Selesaikan persamaan logaritma menggunakan definisi logaritma. Persamaan logaritma. Masalah dengan basis variabel

Dalam pelajaran ini kita akan meninjau fakta teoritis dasar tentang logaritma dan mempertimbangkan penyelesaian persamaan logaritma yang paling sederhana.

Mari kita mengingat kembali definisi sentral - definisi logaritma. Ini melibatkan penyelesaian persamaan eksponensial. Persamaan ini mempunyai akar tunggal, disebut logaritma dari b ke basis a:

Definisi:

Logaritma b ke basis a adalah eksponen ke basis a yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan b.

Izinkan kami mengingatkan Anda identitas logaritmik dasar.

Ekspresi (ekspresi 1) adalah akar persamaan (ekspresi 2). Substitusikan nilai x dari ekspresi 1 alih-alih x ke dalam ekspresi 2 dan dapatkan identitas logaritma utama:

Jadi kita melihat bahwa setiap nilai dikaitkan dengan suatu nilai. Kita menyatakan b dengan x(), c dengan y, dan dengan demikian memperoleh fungsi logaritmik:

Misalnya:

Mari kita mengingat kembali sifat dasar fungsi logaritma.

Mari kita perhatikan sekali lagi, di sini, karena di bawah logaritma dapat terdapat ekspresi yang sangat positif, sebagai basis logaritma.

Beras. 1. Grafik fungsi logaritma dengan basis berbeda

Grafik fungsi di ditampilkan dalam warna hitam. Beras. 1. Jika argumen bertambah dari nol hingga tak terhingga, maka fungsinya bertambah dari minus menjadi plus tak terhingga.

Grafik fungsi di ditunjukkan dengan warna merah. Beras. 1.

Properti dari fungsi ini:

Domain: ;

Jarak nilai: ;

Fungsinya monoton di seluruh domain definisinya. Ketika meningkat secara monoton (ketat), semakin besar nilai argumen maka semakin besar pula nilai fungsinya. Ketika menurun secara monoton (ketat), nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil.

Sifat-sifat fungsi logaritma adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai persamaan logaritma.

Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana, semua persamaan logaritma lainnya biasanya direduksi ke bentuk ini.

Karena basis logaritma dan logaritma itu sendiri adalah sama, fungsi-fungsi di bawah logaritma juga sama, tetapi kita tidak boleh melewatkan domain definisinya. Hanya bilangan positif yang dapat muncul di bawah logaritma, kita mempunyai:

Kami menemukan bahwa fungsi f dan g adalah sama, jadi cukup memilih salah satu pertidaksamaan untuk memenuhi ODZ.

Jadi, kita memiliki sistem campuran yang di dalamnya terdapat persamaan dan pertidaksamaan:

Sebagai aturan, menyelesaikan pertidaksamaan tidak perlu; cukup menyelesaikan persamaan dan mensubstitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam pertidaksamaan, sehingga melakukan pemeriksaan.

Mari kita rumuskan metode penyelesaian persamaan logaritma paling sederhana:

Menyamakan basis logaritma;

Menyamakan fungsi sublogaritma;

Lakukan pemeriksaan.

Mari kita lihat contoh spesifiknya.

Contoh 1 - selesaikan persamaan:

Basis logaritma awalnya sama, kita berhak menyamakan ekspresi sublogaritma, jangan lupa ODZ, kita pilih logaritma pertama untuk menyusun pertidaksamaan:

Contoh 2 - selesaikan persamaannya:

Persamaan ini berbeda dari persamaan sebelumnya karena basis logaritmanya kurang dari satu, tetapi hal ini tidak mempengaruhi penyelesaian sama sekali:

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Kami menerima pertidaksamaan yang salah, yang berarti akar yang ditemukan tidak memenuhi ODZ.

Contoh 3 - selesaikan persamaannya:

Basis logaritma awalnya sama, kita berhak menyamakan ekspresi sublogaritma, jangan lupa ODZ, kita pilih logaritma kedua untuk membuat pertidaksamaan:

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Jelasnya, hanya root pertama yang memenuhi ODZ.

Persiapan untuk ujian akhir matematika mencakup bagian penting - “Logaritma”. Tugas-tugas dari topik ini tentu terkandung dalam Unified State Examination. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa persamaan logaritma menimbulkan kesulitan bagi banyak anak sekolah. Oleh karena itu, siswa dengan tingkat pelatihan yang berbeda harus memahami bagaimana menemukan jawaban yang benar dan cepat mengatasinya.

Lulus tes sertifikasi dengan sukses menggunakan portal pendidikan Shkolkovo!

Dalam mempersiapkan Ujian Negara Bersatu, lulusan SMA membutuhkan sumber terpercaya yang memberikan informasi terlengkap dan akurat agar berhasil menyelesaikan soal ujian. Namun, buku teks tidak selalu tersedia, dan mencari aturan dan rumus yang diperlukan di Internet seringkali membutuhkan waktu.

Portal pendidikan Shkolkovo memungkinkan Anda mempersiapkan Ujian Negara Bersatu di mana saja dan kapan saja. Situs web kami menawarkan pendekatan paling nyaman untuk mengulang dan mengasimilasi sejumlah besar informasi tentang logaritma, serta dengan satu dan beberapa hal yang tidak diketahui. Mulailah dengan persamaan mudah. Jika Anda dapat mengatasinya tanpa kesulitan, lanjutkan ke yang lebih kompleks. Jika Anda kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan tertentu, Anda dapat menambahkannya ke Favorit sehingga Anda dapat kembali lagi nanti.

Anda dapat menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas, mengulangi kasus khusus dan metode untuk menghitung akar persamaan logaritma standar dengan melihat bagian “Bantuan Teoritis”. Guru Shkolkovo mengumpulkan, mensistematisasikan, dan menyajikan semua materi yang diperlukan agar kelulusan berhasil dalam bentuk yang paling sederhana dan paling mudah dipahami.

Untuk dengan mudah mengatasi tugas-tugas kompleksitas apa pun, di portal kami Anda dapat membiasakan diri dengan solusi beberapa persamaan logaritma standar. Untuk melakukan ini, buka bagian “Katalog”. Kami memiliki banyak contoh, termasuk persamaan dengan tingkat profil Ujian Negara Terpadu dalam matematika.

Siswa dari sekolah di seluruh Rusia dapat menggunakan portal kami. Untuk memulai kelas, cukup mendaftar di sistem dan mulai menyelesaikan persamaan. Untuk mengkonsolidasikan hasil, kami menyarankan Anda untuk kembali ke situs web Shkolkovo setiap hari.

Video terakhir dari rangkaian panjang pelajaran tentang menyelesaikan persamaan logaritma. Kali ini kita akan bekerja terutama dengan ODZ dari logaritma - justru karena pertimbangan yang salah (atau bahkan mengabaikan) domain definisi maka sebagian besar kesalahan muncul ketika memecahkan masalah tersebut.

Dalam video pelajaran singkat ini, kita akan melihat penggunaan rumus penjumlahan dan pengurangan logaritma, dan juga membahas persamaan rasional pecahan, yang juga bermasalah dengan banyak siswa.

Apa yang akan kita bicarakan? Rumus utama yang ingin saya pahami adalah sebagai berikut:

log a (f g ) = log a f + log a g

Ini adalah transisi standar dari produk ke jumlah logaritma dan sebaliknya. Anda mungkin mengetahui rumus ini sejak awal mempelajari logaritma. Namun, ada satu kendala.

Selama variabel a, f dan g merupakan bilangan biasa maka tidak timbul masalah. Rumus ini bekerja dengan baik.

Namun, begitu fungsi muncul alih-alih f dan g, masalah perluasan atau penyempitan domain definisi muncul bergantung pada arah mana yang akan diubah. Nilailah sendiri: pada logaritma yang tertulis di sebelah kiri, domain definisinya adalah sebagai berikut:

fg > 0

Namun secara jumlah yang tertulis di sebelah kanan, domain definisinya sudah agak berbeda:

f > 0

g > 0

Serangkaian persyaratan ini lebih ketat daripada persyaratan awal. Dalam kasus pertama, kita akan puas dengan opsi f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 dijalankan).

Jadi, ketika berpindah dari konstruksi kiri ke konstruksi kanan, terjadi penyempitan domain definisi. Jika pada mulanya kita mempunyai suatu penjumlahan, dan kita menuliskannya kembali dalam bentuk perkalian, maka domain definisinya meluas.

Dengan kata lain, dalam kasus pertama kita bisa kehilangan akar, dan dalam kasus kedua kita bisa mendapatkan akar tambahan. Ini harus diperhitungkan ketika menyelesaikan persamaan logaritma nyata.

Jadi, tugas pertama:

Di sebelah kiri kita melihat jumlah logaritma menggunakan basis yang sama. Oleh karena itu, logaritma berikut dapat ditambahkan:

Seperti yang Anda lihat, di sebelah kanan kami mengganti angka nol menggunakan rumus:

a = catatan b b a

Mari kita atur ulang persamaan kita sedikit lagi:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma, kita dapat mencoret tanda log dan menyamakan argumennya:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Harap dicatat: dari mana modul ini berasal? Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa akar kuadrat eksak sama dengan modulus:

Kemudian kita selesaikan persamaan klasik dengan modulus:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Berikut adalah dua jawaban kandidat. Apakah persamaan tersebut merupakan solusi persamaan logaritma asli? Mustahil!

Kami tidak berhak membiarkan semuanya begitu saja dan menuliskan jawabannya. Lihatlah langkah di mana kita mengganti jumlah logaritma dengan satu logaritma hasil perkalian argumen. Masalahnya adalah dalam ekspresi aslinya kita memiliki fungsi. Oleh karena itu, Anda harus memerlukan:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Saat kami mengubah produk, mendapatkan persegi yang tepat, persyaratannya berubah:

(x − 5) 2 > 0

Kapan persyaratan ini dipenuhi? Ya, hampir selalu! Kecuali jika x − 5 = 0. Yaitu ketimpangan akan dikurangi menjadi satu titik tertusuk:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Seperti yang Anda lihat, cakupan definisinya telah diperluas, seperti yang kita bicarakan di awal pelajaran. Akibatnya, akar tambahan mungkin muncul.

Bagaimana Anda mencegah munculnya akar tambahan ini? Caranya sangat sederhana: kita melihat akar-akar yang diperoleh dan membandingkannya dengan domain definisi persamaan aslinya. Mari berhitung:

x (x − 5) > 0

Kami akan menyelesaikannya menggunakan metode interval:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Kami menandai angka yang dihasilkan di telepon. Semua poin hilang karena ketimpangan sangat ketat. Ambil bilangan apa pun yang lebih besar dari 5 dan substitusikan:

Kami tertarik pada interval (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Jika kita menandai akar-akar kita pada ruas tersebut, kita akan melihat bahwa x = 4 tidak cocok untuk kita, karena akar ini terletak di luar domain definisi persamaan logaritma asli.

Kita kembali ke totalitas, coret akar x = 4 dan tuliskan jawabannya: x = 6. Ini adalah jawaban akhir persamaan logaritma asli. Itu saja, masalah terpecahkan.

Mari kita beralih ke persamaan logaritma kedua:

Mari kita selesaikan. Perhatikan bahwa suku pertama adalah pecahan, dan suku kedua adalah pecahan yang sama, tetapi terbalik. Jangan takut dengan ekspresi lgx - ini hanya logaritma desimal, kita dapat menuliskannya:

lgx = log 10x

Karena kita memiliki dua pecahan terbalik, saya mengusulkan untuk memasukkan variabel baru:

Oleh karena itu, persamaan kita dapat ditulis ulang sebagai berikut:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Seperti yang Anda lihat, pembilang pecahan adalah kuadrat eksak. Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Mari selesaikan persamaan pertama:

t − 1 = 0;

t = 1.

Nilai ini memenuhi persyaratan kedua. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa kita telah menyelesaikan persamaan kita sepenuhnya, tetapi hanya terhadap variabel t. Sekarang mari kita ingat apa itu:

Kami mendapat proporsinya:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Kami membawa persamaan ini ke bentuk kanoniknya:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Hasilnya, kami mendapatkan satu akar, yang secara teori merupakan solusi dari persamaan aslinya. Namun, mari kita tetap bermain aman dan menuliskan domain definisi persamaan aslinya:

Oleh karena itu, root kami memenuhi semua persyaratan. Kami telah menemukan solusi persamaan logaritma asli. Jawaban: x = 0,1. Masalah terpecahkan.

Hanya ada satu poin penting dalam pelajaran hari ini: saat menggunakan rumus untuk berpindah dari suatu produk ke jumlah dan sebaliknya, pastikan untuk memperhitungkan bahwa cakupan definisi dapat menyempit atau meluas tergantung pada arah mana transisi dilakukan.

Bagaimana memahami apa yang terjadi: kontraksi atau ekspansi? Sangat sederhana. Jika dulu fungsi-fungsi itu menyatu, tetapi sekarang terpisah, maka cakupan definisinya menyempit (karena persyaratannya lebih banyak). Jika pada mulanya fungsi-fungsi tersebut berdiri sendiri-sendiri, dan sekarang keduanya bersatu, maka domain definisinya diperluas (lebih sedikit persyaratan yang dikenakan pada produk dibandingkan pada faktor individu).

Dengan mempertimbangkan pernyataan ini, saya ingin mencatat bahwa persamaan logaritma kedua tidak memerlukan transformasi ini sama sekali, yaitu, kita tidak menambah atau mengalikan argumen di mana pun. Namun, di sini saya ingin menarik perhatian Anda ke teknik luar biasa lainnya yang dapat menyederhanakan solusi secara signifikan. Ini tentang mengganti variabel.

Namun perlu diingat bahwa tidak ada substitusi yang membebaskan kita dari ruang lingkup definisi. Oleh karena itu, setelah semua akar ditemukan, kami tidak malas dan kembali ke persamaan awal untuk mencari ODZ-nya.

Seringkali, ketika mengganti suatu variabel, kesalahan yang mengganggu terjadi ketika siswa menemukan nilai t dan berpikir bahwa solusinya sudah selesai. Mustahil!

Setelah Anda menemukan nilai t, Anda perlu kembali ke persamaan awal dan melihat apa sebenarnya yang kami maksud dengan surat ini. Akibatnya, kita harus menyelesaikan persamaan lain, yang, bagaimanapun, akan jauh lebih sederhana daripada persamaan aslinya.

Inilah gunanya memperkenalkan variabel baru. Kami membagi persamaan asli menjadi dua persamaan perantara, yang masing-masing memiliki solusi yang lebih sederhana.

Cara menyelesaikan persamaan logaritma "bersarang".

Hari ini kita terus mempelajari persamaan logaritma dan menganalisis konstruksi ketika satu logaritma berada di bawah tanda logaritma lain. Kami akan menyelesaikan kedua persamaan menggunakan bentuk kanonik.

Hari ini kita terus mempelajari persamaan logaritma dan menganalisis konstruksi ketika satu logaritma berada di bawah tanda logaritma lainnya. Kami akan menyelesaikan kedua persamaan menggunakan bentuk kanonik. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa jika kita memiliki persamaan logaritma paling sederhana dalam bentuk log a f (x) = b, maka untuk menyelesaikan persamaan tersebut kita melakukan langkah-langkah berikut. Pertama-tama, kita perlu mengganti nomor b :

b = log ab

Catatan: a b adalah argumen. Demikian pula pada persamaan awal, argumennya adalah fungsi f(x). Kemudian kita menulis ulang persamaannya dan mendapatkan konstruksi ini:

log a f (x) = log a a b

Kemudian kita dapat melakukan langkah ketiga - menghilangkan tanda logaritma dan cukup menulis:

f(x) = ab

Hasilnya, kami mendapatkan persamaan baru. Dalam hal ini, tidak ada batasan yang dikenakan pada fungsi f(x). Misalnya, fungsi logaritma juga dapat menggantikannya. Dan kemudian kita akan mendapatkan kembali persamaan logaritma, yang akan kita kembalikan ke bentuk paling sederhana dan selesaikan melalui bentuk kanonik.

Namun, cukup liriknya. Mari kita selesaikan masalah sebenarnya. Jadi, tugas nomor 1:

catatan 2 (1 + 3 catatan 2 x ) = 2

Seperti yang Anda lihat, kami memiliki persamaan logaritma sederhana. Peran f(x) adalah konstruksi 1 + 3 log 2 x, dan peran bilangan b adalah bilangan 2 (peran a juga dimainkan oleh dua). Mari kita tulis ulang keduanya sebagai berikut:

Penting untuk dipahami bahwa dua angka dua pertama berasal dari basis logaritma, yaitu jika ada 5 dalam persamaan awal, maka kita akan mendapatkan bahwa 2 = log 5 5 2. Secara umum, basisnya hanya bergantung pada logaritma yang diberikan pada soal. Dan dalam kasus kami ini adalah nomor 2.

Jadi, kita menulis ulang persamaan logaritma kita dengan mempertimbangkan fakta bahwa dua persamaan di sebelah kanan sebenarnya juga merupakan logaritma. Kita mendapatkan:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Mari kita beralih ke langkah terakhir dari skema kita - menghilangkan bentuk kanonik. Bisa dibilang, kita cukup mencoret tanda log tersebut. Namun, dari sudut pandang matematika, tidak mungkin untuk "mencoret log" - akan lebih tepat untuk mengatakan bahwa kita hanya menyamakan argumennya:

1 + 3 log 2 x = 4

Dari sini kita dapat dengan mudah menemukan 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

catatan 2 x = 1

Kita kembali mendapatkan persamaan logaritma yang paling sederhana, mari kita kembalikan ke bentuk kanonik. Untuk melakukan ini kita perlu melakukan perubahan berikut:

1 = catatan 2 2 1 = catatan 2 2

Mengapa ada dua di pangkalan? Karena dalam persamaan kanonik kita di sebelah kiri terdapat logaritma tepatnya ke basis 2. Kita menulis ulang soal dengan mempertimbangkan fakta ini:

catatan 2 x = catatan 2 2

Sekali lagi kita menghilangkan tanda logaritma, yaitu kita cukup menyamakan argumennya. Kami berhak melakukan ini karena dasarnya sama, dan tidak ada lagi tindakan tambahan yang dilakukan baik di kanan maupun di kiri:

Itu saja! Masalah terpecahkan. Kami telah menemukan solusi untuk persamaan logaritma.

Catatan! Meskipun variabel x muncul dalam argumen (yaitu, ada persyaratan untuk domain definisi), kami tidak akan membuat persyaratan tambahan apa pun.

Seperti yang saya katakan di atas, pemeriksaan ini mubazir jika variabel hanya muncul dalam satu argumen dengan satu logaritma saja. Dalam kasus kami, x sebenarnya hanya muncul dalam argumen dan hanya di bawah satu tanda log. Oleh karena itu, tidak diperlukan pemeriksaan tambahan.

Namun, jika Anda tidak mempercayai metode ini, Anda dapat dengan mudah memverifikasi bahwa x = 2 memang sebuah root. Cukup dengan mensubstitusikan angka ini ke persamaan aslinya.

Mari kita beralih ke persamaan kedua, ini sedikit lebih menarik:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Jika kita menyatakan ekspresi di dalam logaritma besar dengan fungsi f (x), kita mendapatkan persamaan logaritma paling sederhana yang kita gunakan untuk memulai pelajaran video hari ini. Oleh karena itu, kita dapat menerapkan bentuk kanonik, yang mana kita harus merepresentasikan satuannya dalam bentuk log 2 2 1 = log 2 2.

Mari kita tulis ulang persamaan besar kita:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Mari kita beralih dari tanda logaritma dengan menyamakan argumennya. Kita berhak melakukan itu, karena kiri dan kanan alasnya sama. Selain itu, perhatikan bahwa log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Di hadapan kita lagi adalah persamaan logaritma paling sederhana dalam bentuk log a f (x) = b. Mari kita beralih ke bentuk kanonik, yaitu menyatakan nol dalam bentuk log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Kami menulis ulang persamaan kami dan menghilangkan tanda log, menyamakan argumen:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Sekali lagi, kami segera menerima jawaban. Tidak diperlukan pemeriksaan tambahan karena dalam persamaan asli hanya satu logaritma yang memuat fungsi sebagai argumen.

Oleh karena itu, tidak diperlukan pemeriksaan tambahan. Kita dapat dengan aman mengatakan bahwa x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan ini.

Tetapi jika dalam logaritma kedua terdapat fungsi x, bukan empat (atau 2x tidak ada dalam argumen, tetapi dalam basis) - maka domain definisi perlu diperiksa. Jika tidak, ada kemungkinan besar mendapatkan akar tambahan.

Dari manakah akar tambahan ini berasal? Poin ini harus dipahami dengan sangat jelas. Lihatlah persamaan aslinya: di mana pun fungsi x berada di bawah tanda logaritma. Akibatnya, sejak kita menuliskan log 2 x, kita secara otomatis menetapkan persyaratan x > 0. Jika tidak, entri ini tidak masuk akal.

Namun, saat kita menyelesaikan persamaan logaritma, kita menghilangkan semua tanda log dan mendapatkan konstruksi sederhana. Tidak ada batasan yang ditetapkan di sini, karena fungsi linier ditentukan untuk nilai x apa pun.

Masalah inilah, ketika fungsi akhir terdefinisi di mana-mana dan selalu, tetapi fungsi asli tidak terdefinisi di mana-mana dan tidak selalu, itulah alasan mengapa akar tambahan sangat sering muncul dalam menyelesaikan persamaan logaritma.

Tapi saya ulangi sekali lagi: ini hanya terjadi dalam situasi di mana fungsinya berada di beberapa logaritma atau di basis salah satunya. Dalam permasalahan yang kita bahas saat ini, pada prinsipnya tidak ada masalah dalam memperluas domain definisi.

Kasus dengan alasan berbeda

Pelajaran ini dikhususkan untuk desain yang lebih kompleks. Logaritma dalam persamaan saat ini tidak dapat diselesaikan secara langsung; beberapa transformasi perlu dilakukan terlebih dahulu.

Kita mulai menyelesaikan persamaan logaritmik dengan basis yang sangat berbeda, yang bukan merupakan pangkat eksak satu sama lain. Jangan biarkan masalah seperti itu membuat Anda takut - pemecahannya tidak lebih sulit daripada desain paling sederhana yang telah kita bahas di atas.

Namun sebelum langsung ke soal, izinkan saya mengingatkan Anda tentang rumus menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana menggunakan bentuk kanonik. Pertimbangkan masalah seperti ini:

catatan a f (x) = b

Yang penting fungsi f(x) hanyalah sebuah fungsi, dan peran bilangan a dan b harus berupa bilangan (tanpa variabel x). Tentu saja, sebentar lagi kita akan melihat kasus-kasus seperti itu ketika alih-alih variabel a dan b ada fungsi, tapi itu bukan tentang itu sekarang.

Seperti yang kita ingat, bilangan b harus diganti dengan logaritma dengan basis a yang sama, yaitu di sebelah kiri. Hal ini dilakukan dengan sangat sederhana:

b = log ab

Tentu saja, kata “bilangan apa pun b” dan “bilangan apa pun a” berarti nilai yang memenuhi cakupan definisi. Secara khusus, dalam persamaan ini kita hanya membicarakan basis a > 0 dan a ≠ 1.

Namun syarat ini terpenuhi secara otomatis, karena soal awal sudah memuat logaritma dengan basis a - pasti lebih besar dari 0 dan tidak sama dengan 1. Oleh karena itu, kita lanjutkan menyelesaikan persamaan logaritma:

log a f (x) = log a a b

Notasi seperti ini disebut bentuk kanonik. Kemudahannya terletak pada kenyataan bahwa kita dapat segera menghilangkan tanda log dengan menyamakan argumen:

f(x) = ab

Teknik inilah yang sekarang akan kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis variabel. Jadi ayo pergi!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Apa berikutnya? Seseorang sekarang akan mengatakan bahwa Anda perlu menghitung logaritma yang benar, atau menguranginya ke basis yang sama, atau yang lainnya. Dan memang, sekarang kita perlu membawa kedua basis ke bentuk yang sama - baik 2 atau 0,5. Tapi mari kita pelajari aturan berikut untuk selamanya:

Jika ada desimal dalam persamaan logaritma, pastikan untuk mengubah pecahan tersebut dari desimal ke notasi umum. Transformasi ini dapat menyederhanakan solusi secara signifikan.

Transisi seperti itu harus dilakukan segera, bahkan sebelum melakukan tindakan atau transformasi apa pun. Mari kita lihat:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Apa yang dapat kita peroleh dari catatan seperti itu? Kita dapat menyatakan 1/2 dan 1/8 sebagai pangkat dengan eksponen negatif:

Di hadapan kita adalah bentuk kanonik. Kami menyamakan argumen dan mendapatkan persamaan kuadrat klasik:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Kita mempunyai persamaan kuadrat berikut, yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan rumus Vieta. Di sekolah menengah, Anda akan melihat tampilan serupa secara lisan:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Itu saja! Persamaan logaritma asli telah diselesaikan. Kami mendapat dua akar.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa dalam hal ini tidak perlu menentukan domain definisi, karena fungsi dengan variabel x hanya ada dalam satu argumen. Oleh karena itu, cakupan definisi dilakukan secara otomatis.

Jadi, persamaan pertama terpecahkan. Mari kita beralih ke yang kedua:

catatan 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = catatan 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Sekarang perhatikan bahwa argumen logaritma pertama juga dapat ditulis sebagai pangkat dengan eksponen negatif: 1/2 = 2 −1. Kemudian Anda dapat menghilangkan pangkat di kedua sisi persamaan dan membagi semuanya dengan −1:

Dan sekarang kita telah menyelesaikan langkah yang sangat penting dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Mungkin seseorang tidak memperhatikan sesuatu, jadi izinkan saya menjelaskannya.

Perhatikan persamaan kita: di kiri dan kanan ada tanda logaritma, tapi di kiri ada logaritma berbasis 2, dan di kanan ada logaritma berbasis 3. Tiga bukan pangkat bilangan bulat dari dua dan, sebaliknya, Anda tidak dapat menulis bahwa 2 adalah 3 dalam derajat bilangan bulat.

Oleh karena itu, ini adalah logaritma dengan basis berbeda yang tidak dapat direduksi satu sama lain hanya dengan menambahkan pangkat. Satu-satunya cara untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menghilangkan salah satu logaritma tersebut. Dalam hal ini, karena kita masih mempertimbangkan soal yang cukup sederhana, logaritma di sebelah kanan dihitung secara sederhana, dan kita mendapatkan persamaan paling sederhana - persis seperti yang kita bicarakan di awal pelajaran hari ini.

Mari kita nyatakan angka 2 di sebelah kanan sebagai log 2 2 2 = log 2 4. Dan kemudian kita menghilangkan tanda logaritma, setelah itu kita hanya mendapatkan persamaan kuadrat:

catatan 2 (5x 2 + 9x + 2) = catatan 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Kita mempunyai persamaan kuadrat biasa, tetapi persamaan tersebut tidak tereduksi karena koefisien x 2 berbeda dari kesatuan. Oleh karena itu, kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan diskriminan:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Itu saja! Kita telah menemukan kedua akarnya, yang berarti kita telah memperoleh solusi persamaan logaritma asli. Memang, dalam soal awal, fungsi dengan variabel x hanya ada dalam satu argumen. Akibatnya, tidak diperlukan pemeriksaan tambahan pada domain definisi - kedua akar yang kami temukan pasti memenuhi semua batasan yang mungkin.

Ini mungkin akhir dari video pelajaran hari ini, namun sebagai kesimpulan saya ingin mengatakan sekali lagi: pastikan untuk mengubah semua pecahan desimal menjadi pecahan biasa saat menyelesaikan persamaan logaritma. Dalam kebanyakan kasus, ini sangat menyederhanakan solusi mereka.

Jarang, sangat jarang, Anda menjumpai masalah di mana menghilangkan pecahan desimal hanya akan mempersulit penghitungan. Namun, dalam persamaan seperti itu, sebagai suatu peraturan, pada awalnya jelas bahwa pecahan desimal tidak perlu dihilangkan.

Dalam sebagian besar kasus lainnya (terutama jika Anda baru mulai berlatih memecahkan persamaan logaritma), jangan ragu untuk menghilangkan desimal dan mengubahnya menjadi desimal biasa. Karena latihan menunjukkan bahwa dengan cara ini Anda akan menyederhanakan solusi dan perhitungan selanjutnya secara signifikan.

Seluk-beluk dan trik solusinya

Hari ini kita beralih ke soal yang lebih kompleks dan akan menyelesaikan persamaan logaritma, yang tidak didasarkan pada bilangan, tetapi pada suatu fungsi.

Dan bahkan jika fungsi ini linier, perubahan kecil harus dilakukan pada skema solusi, yang artinya adalah persyaratan tambahan yang dikenakan pada domain definisi logaritma.

Tugas yang kompleks

Tutorial ini akan cukup panjang. Di dalamnya kita akan menganalisis dua persamaan logaritma yang cukup serius, ketika menyelesaikannya banyak siswa yang melakukan kesalahan. Selama saya berlatih sebagai tutor matematika, saya selalu menemui dua jenis kesalahan:

1. Munculnya akar tambahan karena perluasan domain definisi logaritma. Untuk menghindari kesalahan yang menyinggung seperti itu, pantau setiap transformasi dengan cermat;
2. Hilangnya akar karena siswa lupa mempertimbangkan beberapa kasus “halus” - ini adalah situasi yang akan kita fokuskan hari ini.

Ini adalah pelajaran terakhir tentang persamaan logaritma. Panjang waktunya, kita akan menganalisis persamaan logaritma yang kompleks. Buatlah diri Anda nyaman, buatkan teh untuk diri Anda sendiri, dan mari kita mulai.

Persamaan pertama terlihat cukup standar:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Mari kita segera perhatikan bahwa kedua logaritma merupakan salinan terbalik satu sama lain. Mari kita ingat rumus luar biasa ini:

log a b = 1/log b a

Namun rumus ini memiliki sejumlah keterbatasan yang timbul jika selain bilangan a dan b terdapat fungsi variabel x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Persyaratan ini berlaku untuk basis logaritma. Sebaliknya, dalam pecahan kita diharuskan memiliki 1 ≠ a > 0, karena variabel a tidak hanya ada dalam argumen logaritma (maka a > 0), tetapi logaritma itu sendiri ada pada penyebut pecahan tersebut. . Tapi log b 1 = 0, dan penyebutnya harus bukan nol, jadi a ≠ 1.

Jadi, batasan pada variabel tetap ada. Tapi apa yang terjadi pada variabel b? Di satu sisi, basis menyiratkan b > 0, di sisi lain, variabel b ≠ 1, karena basis logaritma harus berbeda dari 1. Secara total, dari sisi kanan rumus berikut ini 1 ≠ b > 0.

Namun inilah masalahnya: persyaratan kedua (b ≠ 1) tidak ada pada pertidaksamaan pertama, yang berkaitan dengan logaritma kiri. Dengan kata lain, ketika melakukan transformasi ini kita harus melakukannya periksa secara terpisah, bahwa argumen b berbeda dengan argumen satu!

Jadi mari kita periksa. Mari terapkan rumus kita:

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Jadi kita sudah mendapatkan bahwa dari persamaan logaritma awal dapat disimpulkan bahwa a dan b harus lebih besar dari 0 dan tidak sama dengan 1. Artinya, kita dapat dengan mudah membalikkan persamaan logaritma:

Saya sarankan memperkenalkan variabel baru:

catatan x + 1 (x − 0,5) = t

Dalam hal ini, konstruksi kami akan ditulis ulang sebagai berikut:

(t 2 − 1)/t = 0

Perhatikan bahwa pada pembilangnya kita mempunyai selisih kuadrat. Kami mengungkapkan selisih kuadrat menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol. Namun pembilangnya mengandung hasil perkalian, jadi kita samakan tiap faktornya dengan nol:

t 1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

Seperti yang bisa kita lihat, kedua nilai variabel t cocok untuk kita. Namun penyelesaiannya tidak berakhir di situ, karena yang perlu dicari bukan t, melainkan nilai x. Kami kembali ke logaritma dan mendapatkan:

catatan x + 1 (x − 0,5) = 1;

catatan x + 1 (x − 0,5) = −1.

Mari kita masukkan masing-masing persamaan ini ke dalam bentuk kanonik:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Kami menghilangkan tanda logaritma dalam kasus pertama dan menyamakan argumennya:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Persamaan seperti itu tidak mempunyai akar, oleh karena itu persamaan logaritma pertama juga tidak mempunyai akar. Namun dengan persamaan kedua, semuanya jauh lebih menarik:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Memecahkan proporsinya, kita mendapatkan:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa saat menyelesaikan persamaan logaritma, akan lebih mudah menggunakan semua pecahan desimal sebagai pecahan biasa, jadi mari kita tulis ulang persamaan kita sebagai berikut:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Kita memiliki persamaan kuadrat di bawah ini, yang dapat dengan mudah diselesaikan menggunakan rumus Vieta:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

Kami mendapat dua akar - keduanya adalah kandidat untuk menyelesaikan persamaan logaritma asli. Untuk memahami akar apa yang sebenarnya menjadi jawabannya, mari kita kembali ke soal awal. Sekarang kita akan memeriksa masing-masing akar kita untuk melihat apakah akar-akar tersebut sesuai dengan domain definisi:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Persyaratan ini sama saja dengan ketimpangan ganda:

1 ≠ x > 0,5

Dari sini kita langsung melihat bahwa akar x = −1.5 tidak cocok untuk kita, tetapi x = 1 cukup cocok untuk kita. Oleh karena itu x = 1 adalah solusi akhir persamaan logaritma.

Mari kita beralih ke tugas kedua:

catatan x 25 + catatan 125 x 5 = catatan 25 x 625

Sepintas, tampaknya semua logaritma memiliki basis dan argumen yang berbeda. Apa yang harus dilakukan dengan struktur seperti itu? Pertama-tama, perhatikan bahwa angka 25, 5 dan 625 adalah pangkat 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Sekarang mari kita manfaatkan properti logaritma yang luar biasa. Intinya adalah Anda dapat mengekstrak kekuatan dari suatu argumen dalam bentuk faktor:

log a b n = n ∙ log a b

Transformasi ini juga tunduk pada pembatasan jika b digantikan oleh suatu fungsi. Namun bagi kami, b hanyalah angka, dan tidak ada batasan tambahan. Mari kita tulis ulang persamaan kita:

2 ∙ catatan x 5 + catatan 125 x 5 = 4 ∙ catatan 25 x 5

Kami memperoleh persamaan dengan tiga suku yang mengandung tanda log. Selain itu, argumen ketiga logaritma adalah sama.

Saatnya membalikkan logaritma untuk membawanya ke basis yang sama - 5. Karena variabel b adalah konstanta, tidak ada perubahan yang terjadi pada domain definisi. Kami hanya menulis ulang:

Seperti yang diharapkan, logaritma yang sama muncul di penyebutnya. Saya sarankan mengganti variabel:

log 5 x = t

Dalam hal ini, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:

Mari kita tuliskan pembilangnya dan buka tanda kurung:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Mari kita kembali ke fraksi kita. Pembilangnya harus nol:

Dan penyebutnya berbeda dari nol:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Persyaratan terakhir dipenuhi secara otomatis, karena semuanya “terikat” dengan bilangan bulat, dan semua jawaban tidak rasional.

Jadi persamaan rasional pecahan sudah terselesaikan, nilai variabel t sudah ditemukan. Mari kita kembali menyelesaikan persamaan logaritma dan mengingat apa itu t:

Kami mereduksi persamaan ini ke bentuk kanonik dan memperoleh bilangan dengan derajat irasional. Jangan biarkan hal ini membingungkan Anda - bahkan argumen seperti ini dapat disamakan:

Kami mendapat dua akar. Lebih tepatnya, dua jawaban kandidat - mari kita periksa kesesuaiannya dengan domain definisi. Karena basis logaritmanya adalah variabel x, maka kita memerlukan hal berikut:

1 ≠ x > 0;

Dengan keberhasilan yang sama kami menyatakan bahwa x ≠ 1/125, jika tidak, basis logaritma kedua akan berubah menjadi kesatuan. Terakhir, x ≠ 1/25 untuk logaritma ketiga.

Secara total, kami menerima empat batasan:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Sekarang pertanyaannya adalah: apakah akar kita memenuhi persyaratan ini? Tentu saja mereka memuaskan! Karena 5 pangkat apa pun akan lebih besar dari nol, dan persyaratan x > 0 terpenuhi secara otomatis.

Sebaliknya, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, yang berarti batasan untuk akar kita (yang, izinkan saya mengingatkan Anda, memiliki bilangan irasional dalam eksponennya) juga puas, dan kedua jawaban tersebut merupakan solusi masalah.

Jadi, kami memiliki jawaban akhir. Ada dua poin penting dalam tugas ini:

1. Berhati-hatilah saat membalik logaritma saat argumen dan basisnya ditukar. Transformasi semacam ini memberikan pembatasan yang tidak perlu terhadap ruang lingkup definisi.
2. Jangan takut untuk mentransformasikan logaritma: logaritma tidak hanya dapat dibalik, tetapi juga diperluas menggunakan rumus penjumlahan dan umumnya diubah menggunakan rumus apa pun yang Anda pelajari saat menyelesaikan ekspresi logaritma. Namun, ingatlah selalu: beberapa transformasi memperluas cakupan definisi, dan beberapa lagi mempersempitnya.

Secara umum, saat menyelesaikan persamaan logaritma kompleks, pastikan untuk menuliskan domain definisi aslinya. Hanya itu yang saya punya untuk hari ini. :)

Persamaan logaritma. Kami terus mempertimbangkan masalah dari Bagian B Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Kami telah mempertimbangkan solusi untuk beberapa persamaan di artikel “”, “”. Pada artikel ini kita akan melihat persamaan logaritma. Saya akan segera mengatakan bahwa tidak akan ada transformasi rumit saat menyelesaikan persamaan seperti itu pada Ujian Negara Bersatu. Itu sederhana.

Cukup mengetahui dan memahami identitas dasar logaritma, mengetahui sifat-sifat logaritma. Harap dicatat bahwa setelah menyelesaikannya, Anda HARUS melakukan pengecekan - substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan asli dan hitung, pada akhirnya Anda akan mendapatkan persamaan yang benar.

Definisi:

Logaritma suatu bilangan dengan basis b adalah eksponen,ke mana b harus dipangkatkan untuk memperoleh a.

Misalnya:

Log 3 9 = 2, karena 3 2 = 9

Sifat-sifat logaritma:

Kasus khusus logaritma:

Mari kita selesaikan masalah. Pada contoh pertama kita akan melakukan pengecekan. Di masa depan, periksa sendiri.

Temukan akar persamaan: log 3 (4–x) = 4

Karena log b a = x b x = a, maka

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Penyelidikan:

catatan 3 (4–(–77)) = 4

catatan 3 81 = 4

3 4 = 81 Benar.

Jawaban: – 77

Putuskan sendiri:

Temukan akar persamaan: log 2 (4 – x) = 7

Temukan akar persamaan log 5(4 + x) = 2

Kami menggunakan identitas logaritma dasar.

Karena log a b = x b x = a, maka

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Penyelidikan:

catatan 5 (4 + 21) = 2

catatan 5 25 = 2

5 2 = 25 Benar.

Jawaban: 21

Carilah akar persamaan log 3 (14 – x) = log 3 5.

Terjadi sifat-sifat berikut, artinya sebagai berikut: jika pada ruas kiri dan kanan persamaan kita mempunyai logaritma dengan basis yang sama, maka kita dapat menyamakan ekspresi-ekspresi di bawah tanda logaritma.

14 – x = 5

x=9

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 9

Putuskan sendiri:

Carilah akar persamaan log 5 (5 – x) = log 5 3.

Temukan akar persamaan: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Jika log c a = log c b, maka a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 6

Carilah akar persamaan log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Lakukan pemeriksaan.

Tambahan kecil - properti digunakan di sini

derajat ().

Jawaban: – 51

Putuskan sendiri:

Temukan akar persamaan: log 1/7 (7 – x) = – 2

Carilah akar persamaan log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Mari kita ubah sisi kanannya. Mari gunakan properti:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Jika log c a = log c b, maka a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: – 21

Putuskan sendiri:

Temukan akar persamaan: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Selesaikan persamaan log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jika log c a = log c b, maka a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 2.75

Putuskan sendiri:

Carilah akar persamaan log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Selesaikan persamaan log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Kita perlu mendapatkan ekspresi bentuk di sisi kanan persamaan:

catatan 2 (......)

Kami mewakili 1 sebagai logaritma basis 2:

1 = catatan 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Kita mendapatkan:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Jika log c a = log c b, maka a = b, maka

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 0,4

Putuskan sendiri: Selanjutnya Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat. Omong-omong,

akar-akarnya adalah 6 dan – 4.

Akar "-4" bukanlah solusi, karena basis logaritma harus lebih besar dari nol, dan dengan "– 4" itu sama dengan " – 5". Solusinya adalah root 6.Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 6.

R makan sendiri:

Selesaikan log persamaan x –5 49 = 2. Jika persamaan mempunyai lebih dari satu akar, jawablah dengan akar yang lebih kecil.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada transformasi rumit dengan persamaan logaritmaTIDAK. Cukup mengetahui sifat-sifat logaritma dan mampu menerapkannya. Dalam soal-soal USE yang berkaitan dengan transformasi ekspresi logaritma, transformasi yang lebih serius dilakukan dan diperlukan keterampilan penyelesaian yang lebih mendalam. Kita akan melihat contoh-contoh seperti itu, jangan sampai ketinggalan!Aku harap kamu berhasil!!!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

Persamaan dan pertidaksamaan logaritma dalam Ujian Negara Bersatu dalam matematika yang dikhususkan untuk itu masalah C3 . Setiap siswa harus belajar menyelesaikan tugas C3 dari Ujian Negara Terpadu matematika jika ingin lulus ujian yang akan datang dengan “baik” atau “sangat baik”. Artikel ini memberikan gambaran singkat tentang persamaan dan pertidaksamaan logaritma yang umum ditemui, serta metode dasar untuk menyelesaikannya.

Jadi, mari kita lihat beberapa contoh hari ini. persamaan dan pertidaksamaan logaritma, yang ditawarkan kepada siswa dalam Unified State Examination dalam matematika tahun-tahun sebelumnya. Tapi ini akan dimulai dengan ringkasan singkat tentang poin-poin teoritis utama yang kita perlukan untuk menyelesaikannya.

Fungsi logaritma

Definisi

Fungsi formulir

0,\, a\ne 1 \]" title="Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

ditelepon fungsi logaritmik.

Properti dasar

Sifat dasar fungsi logaritma kamu=log sebuah x:

Grafik fungsi logaritma adalah kurva logaritma:

Sifat-sifat logaritma

Logaritma produk dua bilangan positif sama dengan jumlah logaritma bilangan berikut:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Logaritma hasil bagi dua bilangan positif sama dengan selisih logaritma bilangan berikut:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Jika A Dan B A≠ 1, lalu untuk nomor berapa pun R kesetaraan adalah benar:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Persamaan catatan A T=log A S, Di mana A > 0, A ≠ 1, T > 0, S> 0, valid jika dan hanya jika T = S.

Jika A, B, C adalah bilangan positif, dan A Dan C berbeda dari kesatuan, maka persamaan ( rumus untuk pindah ke basis logaritma baru):

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Teorema 1. Jika F(X) > 0 dan G(X) > 0, maka log persamaan logaritma sebuah f(X) = catatan sebuah g(X) (Di mana A > 0, A≠ 1) setara dengan persamaan F(X) = G(X).

Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritma

Contoh 1. Selesaikan persamaan:

Larutan. Kisaran nilai yang dapat diterima hanya mencakup nilai tersebut X, yang ekspresi di bawah tanda logaritma lebih besar dari nol. Nilai-nilai tersebut ditentukan oleh sistem pertidaksamaan berikut:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Mengingat bahwa

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

kita memperoleh interval yang menentukan kisaran nilai yang diizinkan dari persamaan logaritma ini:

Berdasarkan Teorema 1, yang semua kondisinya terpenuhi di sini, kita lanjutkan ke persamaan kuadrat ekuivalen berikut:

Kisaran nilai yang dapat diterima hanya mencakup akar pertama.

Menjawab: x = 7.

Contoh 2. Selesaikan persamaan:

Larutan. Kisaran nilai persamaan yang dapat diterima ditentukan oleh sistem pertidaksamaan:

ql-kanan-eqno">

Larutan. Kisaran nilai persamaan yang dapat diterima ditentukan dengan mudah di sini: X > 0.

Kami menggunakan substitusi:

Persamaannya menjadi:

Substitusi terbalik:

Keduanya menjawab berada dalam kisaran nilai persamaan yang dapat diterima karena merupakan bilangan positif.

Contoh 4. Selesaikan persamaan:

Larutan. Mari kita mulai penyelesaiannya lagi dengan menentukan kisaran nilai persamaan yang dapat diterima. Hal ini ditentukan oleh sistem pertidaksamaan berikut:

ql-kanan-eqno">

Basis logaritmanya sama, jadi dalam kisaran nilai yang dapat diterima kita dapat melanjutkan ke persamaan kuadrat berikut:

Akar pertama tidak berada dalam kisaran nilai persamaan yang dapat diterima, tetapi akar kedua berada.

Menjawab: X = -1.

Contoh 5. Selesaikan persamaan:

Larutan. Kami akan mencari solusi di antaranya X > 0, X≠1. Mari kita ubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang setara:

Keduanya menjawab berada dalam kisaran nilai persamaan yang dapat diterima.

Contoh 6. Selesaikan persamaan:

Larutan. Sistem pertidaksamaan yang menentukan rentang nilai persamaan yang diperbolehkan kali ini berbentuk:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kami mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang ekuivalen dalam kisaran nilai yang dapat diterima:

Dengan menggunakan rumus untuk berpindah ke basis logaritma baru, kita mendapatkan:

Kisaran nilai yang dapat diterima hanya mencakup satu menjawab: X = 4.

Sekarang mari kita beralih ke pertidaksamaan logaritma . Inilah yang harus Anda hadapi dalam Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Untuk menyelesaikan contoh lebih lanjut kita memerlukan teorema berikut:

Teorema 2. Jika F(X) > 0 dan G(X) > 0, maka:
pada A> 1 logaritma pertidaksamaan log a F(X) > catatan a G(X) setara dengan pertidaksamaan dengan arti yang sama: F(X) > G(X);
pada 0< A < 1 логарифмическое неравенство log a F(X) > catatan a G(X) setara dengan pertidaksamaan dengan arti sebaliknya: F(X) < G(X).

Contoh 7. Selesaikan pertidaksamaan:

Larutan. Mari kita mulai dengan menentukan kisaran nilai pertidaksamaan yang dapat diterima. Ekspresi di bawah tanda fungsi logaritma hanya boleh bernilai positif. Artinya kisaran nilai yang dapat diterima yang disyaratkan ditentukan oleh sistem pertidaksamaan berikut:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Karena basis logaritma adalah bilangan yang kurang dari satu, fungsi logaritma yang bersesuaian akan berkurang, dan oleh karena itu, menurut Teorema 2, transisi ke pertidaksamaan kuadrat berikut akan setara:

Akhirnya, dengan mempertimbangkan kisaran nilai yang dapat diterima, kami memperolehnya menjawab:

Contoh 8. Selesaikan pertidaksamaan:

Larutan. Mari kita mulai lagi dengan menentukan kisaran nilai yang dapat diterima:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Pada himpunan nilai pertidaksamaan yang diperbolehkan, kami melakukan transformasi ekuivalen:

Setelah reduksi dan transisi ke pertidaksamaan yang setara dengan Teorema 2, kita peroleh:

Dengan mempertimbangkan kisaran nilai yang dapat diterima, kami memperoleh nilai akhir menjawab:

Contoh 9. Selesaikan pertidaksamaan logaritmik:

Larutan. Kisaran nilai ketimpangan yang dapat diterima ditentukan oleh sistem berikut:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Terlihat bahwa dalam kisaran nilai yang dapat diterima, ekspresi pada basis logaritma selalu lebih besar dari satu, dan oleh karena itu, menurut Teorema 2, transisi ke pertidaksamaan berikut akan ekuivalen:

Dengan mempertimbangkan kisaran nilai yang dapat diterima, kami memperoleh jawaban akhir:

Contoh 10. Selesaikan pertidaksamaan:

Larutan.

Kisaran nilai ketimpangan yang dapat diterima ditentukan oleh sistem ketimpangan:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Metode I Mari kita gunakan rumus transisi ke basis logaritma baru dan beralih ke pertidaksamaan yang setara dalam kisaran nilai yang dapat diterima.