tidak dapat Anda pahami. Namun jika kalian memperhatikan pelajaran ini, kalian akan mendapatkan senjata ampuh untuk melawannya akar kuadrat.

Jadi, algoritmanya:

1. Batasi akar yang diperlukan di atas dan di bawah ke angka yang merupakan kelipatan 10. Jadi, kami akan mengurangi rentang pencarian menjadi 10 angka;
2. Dari 10 angka tersebut, singkirkan angka-angka yang pasti tidak bisa menjadi akar. Hasilnya, 1-2 angka akan tersisa;
3. Kuadratkan 1-2 angka ini. Yang kuadratnya sama dengan bilangan asli akan menjadi akarnya.

Sebelum mempraktikkan algoritme ini, mari kita lihat setiap langkahnya.

Batasan akar

Pertama-tama, kita perlu mencari tahu di antara angka mana akar kita berada. Sangat diharapkan bahwa angka-angka tersebut merupakan kelipatan sepuluh:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Kami mendapatkan serangkaian angka:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Apa yang disampaikan angka-angka ini kepada kita? Sederhana saja: kita mendapat batasan. Ambil contoh, angka 1296. Letaknya antara 900 dan 1600. Oleh karena itu, akarnya tidak boleh kurang dari 30 dan lebih besar dari 40:

[Keterangan untuk gambar]

Hal yang sama berlaku untuk bilangan lain yang dapat digunakan untuk mencari akar kuadrat. Misalnya, 3364:

Jadi, alih-alih angka yang tidak dapat dipahami, kita mendapatkan rentang yang sangat spesifik di mana akar aslinya berada. Untuk lebih mempersempit area pencarian, lanjutkan ke langkah kedua.

Menghilangkan angka-angka yang jelas-jelas tidak perlu

Jadi, kita punya 10 angka - calon akar. Kami mendapatkannya dengan sangat cepat, tanpa pemikiran rumit dan perkalian dalam satu kolom. Saatnya untuk melanjutkan.

Percaya atau tidak, sekarang kami akan mengurangi jumlah calon nomor menjadi dua - sekali lagi tanpa perhitungan yang rumit! Cukup mengetahui aturan khusus. Ini dia:

Digit terakhir persegi hanya bergantung pada digit terakhir nomor asli.

Dengan kata lain, lihat saja angka terakhir dari persegi tersebut dan kita akan langsung mengerti di mana ujung bilangan aslinya.

Hanya ada 10 digit yang bisa menempati posisi terakhir. Mari kita coba mencari tahu apa jadinya jika dikuadratkan. Lihatlah tabel:

Tabel ini merupakan langkah lain dalam menghitung akar. Seperti yang Anda lihat, angka-angka di baris kedua ternyata simetris dibandingkan angka lima. Misalnya:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Seperti yang Anda lihat, digit terakhir sama di kedua kasus. Artinya, misalnya akar 3364 harus diakhiri dengan 2 atau 8. Sebaliknya, kita ingat batasan dari paragraf sebelumnya. Kita mendapatkan:

Kotak merah menandakan bahwa kita belum mengetahui angka tersebut. Namun akarnya terletak pada kisaran 50 hingga 60, yang di dalamnya hanya ada dua angka yang berakhiran 2 dan 8:

Itu saja! Dari semua akar yang mungkin, kami hanya menyisakan dua pilihan! Dan ini adalah kasus yang paling sulit, karena angka terakhirnya bisa 5 atau 0. Dan hanya akan ada satu calon akar!

Perhitungan akhir

Jadi, kita tinggal 2 nomor calon lagi. Bagaimana cara mengetahui yang mana yang menjadi akarnya? Jawabannya jelas: kuadratkan kedua bilangan tersebut. Yang dikuadratkan memberikan bilangan asli akan menjadi akarnya.

Misalnya, untuk bilangan 3364 kita menemukan dua calon bilangan: 52 dan 58. Mari kita kuadratkan keduanya:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Itu saja! Ternyata akarnya adalah 58! Pada saat yang sama, untuk menyederhanakan perhitungan, saya menggunakan rumus kuadrat jumlah dan selisih. Berkat ini, saya bahkan tidak perlu mengalikan angka-angka tersebut ke dalam kolom! Ini adalah tingkat pengoptimalan penghitungan yang lain, tetapi tentu saja ini sepenuhnya opsional :)

Contoh menghitung akar

Teorinya tentu saja bagus. Tapi mari kita periksa dalam praktiknya.

[Keterangan untuk gambar]

Pertama, mari kita cari tahu di antara angka mana letak angka 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Sekarang mari kita lihat angka terakhir. Sama dengan 6. Kapan hal ini terjadi? Hanya jika akarnya berakhiran 4 atau 6. Kita mendapatkan dua angka:

Yang tersisa hanyalah mengkuadratkan setiap angka dan membandingkannya dengan aslinya:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Besar! Kuadrat pertama ternyata sama dengan bilangan aslinya. Jadi inilah akarnya.

Tugas. Hitung akar kuadrat:

[Keterangan untuk gambar]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Mari kita lihat digit terakhir:

1369 → 9;
33; 37.

Kuadratkan:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Inilah jawabannya: 37.

Tugas. Hitung akar kuadrat:

[Keterangan untuk gambar]

Kami membatasi jumlahnya:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Mari kita lihat digit terakhir:

2704 → 4;
52; 58.

Kuadratkan:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Kami mendapat jawabannya: 52. Angka kedua tidak perlu lagi dikuadratkan.

Tugas. Hitung akar kuadrat:

[Keterangan untuk gambar]

Kami membatasi jumlahnya:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Mari kita lihat digit terakhir:

4225 → 5;
65.

Seperti yang Anda lihat, setelah langkah kedua hanya ada satu pilihan tersisa: 65. Ini adalah root yang diinginkan. Tapi mari kita tetap menyelesaikannya dan memeriksa:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Semuanya benar. Kami menuliskan jawabannya.

Kesimpulan

Sayangnya, tidak lebih baik. Mari kita lihat alasannya. Ada dua di antaranya:

• Dalam setiap ujian matematika biasa, baik itu Ujian Negara maupun Ujian Negara Terpadu, penggunaan kalkulator dilarang. Dan jika Anda membawa kalkulator ke dalam kelas, Anda dapat dengan mudah dikeluarkan dari ujian.
• Jangan seperti orang Amerika yang bodoh. Yang tidak seperti akar - tidak dapat menjumlahkan dua bilangan prima. Dan ketika mereka melihat pecahan, mereka biasanya menjadi histeris.

Bab pertama.

Menemukan akar kuadrat bilangan bulat terbesar dari bilangan bulat tertentu.

170. Catatan pendahuluan.

A) Karena kita hanya akan membahas tentang mengekstrak akar kuadrat, untuk mempersingkat pembahasan dalam bab ini, alih-alih menggunakan akar kuadrat, kita hanya akan mengatakan “root”.

B) Jika kita mengkuadratkan bilangan deret natural: 1,2,3,4,5. . . , maka kita mendapatkan tabel kuadrat berikut: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.121.144. .,

Jelasnya, ada banyak bilangan bulat yang tidak ada dalam tabel ini; Tentu saja, tidak mungkin mengekstrak seluruh akar dari bilangan tersebut. Oleh karena itu, jika Anda perlu mengekstrak akar bilangan bulat apa pun, misalnya. diperlukan untuk menemukan √4082, maka kami setuju untuk memahami persyaratan ini sebagai berikut: ekstrak seluruh akar 4082, jika memungkinkan; jika tidak memungkinkan, maka kita harus mencari bilangan bulat terbesar yang kuadratnya 4082 (bilangan tersebut adalah 63, karena 63 2 = 3969, dan 64 2 = 4090).

V) Jika bilangan tersebut kurang dari 100, maka dicari akarnya dengan menggunakan tabel perkalian; Jadi, √60 akan menjadi 7, karena tujuh 7 sama dengan 49, yang berarti kurang dari 60, dan delapan 8 sama dengan 64, yang lebih besar dari 60.

171. Mengekstraksi akar bilangan yang kurang dari 10.000 tetapi lebih besar dari 100. Katakanlah kita perlu mencari √4082. Karena bilangan ini kurang dari 10.000, maka akarnya kurang dari √l0.000 = 100. Sebaliknya, bilangan ini lebih besar dari 100; ini berarti akarnya lebih besar dari (atau sama dengan 10). (Jika, misalnya, perlu mencari √ 120 , maka walaupun angka 120 > 100, namun √ 120 sama dengan 10, karena 11 2 = 121.) Tetapi setiap bilangan yang lebih besar dari 10 tetapi kurang dari 100 mempunyai 2 angka; Artinya akar yang dibutuhkan adalah jumlah:

puluhan + satuan,

dan oleh karena itu kuadratnya harus sama dengan jumlah:

Jumlahnya harus merupakan kuadrat terbesar dari 4082.

Mari kita ambil yang terbesar, 36, dan asumsikan bahwa kuadrat dari akar puluhan akan sama persis dengan kuadrat terbesar ini. Maka jumlah puluhan pada akar haruslah 6. Sekarang mari kita periksa bahwa hal ini harus selalu terjadi, yaitu jumlah puluhan pada akar selalu sama dengan akar bilangan bulat terbesar dari bilangan ratusan radikal.

Memang, dalam contoh kita, jumlah puluhan akar tidak boleh lebih dari 6, karena (7 Desember) 2 = 49 ratusan, yang melebihi 4082. Namun tidak boleh kurang dari 6, karena 5 Desember. (dengan satuan) kurang dari 6 des., sedangkan (6 des.) 2 = 36 ratusan, yaitu kurang dari 4082. Dan karena kita mencari akar bilangan bulat terbesar, kita tidak boleh mengambil 5 des sebagai akarnya, padahal 6 puluhan pun tidaklah banyak.

Jadi, kita sudah menemukan bilangan puluhan dari akarnya, yaitu 6. Bilangan ini kita tuliskan di sebelah kanan tanda =, mengingat yang dimaksud dengan puluhan adalah akarnya. Mengangkatnya dengan kuadrat, kita mendapatkan 36 ratusan. Kita kurangi 36 ratusan ini dari 40 ratusan bilangan radikal dan kurangi dua digit sisa bilangan ini. Sisanya 482 harus berisi 2 (6 Desember) (satuan) + (satuan)2. Hasil kali (6 Desember) (satuan) harus puluhan; oleh karena itu, hasil kali ganda dari puluhan dengan satu harus dicari dalam puluhan sisanya, yaitu dalam 48 (kita mendapatkan nomornya dengan memisahkan satu digit di sebelah kanan dari sisa 48 "2). Penggandaan puluhan dari akar buatlah 12. Artinya jika kita mengalikan 12 dengan satuan akar ( yang masih belum diketahui), maka kita akan mendapatkan bilangan yang terdapat pada 48. Oleh karena itu, kita membagi 48 dengan 12.

Untuk melakukan ini, gambarlah garis vertikal di sebelah kiri sisa dan di belakangnya (mundur dari garis satu tempat ke kiri untuk tujuan yang sekarang akan muncul) kita menulis dua kali lipat digit pertama dari akar, yaitu 12, dan bagilah dengan 48. Hasil bagi kita mendapatkan 4.

Namun, kami tidak dapat menjamin sebelumnya bahwa angka 4 dapat diambil sebagai satuan akar, karena sekarang kami telah membagi bilangan puluhan sisanya dengan 12, sementara beberapa di antaranya mungkin bukan hasil perkalian ganda puluhan dengan satuan, tetapi merupakan bagian dari kuadrat satuan. Oleh karena itu, angka 4 mungkin besar. Kita perlu mencobanya. Jelas cocok jika jumlah 2 (6 Desember) 4 + 4 2 tidak lebih dari sisa 482.

Hasilnya, kami mendapatkan jumlah keduanya sekaligus. Produk yang dihasilkan ternyata 496, lebih besar dari sisanya 482; Artinya angka 4 itu besar. Kalau begitu mari kita uji angka 3 yang lebih kecil berikutnya dengan cara yang sama.

Contoh.

Pada contoh 4, ketika membagi 47 puluhan sisanya dengan 4, kita mendapatkan hasil bagi 11. Namun karena banyaknya satuan akar tidak boleh berupa dua angka 11 atau 10, maka kita harus menguji langsung angka 9.

Dalam contoh 5, setelah mengurangkan 8 dari sisi pertama persegi, sisanya menjadi 0, dan sisi berikutnya juga terdiri dari nol. Hal ini menunjukkan bahwa akar yang diinginkan hanya terdiri dari 8 puluhan, oleh karena itu harus diletakkan angka nol sebagai pengganti satuan.

172. Mengekstraksi akar bilangan yang lebih besar dari 10.000. Katakanlah kita perlu mencari √35782. Karena bilangan radikal melebihi 10.000, akar bilangan tersebut lebih besar dari √10000 = 100 sehingga terdiri dari 3 digit atau lebih. Tidak peduli berapa banyak digit yang ada di dalamnya, kita selalu dapat menganggapnya sebagai jumlah dari puluhan dan satu saja. Kalau misalnya akarnya ternyata 482, maka kita bisa menghitungnya sebagai jumlah 48 des. + 2 unit Maka kuadrat akarnya terdiri dari 3 suku:

(des.) 2 + 2 (des.) (satuan) + (satuan) 2 .

Sekarang kita dapat bernalar dengan cara yang persis sama seperti ketika mencari √4082 (di paragraf sebelumnya). Satu-satunya perbedaan adalah bahwa untuk mencari puluhan dari akar 4082 kita harus mengekstrak akar dari 40, dan ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel perkalian; sekarang, untuk memperoleh puluhan√35782, kita harus mengambil akar dari 357, yang tidak dapat dilakukan menggunakan tabel perkalian. Namun kita dapat mencari √357 dengan menggunakan teknik yang telah dijelaskan pada paragraf sebelumnya, karena bilangan 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Selanjutnya kita lanjutkan seperti yang kita lakukan saat mencari √4082, yaitu: di sebelah kiri sisa 3382 kita tarik garis vertikal dan di belakangnya kita tulis (mundur satu spasi dari garis) dua kali banyaknya puluhan akar yang ditemukan, yaitu 36 (dua kali 18). Sisanya, kita pisahkan satu angka di sebelah kanan dan membagi bilangan puluhan sisanya, yaitu 338, dengan 36. Dalam hasil bagi kita mendapatkan 9. Kita uji bilangan ini, yang kita tetapkan menjadi 36 di sebelah kanan dan kalikan dengan itu. Produknya ternyata 3321, lebih kecil dari sisanya. Artinya angka 9 yang cocok, kita tuliskan di akar kata.

Secara umum, untuk mengekstrak akar kuadrat dari bilangan bulat apa pun, Anda harus mengekstrak akar ratusannya terlebih dahulu; jika bilangan ini lebih dari 100, maka Anda harus mencari akar dari bilangan ratusan dari ratusan ini, yaitu dari puluhan ribu bilangan tersebut; jika angka ini lebih dari 100, Anda harus mengambil akar dari angka ratusan puluhan ribu, yaitu dari jutaan angka tertentu, dan seterusnya.

Contoh.

Pada contoh terakhir, setelah menemukan digit pertama dan mengurangkan kuadratnya, kita mendapatkan sisa 0. Kita mengurangi 2 digit berikutnya 51. Memisahkan puluhan, kita mendapatkan 5 des, sedangkan digit akar yang ditemukan ganda adalah 6. Artinya dari membagi 5 dengan 6 kita mendapatkan 0. Kita letakkan 0 di akar kedua dan tambahkan 2 digit berikutnya ke sisanya; kita mendapat 5110. Lalu kita lanjutkan seperti biasa.

Dalam contoh ini, akar yang diperlukan hanya terdiri dari 9 ratusan, oleh karena itu angka nol harus ditempatkan di tempat puluhan dan di tempat satuan.

Aturan. Untuk mengekstrak akar kuadrat dari bilangan bulat tertentu, mereka membaginya, dari tangan kanan ke kiri, di tepinya, dengan masing-masing 2 digit, kecuali yang terakhir, yang dapat memiliki satu digit.
Untuk mencari digit pertama akar, ambil akar kuadrat dari sisi pertama.
Untuk mencari angka kedua, kuadrat angka pertama akar dikurangkan dari muka pertama, sisa muka kedua dikurangkan, dan bilangan puluhan dari bilangan yang dihasilkan dibagi dua kali lipat angka pertama akar. ; bilangan bulat yang dihasilkan diuji.
Pengujian ini dilakukan seperti ini: di belakang garis vertikal (di sebelah kiri sisa) tulis dua kali bilangan akar yang ditemukan sebelumnya dan di atasnya, di sisi kanan, tambahkan angka yang diuji, bilangan yang dihasilkan, setelah penambahan ini , dikalikan dengan digit yang diuji. Jika setelah dikalikan hasilnya lebih besar dari sisanya, maka angka yang diuji tidak sesuai dan harus diuji angka lebih kecil berikutnya.
Digit akar berikutnya ditemukan dengan menggunakan teknik yang sama.
Jika, setelah menghilangkan suatu muka, jumlah puluhan dari bilangan yang dihasilkan ternyata lebih kecil dari pembaginya, yaitu kurang dari dua kali bagian akar yang ditemukan, maka mereka memberi 0 pada akar, menghilangkan muka berikutnya dan melanjutkan tindakan lebih lanjut.

173. Jumlah digit akar. Dari pertimbangan proses mencari akar, maka banyaknya angka pada akar sama banyaknya dengan banyaknya muka yang masing-masing terdiri dari 2 angka pada bilangan akar (muka kiri boleh mempunyai satu angka).

Bagian dua.

Mengekstraksi perkiraan akar kuadrat dari bilangan bulat dan pecahan .

Untuk mengekstrak akar kuadrat polinomial, lihat penambahan pada bagian ke-2 dari § 399 et seq.

174. Tanda-tanda akar kuadrat eksak. Akar kuadrat eksak suatu bilangan adalah bilangan yang kuadratnya sama persis dengan bilangan tersebut. Mari kita tunjukkan beberapa tanda yang dengannya seseorang dapat menilai apakah suatu akar pasti dapat diekstraksi dari suatu bilangan tertentu atau tidak:

A) Jika akar bilangan bulat eksak tidak diekstraksi dari bilangan bulat tertentu (sisanya diperoleh saat mengekstraksi), maka akar pecahan eksak tidak dapat ditemukan dari bilangan tersebut, karena pecahan apa pun yang tidak sama dengan bilangan bulat, jika dikalikan dengan dirinya sendiri , juga menghasilkan pecahan pada hasil perkaliannya, bukan bilangan bulat.

B) Karena akar suatu pecahan sama dengan akar pembilangnya dibagi akar penyebutnya, maka akar pasti suatu pecahan tak tersederhanakan tidak dapat ditemukan jika tidak dapat diekstraksi dari pembilang atau penyebutnya. Misalnya, akar eksak tidak dapat diekstraksi dari pecahan 4/5, 8/9, dan 11/15, karena pada pecahan pertama tidak dapat diekstraksi dari penyebutnya, pada pecahan kedua - dari pembilangnya, dan pada pecahan ketiga - baik dari pembilangnya maupun dari penyebutnya.

Dari bilangan-bilangan yang akar pastinya tidak dapat diekstraksi, hanya akar perkiraan yang dapat diekstraksi.

175. Perkiraan akar yang akurat hingga 1. Perkiraan akar kuadrat, akurat hingga 1, dari bilangan tertentu (bilangan bulat atau pecahan, tidak masalah) adalah bilangan bulat yang memenuhi dua persyaratan berikut:

1) kuadrat dari bilangan ini tidak lebih besar dari bilangan yang diberikan; 2) tetapi kuadrat bilangan ini ditambah 1 lebih besar dari bilangan tersebut. Dengan kata lain, perkiraan akar kuadrat yang akurat hingga 1 adalah akar kuadrat bilangan bulat terbesar dari suatu bilangan, yaitu akar yang telah kita pelajari untuk menemukannya di bab sebelumnya. Akar ini disebut perkiraan dengan ketelitian 1, karena untuk mendapatkan akar eksak, kita harus menambahkan beberapa pecahan yang kurang dari 1 ke akar perkiraan ini, jadi jika alih-alih akar eksak yang tidak diketahui kita mengambil akar perkiraan ini, kita akan membuat kesalahan kurang dari 1.

Aturan. Untuk mengekstrak perkiraan akar kuadrat yang akurat hingga 1, Anda perlu mengekstrak akar bilangan bulat terbesar dari bagian bilangan bulat dari bilangan tertentu.

Bilangan yang ditemukan menurut aturan ini merupakan akar perkiraan dengan kelemahan , karena tidak memiliki akar eksak dari pecahan tertentu (kurang dari 1). Jika kita menambah akar ini sebesar 1, kita mendapatkan bilangan lain yang memiliki kelebihan pada akar eksak, dan kelebihan ini kurang dari 1. Akar yang bertambah 1 ini juga dapat disebut sebagai akar perkiraan dengan ketelitian 1, tetapi dengan berlebihan. (Nama-nama: “dengan kekurangan” atau “dengan kelebihan” di beberapa buku matematika diganti dengan nama lain yang setara: “dengan kekurangan” atau “dengan kelebihan.”)

176. Perkiraan root dengan akurasi 1/10. Katakanlah kita perlu mencari √2.35104 dengan akurasi 1/10. Artinya, Anda perlu mencari pecahan desimal yang terdiri dari satuan utuh dan persepuluhan dan memenuhi dua persyaratan berikut:

1) kuadrat pecahan ini tidak melebihi 2,35104, tetapi 2) jika kita naikkan 1/10, maka kuadrat pecahan yang diperbesar ini melebihi 2,35104.

Untuk menemukan pecahan seperti itu, pertama-tama kita mencari akar perkiraan yang akurat hingga 1, yaitu, kita mengekstrak akar hanya dari bilangan bulat 2. Kita mendapatkan 1 (dan sisanya adalah 1). Kami menulis angka 1 di akar kata dan memberi koma setelahnya. Sekarang kita akan mencari angka persepuluhnya. Untuk melakukan ini, kita turunkan ke sisa 1 angka 35 di sebelah kanan koma desimal, dan lanjutkan ekstraksi seolah-olah kita sedang mengekstrak akar bilangan bulat 235. Kita tuliskan angka 5 yang dihasilkan di akar di tempat persepuluhan. Kita tidak membutuhkan sisa digit bilangan radikal (104). Bahwa angka 1,5 yang dihasilkan sebenarnya merupakan akar perkiraan dengan ketelitian 1/10 dapat dilihat dari berikut ini. Jika kita mencari akar bilangan bulat terbesar dari 235 dengan ketelitian 1, kita akan mendapatkan 15. Jadi:

15 2 < 235, tapi 16 2 >235.

Membagi semua angka ini dengan 100, kita mendapatkan:

Artinya angka 1,5 adalah pecahan desimal yang kita sebut sebagai akar perkiraan dengan ketelitian 1/10.

Dengan menggunakan teknik ini, kita juga dapat menemukan perkiraan akar berikut dengan akurasi 0,1:

177. Perkiraan akar kuadrat dalam 1/100 hingga 1/1000, dst.

Misalkan kita perlu mencari perkiraan √248 dengan akurasi 1/100. Artinya: temukan pecahan desimal yang terdiri dari bagian bilangan bulat, persepuluhan, dan perseratus dan memenuhi dua persyaratan:

1) kuadratnya tidak melebihi 248, tetapi 2) jika kita menambah pecahan ini sebesar 1/100, maka kuadrat dari pecahan yang diperbesar ini melebihi 248.

Kita akan mencari pecahan tersebut dengan urutan sebagai berikut: pertama kita cari bilangan bulatnya, lalu angka persepuluhannya, lalu angka perseratusnya. Akar suatu bilangan bulat adalah 15 bilangan bulat. Untuk mendapatkan angka persepuluhan, seperti yang telah kita lihat, Anda perlu menambahkan sisa 23 2 digit lagi di sebelah kanan koma desimal. Dalam contoh kita, angka-angka ini tidak ada sama sekali; kita menempatkan angka nol di tempatnya. Dengan menjumlahkannya ke sisanya dan melanjutkan seolah-olah kita sedang mencari akar dari bilangan bulat 24.800, kita akan menemukan angka persepuluhan 7. Tetap mencari angka perseratus. Untuk melakukan ini, kita menambahkan 2 angka nol lagi ke sisa 151 dan melanjutkan ekstraksi, seolah-olah kita sedang mencari akar dari bilangan bulat 2.480.000. Kita mendapatkan 15,74. Bahwa angka tersebut sebenarnya merupakan perkiraan akar dari 248 dengan ketelitian 1/100 dapat dilihat dari berikut ini. Jika kita mencari akar kuadrat bilangan bulat terbesar dari bilangan bulat 2.480.000, kita akan mendapatkan 1574; Cara:

1574 2 < 2.480.000, tetapi 1575 2 > 2.480.000.

Membagi semua bilangan dengan 10.000 (= 100 2), kita mendapatkan:

Artinya 15,74 adalah pecahan desimal yang kita sebut sebagai akar perkiraan dengan ketelitian 1/100 dari 248.

Menerapkan teknik ini untuk mencari perkiraan akar dengan akurasi 1/1000 hingga 1/10000, dst., kita akan menemukan yang berikut ini.

Aturan. Untuk mengekstrak akar perkiraan dari bilangan bulat tertentu atau dari pecahan desimal tertentu dengan akurasi 1/10 hingga 1/100 hingga 1/100, dll., pertama-tama temukan akar perkiraan dengan akurasi 1, ekstrak akar dari bilangan bulat (jika tidak, mereka menulis tentang akar dari 0 bilangan bulat).

Kemudian mereka menemukan angka persepuluh. Untuk melakukannya, tambahkan sisa 2 digit bilangan radikal di sebelah kanan koma desimal (jika tidak ada, tambahkan dua angka nol ke sisanya), dan lanjutkan ekstraksi seperti yang dilakukan saat mengekstraksi akar bilangan bulat . Angka yang dihasilkan ditulis di akar tempat persepuluhan.

Kemudian temukan angka perseratusnya. Untuk melakukan ini, dua angka di sebelah kanan angka yang baru saja dihapus ditambahkan ke sisanya, dan seterusnya.

Jadi, ketika mengekstraksi akar bilangan bulat dengan pecahan desimal, perlu untuk membagi menjadi 2 digit masing-masing, mulai dari titik desimal, baik ke kiri (di bagian bilangan bulat) dan ke kanan (dalam bagian pecahan).

Contoh.

1) Temukan hingga 1/100 akar: a) √2; b) √0,3;

Pada contoh terakhir, kita mengubah pecahan 3/7 menjadi desimal dengan menghitung 8 tempat desimal untuk membentuk 4 sisi yang diperlukan untuk mencari 4 tempat desimal dari akarnya.

178. Deskripsi tabel akar kuadrat. Di akhir buku ini terdapat tabel akar kuadrat yang dihitung dengan empat digit. Dengan menggunakan tabel ini, Anda dapat dengan cepat menemukan akar kuadrat dari bilangan bulat (atau pecahan desimal) yang dinyatakan dalam tidak lebih dari empat digit. Sebelum menjelaskan bagaimana tabel ini disusun, kami mencatat bahwa kami selalu dapat menemukan digit signifikan pertama dari akar yang diinginkan tanpa bantuan tabel hanya dengan melihat bilangan radikal; kita juga dapat dengan mudah menentukan tempat desimal mana yang berarti angka pertama dari akar dan, oleh karena itu, di mana di akar, ketika kita menemukan angkanya, kita harus memberi koma. Berikut beberapa contohnya:

1) √5"27,3 . Digit pertama adalah 2, karena ruas kiri bilangan radikal adalah 5; dan akar dari 5 sama dengan 2. Selain itu, karena pada bagian bilangan bulat dari akar hanya terdapat 2 muka, maka pada bagian bilangan bulat dari akar yang diinginkan harus terdapat 2 angka dan oleh karena itu, angka pertamanya 2 harus berarti puluhan.

2) √9.041. Jelasnya, pada akar ini digit pertamanya adalah 3 satuan prima.

3) √0,00"83"4. Angka penting pertama adalah 9, karena muka yang harus diambil akarnya untuk memperoleh angka penting pertama adalah 83, dan akar dari 83 adalah 9. Karena bilangan yang diperlukan tidak berisi bilangan bulat atau persepuluh, maka angka pertama 9 harus berarti seperseratus.

4) √0.73"85. Angka penting pertama adalah 8 persepuluh.

5) √0.00"00"35"7. Angka penting pertama adalah 5 per seribu.

Mari kita membuat satu komentar lagi. Mari kita asumsikan bahwa kita perlu mengekstrak akar suatu bilangan yang, setelah membuang kata yang ditempati di dalamnya, diwakili oleh serangkaian angka seperti ini: 5681. Akar ini dapat berupa salah satu dari berikut ini:

Jika kita ambil akar-akar yang kita garis bawahi dengan satu garis, maka semuanya akan dinyatakan dengan deret angka yang sama, tepatnya angka-angka yang didapat saat mengekstrak akar dari 5681 (ini akan menjadi angka 7, 5, 3, 7 ). Alasannya adalah bahwa muka-muka yang harus membagi bilangan akar ketika mencari angka-angka akarnya akan sama pada semua contoh ini, oleh karena itu angka-angka untuk setiap akar akan sama (hanya posisi desimalnya). tentu saja akan berbeda). Dengan cara yang sama, pada semua akar yang kita garis bawahi dengan dua garis, seharusnya diperoleh bilangan yang sama, tepatnya bilangan yang digunakan untuk menyatakan √568.1 (bilangan ini akan menjadi 2, 3, 8, 3), dan untuk bilangan yang sama alasan. Jadi, digit-digit dari akar-akar bilangan yang diwakili (dengan menghilangkan koma) oleh deretan bilangan yang sama 5681 akan terdiri dari dua (dan hanya dua) jenis: apakah ini baris 7, 5, 3, 7, atau baris 2, 3, 8, 3. Hal yang sama tentu saja dapat dikatakan tentang rangkaian angka lainnya. Oleh karena itu, seperti yang akan kita lihat sekarang, dalam tabel, setiap baris digit bilangan radikal berhubungan dengan 2 baris digit akar-akarnya.

Sekarang kami dapat menjelaskan struktur tabel dan cara menggunakannya. Untuk kejelasan penjelasan, kami telah menampilkan awal halaman pertama tabel di sini.

Tabel ini terletak di beberapa halaman. Pada masing-masingnya, pada kolom pertama di sebelah kiri, ditempatkan angka 10, 11, 12... (hingga 99). Angka-angka ini menyatakan 2 digit pertama dari angka yang dicari akar kuadratnya. Di garis horizontal atas (dan juga di bawah) terdapat angka: 0, 1, 2, 3... 9, mewakili digit ke-3 dari angka ini, dan selanjutnya ke kanan adalah angka 1, 2, 3. . . 9, mewakili digit ke-4 dari angka ini. Semua garis horizontal lainnya berisi 2 angka empat digit yang menyatakan akar kuadrat dari angka-angka yang bersesuaian.

Misalkan Anda perlu mencari akar kuadrat suatu bilangan, baik bilangan bulat atau dinyatakan sebagai pecahan desimal. Pertama-tama, kita menemukan, tanpa bantuan tabel, digit pertama dari akar dan digitnya. Kemudian kita akan membuang koma pada nomor ini, jika ada. Mari kita asumsikan dulu bahwa setelah koma dihilangkan, misalnya hanya tersisa 3 digit. 114. Kita temukan pada tabel di kolom paling kiri 2 digit pertama, yaitu 11, dan gerakkan dari tabel tersebut ke kanan sepanjang garis horizontal hingga kita mencapai kolom vertikal, yang di bagian atas (dan bawah) terdapat digit ke-3 dari bilangan tersebut , yaitu 4. Di tempat ini kita menemukan dua bilangan empat digit: 1068 dan 3376. Manakah dari dua bilangan ini yang harus diambil dan di mana menempatkan koma di dalamnya, ini ditentukan oleh digit pertama dari akar dan digitnya, yang kami temukan sebelumnya. Jadi, jika kita ingin mencari √0.11"4, maka angka pertama dari akar tersebut adalah 3 persepuluh, oleh karena itu kita harus mengambil 0,3376 sebagai akarnya. Jika kita perlu mencari √1.14, maka angka pertama dari akar tersebut adalah 1, dan kita Maka kita akan mengambil 1,068.

Dengan cara ini kita dapat dengan mudah menemukan:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, dst.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa kita perlu mencari akar suatu bilangan yang dinyatakan (dengan menghilangkan koma desimal) dalam 4 digit, misalnya, √7"45.6. Perhatikan bahwa digit pertama dari akar tersebut adalah 2 puluhan, kita cari angka 745, seperti yang sudah dijelaskan, angka 2729 (angka ini hanya kita perhatikan dengan jari kita, tapi tidak dituliskan.) Kemudian kita pindahkan dari angka ini lebih jauh ke kanan sampai di sisi kanan meja (di belakang garis tebal terakhir) kita bertemu dengan kolom vertikal yang ditandai di atas (dan bawah) 4 digit ke-th dari angka yang diberikan, yaitu angka 6, dan temukan angka 1 di sana, ini akan menjadi koreksi yang harus diterapkan (dalam pikiran) ke angka yang ditemukan sebelumnya 2729, kita mendapatkan 2730. Kita tuliskan angka ini dan beri koma di tempat yang tepat : 27.30.

Dengan cara ini kita menemukan, misalnya:

√44,37 = 6,661; √4.437 = 2.107; √0,04"437 =0,2107, dst.

Jika bilangan radikal dinyatakan hanya dengan satu atau dua angka, maka kita dapat mengasumsikan bahwa angka-angka tersebut diikuti oleh satu atau dua angka nol, dan kemudian melanjutkan seperti yang dijelaskan untuk bilangan tiga angka. Misalnya, √2.7 =√2.70 =1.643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606, dst..

Terakhir, jika bilangan radikal dinyatakan lebih dari 4 angka, maka kita ambil 4 angka pertama saja, dan sisanya dibuang, dan untuk mengurangi kesalahan, jika angka pertama yang dibuang adalah 5 atau lebih dari 5, maka kita akan menambah l keempat digit yang dipertahankan. Jadi:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; dan seterusnya.

Komentar. Tabel menunjukkan perkiraan akar kuadrat, terkadang dengan kekurangan, terkadang dengan kelebihan, yaitu salah satu dari perkiraan akar yang mendekati akar eksak.

179. Mengekstraksi akar kuadrat dari pecahan biasa. Akar kuadrat eksak dari pecahan tak tersederhanakan hanya dapat diekstraksi jika kedua suku pecahan tersebut adalah kuadrat eksak. Dalam hal ini, cukup mengekstrak akar pembilang dan penyebutnya secara terpisah, misalnya:

Cara termudah untuk menemukan perkiraan akar kuadrat dari pecahan biasa dengan presisi desimal tertentu adalah dengan terlebih dahulu mengubah pecahan biasa menjadi desimal, dengan menghitung dalam pecahan ini jumlah tempat desimal setelah koma desimal yang akan menjadi dua kali jumlah tempat desimal di root yang diinginkan.

Namun, Anda dapat melakukannya secara berbeda. Mari kita jelaskan dengan contoh berikut:

Temukan perkiraan √ 5/24

Mari kita buat penyebutnya menjadi persegi eksak. Untuk melakukan ini, cukup mengalikan kedua suku pecahan dengan penyebut 24; namun dalam contoh ini Anda dapat melakukannya secara berbeda. Mari kita pecahkan 24 menjadi faktor prima: 24 = 2 2 2 3. Dari penguraian ini jelas bahwa jika 24 dikalikan dengan 2 dan 3 lagi, maka dalam hasil perkalian setiap faktor sederhana akan diulang beberapa kali, dan oleh karena itu , penyebutnya akan menjadi persegi:

Tetap menghitung √30 dengan akurasi tertentu dan membagi hasilnya dengan 12. Harus diingat bahwa membagi dengan 12 juga akan mengurangi pecahan yang menunjukkan tingkat akurasi. Jadi, jika kita mencari √30 dengan ketelitian 1/10 dan membagi hasilnya dengan 12, kita akan memperoleh perkiraan akar pecahan 5/24 dengan ketelitian 1/120 (yaitu 54/120 dan 55/120)

Bab tiga.

Grafik suatu fungsix = √y .

180. Fungsi terbalik. Biarkan beberapa persamaan diberikan yang menentukan pada sebagai fungsi dari X , misalnya seperti ini: kamu = x 2 . Kita dapat mengatakan bahwa itu tidak hanya menentukan pada sebagai fungsi dari X , tetapi juga, sebaliknya, menentukan X sebagai fungsi dari pada , meskipun secara implisit. Untuk membuat fungsi ini eksplisit, kita perlu menyelesaikan persamaan ini X , memukau pada untuk nomor yang diketahui; Jadi, dari persamaan yang kami ambil, kami menemukan: kamu = x 2 .

Ekspresi aljabar yang diperoleh untuk x setelah menyelesaikan persamaan yang mendefinisikan y sebagai fungsi dari x disebut fungsi invers dari persamaan yang mendefinisikan y.

Jadi fungsinya x = √y fungsi terbalik kamu = x 2 . Jika, seperti biasa, kita menyatakan variabel bebas X , dan tanggungan pada , maka invers fungsi yang diperoleh sekarang dapat dinyatakan sebagai berikut: kamu = √x . Jadi, untuk mendapatkan suatu fungsi yang berbanding terbalik dengan suatu fungsi tertentu (langsung), perlu diturunkan persamaan yang mendefinisikan fungsi tersebut. X tergantung pada kamu dan dalam ekspresi yang dihasilkan ganti kamu pada X , A X pada kamu .

181. Grafik suatu fungsi kamu = √x . Fungsi ini tidak mungkin dilakukan dengan nilai negatif X , tetapi dapat dihitung (dengan keakuratan apa pun) untuk nilai positif apa pun X , dan untuk setiap nilai tersebut, fungsi tersebut menerima dua nilai berbeda dengan nilai absolut yang sama, tetapi dengan tanda yang berlawanan. Jika Anda sudah familiar √ Jika kita hanya menyatakan nilai aritmatika dari akar kuadrat, maka kedua nilai fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: kamu = ± √x Untuk membuat grafik fungsi ini, Anda harus terlebih dahulu menyusun tabel nilainya. Cara termudah untuk membuat tabel ini adalah dari tabel nilai fungsi langsung:

kamu = x 2 .

jika nilainya pada anggap sebagai nilai X , dan sebaliknya:

kamu = ± √x

Dengan memplot semua nilai ini pada gambar, kita mendapatkan grafik berikut.

Pada gambar yang sama kita menggambarkan (dengan garis putus-putus) grafik fungsi langsung kamu = x 2 . Mari kita bandingkan kedua grafik ini satu sama lain.

182. Hubungan grafik fungsi langsung dan fungsi invers. Untuk menyusun tabel nilai fungsi invers kamu = ± √x kami mengambil untuk X bilangan-bilangan yang ada pada tabel fungsi langsung kamu = x 2 disajikan sebagai nilai untuk pada , dan untuk pada mengambil nomor-nomor itu; yang dalam tabel ini adalah nilainya X . Oleh karena itu kedua grafik tersebut adalah sama, hanya grafik fungsi garis lurus yang letaknya relatif terhadap sumbu pada - bagaimana letak grafik fungsi invers relatif terhadap sumbu X - ov. Akibatnya jika kita membengkokkan gambar di sekitar garis lurus OA membagi dua sudut siku-siku xOy , sehingga bagian gambar tersebut memuat titik semi sumbu kamu , jatuh pada bagian yang memuat poros gardan Oh , Itu kamu cocok dengan Oh , semua divisi kamu akan bertepatan dengan perpecahan Oh , dan titik parabola kamu = x 2 akan sejajar dengan titik-titik yang sesuai pada grafik kamu = ± √x . Misalnya saja poin M Dan N , yang ordinatnya 4 , dan absis 2 Dan - 2 , akan bertepatan dengan poinnya M" Dan N" , yang absisnya 4 , dan ordinatnya 2 Dan - 2 . Jika titik-titik tersebut bertepatan berarti garis lurus MM" Dan tidak" tegak lurus terhadap OA dan bagilah garis lurus ini menjadi dua. Hal yang sama dapat dikatakan untuk semua titik lain yang bersesuaian di kedua grafik.

Dengan demikian grafik fungsi invers seharusnya sama dengan grafik fungsi langsung, namun letak grafik-grafik tersebut berbeda yaitu simetris satu sama lain terhadap garis bagi sudut. xOy . Dapat dikatakan bahwa grafik fungsi invers merupakan refleksi (seperti pada cermin) grafik fungsi langsung terhadap garis bagi sudut. xOy .

Mengekstraksi akarnya adalah operasi kebalikan dari meningkatkan kekuatan. Artinya, dengan mengambil akar dari bilangan X, kita memperoleh suatu bilangan yang dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan X.

Mengekstrak root adalah operasi yang cukup sederhana. Tabel persegi dapat mempermudah pekerjaan ekstraksi. Karena tidak mungkin mengingat semua kuadrat dan akar, tetapi jumlahnya mungkin banyak.

Mengekstraksi akar suatu bilangan

Menghitung akar kuadrat suatu bilangan itu mudah. Apalagi hal ini tidak bisa dilakukan segera, melainkan bertahap. Misalnya, ambil ekspresi √256. Awalnya, sulit bagi orang bodoh untuk langsung memberikan jawaban. Kemudian kita akan melakukannya selangkah demi selangkah. Pertama, kita bagi dengan angka 4 saja, lalu kita ambil kuadrat yang dipilih sebagai akarnya.

Mari kita nyatakan: √(64 4), maka setara dengan 2√64. Dan seperti yang anda ketahui, menurut tabel perkalian 64 = 8 8. Jawabannya adalah 2*8=16.

Mendaftarlah untuk kursus "Mempercepat aritmatika mental, BUKAN aritmatika mental" untuk mempelajari cara menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, membagi, mengkuadratkan bilangan, dan bahkan mengekstrak akar dengan cepat dan benar. Dalam 30 hari, Anda akan belajar cara menggunakan trik mudah untuk menyederhanakan operasi aritmatika. Setiap pelajaran berisi teknik-teknik baru, contoh-contoh yang jelas dan tugas-tugas yang berguna.

Mengekstraksi akar yang kompleks

Akar kuadrat tidak dapat dihitung dari bilangan negatif, karena bilangan kuadrat apa pun adalah bilangan positif!

Bilangan kompleks adalah bilangan i yang kuadratnya sama dengan -1. Artinya, i2=-1.

Dalam matematika, ada bilangan yang diperoleh dengan mengakarkan bilangan -1.

Artinya, akar bilangan negatif dapat dihitung, tetapi ini sudah berlaku untuk matematika tingkat tinggi, bukan matematika sekolah.

Mari kita perhatikan contoh ekstraksi akar seperti ini: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Kalkulator root online

Dengan menggunakan kalkulator kami, Anda dapat menghitung ekstraksi suatu bilangan dari akar kuadrat:

Mengonversi Ekspresi yang Mengandung Operasi Root

Inti dari transformasi ekspresi radikal adalah menguraikan bilangan radikal menjadi bilangan yang lebih sederhana, yang darinya dapat diekstraksi akarnya. Seperti 4, 9, 25 dan seterusnya.

Mari kita beri contoh, √625. Mari kita bagi ekspresi radikal dengan angka 5. Kita mendapatkan √(125 5), ulangi operasi √(25 25), tetapi kita tahu bahwa 25 adalah 52. Artinya jawabannya adalah 5*5=25.

Namun ada bilangan yang akarnya tidak dapat dihitung menggunakan metode ini dan Anda hanya perlu mengetahui jawabannya atau memiliki tabel kuadrat.

√289=√(17*17)=17

Intinya

Kami hanya melihat puncak gunung es, untuk memahami matematika dengan lebih baik - daftarlah pada kursus kami: Mempercepat aritmatika mental - BUKAN aritmatika mental.

Dari kursus ini Anda tidak hanya akan mempelajari lusinan teknik perkalian, penjumlahan, perkalian, pembagian, dan penghitungan persentase yang disederhanakan dan cepat, tetapi Anda juga akan mempraktikkannya dalam tugas-tugas khusus dan permainan edukatif! Aritmatika mental juga memerlukan banyak perhatian dan konsentrasi, yang dilatih secara aktif ketika memecahkan masalah yang menarik.

instruksi

Pilih pengali untuk bilangan radikal, yang dihilangkan dari bawah akar benar-benar sebuah ekspresi - jika tidak, operasinya akan kalah. Misalnya jika di bawah tanda akar dengan eksponen sama dengan tiga (akar pangkat tiga), biayanya nomor 128, maka dari bawah tanda tersebut dapat dikeluarkan, misalnya, nomor 5. Pada saat yang sama, radikal nomor 128 harus dibagi 5 pangkat tiga: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Jika adanya bilangan pecahan di bawah tanda akar tidak bertentangan dengan kondisi permasalahan, maka dimungkinkan dalam bentuk ini. Jika Anda memerlukan opsi yang lebih sederhana, pertama-tama pecahkan ekspresi radikal menjadi faktor bilangan bulat, yang akar pangkat tiga salah satunya adalah bilangan bulat nomor m. Misalnya: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Gunakan untuk memilih faktor suatu bilangan radikal jika tidak mungkin menghitung pangkat suatu bilangan di kepala Anda. Hal ini terutama berlaku untuk akar m dengan eksponen lebih besar dari dua. Jika Anda memiliki akses ke Internet, Anda dapat melakukan perhitungan menggunakan kalkulator yang ada di mesin pencari Google dan Nigma. Misalnya, jika Anda ingin mencari faktor bilangan bulat terbesar yang dapat diambil dari bawah tanda kubik akar untuk nomor 250, lalu buka situs web Google dan masukkan kueri “6^3” untuk memeriksa apakah mungkin untuk menghapusnya dari bawah tanda akar enam. Mesin pencari akan menampilkan hasil sebesar 216. Sayangnya, 250 tidak dapat dibagi tanpa sisa dengan ini nomor. Kemudian masukkan kueri 5^3. Hasilnya adalah 125, dan ini memungkinkan Anda membagi 250 menjadi faktor 125 dan 2, yang berarti menghilangkan tandanya akar nomor 5, berangkat dari sana nomor 2.

Sumber:

• bagaimana cara mengeluarkannya dari bawah akarnya
• Akar kuadrat dari produk

Keluarkan dari bawah akar salah satu faktor diperlukan dalam situasi di mana Anda perlu menyederhanakan ekspresi matematika. Ada kalanya tidak mungkin melakukan perhitungan yang diperlukan menggunakan kalkulator. Misalnya, jika sebutan huruf untuk variabel digunakan sebagai pengganti angka.

instruksi

Pecahkan ekspresi radikal menjadi faktor-faktor sederhana. Lihat faktor mana yang diulang dengan jumlah yang sama, yang ditunjukkan dalam indikator akar, atau lebih. Misalnya, Anda perlu mengambil akar keempat dari a. Dalam hal ini, bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indikator akar dalam hal ini akan sesuai dengan faktor a3. Itu perlu dikeluarkan dari tandanya.

Ekstrak akar radikal yang dihasilkan secara terpisah jika memungkinkan. Ekstraksi akar adalah operasi aljabar kebalikan dari eksponensial. Ekstraksi akar dari suatu pangkat sembarang, carilah suatu bilangan dari suatu bilangan yang, jika dipangkatkan, akan menghasilkan bilangan tersebut. Jika ekstraksi akar tidak dapat diproduksi, tinggalkan ekspresi radikal di bawah tanda akar memang seperti itu. Sebagai akibat dari tindakan di atas, Anda akan dikeluarkan dari bawah tanda akar.

Video tentang topik tersebut

catatan

Berhati-hatilah saat menulis ekspresi radikal dalam bentuk faktor - kesalahan pada tahap ini akan menyebabkan hasil yang salah.

Saran yang bermanfaat

Saat mengekstraksi akar, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel khusus atau tabel akar logaritmik - ini akan secara signifikan mengurangi waktu yang diperlukan untuk menemukan solusi yang tepat.

Sumber:

• tanda ekstraksi akar pada tahun 2019

Penyederhanaan ekspresi aljabar diperlukan dalam banyak bidang matematika, termasuk penyelesaian persamaan tingkat tinggi, diferensiasi dan integrasi. Beberapa metode yang digunakan, termasuk faktorisasi. Untuk menerapkan metode ini, Anda perlu mencari dan membuat generalisasinya faktor di belakang tanda kurung.

instruksi

Melakukan pengganda total tanda kurung- salah satu metode dekomposisi yang paling umum. Teknik ini digunakan untuk menyederhanakan struktur ekspresi aljabar panjang, yaitu. polinomial. Bilangan umum dapat berupa bilangan, monomial atau binomial, dan untuk mencarinya digunakan sifat distributif perkalian.

Bilangan Perhatikan baik-baik koefisien setiap polinomial untuk mengetahui apakah polinomial tersebut dapat dibagi dengan bilangan yang sama. Misalnya, dalam ekspresi 12 z³ + 16 z² – 4 sudah jelas faktor 4. Setelah transformasi, Anda mendapatkan 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Dengan kata lain, bilangan ini adalah pembagi bilangan bulat terkecil dari semua koefisien.

Monomial Tentukan apakah variabel yang sama ada pada setiap suku polinomial. Dengan asumsi demikian, sekarang lihat koefisiennya seperti pada kasus sebelumnya. Contoh: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Setiap elemen polinomial ini berisi variabel z. Selain itu, semua koefisien adalah bilangan kelipatan 3. Oleh karena itu, faktor persekutuannya adalah monomial 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Binomial.Untuk tanda kurung umum faktor dari dua, variabel dan angka, yang merupakan polinomial persekutuan. Oleh karena itu, jika faktor-binomialnya tidak jelas, maka Anda perlu menemukan setidaknya satu akar. Pilih suku bebas polinomial; ini adalah koefisien tanpa variabel. Sekarang terapkan metode substitusi ke dalam ekspresi umum semua pembagi bilangan bulat suku bebas.

Perhatikan: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Periksa apakah ada faktor bilangan bulat dari 4 yang z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Dengan substitusi sederhana, carilah z1 = 1 dan z2 = 2 yang artinya untuk tanda kurung kita dapat menghilangkan binomial (z - 1) dan (z - 2). Untuk menemukan ekspresi yang tersisa, gunakan pembagian panjang berurutan.