Menyelesaikan logaritma dengan basis berbeda. Menyelesaikan Persamaan Logaritma - Pelajaran Terakhir

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Sifat dasar logaritma, grafik logaritma, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, kenaikan dan penurunan diberikan. Menemukan turunan dari logaritma dipertimbangkan. Selain integral, perluasan dan representasi deret pangkat menggunakan bilangan kompleks.

Definisi logaritma

Logaritma dengan basis a adalah fungsi dari y (x) = log ax, kebalikan dari fungsi eksponensial dengan basis a: x (kamu) = kamu.

Logaritma desimal adalah logaritma ke basis suatu bilangan 10 : catatan x ≡ catatan 10 x.

Logaritma natural adalah logaritma ke basis e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Grafik logaritma diperoleh dari grafik fungsi eksponensial dengan cara mencerminkannya terhadap garis lurus y = x. Di sebelah kiri adalah grafik fungsi y (x) = log ax untuk empat nilai basis logaritma: sebuah = 2 , sebuah = 8 , sebuah = 1/2 dan sebuah = 1/8 . Grafik menunjukkan bahwa ketika > 1 logaritma meningkat secara monoton. Ketika x meningkat, pertumbuhan melambat secara signifikan. Pada 0 < a < 1 logaritmanya berkurang secara monoton.

Sifat-sifat logaritma

Domain, kumpulan nilai, meningkat, menurun

Logaritma merupakan fungsi monotonik sehingga tidak mempunyai titik ekstrim. Properti utama logaritma disajikan dalam tabel.

Nilai-nilai pribadi

Logaritma ke basis 10 disebut logaritma desimal dan dilambangkan sebagai berikut:

Logaritma ke basis e ditelepon logaritma natural:

Rumus dasar logaritma

Sifat-sifat logaritma yang timbul dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus penggantian basa

Logaritma adalah operasi matematika mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, hasil kali faktor diubah menjadi jumlah suku.

Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Selama potensiasi, basis tertentu dinaikkan ke tingkat ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah suku diubah menjadi produk faktor.

Bukti rumus dasar logaritma

Rumus yang berkaitan dengan logaritma mengikuti rumus fungsi eksponensial dan definisi fungsi invers.

Pertimbangkan properti fungsi eksponensial
.
Kemudian
.
Mari kita terapkan properti fungsi eksponensial
:
.

Mari kita buktikan rumus penggantian basa.
;
.
Dengan asumsi c = b, kita mempunyai:

Fungsi terbalik

Kebalikan logaritma dengan basis a adalah fungsi eksponensial dengan eksponen a.

Jika kemudian

Jika kemudian

Turunan dari logaritma

Turunan dari logaritma modulus x:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >

Untuk mencari turunan logaritma, harus direduksi menjadi basis e.
;
.

Integral

Integral logaritma dihitung dengan mengintegrasikan bagian-bagiannya: .
Jadi,

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsi bilangan kompleks z:
.
Mari kita nyatakan bilangan kompleks z melalui modul R dan argumen φ :
.
Kemudian, dengan menggunakan properti logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau

Namun argumennya φ tidak didefinisikan secara unik. Jika Anda menaruh
, dimana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi angka yang sama untuk yang berbeda N.

Oleh karena itu, logaritma, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Kapan perluasan terjadi:

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap rumit, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya padaku? Bagus. Sekarang, hanya dalam 10 - 20 menit Anda:

1. Anda akan mengerti apa itu logaritma.

2. Belajar menyelesaikan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar apa pun tentang mereka.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian dan cara menaikkan suatu bilangan ke pangkat...

Saya merasa Anda memiliki keraguan... Baiklah, tandai waktunya! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Logaritma bilangan b (b > 0) ke basis a (a > 0, a ≠ 1)– eksponen yang bilangan a harus dipangkatkan untuk memperoleh b.

Logaritma basis 10 dari b dapat ditulis sebagai catatan(b), dan logaritma ke basis e (logaritma natural) adalah dalam(b).

Sering digunakan saat menyelesaikan masalah dengan logaritma:

Sifat-sifat logaritma

Ada empat yang utama sifat-sifat logaritma.

Misalkan a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0.

Properti 1. Logaritma produk

Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Sifat 2. Logaritma hasil bagi

Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma:

log a (x / y) = log ax – log ay

Sifat 3. Logaritma pangkat

Logaritma derajat sama dengan hasil kali pangkat dan logaritma:

Jika basis logaritma adalah derajat, maka berlaku rumus lain:

Sifat 4. Logaritma akar

Sifat ini dapat diperoleh dari sifat logaritma suatu pangkat, karena akar ke-n pangkat sama dengan pangkat 1/n:

Rumus untuk mengubah logaritma pada satu basis ke logaritma pada basis lain

Rumus ini juga sering digunakan ketika menyelesaikan berbagai masalah logaritma:

Kasus spesial:

Membandingkan logaritma (pertidaksamaan)

Mari kita memiliki 2 fungsi f(x) dan g(x) pada logaritma dengan basis yang sama dan di antara keduanya ada tanda pertidaksamaan:

Untuk membandingkannya, pertama-tama Anda perlu melihat basis logaritma a:

• Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
• Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cara menyelesaikan soal logaritma: contoh

Masalah dengan logaritma termasuk dalam Ujian Negara Terpadu matematika untuk kelas 11 pada tugas 5 dan tugas 7, Anda dapat menemukan tugas dengan solusi di situs web kami di bagian yang sesuai. Selain itu, tugas dengan logaritma dapat ditemukan di bank tugas matematika. Anda dapat menemukan semua contoh dengan mencari di situs.

Apa itu logaritma

Logaritma selalu dianggap sebagai topik yang sulit dalam kursus matematika sekolah. Ada banyak definisi logaritma yang berbeda, tetapi karena alasan tertentu sebagian besar buku teks menggunakan definisi yang paling rumit dan tidak berhasil.

Kami akan mendefinisikan logaritma secara sederhana dan jelas. Untuk melakukan ini, mari buat tabel:

Jadi, kita punya kekuatan dua.

Logaritma - properti, rumus, cara penyelesaian

Jika Anda mengambil angka dari garis bawah, Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya definisi logaritma:

basis a dari argumen x adalah pangkat dari bilangan a yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x.

Sebutan: log a x = b, dengan a adalah basis, x adalah argumen, b adalah logaritma sebenarnya.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Dengan keberhasilan yang sama, log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma suatu bilangan dengan basis tertentu disebut. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:

Sayangnya, tidak semua logaritma dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, coba cari log 2 5. Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada interval tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bilangan seperti itu disebut irasional: bilangan setelah koma dapat ditulis ad infinitum dan tidak pernah terulang. Jika logaritmanya ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti itu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya banyak orang bingung mana dasar dan mana argumentasinya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Di hadapan kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana basis harus dibangun untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan ke pangkat - disorot dengan warna merah pada gambar. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu siswa saya aturan luar biasa ini pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan yang timbul.

Cara menghitung logaritma

Kami telah menemukan definisinya - yang tersisa hanyalah mempelajari cara menghitung logaritma, mis. hilangkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti definisi tersebut:

1. Argumen dan basisnya harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti definisi derajat dengan eksponen rasional, yang kemudian direduksi menjadi definisi logaritma.
2. Basisnya harus berbeda dari yang satu, karena yang satu tetap satu sampai tingkat apa pun. Oleh karena itu, pertanyaan “kepada kekuatan apa seseorang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti ini disebut rentang nilai yang dapat diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma). Misalnya, logaritmanya mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1.

Namun, sekarang kita hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, yang tidak perlu mengetahui VA logaritmanya. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penulis masalah. Namun ketika persamaan dan pertidaksamaan logaritmik mulai berlaku, persyaratan DL akan menjadi wajib. Bagaimanapun juga, dasar dan argumennya mungkin mengandung konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang mari kita lihat skema umum untuk menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis minimum yang mungkin lebih besar dari satu. Dalam prosesnya, lebih baik menghilangkan desimal;
2. Selesaikan persamaan variabel b: x = a b ;
3. Angka b yang dihasilkan akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritmanya ternyata irasional, hal ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangatlah penting: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Sama halnya dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahannya akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat cara kerja skema ini menggunakan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 5 25

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Kami menerima jawabannya: 2.

Tugas. Hitung logaritmanya:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 4 64

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Kami menerima jawabannya: 3.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 16 1

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Kami menerima jawabannya: 0.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 7 14

1. Mari kita bayangkan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Dari paragraf sebelumnya dapat disimpulkan bahwa logaritma tidak dihitung;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Catatan kecil pada contoh terakhir. Bagaimana Anda bisa yakin bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Caranya sangat sederhana - faktorkan saja ke dalam faktor prima. Jika pemuaian mempunyai paling sedikit dua faktor yang berbeda, maka bilangan tersebut bukanlah pangkat pasti.

Tugas. Cari tahu apakah angka-angka tersebut merupakan pangkat eksak: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - derajat eksak, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan pangkat eksak, karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - derajat eksak;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan pangkat pasti;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan derajat pasti;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga mempunyai nama dan simbol khusus.

argumen x adalah logaritma ke basis 10, yaitu Pangkat bilangan 10 yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: lg x.

Misalnya log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti “Temukan lg 0,01” muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda belum terbiasa dengan notasi ini, Anda selalu dapat menulis ulang:
catatan x = catatan 10x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk logaritma desimal.

Logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki sebutan tersendiri. Dalam beberapa hal, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Kita berbicara tentang logaritma natural.

argumen x adalah logaritma ke basis e, yaitu pangkat berapa bilangan e harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: ln x.

Banyak orang akan bertanya: berapakah angka e? Ini adalah bilangan irasional; nilai pastinya tidak dapat ditemukan atau dituliskan. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2,718281828459…

Kami tidak akan menjelaskan secara detail tentang apa nomor ini dan mengapa diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1; dalam e 2 = 2; dalam e 16 = 16 - dst. Sebaliknya, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari bilangan rasional apa pun adalah irasional. Kecuali, tentu saja, untuk satu hal: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.

Lihat juga:

Logaritma. Sifat-sifat logaritma (pangkat logaritma).

Bagaimana cara merepresentasikan bilangan sebagai logaritma?

Kami menggunakan definisi logaritma.

Logaritma adalah eksponen yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan bilangan di bawah tanda logaritma.

Jadi, untuk menyatakan bilangan c tertentu sebagai logaritma dengan basis a, Anda perlu meletakkan pangkat dengan basis yang sama dengan basis logaritma di bawah tanda logaritma, dan menuliskan bilangan c ini sebagai eksponennya:

Benar-benar bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai logaritma - positif, negatif, bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional:

Agar tidak membingungkan a dan c dalam kondisi ujian atau ujian yang penuh tekanan, Anda dapat menggunakan aturan menghafal berikut:

yang di bawah turun, yang di atas naik.

Misalnya, Anda perlu merepresentasikan angka 2 sebagai logaritma ke basis 3.

Kami memiliki dua angka - 2 dan 3. Angka-angka ini adalah basis dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Tinggal menentukan angka mana yang harus dituliskan ke dasar derajat, dan angka mana yang harus dituliskan ke pangkat.

Basis 3 dalam notasi logaritma ada di bagian bawah, artinya ketika kita menyatakan dua sebagai logaritma ke basis 3, kita juga akan menuliskan 3 ke basis.

2 lebih tinggi dari tiga. Dan dalam notasi derajat dua kita tulis di atas tiga, yaitu sebagai eksponen:

Logaritma. Tingkat pertama.

Logaritma

Logaritma nomor positif B berdasarkan A, Di mana a > 0, a ≠ 1, disebut eksponen yang bilangannya harus dipangkatkan A, Untuk memperoleh B.

Definisi logaritma dapat ditulis secara singkat seperti ini:

Kesetaraan ini berlaku untuk b > 0, a > 0, a ≠ 1. Biasanya disebut identitas logaritma.
Tindakan mencari logaritma suatu bilangan disebut dengan logaritma.

Sifat-sifat logaritma:

Logaritma produk:

Logaritma hasil bagi:

Mengganti basis logaritma:

Logaritma derajat:

Logaritma akar:

Logaritma dengan basis pangkat:

Logaritma desimal dan natural.

Logaritma desimal angka panggil logaritma angka ini ke basis 10 dan tulis   lg B
Logaritma natural bilangan disebut logaritma bilangan tersebut ke basis e, Di mana e- bilangan irasional kira-kira sama dengan 2,7. Pada saat yang sama mereka menulis ln B.

Catatan lain tentang aljabar dan geometri

Sifat dasar logaritma

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Perhatikan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Catatan 6 4 + catatan 6 9.

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
catatan 6 4 + catatan 6 9 = catatan 6 (4 9) = catatan 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Cara menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
catatan 7 49 6 = 6 catatan 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kita punya:

Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke fondasi baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma log a x diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; catatan 2 25 = catatan 2 5 2 = 2 catatan 2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma ke basis tertentu.

Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: .

Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.

Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)

Satuan logaritma dan logaritma nol

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.

1. log a a = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. log a 1 = 0 adalah. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena 0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

Hari ini kita akan membicarakannya rumus logaritma dan kami akan memberikan indikasi contoh solusi.

Mereka sendiri menyiratkan pola solusi berdasarkan sifat dasar logaritma. Sebelum menerapkan rumus logaritma untuk menyelesaikannya, izinkan kami mengingatkan Anda tentang semua properti:

Sekarang, berdasarkan rumus (properti) ini, kami akan menunjukkannya contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan rumus.

Logaritma bilangan positif b ke basis a (dilambangkan dengan log a b) adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Menurut definisinya, log a b = x yang ekuivalen dengan a x = b, maka log a a x = x.

Logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, karena 2 3 = 8

log 7 49 = 2, karena 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, karena 5 -1 = 1/5

Logaritma desimal- ini adalah logaritma biasa, yang basisnya adalah 10. Dilambangkan sebagai lg.

log 10 100 = 2, karena 10 2 = 100

Logaritma natural- juga logaritma biasa, logaritma, tetapi dengan basis e (e = 2.71828... - bilangan irasional). Dilambangkan sebagai ln.

Rumus atau sifat-sifat logaritma sebaiknya dihafal, karena nantinya kita akan membutuhkannya saat menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma, dan pertidaksamaan. Mari kita kerjakan kembali setiap rumus dengan contoh.

• Identitas logaritma dasar
  catatan a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma
  log a (bc) = log a b + log a c

  catatan 3 8.1 + catatan 3 10 = catatan 3 (8.1*10) = catatan 3 81 = 4

• Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Sifat-sifat pangkat bilangan logaritma dan basis logaritma

  Eksponen bilangan logaritma log a b m = mlog a b

  Eksponen basis logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jika m = n, diperoleh log a n b n = log a b

  catatan 4 9 = catatan 2 2 3 2 = catatan 2 3

• Transisi ke fondasi baru
  log a b = log c b/log c a,

  jika c = b, diperoleh log b b = 1

  maka log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang Anda lihat, rumus logaritma tidak serumit kelihatannya. Sekarang, setelah melihat contoh penyelesaian logaritma, kita dapat beralih ke persamaan logaritma. Kita akan melihat contoh penyelesaian persamaan logaritma lebih detail di artikel: "". Jangan lewatkan!

Jika Anda masih memiliki pertanyaan tentang solusinya, tulis di komentar artikel.

Catatan: kami memutuskan untuk mengambil kelas pendidikan lain dan belajar di luar negeri sebagai pilihan.