Презентация на тема: Питагоровите панталони са еднакви във всички посоки. За какво са "Питагоровите панталони"?

За какво са необходими „Питагоровите панталони“? Работата беше изпълнена от ученици от 8 клас

Площта на квадрат, изграден върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сбора от площите на квадратите, построени върху краката му... Или Квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадрати от краката му.

Това е една от най-известните геометрични теореми на древността, наречена Питагорова теорема. Почти всеки, който някога е изучавал планиметрия, го знае дори и сега. Причината за такава популярност на Питагоровата теорема е нейната простота, красота и значимост. Питагоровата теорема е проста, но неочевидна. Тази комбинация от две противоречиви начала й придава особена привлекателна сила и я прави красива. Тя се използва в геометрията буквално на всяка стъпка, а фактът, че има около 500 различни доказателства на тази теорема (геометрични, алгебрични, механични и др.) показва широкото й приложение.

Теоремата почти навсякъде носи името на Питагор, но в момента всички са съгласни, че тя не е открита от Питагор. Някои обаче смятат, че той е първият, който е дал пълно доказателство за това, докато други му отричат ​​тази заслуга. Тази теорема е била известна много години преди Питагор. Така, 1500 години преди Питагор, древните египтяни са знаели, че триъгълник със страни 3, 4 и 5 е правоъгълен и са използвали това свойство за конструиране на прави ъгли при планиране на парцели и строителни конструкции.

Доказателството на теоремата се смяташе за много трудно в средите на студентите от Средновековието и се наричаше „магарешкият мост“ или „бягството на нещастника“, а самата теорема се наричаше „ вятърна мелница“ или „Теоремата на булката“. Учениците дори рисуваха карикатури и съчиняваха стихотворения като това: Питагорови панталониРавни във всички посоки.

Доказателство, основано на използването на концепцията за равен размер на фигурите. Фигурата показва два равни квадрата. Дължината на страните на всеки квадрат е a + b. Всеки от квадратите е разделен на части, състоящи се от квадрати и правоъгълни триъгълници. Ясно е, че ако извадим четворно площта на правоъгълен триъгълник с крака a, b от площта на квадрата, тогава ще ни остане равни площи, т.е. древните индуси, на които принадлежи това разсъждение, обикновено не са го записвали, а са придружавали рисунката само с една дума: "виж!" Напълно възможно е Питагор да е предложил същото доказателство.

Доказателство, предложено от училищен учебник. CD е височината на триъгълник ABC. AC = √ AD*AB AC 2 = AD*AB По същия начин BC 2 = BD*AB Като се има предвид, че AD + BD = AB, получаваме AC 2 + BC 2 = AD*AB+ BD*AB = (AD+BD)*AB = AB 2 A C B D

Задача №1 От летището излетяха едновременно два самолета: единият на запад, другият на юг. След два часа разстоянието между тях беше 2000 км. Намерете скоростите на самолетите, ако скоростта на единия е 75% от скоростта на другия. Решение: Според Питагоровата теорема: 4x2+(0.75x*2)2=20002 6.25x2=20002 2.5x=2000 x=800 0.75x=0.75*800=600. Отговор: 800 км/ч; 600 км/ч.

Задача № 2. Какво трябва да направи един млад математик, за да получи надеждно прав ъгъл? Решение: Можете да използвате Питагоровата теорема и да построите триъгълник, давайки на страните му такава дължина, че триъгълникът да се окаже правоъгълен. Най-лесният начин да направите това е да вземете ивици с дължина 3, 4 и 5 от произволно избрани равни сегменти.

Задача № 3. Намерете резултантната на три сили по 200 N, ако ъгълът между първата и втората сила и между втората и третата сила е 60°. Решение: Модулът на сбора на първата двойка сили е равен на: F1+22=F12+F22+2*F1*F2cosα където α е ъгълът между векторите F1 и F2, т.е. F1+2=200√ 3 N. Както става ясно от съображенията за симетрия, векторът F1+2 е насочен по ъглополовящата на ъгъл α, следователно ъгълът между него и третата сила е равен на: β=60°+60°/ 2=90°. Сега нека намерим резултата на трите сили: R2=(F3+F1+2) R=400 N. Отговор: R=400 N.

Задача No 4. Гръмоотводът предпазва от мълния всички предмети, чието разстояние от основата му не надвишава двойната му височина. Определете оптималното положение на гръмоотвода върху двускатен покрив, като осигурите най-ниската му достъпна височина. Решение: Според Питагоровата теорема h2≥ a2+b2, което означава h≥(a2+b2)1/2. Отговор: h≥(a2+b2)1/2.

Известен Питагорова теорема - „в правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите“- Всички го знаят от училище.

Е, помниш ли "Питагорови панталони", който "равен във всички посоки"- схематичен чертеж, обясняващ теоремата на гръцкия учен.

Тук аИ b- крака и с- хипотенуза:

Сега ще ви разкажа за едно оригинално доказателство на тази теорема, за което може би не сте знаели...

Но първо нека разгледаме един лема- доказано твърдение, което е полезно не само по себе си, а за доказване на други твърдения (теореми).

Нека вземем правоъгълен триъгълник с върхове х, YИ З, Където З- прав ъгъл и пуснете перпендикуляра от прав ъгъл Зкъм хипотенузата. Тук У- точката, в която надморската височина пресича хипотенузата.

Тази линия (перпендикулярна) ZWразделя триъгълника на подобни негови копия.

Нека ви напомня, че подобни се наричат ​​триъгълници, чиито ъгли са съответно равни, а страните на един триъгълник са пропорционални на подобните страни на друг триъгълник.

В нашия пример, получените триъгълници XWZИ YWZподобни един на друг и също подобни на оригиналния триъгълник XYZ.

Това не е трудно да се докаже.

Нека започнем с триъгълник XWZ, имайте предвид, че ∠XWZ = 90 и следователно ∠XZW = 180–90-∠X. Но 180–90-∠X - е точно това, което е ∠Y, така че триъгълник XWZ трябва да е подобен (всички ъгли равни) на триъгълник XYZ. Същото упражнение може да се направи за триъгълника YWZ.

Лемата е доказана! В правоъгълен триъгълник надморската височина (перпендикуляр), спусната към хипотенузата, разделя триъгълника на два подобни, които от своя страна са подобни на оригиналния триъгълник.

Но да се върнем към нашите „Питагорови панталони“...

Спуснете перпендикуляра към хипотенузата ° С. В резултат на това имаме два правоъгълни триъгълника вътре в нашия правоъгълен триъгълник. Нека обозначим тези триъгълници (на снимката по-горе зелено) букви АИ б, а оригиналният триъгълник е буква СЪС.

Разбира се, площта на триъгълника СЪСравна на сумата от площите на триъгълниците АИ б.

Тези. А+ б= СЪС

Сега нека разделим фигурата отгоре („Питагорови панталони“) на три фигури на къщи:

Както вече знаем от лемата, триъгълници А, бИ ° Сса подобни една на друга, следователно получените фигури на къщи също са подобни и са умалени версии една на друга.

Това означава, че съотношението площ АИ a², - това е същото като съотношението на площта бИ b²,и ° СИ c².

Така имаме A/a² = B/b² = C/c² .

Нека означим с буквата това съотношение на площите на триъгълник и квадрат във фигура на къща к.

Тези. к- това е определен коефициент, който свързва площта на триъгълника (покрива на къщата) с площта на квадрата под него:
k = A / a² = B / b² = C / c²

От това следва, че площите на триъгълниците могат да бъдат изразени чрез площите на квадратите под тях по следния начин:
A = ka², B = kb², И C = kc²

Но ние помним това A+B = C, което означава ka² + kb² = kc²

Или a² + b² = c²

И това е доказателство на Питагоровата теорема!

„Питагоровите панталони са еднакви от всички страни.
За да докажем това, трябва да го заснемем и покажем.”

Това стихотворение е известно на всички гимназия, откакто изучавахме известната Питагорова теорема в часовете по геометрия: квадратът на дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите. Въпреки че самият Питагор никога не е носел панталони - в онези дни гърците не са ги носили. Кой е Питагор?
Питагор от Самос от лат. Питагор, питийски предавател (570-490 г. пр. н. е.) - древногръцки философ, математик и мистик, създател на религиозно-философската школа на питагорейците.
Сред противоречивите учения на своите учители Питагор търсеше жива връзка, синтез на едно велико цяло. Той си постави за цел - да намери пътя, водещ към светлината на истината, тоест да преживее живота в единство. За целта Питагор посетил цялата древен свят. Той вярваше, че трябва да разшири и без това широките си хоризонти, като изучава всички религии, доктрини и култове. Той живял сред равините и научил много за тайните традиции на Мойсей, законодателя на Израел. След това посетил Египет, където бил посветен в мистериите на Адонис и след като успял да прекоси долината на Ефрат, останал дълго време при халдейците, за да научи тяхната тайна мъдрост. Питагор посетил Азия и Африка, включително Индустан и Вавилон. Във Вавилон той изучава знанията на магьосниците.
Заслугата на питагорейците беше популяризирането на идеи за количествените закони на развитието на света, което допринесе за развитието на математическите, физическите, астрономическите и географските знания. Основата на нещата е числото, учи Питагор, да познаваш света означава да познаваш числата, които го управляват. Изучавайки числата, питагорейците разработиха числови връзки и ги откриха във всички области човешка дейност. Питагор преподава тайно и не оставя писмени произведения. Питагор даде голямо значениеномер. Неговите философски възгледи до голяма степен се определят от математически концепции. Той каза: „Всичко е число“, „всички неща са числа“, като по този начин подчерта едната страна в разбирането на света, а именно неговата измеримост в числово изражение. Питагор вярваше, че числото контролира всички неща, включително моралните и духовни качества. Той учи (според Аристотел): "Справедливостта... е число, умножено по себе си." Той вярваше, че във всеки обект, в допълнение към неговите променливи състояния, има непроменливо същество, определена непроменлива субстанция. Това е числото. Оттук и основната идея на питагорейството: числото е в основата на всичко, което съществува. Питагорейците виждали обяснението в числото и в математическите връзки скрит смисълявления, природни закони. Според Питагор обектите на мисълта са по-реални от обектите сетивно знание, тъй като числата имат вечна природа, т.е. вечен. Те са някаква реалност, която стои над реалността на нещата. Питагор казва, че всички свойства на даден обект могат да бъдат унищожени или променени, с изключение на едно числово свойство. Този имот е единица. Единството е съществуването на неща, неразрушими и неразложими, непроменими. Разбийте всеки предмет на най-малките частици - всяка частица ще бъде една. Като твърди, че числовото битие е единственото непроменливо битие, Питагор стига до извода, че всички обекти са копия на числата.
Единицата е абсолютно число. Единицата има вечност. Не е необходимо единицата да е в някаква връзка с нещо друго. Съществува самостоятелно. Две е само връзка едно към едно. Всички номера са само
числени отношения на единицата, нейните модификации. И всички форми на битието са само определени страни на безкрайността и следователно Единици. Първоначалното Едно съдържа всички числа, следователно съдържа елементите на целия свят. Обектите са реални проявления на абстрактното съществуване. Питагор е първият, който обозначава космоса с всички неща в него като ред, установен чрез число. Този ред е достъпен за ума и се разпознава от него, което ви позволява да видите света по напълно нов начин.
Процесът на познание на света, според Питагор, е процес на познание на числата, които го управляват. След Питагор Космосът започва да се разглежда като подреден според числото на Вселената.
Питагор учи, че човешката душа е безсмъртна. Той излезе с идеята за преселването на душите. Той вярваше, че всичко, което се случва в света, се повтаря отново и отново след определени периоди от време и душите на мъртвите след известно време се вселяват в други. Душата, като число, представлява Единицата, т.е. душата по същество е съвършена. Но всяко съвършенство, доколкото се задвижи, се превръща в несъвършенство, въпреки че се стреми да възвърне предишното си съвършено състояние. Питагор нарича отклонението от Единството несъвършенство; следователно Две се смяташе за прокълнато число. Душата в човека е в състояние на сравнително несъвършенство. Състои се от три елемента: разум, интелигентност, страст. Но ако животните също имат интелигентност и страсти, то само човекът е надарен с разум (разум). Всяка от тези три страни в човека може да надделее и тогава човекът става предимно или разумен, или здрав, или чувствен. Съответно той се оказва или философ, или обикновен човек, или животно.
Да се ​​върнем обаче на числата. Да, наистина числата са абстрактно проявление на основния философски закон на Вселената – Единството на противоположностите.
Забележка. Абстракцията служи като основа за процесите на обобщаване и формиране на концепции. Тя - необходимо условиекатегоризиране. Той формира обобщени образи на реалността, които позволяват да се идентифицират връзките и отношенията на обекти, които са значими за определена дейност.
Единството на противоположностите на Вселената се състои от Форма и Съдържание, Формата е количествена категория, а Съдържанието е качествена категория. Естествено, числата изразяват количествени и качествени категории в абстракция. Следователно събирането (изваждането) на числа е количествен компонент на абстракцията на Формите, а умножението (деленето) е качествен компонент на абстракцията на Съдържанието. Числата на абстракцията на Формата и Съдържанието са в неразривна връзка на Единството на Противоположностите.
Нека се опитаме да произвеждаме математически операции, над числата, установявайки неразривна връзка между формата и съдържанието.

Така че нека да разгледаме редицата от числа.
1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1+2= 3 (3) 4+5=9 (9)… (6) 7+8=15 -1+5=6 (9). Следващи 10 – (1+0) + 11 (1+1) = (1+2= 3) - 12 –(1+2=3) (3) 13-(1+3= 4) + 14 –(1 +4=5) = (4+5= 9) (9) …15 – (1+5=6) (6) … 16- (1+6=7) + 17 – (1+7 =8) ( 7+8=15) – (1+5= 6) … (18) – (1+8=9) (9). 19 – (1+9= 10) (1) -20 – (2+0=2) (1+2=3) 21 –(2+1=3) (3) – 22- (2+2= 4 ) 23-(2+3=5) (4+5=9) (9) 24- (2+4=6) 25 – (2+5=7) 26 – (2+6= 8) – 7+ 8= 15 (1+5=6) (6) И т.н.
Оттук наблюдаваме циклична трансформация на Формите, която съответства на цикъла на съдържанието - 1-ви цикъл - 3-9-6 - 6-9-3 2-ри цикъл - 3-9- 6 -6-9-3 и т.н.
6
9 9
3

Циклите отразяват инверсията на тора на Вселената, където Противоположностите на абстрактните числа на Формата и Съдържанието са 3 и 6, където 3 определя Компресията, а 6 - Разтягането. Компромисът за тяхното взаимодействие е числото 9.
Следват 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1x2=2 (3) 4x5=20 (2+0=2) (6) 7x8=56 (5+6=11 1+1= 2) (9) и т.н.
Цикълът изглежда така 2-(3)-2-(6)- 2- (9)... където 2 е съставният елемент на цикъла 3-6-9.
По-долу е таблицата за умножение:
2x1=2
2x2=4
(2+4=6)
2x3=6
2x4=8
2x5=10
(8+1+0 = 9)
2x6=12
(1+2=3)
2x7=14
2x8=16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2x9=18
(1+8=9)
Цикъл -6.6- 9- 3.3 – 9.
3x1=3
3x2=6
3x3=9
3x4=12 (1+2=3)
3x5=15 (1+5=6)
3x6=18 (1+8=9)
3x7=21 (2+1=3)
3x8=24 (2+4=6)
3x9=27 (2+7=9)
Цикъл 3-6-9; 3-6-9; 3-6-9.
4x1=4
4x2=8 (4+8=12 1+2=3)
4x3=12 (1+2=3)
4x4=16
4x5=20 (1+6+2+0= 9)
4x6=24 (2+4=6)
4x7=28
4x8= 32 (2+8+3+2= 15 1+5=6)
4x9=36 (3+6=9)
Цикъл 3.3 – 9 - 6.6 - 9.
5x1=5
5x2=10 (5+1+0=6)
5x3=15 (1+5=6)
5x4=20
5x5=25 (2+0+2+5=9)
5x6=30 (3+0=3)
5x7=35
5x8=40 (3+5+4+0= 12 1+2=3)
5x9=45 (4+5=9)
Цикъл -6.6 – 9 - 3.3- 9.
6x1 = 6
6x2=12 (1+2=3)
6x3=18 (1+8=9)
6x4=24 (2+4=6)
6x5=30 (3+0=3)
6x6=36 (3+6=9)
6x7=42 (4+2=6)
6x8=48 (4+8=12 1+2=3)
6x9=54 (5+4=9)
Цикъл – 3-9-6; 3-9-6; 3-9.
7x1=7
7x2=14 (7+1+4= 12 1+2=3)
7x3=21 (2+1=3)
7x4=28
7x5=35 (2+8+3+5=18 1+8=9)
7x6=42 (4+2=6)
7x7=49
7x8=56 (4+9+5+6=24 2+4=6)
7x9=63 (6+3=9)
Цикъл – 3,3 – 9 – 6,6 – 9.
8x1= 8
8x2=16 (8+1+6= 15 1+5=6.
8x3=24 (2+4=6)
8x4=32
8x5=40 (3+2+4+0 =9)
8x6=48 (4+8=12 1+2=3)
8x7=56
8x8=64 (5+6+6+4= 21 2+1=3)
8x9=72 (7+2=9)
Цикъл -6,6 – 9 – 3,3 – 9.
9x1=9
9x2= 18 (1+8=9)
9x3= 27 (2+7=9)
9x4=36 (3+6=9)
9x5=45 (4+5= 9)
9x6=54 (5+4=9)
9x7=63 (6+3=9)
9x8=72 (7+2=9)
9x9=81 (8+1=9).
Цикълът е 9-9-9-9-9-9-9-9-9.

Числата на качествената категория на съдържанието - ​​3-6-9, показват ядрото на атома с различни суминеутрони, а количествените категории показват броя на електроните в атома. Химическите елементи са ядра, чиито маси са кратни на 9, а кратни на 3 и 6 са изотопи.
Забележка. Изотоп (от гръцки "равен", "идентичен" и "място") - разновидности на атоми и ядра от едно и също химичен елементс различен брой неутрони в ядрото. Химическият елемент е съвкупност от атоми с еднакви ядрени заряди. Изотопите са разновидности на атоми на химичен елемент с равен зарядядра, но с различни масови числа.

Всички реални обекти са направени от атоми, а атомите се определят от числа.
Следователно естествено е, че Питагор е бил убеден, че числата са реални обекти, а не прости символи. Числото е определено състояние на материалните обекти, същността на нещо. И Питагор беше прав за това.

Потенциалът за творчество обикновено се приписва на хуманитарните науки, оставяйки естествените науки на анализа, практическия подход и сухия език на формули и числа. Математиката не може да се класифицира като хуманитарен предмет. Но без творчество няма да стигнете далеч в „кралицата на всички науки“ - хората знаят това отдавна. От времето на Питагор например.

Училищните учебници, за съжаление, обикновено не обясняват, че в математиката е важно не само да се тъпчат с теореми, аксиоми и формули. Важно е да разберете и почувствате основните му принципи. И в същото време се опитайте да освободите ума си от клишета и елементарни истини - само в такива условия се раждат всички велики открития.

Такива открития включват това, което днес познаваме като Питагоровата теорема. С негова помощ ще се опитаме да покажем, че математиката не само може, но и трябва да бъде вълнуваща. И че това приключение е подходящо не само за маниаци с дебели очила, но и за всички, които са силни умом и духом.

Из историята на проблема

Строго погледнато, въпреки че теоремата се нарича „Питагоровата теорема“, самият Питагор не я е открил. Правоъгълният триъгълник и неговите специални свойства са били изучавани много преди него. Има две полярни гледни точки по този въпрос. Според една от версиите Питагор е първият, който намира пълно доказателство на теоремата. Според друга доказателството не принадлежи на авторството на Питагор.

Днес вече не можете да проверите кой е прав и кой крив. Това, което се знае е, че доказателството на Питагор, ако е съществувало някога, не е оцеляло. Въпреки това има предположения, че известното доказателство от Елементите на Евклид може да принадлежи на Питагор, а Евклид само го е записал.

Днес също така е известно, че проблемите за правоъгълен триъгълник се намират в египетски източници от времето на фараона Аменемхат I, върху вавилонски глинени плочки от управлението на цар Хамурапи, в древния индийски трактат „Сулва сутра” и древния китайски труд „ Джоу-би суан дзин”.

Както можете да видите, Питагоровата теорема е занимавала умовете на математиците от древни времена. Това се потвърждава от около 367 различни доказателства, които съществуват днес. В това никоя друга теорема не може да се конкурира с нея. Сред известните автори на доказателства можем да си припомним Леонардо да Винчи и двадесетия президент на САЩ Джеймс Гарфийлд. Всичко това говори за изключителното значение на тази теорема за математиката: повечето теореми на геометрията произлизат от нея или по някакъв начин са свързани с нея.

Доказателства на Питагоровата теорема

Училищните учебници дават предимно алгебрични доказателства. Но същността на теоремата е в геометрията, така че нека първо разгледаме онези доказателства на известната теорема, които се основават на тази наука.

Доказателство 1

За най-простото доказателство на Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник трябва да зададете идеални условия: нека триъгълникът е не само правоъгълен, но и равнобедрен. Има основание да се смята, че древните математици първоначално са смятали точно този вид триъгълник.

Изявление „квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сумата от квадратите, построени върху неговите катети“може да се илюстрира със следния чертеж:

Погледнете равнобедрения правоъгълен триъгълник ABC: Върху хипотенузата AC можете да построите квадрат, състоящ се от четири триъгълника, равни на оригиналния ABC. А от страните AB и BC е построен квадрат, всяка от които съдържа два подобни триъгълника.

Между другото, тази рисунка е в основата на многобройни вицове и карикатури, посветени на теоремата на Питагор. Най-известният вероятно е "Питагоровите панталони са равни във всички посоки":

Доказателство 2

Този метод съчетава алгебра и геометрия и може да се счита за вариант на древноиндийското доказателство на математика Бхаскари.

Построете правоъгълен триъгълник със страни a, b и c(Фиг. 1). След това изградете два квадрата със страни, равни на сумата от дължините на двата крака - (a+b). Във всеки от квадратите направете конструкции като на фигури 2 и 3.

В първия квадрат изградете четири триъгълника, подобни на тези на фигура 1. Резултатът е два квадрата: един със страна a, вторият със страна b.

Във втория квадрат построените четири подобни триъгълника образуват квадрат със страна, равна на хипотенузата ° С.

Сумата от площите на построените квадрати на фиг. 2 е равна на площта на квадрата, който построихме със страна c на фиг. 3. Това може лесно да се провери, като се изчисли площта на квадратите на фиг. 2 по формулата. И площта на вписания квадрат на фигура 3. чрез изваждане на площите на четири равни правоъгълни триъгълника, вписани в квадрата, от площта на голям квадрат със страна (a+b).

Записвайки всичко това, имаме: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Отворете скобите, направете всички необходими алгебрични изчисления и получете това a 2 +b 2 = a 2 +b 2. В този случай областта, вписана на фиг. 3. квадрат може да се изчисли и по традиционната формула S=c 2. Тези. a 2 +b 2 =c 2– доказахте Питагоровата теорема.

Доказателство 3

Самото древноиндийско доказателство е описано през 12 век в трактата „Венецът на знанието“ („Siddhanta Shiromani“) и като основен аргумент авторът използва апел, отправен към математическите таланти и наблюдателни умения на ученици и последователи: „ Виж!"

Но ние ще анализираме това доказателство по-подробно:

Вътре в квадрата изградете четири правоъгълни триъгълника, както е показано на чертежа. Нека обозначим страната на големия квадрат, известен също като хипотенуза, с. Нека наречем краката на триъгълника АИ b. Според чертежа страната на вътрешния квадрат е (a-b).

Използвайте формулата за площта на квадрат S=c 2за изчисляване на площта на външния квадрат. И в същото време изчислете същата стойност, като добавите площта на вътрешния квадрат и площите на четирите правоъгълни триъгълника: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Можете да използвате и двете опции за изчисляване на площта на квадрат, за да сте сигурни, че те дават един и същ резултат. И това ви дава правото да го запишете c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В резултат на решението ще получите формулата на Питагоровата теорема c 2 =a 2 +b 2. Теоремата е доказана.

Доказателство 4

Това любопитно древно китайско доказателство е наречено "Столът на булката" - заради подобната на стол фигура, която се получава от всички конструкции:

Той използва чертежа, който вече видяхме на фиг. 3 във второто доказателство. И вътрешният квадрат със страна c е конструиран по същия начин, както в древноиндийското доказателство, дадено по-горе.

Ако мислено отрежете два зелени правоъгълни триъгълника от чертежа на фиг. 1, преместете ги в противоположните страни на квадрата със страна c и прикрепете хипотенузите към хипотенузите на люляковите триъгълници, ще получите фигура, наречена „стол на булката“ (фиг. 2). За по-голяма яснота можете да направите същото с хартиени квадрати и триъгълници. Ще се уверите, че „столът на булката“ е оформен от два квадрата: малки със страна bи голяма със страна а.

Тези конструкции позволиха на древните китайски математици и ние, следвайки тях, да стигнем до извода, че c 2 =a 2 +b 2.

Доказателство 5

Това е друг начин за намиране на решение на Питагоровата теорема с помощта на геометрията. Нарича се метод Гарфийлд.

Построете правоъгълен триъгълник ABC. Трябва да го докажем BC 2 = AC 2 + AB 2.

За да направите това, продължете крака ACи конструирайте сегмент CD, което е равно на крака AB. Спуснете перпендикуляра ADлинейна отсечка ЕД. Сегменти ЕДИ ACса равни. Свържи точките дИ IN, и дИ СЪСи вземете чертеж като снимката по-долу:

За да докажем кулата, отново прибягваме до метода, който вече сме опитвали: намираме площта на получената фигура по два начина и приравняваме изразите един към друг.

Намерете площта на многоъгълник ЛЕГЛОможе да се направи чрез сумиране на площите на трите триъгълника, които го образуват. И един от тях, ERU, е не само правоъгълен, но и равнобедрен. Нека също не забравяме това AB=CD, AC=EDИ BC=SE– това ще ни позволи да опростим записа и да не го претоварваме. Така, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

В същото време е очевидно, че ЛЕГЛО- Това е трапец. Следователно изчисляваме неговата площ по формулата: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. За нашите изчисления е по-удобно и по-ясно да представим сегмента ADкато сбор от сегменти ACИ CD.

Нека запишем двата начина за изчисляване на площта на фигура, като поставим знак за равенство между тях: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ние използваме равенството на сегментите, което вече ни е известно и описано по-горе, за да опростим правилната страназаписи: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Сега нека отворим скобите и трансформираме равенството: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. След като завършим всички трансформации, получаваме точно това, от което се нуждаем: BC 2 = AC 2 + AB 2. Доказахме теоремата.

Разбира се, този списък с доказателства далеч не е пълен. Теоремата на Питагор може да бъде доказана и с помощта на вектори, комплексни числа, диференциални уравнения, стереометрия и др. И дори физиците: ако например течността се излее в квадратни и триъгълни обеми, подобни на тези, показани на чертежите. Чрез изливане на течност можете да докажете равенството на площите и самата теорема като резултат.

Няколко думи за Питагоровите тройки

Този въпрос е малко или изобщо не се изучава в училищната програма. Междувременно е много интересно и е от голямо значение в геометрията. Питагоровите тройки се използват за решаване на много математически задачи. Разбирането им може да ви бъде полезно в по-нататъшното образование.

И така, какво представляват Питагоровите тройки? Така го наричат цели числа, събрани по три, сумата от квадратите на две от които е равна на третото число в квадрата.

Питагоровите тройки могат да бъдат:

• примитивни (и трите числа са относително прости);
• не е примитивна (ако всяко число от тройка се умножи по едно и също число, получавате нова тройка, която не е примитивна).

Още преди нашата ера древните египтяни са били очаровани от манията за числата на питагорейските тройки: в задачи те са разглеждали правоъгълен триъгълник със страни 3, 4 и 5 единици. Между другото, всеки триъгълник, чиито страни са равни на числата от тройката на Питагор, е правоъгълен по подразбиране.

Примери за питагорови тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.н.

Практическо приложение на теоремата

Теоремата на Питагор се използва не само в математиката, но и в архитектурата и строителството, астрономията и дори литературата.

Първо, за конструкцията: теоремата на Питагор се използва широко в проблеми с различни нива на сложност. Например, погледнете романски прозорец:

Нека обозначим ширината на прозореца като b, тогава радиусът на големия полукръг може да се означи като Ри изразете чрез b: R=b/2. Радиусът на по-малките полуокръжности също може да бъде изразен чрез b: r=b/4. В тази задача се интересуваме от радиуса на вътрешния кръг на прозореца (да го наречем стр).

Теоремата на Питагор е просто полезна за изчисляване Р. За да направите това, използваме правоъгълен триъгълник, който е обозначен с пунктирана линия на фигурата. Хипотенузата на триъгълник се състои от два радиуса: b/4+p. Единият крак представлява радиуса б/4, друг b/2-p. Използвайки Питагоровата теорема, пишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. След това отваряме скобите и получаваме b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Нека трансформираме този израз в bp/2=b 2 /4-bp. И след това разделяме всички членове на b, представяме подобни, за да получите 3/2*p=b/4. И в крайна сметка намираме това p=b/6- което ни трябваше.

Използвайки теоремата, можете да изчислите дължината на гредите за двускатен покрив. Определете колко е висока кулата мобилни комуникациисигналът трябва да достигне определена селище. И дори да се инсталира стабилно коледна елхана градския площад. Както можете да видите, тази теорема живее не само на страниците на учебниците, но често е полезна в реалния живот.

В литературата Питагоровата теорема е вдъхновявала писатели от древността и продължава да го прави и в наше време. Например немският писател от деветнадесети век Аделберт фон Шамисо е бил вдъхновен да напише сонет:

Светлината на истината няма да се разсее скоро,
Но след като блесна, е малко вероятно да се разсее
И както преди хиляди години,
Няма да предизвика съмнение или противоречия.

Най-мъдрият, когато докосне погледа ти
Светлина на истината, слава на боговете;
И сто бика, заклани, лежат -
Подарък за връщане от късметлията Питагор.

Оттогава биковете реват отчаяно:
Завинаги разтревожен племето на биковете
Събитие, споменато тук.

Струва им се, че времето ще дойде,
И пак ще бъдат принесени в жертва
Някаква страхотна теорема.

(превод Виктор Топоров)

А през ХХ век съветският писател Евгений Велтистов в книгата си „Приключенията на електрониката” посвети цяла глава на доказателствата на Питагоровата теорема. И още половин глава от историята за двуизмерния свят, който би могъл да съществува, ако Питагоровата теорема стане основен закон и дори религия за един единствен свят. Животът там би бил много по-лесен, но и много по-скучен: например там никой не разбира значението на думите „кръгъл“ и „пухкав“.

А в книгата „Приключенията на електрониката“ авторът, през устата на учителя по математика Таратар, казва: „Основното нещо в математиката е движението на мисълта, новите идеи.“ Именно този творчески полет на мисълта поражда Питагоровата теорема - не напразно тя има толкова много разнообразни доказателства. Помага ви да излезете извън границите на познатото и да погледнете познатите неща по нов начин.

Заключение

Тази статия има за цел да ви помогне да погледнете отвъд училищна програмапо математика и научете не само онези доказателства на Питагоровата теорема, които са дадени в учебниците „Геометрия 7-9” (Л. С. Атанасян, В. Н. Руденко) и „Геометрия 7-11” (А. В. Погорелов), но и други интересни начини за доказване известната теорема. А също така вижте примери за това как Питагоровата теорема може да се приложи в ежедневието.

Първо, тази информация ще ви позволи да се класирате за по-високи резултати в уроците по математика - информацията по темата от допълнителни източници винаги е високо ценена.

Второ, искахме да ви помогнем да усетите колко интересна е математиката. Уверете се конкретни примериче в него винаги има място за творчество. Надяваме се, че Питагоровата теорема и тази статия ще ви вдъхновят да изследвате самостоятелно и да правите вълнуващи открития в математиката и други науки.

Кажете ни в коментарите дали намирате доказателствата, представени в статията, за интересни. Намирате ли тази информация за полезна в обучението си? Напишете ни какво мислите за Питагоровата теорема и тази статия - ще се радваме да обсъдим всичко това с вас.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Описание на презентацията по отделни слайдове:

1 слайд

Описание на слайда:

Ученически проект на средно училище MBOU Bondarskaya на тема: „Питагор и неговата теорема“ Изготвен от: Константин Ектов, ученик от 7А клас Ръководител: Надежда Ивановна Долотова, учител по математика, 2015 г.

2 слайд

Описание на слайда:

3 слайд

Описание на слайда:

Анотация. Геометрията е много интересна наука. Той съдържа много теореми, които не са подобни една на друга, но понякога са толкова необходими. Много се заинтересувах от Питагоровата теорема. За съжаление едно от най-важните твърдения научаваме едва в осми клас. Реших да повдигна завесата на тайната и да изследвам Питагоровата теорема.

4 слайд

Описание на слайда:

5 слайд

Описание на слайда:

6 слайд

Описание на слайда:

Цели: Изучаване на биографията на Питагор. Разгледайте историята и доказателството на теоремата. Разберете как теоремата се използва в изкуството. Намерете исторически задачи, в които се използва Питагоровата теорема. Запознайте се с отношението на децата от различни времена към тази теорема. Създайте проект.

7 слайд

Описание на слайда:

Напредък на изследването Биография на Питагор. Заповеди и афоризми на Питагор. Питагорова теорема. История на теоремата. Защо „Питагоровите панталони са еднакви във всички посоки“? Различни доказателства на Питагоровата теорема от други учени. Приложение на Питагоровата теорема. Изследване. Заключение.

8 слайд

Описание на слайда:

Питагор - кой е той? Питагор от Самос (580 - 500 г. пр. н. е.) древногръцки математик и философ идеалист. Роден на остров Самос. Получил добро образование. Според легендата Питагор, за да се запознае с мъдростта на източните учени, отишъл в Египет и живял там 22 години. След като усвоил добре всички египетски науки, включително математиката, той се преместил във Вавилон, където живял 12 години и се запознал с научните знания на вавилонските жреци. Традициите приписват на Питагор посещение в Индия. Това е много вероятно, тъй като Йония и Индия тогава са имали търговски отношения. Връщайки се в родината си (ок. 530 г. пр. н. е.), Питагор се опитва да организира своя собствена философска школа. По неизвестни причини обаче той скоро напуска Самос и се установява в Кротоне (гръцка колония в Северна Италия). Тук Питагор успява да организира своето училище, което работи почти тридесет години. Школата на Питагор, или както я наричат ​​още, Питагорейският съюз, е едновременно философска школа и политическа партияи религиозно братство. Състоянието на питагорейския съюз беше много тежко. Във философските си възгледи Питагор е идеалист, защитник на интересите на робовладелската аристокрация. Може би това е причината за заминаването му от Самос, тъй като в Йония има много голямо влияниеимаше привърженици на демократичните възгледи. В социалните въпроси под „заповед“ питагорейците разбират господството на аристократите. Те осъждат древногръцката демокрация. Питагорейската философия е примитивен опит да се оправдае господството на аристокрацията на робовладелците. В края на 5в. пр.н.е д. Вълна от демократично движение заля Гърция и нейните колонии. Демокрацията победи в Кротоне. Питагор, заедно със своите ученици, напуска Кротон и заминава за Тарент, а след това за Метапонт. Пристигането на питагорейците в Метапонт съвпада с избухването на народно въстание там. В една от нощните схватки почти деветдесетгодишният Питагор загина. Училището му престава да съществува. Учениците на Питагор, бягайки от преследване, се заселили из Гърция и нейните колонии. Изкарвайки прехраната си, те организирали училища, в които преподавали предимно аритметика и геометрия. Информация за техните постижения се съдържа в трудовете на по-късни учени - Платон, Аристотел и др.

Слайд 9

Описание на слайда:

Заповеди и афоризми на Питагор Мисълта е преди всичко между хората на земята. Не сядайте на мярката за зърно (т.е. не живейте безделие). Когато си тръгвате, не поглеждайте назад (т.е. преди смъртта не се придържайте към живота). Не вървете по утъпкания път (тоест следвайте не мненията на тълпата, а мненията на малцината, които разбират). Не дръжте лястовици в къщата си (т.е. не приемайте гости, които са приказливи или несдържани в езика си). Бъдете с тези, които носят товара, не бъдете с тези, които изхвърлят товара (т.е. насърчавайте хората не към безделие, а към добродетел, към работа). В полето на живота, като сеяч, върви с равна и постоянна стъпка. Истинското отечество е там, където има добри нрави. Не бъди член на учено общество: най-мъдрите, когато образуват общество, стават обикновени хора. чест свещени числа, тегло и мярка, като деца на грациозно равенство. Измерете желанията си, претеглете мислите си, пребройте думите си. Не се учудвайте на нищо: боговете бяха изненадани.

10 слайд

Описание на слайда:

Изложение на теоремата. В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.

11 слайд

Описание на слайда:

Доказателство на теоремата. На този моментВ научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Разбира се, всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях са: доказателства по метода на площта, аксиоматични и екзотични доказателства.

12 слайд

Описание на слайда:

Доказателство на Питагоровата теорема Даден е правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза c. Нека докажем, че c² = a² + b² Ще завършим триъгълника до квадрат със страна a + b. Площта S на този квадрат е (a + b)². От друга страна, квадратът е съставен от четири равни правоъгълни триъгълника, всеки с S равно на ½ a b, и квадрат със страна c. S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² Следователно (a + b)² = 2 a b + c², откъдето c² = a² + b² c c c c c a b

Слайд 13

Описание на слайда:

Историята на Питагоровата теорема Историята на Питагоровата теорема е интересна. Въпреки че тази теорема се свързва с името на Питагор, тя е била известна много преди него. Във вавилонските текстове тази теорема се появява 1200 години преди Питагор. Възможно е доказателствата му да не са били все още известни по това време, но връзката между хипотенузата и краката е установена емпиричновъз основа на измервания. Питагор очевидно е намерил доказателство за тази връзка. Запазена е древна легенда, че в чест на откритието си Питагор принесъл в жертва на боговете бик, а според други свидетелства дори сто бика. През следващите векове бяха намерени различни други доказателства на Питагоровата теорема. В момента има повече от сто от тях, но най-популярната теорема е изграждането на квадрат с помощта на даден правоъгълен триъгълник.

Слайд 14

Описание на слайда:

Теорема в Древен Китай„Ако прав ъгъл се разложи на съставните му части, тогава линията, свързваща краищата на страните му, ще бъде 5, когато основата е 3, а височината е 4.“

15 слайд

Описание на слайда:

Теорема в Древен ЕгипетКантор (най-големият немски историк на математиката) смята, че равенството 3² + 4² = 5² вече е било известно на египтяните около 2300 г. пр.н.е. д., по времето на крал Аменемхет (според папирус 6619 на Берлинския музей). Според Кантор харпедонаптите или „теглечите на въжета“ изграждат прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5.

16 слайд

Описание на слайда:

За теоремата във Вавилония „Заслугата на първите гръцки математици, като Талес, Питагор и питагорейците, не е откриването на математиката, а нейното систематизиране и обосноваване. В техните ръце изчислителните рецепти, базирани на неясни идеи, са се превърнали в точна наука."

Слайд 17

Описание на слайда:

Защо „Питагоровите панталони са еднакви във всички посоки“? В продължение на две хилядолетия най-разпространеното доказателство на Питагоровата теорема е това на Евклид. То е поставено в известната му книга “Принципи”. Евклид свали височината CH от върха на правия ъгъл до хипотенузата и доказа, че нейното продължение разделя квадрата, завършен върху хипотенузата, на два правоъгълника, чиито площи са равни на площите на съответните квадрати, построени върху страните. Чертежът, използван за доказване на тази теорема, се нарича шеговито „Питагорови панталони“. Дълго време се смяташе за един от символите на математическата наука.

18 слайд

Описание на слайда:

Отношението на древните деца към доказателството на Питагоровата теорема се смяташе за много трудно от учениците от Средновековието. Слабите ученици, които наизустяваха теоремите, без да ги разбират, и поради това бяха наречени „магарета“, не успяха да преодолеят Питагоровата теорема, която им послужи като непреодолим мост. Заради рисунките, придружаващи Питагоровата теорема, учениците я наричаха още „вятърна мелница“, съчиняваха стихотворения като „Питагоровите панталони са еднакви от всички страни“ и рисуваха карикатури.

Слайд 19

Описание на слайда:

Доказателство на теоремата Най-простото доказателство на теоремата се получава в случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Всъщност достатъчно е просто да погледнете мозайката от равнобедрени правоъгълни триъгълници, за да се убедите във валидността на теоремата. Например за триъгълник ABC: квадратът, построен върху хипотенузата AC, съдържа 4 оригинални триъгълника, а квадратите, построени върху страните, съдържат два.

20 слайд

Описание на слайда:

„Стол на булката” На фигурата квадратите, построени върху краката, са разположени на стъпки, един до друг. Тази фигура, която се появява в доказателства, датиращи не по-късно от 9 век сл. Хр. д., индусите го нарекли „столът на булката“.

21 слайда

Описание на слайда:

Приложение на теоремата на Питагор В момента е общопризнато, че успехът на развитието на много области на науката и технологиите зависи от развитието на различни области на математиката. Важно условиеповишаването на ефективността на производството е широкото въвеждане на математически методи в технологията и Национална икономика, което включва създаването на нови, ефективни методикачество и количествени изследвания, които позволяват решаване на проблеми, поставени от практиката.

22 слайд

Описание на слайда:

Приложение на теоремата в строителството В готически и Романски стилгорните части на прозорците са разделени с каменни ребра, които не само играят ролята на орнамент, но и допринасят за здравината на прозорците.

Слайд 23

Описание на слайда:

24 слайд

Описание на слайда:

Исторически задачи За да закрепите мачтата, трябва да инсталирате 4 кабела. Единият край на всеки кабел трябва да бъде прикрепен на височина 12 m, а другият на земята на разстояние 5 m от мачтата. Достатъчни ли са 50 м кабел за закрепване на мачтата?