Seperti apa bentuk umum persamaan diferensial? Persamaan diferensial

Entah sudah diselesaikan terhadap turunannya, atau dapat diselesaikan terhadap turunannya .

Solusi umum persamaan diferensial tipe pada interval X, yang diberikan, dapat dicari dengan mengambil integral kedua ruas persamaan ini.

Kita mendapatkan .

Jika kita melihat sifat-sifat integral tak tentu, kita menemukan solusi umum yang diinginkan:

kamu = F(x) + C,

Di mana F(x)- salah satu fungsi primitif f(x) diantara X, A DENGAN- konstanta sewenang-wenang.

Harap dicatat bahwa dalam sebagian besar masalah, intervalnya X jangan tunjukkan. Artinya, solusi harus ditemukan untuk semua orang. X, untuk apa dan fungsi yang diinginkan kamu, dan persamaan aslinya masuk akal.

Jika Anda perlu menghitung solusi tertentu dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal kamu(x 0) = kamu 0, kemudian setelah menghitung integral umum kamu = F(x) + C, masih perlu menentukan nilai konstanta C = C 0, menggunakan kondisi awal. Artinya, sebuah konstanta C = C 0 ditentukan dari persamaan F(x 0) + C = kamu 0, dan solusi parsial persamaan diferensial yang diinginkan akan berbentuk:

kamu = F(x) + C 0.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Mari kita cari solusi umum persamaan diferensial dan periksa kebenaran hasilnya. Mari kita cari solusi khusus untuk persamaan ini yang memenuhi kondisi awal.

Larutan:

Setelah kita mengintegrasikan persamaan diferensial yang diberikan, kita mendapatkan:

.

Mari kita ambil integral ini menggunakan metode integrasi per bagian:

Itu., adalah solusi umum persamaan diferensial.

Untuk memastikan hasilnya benar, mari kita lakukan pengecekan. Untuk melakukan ini, kami mengganti solusi yang kami temukan ke dalam persamaan yang diberikan:

.

Yaitu kapan persamaan awal berubah menjadi identitas:

oleh karena itu, solusi umum persamaan diferensial ditentukan dengan benar.

Solusi yang kami temukan adalah solusi umum persamaan diferensial untuk setiap nilai riil argumen X.

Tinggal menghitung solusi tertentu untuk ODE yang akan memenuhi kondisi awal. Dengan kata lain, perlu dihitung nilai konstanta DENGAN, yang persamaannya akan benar:

.

.

Lalu, ganti C = 2 ke dalam solusi umum ODE, kita memperoleh solusi khusus dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal:

.

Persamaan diferensial biasa turunannya dapat diselesaikan dengan membagi 2 ruas persamaan dengan f(x). Transformasi ini akan ekuivalen jika f(x) tidak berubah menjadi nol dalam keadaan apa pun X dari interval integrasi persamaan diferensial X.

Ada kemungkinan situasi ketika, untuk beberapa nilai argumen X ∈ X fungsi f(x) Dan g(x) sekaligus menjadi nol. Untuk nilai serupa X solusi umum persamaan diferensial adalah fungsi apa pun kamu, yang didefinisikan di dalamnya, karena .

Jika untuk beberapa nilai argumen X ∈ X kondisinya terpenuhi, artinya dalam hal ini ODE tidak memiliki solusi.

Untuk semua orang X dari interval X solusi umum persamaan diferensial ditentukan dari persamaan yang ditransformasikan.

Mari kita lihat contohnya:

Contoh 1.

Mari kita cari solusi umum untuk ODE: .

Larutan.

Dari sifat-sifat fungsi dasar dasar jelas bahwa fungsi logaritma natural didefinisikan untuk nilai argumen yang tidak negatif, oleh karena itu domain definisi ekspresi dalam(x+3) ada jeda X > -3 . Ini berarti persamaan diferensial yang diberikan masuk akal X > -3 . Untuk nilai argumen ini, ekspresi x+3 tidak hilang, sehingga Anda dapat menyelesaikan ODE turunannya dengan membagi 2 bagiannya x + 3.

Kita mendapatkan .

Selanjutnya, kita integrasikan persamaan diferensial yang dihasilkan, diselesaikan terhadap turunannya: . Untuk mengambil integral ini, kita menggunakan metode menjumlahkannya di bawah tanda diferensial.

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan suatu fungsi dan satu atau lebih turunannya. Dalam sebagian besar permasalahan praktis, fungsi merepresentasikan besaran fisika, turunan menyatakan laju perubahan besaran tersebut, dan persamaan menentukan hubungan di antara keduanya.

Artikel ini membahas tentang metode penyelesaian beberapa jenis persamaan diferensial biasa yang penyelesaiannya dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dasar, yaitu polinomial, eksponensial, logaritma, dan trigonometri, serta fungsi inversnya. Banyak dari persamaan ini terjadi dalam kehidupan nyata, meskipun sebagian besar persamaan diferensial lainnya tidak dapat diselesaikan dengan metode ini, dan jawabannya ditulis dalam bentuk fungsi khusus atau deret pangkat, atau ditemukan dengan metode numerik.

Untuk memahami artikel ini, Anda harus mahir dalam kalkulus diferensial dan integral, serta memiliki pemahaman tentang turunan parsial. Disarankan juga untuk mengetahui dasar-dasar aljabar linier yang diterapkan pada persamaan diferensial, khususnya persamaan diferensial orde dua, meskipun pengetahuan tentang kalkulus diferensial dan integral sudah cukup untuk menyelesaikannya.

Informasi awal

• Persamaan diferensial memiliki klasifikasi yang luas. Artikel ini membahas tentang persamaan diferensial biasa, yaitu tentang persamaan yang memuat fungsi suatu variabel dan turunannya. Persamaan diferensial biasa jauh lebih mudah dipahami dan diselesaikan dibandingkan persamaan diferensial biasa persamaan diferensial parsial, yang mencakup fungsi beberapa variabel. Artikel ini tidak membahas persamaan diferensial parsial, karena metode penyelesaian persamaan tersebut biasanya ditentukan oleh bentuk khususnya.
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial biasa.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial parsial.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\sebagian y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Memesan suatu persamaan diferensial ditentukan oleh orde turunan tertinggi yang termasuk dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial biasa pertama di atas berorde satu, sedangkan persamaan diferensial kedua berorde kedua. Derajat persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi yang menaikkan salah satu suku persamaan tersebut.
  • Misalnya persamaan di bawah ini adalah persamaan orde ketiga dan derajat kedua.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ kanan)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Persamaan diferensialnya adalah persamaan diferensial linier jika fungsi dan semua turunannya berada pada derajat pertama. Kalau tidak, persamaannya adalah persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial linier luar biasa karena solusinya dapat digunakan untuk membentuk kombinasi linier yang juga akan menjadi solusi persamaan yang diberikan.
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial linier.
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial nonlinier. Persamaan pertama adalah nonlinier karena suku sinusnya.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \kiri((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\kanan)^(2)+tx^(2)=0)
• Keputusan bersama persamaan diferensial biasa tidak unik, melainkan mencakup konstanta integrasi sewenang-wenang. Dalam kebanyakan kasus, jumlah konstanta sembarang sama dengan orde persamaan. Dalam prakteknya, nilai konstanta ini ditentukan berdasarkan yang diberikan kondisi awal, yaitu menurut nilai fungsi dan turunannya di x = 0. (\gaya tampilan x=0.) Banyaknya kondisi awal yang perlu dicari solusi pribadi persamaan diferensial, dalam banyak kasus juga sama dengan orde persamaan yang diberikan.
  • Misalnya, artikel ini akan membahas penyelesaian persamaan di bawah ini. Ini adalah persamaan diferensial linier orde dua. Solusi umumnya mengandung dua konstanta sembarang. Untuk mencari konstanta tersebut perlu diketahui kondisi awal pada x (0) (\gaya tampilan x(0)) Dan x ′ (0) . (\gaya tampilan x"(0).) Biasanya kondisi awal ditentukan pada titik tersebut x = 0 , (\gaya tampilan x=0,), meskipun hal ini tidak perlu. Artikel ini juga akan membahas cara mencari solusi khusus untuk kondisi awal tertentu.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Langkah

Bagian 1

Saat menggunakan layanan ini, beberapa informasi mungkin ditransfer ke YouTube.

1. Persamaan linier orde pertama. Bagian ini membahas metode penyelesaian persamaan diferensial linier orde pertama pada kasus umum dan kasus khusus ketika beberapa suku sama dengan nol. Mari kita berpura-pura seperti itu y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\gaya tampilan p(x)) Dan q (x) (\gaya tampilan q(x)) adalah fungsi X. (\gaya tampilan x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\gaya tampilan p(x)=0.) Menurut salah satu teorema utama analisis matematis, integral turunan suatu fungsi juga merupakan fungsi. Jadi, cukup dengan mengintegrasikan persamaan tersebut untuk menemukan solusinya. Perlu diingat bahwa ketika menghitung integral tak tentu, konstanta sembarang muncul.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Kami menggunakan metode ini pemisahan variabel. Ini memindahkan variabel yang berbeda ke sisi persamaan yang berbeda. Misalnya, Anda dapat memindahkan semua anggota dari y (\gaya tampilan y) menjadi satu, dan semua anggota dengan x (\gaya tampilan x) ke sisi lain persamaan. Anggota juga dapat ditransfer d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Dan d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), yang termasuk dalam ekspresi turunan, namun perlu diingat bahwa ini hanyalah simbol yang berguna saat mendiferensiasikan fungsi kompleks. Pembahasan para anggota inilah yang disebut perbedaan, berada di luar cakupan artikel ini.

   • Pertama, Anda perlu memindahkan variabel ke sisi berlawanan dari tanda sama dengan.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan. Setelah integrasi, konstanta sembarang akan muncul di kedua sisi, yang dapat dipindahkan ke sisi kanan persamaan.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Contoh 1.1. Pada langkah terakhir kami menggunakan aturan tersebut e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) dan diganti e C (\gaya tampilan e^(C)) pada C (\gaya tampilan C), karena ini juga merupakan konstanta integrasi sembarang.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(sejajar )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(sejajar)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Untuk menemukan solusi umum yang kami perkenalkan faktor pengintegrasian sebagai fungsi dari x (\gaya tampilan x) untuk mereduksi ruas kiri menjadi turunan persekutuan dan menyelesaikan persamaannya.

   • Kalikan kedua ruasnya dengan μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Untuk mereduksi ruas kiri menjadi turunan umum, harus dilakukan transformasi berikut:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Persamaan terakhir berarti itu d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ini adalah faktor pengintegrasian yang cukup untuk menyelesaikan persamaan linier orde pertama. Sekarang kita dapat memperoleh rumus untuk menyelesaikan persamaan ini μ , (\displaystyle \mu ,) meskipun berguna untuk pelatihan untuk melakukan semua perhitungan perantara.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Contoh 1.2. Contoh ini menunjukkan cara mencari solusi tertentu dari persamaan diferensial dengan kondisi awal tertentu.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\kuadrat y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(sejajar)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Menyelesaikan persamaan linier orde pertama (dicatat oleh Intuit - Universitas Terbuka Nasional).

2. Persamaan orde pertama nonlinier. Bagian ini membahas metode penyelesaian beberapa persamaan diferensial nonlinier orde pertama. Meskipun tidak ada metode umum untuk menyelesaikan persamaan tersebut, beberapa persamaan dapat diselesaikan menggunakan metode di bawah ini.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jika fungsinya f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi dari satu variabel, persamaan seperti itu disebut persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan. Dalam hal ini, Anda dapat menggunakan metode di atas:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Contoh 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ mulai(sejajar)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(sejajar)))

   D kamu d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Mari kita berpura-pura seperti itu g (x , y) (\gaya tampilan g(x,y)) Dan h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) adalah fungsi x (\gaya tampilan x) Dan kamu. (\gaya tampilan y.) Kemudian persamaan diferensial homogen adalah persamaan di mana g (\gaya tampilan g) Dan h (\gaya tampilan h) adalah fungsi homogen pada tingkat yang sama. Artinya, fungsinya harus memenuhi syarat g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Di mana k (\gaya tampilan k) disebut derajat homogenitas. Persamaan diferensial homogen apa pun dapat digunakan dengan cara yang sesuai substitusi variabel (v = y / x (\displaystyle v=y/x) atau v = x / y (\displaystyle v=x/y)) ubah menjadi persamaan yang dapat dipisahkan.

   • Contoh 1.4. Deskripsi homogenitas di atas mungkin tampak tidak jelas. Mari kita lihat konsep ini dengan sebuah contoh.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Untuk memulainya, perlu dicatat bahwa persamaan ini tidak linier terhadap kamu. (\gaya tampilan y.) Kita juga melihat bahwa dalam kasus ini tidak mungkin memisahkan variabel. Pada saat yang sama, persamaan diferensial ini homogen, karena pembilang dan penyebutnya homogen dengan pangkat 3. Oleh karena itu, kita dapat melakukan perubahan variabel v = kamu/x. (\gaya tampilan v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Hasilnya, kita mempunyai persamaan untuk v (\gaya tampilan v) dengan variabel yang dapat dipisahkan.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D kamu d x = p (x) kamu + q (x) kamu n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ini Persamaan diferensial Bernoulli- jenis persamaan nonlinier khusus derajat pertama, yang penyelesaiannya dapat ditulis menggunakan fungsi dasar.

   • Kalikan kedua ruas persamaan dengan (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Kami menggunakan aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks di ruas kiri dan mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan linier terhadap y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode di atas.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Ini persamaan dalam diferensial total. Penting untuk menemukan apa yang disebut fungsi potensial φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), yang memenuhi kondisi d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Untuk memenuhi syarat tersebut maka perlu adanya turunan total. Turunan total memperhitungkan ketergantungan pada variabel lain. Untuk menghitung total turunan φ (\displaystyle \varphi ) Oleh x , (\gaya tampilan x,) kami berasumsi itu y (\gaya tampilan y) mungkin juga bergantung pada X. (\gaya tampilan x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Membandingkan istilah memberi kita M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Dan N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ini adalah hasil tipikal untuk persamaan beberapa variabel, yang mana turunan campuran dari fungsi halus adalah sama satu sama lain. Terkadang kasus ini disebut teorema Clairaut. Dalam hal ini, persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial total jika syarat berikut terpenuhi:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Cara menyelesaikan persamaan diferensial total mirip dengan mencari fungsi potensial dengan adanya beberapa turunan, yang akan kita bahas secara singkat. Pertama mari kita berintegrasi M (\gaya tampilan M) Oleh X. (\gaya tampilan x.) Karena M (\gaya tampilan M) adalah fungsi dan x (\gaya tampilan x), Dan y , (\gaya tampilan y,) setelah integrasi kita mendapatkan fungsi yang tidak lengkap φ , (\displaystyle \varphi ,) ditunjuk sebagai φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Hasilnya juga tergantung y (\gaya tampilan y) konstanta integrasi.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Setelah ini, untuk mendapatkan c (y) (\gaya tampilan c(y)) kita dapat mengambil turunan parsial dari fungsi yang dihasilkan terhadap y , (\gaya tampilan y,) menyamakan hasilnya N (x , y) (\displaystyle N(x,y)) dan mengintegrasikan. Anda juga dapat melakukan integrasi terlebih dahulu N (\gaya tampilan N), lalu ambil turunan parsial terhadap x (\gaya tampilan x), yang memungkinkan Anda menemukan fungsi arbitrer d(x). (\gaya tampilan d(x).) Kedua metode ini cocok, dan biasanya fungsi yang lebih sederhana dipilih untuk integrasi.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ parsial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Contoh 1.5. Anda dapat mengambil turunan parsial dan melihat bahwa persamaan di bawah ini merupakan persamaan diferensial total.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(sejajar)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Jika persamaan diferensial bukan persamaan diferensial total, dalam beberapa kasus Anda dapat menemukan faktor pengintegrasi yang memungkinkan Anda mengubahnya menjadi persamaan diferensial total. Namun, persamaan seperti itu jarang digunakan dalam praktik, dan meskipun merupakan faktor pengintegrasi ada, kebetulan menemukannya tidak mudah, oleh karena itu persamaan ini tidak dibahas dalam artikel ini.

Bagian 2

1. Persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan. Persamaan ini banyak digunakan dalam praktik, sehingga penyelesaiannya merupakan hal yang sangat penting. Dalam hal ini, kita tidak berbicara tentang fungsi homogen, tetapi tentang fakta bahwa ada 0 di ruas kanan persamaan.Bagian selanjutnya akan menunjukkan cara menyelesaikan persamaan yang bersesuaian. heterogen persamaan diferensial. Di bawah a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) adalah konstanta.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+oleh=0)
   

   Persamaan karakteristik. Persamaan diferensial ini luar biasa karena dapat diselesaikan dengan sangat mudah jika Anda memperhatikan sifat-sifat apa yang seharusnya dimiliki oleh penyelesaiannya. Dari persamaan tersebut jelas bahwa y (\gaya tampilan y) dan turunannya sebanding satu sama lain. Dari contoh sebelumnya, yang telah dibahas pada bagian persamaan orde pertama, kita mengetahui bahwa hanya fungsi eksponensial yang memiliki sifat ini. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk dikemukakan ansatz(tebakan yang cerdas) tentang apa solusi persamaan ini nantinya.

   • Solusinya akan berbentuk fungsi eksponensial e r x , (\displaystyle e^(rx),) Di mana r (\gaya tampilan r) adalah konstanta yang nilainya harus dicari. Substitusikan fungsi ini ke dalam persamaan dan dapatkan ekspresi berikut
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Persamaan ini menunjukkan bahwa hasil kali fungsi eksponensial dan polinomial harus sama dengan nol. Diketahui bahwa eksponen tidak boleh sama dengan nol untuk nilai derajat apa pun. Dari sini kita menyimpulkan bahwa polinomialnya sama dengan nol. Jadi, kita telah mereduksi masalah penyelesaian persamaan diferensial menjadi masalah yang lebih sederhana yaitu penyelesaian persamaan aljabar, yang disebut persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial tertentu.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Kami mendapat dua akar. Karena persamaan diferensial ini linier, maka solusi umumnya adalah kombinasi linier dari solusi parsial. Karena ini adalah persamaan orde kedua, kita tahu bahwa ini adalah persamaan orde kedua Sungguh solusi umum, dan tidak ada yang lain. Pembenaran yang lebih ketat untuk hal ini terletak pada teorema tentang keberadaan dan keunikan suatu solusi, yang dapat ditemukan di buku teks.
   • Cara yang berguna untuk memeriksa apakah dua solusi bebas linier adalah dengan menghitung salah. Vronskian W (\gaya tampilan W) adalah determinan suatu matriks yang kolom-kolomnya berisi fungsi dan turunannya yang berurutan. Teorema aljabar linier menyatakan bahwa fungsi-fungsi yang termasuk dalam Wronskian bergantung linier jika Wronskian sama dengan nol. Pada bagian ini kita dapat memeriksa apakah dua solusi bebas linear - untuk melakukan hal ini kita perlu memastikan bahwa Wronskian tidak nol. Wronskian penting ketika menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen dengan koefisien konstan dengan metode parameter yang bervariasi.
     • W = | kamu 1 kamu 2 kamu 1′ kamu 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Dalam aljabar linier, himpunan semua solusi persamaan diferensial tertentu membentuk ruang vektor yang dimensinya sama dengan orde persamaan diferensial. Di ruang ini seseorang dapat memilih basisnya independen linier keputusan satu sama lain. Hal ini dimungkinkan karena fungsinya y (x) (\gaya tampilan y(x)) sah operator linier. Turunan adalah operator linier, karena mengubah ruang fungsi terdiferensiasi menjadi ruang semua fungsi. Persamaan disebut homogen jika, untuk sembarang operator linier L (\gaya tampilan L) kita perlu menemukan solusi persamaan tersebut L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Sekarang mari kita beralih ke beberapa contoh spesifik. Kita akan membahas kasus akar ganda dari persamaan karakteristik nanti, di bagian pengurangan orde.

   Jika akarnya r ± (\displaystyle r_(\pm )) adalah bilangan real yang berbeda, persamaan diferensial mempunyai penyelesaian sebagai berikut

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dua akar kompleks. Dari teorema dasar aljabar dapat disimpulkan bahwa penyelesaian persamaan polinomial dengan koefisien real mempunyai akar-akar real atau membentuk pasangan konjugasi. Oleh karena itu, jika bilangan kompleks r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) adalah akar persamaan karakteristik r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) juga merupakan akar dari persamaan ini. Dengan demikian, penyelesaiannya dapat kita tuliskan dalam bentuk c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alfa -i\beta)x),) namun, ini adalah bilangan kompleks dan tidak diinginkan untuk memecahkan masalah praktis.

   • Sebagai gantinya Anda bisa menggunakan rumus Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), yang memungkinkan Anda menulis solusi dalam bentuk fungsi trigonometri:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Sekarang Anda bisa, bukan konstanta c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) tuliskan c 1 (\gaya tampilan c_(1)), dan ekspresi i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) digantikan oleh c 2 . (\gaya tampilan c_(2).) Setelah ini kami mendapatkan solusi berikut:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\dosa\beta x))
   • Ada cara lain untuk menulis solusi dalam bentuk amplitudo dan fase, yang lebih cocok untuk masalah fisika.
   • Contoh 2.1. Mari kita cari solusi persamaan diferensial di bawah ini dengan kondisi awal yang diberikan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil solusi yang dihasilkan, serta turunannya, dan substitusikan ke dalam kondisi awal, yang memungkinkan kita menentukan konstanta sembarang.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )Saya)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(sejajar)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan)\end(sejajar)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan))
   
   Menyelesaikan persamaan diferensial orde ke-n dengan koefisien konstan (dicatat oleh Intuit - Universitas Terbuka Nasional).

2. Mengurangi pesanan. Reduksi orde adalah metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial ketika satu solusi bebas linier diketahui. Metode ini terdiri dari menurunkan orde persamaan sebanyak satu, yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan menggunakan metode yang dijelaskan di bagian sebelumnya. Biarkan solusinya diketahui. Ide utama dari reduksi orde adalah untuk mencari solusi dalam bentuk di bawah ini, di mana fungsi tersebut perlu didefinisikan v (x) (\gaya tampilan v(x)), substitusikan ke dalam persamaan diferensial dan temukan v(x). (\gaya tampilan v(x).) Mari kita lihat bagaimana reduksi orde dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan koefisien konstan dan akar ganda.

   
   

   Banyak akar persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstan. Ingatlah bahwa persamaan orde kedua harus memiliki dua solusi bebas linier. Jika persamaan karakteristik memiliki banyak akar, himpunan solusinya Bukan membentuk ruang karena penyelesaiannya bergantung linier. Dalam hal ini, perlu menggunakan reduksi orde untuk mencari solusi bebas linier kedua.

   • Biarkan persamaan karakteristik memiliki banyak akar r (\gaya tampilan r). Mari kita asumsikan bahwa solusi kedua dapat ditulis dalam bentuk y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), dan substitusikan ke dalam persamaan diferensial. Dalam hal ini, sebagian besar suku, kecuali suku dengan turunan kedua dari fungsi tersebut v , (\gaya tampilan v,) akan berkurang.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Contoh 2.2. Biarkan persamaan berikut diberikan yang memiliki banyak akar r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Selama substitusi, sebagian besar persyaratan dikurangi.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(sejajar)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(sejajar)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(sejajar )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(sejajar)))
   • Mirip dengan ansatz kita untuk persamaan diferensial dengan koefisien konstan, dalam hal ini hanya turunan keduanya yang bisa sama dengan nol. Kami mengintegrasikan dua kali dan mendapatkan ekspresi yang diinginkan v (\gaya tampilan v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Maka penyelesaian umum persamaan diferensial dengan koefisien konstan jika persamaan karakteristik mempunyai banyak akar dapat dituliskan dalam bentuk berikut. Untuk memudahkan, Anda dapat mengingat bahwa untuk memperoleh independensi linier, cukup mengalikan suku kedua dengan x (\gaya tampilan x). Himpunan solusi ini tidak bergantung linier, sehingga kita telah menemukan semua solusi persamaan ini.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Pengurangan pesanan berlaku jika solusinya diketahui kamu 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), yang dapat ditemukan atau diberikan dalam rumusan masalah.

   • Kami sedang mencari solusi dalam bentuk y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) dan substitusikan ke dalam persamaan ini:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Karena kamu 1 (\gaya tampilan y_(1)) adalah solusi persamaan diferensial, semua suku dengan v (\gaya tampilan v) sedang dikurangi. Pada akhirnya itu tetap ada persamaan linier orde pertama. Untuk melihatnya lebih jelas, mari kita lakukan perubahan variabel w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\kanan)(\mathrm (d) )x\kanan))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Jika integral dapat dihitung, kita memperoleh solusi umum sebagai kombinasi fungsi dasar. Jika tidak, penyelesaiannya dapat dibiarkan dalam bentuk integral.

3. Persamaan Cauchy-Euler. Persamaan Cauchy-Euler merupakan contoh persamaan diferensial orde dua dengan variabel koefisien yang mempunyai solusi eksak. Persamaan ini digunakan dalam praktik, misalnya untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam koordinat bola.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+oleh=0)
   

   Persamaan karakteristik. Seperti yang Anda lihat, dalam persamaan diferensial ini, setiap suku mengandung faktor daya, yang derajatnya sama dengan orde turunan yang bersesuaian.

   • Dengan demikian, Anda bisa mencoba mencari solusi dalam bentuk tersebut y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) di mana perlu untuk menentukan n (\gaya tampilan n), sama seperti kita mencari solusi dalam bentuk fungsi eksponensial untuk persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan. Setelah diferensiasi dan substitusi kita peroleh
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Untuk menggunakan persamaan karakteristik, kita harus berasumsi bahwa x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Dot x = 0 (\gaya tampilan x=0) ditelepon titik tunggal beraturan persamaan diferensial. Poin-poin tersebut penting ketika menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan deret pangkat. Persamaan ini mempunyai dua akar, yang dapat berbeda dan nyata, konjugat ganda atau kompleks.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Dua akar real yang berbeda. Jika akarnya n ± (\displaystyle n_(\pm )) nyata dan berbeda, maka penyelesaian persamaan diferensial tersebut berbentuk sebagai berikut:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dua akar kompleks. Jika persamaan karakteristik mempunyai akar n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), solusinya adalah fungsi yang kompleks.

   • Untuk mengubah solusi menjadi fungsi nyata, kita melakukan perubahan variabel x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) itu adalah t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) dan gunakan rumus Euler. Tindakan serupa telah dilakukan sebelumnya ketika menentukan konstanta arbitrer.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta itu)))
   • Maka solusi umumnya dapat ditulis sebagai
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Banyak akar. Untuk mendapatkan solusi bebas linier kedua, perlu dilakukan pengurangan orde lagi.

   • Butuh perhitungan yang cukup banyak, namun prinsipnya tetap sama: kita substitusi y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) menjadi persamaan yang solusi pertamanya adalah kamu 1 (\gaya tampilan y_(1)). Setelah direduksi diperoleh persamaan sebagai berikut:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Ini adalah persamaan linier orde pertama terhadap v ′ (x) . (\gaya tampilan v"(x).) Solusinya adalah v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\gaya tampilan v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Dengan demikian penyelesaiannya dapat dituliskan dalam bentuk berikut. Hal ini cukup mudah untuk diingat - untuk mendapatkan solusi bebas linier kedua hanya memerlukan suku tambahan dengan ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Persamaan diferensial linier tidak homogen dengan koefisien konstan. Persamaan tak homogen mempunyai bentuk L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Di mana f (x) (\gaya tampilan f(x))- yang disebut anggota bebas. Menurut teori persamaan diferensial, solusi umum persamaan ini adalah superposisi solusi pribadi y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Dan solusi tambahan kamu c (x) . (\gaya tampilan y_(c)(x).) Namun dalam hal ini, solusi partikular bukan berarti solusi yang diberikan oleh kondisi awal, melainkan solusi yang ditentukan oleh adanya heterogenitas (suku bebas). Solusi tambahan adalah solusi persamaan homogen yang bersesuaian di mana f (x) = 0. (\gaya tampilan f(x)=0.) Solusi keseluruhannya adalah superposisi dari kedua solusi ini, karena L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), dan sejak itu L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) superposisi seperti itu memang merupakan solusi umum.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+oleh=f(x))
   

   Metode koefisien yang tidak dapat ditentukan. Metode koefisien tak tentu digunakan jika suku intersepnya merupakan kombinasi fungsi eksponensial, trigonometri, hiperbolik, atau pangkat. Hanya fungsi-fungsi ini yang dijamin memiliki sejumlah turunan bebas linier yang terbatas. Pada bagian ini kita akan menemukan solusi khusus untuk persamaan tersebut.

   • Mari kita bandingkan istilah-istilah di f (x) (\gaya tampilan f(x)) dengan syarat tanpa memperhatikan faktor konstan. Ada tiga kemungkinan kasus.
     • Tidak ada dua anggota yang sama. Dalam hal ini, solusi tertentu y p (\displaystyle y_(p)) akan menjadi kombinasi linier suku-suku dari y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\gaya tampilan f(x)) berisi anggota x n (\gaya tampilan x^(n)) dan anggota dari y c , (\displaystyle y_(c),) Di mana n (\gaya tampilan n) adalah nol atau bilangan bulat positif, dan suku ini berhubungan dengan akar terpisah dari persamaan karakteristik. Pada kasus ini y p (\displaystyle y_(p)) akan terdiri dari kombinasi fungsi x n + 1 jam (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) turunannya yang bebas linier, serta suku-suku lainnya f (x) (\gaya tampilan f(x)) dan turunannya yang bebas linier.
     • f (x) (\gaya tampilan f(x)) berisi anggota h (x) , (\gaya tampilan h(x),) yang merupakan sebuah karya x n (\gaya tampilan x^(n)) dan anggota dari y c , (\displaystyle y_(c),) Di mana n (\gaya tampilan n) sama dengan 0 atau bilangan bulat positif, dan suku ini sesuai dengan banyak akar persamaan karakteristik. Pada kasus ini y p (\displaystyle y_(p)) adalah kombinasi linier dari fungsi tersebut x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Di mana s (\gaya tampilan s)- multiplisitas akar) dan turunannya yang bebas linier, serta anggota fungsi lainnya f (x) (\gaya tampilan f(x)) dan turunannya yang bebas linier.
   • Mari kita tuliskan y p (\displaystyle y_(p)) sebagai kombinasi linier dari istilah-istilah yang tercantum di atas. Karena koefisien-koefisien ini berada dalam kombinasi linier, metode ini disebut “metode koefisien tak tentu”. Ketika terkandung di dalamnya yc (\displaystyle y_(c)) anggota dapat dibuang karena adanya konstanta sembarang di dalamnya kamu c. (\gaya tampilan y_(c).) Setelah ini kita gantikan y p (\displaystyle y_(p)) ke dalam persamaan dan menyamakan suku-suku serupa.
   • Kami menentukan koefisiennya. Pada tahap ini diperoleh sistem persamaan aljabar yang biasanya dapat diselesaikan tanpa masalah. Solusi dari sistem ini memungkinkan kita memperolehnya y p (\displaystyle y_(p)) dan dengan demikian memecahkan persamaan tersebut.
   • Contoh 2.3. Mari kita perhatikan persamaan diferensial tak homogen yang suku bebasnya mengandung sejumlah turunan bebas linier yang terbatas. Solusi khusus untuk persamaan tersebut dapat ditemukan dengan metode koefisien tak tentu.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(sejajar)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(sejajar)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ akhir (kasus)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Metode Lagrange. Metode Lagrange, atau metode variasi konstanta sembarang, adalah metode yang lebih umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen, terutama dalam kasus di mana suku titik potong tidak mengandung turunan bebas linier dalam jumlah terbatas. Misalnya saja dengan member gratis tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) atau x − n (\gaya tampilan x^(-n)) untuk mencari solusi tertentu perlu menggunakan metode Lagrange. Metode Lagrange bahkan dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan koefisien variabel, meskipun dalam kasus ini, dengan pengecualian persamaan Cauchy-Euler, metode ini lebih jarang digunakan, karena solusi tambahan biasanya tidak dinyatakan dalam fungsi dasar.

   • Anggaplah penyelesaiannya mempunyai bentuk berikut. Turunannya diberikan pada baris kedua.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Karena solusi yang diusulkan berisi dua jumlah yang tidak diketahui, perlu diterapkan tambahan kondisi. Mari kita pilih kondisi tambahan ini dalam bentuk berikut:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Sekarang kita bisa mendapatkan persamaan kedua. Setelah substitusi dan redistribusi anggota, Anda dapat mengelompokkan anggota bersama v 1 (\gaya tampilan v_(1)) dan anggota dengan v 2 (\gaya tampilan v_(2)). Persyaratan ini dikurangi karena kamu 1 (\gaya tampilan y_(1)) Dan kamu 2 (\gaya tampilan y_(2)) adalah solusi dari persamaan homogen yang sesuai. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan berikut
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(sejajar)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(sejajar)))
   • Sistem ini dapat diubah menjadi bentuk persamaan matriks A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) yang solusinya adalah x = SEBUAH − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Untuk matriks 2 × 2 (\displaystyle 2\kali 2) invers matriks dicari dengan cara membagi dengan determinan, menata ulang elemen diagonal, dan mengubah tanda elemen nondiagonal. Faktanya, determinan matriks ini adalah Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ akhir(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Ekspresi untuk v 1 (\gaya tampilan v_(1)) Dan v 2 (\gaya tampilan v_(2)) diberikan di bawah ini. Seperti pada metode reduksi orde, dalam hal ini, selama integrasi, muncul konstanta sembarang, yang mencakup solusi tambahan dalam solusi umum persamaan diferensial.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Kuliah dari National Open University Intuit bertajuk “Persamaan Diferensial Linier Orde N dengan Koefisien Konstan”.

Penggunaan praktis

Persamaan diferensial menetapkan hubungan antara suatu fungsi dan satu atau lebih turunannya. Karena hubungan seperti itu sangat umum, persamaan diferensial telah banyak diterapkan dalam berbagai bidang, dan karena kita hidup dalam empat dimensi, persamaan ini sering kali merupakan persamaan diferensial dalam berbagai bidang. pribadi turunan. Bagian ini mencakup beberapa persamaan terpenting dari jenis ini.

• Pertumbuhan dan pembusukan yang eksponensial. Peluruhan radioaktif. Bunga majemuk. Laju reaksi kimia. Konsentrasi obat dalam darah. Pertumbuhan penduduk yang tidak terbatas. hukum Newton-Richmann. Ada banyak sistem di dunia nyata yang laju pertumbuhan atau peluruhannya pada waktu tertentu sebanding dengan kuantitas pada waktu tertentu atau dapat didekati dengan baik melalui suatu model. Hal ini karena penyelesaian persamaan diferensial tertentu, fungsi eksponensial, adalah salah satu fungsi terpenting dalam matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. Secara umum, dengan pertumbuhan populasi yang terkendali, sistem tersebut mungkin menyertakan ketentuan tambahan yang membatasi pertumbuhan. Dalam persamaan di bawah ini, konstanta k (\gaya tampilan k) dapat lebih besar atau lebih kecil dari nol.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Getaran harmonik. Baik dalam mekanika klasik maupun kuantum, osilator harmonik adalah salah satu sistem fisik terpenting karena kesederhanaannya dan penerapannya yang luas dalam memperkirakan sistem yang lebih kompleks seperti pendulum sederhana. Dalam mekanika klasik, getaran harmonik digambarkan dengan persamaan yang menghubungkan posisi suatu titik material dengan percepatannya melalui hukum Hooke. Dalam hal ini, redaman dan gaya penggerak juga dapat diperhitungkan. Dalam ekspresi di bawah ini x ˙ (\displaystyle (\titik (x)))- turunan waktu dari x , (\gaya tampilan x,) β (\gaya tampilan \beta )- parameter yang menggambarkan gaya redaman, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frekuensi sudut sistem, F (t) (\gaya tampilan F(t))- kekuatan pendorong yang bergantung pada waktu. Osilator harmonik juga terdapat dalam rangkaian osilasi elektromagnetik, yang dapat diterapkan dengan akurasi lebih tinggi daripada sistem mekanis.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• persamaan Bessel. Persamaan diferensial Bessel digunakan di banyak bidang fisika, termasuk menyelesaikan persamaan gelombang, persamaan Laplace, dan persamaan Schrödinger, terutama dengan adanya simetri silinder atau bola. Persamaan diferensial orde kedua dengan koefisien variabel ini bukan persamaan Cauchy-Euler, sehingga penyelesaiannya tidak dapat ditulis sebagai fungsi dasar. Solusi persamaan Bessel adalah fungsi Bessel, yang dipelajari dengan baik karena penerapannya di banyak bidang. Dalam ekspresi di bawah ini α (\gaya tampilan \alfa )- konstanta yang sesuai dalam urutan Fungsi Besel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) kamu=0)
• persamaan Maxwell. Seiring dengan gaya Lorentz, persamaan Maxwell menjadi dasar elektrodinamika klasik. Itulah empat persamaan diferensial parsial kelistrikan E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) dan magnetis B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) bidang. Dalam ekspresi di bawah ini ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- kepadatan muatan, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- rapat arus, dan ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Dan μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- konstanta listrik dan magnet, masing-masing.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(sejajar)))
• Persamaan Schrödinger. Dalam mekanika kuantum, persamaan Schrödinger merupakan persamaan gerak fundamental yang menggambarkan pergerakan partikel sesuai dengan perubahan fungsi gelombang. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) bersama waktu. Persamaan gerak digambarkan oleh perilaku Hamiltonian H^(\displaystyle (\hat (H))) - operator, yang menggambarkan energi sistem. Salah satu contoh persamaan Schrödinger yang terkenal dalam fisika adalah persamaan untuk satu partikel non-relativistik yang mempunyai potensial V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Banyak sistem dijelaskan dengan persamaan Schrödinger yang bergantung pada waktu, dan di sisi kiri persamaan tersebut adalah E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Di mana E (\gaya tampilan E)- energi partikel. Dalam ekspresi di bawah ini ℏ (\displaystyle \hbar )- mengurangi konstanta Planck.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Persamaan gelombang. Fisika dan teknologi tidak dapat dibayangkan tanpa gelombang; mereka hadir di semua jenis sistem. Secara umum gelombang digambarkan dengan persamaan di bawah ini, dimana u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) adalah fungsi yang diinginkan, dan c (\gaya tampilan c)- konstanta yang ditentukan secara eksperimental. d'Alembert adalah orang pertama yang menemukan bahwa untuk kasus satu dimensi solusi persamaan gelombang adalah setiap fungsi dengan argumen x − c t (\displaystyle x-ct), yang menggambarkan gelombang berbentuk sembarang yang merambat ke kanan. Solusi umum untuk kasus satu dimensi adalah kombinasi linier dari fungsi ini dengan fungsi kedua yang memiliki argumen x + c t (\gaya tampilan x+ct), yang menggambarkan gelombang yang merambat ke kiri. Solusi ini disajikan pada baris kedua.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navier-Stokes menggambarkan pergerakan fluida. Karena fluida hadir di hampir setiap bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, persamaan ini sangat penting untuk memprediksi cuaca, merancang pesawat terbang, mempelajari arus laut, dan memecahkan banyak masalah terapan lainnya. Persamaan Navier-Stokes adalah persamaan diferensial parsial nonlinier, dan dalam banyak kasus persamaan ini sangat sulit diselesaikan karena nonlinier menyebabkan turbulensi, dan memperoleh solusi stabil dengan metode numerik memerlukan partisi ke dalam sel yang sangat kecil, yang memerlukan daya komputasi yang signifikan. Untuk tujuan praktis dalam hidrodinamika, metode seperti rata-rata waktu digunakan untuk memodelkan aliran turbulen. Pertanyaan yang lebih mendasar seperti keberadaan dan keunikan solusi persamaan diferensial parsial nonlinier merupakan hal yang menantang, dan membuktikan keberadaan dan keunikan solusi persamaan Navier-Stokes dalam tiga dimensi merupakan salah satu masalah matematika milenium. Di bawah ini adalah persamaan aliran fluida tak mampat dan persamaan kontinuitasnya.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Banyak persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode di atas, terutama yang disebutkan di bagian terakhir. Hal ini berlaku jika persamaan tersebut mengandung koefisien variabel dan bukan merupakan persamaan Cauchy-Euler, atau jika persamaan tersebut nonlinier, kecuali dalam beberapa kasus yang sangat jarang terjadi. Namun metode-metode di atas dapat menyelesaikan banyak persamaan diferensial penting yang sering dijumpai di berbagai bidang ilmu pengetahuan.
• Berbeda dengan diferensiasi, yang memungkinkan Anda mencari turunan suatu fungsi, integral dari banyak ekspresi tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar. Jadi jangan buang waktu mencoba menghitung integral jika hal ini tidak mungkin. Lihatlah tabel integral. Jika penyelesaian persamaan diferensial tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar, terkadang penyelesaiannya dapat direpresentasikan dalam bentuk integral, dan dalam hal ini tidak masalah apakah integral ini dapat dihitung secara analitis.

Peringatan

• Penampilan persamaan diferensial bisa menyesatkan. Misalnya, di bawah ini adalah dua persamaan diferensial orde pertama. Persamaan pertama dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan metode yang dijelaskan dalam artikel ini. Sekilas, ada perubahan kecil y (\gaya tampilan y) pada kamu 2 (\gaya tampilan y^(2)) pada persamaan kedua menjadikannya non-linier dan menjadi sangat sulit diselesaikan.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Mari kita perhatikan persamaan linier homogen orde kedua, yaitu. persamaannya

dan menetapkan beberapa sifat solusinya.

Properti 1
Jika merupakan solusi persamaan linear homogen, maka C, Di mana C- konstanta sembarang, adalah solusi persamaan yang sama.
Bukti.
Substitusikan ke ruas kiri persamaan yang sedang dipertimbangkan C, kita mendapatkan: ,
tapi karena adalah solusi dari persamaan awal.
Karena itu,

dan keabsahan properti ini telah terbukti.

Properti 2
Jumlah dua penyelesaian persamaan linier homogen merupakan penyelesaian persamaan yang sama.
Bukti.
Misalkan dan jadilah solusi dari persamaan yang sedang dipertimbangkan
Dan .
Sekarang dengan mensubstitusi + ke dalam persamaan yang sedang dipertimbangkan, kita akan mendapatkan:
, yaitu. + adalah solusi persamaan awal.
Dari sifat-sifat yang telah dibuktikan tersebut dapat disimpulkan bahwa, dengan mengetahui dua solusi partikular dari persamaan linear homogen orde kedua, kita dapat memperoleh solusinya , bergantung pada dua konstanta sembarang, mis. dari banyaknya konstanta yang persamaan orde kedua harus memuat solusi umum. Namun apakah keputusan ini akan bersifat umum, yaitu. Apakah mungkin untuk memenuhi kondisi awal yang diberikan secara sewenang-wenang dengan memilih konstanta yang berubah-ubah?
Saat menjawab pertanyaan ini, kita akan menggunakan konsep independensi linier suatu fungsi, yang dapat didefinisikan sebagai berikut.

Kedua fungsi tersebut disebut independen linier pada interval tertentu, jika rasionya pada interval ini tidak konstan, yaitu. Jika
.
Jika tidak, fungsinya akan dipanggil bergantung secara linear.
Dengan kata lain, dua fungsi dikatakan bergantung linier pada suatu interval tertentu jika pada seluruh interval.

Contoh

1. Fungsi y 1 = e X dan kamu 2 = e - X bebas linier untuk semua nilai x, karena
.
2. Fungsi y 1 = e X dan kamu 2 = 5 e X bergantung linier, karena
.

Teorema 1.

Jika fungsi-fungsi tersebut bergantung linier pada interval tertentu, maka determinannya disebut penentu Vronskii fungsi yang diberikan identik dengan nol pada interval ini.

Bukti.

Jika
,
dimana , lalu dan .
Karena itu,
.
Teorema tersebut telah terbukti.

Komentar.
Penentu Wronski yang muncul dalam teorema yang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan huruf W atau simbol .
Jika fungsi-fungsi tersebut merupakan solusi persamaan linear homogen orde kedua, maka teorema kebalikannya dan teorema yang lebih kuat berikut ini valid untuk fungsi-fungsi tersebut.

Teorema 2.

Jika determinan Wronski, yang disusun untuk solusi dan persamaan linier homogen orde kedua, hilang setidaknya pada satu titik, maka solusi tersebut bergantung linier.

Bukti.

Biarkan determinan Wronski hilang pada titik tersebut, mis. =0,
dan biarkan dan .
Pertimbangkan sistem homogen linier

relatif tidak diketahui dan.
Penentu sistem ini bertepatan dengan nilai determinan Wronski di
x=, yaitu. bertepatan dengan , dan karena itu sama dengan nol. Oleh karena itu, sistem mempunyai solusi bukan nol dan ( dan tidak sama dengan nol). Dengan menggunakan nilai-nilai ini dan , pertimbangkan fungsinya . Fungsi ini merupakan solusi persamaan yang sama dengan fungsi dan. Selain itu, fungsi ini memenuhi kondisi awal nol: , karena Dan .
Di sisi lain, jelas bahwa solusi persamaan yang memenuhi kondisi awal nol adalah fungsinya kamu=0.
Karena keunikan solusinya, kami memiliki: . Dari situlah berikut ini
,
itu. fungsi dan bergantung linier. Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi.

1. Jika determinan Wronski yang muncul dalam teorema sama dengan nol untuk suatu nilai x=, maka sama dengan nol untuk nilai apa pun Xdari interval yang dipertimbangkan.

2. Jika penyelesaiannya bebas linier, maka determinan Wronski tidak hilang pada titik mana pun dalam interval yang ditinjau.

3. Jika determinan Wronski setidaknya pada satu titik bukan nol, maka penyelesaiannya bebas linier.

Teorema 3.

Jika dan adalah dua solusi bebas linier dari persamaan orde kedua yang homogen, maka fungsinya , di mana dan adalah konstanta sembarang, merupakan solusi umum persamaan tersebut.

Bukti.

Seperti diketahui, fungsi tersebut merupakan solusi persamaan yang dipertimbangkan untuk sembarang nilai dan . Sekarang mari kita buktikan apapun kondisi awalnya
Dan ,
dimungkinkan untuk memilih nilai konstanta sembarang sehingga solusi khusus yang sesuai memenuhi kondisi awal yang diberikan.
Mengganti kondisi awal ke dalam persamaan, kita memperoleh sistem persamaan
.
Dari sistem ini dimungkinkan untuk menentukan dan , sejak itu penentu sistem ini

ada determinan Wronski untuk x= dan, oleh karena itu, tidak sama dengan nol (karena independensi linier dari solusi dan ).

; .

Solusi tertentu dengan nilai yang diperoleh dan memenuhi kondisi awal yang diberikan. Dengan demikian, teorema tersebut terbukti.

Contoh

Contoh 1.

Solusi umum persamaan tersebut adalah solusinya.
Benar-benar,
.

Oleh karena itu, fungsi sinx dan cosx bebas linier. Hal ini dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan hubungan fungsi-fungsi berikut:

.

Contoh 2.

Solusi y = C 1 e X +C 2 e -X persamaannya bersifat umum, karena .

Contoh 3.

Persamaannya , yang koefisiennya dan
kontinu pada interval apa pun yang tidak memuat titik x = 0, mengakui penyelesaian parsial

(mudah diperiksa dengan substitusi). Oleh karena itu, solusi umumnya berbentuk:
.

Komentar

Kami telah menetapkan bahwa solusi umum persamaan linier homogen orde kedua dapat diperoleh dengan mengetahui dua solusi parsial bebas linier dari persamaan ini. Namun, tidak ada metode umum untuk menemukan solusi parsial dalam bentuk akhir untuk persamaan dengan koefisien variabel. Untuk persamaan dengan koefisien konstan, metode seperti itu ada dan akan dibahas nanti.

Dalam beberapa soal fisika, tidak mungkin membuat hubungan langsung antara besaran yang menjelaskan proses tersebut. Namun dimungkinkan untuk memperoleh persamaan yang mengandung turunan dari fungsi yang diteliti. Beginilah munculnya persamaan diferensial dan kebutuhan untuk menyelesaikannya untuk menemukan fungsi yang tidak diketahui.

Artikel ini ditujukan bagi mereka yang dihadapkan pada masalah penyelesaian persamaan diferensial yang fungsi yang tidak diketahui merupakan fungsi dari satu variabel. Teori ini disusun sedemikian rupa sehingga tanpa pengetahuan tentang persamaan diferensial, Anda dapat mengatasi tugas Anda.

Setiap jenis persamaan diferensial dikaitkan dengan metode penyelesaian dengan penjelasan rinci dan penyelesaian contoh dan permasalahan yang umum. Yang harus Anda lakukan adalah menentukan jenis persamaan diferensial dari soal Anda, menemukan contoh analisis serupa, dan melakukan tindakan serupa.

Agar berhasil menyelesaikan persamaan diferensial, Anda juga memerlukan kemampuan untuk menemukan himpunan antiturunan (integral tak tentu) dari berbagai fungsi. Jika perlu, kami menyarankan Anda merujuk ke bagian tersebut.

Pertama, kita akan membahas jenis-jenis persamaan diferensial biasa orde pertama yang dapat diselesaikan terhadap turunannya, kemudian kita akan beralih ke ODE orde kedua, kemudian kita akan membahas persamaan orde yang lebih tinggi dan diakhiri dengan sistem persamaan diferensial orde pertama. persamaan diferensial.

Ingatlah bahwa jika y adalah fungsi dari argumen x.

Persamaan diferensial orde pertama.

Bentuk persamaan diferensial orde satu yang paling sederhana.

Mari kita tuliskan beberapa contoh kendali jarak jauh tersebut .

Persamaan diferensial dapat diselesaikan terhadap turunannya dengan membagi kedua ruas persamaan dengan f(x) . Dalam hal ini, kita sampai pada persamaan yang ekuivalen dengan persamaan awal untuk f(x) ≠ 0. Contoh ODE tersebut adalah.

Jika ada nilai argumen x yang fungsi f(x) dan g(x) hilang secara bersamaan, maka solusi tambahan akan muncul. Solusi tambahan untuk persamaan tersebut mengingat x adalah fungsi apa pun yang ditentukan untuk nilai argumen ini. Contoh persamaan diferensial tersebut meliputi:

Persamaan diferensial orde kedua.

Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan.

LDE dengan koefisien konstan adalah jenis persamaan diferensial yang sangat umum. Solusinya tidak terlalu sulit. Pertama, akar persamaan karakteristik ditemukan . Untuk p dan q yang berbeda, ada tiga kasus yang mungkin terjadi: akar-akar persamaan karakteristik bisa nyata dan berbeda, nyata dan bertepatan atau konjugat kompleks. Bergantung pada nilai akar-akar persamaan karakteristik, solusi umum persamaan diferensial ditulis sebagai , atau , atau masing-masing.

Misalnya, perhatikan persamaan diferensial orde kedua homogen linier dengan koefisien konstan. Akar persamaan karakteristiknya adalah k 1 = -3 dan k 2 = 0. Akar-akarnya nyata dan berbeda, oleh karena itu, solusi umum LODE dengan koefisien konstan berbentuk


Persamaan diferensial linier tak homogen orde kedua dengan koefisien konstan.

Solusi umum LDDE orde kedua dengan koefisien konstan y dicari dalam bentuk jumlah solusi umum LDDE yang bersesuaian dan solusi tertentu dari persamaan tak homogen awal, yaitu, . Paragraf sebelumnya dikhususkan untuk mencari solusi umum persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstan. Dan solusi tertentu ditentukan dengan metode koefisien tak tentu untuk bentuk fungsi tertentu f(x) di ruas kanan persamaan awal, atau dengan metode memvariasikan konstanta sembarang.

Sebagai contoh LDDE orde kedua dengan koefisien konstan, kami berikan


Untuk memahami teori dan mengenal solusi contoh secara rinci, kami menawarkan kepada Anda di halaman persamaan diferensial orde kedua linier tak homogen dengan koefisien konstan.

Persamaan diferensial homogen linier (LODE) dan persamaan diferensial tak homogen linier (LNDE) orde kedua.

Kasus khusus persamaan diferensial jenis ini adalah LODE dan LDDE dengan koefisien konstan.

Solusi umum LODE pada segmen tertentu diwakili oleh kombinasi linier dari dua solusi parsial bebas linier y 1 dan y 2 dari persamaan ini, yaitu, .

Kesulitan utama justru terletak pada menemukan solusi parsial bebas linier terhadap persamaan diferensial jenis ini. Biasanya, solusi tertentu dipilih dari sistem fungsi bebas linier berikut:


Namun solusi khusus tidak selalu disajikan dalam bentuk ini.

Contoh LOD adalah .

Solusi umum LDDE dicari dalam bentuk , dimana merupakan solusi umum dari LDDE yang bersesuaian, dan merupakan solusi khusus dari persamaan diferensial asal. Kita baru saja membicarakan tentang menemukannya, tetapi hal itu dapat ditentukan dengan menggunakan metode memvariasikan konstanta sembarang.

Contoh LNDU dapat diberikan .

Persamaan diferensial orde tinggi.

Persamaan diferensial yang memungkinkan terjadinya reduksi orde.

Urutan persamaan diferensial , yang tidak memuat fungsi yang diinginkan dan turunannya hingga orde k-1, dapat direduksi menjadi n-k dengan mengganti .

Dalam hal ini, persamaan diferensial awal akan direduksi menjadi . Setelah menemukan solusinya p(x), ia tetap kembali ke penggantian dan menentukan fungsi y yang tidak diketahui.

Misalnya persamaan diferensial setelah diganti akan menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan, dan urutannya akan dikurangi dari ketiga ke pertama.