Mari kita ulangi teori tentang fungsi. Fungsi adalah aturan yang menurutnya setiap elemen dari satu himpunan (argumen) dikaitkan dengan ( satu satunya!) elemen himpunan lain (kumpulan nilai fungsi). Artinya, jika ada fungsinya \(y = f(x)\), ini berarti untuk setiap nilai variabel yang valid \(X\)(yang disebut “argumen”) sesuai dengan satu nilai variabel \(kamu\)(disebut "fungsi").

Fungsi yang menggambarkan hubungan terbalik

Ini adalah fungsi dari formulir \(y = \frac(k)(x)\), Di mana \(k\ne 0.\)

Dengan cara lain, ini disebut proporsionalitas terbalik: peningkatan argumen menyebabkan penurunan fungsi secara proporsional.
Mari kita tentukan domain definisinya. \(x\) bisa sama dengan apa? Atau, dengan kata lain, apa yang tidak bisa disamakan?

Satu-satunya bilangan yang tidak dapat dibagi adalah 0, jadi \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

atau, yang sama:

\(D(y) = R\garis miring terbalik \( 0\).\)

Notasi ini berarti \(x\) dapat berupa bilangan apa pun kecuali 0: tanda “R” menyatakan himpunan bilangan real, yaitu semua bilangan yang mungkin; tanda “\” menunjukkan pengecualian sesuatu dari himpunan ini (analog dengan tanda “minus”), dan angka 0 dalam tanda kurung kurawal berarti angka 0; Ternyata dari semua angka yang mungkin kita kecualikan 0.

Ternyata himpunan nilai fungsinya sama persis: lagipula, jika \(k \ne 0.\) , maka berapa pun kita membaginya, 0 tidak akan berfungsi:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

atau \(E(y) = R\garis miring terbalik \( 0\).\)

Beberapa variasi rumus juga dimungkinkan \(y = \frac(k)(x)\). Misalnya, \(y = \frac(k)((x + a))\)​​juga merupakan fungsi yang menggambarkan hubungan terbalik. Ruang lingkup dan rentang nilai fungsi ini adalah sebagai berikut:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Mari kita pertimbangkan contoh, mari kita kurangi ekspresi tersebut menjadi bentuk hubungan terbalik:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3 ) + 5))((x - 3)).\)

Kami secara artifisial memasukkan nilai 3 ke dalam pembilangnya, dan sekarang kami membagi pembilangnya dengan penyebut suku demi suku, kami mendapatkan:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Kami mendapat hubungan terbalik ditambah angka 1.

Grafik hubungan terbalik

Mari kita mulai dengan kasus sederhana \(y = \frac(1)(x).\)

Mari buat tabel nilai:

Mari kita menggambar titik-titik pada bidang koordinat:

Hubungkan titik-titik tersebut, grafiknya akan terlihat seperti ini:

Grafik ini disebut "hiperbola". Ibarat parabola, hiperbola mempunyai dua cabang, hanya saja keduanya tidak saling berhubungan. Masing-masing dari mereka cenderung mendekatkan ujungnya ke sumbu Sapi Dan Oi, tapi tidak pernah menjangkau mereka.

Mari kita perhatikan beberapa fitur dari fungsi ini:

1. Jika suatu fungsi memiliki minus sebelum pecahan, maka grafiknya dibalik, yaitu ditampilkan secara simetris terhadap sumbunya. Sapi.
2. Semakin besar angka penyebutnya, semakin jauh grafik tersebut “melarikan diri” dari titik asal.

Ketergantungan terbalik dalam hidup

Di mana kita menemukan fungsi seperti itu dalam praktiknya? Ada banyak contoh. Yang paling umum adalah gerakan: semakin besar kecepatan kita bergerak, semakin sedikit waktu yang kita perlukan untuk menempuh jarak yang sama. Mari kita ingat rumus kecepatan:

\(v = \frac(S)(t),\)

dimana v adalah kecepatan, t adalah waktu tempuh, S adalah jarak (jalur).

Dari sini kita dapat menyatakan waktu: \(t = \frac(S)(v).\)

Tingkat pertama

Hubungan terbalik. Tingkat pertama.

Sekarang kita akan berbicara tentang ketergantungan terbalik, atau dengan kata lain - proporsionalitas terbalik, sebagai suatu fungsi. Apakah Anda ingat bahwa suatu fungsi adalah jenis ketergantungan tertentu? Jika Anda belum membaca topiknya, saya sangat menyarankan Anda meninggalkan semuanya dan membacanya, karena Anda tidak dapat mempelajari fungsi tertentu tanpa memahami apa itu - sebuah fungsi.

Hal ini juga sangat berguna untuk menguasai dua fungsi sederhana sebelum memulai topik ini: dan . Di sana Anda akan memperkuat konsep suatu fungsi dan belajar bekerja dengan koefisien dan grafik.

Nah, masih ingatkah kamu apa itu fungsi?
Mari kita ulangi: suatu fungsi adalah aturan yang menurutnya setiap elemen dari satu himpunan (argumen) dikaitkan dengan suatu ( satu satunya!) elemen himpunan lain (kumpulan nilai fungsi). Artinya, jika Anda memiliki suatu fungsi, ini berarti bahwa untuk setiap nilai valid dari suatu variabel (disebut “argumen”) terdapat nilai yang sesuai dari suatu variabel (disebut “fungsi”). Apa yang dimaksud dengan "dapat diterima"? Jika Anda tidak dapat menjawab pertanyaan ini, kembalilah ke topik “” lagi! Itu semua ada dalam konsepnya "domain": Untuk beberapa fungsi, tidak semua argumen berguna dan dapat diganti menjadi dependensi. Misalnya saja untuk fungsinya nilai-nilai negatif argumen tidak diperbolehkan.

Fungsi yang menggambarkan hubungan terbalik

Ini adalah fungsi dari formulir di mana.

Dengan cara lain, ini disebut proporsionalitas terbalik: peningkatan argumen menyebabkan penurunan fungsi secara proporsional.
Mari kita tentukan domain definisinya. Apa yang bisa disamakan dengan itu? Atau, dengan kata lain, apa yang tidak bisa disamakan?

Oleh karena itu, satu-satunya bilangan yang tidak dapat dibagi adalah:

atau, apa yang sama,

(notasi seperti itu berarti dapat berupa bilangan apa pun, kecuali: tanda “ ” menunjukkan himpunan bilangan real, yaitu semua kemungkinan bilangan; tanda “ ” menunjukkan pengecualian sesuatu dari himpunan ini (analog dengan “minus ” tanda), dan angka dalam kurung kurawal berarti angka saja; ternyata dari semua kemungkinan angka kami kecualikan).

Himpunan nilai fungsi, ternyata, persis sama: lagipula, jika, berapa pun kita membaginya, itu tidak akan berfungsi:

Beberapa variasi rumus juga dimungkinkan. Misalnya, ini juga merupakan fungsi yang menggambarkan hubungan terbalik.
Tentukan sendiri domain definisi dan rentang nilai fungsi ini. Seharusnya terlihat seperti ini:

Mari kita lihat fungsi ini: . Apakah ini berhubungan terbalik?

Sepintas sulit untuk mengatakan: lagi pula, dengan bertambahnya, baik penyebut pecahan maupun pembilangnya bertambah, jadi tidak jelas apakah fungsinya akan berkurang, dan jika demikian, apakah akan berkurang secara proporsional? Untuk memahami hal ini, kita perlu mengubah ekspresi tersebut sehingga tidak ada variabel di pembilangnya:

Memang benar, kami menerima hubungan terbalik, tetapi dengan peringatan: .

Berikut contoh lainnya: .

Di sini lebih rumit: lagipula, pembilang dan penyebutnya sekarang pasti tidak bisa dibatalkan. Namun kita masih bisa mencoba:

Apakah Anda mengerti apa yang saya lakukan? Pada pembilangnya saya menjumlahkan dan mengurangkan bilangan yang sama (), jadi sepertinya saya tidak mengubah apa pun, tetapi sekarang ada bagian di pembilangnya yang sama dengan penyebutnya. Sekarang saya akan membagi suku demi suku, yaitu saya akan membagi pecahan ini menjadi jumlah dua pecahan:

(memang, jika kita mengurangi apa yang saya dapatkan menjadi penyebut yang sama, kita akan mendapatkan pecahan awal):

Wow! Ini berfungsi lagi hubungan terbalik, baru sekarang ada nomor yang ditambahkan ke dalamnya.
Metode ini nantinya akan sangat berguna bagi kita ketika membuat grafik.

Sekarang ubah ekspresi diri Anda menjadi hubungan terbalik:

Jawaban:

2. Di sini Anda perlu mengingat bagaimana trinomial persegi difaktorkan (ini dijelaskan secara rinci dalam topik “”). Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk ini Anda perlu menemukan akar-akar yang bersesuaian persamaan kuadrat: . Saya akan menemukannya secara lisan menggunakan teorema Vieta: , . Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat mempelajarinya dengan membaca topiknya.
Jadi, kita peroleh: , oleh karena itu:

3. Apakah Anda sudah mencoba menyelesaikannya sendiri? Apa menariknya? Tentunya fakta yang kita miliki di pembilang dan penyebutnya - sederhana saja. Tidak masalah. Kita perlu menguranginya, jadi di pembilangnya kita harus mengeluarkannya di luar tanda kurung (sehingga di dalam tanda kurung kita mendapatkannya tanpa koefisien):

Grafik hubungan terbalik

Seperti biasa, mari kita mulai dengan kasus paling sederhana: .
Mari kita buat tabelnya:

Mari kita menggambar titik-titik pada bidang koordinat:

Sekarang mereka harus terhubung dengan lancar, tetapi bagaimana caranya? Terlihat titik-titik di sisi kanan dan kiri membentuk garis lengkung yang seolah-olah tidak berhubungan. Memang begitu adanya. Grafiknya akan terlihat seperti ini:

Grafik ini disebut "hiperbola"(ada sesuatu seperti "parabola" di nama itu kan?). Ibarat parabola, hiperbola mempunyai dua cabang, hanya saja keduanya tidak saling berhubungan. Masing-masing dari mereka berusaha sekuat tenaga untuk mendekati sumbu dan, tetapi tidak pernah mencapainya. Jika Anda melihat hiperbola yang sama dari jauh, Anda mendapatkan gambaran berikut:

Hal ini dapat dimengerti: karena grafik tidak dapat melintasi sumbu. Namun juga agar grafik tidak pernah menyentuh sumbunya.

Nah, sekarang mari kita lihat apa saja pengaruh koefisiennya. Pertimbangkan fungsi-fungsi ini:
:

Wow, sungguh indah!
Semua grafik dibuat warna yang berbeda agar lebih mudah membedakannya satu sama lain.

Jadi, apa yang harus kita perhatikan terlebih dahulu? Misalnya, jika suatu fungsi memiliki minus sebelum pecahan, maka grafiknya dibalik, yaitu ditampilkan secara simetris terhadap sumbunya.

Kedua: semakin besar angka penyebutnya, semakin jauh grafik tersebut “melarikan diri” dari titik asal.

Bagaimana jika fungsinya terlihat lebih kompleks, misalnya?

Dalam hal ini hiperbolanya akan sama persis dengan hiperbola biasanya, hanya saja sedikit bergeser. Coba kita pikirkan, dimana?

Apa yang tidak bisa disamakan dengan sekarang? Benar, . Artinya grafik tersebut tidak akan pernah mencapai garis lurus. Apa yang tidak bisa disamakan dengan itu? Sekarang. Artinya sekarang grafiknya akan cenderung ke garis lurus, tetapi tidak akan pernah memotongnya. Jadi, sekarang garis lurus berperan sama dengan sumbu koordinat fungsi tersebut. Garis seperti itu disebut asimtot(garis yang cenderung dicapai grafik tetapi tidak tercapai):

Kita akan mempelajari lebih lanjut tentang bagaimana grafik tersebut dibuat dalam topik.

Sekarang coba selesaikan beberapa contoh untuk dikonsolidasikan:

1. Gambar tersebut menunjukkan grafik suatu fungsi. Mendefinisikan.

2. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi. Mendefinisikan

3. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi. Mendefinisikan.

4. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi. Mendefinisikan.

5. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi dan.

Pilih rasio yang benar:

Jawaban:

Ketergantungan terbalik dalam hidup

Di mana kita menemukan fungsi seperti itu dalam praktiknya? Ada banyak contoh. Yang paling umum adalah gerakan: semakin besar kecepatan kita bergerak, semakin sedikit waktu yang kita perlukan untuk menempuh jarak yang sama. Memang mari kita ingat rumus kecepatan: , dimana kecepatan, waktu tempuh, jarak (jalan).

Dari sini kita dapat menyatakan waktu:

Contoh:

Seseorang pergi bekerja dengan kecepatan rata-rata km/jam dan sampai di sana dalam waktu satu jam. Berapa menit yang akan dia habiskan di jalan yang sama jika dia mengemudi dengan kecepatan km/jam?

Larutan:

Secara umum, Anda sudah menyelesaikan masalah seperti itu di kelas 5 dan 6. Anda membuat proporsinya:

Artinya, konsep proporsionalitas terbalik sudah tidak asing lagi bagi Anda. Jadi kami ingat. Dan sekarang hal yang sama, hanya dengan cara yang dewasa: melalui suatu fungsi.

Fungsi (yaitu ketergantungan) waktu dalam menit pada kecepatan:

Maka diketahui bahwa:

Perlu menemukan:

Sekarang berikan beberapa contoh dari kehidupan di mana terdapat proporsionalitas terbalik.
Ditemukan? Bagus sekali jika Anda melakukannya. Semoga beruntung!

KETERGANTUNGAN TERBALIK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

1. Definisi

Fungsi yang menggambarkan hubungan terbalik adalah fungsi dari bentuk dimana.

Dengan kata lain, fungsi ini disebut proporsionalitas terbalik, karena peningkatan argumen menyebabkan penurunan fungsi secara proporsional.

atau, apa yang sama,

Grafik inversnya adalah hiperbola.

2. Koefisien, dan.

Bertanggung jawab atas "kerataan" dan arah grafik: semakin besar koefisien ini, semakin jauh letak hiperbola dari titik asal, dan oleh karena itu, hiperbola tersebut “berbelok” semakin tidak curam (lihat gambar). Tanda koefisien mempengaruhi di kuartal mana grafik tersebut berada:

• jika, maka cabang-cabang hiperbola terletak di dan seperempat;
• jika, maka di dan.

x=a adalah asimtot vertikal, yaitu vertikal ke arah mana grafik cenderung.

Angka tersebut bertanggung jawab untuk menggeser grafik fungsi ke atas sebesar if , dan menggesernya ke bawah jika .

Oleh karena itu, ini adalah asimtot horizontal.

Hari ini kita akan melihat besaran apa saja yang disebut berbanding terbalik, seperti apa grafik proporsionalitas terbalik, dan bagaimana semua ini dapat bermanfaat bagi Anda tidak hanya dalam pelajaran matematika, tetapi juga di luar sekolah.

Proporsi yang berbeda

Proporsionalitas sebutkan dua besaran yang saling bergantung satu sama lain.

Ketergantungannya bisa langsung dan terbalik. Oleh karena itu, hubungan antar besaran digambarkan dengan proporsionalitas langsung dan terbalik.

Proporsionalitas langsung– ini adalah hubungan antara dua besaran yang kenaikan atau penurunan salah satu besarannya menyebabkan kenaikan atau penurunan besaran yang lain. Itu. sikap mereka tidak berubah.

Misalnya, semakin banyak usaha yang Anda lakukan untuk belajar menghadapi ujian, semakin tinggi nilai Anda. Atau semakin banyak barang yang Anda bawa saat mendaki, semakin berat ransel Anda untuk dibawa. Itu. Besarnya usaha yang dikeluarkan untuk mempersiapkan ujian berbanding lurus dengan nilai yang diperoleh. Dan jumlah barang yang dikemas dalam tas ransel berbanding lurus dengan beratnya.

Proporsionalitas terbalik– ini adalah ketergantungan fungsional di mana penurunan atau peningkatan beberapa kali dalam nilai independen (disebut argumen) menyebabkan peningkatan atau penurunan nilai dependen secara proporsional (yaitu, dalam jumlah yang sama) (disebut a fungsi).

Mari kita ilustrasikan contoh sederhana. Anda ingin membeli apel di pasar. Apel di konter dan jumlah uang di dompet Anda berbanding terbalik. Itu. Semakin banyak apel yang Anda beli, semakin sedikit uang yang tersisa.

Fungsi dan grafiknya

Fungsi proporsionalitas terbalik dapat digambarkan sebagai kamu = k/x. Di mana X≠ 0 dan k≠ 0.

Fungsi ini memiliki properti berikut:

1. Domain definisinya adalah himpunan semua bilangan real kecuali X = 0. D(kamu): (-∞; 0) kamu (0; +∞).
2. Jangkauan adalah segalanya bilangan real, kecuali kamu= 0. E(kamu): (-∞; 0) kamu (0; +∞) .
3. Tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.
4. Ganjil dan grafiknya simetris terhadap titik asal.
5. Non-periodik.
6. Grafiknya tidak memotong sumbu koordinat.
7. Tidak memiliki angka nol.
8. Jika k> 0 (yaitu argumennya bertambah), fungsinya berkurang secara proporsional pada setiap intervalnya. Jika k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ketika argumen meningkat ( k> 0) nilai negatif fungsi berada pada interval (-∞; 0), dan nilai positif berada pada interval (0; +∞). Ketika argumen berkurang ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Grafik fungsi proporsionalitas terbalik disebut hiperbola. Ditampilkan sebagai berikut:

Masalah proporsionalitas terbalik

Agar lebih jelas, mari kita lihat beberapa tugas. Hal ini tidak terlalu rumit, dan menyelesaikannya akan membantu Anda memvisualisasikan apa itu proporsionalitas terbalik dan bagaimana pengetahuan ini dapat berguna dalam kehidupan Anda sehari-hari.

Tugas No.1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 60 km/jam. Butuh waktu 6 jam untuk sampai ke tujuannya. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak yang sama jika ia bergerak dengan kecepatan dua kali lipat?

Kita bisa memulainya dengan menuliskan rumus yang menggambarkan hubungan antara waktu, jarak dan kecepatan: t = S/V. Setuju, ini sangat mengingatkan kita pada fungsi proporsionalitas terbalik. Dan ini menunjukkan bahwa waktu yang dihabiskan mobil di jalan dan kecepatan pergerakannya berbanding terbalik.

Untuk membuktikannya, carilah V 2 yang menurut kondisinya 2 kali lebih tinggi: V 2 = 60 * 2 = 120 km/jam. Kemudian kita hitung jaraknya dengan rumus S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sekarang tidak sulit untuk mengetahui waktu t 2 yang kita perlukan sesuai dengan kondisi soal: t 2 = 360/120 = 3 jam.

Seperti yang Anda lihat, waktu tempuh dan kecepatan memang berbanding terbalik: pada kecepatan 2 kali lebih tinggi dari kecepatan aslinya, mobil akan menghabiskan waktu 2 kali lebih sedikit di jalan.

Penyelesaian masalah ini juga dapat dituliskan dalam bentuk proporsi. Jadi mari kita buat diagram ini terlebih dahulu:

↓ 60 km/jam – 6 jam

↓120 km/jam – x jam

Tanda panah menunjukkan hubungan berbanding terbalik. Mereka juga menyarankan hal itu saat menyusun proporsi sisi kanan catatan harus dibalik: 60/120 = x/6. Dimana kita mendapatkan x = 60 * 6/120 = 3 jam.

Tugas No.2. Bengkel ini mempekerjakan 6 orang pekerja yang dapat menyelesaikan sejumlah pekerjaan tertentu dalam waktu 4 jam. Jika jumlah pekerja dikurangi setengahnya, berapa lama waktu yang dibutuhkan sisa pekerja untuk menyelesaikan jumlah pekerjaan yang sama?

Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam bentuk diagram visual:

↓ 6 pekerja – 4 jam

↓ 3 pekerja – x ​​jam

Mari kita tuliskan ini sebagai proporsi: 6/3 = x/4. Dan kita mendapatkan x = 6 * 4/3 = 8 jam Jika pekerjanya 2 kali lebih sedikit, maka pekerja sisanya akan menghabiskan waktu 2 kali lebih banyak untuk melakukan semua pekerjaan tersebut.

Tugas No.3. Ada dua pipa yang menuju ke kolam. Melalui satu pipa, air mengalir dengan kecepatan 2 l/s dan memenuhi kolam dalam waktu 45 menit. Melalui pipa lain, kolam akan terisi dalam waktu 75 menit. Berapa kecepatan air masuk ke kolam melalui pipa ini?

Untuk memulainya, mari kita kurangi semua besaran yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi soal ke dalam satuan pengukuran yang sama. Untuk melakukannya, kita nyatakan kecepatan pengisian kolam dalam liter per menit: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/mnt.

Karena kondisi kolam yang terisi lebih lambat melalui pipa kedua, berarti laju aliran air lebih rendah. Proporsionalitasnya berbanding terbalik. Mari kita nyatakan kecepatan yang tidak diketahui melalui x dan buatlah diagram berikut:

↓ 120 l/mnt – 45 menit

↓ x l/mnt – 75 menit

Lalu kita membuat proporsinya: 120/x = 75/45, dari mana x = 120 * 45/75 = 72 l/mnt.

Dalam soal ini, laju pengisian kolam dinyatakan dalam liter per detik; mari kita kurangi jawaban yang kita terima ke bentuk yang sama: 72/60 = 1,2 l/s.

Tugas No.4. Sebuah percetakan swasta kecil mencetak kartu nama. Seorang karyawan percetakan bekerja dengan kecepatan 42 kartu nama per jam dan bekerja sehari penuh - 8 jam. Jika dia bekerja lebih cepat dan mencetak 48 kartu nama dalam satu jam, berapa lama lagi dia bisa pulang?

Kami mengikuti jalur yang telah terbukti dan membuat diagram sesuai dengan kondisi masalah, menetapkan nilai yang diinginkan sebagai x:

↓ 42 kartu nama/jam – 8 jam

↓ 48 kartu nama/jam – x jam

Kita mempunyai hubungan yang berbanding terbalik: berapa kali lebih banyak kartu nama yang dicetak oleh seorang pegawai percetakan per jam, berapa kali lebih sedikit waktu yang dia perlukan untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama. Mengetahui hal ini, mari buat proporsinya:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 jam.

Dengan demikian, setelah menyelesaikan pekerjaan dalam waktu 7 jam, pegawai percetakan tersebut bisa pulang satu jam lebih awal.

Kesimpulan

Bagi kami, masalah proporsionalitas terbalik ini tampaknya sangat sederhana. Kami berharap sekarang Anda juga menganggapnya seperti itu. Dan yang terpenting adalah pengetahuan tentang kebalikannya ketergantungan proporsional jumlah mungkin memang terbukti berguna bagi Anda lebih dari sekali.

Tidak hanya dalam pelajaran matematika dan ujian. Namun demikian, ketika Anda bersiap untuk melakukan perjalanan, berbelanja, memutuskan untuk mendapatkan sedikit uang tambahan selama liburan, dll.

Beri tahu kami di komentar contoh hubungan berbanding terbalik dan berbanding lurus apa yang Anda perhatikan di sekitar Anda. Biarlah ini menjadi permainan seperti itu. Anda akan melihat betapa menariknya itu. Jangan lupa untuk membagikan artikel ini ke di jejaring sosial agar teman dan teman sekelasmu juga bisa bermain.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

1 pelajaran tentang topik tersebut

Dilakukan:

Telegina L.B.

Tujuan pelajaran:

1. mengulang semua materi yang dipelajari pada fungsi.
2. mengenalkan definisi proporsionalitas terbalik dan mengajarkan cara membuat grafiknya.
3. mengembangkan pemikiran logis.
4. menumbuhkan perhatian, ketelitian, ketelitian.

Rencana belajar:

1. Pengulangan.
2. Penjelasan materi baru.
3. menit pendidikan jasmani.
4. Konsolidasi.

Peralatan: poster.

Selama kelas:

1. Pelajaran dimulai dengan pengulangan. Siswa diminta memecahkan teka-teki silang (yang telah dipersiapkan sebelumnya pada selembar kertas besar).

Pertanyaan teka-teki silang:

1. Ketergantungan antar variabel, dimana setiap nilai variabel bebas bersesuaian dengan satu nilai variabel terikat. [Fungsi].

2. Variabel bebas. [Argumen].

3. Himpunan titik-titik pada bidang koordinat absis yang sama dengan nilai argumennya, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsinya. [Jadwal].

4. Fungsi yang diberikan oleh rumus y=kx+b. [linier].

5. Koefisien apa yang disebut suatu bilangan? k dalam rumus y=kx+b? [Sudut].

6. Berapakah grafik fungsi linier? [Lurus].

7. Jika k≠0, maka grafik y=kx+b memotong sumbu tersebut, dan jika k=0 maka grafik tersebut sejajar. Dengan huruf apa sumbu ini dilambangkan? [X].

8. Kata pada nama fungsi y=kx? [Proporsionalitas].

9. Fungsi yang diberikan oleh rumus y=x 2. [Kuadrat].

10. Judul bagan fungsi kuadrat. [Parabola].

11. Huruf alfabet Latin, yang sering menunjukkan suatu fungsi. [Igrek].

12. Salah satu cara untuk menentukan suatu fungsi. [Rumus].

Guru : Apa cara utama untuk menentukan suatu fungsi yang kita ketahui?

(Seorang siswa menerima tugas di papan tulis: mengisi tabel nilai fungsi 12/x menggunakan nilai argumennya yang diberikan, dan kemudian memplot titik-titik yang bersesuaian pada bidang koordinat).

Sisanya menjawab pertanyaan guru: (yang ditulis terlebih dahulu di papan tulis)

1. Apa nama fungsi berikut yang diberikan rumus: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , kamu=x 3 ?

2. Tentukan domain definisi fungsi berikut: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , kamu=-10/x.

Kemudian siswa mengerjakan sesuai tabel, menjawab pertanyaan yang diajukan guru:

1. Gambar manakah dari tabel yang menunjukkan grafik:

a) fungsi linier;

b) proporsionalitas langsung;

c) fungsi kuadrat;

d) fungsi bentuk y=kx 3 ?

2. Tanda apa yang dimiliki koefisien k dalam rumus berbentuk y=kx+b, yang sesuai dengan grafik pada Gambar 1, 2, 4, 5 pada tabel?

3. Temukan grafik di tabel fungsi linier, yang koefisien sudutnya adalah:

a) setara;

b) sama besarnya dan berlawanan tanda.

(Kemudian seluruh kelas memeriksa apakah siswa yang dipanggil ke papan tulis mengisi tabel dengan benar dan menempatkan titik-titik pada bidang koordinat).

2. Penjelasan diawali dengan motivasi.

Guru: Seperti yang Anda ketahui, setiap fungsi menggambarkan beberapa proses yang terjadi di dunia sekitar kita.

Misalnya, persegi panjang yang mempunyai sisi-sisinya x dan y dan luasnya 12 cm 2 . Diketahui x*y=12, namun apa yang terjadi jika salah satu sisi persegi panjang diubah, misalkan sisi yang panjangnya X?

Panjang sisi y dapat dicari dari rumus y=12/x. Jika X bertambah 2 kali lipat, maka akan diperoleh y=12/2x, yaitu samping kamu akan berkurang 2 kali lipat. Jika nilainya X bertambah 3, 4, 5... kali, lalu nilainya kamu akan berkurang dengan jumlah yang sama. Sebaliknya jika X turunkan beberapa kali, kalau begitu kamu akan meningkat dengan jumlah yang sama. (Bekerja sesuai tabel).

Oleh karena itu, fungsi berbentuk y=12/x disebut proporsionalitas terbalik. DI DALAM pandangan umum ditulis sebagai y=k/x, di mana k adalah konstanta, dan k≠0.

Inilah topik pelajaran hari ini, kami menuliskannya di buku catatan kami. Saya memberikan definisi yang tegas. Untuk fungsi y=12/x, yang merupakan tipe khusus dari proporsionalitas terbalik, kita telah menuliskan sejumlah nilai argumen dan fungsi dalam tabel dan akan menggambarkan titik-titik yang bersesuaian pada bidang koordinat. Seperti apa grafik fungsi ini? Sulit untuk menilai keseluruhan grafik berdasarkan titik-titik yang dibangun, karena titik-titik tersebut dapat dihubungkan dengan cara apa pun. Mari kita coba bersama-sama menarik kesimpulan tentang grafik suatu fungsi yang timbul dari pertimbangan tabel dan rumus.

Pertanyaan untuk kelas:

1. Apa domain definisi dari fungsi y=12/x?
2. Apakah nilai y positif atau negatif jika

a)x

b) x>0?

3. Bagaimana nilai suatu variabel berubah kamu dengan perubahan nilai X?

Jadi,

1. titik (0,0) bukan milik grafik, mis. itu tidak memotong sumbu OX atau OY;
2. grafiknya berada pada kuarter koordinat Ι dan ΙΙΙ;
3. mendekati sumbu koordinat dengan mulus baik pada kuarter koordinat Ι maupun pada ΙΙΙ, dan mendekati sumbu sedekat yang diinginkan.

Dengan adanya informasi ini, kita sudah dapat menghubungkan titik-titik pada gambar (guru melakukannya sendiri di papan tulis) dan melihat grafik keseluruhan dari fungsi y=12/x. Kurva yang dihasilkan disebut hiperbola, yang dalam bahasa Yunani berarti “melewati sesuatu”. Kurva ini ditemukan oleh ahli matematika aliran Yunani kuno sekitar abad ke-4 SM. Istilah hiperbola diperkenalkan oleh Apollonius dari kota Pergamus ( Asia Kecil), yang hidup pada abad ΙΙΙ-ΙΙ. SM.

Sekarang, di samping grafik fungsi y=12/x, kita akan membuat grafik fungsi y=-12/x. (Siswa menyelesaikan tugas ini di buku catatan, dan satu siswa menyelesaikan tugas ini di papan tulis).

Membandingkan kedua grafik, siswa memperhatikan bahwa grafik kedua menempati 2 dan 4 bagian koordinat. Selain itu, jika grafik fungsi y=12/x ditampilkan secara simetris terhadap sumbu op-amp, maka akan diperoleh grafik fungsi y=-12/x.

Pertanyaan: Bagaimana letak grafik hiperbola y=k/x bergantung pada tanda dan nilai koefisien k?

Siswa yakin bahwa jika k>0, maka grafik terletak di Ι Dan ΙΙΙ mengoordinasikan tempat, dan jika k

1. Pelajaran pendidikan jasmani dilakukan oleh guru.

1. Pemantapan apa yang dipelajari terjadi ketika menyelesaikan No. 180, 185 dari buku teks.

1. Rangkuman pelajaran, nilai, pekerjaan rumah: hal.8 No.179, 184.

Pelajaran 2 tentang topik tersebut

“Fungsi proporsionalitas terbalik dan grafiknya.”

Dilakukan:

Telegina L.B.

Tujuan pelajaran:

1. mengkonsolidasikan keterampilan membuat grafik fungsi proporsionalitas terbalik;
2. mengembangkan minat pada subjek, pemikiran logis;
3. menumbuhkan kemandirian dan perhatian.

Rencana belajar:

1. Memeriksa kemajuan pekerjaan rumah.
2. Pekerjaan lisan.
3. Penyelesaian masalah.
4. menit pendidikan jasmani.
5. Pekerjaan mandiri bertingkat.
6. Kesimpulannya, penilaian, pekerjaan rumah.

Peralatan: kartu.

Selama kelas:

1. Guru mengumumkan topik pelajaran, tujuan dan rencana pelajaran.

Kemudian dua orang siswa menyelesaikan tugas nomor rumah 179, 184 di papan tulis.

1. Siswa lainnya bekerja secara frontal, menjawab pertanyaan guru.

Pertanyaan:

• Tentukan fungsi proporsionalitas terbalik.
• Berapakah grafik fungsi proporsionalitas terbalik.
• Bagaimana letak grafik hiperbola y=k/x bergantung pada nilai koefisien k?

Tugas:

1. Di antara fungsi-fungsi yang ditentukan oleh rumus adalah fungsi proporsionalitas terbalik:

a) kamu=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Untuk fungsi proporsionalitas terbalik, sebutkan koefisiennya dan tunjukkan di bagian mana grafiknya berada.

3. Temukan daerah definisi fungsi proporsionalitas terbalik.

(Kemudian siswa saling memeriksa pekerjaan rumah masing-masing dengan pensil berdasarkan solusi yang diperiksa guru terhadap angka-angka di papan tulis dan memberi nilai).

Pekerjaan frontal menurut buku teks No. 190, 191, 192, 193 (lisan).

1. Eksekusi di buku catatan dan di papan tulis dari buku teks No. 186(b), 187(b), 182.

4. Pembelajaran pendidikan jasmani dilakukan oleh guru.

5. Pekerjaan mandiri diberikan dalam tiga pilihan dari kompleksitas yang berbeda-beda(didistribusikan pada kartu).

Ι c. (ringan).

Buatlah grafik fungsi proporsionalitas terbalik y=-6/x menggunakan tabel:

Dengan menggunakan grafik, temukan:

a) nilai y jika x = - 1,5; 2;

b) nilai x dimana y = - 1; 4.

abad ke-10 (kesulitan sedang)

Buatlah grafik fungsi proporsionalitas terbalik y=16/x, setelah mengisi tabelnya terlebih dahulu.

Dengan menggunakan grafik, temukan nilainya x kamu >0.

abad ke-19 (peningkatan kesulitan)

Buatlah grafik fungsi proporsionalitas terbalik y=10/x-2, setelah mengisi tabelnya terlebih dahulu.

Temukan domain definisi fungsi ini.

(Siswa menyerahkan lembaran dengan grafik yang diplot untuk pengujian).

6. Meringkas pembelajaran, penilaian, pekerjaan rumah: No. 186 (a), 187 (a).