Selesaikan persamaan dalam contoh bilangan bulat. Menyelesaikan persamaan bilangan bulat sebagai kuadrat terhadap beberapa variabel. Contoh penyelesaian sistem persamaan jenis lainnya
Persamaan dalam bilangan bulat adalah persamaan aljabar dengan dua atau lebih variabel yang tidak diketahui dan koefisien bilangan bulat. Solusi untuk persamaan tersebut adalah himpunan bilangan bulat (terkadang natural atau rasional) dari nilai-nilai variabel yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan tersebut. Persamaan seperti itu disebut juga diophantine, untuk menghormati ahli matematika Yunani kuno yang mempelajari beberapa jenis persamaan tersebut sebelum zaman kita.
Kita berutang rumusan modern masalah Diophantine kepada ahli matematika Perancis. Dialah yang mengajukan pertanyaan tentang penyelesaian persamaan tak tentu hanya dalam bilangan bulat kepada ahli matematika Eropa. Persamaan bilangan bulat yang paling terkenal adalah teorema terakhir Fermat: persamaan
tidak memiliki solusi rasional bukan nol untuk semua n > 2 alami.
Ketertarikan teoretis terhadap persamaan bilangan bulat cukup besar, karena persamaan tersebut berkaitan erat dengan banyak permasalahan dalam teori bilangan.
Pada tahun 1970, ahli matematika Leningrad Yuri Vladimirovich Matiyasevich membuktikan bahwa metode umum yang memungkinkan penyelesaian persamaan Diophantine sewenang-wenang dalam bilangan bulat dalam sejumlah langkah terbatas tidak ada dan tidak mungkin ada. Oleh karena itu, Anda harus memilih metode penyelesaian Anda sendiri untuk berbagai jenis persamaan.
Saat menyelesaikan persamaan bilangan bulat dan bilangan asli, metode berikut dapat dibedakan secara kasar:
cara untuk memilah-milah pilihan;
penerapan algoritma Euclidean;
representasi bilangan dalam bentuk pecahan lanjutan (lanjutan);
faktorisasi;
menyelesaikan persamaan bilangan bulat sebagai kuadrat (atau lainnya) terhadap variabel apa pun;
metode sisa;
metode keturunan tak terbatas.
Masalah dengan solusi
1. Selesaikan persamaan x 2 – xy – 2y 2 = 7 dalam bilangan bulat.
Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk (x – 2y)(x + y) = 7.
Karena x, y adalah bilangan bulat, kita mencari solusi persamaan awal sebagai solusi empat sistem berikut:
1) x – 2kamu = 7, x + kamu = 1;
2) x – 2kamu = 1, x + kamu = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Setelah menyelesaikan sistem ini, kita memperoleh solusi persamaan: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) dan (–5; –2).
Jawaban: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
a) 20x + 12 tahun = 2013;
b) 5x + 7y = 19;
c) 201x – 1999 tahun = 12.
a) Karena untuk setiap nilai bilangan bulat x dan y ruas kiri persamaan habis dibagi dua, dan ruas kanan bilangan ganjil, maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian dalam bilangan bulat.
Jawaban: tidak ada solusi.
b) Pertama-tama mari kita pilih beberapa solusi spesifik. Dalam hal ini, sederhana saja, misalnya,
x 0 = 1, kamu 0 = 2.
5x 0 + 7y 0 = 19,
5(x – x 0) + 7(kamu – kamu 0) = 0,
5(x – x 0) = –7(kamu – kamu 0).
Karena bilangan 5 dan 7 relatif prima, maka
x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.
Jadi solusi umumnya adalah:
x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,
di mana k adalah bilangan bulat sembarang.
Jawaban: (1+7k; 2–5k), dengan k adalah bilangan bulat.
c) Menemukan solusi spesifik melalui seleksi dalam hal ini cukup sulit. Mari kita gunakan algoritma Euclidean untuk angka 1999 dan 201:
KPK(1999, 201) = KPK(201, 190) = KPK(190, 11) = KPK(11, 3) = KPK(3, 2) = KPK(2, 1) = 1.
Mari tulis proses ini dalam urutan terbalik:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =
121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =
121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.
Artinya pasangan (1273, 128) merupakan penyelesaian persamaan 201x – 1999y = 1. Maka pasangan bilangan tersebut
x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536
merupakan penyelesaian persamaan 201x – 1999y = 12.
Solusi umum persamaan ini akan ditulis dalam bentuk
x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, dimana k adalah bilangan bulat,
atau, setelah penetapan ulang (kami menggunakan 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),
x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, dimana n adalah bilangan bulat.
Jawaban: (1283+1999n, 129+201n), dimana n adalah bilangan bulat.
3. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:
a) x 3 + kamu 3 = 3333333;
b) x 3 + kamu 3 = 4(x 2 kamu + xy 2 + 1).
a) Karena x 3 dan y 3 bila dibagi 9 hanya dapat menghasilkan sisa 0, 1 dan 8 (lihat tabel pada bagian tersebut), maka x 3 + y 3 hanya dapat menghasilkan sisa 0, 1, 2, 7 dan 8. Namun bilangan 3333333 jika dibagi 9 menghasilkan sisa 3. Oleh karena itu, persamaan awal tidak memiliki solusi bilangan bulat.
b) Mari kita tulis ulang persamaan aslinya menjadi (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Karena kubus bilangan bulat jika dibagi 7 menghasilkan sisa 0, 1 dan 6, tetapi tidak 4, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Jawaban: Tidak ada solusi bilangan bulat.
a) pada bilangan prima persamaan x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;
b) dalam bilangan bulat persamaan x + y = x 2 – xy + y 2.
a) Mari kita selesaikan persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap variabel y. Kita mendapatkan
y = x + 9 atau y = 16 – x.
Karena untuk x ganjil bilangan x + 9 adalah bilangan genap, maka satu-satunya pasangan bilangan prima yang memenuhi persamaan pertama adalah (2; 11).
Karena x, y sederhana, maka dari persamaan y = 16 – x kita peroleh
2 x 16.2 pada 16.
Dengan menelusuri opsi, kita menemukan solusi yang tersisa: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Jawaban: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
b) Anggap persamaan ini sebagai persamaan kuadrat untuk x:
x 2 – (kamu + 1)x + kamu 2 – kamu = 0.
Diskriminan persamaan ini adalah –3y 2 + 6y + 1. Bersifat positif hanya untuk nilai y berikut: 0, 1, 2. Untuk masing-masing nilai tersebut, dari persamaan awal diperoleh persamaan kuadrat untuk x , yang mudah diselesaikan.
Jawaban: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
5. Adakah bilangan tripel bilangan bulat x, y, z yang jumlahnya tak terhingga sehingga x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?
Mari kita coba memilih tiga kali lipat dimana y = –z. Maka y 3 dan z 3 akan selalu saling menghilangkan, dan persamaan kita akan terlihat seperti ini
x 2 + 2y 2 = x 3
atau, sebaliknya,
x 2 (x–1) = 2kamu 2 .
Agar sepasang bilangan bulat (x; y) memenuhi kondisi ini, bilangan x–1 cukup dua kali kuadrat bilangan bulat tersebut. Bilangan-bilangan seperti itu jumlahnya tak terhingga banyaknya, yaitu semua bilangan yang berbentuk 2n 2 +1. Substitusikan bilangan ini ke x 2 (x–1) = 2y 2, setelah transformasi sederhana kita peroleh:
y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.
Semua kembar tiga yang diperoleh dengan cara ini memiliki bentuk (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).
Jawaban: ada.
6. Tentukan bilangan bulat x, y, z, u sehingga x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.
Bilangan x 2 + y 2 + z 2 + u 2 genap, maka di antara bilangan x, y, z, u terdapat bilangan ganjil yang bilangan genap.
Jika keempat bilangan x, y, z, u ganjil, maka x 2 + y 2 + z 2 + u 2 habis dibagi 4, tetapi 2xyzu tidak habis dibagi 4 - suatu perbedaan.
Jika tepat dua bilangan x, y, z, u ganjil, maka x 2 + y 2 + z 2 + u 2 tidak habis dibagi 4, tetapi 2xyzu habis dibagi 4 – lagi-lagi terjadi selisih.
Jadi, semua bilangan x, y, z, u adalah bilangan genap. Lalu kita bisa menulis itu
x = 2x 1 , y = 2kamu 1 , z = 2z 1 , kamu = 2kamu 1 ,
dan persamaan aslinya akan berbentuk
x 1 2 + kamu 1 2 + z 1 2 + kamu 1 2 = 8x 1 kamu 1 z 1 kamu 1 .
Sekarang perhatikan bahwa (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 bila dibagi 8 menghasilkan sisa 1. Oleh karena itu, jika semua bilangan x 1 , y 1 , z 1 , u 1 ganjil, maka x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 tidak habis dibagi 8. Dan jika tepat dua bilangan tersebut ganjil, maka x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 tidak habis dibagi 8 4. Artinya
x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, kamu 1 = 2u 2,
dan kita mendapatkan persamaannya
x 2 2 + kamu 2 2 + z 2 2 + kamu 2 2 = 32x 2 kamu 2 z 2 kamu 2 .
Mengulangi alasan yang sama lagi, kita menemukan bahwa x, y, z, u habis dibagi 2 n untuk semua n natural, yang hanya mungkin untuk x = y = z = u = 0.
Jawaban: (0; 0; 0; 0).
7. Buktikan persamaan tersebut
(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30
tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Mari kita gunakan identitas berikut:
(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).
Maka persamaan aslinya dapat ditulis sebagai
(x – kamu)(kamu – z)(z – x) = 10.
Mari kita nyatakan a = x – y, b = y – z, c = z – x dan tulis persamaan yang dihasilkan dalam bentuk
Selain itu, jelas bahwa a + b + c = 0. Mudah untuk memverifikasi bahwa, hingga permutasi, persamaan abc = 10 menyiratkan bahwa bilangan |a|, |b|, |c| sama dengan 1, 2, 5, atau 1, 1, 10. Namun dalam semua kasus ini, untuk setiap pilihan tanda a, b, c, jumlah a + b + c adalah bukan nol. Jadi, persamaan aslinya tidak memiliki solusi bilangan bulat.
8. Selesaikan persamaan 1 bilangan bulat! + 2! + . . . + x! = kamu 2 .
Jelas sekali
jika x = 1, maka y 2 = 1,
jika x = 3, maka y 2 = 9.
Kasus-kasus ini sesuai dengan pasangan angka berikut:
x 1 = 1, kamu 1 = 1;
x 2 = 1, kamu 2 = –1;
x 3 = 3, kamu 3 = 3;
x 4 = 3, kamu 4 = –3.
Perhatikan bahwa untuk x = 2 kita mempunyai 1! + 2! = 3, untuk x = 4 kita punya 1! + 2! + 3! + 4! = 33 dan baik 3 maupun 33 bukanlah kuadrat bilangan bulat. Jika x > 5, maka
5! + 6! + . . . +x! = 10n,
kita bisa menulis itu
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . +x! = 33 + 10n.
Karena 33 + 10n adalah bilangan yang berakhiran 3, maka bilangan tersebut bukan kuadrat bilangan bulat.
Jawaban: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).
9. Selesaikan sistem persamaan bilangan asli berikut:
a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).
3abc > 0, lalu a 3 > b 3 + c 3 ;
jadi kita punya
Dengan menambahkan ketidaksetaraan ini, kita mendapatkan hal itu
Dengan mempertimbangkan pertidaksamaan terakhir, dari persamaan kedua sistem kita peroleh bahwa
Namun persamaan kedua sistem juga menunjukkan bahwa a adalah bilangan genap. Jadi, a = 2, b = c = 1.
Jawaban: (2; 1; 1)
10. Temukan semua pasangan bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.
Memfaktorkan kedua ruas persamaan ini, kita peroleh:
x(x + 1) = kamu(kamu + 1)(kamu 2 + 1),
x(x + 1) = (kamu 2 + kamu)(kamu 2 + 1)
Persamaan tersebut dimungkinkan jika ruas kiri dan ruas kanan sama dengan nol, atau merupakan hasil kali dua bilangan bulat berurutan. Oleh karena itu, dengan menyamakan faktor-faktor tertentu dengan nol, kita memperoleh 4 pasang nilai variabel yang diinginkan:
x 1 = 0, kamu 1 = 0;
x 2 = 0, kamu 2 = –1;
x 3 = –1, kamu 3 = 0;
x 4 = –1, kamu 4 = –1.
Hasil kali (y 2 + y)(y 2 + 1) dapat dianggap sebagai hasil kali dua bilangan bulat bukan nol yang berurutan hanya jika y = 2. Oleh karena itu x(x + 1) = 30, maka x 5 = 5, x 6 = –6. Artinya masih ada dua pasang bilangan bulat lagi yang memenuhi persamaan awal:
x 5 = 5, kamu 5 = 2;
x 6 = –6, kamu 6 = 2.
Jawaban: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)
Masalah tanpa solusi
1. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:
a) xy = x + y + 3;
b) x 2 + kamu 2 = x + kamu + 2.
2. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:
a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;
b) 15x 2 – 7y 2 = 9.
3. Selesaikan persamaan bilangan asli:
a) 2 x + 1 = kamu 2;
b) 3 2 x + 1 = kamu 2.
4. Buktikan persamaan x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz dalam bilangan rasional mempunyai penyelesaian unik
5. Buktikan bahwa persamaan x 2 + 5 = y 3 dalam bilangan bulat tidak mempunyai penyelesaian.
Ada banyak jalan setapak yang mengarah dari tepi hutan menuju semak belukar. Mereka berliku-liku, bertemu, menyimpang lagi, dan saling bersinggungan lagi. Saat berjalan, Anda hanya dapat melihat banyaknya jalan setapak ini, berjalan di sepanjang beberapa jalan tersebut dan menelusuri arahnya hingga ke kedalaman hutan. Untuk mempelajari hutan dengan serius, Anda harus mengikuti jalan setapak sampai terlihat sama sekali di antara dedaunan pinus dan semak-semak yang kering.
Oleh karena itu, saya ingin menulis sebuah proyek yang dapat dianggap sebagai deskripsi dari salah satu kemungkinan perjalanan di sepanjang tepi matematika modern.
Dunia sekitar, kebutuhan perekonomian nasional, dan seringkali kekhawatiran sehari-hari menimbulkan semakin banyak tugas baru bagi seseorang, yang penyelesaiannya tidak selalu jelas. Terkadang suatu pertanyaan tertentu memiliki banyak kemungkinan jawaban, sehingga menyulitkan penyelesaian masalah. Bagaimana memilih opsi yang tepat dan optimal?
Penyelesaian persamaan tak tentu berhubungan langsung dengan masalah ini. Persamaan seperti itu, yang mengandung dua atau lebih variabel, yang memerlukan semua solusi bilangan bulat atau alami untuk menemukan, telah dipertimbangkan sejak zaman kuno. Misalnya, matematikawan Yunani Pythagoras (abad IV SM). matematikawan Aleksandria Diophantus (abad II-III M) dan ahli matematika terbaik di zaman yang lebih dekat dengan kita - P. Fermat (abad XVII), L. Euler (abad XVIII), J. L. Lagrange (abad XVIII) dan lain-lain.
Berpartisipasi dalam kompetisi korespondensi Rusia > di Obninsk, Kompetisi Permainan Internasional > dan Olimpiade Distrik Federal Ural, saya sering menghadapi tugas seperti itu. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa solusi mereka kreatif. Masalah yang muncul saat menyelesaikan persamaan bilangan bulat disebabkan oleh kompleksitas dan fakta bahwa sedikitnya waktu yang dicurahkan untuk menyelesaikan persamaan tersebut di sekolah.
Diophantus menyajikan salah satu misteri tersulit dalam sejarah sains. Kita tidak tahu kapan dia hidup, atau pendahulunya yang pernah bekerja di bidang yang sama. Karya-karyanya bagaikan api yang berkilauan di tengah kegelapan yang tak tertembus.
Jangka waktu Diophantus bisa hidup adalah setengah milenium! Batas bawah ditentukan tanpa kesulitan: dalam bukunya tentang bilangan poligonal, Diophantus berulang kali menyebut ahli matematika Hypsicles dari Alexandria, yang hidup pada pertengahan abad ke-2. SM e.
Di sisi lain, dalam komentar Theon dari Alexandria kepada astronom terkenal Ptolemeus terdapat kutipan dari karya Diophantus. Theon hidup di pertengahan abad ke-4. N. e. Ini menentukan batas atas interval ini. Jadi, 500 tahun!
Sejarawan sains Prancis Paul Tannry, editor teks Diophantus terlengkap, mencoba mempersempit kesenjangan ini. Di perpustakaan Escurial ia menemukan kutipan surat dari Michael Psellus, seorang sarjana Bizantium abad ke-11. , di mana dikatakan bahwa Anatoly yang paling terpelajar, setelah mengumpulkan bagian paling penting dari ilmu ini, kita berbicara tentang pengenalan derajat yang tidak diketahui dan (penunjukannya), mendedikasikannya untuk temannya Diophantus. Anatoly dari Aleksandria sebenarnya mengarang, kutipannya dikutip dalam karya Iamblichus dan Eusenius yang masih ada. Namun Anatoly tinggal di Alexandria pada pertengahan abad ke-111 SM. e dan lebih tepatnya - sampai tahun 270, ketika ia menjadi uskup Laodacia. Artinya persahabatannya dengan Diophantus, yang oleh semua orang disebut Alexandria, pasti sudah terjadi sebelum ini. Jadi, jika matematikawan terkenal Aleksandria dan teman Anatoly yang bernama Diophantus adalah satu orang, maka masa hidup Diophantus adalah pertengahan abad ke-111 Masehi.
Namun tempat tinggal Diophantus terkenal - Alexandria, pusat pemikiran ilmiah dan dunia Helenistik.
Salah satu epigram Antologi Palatine masih bertahan hingga saat ini:
Abu Diophantus bersemayam di dalam makam: kagumi - dan batunya
Usia orang yang meninggal akan berbicara melalui seni bijaknya.
Atas kehendak para dewa, dia menjalani seperenam hidupnya sebagai seorang anak.
Dan saya bertemu jam setengah lima dengan bulu halus di pipi saya.
Baru hari ketujuh dia bertunangan dengan pacarnya.
Setelah menghabiskan lima tahun bersamanya, orang bijak itu menunggu putranya.
Putra kesayangan ayahnya hanya hidup separuh hidupnya.
Dia diambil dari ayahnya melalui kuburan awalnya.
Dua kali dalam dua tahun orang tuanya berduka atas kesedihan yang mendalam.
Di sini saya melihat batas hidup saya yang menyedihkan.
Dengan menggunakan metode penyelesaian persamaan modern, dimungkinkan untuk menghitung berapa tahun Diophantus hidup.
Biarkan Diophantus hidup x tahun. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
Mari kalikan persamaan tersebut dengan 84 untuk menghilangkan pecahan:
Dengan demikian, Diophantus hidup selama 84 tahun.
Yang paling misterius adalah karya Diophantus. Enam dari tiga belas buku yang digabungkan menjadi > telah sampai kepada kita; gaya dan isi buku-buku ini sangat berbeda dari karya-karya kuno klasik tentang teori bilangan dan aljabar, contoh-contoh yang kita ketahui dari > Euclid, > lemma dari karya-karyanya Archimedes dan Apollonius. > tidak diragukan lagi merupakan hasil dari banyak penelitian yang masih belum diketahui sepenuhnya.
Kita hanya bisa menebak akarnya, dan mengagumi kekayaan serta keindahan metode dan hasilnya.
> Diophanta adalah kumpulan masalah (total 189) yang masing-masing ada solusinya. Masalah-masalah di dalamnya dipilih dengan cermat dan berfungsi untuk menggambarkan metode yang sangat spesifik dan dipikirkan dengan matang. Sebagaimana kebiasaan pada zaman dahulu, metode tidak dirumuskan dalam bentuk umum, tetapi diulang-ulang untuk menyelesaikan permasalahan serupa.
Biografi unik Diophantus diketahui dengan pasti, yang menurut legenda, diukir di batu nisannya dan mewakili tugas teka-teki:
Teka-teki ini menjadi contoh masalah yang dipecahkan Diophantus. Dia berspesialisasi dalam memecahkan masalah bilangan bulat. Masalah seperti ini sekarang dikenal dengan nama masalah Diophantine.
Studi tentang persamaan Diophantine biasanya penuh dengan kesulitan besar.
Pada tahun 1900, pada Kongres Matematikawan Dunia di Paris, salah satu matematikawan terkemuka dunia, David Hilbert, mengidentifikasi 23 masalah dari berbagai bidang matematika. Salah satu permasalahan tersebut adalah masalah penyelesaian persamaan Diophantine. Masalahnya adalah sebagai berikut: apakah mungkin untuk menyelesaikan persamaan dengan sejumlah koefisien yang tidak diketahui dan bilangan bulat dengan cara tertentu - menggunakan suatu algoritma. Tugasnya adalah sebagai berikut: untuk persamaan tertentu, Anda perlu menemukan semua nilai bilangan bulat atau natural dari variabel yang termasuk dalam persamaan tersebut, yang kemudian berubah menjadi persamaan sejati. Diophantus menemukan banyak solusi berbeda untuk persamaan tersebut. Karena variasi persamaan Diophantine yang tak terbatas, tidak ada algoritma umum untuk menyelesaikannya, dan untuk hampir setiap persamaan kita harus menemukan teknik tersendiri.
Persamaan Diophantine derajat 1 atau persamaan Diophantine linier dengan dua yang tidak diketahui adalah persamaan dengan bentuk: ax+by=c, dengan a,b,c adalah bilangan bulat, FPB(a,b)=1.
Saya akan memberikan rumusan teorema yang menjadi dasar penyusunan algoritma penyelesaian persamaan tak tentu derajat pertama dua variabel dalam bilangan bulat.
Teorema 1. Jika dalam suatu persamaan, maka persamaan tersebut mempunyai paling sedikit satu penyelesaian.
Bukti:
Kita dapat berasumsi bahwa >0. Setelah menyelesaikan persamaan x, kita mendapatkan: x = c-vua. Saya akan buktikan jika dalam rumus ini alih-alih y kita substitusikan semua bilangan asli yang kurang dari a dan 0, yaitu bilangan 0;1;2;3;. ;a-1, dan setiap kali Anda melakukan pembagian, semua sisanya akan berbeda. Memang, alih-alih y, saya akan mengganti angka m1 dan m2, lebih kecil dari a. Hasilnya, saya akan mendapatkan dua pecahan: c-bm1a dan c-bm2a. Setelah melakukan pembagian dan menyatakan hasil bagi yang tidak lengkap dengan q1 dan q2, dan sisanya dengan r1 dan r2, saya akan menemukan с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.
Saya asumsikan sisa r1 dan r2 sama. Kemudian, dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, saya mendapatkan: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2, atau b(m1 - m2)a = q1-q2.
Karena q1-q2 adalah bilangan bulat, maka ruas kirinya harus bilangan bulat. Oleh karena itu, bm1 - m2 harus habis dibagi a, yaitu selisih dua bilangan asli yang masing-masing lebih kecil dari a, harus habis dibagi a, yang tidak mungkin. Artinya sisa r1 dan r2 sama. Artinya, semua residu berbeda.
Itu. Saya menerima berbagai saldo kurang dari a. Namun yang membedakan a dari bilangan asli yang tidak melebihi a adalah bilangan 0;1;2;3;. ;a-1. Oleh karena itu, di antara sisanya pasti akan ada satu dan hanya satu yang sama dengan nol. Nilai y, yang substitusinya ke dalam ekspresi (c-vu)a memberikan sisa 0, dan mengubah x=(c-vu)a menjadi bilangan bulat. Q.E.D.
Teorema 2. Jika dalam persamaan, dan c tidak habis dibagi, maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat.
Bukti:
Misalkan d=PBB(a;b), sehingga a=md, b=nd, dimana m dan n adalah bilangan bulat. Maka persamaannya akan berbentuk: mdх+ ndу=с, atau d(mх+ nу)=с.
Dengan asumsi ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan tersebut, saya menemukan bahwa koefisien c habis dibagi d. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan teorema tersebut.
Teorema 3. Jika dalam persamaan, dan, maka ekuivalen dengan persamaan di mana.
Teorema 4. Jika dalam suatu persamaan, maka semua solusi bilangan bulat persamaan tersebut terdapat dalam rumus:
di mana x0, y0 adalah solusi bilangan bulat dari persamaan tersebut, adalah bilangan bulat apa pun.
Teorema yang dirumuskan memungkinkan untuk membangun algoritma berikut untuk menyelesaikan persamaan bentuk bilangan bulat.
1. Tentukan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b, jika c tidak habis dibagi, maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat; jika dan kemudian
2. Bagilah suku persamaan dengan suku, sehingga diperoleh persamaan yang.
3. Temukan solusi bilangan bulat (x0, y0) dari persamaan tersebut dengan menyatakan 1 sebagai kombinasi linier angka dan;
4. Buatlah rumus umum untuk solusi bilangan bulat persamaan ini, dengan x0, y0 adalah solusi bilangan bulat persamaan tersebut, dan merupakan bilangan bulat apa pun.
2. 1 METODE PENURUNAN
Banyak yang didasarkan pada metode untuk menyelesaikan persamaan tak tentu. Misalnya saja trik menebak tanggal lahir.
Ajaklah temanmu untuk menebak hari ulang tahunnya dengan menjumlahkan angka-angka yang sama dengan hasil kali tanggal lahirnya dengan 12 dan jumlah bulan lahirnya dengan 31.
Untuk menebak tanggal lahir teman Anda, Anda perlu menyelesaikan persamaan: 12x + 31y = A.
Misalkan kita diberi bilangan 380, yaitu kita mempunyai persamaan 12x + 31y = 380. Untuk mencari x dan y, kita dapat beralasan seperti ini: bilangan 12x + 24y habis dibagi 12, maka menurut sifat-sifatnya dapat dibagi (Teorema 4.4), bilangan 7y dan 380 harus mempunyai sisa yang sama jika dibagi 12. Bilangan 380 jika dibagi 12 menghasilkan sisa 8, oleh karena itu 7y jika dibagi 12 juga harus menyisakan sisa 8, dan karena y adalah nomor bulannya, lalu 1
Persamaan yang kita selesaikan adalah persamaan Diophantine derajat 1 dengan dua persamaan yang tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, metode keturunan dapat digunakan. Saya akan mempertimbangkan algoritma metode ini menggunakan persamaan spesifik 5x + 8y = 39.
1. Saya akan memilih yang tidak diketahui yang memiliki koefisien terkecil (dalam kasus kami adalah x), dan mengungkapkannya melalui yang tidak diketahui lainnya :. Saya akan menyorot seluruh bagiannya: Jelasnya, x akan menjadi bilangan bulat jika ekspresi tersebut ternyata bilangan bulat, yang selanjutnya akan terjadi jika bilangan 4 - 3y habis dibagi 5 tanpa sisa.
2. Saya akan memasukkan variabel bilangan bulat tambahan z sebagai berikut: 4 - 3y = 5z. Hasilnya, saya akan mendapatkan persamaan yang tipenya sama dengan persamaan aslinya, tetapi dengan koefisien yang lebih kecil. Saya akan menyelesaikannya sehubungan dengan variabel y:. Memilih seluruh bagian, saya mendapatkan:
Dengan alasan yang mirip dengan yang sebelumnya, saya memperkenalkan variabel baru u: 3u = 1 - 2z.
3. Saya akan menyatakan yang tidak diketahui dengan koefisien terkecil, dalam hal ini variabel z: =. Dengan mengharuskannya berupa bilangan bulat, saya mendapatkan: 1 - u = 2v, sehingga u = 1 - 2v. Tidak ada pecahan lagi, penurunan sudah selesai.
4. Sekarang Anda memerlukan >. Saya akan menyatakan melalui variabel v terlebih dahulu z, kemudian y dan kemudian x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.
5. Rumus x = 3+8v dan y = 3 - 5v, dengan v adalah bilangan bulat sembarang, mewakili solusi umum persamaan awal dalam bilangan bulat.
Komentar. Jadi, metode penurunan pertama-tama melibatkan ekspresi satu variabel secara berurutan dalam variabel lain hingga tidak ada pecahan yang tersisa dalam representasi variabel, dan kemudian secara berurutan sepanjang rantai persamaan untuk mendapatkan solusi umum persamaan tersebut.
2. 2 METODE SURVEI
Kelinci dan burung pegar duduk dalam sangkar, total kakinya ada 18 kaki. Cari tahu berapa banyak keduanya yang ada di dalam sel?
Izinkan saya membuat persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, di mana x adalah jumlah kelinci, dan y adalah jumlah burung pegar:
4x + 2y = 18, atau 2x + y = 9.
Menjawab. 1) 1 kelinci dan 7 burung pegar; 2) 2 ekor kelinci dan 5 ekor burung pegar; 3) 3 ekor kelinci dan 3 ekor burung pegar; 4) 4 kelinci dan 1 burung pegar.
1. BAGIAN PRAKTIS
3.1 Menyelesaikan persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui
1. Selesaikan persamaan 407x - 2816y = 33 dalam bilangan bulat.
Saya akan menggunakan algoritma yang dikompilasi.
1. Dengan menggunakan algoritma Euclidean, saya akan mencari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 407 dan 2816:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Jadi (407.2816) = 11, dengan 33 habis dibagi 11.
2. Bagi kedua ruas persamaan awal dengan 11, diperoleh persamaan 37x - 256y = 3, dan (37, 256) = 1
3. Dengan menggunakan algoritma Euclidean, saya akan mencari representasi linier dari angka 1 sampai dengan angka 37 dan 256.
256 = 37 6 + 34;
Saya akan menyatakan 1 dari persamaan terakhir, kemudian berturut-turut menaikkan persamaan tersebut saya akan menyatakan 3; 34 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam ekspresi 1.
1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =
83 37 - 256 (- 12)
Jadi 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, maka pasangan bilangan x0 = - 83 dan y0 = - 12 merupakan penyelesaian persamaan 37x - 256y = 3.
4. Saya akan menuliskan rumus umum penyelesaian persamaan awal di mana t adalah bilangan bulat apa pun.
Menjawab. (-83c+bt; -12c-at), t Z.
Komentar. Dapat dibuktikan bahwa jika pasangan (x1,y1) merupakan solusi bilangan bulat dari persamaan di mana, maka semua solusi bilangan bulat persamaan tersebut dicari dengan menggunakan rumus: x=x1+bty=y1-at
2. Selesaikan persamaan 14x - 33y=32 dalam bilangan bulat.
Penyelesaian: x = (32 + 33y) : 14
(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2 tahun + 5 tahun + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = hal; p Z
Cari dari 1 hingga 13
Ketika y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14
Biarkan saya substitusikan y = 2 ke persamaan awal
14x = 32 +33 [. ] 2
14x = 32 + 66 x = 98 : 14 = 7
Saya akan menemukan semua solusi bilangan bulat dari hasil bagi yang ditemukan:
14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32
14(x - 7) - 33(y - 2)=0
14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k Z
Biarkan saya substitusikan ke persamaan awal:
14(33k + 7) - 33y = 32
14. 33k + 98 - 33 tahun = 32 tahun = 14k + 2; x = 33k + 7, di mana k є Z. Rumus ini menentukan solusi umum persamaan awal.
Menjawab. (33k + 7; 14k + 2), k Z.
3. Selesaikan persamaan x - 3y = 15 dalam bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(1,3)=1
Saya akan menentukan solusi tertentu: x=(15+3y):1 dengan menggunakan metode enumerasi, saya mencari nilai y=0 lalu x=(15+3 [. ] 0) =15
(15; 0) - solusi pribadi.
Semua solusi lain ditemukan menggunakan rumus: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z untuk k=0, saya mendapatkan solusi tertentu (15;0)
Jawaban: (3k+15;k), k є Z.
4. Selesaikan persamaan 7x - y = 3 dalam bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(7, -1)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (3+y):7
Dengan menggunakan metode brute force, kita mencari nilai y є y = 4, x = 1
Artinya (1;4) merupakan solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z
Jawaban: (k+1;7k+4); k Z.
5. Selesaikan persamaan 15x+11 y = 14 bilangan bulat.
Saya akan menemukan FPB(15, -14)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (14 - 11y):15
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 4, x = -2
(-2;4) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z
Jawaban: (-11k-2; 15k+4); k Z.
6. Selesaikan persamaan 3x - 2y = 12 bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(3; 2)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (12+2y):3
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 0, x = 4
(4;0) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z
Jawaban: (2k+4; 3k); k Z.
7. Selesaikan persamaan xy = x + y dalam bilangan bulat.
Saya punya xy - x - y + 1 = 1 atau (x - 1)(y - 1) = 1
Oleh karena itu x - 1 = 1, y - 1 = 1, maka x = 2, y = 2 atau x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, maka x = 0, y = 0 penyelesaian lain dalam bilangan bulat diberikan persamaan tidak memiliki.
Menjawab. 0;0;(2;2).
8. Selesaikan persamaan 60x - 77y = 1 dalam bilangan bulat.
Biarkan saya menyelesaikan persamaan ini untuk x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.
Misalkan (17y + 1) / 60 = z, maka y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Jika kita menyatakan (9z - 1) / 17 dengan t, maka z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Terakhir, misalkan (- t + 1) / 9 = n, maka t = 1- 9n. Karena saya hanya menemukan solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut, z, t, n harus berupa bilangan bulat.
Jadi, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, sehingga y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Jadi, jika x dan y adalah solusi bilangan bulat dari persamaan tertentu, maka terdapat bilangan bulat n sehingga x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Sebaliknya jika y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, maka jelas x, y adalah bilangan bulat. Pemeriksaan menunjukkan bahwa mereka memenuhi persamaan awal.
Menjawab. (9 - 77n; 7 - 60n)); n Z.
9. Selesaikan persamaan 2x+11y =24 dalam bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(2; 11)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (24-11y):2
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 0, x = 12
(12;0) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z
Jawaban:(-11k+12; 2k); k Z.
10. Selesaikan persamaan 19x - 7y = 100 dalam bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(19, -7)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (100+7y):19
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 2, x = 6
(6;2) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z
Jawaban:(7rb+6; 19rb+2); kє Z.
11. Selesaikan persamaan 24x - 6y = 144 dalam bilangan bulat
Saya akan mencari KPK(24, 6)=3.
Persamaan tersebut tidak mempunyai solusi karena FPB(24, 6)!=1.
Menjawab. Tidak ada solusi.
12. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat.
Saya mengubah rasio koefisien untuk yang tidak diketahui.
Pertama-tama, saya akan menyoroti seluruh bagian dari pecahan biasa;
Saya akan mengganti pecahan biasa dengan pecahan yang sama.
Lalu aku akan mengambilnya.
Saya akan melakukan transformasi yang sama dengan pecahan biasa yang diperoleh penyebutnya.
Sekarang pecahan aslinya akan berbentuk:
Mengulangi alasan yang sama untuk pecahan, saya mengerti.
Mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa, saya sampai pada hasil akhir:
Saya mendapat ekspresi yang disebut pecahan lanjutan hingga atau pecahan lanjutan. Setelah membuang tautan terakhir dari pecahan lanjutan ini - seperlima, saya akan mengubah pecahan lanjutan baru yang dihasilkan menjadi pecahan sederhana dan menguranginya dari pecahan aslinya.
Saya akan mengurangi ekspresi yang dihasilkan menjadi penyebut yang sama dan membuangnya
Dari membandingkan persamaan yang dihasilkan dengan persamaan, maka persamaan tersebut akan menjadi solusi dan, menurut teorema, semua solusinya akan terkandung dalam,.
Menjawab. (9+52t; 22+127t), t Z.
Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dalam kasus umum, untuk menemukan solusi persamaan, perlu untuk memperluas rasio koefisien yang tidak diketahui menjadi pecahan lanjutan, membuang mata rantai terakhirnya dan melakukan perhitungan serupa dengan yang dilakukan. keluar di atas.
13. Selesaikan persamaan 3xy + 2x + 3y = 0 dalam bilangan bulat.
3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =
=(x + 1)(3y + 2) - 2,
(x + 1)(3y + 2) = 2,
3y + 2 = 1 atau 3y + 1 = 2 atau 3y + 1 = -1 atau 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 atau x = 0 atau x = -3 atau x = -2 y cent z, y = 0, y = -1, y cent z.
Jawaban: (0;0);(-3;-1).
14. Selesaikan persamaan y - x - xy = 2 dalam bilangan bulat.
Penyelesaian: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,
3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).
y+1 = 1 atau y+1 = 3 atau y+1 = -1 atau y+1 = -3
1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.
y = 0 atau y = 2 atau y = -2 atau y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2
Jawaban: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).
15. Selesaikan persamaan y + 4x + 2xy = 0 dalam bilangan bulat.
Penyelesaian: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,
2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).
2x + 1= 1 atau 2x + 1= 2 atau 2x + 1= -1 atau 2x + 1= -2
2 + kamu = 2, 2 + kamu = 1, 2 + kamu = -2, 2 + kamu = -1; y = 0 atau y = -1 atau y = -4 atau y = -3 x = 0, x sen Z, x = -1, x sen Z.
Jawaban: (-1;-4);(0;0).
16. Selesaikan persamaan 5x + 10y = 21 dalam bilangan bulat.
5(x + 2y) = 21, karena 21 != 5n, maka tidak ada akar-akarnya.
Menjawab. Tidak ada akar.
17. Selesaikan persamaan 3x + 9y = 51 bilangan asli.
3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; kamu = 2, x = 11; kamu = 3, x = 8; kamu = 4, x = 5; kamu = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1sen N.
Jawaban:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).
18. Selesaikan persamaan 7x+5y=232 dalam bilangan bulat.
Saya akan menyelesaikan persamaan ini terhadap hal yang tidak diketahui di mana koefisien (modulo) terkecil ditemukan, yaitu, dalam hal ini terhadap y: y = 232-7x5.
Izinkan saya mengganti angka-angka tersebut dengan x ke dalam ekspresi ini: 0;1;2;3;4. Saya mendapatkan: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43.6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8
Menjawab. (1;45).
19. Selesaikan persamaan 3x + 4y + 5xy = 6 dalam bilangan bulat.
Saya punya 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn
Pembagi 42 : - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).
x = m - 45, y = n - 35 Ternyata dengan m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 penyelesaiannya adalah: x = -1, -2 , 2, -5 tahun = -9, -2, 0, -1.
Jadi, persamaan ini memiliki 4 solusi dalam bilangan bulat dan tidak ada solusi dalam bilangan asli.
Menjawab. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).
20. Selesaikan persamaan 8x+65y=81 dalam bilangan asli.
81⋮GCD(8;65)=>
8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.
Misalkan 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0
65t>-2-8t>-1 t>-265 tt=0.
Pada t=0 x=2y=1
Menjawab. (2;1).
21. Temukan solusi bilangan bulat non-negatif dari persamaan 3x+7y=250.
250⋮GCD(3;7) =>persamaan tersebut dapat diselesaikan dalam bilangan bulat.
x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.
Misalkan 1-y3=t, t Є Z.
x=81+7t>=0y=1-3t>=0
7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.
x=81+7tу=1-3t t=-11 x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1
Menjawab. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.
22. Selesaikan persamaan xy+x+y3=1988 dalam bilangan bulat.
Kalikan kedua ruas persamaan dengan 3. Kita peroleh:
3x+3xy+y=5964
3x+3xy+y+1=5965
(3х+1)+(3х+у)=5965
(3x+1) + y(3x+1)=5965
(3x+1)(y+1)=5965
5965=1∙5965 atau 5965=5965∙1 atau 5965=-1∙(-5965) atau 5965=-5965∙(-1) atau 5965=5∙1193 atau 5965=1193∙1 atau 5965=-5∙( -1193) atau 5965=-1193∙(-5)
1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0
3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 penyelesaian dalam bilangan bulat tidak ada penyelesaian dalam bilangan bulat tidak
5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 tidak ada solusi dalam bilangan bulat tidak ada solusi dalam bilangan bulat
7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6
Menjawab. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).
3.2 PEMECAHAN MASALAH
Ada beberapa jenis soal, yang paling sering adalah soal yang bersifat olimpiade, yang bermuara pada penyelesaian persamaan Diophantine. Contoh: a) Tugas menukarkan sejumlah uang pecahan tertentu.
b) Masalah yang melibatkan transfusi dan pemisahan benda.
1. Kami membeli 390 pensil warna dalam kotak berisi 7 dan 12 pensil. Berapa banyak kotak ini dan kotak lainnya yang Anda beli?
Saya akan tentukan: x kotak berisi 7 pensil, y kotak berisi 12 pensil.
Izinkan saya membuat persamaan: 7x + 12y = 390
Saya akan menemukan GCD(7, 12)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (390 - 12y):7
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 1, x = 54
(54;1) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z
Saya menemukan banyak solusi untuk persamaan tersebut. Dengan mempertimbangkan kondisi soal, saya akan menentukan kemungkinan jumlah kedua kotak.
Menjawab. Anda dapat membeli: 54 kotak berisi 7 pensil dan 1 kotak berisi 12 pensil, atau 42 kotak berisi 7 pensil dan 8 kotak berisi 12 pensil, atau 30 kotak berisi 7 pensil dan 15 kotak berisi 12 pensil, atau 28 kotak berisi 7 pensil dan 22 kotak berisi 12 pensil, atau 6 kotak berisi 7 pensil dan 29 kotak berisi 12 pensil.
2. Salah satu kaki segitiga siku-siku lebih besar 7 cm dari kaki lainnya, dan keliling segitiga adalah 30 cm. Tentukan semua sisi segitiga tersebut.
Saya akan menunjuk: x cm - satu kaki, (x+7) cm - kaki lainnya, y cm - sisi miring
Saya akan menyusun dan menyelesaikan persamaan Diophantine: x+(x+7)+y=30
Saya akan menemukan GCD(2; 1)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (23 - y):2
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y =1 y = 1, x = 11
(11;1) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi persamaan lainnya menggunakan rumus: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k
Mengingat salah satu sisi suatu segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya, maka kita dapat menyimpulkan bahwa ada tiga segitiga dengan sisi 7, 9 dan 14; 6, 11 dan 13; 5, 13 dan 12. Berdasarkan kondisi soal, diberikan segitiga siku-siku. Ini adalah segitiga dengan sisi 5, 13 dan 12 (teorema Pythagoras berlaku).
Jawaban: Kaki yang satu 5 cm, yang lain 12 cm, sisi miring 13 cm.
3. Beberapa anak sedang memetik apel. Setiap anak laki-laki mengumpulkan 21 kg, dan anak perempuan mengumpulkan 15 kg. Total mereka mengumpulkan 174 kg. Berapa banyak anak laki-laki dan berapa banyak anak perempuan yang memetik apel?
Misalkan ada x laki-laki dan y perempuan, dengan x dan y adalah bilangan asli. Izinkan saya membuat persamaan:
Saya menyelesaikannya dengan metode seleksi: x
6 Hanya pada x = 4, bilangan tak diketahui kedua menerima nilai bilangan bulat positif (y = 6). Untuk nilai x lainnya, y akan berupa pecahan atau negatif. Oleh karena itu, masalah tersebut memiliki satu solusi unik.
Menjawab. 4 laki-laki dan 6 perempuan.
4. Apakah mungkin membuat satu set pensil senilai 3 rubel dan pulpen senilai 6 rubel senilai 20 rubel?
Misalkan banyaknya pensil dalam himpunan tersebut adalah x dan banyaknya pulpen adalah y.
Izinkan saya membuat persamaan:
Untuk bilangan bulat x dan y, ruas kiri persamaan harus habis dibagi 3; ruas kanannya tidak habis dibagi 3. Artinya tidak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan kita. Persamaan ini tidak dapat diselesaikan dengan bilangan bulat. Tidak mungkin membuat kumpulan seperti itu.
Menjawab. Tidak ada solusi.
5. Carilah bilangan asli yang bila dibagi 3 menyisakan sisa 2, dan bila dibagi 5 menyisakan sisa 3.
Saya akan menyatakan nomor yang diperlukan dengan x. Jika saya menyatakan hasil bagi x dengan 3 dengan y, dan hasil bagi pembagian dengan 5 dengan z, maka saya mendapatkan: x=3y+2x=5z+3
Menurut pengertian soal, x, y dan z pasti bilangan asli. Artinya kita perlu menyelesaikan sistem persamaan tak tentu dalam bilangan bulat.
Untuk sembarang bilangan bulat y dan z, x juga merupakan bilangan bulat. Saya mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan mendapatkan:
5z - 3y + 1 = 0.
Setelah menemukan semua bilangan bulat positif y dan z, saya akan segera mendapatkan semua nilai bilangan bulat positif x.
Dari persamaan ini saya menemukan:
Salah satu solusinya jelas: untuk z = 1 kita mendapatkan y = 2, dan x serta y adalah bilangan bulat. Solusi x = 8 sesuai dengan mereka.
Saya akan mencari solusi lain. Untuk melakukan ini, saya akan memperkenalkan u tambahan yang tidak diketahui, pengaturan z = 1 + u. Aku akan menerima:
5(1 + u) - 3y + 1 = 0, yaitu 5u = 3y - 6 atau 5u = 3(y - 2).
Ruas kanan persamaan terakhir habis dibagi 3 untuk sembarang bilangan bulat y. Artinya, ruas kiri juga harus habis dibagi 3. Namun bilangan 5 koprima dengan bilangan 3; oleh karena itu kamu harus habis dibagi 3, yaitu berbentuk 3n, dimana n adalah bilangan bulat. Dalam hal ini, y akan sama
15n/3 + 2 = 5n + 2, yaitu juga bilangan bulat. Jadi, z = 1 + u = 1 + 3n, maka x = 5z + 3 = 8 + 15n.
Hasilnya bukan hanya satu, tetapi himpunan nilai x yang tak terhingga: x = 8 + 15n, dengan n adalah bilangan bulat (positif atau nol):
Menjawab. x=8+15n; n 0;1;2;.
6. Subyek membawa 300 batu mulia sebagai hadiah kepada Shah: dalam kotak kecil masing-masing berisi 15 buah dan dalam kotak besar - 40 buah. Berapa jumlah kotak-kotak ini dan kotak-kotak lainnya, jika diketahui jumlah kotak-kotak kecil lebih sedikit daripada kotak-kotak besar?
Izinkan saya menyatakan dengan x jumlah kotak kecil, dan dengan y jumlah kotak besar.
15x+40y=300. Aku akan memotongnya menjadi 5.
3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3
X=20-2y-2y3
Agar nilai pecahan menjadi bilangan bulat, 2y harus kelipatan 3, yaitu 2y = 3c.
Saya akan mengekspresikan variabel y dan memilih seluruh bagian:
Z harus kelipatan 2, yaitu z=2u.
Izinkan saya menyatakan variabel x dan y dalam bentuk u:
X=20-2y-2y3
=20-2∙3u-2∙3u3
Saya akan menyusun dan menyelesaikan sistem ketidaksetaraan:
Saya akan menuliskan seluruh solusinya: 1; 2. Sekarang saya akan mencari nilai x dan y untuk u=1; 2.
1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3
2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6
Menjawab. 4 kotak kecil; 6 kotak besar.
7. Diberikan dua buah mobil Ural 5557, mobil tersebut dikirim dengan penerbangan Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. Total dibutuhkan 4 ton solar dan 2 orang pengemudi untuk menyelesaikan penerbangan ini. Perlu ditentukan biaya angkutan yaitu biaya 1 ton solar dan upah pengemudi yang melakukan penerbangan tersebut, jika diketahui total biaya yang dikeluarkan adalah 76.000 rubel.
Misalkan x rubel adalah biaya 1 ton bahan bakar diesel, dan x rubel adalah gaji pengemudi. Kemudian (4x + 2y) rubel dihabiskan untuk penerbangan. Dan sesuai dengan kondisi masalahnya, 76.000 rubel dihabiskan.
Saya mendapatkan persamaan:
Untuk mengatasi persamaan ini, metode brute force akan menjadi proses yang memakan banyak tenaga. Jadi saya akan menggunakan metode >.
Saya akan mengekspresikan variabel y melalui x: , pilih seluruh bagian, dan dapatkan: (1).
Agar nilai pecahan menjadi bilangan bulat, 2x harus merupakan kelipatan 4. Artinya, 2x = 4z, dengan z adalah bilangan bulat. Dari sini:
Saya akan mengganti nilai x ke dalam ekspresi (1):
Karena x, y 0, maka 19000 z 0, oleh karena itu, dengan memberikan nilai bilangan bulat z dari 0 hingga 19000, saya mendapatkan nilai x dan y berikut: z
Dari data riil biaya transportasi, diketahui 1 ton solar (x) berharga 18.000 rubel. , dan pembayaran untuk pengemudi yang melakukan penerbangan (y) adalah 10.000 rubel. (data diambil kira-kira). Dari tabel kita menemukan bahwa nilai x sama dengan 18000 dan nilai y sama dengan 10000 sesuai dengan nilai z sama dengan 9000, memang: ;.
8. Dalam berapa cara Anda dapat mengumpulkan sejumlah 27 rubel? , memiliki cukup banyak koin dua rubel dan lima rubel?
Izinkan saya menunjukkan: x koin dua rubel dan y koin lima rubel
Saya akan membuat persamaan dengan memperhatikan kondisi soal 2x + 5y = 27.
Saya akan menemukan GCD(2;5)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (27-5y):2
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 1, x = 11
(11;1) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan menggunakan rumus: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z
Persamaan ini memiliki banyak solusi. Mari temukan semua cara untuk mengumpulkan sejumlah 27 rubel dengan koin yang ditawarkan. k
Menjawab. Ada tiga cara untuk mengumpulkan jumlah ini jika Anda memiliki banyak koin dua rubel dan lima rubel.
9. Misalkan gurita dan bintang laut hidup dalam akuarium. Gurita berkaki 8 dan bintang laut berkaki 5. Jumlah anggota tubuhnya 39. Berapa banyak hewan yang ada di akuarium?
Misal x adalah banyaknya bintang laut, y adalah banyaknya gurita. Lalu semua gurita berkaki 8, dan semua bintang berkaki 5.
Izinkan saya membuat persamaan: 5x + 8y = 39.
Perlu diketahui bahwa jumlah hewan tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan bukan bilangan bulat atau negatif. Oleh karena itu, jika x adalah bilangan bulat non-negatif, maka y = (39 - 5x)/8 juga harus bilangan bulat dan non-negatif, dan oleh karena itu, persamaan 39 - 5x harus habis dibagi 8 tanpa a Sisanya. Pencarian opsi sederhana menunjukkan bahwa hal ini hanya mungkin terjadi jika x = 3, maka y = 3.
Jawaban: (3; 3).
10. Sebuah pabrik mebel memproduksi bangku berkaki tiga dan empat. Sang master membuat 18 kaki. Berapa banyak bangku yang dapat dibuat agar seluruh kakinya dapat digunakan?
Misalkan x adalah banyaknya bangku berkaki tiga dan y adalah banyaknya bangku berkaki empat. Maka, 3x + 4y = 18.
Saya punya, 4y =18 - 3x; kamu = 3(6 - x):4.
Saya mendapatkan: x = 2; y = 3 atau x = 6; kamu = 0.
Tidak ada solusi lain, karena x 6.
Menjawab. 2;3;(6;0).
11. Apakah dapat menampung 718 orang di kabin dengan 4 dan 8 tempat tidur, sehingga tidak ada kursi kosong di dalam kabin?
Misalkan kabin dengan 4 tempat tidur adalah x, dan kabin dengan 8 tempat tidur adalah y, maka:
2(x + 2y) = 309
Menjawab. Itu dilarang.
12. Buktikan bahwa pada garis 124x + 216y = 515 tidak ada satu titik pun yang koordinatnya bilangan bulat.
FPB(124,216) = 4, 515 != 4n, artinya tidak ada penyelesaian bilangan bulat.
Menjawab. Tidak ada solusi.
13. Harga barangnya adalah 23 rubel, pembeli hanya memiliki 2 koin rubel, dan kasir memiliki 5 koin rubel. Apakah mungkin melakukan pembelian tanpa menukarkan uang terlebih dahulu?
Misal x adalah banyaknya koin 2 rubel, y adalah banyaknya koin 5 rubel, maka 2x - 5y = 23, dimana x,y є N.
Saya mendapatkan: 2x = 23 + 5y, dimana x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x akan menjadi bilangan bulat jika 1 + y2 adalah bilangan bulat.
1 + y2 = t, dimana t Euro Z, maka y = 2t - 1.
x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.
Ke. x = 5t + 9, dan y = 2t - 1, dimana t z.
Masalahnya mempunyai banyak solusi bilangan bulat. Yang paling sederhana adalah untuk t = 1, x =14, y = 1, yaitu pembeli akan memberikan empat belas koin 2 rubel dan menerima satu koin 5 rubel sebagai kembaliannya.
Menjawab. Bisa.
14. Saat mengaudit buku dagang toko, salah satu entri ternyata berlumuran tinta dan tampak seperti ini:
> Mustahil untuk mengetahui jumlah meter yang terjual, namun tidak ada keraguan bahwa angka tersebut bukanlah pecahan; dalam hasil, hanya tiga digit terakhir yang dapat dibedakan, dan dimungkinkan juga untuk menetapkan bahwa ada tiga digit lain di depannya. Apakah mungkin memulihkan catatan menggunakan data ini?
Misalkan banyaknya meternya x, maka harga pokok barang dalam kopek adalah 4936x. Kami menyatakan total tiga digit yang diisi sebagai y, ini adalah jumlah ribuan kopeck, dan jumlah keseluruhan dalam kopeck akan dinyatakan sebagai berikut (1000y + 728).
Saya mendapatkan persamaan 4936x = 1000y + 728, saya membaginya dengan 8.
617x - 125y = 91, dimana x,y є z, x,y
125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =
5x - 1 + 2t, dimana t = 17 - 4x125, t Euro Z.
Dari persamaan t = (17 - 4x)/125 didapat x = 4 - 31t + 1 - t4 =
4 - 31t + t1, dimana t1 = 1 - t4, maka t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.
Dengan syarat saya tahu itu 100
100 = 234/617 dan t1
Ini berarti 98 meter dijual seharga 4.837,28 rubel. Rekaman telah dipulihkan.
Menjawab. 98 meter dilepaskan.
15. Diperlukan untuk membeli 40 prangko untuk satu rubel - kopeck, 4-kopeck, dan 12-kopeck. Berapa prangko setiap denominasi yang dapat Anda beli?
Anda dapat membuat dua persamaan: x + 4y + 12z = 100 dan x + y + z = 40, dengan x adalah banyaknya mark, y adalah banyaknya mark 4 kopeck, z adalah banyaknya mark 12 kopeck . Saya mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama dan mendapatkan:
3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.
Misal z3 = t, z = 3t, di mana t Euro Z. Lalu saya peroleh jika x + y + z = 40 dan z = 3t, dan y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.
Karena x >= 0, y >= 0, z >= 0, maka 0
Maka, saya mendapatkan: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.
Jadi, pembelian prangko hanya dapat dilakukan dengan dua cara, dan jika syaratnya dibeli minimal satu prangko setiap pecahan, maka hanya dengan satu cara.
Menjawab. 28 tanda 1 kopeck, 9 tanda 4 kopeck dan 3 tanda 12 kopeck.
16. Seorang siswa diberi tugas sebanyak 20 soal. Untuk setiap pertanyaan yang diselesaikan dengan benar, ia menerima 8 poin, untuk setiap pertanyaan yang tidak terpecahkan, ia dikurangi 5 poin. Untuk tugas yang tidak dia lakukan - 0 poin. Siswa tersebut mencetak total 13 poin. Berapa banyak masalah yang dia coba selesaikan?
Misalkan soal yang diselesaikan dengan benar adalah x, soal yang salah diselesaikan adalah y, dan soal yang tidak diselesaikan adalah z.
Maka x + y + z = 20, dan 8x - 5y = 13.
y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, dimana t = x - 15, dan x = 5t + 1.
Dengan kondisi x + y
Jawaban: siswa mengerjakan 13 soal, menyelesaikan 6 soal, dan gagal 7.
17. Ivanushka si Bodoh bertarung dengan Ular Gorynych, yang memiliki 2001 kepala. Mengayunkan pedangnya ke kiri, Ivan memotong 10 kepala, dan sebagai imbalannya tumbuh 16. Mengayunkan pedangnya ke kanan, dia memotong 15, dan tumbuh 6. Jika semua kepala dipotong, tidak ada yang baru tumbuh. Anda dapat mengayun dalam urutan apa pun, tetapi jika jumlahnya kurang dari 15 gol, maka hanya ke kiri, dan jika kurang dari 10, maka tidak sama sekali. Bisakah Ivanushka si Bodoh mengalahkan Serpent Gorynych?
Izinkan saya mengulangi masalahnya: apakah mungkin untuk memenggal kepala tahun 1986? Kemudian Ivan akan menebang 15 sisanya dengan satu pukulan ke kanan dan tidak ada yang baru yang tumbuh.
Misal x adalah banyaknya pukulan ke kanan, dan y adalah banyaknya pukulan ke kiri, maka 1986 - 9x + 6y = 0.
Saya membagi seluruh persamaan dengan 6, saya mengerti
3x - 2 tahun = 662.
kamu = 3x - 6622 = x - 331 + x2.
Misalkan x2 = t, maka x = 2t, dan y = 3t - 331.
Karena x >= 0, y >= 0, maka t >= 111, maka t = 111, x = 222, y = 2.
Saya mendapatkan: dengan memukul 220 kali ke kanan, Ivan memotong 1980 kepala dan Ular memiliki 21 kepala tersisa; lalu 2 pukulan ke kiri dan Ular menumbuhkan 12 kepala, sehingga totalnya menjadi 33; 2 pukulan berikutnya ke kanan menghilangkan 18 kepala Ular dan Ivan memotong 15 sisanya dengan pukulan terakhir ke kanan dan tidak ada kepala baru yang tumbuh.
Jawaban : 220 pukulan ke kanan, 2 pukulan ke kiri dan 3 pukulan lagi ke kanan.
18. Sisi-sisi sebuah dadu diberi nomor - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dari 5 kubus tersebut, mereka membangun sebuah menara dan menghitung jumlah titik pada semua permukaan yang terlihat, setelah mengeluarkan kubus paling atas, jumlahnya berkurang 19, bilangan manakah yang merupakan rusuk atas kubus paling atas?
Jumlah titik pada satu kubus adalah 21.
Misal x adalah banyaknya titik pada tepi bawah kubus teratas, dan y adalah banyaknya titik pada tepi atas kubus berikutnya. Jika kubus paling atas dihilangkan, maka titik-titik pada 5 permukaan kubus paling atas hilang, yang jumlah titik-titiknya adalah (21 - x), dan permukaan tempat munculnya titik-titik tersebut, yang berarti jumlah titik-titiknya adalah berkurang (21 - x) - y, dan menurut kondisi menjadi 19, maka :
(21 - x) - y = 19, x + y = 2.
Jadi y = 2 - x, dan dengan kondisi 1
19. Seseorang membeli 30 burung seharga 30 koin pecahan yang sama. Untuk setiap 3 burung pipit Anda membayar 1 koin, untuk 2 burung pipit - 1 koin, untuk 1 merpati - 2 koin. Berapa banyak burung dari setiap jenis yang ada di sana?
Misalkan ada x burung pipit, y bullfinches, dan z merpati. Maka sesuai kondisi, x + y + z = 30 dan 13x + 12y + 2z = 30.
Didapatkan x + y + z = 30 dan 2x + 3y + 12z = 180, atau y + 10z = 120, y = 120 - 10z, dengan syarat x
Oleh karena itu pilihan berikut (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).
Jawaban: burung pipit - 0, bullfinches - 20, merpati - 10; burung pipit - 9, bullfinches - 10, merpati - 11; burung pipit - 18, bullfinches - 0, merpati - 12.
20. Temukan semua bilangan dua angka, yang masing-masing jika dikurangi 2, sama dengan lima kali hasil kali angka-angkanya.
Misalkan xy adalah bilangan dua digit yang diperlukan.
Untuk persamaan xy - 2 = 5xy, atau (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 dan saya akan mencari semua solusi alami dari himpunan (x; 2).
Karena x adalah digit pertama dari dua digit angka, maka hanya dapat mengambil 9 nilai.
Itu. , angka yang dibutuhkan adalah: 12, 22, 32,. , 92.
Menjawab. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.
21. Sepotong kawat yang panjangnya 102 cm perlu dipotong-potong dengan panjang 15 cm dan 12 cm agar kawatnya terpakai seluruhnya. Bagaimana cara melakukannya?
Misalkan x adalah banyaknya bagian kawat yang panjangnya 15 cm, y adalah banyaknya bagian kawat yang panjangnya 12 cm. Mari kita buat persamaannya:
15x+12y=102 /:3
4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.
Misalkan 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.
Jika t=0, maka x=6y=1
Jika t=-1, maka x=2y=6
Menjawab. Masalahnya memiliki dua solusi:
1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.
22. Petya pada tahun 1987 sama umurnya dengan jumlah angka tahun kelahirannya. Pada tahun berapa dia dilahirkan?
Biarkan Petya lahir pada tahun 1919. Kemudian pada tahun 1987 ia berusia 1987-19xy, atau (1+9+x+y) tahun. Kami memiliki persamaan:
87-(10x+y)=10+x+y
77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.
Mengingat x dan y adalah digit sistem bilangan desimal, kita mencarinya melalui pilihan: x=3, y=1.
Menjawab. Petya lahir pada tahun 1970.
23. Seseorang membeli barang senilai 19 rubel di toko. Dia hanya memiliki uang kertas 15-tiga rubel, sedangkan kasir hanya memiliki uang kertas 20-lima rubel. Bisakah saya membayar dan bagaimana caranya?
Masalahnya adalah menyelesaikan persamaan Diophantine dalam bilangan bulat positif: 3x - 5y = 19, di mana x
Karena x>0 dan y > 0 dan dengan mempertimbangkan kondisi soal, mudah untuk menetapkan bahwa 0
Ini menghasilkan 2 kemungkinan nilai: x
Menjawab. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.
24. Apakah mungkin untuk menimbang 28 g suatu zat pada timbangan cangkir, yang hanya mempunyai 4 anak timbangan bermassa 3 g dan 7 anak timbangan bermassa 5 g?
Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan:
x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.
Jadi x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.
Berdasarkan kondisi soal, y1 tidak boleh diberi nilai negatif. Berikutnya adalah y1
Menjawab. 1 bobot dalam 3 g dan 5 bobot dalam 5 g.
25. Pembeli membeli di toko seharga 21 rubel. barang-barang. Tapi dia hanya punya uang kertas pecahan 5 rubel, sedangkan kasir punya 3 rubel. Anda ingin tahu apakah Anda bisa membayar ke kasir jika Anda punya uang dan bagaimana tepatnya?
Misalkan x adalah angka 5 - rubel, y - 3 - rubel.
Dengan syarat x > 0, y > 0, artinya.
Selain itu, t genap, jika tidak, baik x maupun y tidak akan bilangan bulat.
Pada t = 4, 6, 8,. kami memiliki: t
Menjawab. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).
26. Kertas berjumlah 110 lembar. Diperlukan untuk menjahit buku catatan masing-masing 8 lembar dan 10 lembar. Berapa banyak yang perlu Anda jahit?
Misal x banyaknya buku catatan 8 lembar, y banyaknya buku catatan 10 lembar.
Jadi t = 0 atau t = - 1
Menjawab. 5;7;(10;3).
27. Banyak metode kuno dalam menebak angka dan tanggal lahir didasarkan pada penyelesaian persamaan Diophantine. Misalnya, untuk menebak tanggal lahir (bulan dan hari) lawan bicara Anda, cukup dengan menanyakan jumlah yang diperoleh dari penjumlahan dua hasil perkalian: nomor tanggal (x) sebanyak 12 dan nomor bulan (y) sebanyak 31 .
Misalkan jumlah hasil kali yang dimaksud sama dengan 330. Tentukan tanggal lahirnya.
Mari selesaikan persamaan tak tentu: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =
27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3
Jadi, tanggal lahir: tanggal 12 bulan ke-6.
28. Apakah mungkin mengumpulkan sejumlah 51 rubel dengan koin dua rubel dan lima rubel? Jika memungkinkan, ada berapa cara?
Misalkan ada x koin dua rubel, dan koin lima rubel.
Misalkan 1+y2=z
=> z = 1, 2, 3, 4, 5
Jawaban: 5 cara.
29. Apakah mungkin memasukkan dua ratus telur ke dalam kotak berisi 10 dan 12 buah? Jika memungkinkan, temukan semua cara tersebut.
Misalkan ada x kotak masing-masing 10 buah dan biarkan kotak tersebut masing-masing berisi 12 buah. Izinkan saya membuat persamaan: z = 1, 2, 3
Jawaban: 14;5;8;10;(2;15)
30. Bayangkan bilangan 257 sebagai jumlahan dua suku asli: a) salah satunya merupakan kelipatan 3, dan yang lainnya merupakan kelipatan 4; b) salah satunya merupakan kelipatan 5, dan yang lainnya merupakan kelipatan 8.
Jawaban: 1) 249 dan 8; 2) 225 dan 32.
Dalam soal-soal yang melibatkan persamaan tak tentu, saya menjumpai berbagai macam kasus: soal mungkin sama sekali tidak dapat dipecahkan (Soal 4), mungkin mempunyai jumlah solusi tak terhingga (Soal 2), mungkin mempunyai beberapa solusi pasti; khususnya, ia dapat memiliki satu solusi unik (Masalah 1).
KESIMPULAN
Tujuan yang saya tetapkan untuk diri saya sendiri telah tercapai. Mengerjakan proyek ini membangkitkan minat dan memikat saya. Pekerjaan ini menuntut saya tidak hanya pengetahuan matematika dan ketekunan tertentu, tetapi juga memberi saya kesempatan untuk merasakan kegembiraan yang luar biasa dari penemuan mandiri.
Persamaan Diophantine terdapat dalam tugas-tugas olimpiade, sehingga mengembangkan pemikiran logis, meningkatkan tingkat budaya matematika, dan menanamkan keterampilan dalam penelitian mandiri di bidang matematika.
Saat menyelesaikan persamaan dan masalah yang direduksi menjadi persamaan Diophantine, digunakan sifat-sifat bilangan prima, metode pemfaktoran polinomial, metode enumerasi, metode penurunan, dan algoritma Euclidean. Menurut saya, cara turun adalah yang paling sulit. Namun metode brute force ternyata lebih bagus bagi saya.
Saya memecahkan 54 masalah dalam pekerjaan saya.
Pekerjaan ini berkontribusi pada pemahaman yang lebih dalam tentang kurikulum sekolah dan memperluas wawasan saya.
Materi ini akan bermanfaat bagi siswa yang tertarik pada matematika. Dapat digunakan dalam beberapa pelajaran dan kegiatan ekstrakurikuler.
Teks karya diposting tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap karya ini tersedia di tab "File Kerja" dalam format PDF
Objek studi.
Penelitian ini menyangkut salah satu bagian paling menarik dari teori bilangan - penyelesaian persamaan bilangan bulat.
Subyek studi.
Menyelesaikan persamaan aljabar bilangan bulat dengan koefisien bilangan bulat dan lebih dari satu yang tidak diketahui adalah salah satu masalah matematika yang paling sulit dan kuno dan tidak cukup disajikan dalam kursus matematika sekolah. Dalam karya saya, saya akan menyajikan analisis persamaan bilangan bulat yang cukup lengkap, klasifikasi persamaan tersebut berdasarkan metode penyelesaiannya, uraian algoritma penyelesaiannya, serta contoh praktis penggunaan setiap metode penyelesaian persamaan bilangan bulat. .
Target.
Pelajari cara menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat.
Tugas:
Pelajari literatur pendidikan dan referensi;
Kumpulkan materi teori tentang cara menyelesaikan persamaan;
Analisis algoritma untuk menyelesaikan persamaan jenis ini;
Jelaskan solusi;
Perhatikan contoh penyelesaian persamaan menggunakan metode ini.
Hipotesa:
Setelah menemukan persamaan bilangan bulat dalam tugas-tugas Olimpiade, saya berasumsi bahwa kesulitan dalam menyelesaikannya disebabkan oleh kenyataan bahwa tidak semua metode untuk menyelesaikannya diketahui oleh saya.
Relevansi:
Saat menyelesaikan versi sampel tugas Ujian Negara Bersatu, saya perhatikan bahwa sering kali ada tugas untuk menyelesaikan persamaan derajat pertama dan kedua dalam bilangan bulat. Selain itu, tugas-tugas olimpiade di berbagai tingkatan juga memuat persamaan bilangan bulat atau soal-soal yang diselesaikan dengan menggunakan kemampuan menyelesaikan persamaan bilangan bulat. Pentingnya mengetahui cara menyelesaikan persamaan bilangan bulat menentukan relevansi penelitian saya.
Metode penelitian
Analisis teoritis dan generalisasi informasi literatur ilmiah tentang persamaan bilangan bulat.
Klasifikasi persamaan bilangan bulat menurut cara penyelesaiannya.
Analisis dan generalisasi metode penyelesaian persamaan bilangan bulat.
Hasil penelitian
Karya ini menjelaskan metode penyelesaian persamaan, membahas materi teoritis teorema Fermat, teorema Pythagoras, dan algoritma Euclid, serta menyajikan contoh solusi masalah dan persamaan dengan berbagai tingkat kompleksitas.
2. Sejarah persamaan bilangan bulat
Diophantus - ilmuwan - ahli aljabar Yunani Kuno, menurut beberapa sumber ia hidup sampai tahun 364 Masehi. e. Dia berspesialisasi dalam memecahkan masalah bilangan bulat. Dari sinilah nama persamaan Diophantine berasal. Masalah paling terkenal yang dipecahkan oleh Diophantus adalah masalah “penguraian menjadi dua kotak”. Persamaannya adalah teorema Pythagoras yang terkenal. Kehidupan dan karya Diophantus terjadi di Alexandria, ia mengumpulkan dan memecahkan masalah-masalah yang diketahui dan menghasilkan masalah-masalah baru. Dia kemudian menggabungkannya dalam sebuah karya besar yang disebut Aritmatika. Dari tiga belas buku yang menyusun Aritmatika, hanya enam yang bertahan hingga Abad Pertengahan dan menjadi sumber inspirasi bagi matematikawan Renaisans.Aritmatika Diophantus adalah kumpulan masalah, masing-masing berisi solusi dan penjelasan yang diperlukan. Koleksinya mencakup berbagai masalah, dan solusinya sering kali sangat cerdik. Diophantus hanya tertarik pada bilangan bulat positif dan solusi rasional. Dia menyebut keputusan yang tidak rasional sebagai “tidak mungkin” dan dengan hati-hati memilih koefisiennya sehingga solusi positif dan rasional yang diinginkan dapat diperoleh.
Teorema Fermat digunakan untuk menyelesaikan persamaan bilangan bulat. Sejarah pembuktiannya cukup menarik. Banyak matematikawan terkemuka yang mengerjakan bukti lengkap Teorema Besar, dan upaya ini membuahkan banyak hasil dari teori bilangan modern. Teorema ini diyakini menempati urutan pertama dalam hal jumlah bukti yang salah.
Matematikawan Perancis terkemuka Pierre Fermat menyatakan bahwa persamaan bilangan bulat n ≥ 3 tidak mempunyai solusi dalam bilangan bulat positif x, y, z (xyz = 0 dikecualikan oleh positifnya x, y, z. Untuk kasus n = 3, ini teorema tersebut telah dicoba pada abad ke-10 dan dibuktikan oleh ahli matematika Asia Tengah al-Khojandi, namun buktinya tidak bertahan.Beberapa saat kemudian, Fermat sendiri menerbitkan bukti kasus khusus untuk n = 4.
Euler pada tahun 1770 membuktikan teorema untuk kasus n = 3, Dirichlet dan Legendre pada tahun 1825 - untuk n = 5, Lame - untuk n = 7. Kummer menunjukkan bahwa teorema tersebut benar untuk semua bilangan prima n kurang dari 100, dengan kemungkinan pengecualian dari 37, 59, 67.
Pada tahun 1980-an, muncul pendekatan baru untuk memecahkan masalah tersebut. Dari dugaan Mordell yang dibuktikan oleh Faltings pada tahun 1983, diperoleh persamaan
karena n > 3 hanya dapat memiliki sejumlah solusi yang relatif sederhana.
Langkah terakhir, namun paling penting, dalam membuktikan teorema tersebut diambil pada bulan September 1994 oleh Wiles. Bukti setebal 130 halamannya diterbitkan di jurnal Annals of Mathematics. Pembuktiannya didasarkan pada asumsi ahli matematika Jerman Gerhard Frey bahwa Teorema Terakhir Fermat adalah konsekuensi dari dugaan Taniyama-Shimura (asumsi ini dibuktikan oleh Ken Ribet dengan partisipasi J.-P. Serres). Wiles menerbitkan yang pertama versi pembuktiannya pada tahun 1993 (setelah 7 tahun kerja keras), namun kesenjangan yang serius segera muncul; Dengan bantuan Richard Lawrence Taylor, kesenjangan tersebut dengan cepat ditutup. Versi finalnya diterbitkan pada tahun 1995. 15 Maret 2016 Andrew Wiles menerima Hadiah Abel. Saat ini, preminya adalah 6 juta kroner Norwegia, yaitu sekitar 50 juta rubel. Menurut Wiles, penghargaan tersebut merupakan “kejutan total” baginya.
3. Persamaan linier bilangan bulat
Persamaan linier adalah persamaan Diophantine yang paling sederhana.
Persamaan yang berbentuk ax=b, dimana a dan b adalah suatu bilangan dan x adalah variabel yang tidak diketahui, disebut persamaan linier dengan satu variabel yang tidak diketahui. Di sini kita hanya perlu mencari solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut. Dapat diketahui bahwa jika a ≠ 0, maka persamaan tersebut akan mempunyai solusi bilangan bulat hanya jika b habis dibagi a dan solusinya adalah x = b/ph. Jika a=0, maka persamaan tersebut akan memiliki solusi bilangan bulat jika b=0 dan dalam hal ini x adalah bilangan apa pun.
Karena Maka 12 habis dibagi 4
Karena a=o dan b=0, maka x adalah bilangan apa pun
Karena 7 tidak habis dibagi 10, maka tidak ada penyelesaian.
4. Metode penghitungan pilihan.
Dalam metode pencacahan pilihan, perlu memperhatikan tanda-tanda pembagian bilangan dan mempertimbangkan semua kemungkinan pilihan untuk persamaan pencacahan akhir. Cara ini dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan berikut:
№1 Tentukan himpunan semua pasangan bilangan asli yang merupakan penyelesaian persamaan 49x+69y=602
Kita nyatakan dari persamaan x =,
Karena x dan y bilangan asli, maka x = ≥ 1, kalikan seluruh persamaan dengan 49 untuk menghilangkan penyebutnya:
Pindahkan 602 ke kiri:
51y ≤ 553, nyatakan y, y= 10
Pencarian opsi secara lengkap menunjukkan bahwa solusi alami persamaan tersebut adalah x=5, y=7.
Jawaban:(5.7).-
№2 Selesaikan masalahnya
Dari angka 2, 4, 7, Anda harus membuat angka tiga digit yang tidak ada satu digit pun yang dapat diulang lebih dari dua kali.
Mari kita cari bilangan ketiga angka yang diawali dengan angka 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - ada 8.
Demikian pula, kita menemukan bilangan tiga digit yang dimulai dengan angka 4 dan 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).
(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - masing-masing juga ada 8 angka. Ini baru tanggal 24.
Jawaban: tanggal 24.
5. Pecahan lanjutan dan algoritma Euclidean
Pecahan lanjutan merupakan bentuk pecahan biasa
dimana q 1 adalah bilangan bulat, dan q 2, ..., qn adalah bilangan asli. Ungkapan ini disebut pecahan lanjutan (lanjutan terbatas). Ada pecahan lanjutan yang berhingga dan tak terhingga.
Untuk bilangan rasional, pecahan lanjutan mempunyai bentuk berhingga. Selain itu, barisan a i adalah barisan hasil bagi yang diperoleh dengan menerapkan algoritma Euclidean pada pembilang dan penyebut suatu pecahan.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan lanjutan, saya menyusun algoritma umum untuk metode penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat.
Algoritma
1) Tuliskan perbandingan koefisien-koefisien yang tidak diketahui dalam bentuk pecahan
2) Ubahlah persamaan tersebut menjadi pecahan biasa
3) Pilih seluruh bagian dari pecahan biasa
4) Gantikan pecahan biasa dengan pecahan yang sama
5) Lakukan 3.4 dengan hasil pecahan biasa pada penyebutnya
6) Ulangi 5 hingga hasil akhir
7) Dalam ekspresi yang dihasilkan, buang tautan terakhir dari pecahan lanjutan, ubah pecahan lanjutan baru yang dihasilkan menjadi pecahan sederhana dan kurangi dari pecahan aslinya.
Contoh№1 Selesaikan persamaan 127x- 52y+ 1 = 0 dalam bilangan bulat
Mari kita ubah rasio koefisien yang tidak diketahui.
Pertama-tama, mari kita pilih seluruh bagian dari pecahan biasa; = 2 +
Kita mengganti pecahan biasa dengan pecahan yang sama.
Dari = 2+
Mari kita lakukan transformasi yang sama dengan pecahan biasa yang diperoleh penyebutnya.
Sekarang pecahan aslinya akan berbentuk: . Mengulangi alasan yang sama untuk pecahan yang kita peroleh. Mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa, kita sampai pada hasil akhir:
Kami telah memperoleh ekspresi yang disebut pecahan lanjutan berhingga. Setelah membuang tautan terakhir dari pecahan lanjutan ini - seperlima, kami mengubah pecahan lanjutan baru yang dihasilkan menjadi pecahan sederhana dan menguranginya dari pecahan aslinya:
Mari kita kurangi ekspresi yang dihasilkan menjadi penyebut yang sama dan buang.
Dari mana 127∙9-52∙22+1=0 berasal. Dari membandingkan persamaan yang dihasilkan dengan persamaan 127x- 52y+1 = 0 maka x= 9, y= 22 adalah penyelesaian persamaan awal, dan menurut teorema, semua penyelesaiannya akan terdapat dalam perkembangan x = 9+ 52t, y= 22+ 127t , dimana t=(0; ±1; ±2…..) Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dalam kasus umum, untuk mencari solusi persamaan ax+by+c= 0, perlu untuk memperluas rasio koefisien yang tidak diketahui menjadi pecahan lanjutan, membuang tautan terakhirnya dan melakukan perhitungan serupa dengan yang diberikan di atas.
Untuk membuktikan asumsi ini, kita memerlukan beberapa sifat pecahan lanjutan.
Mari kita pertimbangkan pecahan yang tidak dapat direduksi. Mari kita nyatakan dengan q 1 hasil bagi dan dengan r 2 sisa pembagian a dengan b. Kemudian kita mendapatkan:
Maka b=q 2 r 2 +r 3 ,
Serupa
r 2 =q 3 r 3 +r 4 , ;
r 3 =q 4 r 4 +r 5 ,;
………………………………..
Besaran q 1, q 2,... disebut hasil bagi tidak lengkap. Proses pembentukan hasil bagi tidak lengkap di atas disebut Algoritma Euclidean. Sisa pembagian r 2 , r 3 ,…memenuhi pertidaksamaan
itu. membentuk serangkaian bilangan non-negatif yang menurun.
Contoh No. 2 Selesaikan persamaan 170x+190y=3000 dalam bilangan bulat
Setelah dikurangi 10 persamaannya menjadi seperti ini:
Untuk mencari solusi tertentu, kita menggunakan penguraian suatu pecahan menjadi pecahan lanjutan
Dengan cara menciutkan pecahan kedua dari belakang yang cocok menjadi pecahan biasa
Solusi khusus untuk persamaan ini memiliki bentuk
X 0 = (-1)4300∙9=2700, y 0 =(-1)5300∙8=-2400,
dan yang umum diberikan oleh rumus
x=2700-19k, y= -2400+17k.
dari situ kita memperoleh kondisi untuk parameter k
Itu. k=142, x=2, y=14. .
6. Metode faktorisasi
Metode enumerasi opsi adalah metode yang merepotkan, karena ada kalanya tidak mungkin menemukan solusi lengkap dengan enumerasi, karena jumlah solusi tersebut tidak terbatas. Metode faktorisasi adalah teknik yang sangat menarik dan ditemukan baik dalam matematika dasar maupun tinggi.
Intinya adalah transformasi identitas. Arti dari setiap transformasi identik adalah menulis ekspresi dalam bentuk yang berbeda dengan tetap menjaga esensinya. Mari kita lihat contoh penggunaan metode ini.
№1 Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat y 3 - X 3 = 91.
Dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, kita memfaktorkan ruas kanan persamaan:
(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91
Kita tuliskan semua pembagi bilangan 91 : ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
Kami mencatat bahwa untuk bilangan bulat apa pun x dan y nomornya
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,
oleh karena itu, kedua faktor di ruas kiri persamaan harus positif. Maka persamaan aslinya ekuivalen dengan himpunan sistem persamaan:
Setelah menyelesaikan sistem, kami memilih akar-akar yang bilangan bulat.
Kami memperoleh solusi persamaan asli: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).
Jawaban: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
№2 Temukan semua pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan x 2 -y 2 = 69
Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dan tulis persamaannya dalam bentuk
Karena Pembagi bilangan 69 adalah bilangan 1, 3, 23 dan 69, maka 69 dapat diperoleh dengan dua cara yaitu 69=1·69 dan 69=3·23. Mengingat x-y > 0, kita memperoleh dua sistem persamaan, dengan penyelesaiannya kita dapat menemukan bilangan-bilangan yang diperlukan:
Dengan menyatakan satu variabel dan mensubstitusikannya ke persamaan kedua, kita mencari akar persamaannya.Sistem pertama mempunyai solusi x=35;y=34, dan sistem kedua memiliki solusi x=13, y=10.
Jawaban: (35; 34), (13; 10).
№3 Selesaikan persamaan x + y = xy dalam bilangan bulat:
Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk
Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan tersebut. Kita mendapatkan
Hasil kali dua bilangan bulat hanya dapat sama dengan 1 dalam dua kasus: jika keduanya sama dengan 1 atau -1. Kami mendapatkan dua sistem:
Sistem pertama mempunyai penyelesaian x=2, y=2, dan sistem kedua mempunyai penyelesaian x=0, y=0 Jawaban: (2; 2), (0; 0).
№4 Buktikan bahwa persamaan (x - y) 3 + (kamu - z) 3 + (z - x) 3 = 30 tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dan membagi kedua ruas persamaan dengan 3, sehingga menghasilkan persamaan berikut:
(x - y)(y - z)(z - x) = 10
Pembagi 10 adalah bilangan ±1, ±2, ±5, ±10. Perhatikan juga bahwa jumlah faktor-faktor di ruas kiri persamaan sama dengan 0. Mudah untuk memeriksa bahwa jumlah tiga bilangan apa pun dari himpunan pembagi bilangan 10, yang menghasilkan hasil kali 10, tidak akan sama dengan 0. Akibatnya, persamaan awal tidak memiliki solusi bilangan bulat.
7. Metode sisa
Tugas utama metode ini adalah mencari sisa pembagian kedua ruas persamaan dengan bilangan bulat, berdasarkan hasil yang diperoleh. Seringkali informasi yang diperoleh mengurangi kemungkinan himpunan solusi untuk persamaan tersebut. Mari kita lihat contohnya:
№1 Buktikan bahwa persamaan x 2 = 3y + 2 tidak mempunyai solusi bilangan bulat.
Bukti.
Pertimbangkan kasus ketika x, y ∈ N. Pertimbangkan sisa ketika kedua ruas dibagi 3. Ruas kanan persamaan memberikan sisa 2 jika dibagi 3 untuk setiap nilai y. Ruas kiri, yaitu kuadrat suatu bilangan asli, bila dibagi 3 selalu menghasilkan sisa 0 atau 1. Berdasarkan hal ini, kita menemukan bahwa tidak ada solusi persamaan tersebut dalam bilangan asli.
Mari kita perhatikan kasus ketika salah satu bilangannya adalah 0. Maka, jelas, tidak ada solusi dalam bilangan bulat.
Kasus ketika y adalah bilangan bulat negatif tidak mempunyai solusi, karena sisi kanan akan menjadi negatif dan sisi kiri akan menjadi positif.
Kasus x bilangan bulat negatif juga tidak mempunyai solusi, karena termasuk dalam salah satu kasus yang dipertimbangkan sebelumnya karena fakta bahwa (-x) 2 = (x) 2.
Ternyata persamaan yang ditunjukkan tidak memiliki solusi bilangan bulat, yang perlu dibuktikan.
№2 Selesaikan dengan bilangan bulat 3 X = 1 + kamu 2 .
Tidak sulit untuk menyadari bahwa (0; 0) adalah solusi persamaan ini. Masih harus dibuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar bilangan bulat lainnya.
Mari kita pertimbangkan kasusnya:
1) Jika x∈N, y∈N, maka 3 habis dibagi tiga tanpa sisa, dan 1 + y 2 bila dibagi 3 menghasilkan
sisanya adalah 1 atau 2. Oleh karena itu, persamaan alamiah
nilai x, y tidak mungkin.
2) Jika x adalah bilangan bulat negatif, y∈Z, maka 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и
kesetaraan juga tidak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, (0; 0) adalah satu-satunya
Jawaban: (0; 0).
№3 Selesaikan persamaan 2x 2 -2xy+9x+y=2 dalam bilangan bulat:
Mari kita nyatakan dari persamaan tersebut hal-hal yang tidak diketahui yang termasuk di dalamnya hanya sampai derajat pertama, yaitu variabel y:
2x 2 +9x-2=2xy-y, dari mana
Mari kita pilih seluruh bagian pecahan menggunakan aturan membagi polinomial dengan polinomial dengan “sudut”. Kita mendapatkan:
Tentunya selisih 2x-1 hanya dapat mengambil nilai -3, -1, 1 dan 3.
Masih harus melalui empat kasus ini, sebagai hasilnya kita memperoleh solusi: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
Jawaban: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
8. Contoh penyelesaian persamaan dengan dua variabel bilangan bulat sebagai kuadrat terhadap salah satu variabel
№1 Selesaikan persamaan 5x dalam bilangan bulat 2 +5у 2 + 8xy+2y-2x +2=0
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan faktorisasi, namun metode ini jika diterapkan pada persamaan ini cukup memakan waktu. Mari kita pertimbangkan cara yang lebih rasional.
Mari kita tulis persamaan dalam bentuk kuadrat terhadap variabel x:
5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0
Kami menemukan akarnya.
Persamaan ini mempunyai solusi jika dan hanya jika diskriminan
persamaan ini sama dengan nol, yaitu - 9(y+1) 2 =0, maka y= - 1.
Jika y= -1, maka x= 1.
Jawaban: (1; - 1).
9.Contoh penyelesaian masalah menggunakan persamaan bilangan bulat.
№ 1. Selesaikan persamaan bilangan asli : dimana n>m
Mari kita nyatakan variabel n melalui variabel m:
Mari kita cari pembagi bilangan 625: ini 1; 5; 25; 125; 625
1) jika m-25 =1, maka m=26, n=25+625=650
2) m-25 =5, maka m=30, n=150
3) m-25 =25, maka m=50, n=50
4) m-25 =125, maka m=150, n=30
5) m-25 =625, maka m=650, n=26
Jawaban: m=150, n=30
№ 2. Selesaikan persamaan bilangan asli: mn +25 = 4m
Penyelesaian: mn +25 = 4m
1) nyatakan variabel 4m dalam n:
2) temukan pembagi alami dari bilangan 25: ini adalah 1; 5; 25
jika 4-n =1, maka n=3, m=25
4-n=5, maka n=-1, m=5; 4-n =25, maka n=-21, m=1 (akar asing)
Jawaban: (25;3)
Selain tugas menyelesaikan persamaan bilangan bulat, ada tugas untuk membuktikan fakta bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar bilangan bulat.
Saat memecahkan masalah seperti itu, perlu diingat sifat-sifat keterbagian berikut:
1) Jika n Z; n habis dibagi 2, maka n = 2k, k ∈ Z.
2) Jika n ∈ Z; n tidak habis dibagi 2, maka n = 2k+1, k ∈ Z.
3) Jika n ∈ Z; n habis dibagi 3, maka n = 3k, k ∈ Z.
4) Jika n ∈ Z; n tidak habis dibagi 3, maka n = 3k±1, k ∈ Z.
5) Jika n ∈ Z; n tidak habis dibagi 4, maka n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.
6) Jika n ∈ Z; n(n+1) habis dibagi 2, maka n (n+1)(n+2) habis dibagi 2;3;6.
7) n; n+1 relatif prima.
№3 Buktikan bahwa persamaan x 2 - 3y = 17 tidak memiliki solusi bilangan bulat.
Bukti:
Misalkan x; y - solusi persamaan
x 2 = 3(y+6)-1 Karena. y ∈ Z maka y+6 ∈ Z, artinya 3(y+6) habis dibagi 3, maka 3(y+6)-1 tidak habis dibagi 3, maka x 2 tidak habis dibagi 3, maka , x tidak habis dibagi 3, artinya x = 3k±1, k ∈ Z.
Mari kita substitusikan ini ke persamaan aslinya.
Kami mendapat kontradiksi. Artinya, persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian menyeluruh, sehingga perlu dibuktikan.
10.rumus pica
Rumus Pieck ditemukan oleh ahli matematika Austria Georg Pieck pada tahun 1899. Rumusnya terkait dengan persamaan bilangan bulat dimana hanya simpul bilangan bulat yang diambil dari poligon, sama seperti bilangan bulat dalam persamaan.
Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat mencari luas bangun yang dibuat pada selembar kertas dalam sangkar (segitiga, persegi, trapesium, persegi panjang, poligon).
Dalam rumus ini kita akan menemukan titik bilangan bulat di dalam poligon dan di perbatasannya.
Dalam soal-soal yang akan ada pada Ujian Negara Terpadu terdapat sekelompok tugas yang diberikan sebuah poligon, dibuat di atas selembar kertas berbentuk persegi, dan soal mencari luasnya. Skala sel adalah satu sentimeter persegi.
Contoh No.1
M - jumlah titik pada batas segitiga (pada sisi dan simpul)
N adalah jumlah node di dalam segitiga.
*Yang kami maksud dengan “simpul” adalah perpotongan garis. Mari kita cari luas segitiga:
Mari kita tandai nodenya:
M = 15 (ditunjukkan dengan warna merah)
N=34 (berwarna biru)
Contoh No.2
Mari kita cari luas poligon: Tandai titik-titiknya:
M = 14 (ditunjukkan dengan warna merah)
N=43 (berwarna biru)
12.Metode keturunan
Salah satu metode penyelesaian persamaan bilangan bulat - metode penurunan - didasarkan pada teorema Fermat.
Metode keturunan adalah metode yang terdiri dari membangun satu solusi untuk barisan solusi tak hingga dengan z positif yang menurun tak terhingga.
Mari kita pertimbangkan algoritma metode ini menggunakan contoh penyelesaian persamaan tertentu.
Contoh 1. Selesaikan persamaan bilangan bulat 5x + 8y = 39.
1) Mari kita pilih bilangan tak diketahui yang mempunyai koefisien terkecil (dalam kasus kita x), dan nyatakan melalui bilangan tak diketahui lainnya:
2) Mari kita pilih bagian bilangan bulat: Jelasnya, x akan menjadi bilangan bulat jika ekspresi tersebut ternyata bilangan bulat, yang selanjutnya akan terjadi jika bilangan 4 - 3y habis dibagi 5 tanpa sisa.
3) Mari kita perkenalkan variabel bilangan bulat tambahan z sebagai berikut: 4 -3y = 5z. Hasilnya, kita memperoleh persamaan yang tipenya sama dengan persamaan aslinya, tetapi dengan koefisien yang lebih kecil.
4) Kita menyelesaikannya terhadap variabel y, dengan alasan persis seperti pada poin 1, 2: Dengan memilih seluruh bagian, kita memperoleh:
5) Dengan alasan yang mirip dengan argumen sebelumnya, kami memperkenalkan variabel baru u: 3u = 1 - 2z.
6) Nyatakan yang tidak diketahui dengan koefisien terkecil, dalam hal ini variabel z: . Dengan syarat bilangan bulat, kita peroleh: 1 - u = 2v, sehingga u = 1 - 2v. Tidak ada pecahan lagi, penurunan selesai (kita lanjutkan proses hingga tidak ada pecahan lagi dalam ekspresi untuk variabel berikutnya).
7) Sekarang Anda perlu “naik”. Mari kita ekspresikan melalui variabel v terlebih dahulu z, lalu y dan kemudian x:
8) Rumus x = 3+8v dan y = 3 - 5v, dengan v adalah bilangan bulat sembarang, mewakili solusi umum persamaan awal dalam bilangan bulat.
Jadi, metode penurunan pertama-tama melibatkan ekspresi satu variabel secara berurutan ke dalam variabel lain hingga tidak ada pecahan yang tersisa dalam representasi variabel, dan kemudian “naik” secara berurutan sepanjang rantai persamaan untuk mendapatkan solusi umum persamaan tersebut.
12.Kesimpulan
Dari hasil penelitian, hipotesis terkonfirmasi bahwa kesulitan dalam menyelesaikan persamaan bilangan bulat disebabkan oleh kenyataan bahwa tidak semua metode penyelesaiannya saya ketahui. Selama penelitian saya, saya dapat menemukan dan mendeskripsikan metode yang kurang diketahui untuk menyelesaikan persamaan bilangan bulat, dan mengilustrasikannya dengan contoh. Hasil penelitian saya dapat bermanfaat bagi semua siswa yang tertarik pada matematika.
13.Bibliografi
Sumber daya buku:
1. N. Ya.Vilenkin et al., Aljabar dan analisis matematika / kelas 10, kelas 11 // M., “Enlightenment”, 1998;
2. A.F. Ivanov dkk., Matematika. Materi pendidikan dan pelatihan untuk persiapan ujian // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007
3. A. O. Gelfond, Matematika, teori bilangan // Menyelesaikan persamaan bilangan bulat // Rumah Buku LIBROKOM
Sumber daya internet:
4. Versi demonstrasi bahan ukur kontrol ujian negara terpadu dalam matematika http://fipi.ru/
5. Contoh penyelesaian persamaan bilangan bulat http://reshuege.ru
6. Contoh penyelesaian persamaan bilangan bulat http://mat-ege.ru
7. Sejarah persamaan Diophantine http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html
8. Sejarah Diophantus http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm
9. Sejarah persamaan Diophantine http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html
10. Sejarah Diophantus http://www.studfiles.ru/preview/4518769/
Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat.
Persamaan tak tentu adalah persamaan yang mengandung lebih dari satu persamaan yang tidak diketahui. Yang kami maksud dengan satu solusi persamaan tak tentu adalah himpunan nilai-nilai yang tidak diketahui yang mengubah persamaan yang diberikan menjadi persamaan yang benar.
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk bilangan bulat ah + oleh = C , Di mana A, B , C - bilangan bulat selain nol, kami menyajikan sejumlah ketentuan teoretis yang memungkinkan kami menetapkan aturan keputusan. Ketentuan ini juga didasarkan pada fakta-fakta yang sudah diketahui tentang teori keterbagian.
Teorema 1.Jika gcd (A, B ) = D , lalu ada bilangan bulat seperti itu X Dan pada, bahwa kesetaraan berlaku ah + B kamu = D . (Persamaan ini disebut kombinasi linier atau representasi linier dari pembagi persekutuan terbesar dua bilangan berdasarkan bilangan itu sendiri.)
Pembuktian teorema ini didasarkan pada penggunaan persamaan algoritma Euclidean untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan (pembagi persekutuan terbesar dinyatakan dalam hasil bagi parsial dan sisa, dimulai dari persamaan terakhir dalam algoritma Euclidean).
Contoh.
Temukan representasi linier dari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 1232 dan 1672.
Larutan.
1. Mari kita buat persamaan dari algoritma Euclidean:
1672 = 1232 ∙1 + 440,
1232 = 440 ∙ 2 + 352,
440 = 352 ∙ 1 + 88,
352 = 88 ∙ 4, mis. (1672.352) = 88.
2) Mari kita nyatakan 88 secara berurutan melalui hasil bagi dan sisa yang tidak lengkap, dengan menggunakan persamaan yang diperoleh di atas, dimulai dari akhir:
88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, mis. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).
Teorema 2. Jika persamaannya ah + B kamu = 1 , jika gcd (A, B ) = 1 , cukup membayangkan jumlahnya 1 sebagai kombinasi linier angka a dan B.
Validitas teorema ini mengikuti Teorema 1. Jadi, untuk mencari solusi bilangan bulat tunggal dari persamaan tersebut ah + B kamu = 1, jika gcd (a, b) = 1, bilangan 1 cukup direpresentasikan sebagai kombinasi bilangan linier A Dan V .
Contoh.
Temukan solusi bilangan bulat dari persamaan 15x + 37y = 1.
Larutan.
1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,
15 = 7 ∙ 2 + 1.
2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),
Teorema 3. Jika dalam Persamaan. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 Dan Dengan tidak habis dibagi D , maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi bilangan bulat.
Untuk membuktikan teorema tersebut, cukup dengan asumsi sebaliknya.
Contoh.
Temukan solusi bilangan bulat dari persamaan 16x - 34y = 7.
Larutan.
(16.34)=2; 7 tidak habis dibagi 2, persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat
Teorema 4. Jika dalam Persamaan. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 dan c D , maka itu benar
Saat membuktikan teorema, harus ditunjukkan bahwa solusi bilangan bulat sembarang persamaan pertama juga merupakan solusi persamaan kedua dan sebaliknya.
Teorema 5. Jika dalam Persamaan. ah + B y = c gcd(a, B ) = 1, maka semua solusi bilangan bulat persamaan ini terkandung dalam rumus:
T – bilangan bulat apa pun.
Saat membuktikan teorema, harus ditunjukkan, pertama, bahwa rumus di atas benar-benar memberikan solusi terhadap persamaan ini dan, kedua, bahwa rumus di atas memuat solusi bilangan bulat sembarang untuk persamaan ini.
Teorema di atas memungkinkan kita untuk menetapkan aturan berikut untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat ah+ B y = c gcd(a, B ) = 1:
1) Solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut ditemukan ah + B kamu = 1 dengan mewakili 1 sebagai kombinasi angka linier A DanB (ada cara lain untuk mencari solusi lengkap persamaan ini, misalnya menggunakan pecahan lanjutan);
Rumus umum untuk solusi bilangan bulat dari soal yang diberikanMemberi T nilai bilangan bulat tertentu, Anda dapat memperoleh solusi parsial untuk persamaan ini: nilai absolut terkecil, positif terkecil (jika mungkin), dll.
Contoh.
Temukan solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut 407x - 2816 tahun = 33.
Larutan.
1. Kita sederhanakan persamaan ini menjadi 37x - 256y = 3.
2. Selesaikan persamaan 37x - 256y = 1.
256 = 37∙ 6 + 34,
37 = 34 ∙1 + 3,
34 = 3 ∙11 + 1.
1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =
37∙(-83) - 256∙(-12),
3. Gambaran umum semua solusi bilangan bulat dari persamaan ini:
x = -83∙3 - 256 ton = -249 - 256 ton,
y = -12∙3 - 37t = -36 - 37t.
Metode pencacahan menyeluruh dari semua kemungkinan nilai variabel,
termasuk dalam persamaan.
Tentukan himpunan semua pasangan bilangan asli yang merupakan solusi persamaan 49x + 51y = 602.
Larutan:
Mari kita nyatakan variabel x dari persamaan melalui y x =, karena x dan y adalah bilangan asli, maka x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.
Pencarian opsi secara lengkap menunjukkan bahwa solusi alami persamaan tersebut adalah x=5, y=7.
Jawaban: (5;7).
Menyelesaikan persamaan menggunakan metode faktorisasi.
Diophantus, bersama dengan persamaan linier, menganggap persamaan tak tentu kuadrat dan kubik. Memecahkannya biasanya sulit.
Mari kita pertimbangkan kasus di mana rumus selisih kuadrat atau metode faktorisasi lainnya dapat diterapkan pada persamaan.
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 23 = y 2
Larutan:
Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23
Karena x dan y adalah bilangan bulat dan 23 adalah bilangan prima, maka kasus berikut mungkin terjadi:
Memecahkan sistem yang dihasilkan, kami menemukan:
(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)
Menyatakan satu variabel dalam variabel lain dan mengisolasi seluruh bagian pecahan.
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + xy – y – 2 = 0.
Larutan:
Mari kita nyatakan y melalui x dari persamaan ini:
kamu(x - 1) =2 - x 2,
Pendekatan penulis terhadap topik ini bukanlah suatu kebetulan. Persamaan dengan dua variabel pertama kali ditemui pada mata pelajaran kelas 7. Satu persamaan dengan dua variabel mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga. Hal ini ditunjukkan dengan jelas oleh grafik fungsi linier, yang diberikan sebagai ax + by=c. Dalam kursus sekolah, siswa mempelajari sistem dua persamaan dengan dua variabel. Akibatnya, serangkaian masalah dengan kondisi terbatas pada koefisien persamaan, serta metode penyelesaiannya, tidak lagi terlihat oleh guru dan, oleh karena itu, siswa.
Kita berbicara tentang menyelesaikan persamaan dengan dua bilangan bulat atau bilangan asli yang tidak diketahui.
Di sekolah, bilangan asli dan bilangan bulat dipelajari di kelas 4-6. Pada saat mereka lulus sekolah, tidak semua siswa mengingat perbedaan himpunan angka-angka tersebut.
Namun, permasalahan seperti “menyelesaikan persamaan bentuk ax + by=c dalam bilangan bulat” semakin banyak ditemukan pada ujian masuk universitas dan materi Unified State Examination.
Memecahkan persamaan yang tidak pasti mengembangkan pemikiran logis, kecerdasan, dan perhatian terhadap analisis.
Saya mengusulkan untuk mengembangkan beberapa pelajaran tentang topik ini. Saya tidak memiliki rekomendasi yang jelas mengenai waktu pelajaran ini. Beberapa elemen juga dapat digunakan di kelas 7 (untuk kelas kuat). Pelajaran ini dapat dijadikan dasar dan dikembangkan mata kuliah pilihan kecil tentang pelatihan pra-kejuruan di kelas 9. Dan tentunya materi ini dapat digunakan di kelas 10-11 untuk persiapan ujian.
Tujuan pelajaran:
- pengulangan dan generalisasi pengetahuan pada topik “Persamaan orde pertama dan kedua”
- menumbuhkan minat kognitif pada subjek
- mengembangkan kemampuan menganalisis, membuat generalisasi, mentransfer pengetahuan ke situasi baru
Pelajaran 1.
Selama kelas.
1) Organisasi. momen.
2) Memperbarui pengetahuan dasar.
Definisi. Persamaan linier dua variabel merupakan persamaan bentuk
mx + ny = k, dimana m, n, k adalah bilangan, x, y adalah variabel.
Contoh: 5x+2y=10
Definisi. Penyelesaian persamaan dua variabel adalah sepasang nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang sebenarnya.
Persamaan dua variabel yang penyelesaiannya sama disebut ekuivalen.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Persamaan ini dapat memiliki sejumlah solusi. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil nilai x apa pun dan menemukan nilai y yang sesuai.
Misalkan x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Pasangan angka (2;1); (4;-4) – solusi persamaan (1).
Persamaan ini mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.
3) Latar belakang sejarah
Persamaan tak tentu (Diophantine) adalah persamaan yang mengandung lebih dari satu variabel.
Pada abad ke-3. IKLAN – Diophantus dari Alexandria menulis “Aritmatika”, di mana ia memperluas himpunan bilangan menjadi bilangan rasional dan memperkenalkan simbolisme aljabar.
Diophantus juga mempertimbangkan masalah penyelesaian persamaan tak tentu dan dia memberikan metode untuk menyelesaikan persamaan tak tentu derajat kedua dan ketiga.
4) Mempelajari materi baru.
Definisi: Persamaan Diophantine tak homogen orde satu dengan dua bilangan tak diketahui x, y adalah persamaan berbentuk mx + ny = k, dimana m, n, k, x, y Z k0
Pernyataan 1.
Jika suku bebas k pada persamaan (1) tidak habis dibagi pembagi persekutuan terbesar (PBB) dari bilangan m dan n, maka persamaan (1) tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat.
Contoh: 34x – 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 tidak habis dibagi 17, tidak ada penyelesaian dalam bilangan bulat.
Misalkan k dibagi dengan gcd (m, n). Dengan membagi seluruh koefisien, kita dapat memastikan bahwa m dan n menjadi relatif prima.
Pernyataan 2.
Jika m dan n persamaan (1) relatif merupakan bilangan prima, maka persamaan tersebut mempunyai paling sedikit satu solusi.
Pernyataan 3.
Jika koefisien m dan n persamaan (1) adalah bilangan koprima, maka persamaan ini mempunyai banyak solusi yang tak terhingga:
Dimana (; ) adalah solusi persamaan (1), t Z
Definisi. Persamaan Diophantine homogen orde pertama dengan dua x, y yang tidak diketahui adalah persamaan berbentuk mx + ny = 0, dimana (2)
Pernyataan 4.
Jika m dan n adalah bilangan koprima, maka penyelesaian persamaan (2) mempunyai bentuk 
5) Pekerjaan rumah. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:
- 9x – 18 tahun = 5
- x + kamu= xy
- Beberapa anak sedang memetik apel. Setiap anak laki-laki mengumpulkan 21 kg, dan anak perempuan mengumpulkan 15 kg. Total mereka mengumpulkan 174 kg. Berapa banyak anak laki-laki dan berapa banyak anak perempuan yang memetik apel?
Komentar. Pelajaran ini tidak memberikan contoh penyelesaian persamaan bilangan bulat. Oleh karena itu, anak menyelesaikan pekerjaan rumah berdasarkan pernyataan 1 dan seleksi.
Pelajaran 2.
1) Momen organisasi
2) Memeriksa pekerjaan rumah
1) 9x – 18 tahun = 5
5 tidak habis dibagi 9; tidak ada solusi dalam bilangan bulat.
Dengan menggunakan metode seleksi Anda dapat menemukan solusinya
Jawaban: (0;0), (2;2)
3) Mari kita buat persamaan:
Misalkan anak laki-laki adalah x, x Z, dan anak perempuan adalah y, y Z, maka kita dapat membuat persamaan 21x + 15y = 174
Banyak siswa, setelah menulis persamaan, tidak dapat menyelesaikannya.
Jawaban: 4 laki-laki, 6 perempuan.
3) Mempelajari materi baru
Setelah mengalami kesulitan dalam menyelesaikan pekerjaan rumah, siswa yakin akan perlunya mempelajari metode mereka untuk menyelesaikan persamaan tak tentu. Mari kita lihat beberapa di antaranya.
I. Metode menghitung sisa pembagian.
Contoh. Selesaikan persamaan bilangan bulat 3x – 4y = 1.
Ruas kiri persamaan habis dibagi 3, oleh karena itu ruas kanan harus habis dibagi. Mari kita pertimbangkan tiga kasus.
Jawaban: dimana m Z.
Metode yang dijelaskan mudah digunakan jika bilangan m dan n tidak kecil, tetapi dapat didekomposisi menjadi faktor sederhana.
Contoh: Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat.
Misalkan y = 4n, maka 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) dibagi 4.
y = 4n+1, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n tidak habis dibagi 4.
y = 4n+2, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n tidak habis dibagi 4.
y = 4n+3, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n tidak habis dibagi 4.
Oleh karena itu y = 4n, maka
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Menjawab: , dimana n Z.
II. Persamaan tak tentu derajat 2
Hari ini dalam pelajaran kita hanya akan membahas solusi persamaan Diophantine orde kedua.
Dan dari semua jenis persamaan, kita akan mempertimbangkan kasus ketika kita dapat menerapkan rumus selisih kuadrat atau metode faktorisasi lainnya.
Contoh: Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat.
13 adalah bilangan prima, sehingga hanya dapat difaktorkan dengan empat cara: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Mari kita pertimbangkan kasus-kasus ini
Jawaban: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Pekerjaan rumah.
Contoh. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:
(x - kamu)(x + kamu)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| kamu = 0 | tidak cocok | tidak cocok |
| 2x = -4 | tidak cocok | tidak cocok |
| x = -2 | ||
| kamu = 0 |
Jawaban: (-2;0), (2;0).
Jawaban: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Jawaban: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Hasil. Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan bilangan bulat?
Metode penyelesaian persamaan tak tentu apa yang Anda ketahui?
Aplikasi:
Latihan untuk pelatihan.
1) Selesaikan dalam bilangan bulat.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x – 11 tahun = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40 tahun = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Temukan solusi bilangan bulat non-negatif dari persamaan tersebut.
(1 peringkat, rata-rata: 5,00 dari 5) 
Memuat...
