Някои дискусии ме забавляват изключително много...

Здравей, какво правиш?
-Да, решавам задачи от списание.
-Еха! Не го очаквах от теб.
- Какво не очаквахте?
- Че ще се наведеш до пъзели. Изглеждаш умен, но вярваш в какви ли не глупости.
- Съжалявам, не разбирам. Какво наричаш глупост?
-Да, цялата тази твоя математика. Очевидно е, че това са пълни глупости.
-Как можеш да кажеш това? Математиката е кралицата на науките...
- Само да избегнем този патос, нали? Математиката изобщо не е наука, а една непрекъсната купчина глупави закони и правила.
-Какво?!
-Ох, не си прави толкова големи очи, сам знаеш, че съм прав. Не, не споря, таблицата за умножение е страхотно нещо, тя изигра значителна роля във формирането на културата и човешката история. Но сега всичко това вече не е актуално! И тогава, защо да усложнявате всичко? В природата няма интеграли и логаритми, всичко това са изобретения на математиците.
-Чакай малко. Математиците не са измислили нищо, те откриха нови закони на взаимодействие на числата, използвайки доказани инструменти...
-Да разбира се! И вярвате ли на това? Не виждате ли какви глупости говорят постоянно? Можете ли да ми дадете пример?
-Да, моля, бъдете любезни.
-Да моля! Питагорова теорема.
- Е, какво не е наред с това?
-Не е така! " Питагорови панталониравни от всички страни", разбирате ли. Знаете ли, че гърците по времето на Питагор не са носили панталони? Как може Питагор изобщо да говори за нещо, за което няма представа?
-Чакай малко. Какво общо има това с панталоните?
-Е, те май са питагорейци? Или не? Признаваш ли, че Питагор не е имал панталони?
- Е, всъщност, разбира се, не беше...
-Аха, значи има явно несъответствие в самото име на теоремата! Как тогава можете да приемете на сериозно казаното там?
- Само минутка. Питагор не е казал нищо за панталоните...
- Признаваш, нали?
-Да... Е, мога ли да продължа? Питагор не е казал нищо за панталоните и няма нужда да му приписваме чуждата глупост...
-Да, ти сам се съгласяваш, че всичко това са глупости!
- Не съм казал това!
- Току що казах това. Противоречиш си.
-Така. Спри се. Какво казва Питагоровата теорема?
- Че всички панталони са еднакви.
-По дяволите, ти изобщо прочете ли тази теорема?!
-Знам.
-Където?
-Аз чета.
-Какво прочете?!
- Лобачевски.
*пауза*
-Извинете, но какво общо има Лобачевски с Питагор?
- Ами Лобачевски също е математик и май е по-голям авторитет дори от Питагор, не щеш ли?
*въздишка*
-Добре, какво каза Лобачевски за Питагоровата теорема?
-Че панталоните са еднакви. Но това са глупости! Как изобщо можеш да носиш такива панталони? И освен това Питагор изобщо не е носел панталони!
-Лобачевски така каза?!
*втора пауза, с увереност*
-Да!
- Покажи ми къде пише.
- Не, добре, там не е написано толкова директно ...
- Как се казва тази книга?
- Да, това не е книга, това е статия във вестник. Относно факта, че Лобачевски всъщност е бил агент на германското разузнаване... е, това не е важно. Вероятно това е казал. Той също е математик, което означава, че той и Питагор са едновременно.
-Питагор не е казал нищо за панталоните.
-Е да! Ето за това говорим. Всичко това са глупости.
- Да вървим по ред. Вие лично откъде знаете какво казва Питагоровата теорема?
-О хайде! Всеки знае това. Попитайте когото и да е, веднага ще ви отговорят.
-Питагоровите панталони не са панталони...
-О, разбира се! Това е алегория! Знаеш ли колко пъти съм чувал това преди?
- Питагоровата теорема гласи, че сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата. И ТОВА Е ВСИЧКО!
-Къде са панталоните?
-Да, Питагор не е имал панталони!!!
- Е, разбираш ли, това ти казвам. Цялата ти математика е глупост.
- Но това не са глупости! Погледнете сами. Ето един триъгълник. Ето хипотенузата. Ето ги краката...
-Защо изведнъж това са катетите, а това е хипотенузата? Може би е обратното?
-Не. Краката са две страни, които образуват прав ъгъл.
-Е, ето ви още един прав ъгъл.
-Той не е прав.
-Какъв е, крив?
- Не, остър е.
- Този също е пикантен.
-Не е остър, прав е.
- Знаеш ли, не ме заблуждавай! Просто наричаш нещата както ти е удобно, само за да нагодиш резултата към това, което искаш.
-Двете къси страни на правоъгълен триъгълник са катетите. Дългата страна е хипотенузата.
-А кой е по-нисък - тази страна? И хипотенузата, следователно, вече не се търкаля? Чуйте се отстрани какви глупости говорите. 21 век е, разцветът на демокрацията, но вие сте в някакво Средновековие. Неговите страни, виждате ли, са неравни...
-Правоъгълен триъгълник с равни странине съществува...
-Сигурен ли си? Нека ти го нарисувам. Ето виж. Правоъгълна? Правоъгълна. И всички страни са равни!
- Начертахте квадрат.
- И какво?
- Квадратът не е триъгълник.
-О, разбира се! Щом не ни подхожда, веднага „не е триъгълник“! Не ме заблуждавайте. Пребройте сами: един ъгъл, два ъгъла, три ъгъла.
-Четири.
- И какво?
- Това е квадрат.
- Квадрат ли е, не е триъгълник? Той е по-лош, нали? Само защото аз го нарисувах? Има ли три ъгъла? Има и дори има един резервен. Е, тук няма нищо лошо, нали знаеш...
- Добре, да оставим тази тема.
- Да, отказвате ли се вече? Има ли нещо против? Признаваш ли, че математиката е глупост?
- Не, не си го признавам.
-Е, ето ни пак - страхотно! Просто ти доказах всичко в детайли! Ако основата на цялата ти геометрия е учението на Питагор и, извинявам се, това са пълни глупости... тогава за какво изобщо можеш да говориш повече?
-Учението на Питагор не е глупост...
- Добре, разбира се! Не съм чувал за школата на Питагор! Те, ако искате да знаете, се отдаваха на оргии!
- Какво общо има това с...
-А Питагор всъщност е бил педал! Самият той каза, че Платон му е приятел.
-Питагор?!
- Не знаехте? Да, всички бяха педали. И три удара по главата. Единият спал в бъчва, другият тичал гол из града...
-Диоген е спал в бъчва, но той е бил философ, а не математик...
-О, разбира се! Ако някой се качи в бъчва, значи вече не е математик! Защо се нуждаем от допълнителен срам? Знаем, знаем, минахме. Ама вие ми обяснете защо трябва да са авторитет за мен разни педици, живели преди три хиляди години и тичащи без гащи? Защо, за бога, трябва да приемам тяхната гледна точка?
- Добре, остави...
- Не, слушай! В крайна сметка и аз те послушах. Това са ви сметки, сметки... Всички знаете да смятате! И ако ви попитам нещо по същество, точно тук и тогава: „това е частно, това е променлива и това са две неизвестни.“ А ти ми го казваш общо, без конкретика! И без никакво неизвестно, неизвестно, екзистенциално... От това ми се гади, разбираш ли?
-Разберете.
-Добре, обясни ми защо две и две винаги са четири? Кой измисли това? И защо съм длъжен да го приемам за даденост и да нямам право на съмнение?
- Да, съмнявай се колкото искаш...
- Не, ти ми обясни! Само без тези твои дреболии, но нормално, човешки, за да е ясно.
-Два пъти две е равно на четири, защото две по две е равно на четири.
- Масло масло. Какво ново ми каза?
-Два пъти две е две умножено по две. Вземете две и две и ги съберете...
-Така че събирам или умножавам?
-Същото е...
-И двете включени! Оказва се, че ако събера и умножа седем и осем, също се получава същото?
-Не.
-И защо?
-Защото седем плюс осем не е равно...
-А ако умножа девет по две, получавам ли четири?
-Не.
-И защо? Умножих по две и се получи, но внезапно стана лошо с девет?
-да Два пъти девет е осемнадесет.
-Ами два пъти по седем?
-Четиринадесет.
- И два пъти е пет?
-Десет.
-Тоест четири се получават само в един конкретен случай?
-Точно.
- А сега помислете за себе си. Казвате, че има някои строги закони и правила за умножение. За какви закони изобщо можем да говорим тук, ако във всяка конкретен случайПолучавате ли различен резултат?
- Това не е съвсем вярно. Понякога резултатите може да са същите. Например два пъти шест е равно на дванадесет. И четири по три - също...
-Дори по-лошо! Две, шест, три четири - нищо общо! Сами виждате, че резултатът по никакъв начин не зависи от първоначалните данни. Едно и също решение се взема на две радикално различни ситуации! И това въпреки факта, че същите две, които вземаме постоянно и не променяме за нищо, винаги дават различен отговор с всички числа. Къде е логиката, чуди се човек?
-Но това е просто логично!
- За теб - може би. Вие, математиците, винаги вярвате във всякакви луди глупости. Но тези твои сметки не ме убеждават. И знаете ли защо?
-Защо?
-Защото аз Знам, защо всъщност е необходима вашата математика. До какво се свежда всичко? "Катя има една ябълка в джоба си, а Миша има пет. Колко ябълки трябва да даде Миша на Катя, така че да имат еднакъв брой ябълки?" И знаеш ли какво ще ти кажа? Миша не дължи нищо на никогоподарявам! Катя има една ябълка и това е достатъчно. Тя не е ли достатъчна? Нека тя работи здраво и честно печели пари за себе си, дори за ябълки, дори за круши, дори за ананаси в шампанско. И ако някой иска да не работи, а само да решава проблеми, нека седи с едната си ябълка и да не се фука!

Джарг. училище Шегувам се. Питагоровата теорема, която установява връзката между площите на квадратите, построени върху хипотенузата и краката на правоъгълен триъгълник. BTS, 835… Голям речникРуски поговорки

Питагорови панталони- Комично име за Питагоровата теорема, възникнало поради факта, че квадратите, изградени от страните на правоъгълник и разминаващи се в различни посоки, приличат на кройка на панталони. Обичах геометрията... и на приемния изпит в университета дори получих... РазговорникРуски литературен език

Питагорови панталони- Хумористично име за Питагоровата теорема, която установява връзката между площите на квадратите, изградени върху хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник, който прилича на кройката на панталоните на снимките... Речник на много изрази

Монах: за надарен човек ср. Това несъмнено е мъдрец. В древни времена той вероятно щеше да изобрети питагорейските панталони... Салтиков. Разноцветни букви. Питагорови панталони (геом.): в правоъгълник квадратът на хипотенузата е равен на квадратите на краката (преподаване ... ... Голям тълковен и фразеологичен речник на Майкелсън

Питагоровите панталони са еднакви от всички страни- Броят на бутоните е известен. Защо членът е стегнат? (грубо) за панталоните и мъжкия полов орган. Питагоровите панталони са еднакви от всички страни. За да се докаже това, е необходимо да се премахне и покаже 1) за Питагоровата теорема; 2) относно широките панталони... Жива реч. Речник на разговорните изрази

Питагорови панталони (измислят) монах. за надарен човек. ср. Това несъмнено е мъдрец. В древни времена той вероятно щеше да изобрети питагорейските панталони... Салтиков. Пъстри букви. Питагорови панталони (геом.): в правоъгълник има квадрат на хипотенузата... ... Голям тълковен и фразеологичен речник на Майкелсън (оригинален правопис)

Питагоровите панталони са равни във всички посоки- Хумористично доказателство на Питагоровата теорема; също и като виц за широките панталони на приятел... Речник на народната фразеология

Прил., грубо...

ПАНТАЛОНИТЕ НА ПИТАГОР СА ЕДНАКВИ ОТ ВСИЧКИ СТРАНИ (ЗНАЕ СЕ БРОЯ НА КОПЧЕТАТА. ЗАЩО Е СТЯГАН? / ЗА ДОКАЖЕТЕ ТОВА ТРЯБВА ДА ГО СВАЛИТЕ И ПОКАЖЕТЕ)- наречие, груб... Речниксъвременни разговорни фразеологични единици и поговорки

Съществително име, множествено число, използвано сравнявам често Морфология: мн. Какво? панталони, (не) какво? панталони, какво? панталони, (виж) какво? панталони, какво? панталони, какво ще кажеш? относно панталоните 1. Панталоните са облекло, което има две къси или дълги крачоли и покривала долна част… … Обяснителен речник на Дмитриев

Книги

• Как е открита Земята, Сахарнов Святослав Владимирович. Как са пътували финикийците? На какви кораби са плавали викингите? Кой откри Америка и кой пръв обиколи света? Кой е съставил първия в света атлас на Антарктида и кой е изобретил...
• Чудеса на колела, Маркуша Анатолий. Милиони колела се въртят по цялата земя - колите се търкалят, измерват времето в часовници, тропат под влакове, изпълняват безброй задачи в машини и различни механизми. Те…

Известен Питагорова теорема - „в правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите“- Всички го знаят от училище.

Е, помниш ли "Питагорови панталони", който "равен във всички посоки"- схематичен чертеж, обясняващ теоремата на гръцкия учен.

Тук аИ b- крака и с- хипотенуза:

Сега ще ви разкажа за едно оригинално доказателство на тази теорема, за което може би не сте знаели...

Но първо нека разгледаме един лема- доказано твърдение, което е полезно не само по себе си, а за доказване на други твърдения (теореми).

Да вземем правоъгълен триъгълникс върхове х, YИ З, Където З- прав ъгъл и пуснете перпендикуляра от прав ъгъл Зкъм хипотенузата. Тук У- точката, в която надморската височина пресича хипотенузата.

Тази линия (перпендикулярна) ZWразделя триъгълника на подобни негови копия.

Нека ви напомня, че подобни се наричат ​​триъгълници, чиито ъгли са съответно равни, а страните на един триъгълник са пропорционални на подобните страни на друг триъгълник.

В нашия пример, получените триъгълници XWZИ YWZподобни един на друг и също подобни на оригиналния триъгълник XYZ.

Това не е трудно да се докаже.

Нека започнем с триъгълник XWZ, имайте предвид, че ∠XWZ = 90 и следователно ∠XZW = 180–90-∠X. Но 180–90-∠X - е точно това, което е ∠Y, така че триъгълник XWZ трябва да е подобен (всички ъгли равни) на триъгълник XYZ. Същото упражнение може да се направи за триъгълника YWZ.

Лемата е доказана! В правоъгълен триъгълник надморската височина (перпендикуляр), спусната към хипотенузата, разделя триъгълника на два подобни, които от своя страна са подобни на оригиналния триъгълник.

Но да се върнем към нашите „Питагорови панталони“...

Спуснете перпендикуляра към хипотенузата ° С. В резултат на това имаме два правоъгълни триъгълника вътре в нашия правоъгълен триъгълник. Нека обозначим тези триъгълници (на снимката по-горе зелено) букви АИ б, а оригиналният триъгълник е буква СЪС.

Разбира се, площта на триъгълника СЪСравна на сумата от площите на триъгълниците АИ б.

Тези. А+ б= СЪС

Сега нека разделим фигурата отгоре („Питагорови панталони“) на три фигури на къщи:

Както вече знаем от лемата, триъгълници А, бИ ° Сса подобни една на друга, следователно получените фигури на къщи също са подобни и са умалени версии една на друга.

Това означава, че съотношението площ АИ a², - това е същото като съотношението на площта бИ b²,и ° СИ c².

Така имаме A/a² = B/b² = C/c² .

Нека означим с буквата това съотношение на площите на триъгълник и квадрат във фигура на къща к.

Тези. к- това е определен коефициент, който свързва площта на триъгълника (покрива на къщата) с площта на квадрата под него:
k = A / a² = B / b² = C / c²

От това следва, че площите на триъгълниците могат да бъдат изразени чрез площите на квадратите под тях по следния начин:
A = ka², B = kb², И C = kc²

Но ние помним това A+B = C, което означава ka² + kb² = kc²

Или a² + b² = c²

И това е доказателство на Питагоровата теорема!

1 от 8

Презентация по темата:Питагоровите панталони са равни във всички посоки

Слайд №1

Описание на слайда:

Слайд № 2

Описание на слайда:

Тази язвителна забележка (която в своята цялост има продължение: за да го докажеш, трябва да го премахнеш и да го покажеш), измислена от някой, очевидно шокиран от вътрешното съдържание на една важна теорема на евклидовата геометрия, разкрива възможно най-точно началната точка, от която веригата напълно проста мисъл бързо води до доказателството на теоремата, както и до още по-значими резултати. Тази теорема, приписвана на древногръцкия математик Питагор от Самос (6 век пр. н. е.), е известна на почти всеки ученик и звучи така: квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на краката.

Слайд №3

Описание на слайда:

Може би мнозина ще се съгласят с това геометрична фигура, наречен код „Питагоровите панталони са равни от всички страни“, се нарича квадрат. Е, с усмивка на лицето си, нека добавим една безобидна шега в името на това, което се има предвид с продължението на криптирания сарказъм. Така че, „за да го докажете, трябва да го заснемете и да го покажете“. Ясно е, че „това“ - местоимението означаваше самата теорема, „премахване“ - това означава попадане в ръцете ви, вземане на посочената фигура, „покажете“ - имаше предвид думата „докосване“, внасяйки някои части от фигурата в контакт. Като цяло „Питагорови панталони“ е името, дадено на графичен дизайн, наподобяващ панталони на външен вид, който е получен в рисунката на Евклид по време на много сложното му доказателство на Питагоровата теорема. Когато се намери по-просто доказателство, може би някой риматор е съчинил този намек за скороговорка, за да не забрави началото на подхода към доказателството, и популярният слух вече го е разнесъл по света като празна поговорка.

Слайд № 4

Описание на слайда:

И така, ако вземете квадрат и поставите по-малък квадрат вътре в него, така че центровете им да съвпадат, и завъртите по-малкия квадрат, докато ъглите му докоснат страните на по-големия квадрат, тогава на по-голямата фигура ще намерите подчертани 4 еднакви правоъгълни триъгълника от страните на по-малкия квадрат.Оттук вече лежи права линия пътя за доказване на известна теорема. Нека страната на по-малкия квадрат е означена с c. Страната на по-големия квадрат е a+b, а тогава неговата площ е (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Същата площ може да се определи като сбор от площта на по-малкия квадрат и площите на 4 еднакви правоъгълни триъгълника, тоест като 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. Нека поставим знак за равенство между две изчисления на една и съща площ: a 2 +2ab+b 2 =2ab+ c 2. След редуциране на членовете 2ab получаваме заключението: квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора на квадратите на катетите, т.е. a 2 + b 2 =c 2.

Слайд № 5

Описание на слайда:

Не всеки веднага ще разбере ползата от тази теорема. От практическа гледна точка стойността му се състои в това, че служи като основа за много геометрични изчисления, като например определяне на разстоянието между точките в координатна равнина. Някои ценни формули са извлечени от теоремата; нейните обобщения водят до нови теореми, които преодоляват празнината между изчисленията в равнината и изчисленията в пространството. Следствията от теоремата проникват в теорията на числата, разкривайки отделни детайли от структурата на поредица от числа. И много повече, твърде много за изброяване.

Слайд № 6

Описание на слайда:

Поглед от гледна точка на празно любопитство демонстрира представянето на занимателни задачи от теоремата, които са формулирани изключително ясно, но понякога са трудни за разбиване. Като пример е достатъчно да цитираме най-простия от тях, така наречения въпрос на Числата на Питагор, дадено в битови термини, както следва: възможно ли е да се построи стая, дължината, ширината и диагоналът на пода на която да се измерват едновременно само в цели числа, да речем в стъпки? Само най-малката промяна по този въпрос може да направи задачата изключително трудна. И съответно ще има желаещи, чисто от научен ентусиазъм, да се изпитат в подреждането на следващия математически пъзел. Още една промяна на въпроса - и още един пъзел. Често в процеса на търсене на отговори на такива проблеми математиката се развива, придобива свежи възгледи върху стари концепции, придобива нови системни подходи и т.н., което означава, че Питагоровата теорема, както всяко друго полезно учение, е не по-малко полезна от тази гледна точка.

Слайд № 7

Описание на слайда:

Математиката от времето на Питагор не признава числа, различни от рационалните (естествени числа или дроби с естествен числител и знаменател). Всичко се измерваше в цели количества или части от цели количества. Ето защо желанието да се правят геометрични изчисления и да се решават уравнения все повече и повече в естествени числа е толкова разбираемо. Пристрастяването към тях отваря пътя към невероятния свят на мистерията на числата, редица от които в геометрична интерпретация първоначално изглеждат като права линия с безкраен брой знаци. Понякога зависимостта между някои числа в редицата, „линейното разстояние” между тях, пропорцията веднага хваща окото, а понякога най-сложните умствени конструкции не ни позволяват да установим на какви модели е подчинено разпределението на определени числа. Оказва се, че в новия свят, в тази „едномерна геометрия“, старите проблеми остават валидни, променя се само формулировката им. Например, вариант на задачата за числата на Питагор: "От къщата бащата прави x стъпки от x сантиметра всяка и след това върви още една стъпка от y сантиметра. Синът върви зад него z стъпки от z сантиметра всяка. Какво трябва размерът на стъпките им, така че на z-та стъпка детето да е следвало следите на бащата?"

Слайд № 8

Описание на слайда:

За да бъдем честни, трябва да се отбележи, че питагорейският метод за развитие на мисълта е малко труден за начинаещ математик. Това е особен вид стил на математическо мислене, трябва да свикнете с него. Един интересен момент. Математиците от вавилонската държава (възникнала много преди раждането на Питагор, почти хиляда и половина години преди него) също очевидно знаеха някои методи за търсене на числа, които по-късно станаха известни като числа на Питагор. Намерени са клинописни плочи, където вавилонските мъдреци са записали тройките на такива числа, които са идентифицирали. Някои тройки се състоеха от твърде големи числа и затова нашите съвременници започнаха да приемат, че вавилонците са имали добри и вероятно дори прости методи за тяхното изчисляване. За съжаление не се знае нищо за самите методи или тяхното съществуване.

Потенциалът за творчество обикновено се приписва на хуманитарните науки, оставяйки естествените науки на анализа, практическия подход и сухия език на формули и числа. Математиката не може да се класифицира като хуманитарен предмет. Но без творчество няма да стигнете далеч в „кралицата на всички науки“ - хората знаят това отдавна. От времето на Питагор например.

Училищните учебници, за съжаление, обикновено не обясняват, че в математиката е важно не само да се тъпчат с теореми, аксиоми и формули. Важно е да разберете и почувствате основните му принципи. И в същото време се опитайте да освободите ума си от клишета и елементарни истини - само в такива условия се раждат всички велики открития.

Такива открития включват това, което днес познаваме като Питагоровата теорема. С негова помощ ще се опитаме да покажем, че математиката не само може, но и трябва да бъде вълнуваща. И че това приключение е подходящо не само за маниаци с дебели очила, но и за всички, които са силни умом и духом.

Из историята на проблема

Строго погледнато, въпреки че теоремата се нарича „Питагоровата теорема“, самият Питагор не я е открил. Правоъгълният триъгълник и неговите специални свойства са били изучавани много преди него. Има две полярни гледни точки по този въпрос. Според една от версиите Питагор е първият, който намира пълно доказателство на теоремата. Според друга доказателството не принадлежи на авторството на Питагор.

Днес вече не можете да проверите кой е прав и кой крив. Това, което се знае е, че доказателството на Питагор, ако е съществувало някога, не е оцеляло. Въпреки това има предположения, че известното доказателство от Елементите на Евклид може да принадлежи на Питагор, а Евклид само го е записал.

Днес също така е известно, че проблемите за правоъгълен триъгълник се намират в египетски източници от времето на фараона Аменемхат I, върху вавилонски глинени плочки от управлението на цар Хамурапи, в древния индийски трактат „Сулва сутра” и древния китайски труд „ Джоу-би суан дзин”.

Както можете да видите, Питагоровата теорема е занимавала умовете на математиците от древни времена. Това се потвърждава от около 367 различни доказателства, които съществуват днес. В това никоя друга теорема не може да се конкурира с нея. Сред известните автори на доказателства можем да си припомним Леонардо да Винчи и двадесетия президент на САЩ Джеймс Гарфийлд. Всичко това говори за изключителното значение на тази теорема за математиката: повечето теореми на геометрията произлизат от нея или по някакъв начин са свързани с нея.

Доказателства на Питагоровата теорема

Училищните учебници дават предимно алгебрични доказателства. Но същността на теоремата е в геометрията, така че нека първо разгледаме онези доказателства на известната теорема, които се основават на тази наука.

Доказателство 1

За най-простото доказателство на Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник трябва да зададете идеални условия: нека триъгълникът е не само правоъгълен, но и равнобедрен. Има основание да се смята, че древните математици първоначално са смятали точно този вид триъгълник.

Изявление „квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сумата от квадратите, построени върху неговите катети“може да се илюстрира със следния чертеж:

Погледнете равнобедрения правоъгълен триъгълник ABC: Върху хипотенузата AC можете да построите квадрат, състоящ се от четири триъгълника, равни на оригиналния ABC. А от страните AB и BC е построен квадрат, всяка от които съдържа два подобни триъгълника.

Между другото, тази рисунка е в основата на многобройни вицове и карикатури, посветени на теоремата на Питагор. Най-известният вероятно е "Питагоровите панталони са равни във всички посоки":

Доказателство 2

Този метод съчетава алгебра и геометрия и може да се счита за вариант на древноиндийското доказателство на математика Бхаскари.

Построете правоъгълен триъгълник със страни a, b и c(Фиг. 1). След това изградете два квадрата със страни, равни на сумата от дължините на двата крака - (a+b). Във всеки от квадратите направете конструкции като на фигури 2 и 3.

В първия квадрат изградете четири триъгълника, подобни на тези на фигура 1. Резултатът е два квадрата: един със страна a, вторият със страна b.

Във втория квадрат построените четири подобни триъгълника образуват квадрат със страна, равна на хипотенузата ° С.

Сумата от площите на построените квадрати на фиг. 2 е равна на площта на квадрата, който построихме със страна c на фиг. 3. Това може лесно да се провери, като се изчисли площта на квадратите на фиг. 2 по формулата. И площта на вписания квадрат на фигура 3. чрез изваждане на площите на четири равни правоъгълни триъгълника, вписани в квадрата, от площта на голям квадрат със страна (a+b).

Записвайки всичко това, имаме: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Отворете скобите, направете всички необходими алгебрични изчисления и получете това a 2 +b 2 = a 2 +b 2. В този случай областта, вписана на фиг. 3. квадрат може да се изчисли и по традиционната формула S=c 2. Тези. a 2 +b 2 =c 2– доказахте Питагоровата теорема.

Доказателство 3

Самото древноиндийско доказателство е описано през 12 век в трактата „Венецът на знанието“ („Siddhanta Shiromani“) и като основен аргумент авторът използва апел, отправен към математическите таланти и наблюдателни умения на ученици и последователи: „ Виж!"

Но ние ще анализираме това доказателство по-подробно:

Вътре в квадрата изградете четири правоъгълни триъгълника, както е показано на чертежа. Нека обозначим страната на големия квадрат, известен също като хипотенуза, с. Нека наречем краката на триъгълника АИ b. Според чертежа страната на вътрешния квадрат е (a-b).

Използвайте формулата за площта на квадрат S=c 2за изчисляване на площта на външния квадрат. И в същото време изчислете същата стойност, като добавите площта на вътрешния квадрат и площите на четирите правоъгълни триъгълника: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Можете да използвате и двете опции за изчисляване на площта на квадрат, за да сте сигурни, че те дават един и същ резултат. И това ви дава правото да го запишете c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В резултат на решението ще получите формулата на Питагоровата теорема c 2 =a 2 +b 2. Теоремата е доказана.

Доказателство 4

Това любопитно древно китайско доказателство е наречено "Столът на булката" - заради подобната на стол фигура, която се получава от всички конструкции:

Той използва чертежа, който вече видяхме на фиг. 3 във второто доказателство. И вътрешният квадрат със страна c е конструиран по същия начин, както в древноиндийското доказателство, дадено по-горе.

Ако мислено отрежете два зелени правоъгълни триъгълника от чертежа на фиг. 1, преместете ги в противоположните страни на квадрата със страна c и прикрепете хипотенузите към хипотенузите на люляковите триъгълници, ще получите фигура, наречена „стол на булката“ (фиг. 2). За по-голяма яснота можете да направите същото с хартиени квадрати и триъгълници. Ще се уверите, че „столът на булката“ е оформен от два квадрата: малки със страна bи голяма със страна а.

Тези конструкции позволиха на древните китайски математици и ние, следвайки тях, да стигнем до извода, че c 2 =a 2 +b 2.

Доказателство 5

Това е друг начин за намиране на решение на Питагоровата теорема с помощта на геометрията. Нарича се метод Гарфийлд.

Построете правоъгълен триъгълник ABC. Трябва да го докажем BC 2 = AC 2 + AB 2.

За да направите това, продължете крака ACи конструирайте сегмент CD, което е равно на крака AB. Спуснете перпендикуляра ADлинейна отсечка ЕД. Сегменти ЕДИ ACса равни. Свържи точките дИ IN, и дИ СЪСи вземете чертеж като снимката по-долу:

За да докажем кулата, отново прибягваме до метода, който вече сме опитвали: намираме площта на получената фигура по два начина и приравняваме изразите един към друг.

Намерете площта на многоъгълник ЛЕГЛОможе да се направи чрез сумиране на площите на трите триъгълника, които го образуват. И един от тях, ERU, е не само правоъгълен, но и равнобедрен. Нека също не забравяме това AB=CD, AC=EDИ BC=SE– това ще ни позволи да опростим записа и да не го претоварваме. Така, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

В същото време е очевидно, че ЛЕГЛО- Това е трапец. Следователно изчисляваме неговата площ по формулата: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. За нашите изчисления е по-удобно и по-ясно да представим сегмента ADкато сбор от сегменти ACИ CD.

Нека запишем двата начина за изчисляване на площта на фигура, като поставим знак за равенство между тях: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ние използваме равенството на сегментите, което вече ни е известно и описано по-горе, за да опростим правилната страназаписи: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Сега нека отворим скобите и трансформираме равенството: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. След като завършим всички трансформации, получаваме точно това, от което се нуждаем: BC 2 = AC 2 + AB 2. Доказахме теоремата.

Разбира се, този списък с доказателства далеч не е пълен. Теоремата на Питагор може да бъде доказана и с помощта на вектори, комплексни числа, диференциални уравнения, стереометрия и др. И дори физиците: ако например течността се излее в квадратни и триъгълни обеми, подобни на тези, показани на чертежите. Чрез изливане на течност можете да докажете равенството на площите и самата теорема като резултат.

Няколко думи за Питагоровите тройки

Този въпрос е малко или изобщо не се изучава в училищната програма. Междувременно той е много интересен и има голямо значениев геометрията. Питагоровите тройки се използват за решаване на много математически задачи. Разбирането им може да ви бъде полезно в по-нататъшното образование.

И така, какво представляват Питагоровите тройки? Така го наричат цели числа, събрани по три, сумата от квадратите на две от които е равна на третото число в квадрата.

Питагоровите тройки могат да бъдат:

• примитивни (и трите числа са относително прости);
• не е примитивна (ако всяко число от тройка се умножи по едно и също число, получавате нова тройка, която не е примитивна).

Още преди нашата ера древните египтяни са били очаровани от манията за числата на питагорейските тройки: в задачи те са разглеждали правоъгълен триъгълник със страни 3, 4 и 5 единици. Между другото, всеки триъгълник, чиито страни са равни на числата от тройката на Питагор, е правоъгълен по подразбиране.

Примери за питагорови тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.н.

Практическо приложение на теоремата

Теоремата на Питагор се използва не само в математиката, но и в архитектурата и строителството, астрономията и дори литературата.

Първо, за конструкцията: теоремата на Питагор се използва широко в проблеми с различни нива на сложност. Например, погледнете романски прозорец:

Нека обозначим ширината на прозореца като b, тогава радиусът на големия полукръг може да се означи като Ри изразете чрез b: R=b/2. Радиусът на по-малките полуокръжности също може да бъде изразен чрез b: r=b/4. В тази задача се интересуваме от радиуса на вътрешния кръг на прозореца (да го наречем стр).

Теоремата на Питагор е просто полезна за изчисляване Р. За да направите това, използваме правоъгълен триъгълник, който е обозначен с пунктирана линия на фигурата. Хипотенузата на триъгълник се състои от два радиуса: b/4+p. Единият крак представлява радиуса б/4, друг b/2-p. Използвайки Питагоровата теорема, пишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. След това отваряме скобите и получаваме b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Нека трансформираме този израз в bp/2=b 2 /4-bp. И след това разделяме всички членове на b, представяме подобни, за да получите 3/2*p=b/4. И в крайна сметка намираме това p=b/6- което ни трябваше.

Използвайки теоремата, можете да изчислите дължината на гредите за двускатен покрив. Определете колко е висока кулата мобилни комуникациисигналът трябва да достигне определена селище. И дори да се инсталира стабилно коледна елхана градския площад. Както можете да видите, тази теорема живее не само на страниците на учебниците, но често е полезна в реалния живот.

В литературата Питагоровата теорема е вдъхновявала писатели от древността и продължава да го прави и в наше време. Например немският писател от деветнадесети век Аделберт фон Шамисо е бил вдъхновен да напише сонет:

Светлината на истината няма да се разсее скоро,
Но след като блесна, е малко вероятно да се разсее
И както преди хиляди години,
Няма да предизвика съмнение или противоречия.

Най-мъдрият, когато докосне погледа ти
Светлина на истината, слава на боговете;
И сто бика, заклани, лежат -
Подарък за връщане от късметлията Питагор.

Оттогава биковете реват отчаяно:
Завинаги разтревожен племето на биковете
Събитие, споменато тук.

Струва им се, че времето ще дойде,
И пак ще бъдат принесени в жертва
Някаква страхотна теорема.

(превод Виктор Топоров)

А през ХХ век съветският писател Евгений Велтистов в книгата си „Приключенията на електрониката” посвети цяла глава на доказателствата на Питагоровата теорема. И още половин глава от историята за двуизмерния свят, който би могъл да съществува, ако Питагоровата теорема стане основен закон и дори религия за един единствен свят. Животът там би бил много по-лесен, но и много по-скучен: например там никой не разбира значението на думите „кръгъл“ и „пухкав“.

А в книгата „Приключенията на електрониката“ авторът, през устата на учителя по математика Таратар, казва: „Основното нещо в математиката е движението на мисълта, новите идеи.“ Именно този творчески полет на мисълта поражда Питагоровата теорема - не напразно тя има толкова много разнообразни доказателства. Помага ви да излезете извън границите на познатото и да погледнете познатите неща по нов начин.

Заключение

Тази статия има за цел да ви помогне да погледнете отвъд училищна програмапо математика и научете не само онези доказателства на Питагоровата теорема, които са дадени в учебниците „Геометрия 7-9” (Л. С. Атанасян, В. Н. Руденко) и „Геометрия 7-11” (А. В. Погорелов), но и други интересни начини за доказване известната теорема. А също така вижте примери за това как Питагоровата теорема може да се приложи в ежедневието.

Първо, тази информация ще ви позволи да се класирате за по-високи резултати в уроците по математика - информацията по темата от допълнителни източници винаги е високо ценена.

Второ, искахме да ви помогнем да усетите колко интересна е математиката. Уверете се конкретни примериче в него винаги има място за творчество. Надяваме се, че Питагоровата теорема и тази статия ще ви вдъхновят да изследвате самостоятелно и да правите вълнуващи открития в математиката и други науки.

Кажете ни в коментарите дали намирате доказателствата, представени в статията, за интересни. Намирате ли тази информация за полезна в обучението си? Напишете ни какво мислите за Питагоровата теорема и тази статия - ще се радваме да обсъдим всичко това с вас.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.