Мощность выделяющаяся в электрической цепи. Примеры решения задач

Мощность определяется по формуле

где P об -полная мощность, развиваемая источником тока во всей цепи, вт;

Е- э. д. с. источника, в;

I-величина тока в цепи, а.

В общем виде электрическая цепь состоит из внешнего участка (нагрузки) с сопротивлением R и внутреннего участка с сопротивлением R 0 (сопротивлением источника тока).

Заменяя в выражении полной мощности величину э. д. с. через напряжения на участках цепи, получим

Величина UI соответствует мощности, развиваемой на внешнем участке цепи (нагрузке), и называется полезной мощностью P пол =UI.

Величина U o I соответствует мощности, бесполезно расходуемой внутри источника, Ее называют мощностью потерь P o =U o I.

Таким образом, полная мощность равна сумме полезной мощности и мощности потерь P об =P пол +P 0.

Отношение полезной мощности к полной мощности, развиваемой источником, называется коэффициентом полезного действия, сокращенно к. п. д.,и обозначается η.

Из определения следует

При любых условиях коэффициент полезного действия η ≤ 1.

Если выразить мощности через величину тока и сопротивления участков цепи, получим

Таким образом, к. п. д. зависит от соотношения между внутренним сопротивлением источника и сопротивлением потребителя.

Обычно электрический к. п. д. принято выражать в процентах.

Для практической электротехники особый интерес представляют два вопроса:

1. Условие получения наибольшей полезной мощности

2. Условие получения наибольшего к. п. д.

Условие получения наибольшей полезной мощности (мощности в нагрузке)

Наибольшую полезную мощность(мощность на нагрузке) электрический ток развивает в том случае, если сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника тока.

Эта наибольшая мощность равна половине всей мощности (50%) развиваемой источником тока во всей цепи.

Половина мощности развивается на нагрузке и половина развивается на внутреннем сопротивлении источника тока.

Если будем уменьшать сопротивление нагрузки, то мощность развиваемая на нагрузке будет уменьшаться а мощность развиваемая на внутреннем сопротивлении источника тока будет увеличиваться.

Если сопротивление нагрузки равно нулю то ток в цепи будет максимальным, это режим короткого замыкания (КЗ) . Почти вся мощность будет развивается на внутреннем сопротивлении источника тока. Этот режим опасен для источника тока а также для всей цепи.

Если сопротивление нагрузки будем увеличивать, то ток в цепи будет уменьшатся, мощность на нагрузке также будет уменьшатся. При очень большом сопротивлении нагрузки тока в цепи вообще не будет. Это сопротивление называется бесконечно большим. Если цепь разомкнута то ее сопротивление бесконечно большое. Такой режим называется режимом холостого хода.

Таким образом, в режимах, близких к короткому замыканию и к холостому ходу, полезная мощность мала в первом случае за счет малой величины напряжения, а во втором за счет малой величины тока.

Условие получения наибольшего к. п. д коэффициента полезного действия

Коэффициент полезного действия (к. п. д.) равен 100% при холостом ходе (в этом случае полезная мощность не выделяется, но в то же время и не затрачивается мощность источника).

По мере увеличения тока нагрузки к. п. д. уменьшается по прямолинейному закону.

В режиме короткого замыкания к. п. д. равен нулю (полезной мощности нет, а мощность развиваемая источником, полностью расходуется внутри него).

Подводя итоги вышеизложенному, можно сделать выводы.

Условие получения максимальной полезной мощности(R=R 0) и условие получения максимального к. п. д. (R=∞) не совпадают. Более того, при получении от источника максимальной полезной мощности (режим согласованной нагрузки) к. п. д.составляет 50%, т.е. половина развиваемой источником мощности бесполезно затрачивается внутри него.

В мощных электрических установках режим согласованной нагрузки является неприемлемым, так как при этом происходит бесполезная затрата больших мощностей. Поэтому для электрических станций и подстанций режимы работы генераторов, трансформаторов, выпрямителей рассчитываются так, чтобы обеспечивался высокий к. п. д. (90% и более).

Иначе обстоит дело в технике слабых токов. Возьмем, например, телефонный аппарат. При разговоре перед микрофоном в схеме аппарата создается электрический сигнал мощностью около 2 мвт. Очевидно, что для получения наибольшей дальности связи необходимо передать в линию как можно большую мощность, а для этого требуется выполнить режим согласованного включения нагрузки. Имеет ли в данном случае существенное значение к. п. д.? Конечно нет, так как потери энергии исчисляются долями или единицами милливатт.

Режим согласованной нагрузки применяется в радиоаппаратуре. В том случае, когда согласованный режим при непосредственном соединении генератора и нагрузки не обеспечивается, применяют меры согласования их сопротивлений.

Потери мощности

Мощность цепи, имеющей только активные сопротивления, называется активной мощностью Р. Ее вычисляют, как обычно, по одной из следующих формул:

Активная мощность характеризует безвозвратный (необратимый) расход энергии тока.

В цепях переменного тока имеется гораздо больше причин, вызывающих безвозвратные потери энергии, нежели в цепях постоянного тока. Эти причины следующие:

1. Нагрев провода током . Для постоянного тока нагрев является почти единственным видом потерь энергии. А для переменного тока, одинакового по значению с постоянным током, потери энергии на нагрев провода больше вследствие возрастания сопротивления провода за счет поверхностного эффекта. Чем выше частота тока, тем больше сказывается поверхностный эффект и тем больше потери на нагрев провода.

2. Потери на создание вихревых токов, иначе называемых токами Фуко . Эти токи индуктируются во всех металлических телах, находящихся в магнитном поле, образованном переменным током. От действия вихревых токов металлические тела нагреваются. Особенно значительные потери на вихревые токи могут наблюдаться в стальных сердечниках. Потери энергии на создание вихревых токов растут с повышением частоты.

3. Потери на магнитный гистерезис . Под влиянием переменного магнитного поля ферромагнитные сердечники перемагничиваются. При этом возникает взаимное трение частиц сердечника, в результате которого сердечник нагревается. С повышением частоты потери на магнитный гистерезис увеличиваются.

4. Потери в твердых или жидких диэлектриках . В таких диэлектриках переменное электрическое поле вызывает поляризацию молекул, т. е. на противоположных сторонах молекул возникают равные по значению, но разные по знаку заряды. Поляризованные молекулы под действием поля поворачиваются и при этом испытывают взаимное трение. За счет него диэлектрик нагревается. При повышении частоты его потери возрастают.

5. Потери на утечку в изоляции . Применяемые изоляционные вещества не являются идеальными диэлектриками и в них наблюдаются токи утечки. Иначе говоря, сопротивление изоляции хотя и очень велико, но не равно бесконечности. Этот вид потерь существует и на постоянном токе. При высоких напряжениях возможно даже стекание зарядов в воздух, окружающий провод.

6. Потери на излучение электромагнитных волн . Всякий провод с переменным током излучает электромагнитные волны, причем с возрастанием частоты энергия излучаемых волн резко увеличивается (пропорционально квадрату частоты). Электромагнитные волны безвозвратно уходят от провода, и поэтому расход энергии на излучение волн эквивалентен потерям в некотором активном сопротивлении. В антеннах радиопередатчиков этот вид потерь является полезным расходом энергии.

7. Потери на переход энергии в другие цепи . Вследствие явления электромагнитной индукции часть энергии переменного тока переходит из одной цепи в другую, расположенную рядом. В некоторых случаях, например, в трансформаторах, такой переход энергии полезен.

Активное сопротивление цепи переменного тока учитывает все перечисленные виды безвозвратных потерь энергии . Для последовательной цепи можно определить активное сопротивление как отношение активной мощности , т. е. мощности всех потерь к квадрату тока:

Таким образом, при данном токе активное сопротивление цепи тем больше, чем больше активная мощность, т. е. чем значительнее общие потери энергии.

Мощность в участке цепи с индуктивным сопротивлением называется реактивной мощностью Q . Она характеризует реактивную энергию, т. е. энергию, не расходующуюся безвозвратно, а лишь временно запасающуюся в магнитном поле. Для отличия от активной мощности реактивную мощность измеряют не ваттами, а вольт-амперами реактивными (вар или var) . В связи с этим ее называли раньше безваттной.

Реактивная мощность определяется по одной из формул:

где UL - напряжение на участке с индуктивным сопротивлением xL; I - ток в этом участке.

Для последовательной цепи с активным и индуктивным сопротивлениями введено понятие полной мощности S . Она определяется произведением полного напряжения цепи U на ток I и выражается в вольт-амперах (В-А или VA)

Мощность в участке с активным сопротивлением подсчитывается по одной из приведенных выше формул или по формуле:

где φ - угол сдвига фаз между напряжением U и током I.

Множитель cosφ является коэффициентом мощности . Часто его называют «косинусом фи» . Коэффициент мощности показывает, какую долю полной мощности составляет активная мощность:

Значение cosφ может изменяться от нуля до единицы в зависимости от соотношения между активным и реактивным сопротивлением. Если в цепи имеется только одно реактивное сопротивление, то φ = 90°, cosφ = 0, Р = 0 и мощность в цепи чисто реактивная. Если же имеется только активное сопротивление, то φ = 0, cosφ = 1 и Р = S, т. е. вся мощность в цепи чисто активная.

Чем меньше cosφ, тем меньшая доля полной мощности является активной мощностью и тем больше реактивная мощность. Но работа тока, т. е. переход его энергии в какой-либо другой вид энергии, характеризуется лишь активной мощностью. А реактивная мощность характеризует энергию, совершающую колебание между генератором и реактивным участком цепи.

Для электрической сети она является бесполезной и даже вредной. Следует отметить, что в радиотехнике реактивная мощность в ряде случаев является необходимой и полезной. Например, в колебательных контурах, которые широко применяются в радиотехнике и служат для получения электрических колебаний, мощность этих колебаний является почти чисто реактивной. На векторной диаграмме показано, как при изменении cosφ изменяется ток приемника I при неизменной его мощности.

Векторная диаграмма токов приемника при неизменной мощности и различных коэффициентах мощности

Как видно, коэффициент мощности cosφ служит важным показателем степени использования полной мощности, развиваемой генератором переменной ЭДС . Надо обратить особое внимание на то, что при cosφ < 1 генератор должен создавать напряжение и ток, произведение которых больше активной мощности. Например, если в электрической сети активная мощность составляет 1000 кВт и cosφ = 0,8, то полная мощность будет равна:

Предположим, что в данном случае активная мощность получается при напряжении 100 кВ и токе 10 А. Однако генератор должен создавать напряжение 125 кВ, чтобы полная мощность была

Ясно, что применение генератора на более высокое напряжение невыгодно, а кроме того, при более высоком напряжении придется улучшить изоляцию проводов во избежание увеличения утечек или возникновения пробоя. Это приведет к удорожанию электрической сети.

Необходимость повышения напряжения генератора из-за наличия реактивной мощности характерна для последовательной цепи с активным и реактивным сопротивлением. Если же имеется параллельная цепь с активной и реактивной ветвями, то генератор должен создавать больший ток, чем нужно при одном активном сопротивлении. Иначе говоря, генератор нагружается дополнительным реактивным током.

Например, для рассмотренных выше значений Р = 1000 кВт, cosφ = 0,8 и S = 1250 кВА при параллельном соединении генератор должен при напряжении 100 кВ давать ток не 10 А, а 12,5 А. В этом случае не только генератор должен быть рассчитан на больший ток, но и провода электрической линии, по которой будет передан этот ток, придется взять большей толщины, что также увеличит стоимость линии. Если же в линии и у обмоток генератора будут провода, рассчитанные на ток 10 А, то ясно, что ток 12,5 А вызовет в этих проводах повышенный нагрев.

При решении задач на смешанное соединение проводников надо попытаться преобразовать цепь и заменить параллельно и последовательно соединенные проводники эквивалентными им проводниками.

В приведенном примере следует иметь в виду, что первый и второй проводники нельзя считать соединенными последовательно, так как в точке их соединения имеется ответвление. По той же причине нельзя считать соединенными последовательно проводники 1–3 и 4–5.

Проводник 1 и проводник 2,3 соединены последовательно. Их так же можно заменить одним эквивалентным проводником, сопротивление которого равно сумме сопротивлений проводников 1 и 2,3. Найдя это сопротивление, вновь рисуем преобразованную цепь. В этой цепи проводник 1,2,3 соединен параллельно с проводником 5. Сопротивление параллельно соединенных проводников можно так же рассчитать по известной формуле и заменить одним проводником с эквивалентным сопротивлением 1,2,3,5.

Например, если бы мы имели дело с четырьмя проводниками, соединенными так, как показано на схеме, задача решалась бы элементарно. Пары проводников 1,2 и 3,4 соединены последовательно. Их можно заменить эквивалентными им проводниками. Эти эквивалентные проводники соединены параллельно, и их также легко заменить одним общим проводником. (Если бы сопротивления проводников были равны 10 Ом каждое, тогда общее сопротивление цепи так же получились равным 10 Ом).

Пусть в точку А втекает ток силой I 0 . В этой точке ток разветвляется. Часть его течет через верхнюю часть цепи, часть через нижнюю. Может получиться так, что ток, который течет по верхнему и нижнему участкам, одинаков.

В задачах на расчет электрических цепей полезно проводить аналогию между электрическим током и током воды в трубах. Попробуем мысленно провести такую замену в рассматриваемой задаче.

Пусть для простоты трубы 1, 2, 3, 4 одинаковы по сечению и длине. По двум параллельным ветвям текут одинаковые токи. Дальше трубы сходятся в одну трубу. Очевидно, что ток втекающий равен току вытекающему. Если поставить перешеек, соединяющий два трубопровода, то в этот перешеек, в силу равенства напоров с двух сторон, вода не потечет ни в одну, ни в другую сторону, каким бы ни был перешеек. Этот перешеек вполне можно из рассмотрения процесса исключить.

Так же и в электрических цепях. Если окажется, что потенциалы точек С и Д равны между собой, то тока через проводник 5 не будет.

Таким образом, когда мы доходим до принципиально не преобразуемой электрической цепи, надо в этой цепи попытаться найти точки с равными потенциалами. Если удастся это сделать, то всякий проводник, соединяющий эти точки, из цепи можно исключить. Так же точки с равными потенциалами можно соединить между собой любым проводником, в том числе и с нулевым сопротивлением.

В данном случае, потенциалы точек С и Д будут равными при равенстве сопротивлений проводников 1–4.

Равными могут быть сопротивления проводников 1 и 3, 2 и 4. Все равно, силы токов в верхней и нижней ветвях будут равны между собой. Падения напряжений на проводниках 1 и 3, 2 и 4 также будут равны между собой, поэтому ток в цепи резистора 5 будет отсутствовать. В силу этого, резистор 5, при любом его сопротивлении, можно выбросить из рассмотрения.

Однако может получиться, что потенциалы точек С и Д друг другу не равны. Тогда протекание токов I 1 и I 3 следует рассматривать дальше. Допустим, что ток I 1 > I 3 . I 1 доходит до точки С, и разветвляется дальше. Часть тока идет через резистор 2, а часть через резистор 5. Токи I 4 и I 3 сходятся в точке Д. Эти токи идут дальше через резистор 4, поэтому ток I 5 равен сумме токов I 4 и I 3 . Ток I 5 сольется с током I 2 и образует ток, равный исходному току I 0 .

Таким образом заключаем следующее.

Далее в цепи необходимо выделить замкнутые контуры. Для этого берется произвольная точка и начинается движение по цепи так, чтобы вернуться в эту точку. При обходе надо придерживаться одного направления. Число контуров должно быть таким, чтобы можно было обойти все элементы цепи.

Если в контуре отсутствуют источники тока, то сумма падений напряжений равна нулю. Обойдем элементы 1–5–3, двигаясь по часовой стрелке.

Полученную систему уравнений можно решить относительно неизвестных величин.