Bagaimana cara menghitung volume suatu benda revolusi dengan menggunakan integral tertentu? Perhitungan volume benda revolusi menggunakan integral tertentu

Cara menghitung volume suatu benda revolusi
menggunakan integral tertentu?

Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral; dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas bangun, volume benda rotasi, panjang busur, luas permukaan rotasi dan banyak lagi. Jadi ini akan menyenangkan, harap tetap optimis!

Bayangkan suatu bangun datar pada bidang koordinat. Diperkenalkan? ... Entah siapa yang menyajikan apa... =))) Kita sudah menemukan luasnya. Namun selain itu, angka ini juga dapat diputar, dan diputar dengan dua cara:

- di sekitar sumbu absis;
- di sekitar sumbu ordinat.

Artikel ini akan membahas kedua kasus tersebut. Metode rotasi kedua sangat menarik; metode ini menyebabkan kesulitan paling besar, namun pada kenyataannya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Sebagai bonus saya akan kembali lagi masalah mencari luas suatu bangun, dan saya akan memberi tahu Anda cara mencari luas dengan cara kedua - sepanjang sumbu. Ini bukan bonus karena materinya sesuai dengan topik.

Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

sosok datar di sekitar sumbu

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti pada soal mencari luas, penyelesaiannya dimulai dengan menggambar bangun datar. Artinya, pada bidang tersebut perlu dibuat bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut menentukan sumbunya. Cara menyelesaikan gambar dengan lebih efisien dan cepat dapat ditemukan di halaman Grafik dan properti fungsi Dasar Dan . Ini adalah pengingat Tiongkok, dan pada titik ini saya tidak akan membahasnya lebih jauh.

Gambar di sini cukup sederhana:

Bentuk datar yang diinginkan diberi warna biru, yaitu yang berputar pada sumbunya, dan sebagai hasil dari putaran tersebut diperoleh piring terbang agak bulat telur yang simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya benda itu punya nama matematis, tapi saya terlalu malas untuk menjelaskan apa pun di buku referensi, jadi kita lanjutkan.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda revolusi?

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di puncaknya. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumusnya dikuadratkan: , jadi integralnya selalu non-negatif, yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, Anda harus menunjukkan dimensi - satuan kubik. Artinya, dalam benda rotasi kita terdapat kurang lebih 3,35 “kubus”. Mengapa kubik unit? Karena formulasinya paling universal. Mungkin ada sentimeter kubik, mungkin ada meter kubik, mungkin ada kilometer kubik, dll., itulah jumlah manusia hijau yang dapat dimasukkan ke dalam piring terbang dalam imajinasi Anda.

Hitunglah volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun yang dibatasi oleh garis , ,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis dari bangun yang dibatasi oleh garis , , dan

Larutan: Mari kita gambarkan pada gambar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda rotasi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan .

Perhatikan gambar yang dilingkari warna hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan .

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda rotasi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume benda rotasi yang diinginkan:

Menjawab:

Anehnya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, seperti yang diperhatikan oleh Perelman (yang lain) dalam bukunya Geometri yang menghibur. Lihatlah gambar datar dalam soal yang diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusi hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang meminum cairan yang setara dengan ruangan seluas 18 meter persegi sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , dimana .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua kasus terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi yang sudah jadi sebenarnya diberikan. Gambarlah grafik fungsi trigonometri dengan benar, izinkan saya mengingatkan Anda pada materi pelajaran tentang transformasi geometri grafik: jika argumennya dibagi dua: , maka grafiknya diregangkan dua kali sepanjang sumbunya. Dianjurkan untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri untuk menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Perhitungan volume benda yang dibentuk oleh rotasi
sosok datar di sekitar sumbu

Paragraf kedua akan lebih menarik dari paragraf pertama. Tugas menghitung volume suatu benda yang berputar di sekitar sumbu ordinat juga merupakan tugas yang cukup umum dalam pekerjaan pengujian. Sepanjang jalan itu akan dipertimbangkan masalah mencari luas suatu bangun metode kedua adalah integrasi sepanjang sumbu, ini akan memungkinkan Anda tidak hanya meningkatkan keterampilan Anda, tetapi juga mengajari Anda cara menemukan jalur solusi yang paling menguntungkan. Ada juga makna hidup praktis dalam hal ini! Seperti yang diingat oleh guru saya tentang metode pengajaran matematika sambil tersenyum, banyak lulusan yang mengucapkan terima kasih dengan kata-kata: “Mata pelajaran Anda banyak membantu kami, sekarang kami adalah manajer yang efektif dan mengelola staf secara optimal.” Pada kesempatan ini saya juga mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada beliau, apalagi ilmu yang diperoleh saya gunakan untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Saya merekomendasikannya kepada semua orang, bahkan orang bodoh sekalipun. Selain itu, materi yang dipelajari pada paragraf kedua akan sangat membantu dalam menghitung integral ganda.

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , .

1) Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut.
2) Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Perhatian! Kalaupun Anda hanya ingin membaca poin kedua, pastikan membaca poin pertama terlebih dahulu!

Larutan: Tugas terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita membuat gambar:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi tersebut menentukan cabang atas parabola, dan fungsi tersebut menentukan cabang bawah parabola. Di depan kita ada parabola sepele yang “terletak miring”.

Gambar yang diinginkan, luas yang ingin dicari, diarsir dengan warna biru.

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun? Hal ini dapat ditemukan dengan cara “biasa” yang dibahas di kelas Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun. Selain itu, luas gambar tersebut ditemukan sebagai jumlah dari luas:
- di segmen tersebut ;
- di segmen tersebut.

Itu sebabnya:

Mengapa solusi yang biasa buruk dalam kasus ini? Pertama, kita mendapat dua integral. Kedua, di bawah integral terdapat akar-akar, dan akar-akar dalam integral bukanlah anugerah, dan selain itu, Anda bisa bingung dalam mensubstitusi batas-batas integrasi. Faktanya, integral, tentu saja, tidak mematikan, tetapi dalam praktiknya semuanya bisa lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi yang "lebih baik" untuk masalah tersebut.

Ada solusi yang lebih rasional: ini terdiri dari peralihan ke fungsi invers dan integrasi sepanjang sumbu.

Bagaimana cara mendapatkan fungsi invers? Secara kasar, Anda perlu menyatakan “x” melalui “y”. Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat sumbunya: miringkan kepala Anda secara berkala ke kanan sebesar 90 derajat seperti yang Anda jelaskan (ini bukan lelucon!). Gambar yang kita perlukan terletak pada ruas yang ditandai dengan garis putus-putus berwarna merah. Dalam hal ini, pada ruas tersebut garis lurus terletak di atas parabola, artinya luas bangun tersebut harus dicari dengan menggunakan rumus yang sudah Anda kenal: . Apa yang berubah dalam formulanya? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Catatan: Batas integrasi sepanjang sumbu harus ditetapkan ketat dari bawah ke atas!

Menemukan luasnya:

Oleh karena itu, pada segmen tersebut:

Harap perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini adalah cara yang paling rasional, dan di paragraf tugas berikutnya akan jelas alasannya.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Fungsi integran asli diperoleh yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Mari kita hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi gambar ini mengelilingi sumbunya.

Saya akan menggambar ulang gambarnya dengan desain yang sedikit berbeda:

Jadi, bangun yang diarsir warna biru berputar mengelilingi sumbunya. Hasilnya adalah “kupu-kupu yang melayang” yang berputar pada porosnya.

Untuk mencari volume suatu benda rotasi, kita akan melakukan integrasi sepanjang sumbunya. Pertama kita perlu pergi ke fungsi invers. Hal ini telah dilakukan dan dijelaskan secara rinci pada paragraf sebelumnya.

Sekarang kita kembali memiringkan kepala ke kanan dan mempelajari sosok kita. Jelasnya, volume suatu benda rotasi harus dicari sebagai perbedaan volumenya.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan .

Kami memutar gambar yang dilingkari hijau di sekitar sumbu dan menyatakannya dengan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan selisih volumenya.

Kami menggunakan rumus untuk mencari volume benda revolusi:

Apa bedanya dengan rumus pada paragraf sebelumnya? Hanya di surat itu.

Namun keuntungan dari integrasi yang baru-baru ini saya bicarakan jauh lebih mudah ditemukan , daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Menjawab:

Harap dicatat bahwa jika bangun datar yang sama diputar pada sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda, dengan volume yang berbeda, secara alami.

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis dan sumbu.

1) Pergi ke fungsi invers dan temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis ini dengan mengintegrasikan variabelnya.
2) Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Mereka yang berminat juga dapat mencari luas suatu bangun dengan cara “biasa”, dengan memeriksa poin 1). Tetapi jika, saya ulangi, Anda memutar bangun datar di sekitar sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda dengan volume yang berbeda, omong-omong, jawaban yang benar (juga bagi mereka yang suka memecahkan masalah).

Solusi lengkap untuk dua poin tugas yang diusulkan ada di akhir pelajaran.

Ya, dan jangan lupa miringkan kepala ke kanan untuk memahami benda rotasi dan batas integrasinya!

Saya hendak menyelesaikan artikelnya, tetapi hari ini mereka memberikan contoh menarik hanya untuk mencari volume benda revolusi di sekitar sumbu ordinat. Segar:

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh kurva dan .

Larutan: Mari kita membuat gambar:

Sepanjang jalan, kita berkenalan dengan grafik beberapa fungsi lainnya. Berikut adalah grafik menarik dari fungsi genap...

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di puncaknya. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - fungsi dalam rumusnya dikuadratkan: , jadi volume suatu badan revolusi selalu non-negatif, yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Contoh 2

Hitunglah volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun yang dibatasi oleh garis , ,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis dari bangun yang dibatasi oleh garis , , dan

Larutan: Mari kita gambarkan dalam gambar sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda rotasi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan .

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda rotasi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume benda rotasi yang diinginkan:

Menjawab:

Anehnya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, yang diperhatikan oleh Perelman (bukan yang itu) di dalam buku Geometri yang menghibur. Lihatlah gambar datar dalam soal yang diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusi hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang meminum cairan yang setara dengan ruangan seluas 18 meter persegi sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Secara umum, sistem pendidikan di Uni Soviet memang yang terbaik. Buku yang sama karya Perelman, yang ditulisnya pada tahun 1950, berkembang dengan sangat baik, seperti yang dikatakan sang pelawak, memikirkan dan mengajarkan seseorang untuk mencari solusi orisinal dan non-standar terhadap suatu masalah. Saya baru-baru ini membaca ulang beberapa bab dengan penuh minat, saya merekomendasikannya, ini dapat diakses bahkan oleh para humanis. Tidak, Anda tidak perlu tersenyum karena saya menawarkan waktu luang, pengetahuan dan wawasan luas dalam komunikasi adalah hal yang hebat.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , dimana .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua hal terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi praktis yang sudah jadi diberikan. Coba juga menggambar grafik fungsi trigonometri dengan benar; jika argumennya dibagi dua: maka grafik tersebut diregangkan dua kali sepanjang sumbunya. Cobalah untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri dan menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Perhitungan volume benda yang dibentuk oleh rotasi
sosok datar di sekitar sumbu

Contoh 5

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , .

1) Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut.
2) Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Perhatian! Padahal Anda hanya ingin membaca poin kedua, pertama Perlu baca yang pertama!

Larutan: Tugas ini terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita membuat gambar:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi tersebut menentukan cabang atas parabola, dan fungsi tersebut menentukan cabang bawah parabola. Di depan kita ada parabola sepele yang “terletak miring”.

Gambar yang diinginkan, luas yang ingin dicari, diarsir dengan warna biru.

Itu sebabnya:

Mengapa solusi yang biasa buruk dalam kasus ini? Pertama, kita mendapat dua integral. Kedua, integral adalah akar, dan akar dalam integral bukanlah anugerah, dan selain itu, Anda bisa bingung dalam mensubstitusi limit integrasi. Faktanya, integral, tentu saja, tidak mematikan, tetapi dalam praktiknya semuanya bisa lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi yang "lebih baik" untuk masalah tersebut.

Ada solusi yang lebih rasional: ini terdiri dari peralihan ke fungsi invers dan integrasi sepanjang sumbu.

Bagaimana cara mendapatkan fungsi invers? Secara kasar, Anda perlu menyatakan “x” melalui “y”. Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

! Catatan: Batas integrasi sepanjang sumbu harus ditetapkan ketat dari bawah ke atas!

Menemukan luasnya:

Oleh karena itu, pada segmen tersebut:

Harap perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini adalah cara yang paling rasional, dan di paragraf tugas berikutnya akan jelas alasannya.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Fungsi integran asli diperoleh yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Mari kita hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi gambar ini mengelilingi sumbunya.

Saya akan menggambar ulang gambarnya dengan desain yang sedikit berbeda:

Jadi, bangun yang diarsir warna biru berputar mengelilingi sumbunya. Hasilnya adalah “kupu-kupu yang melayang” yang berputar pada porosnya.

Sekarang kita kembali memiringkan kepala ke kanan dan mempelajari sosok kita. Jelasnya, volume suatu benda rotasi harus dicari sebagai perbedaan volumenya.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan .

Kami memutar gambar yang dilingkari hijau di sekitar sumbu dan menyatakannya dengan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan selisih volumenya.

Kami menggunakan rumus untuk mencari volume benda revolusi:

Apa bedanya dengan rumus pada paragraf sebelumnya? Hanya di surat itu.

Namun keuntungan dari integrasi yang baru-baru ini saya bicarakan jauh lebih mudah ditemukan , daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Menjawab:

Namun, bukan kupu-kupu yang sakit-sakitan.

Harap dicatat bahwa jika bangun datar yang sama diputar pada sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda, dengan volume yang berbeda, secara alami.

Contoh 6

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis dan sumbu.

sosok datar di sekitar sumbu

Contoh 3

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , .

1) Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut.

2) Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Perhatian! Padahal Anda hanya ingin membaca poin kedua, pertama Perlu baca yang pertama!

Larutan: Tugas terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita membuat gambar:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi tersebut menentukan cabang atas parabola, dan fungsi tersebut menentukan cabang bawah parabola. Di depan kita ada parabola sepele yang “terletak miring”.

Gambar yang diinginkan, luas yang ingin dicari, diarsir dengan warna biru.

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun? Itu dapat ditemukan dengan cara yang “normal”. Selain itu, luas gambar tersebut ditemukan sebagai jumlah dari luas:

- di segmen tersebut ;

- di segmen tersebut.

Itu sebabnya:

Ada solusi yang lebih rasional: ini terdiri dari peralihan ke fungsi invers dan integrasi sepanjang sumbu.

Bagaimana cara mendapatkan fungsi invers? Secara kasar, Anda perlu menyatakan “x” melalui “y”. Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

! Catatan : Batas integrasi sumbu harus ditempatkanketat dari bawah ke atas !

Menemukan luasnya:

Oleh karena itu, pada segmen tersebut:

Harap perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini adalah cara yang paling rasional, dan di paragraf tugas berikutnya akan jelas alasannya.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Fungsi integran asli diperoleh yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Mari kita hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi gambar ini mengelilingi sumbunya.

Saya akan menggambar ulang gambarnya dengan desain yang sedikit berbeda:

Jadi, bangun yang diarsir warna biru berputar mengelilingi sumbunya. Hasilnya adalah “kupu-kupu yang melayang” yang berputar pada porosnya.

Sekarang kita kembali memiringkan kepala ke kanan dan mempelajari sosok kita. Jelasnya, volume suatu benda rotasi harus dicari sebagai perbedaan volumenya.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan .

Kami memutar gambar yang dilingkari hijau di sekitar sumbu dan menyatakannya dengan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan selisih volumenya.

Kami menggunakan rumus untuk mencari volume benda revolusi:

Apa bedanya dengan rumus pada paragraf sebelumnya? Hanya di surat itu.

Namun keuntungan dari integrasi yang baru-baru ini saya bicarakan jauh lebih mudah ditemukan , daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Menjawab:

Harap dicatat bahwa jika bangun datar yang sama diputar pada sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda, dengan volume yang berbeda, secara alami.

Contoh 7

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh kurva dan .

Larutan: Mari kita membuat gambar:

Sepanjang jalan, kita berkenalan dengan grafik beberapa fungsi lainnya. Berikut adalah grafik menarik dari fungsi genap...

Untuk mencari volume suatu benda revolusi, cukup menggunakan separuh kanan gambar, yang saya arsir dengan warna biru. Kedua fungsi tersebut genap, grafiknya simetris terhadap sumbunya, dan gambar kita simetris. Dengan demikian, bagian kanan yang diarsir, yang berputar mengelilingi sumbunya, pasti akan berhimpitan dengan bagian kiri yang tidak diarsir.

Mengenai soal mencari luas, Anda memerlukan keterampilan menggambar yang percaya diri - ini mungkin merupakan hal yang paling penting (karena integralnya sendiri sering kali mudah). Anda dapat menguasai teknik grafik yang kompeten dan cepat dengan bantuan bahan ajar dan Transformasi Geometrik pada grafik. Namun sebenarnya saya sudah beberapa kali membicarakan pentingnya menggambar di kelas.

Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral; dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas bangun, volume benda rotasi, panjang busur, luas permukaan rotasi, dan banyak lagi. lagi. Jadi ini akan menyenangkan, harap tetap optimis!

– di sekitar sumbu absis;
– di sekitar sumbu ordinat.

Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

sosok datar di sekitar sumbu

Contoh 1

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti pada soal mencari luas, penyelesaiannya dimulai dengan menggambar bangun datar. Artinya, pada bidang tersebut perlu dibuat bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut menentukan sumbunya. Cara menyelesaikan gambar dengan lebih efisien dan cepat dapat ditemukan di halaman Grafik dan properti fungsi Dasar Dan Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun. Ini adalah pengingat Tiongkok, dan pada titik ini saya tidak akan membahasnya lebih jauh.

Gambar di sini cukup sederhana:

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda revolusi?

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di puncaknya. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumusnya dikuadratkan: , jadi integralnya selalu non-negatif, yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab: