Работен лист по геометрия "Относителното положение на права и окръжност. Относителното положение на две окръжности" (7 клас). Относителното положение на права линия и окръжност

Нека на равнина са дадени окръжност и някаква права линия. Нека пуснем перпендикуляр от центъра на окръжност С върху тази права линия; нека означим с основата на този перпендикуляр. Една точка може да заема три възможни позиции спрямо окръжността: а) лежи извън окръжността, б) върху окръжността, в) вътре в окръжността. В зависимост от това правата линия ще заеме една от три възможни различни позиции спрямо кръга, описани по-долу.

а) Нека основата на перпендикуляра, пуснат от центъра C на окръжността към права линия, лежи извън окръжността (фиг. 197). Тогава правата линия не пресича окръжността; всички нейни точки лежат във външната област. Наистина, в посочения случай, по условие, той се отдалечава от центъра на разстояние, по-голямо от радиуса). Освен това, за всяка точка M на права линия a имаме, т.е. всяка точка на дадена права линия лежи извън окръжността.

б) Нека основата на перпендикуляра пада върху окръжността (фиг. 198). Тогава правата a има точно една обща точка с окръжността. Наистина, ако M е друга точка от правата, тогава (наклонените са по-дълги от перпендикуляра) точката M лежи във външната област. Такава права, която има една обща точка с окръжността, се нарича допирателна към окръжността в тази точка. Нека покажем, че обратно, ако една права линия има една обща точка с окръжност, тогава радиусът, начертан до тази точка, е перпендикулярен на тази права линия. Наистина, нека пуснем перпендикуляр от центъра върху тази права. Ако нейната основа лежеше вътре в кръга, тогава правата линия ще има две общи точки с нея, както е показано в c). Ако лежеше извън кръга, тогава по силата на а) правата нямаше да има общи точки с кръга.

Следователно остава да приемем, че перпендикулярът попада в общата точка на правата, а окръжността - в точката на тяхното допиране. Доказано важно

Теорема. Права линия, минаваща през точка от окръжност, докосва окръжността тогава и само ако е перпендикулярна на радиуса, начертан към тази точка.

Имайте предвид, че дефиницията на допирателна към окръжност, дадена тук, не се пренася към други криви. По-обща дефиниция на допирателната на права към крива линия е свързана с понятията на теорията на границите и се обсъжда подробно в курса висша математика. Тук ще говорим само за него обща концепция. Нека е дадена окръжност и точка А върху нея (фиг. 199).

Нека вземем друга точка А от окръжността и свържем двете точки на правата линия АА. Нека точка А, движейки се по окръжност, заема последователност от нови позиции, приближавайки се все повече и повече към точка А. Правата линия АА, въртяща се около А, заема редица позиции: в този случай, когато движещата се точка се доближава до точка А , правата се стреми да съвпадне с допирателната AT. Следователно можем да говорим за допирателна като гранична позиция на секуща, минаваща през дадена точка и точка на крива, която се приближава към нея без ограничение. В тази форма дефиницията на допирателна е приложима много за криви общ изглед(фиг. 200).

в) Накрая нека точката лежи вътре в окръжността (фиг. 201). Тогава . Ще разгледаме наклонени окръжности, начертани към права линия a от центъра C, като основите се отдалечават от точката във всяка от двете възможни посоки. Дължината на наклонената ще нараства монотонно, когато основата му се отдалечава от точката; това увеличение на дължината на наклонената става постепенно („непрекъснато“) от стойности, близки до стойности, произволно големи, следователно изглежда ясно, че при определено положение на наклонените основи тяхната дължина ще бъде точно равна на съответните точки K и L на правата ще лежат на окръжността.

Взаимна договореностправа и окръжност Нека разберем колко общи точки могат да имат права и окръжност в зависимост от взаимното им разположение. Ясно е, че ако права линия минава през центъра на окръжност, тогава тя пресича окръжността в двата края на лежащия върху нея диаметър. тази прима.

Нека е направо Рне минава през центъра на радиусната окръжност r.Нека начертаем перпендикуляр ТОЙкъм права линия Ри означете с буквата ддължината на този перпендикуляр, т.е. разстоянието от центъра на този кръг до правата линия (фиг. 1 ). Изследваме относителната позиция на линия и окръжност в зависимост от връзката между дИ r.Има три възможни случая.

1) г Рот точка ноставете настрана два сегмента НАИ NV,дължини, които са равни (фиг. 1) Според Питагоровата теорема ОА=,

0 B= Следователно, точки АИ INлежат на окръжността и следователно са общи точки на правата Ри дадената окръжност.

Нека докажем, че линията Ри тази окръжност няма други общи точки. Да предположим, че те имат още една обща точка C. Тогава медианата O.D.равнобедрен триъгълник OAS. отнесени до базата климатик,е височината на този триъгълник, така че ОТНОСНОдстр. Сегменти O.D.И ТОЙне съвпадат

още от средата дсегмент ACне пасва с точка Н -средата на сегмента , AB.Открихме, че от точка O са прекарани два перпендикуляра: ТОЙИ OD-към права линия R,което е невъзможно. Така Акоразстояние разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността (д< р), Че права линия и кръгИма две общи точки.В този случай линията се извиква секущапо отношение на кръга.

2) d=r.В такъв случай OH=r,т.е. точка нлежи върху окръжността и следователно е общата точка на правата и окръжността (фиг. 1, б).Направо Ри окръжността няма други общи точки, тъй като за всяка точка Мправ Р.различен от точката Н, OM>OH= r(косо ОМпо-перпендикулярно ТОЙ),и следователно , точка M не лежи на окръжността. Така че, ако състезанияРазстоянието от центъра на окръжността до правата е равно на радиуса, тогава правата и окръжността имат само една обща точка.

3) d>rВ такъв случай -ОХ> rЕто защо . за всяка точка Мправ p 0MON.>r(ориз . 1,А)Следователно точка М не лежи на окръжността. Така, .ако разстоянието от центъра на кръгаАко разстоянието до правата е по-голямо от радиуса на окръжността, то правата и окръжността нямат общи точки.

Доказахме, че права и окръжност могат да имат една или две общи точки и може да нямат никакви общи точки. Права линия с кръгсамо един общата точка се нарича допирателна към окръжността,и техния обща точкасе нарича допирна точка на правата и окръжността.На фигура 2 има права линия Р- допирателна към окръжност с център O, А- точка на допир.

Нека докажем теоремата за свойството допирателна.

Теорема. Допирателната към окръжност е перпендикулярнаДа се радиус, начертан до точката на контакт.

Доказателство. Позволявам Р- допирателна към окръжност с център O. А- точка на контакт (виж фиг. 2). Нека го докажем. каква е допирателната Рперпендикулярно на радиуса ОА.

Да приемем, че това не е така. Тогава радиусът: ОАе наклонена към права линия Р.Тъй като перпендикулярът, прекаран от точката ОТНОСНОкъм права линия R,по-малко наклонен ОА, след това разстоянията от центъра ОТНОСНОкръг към права линия Рпо-малко от радиуса. Следователно, направо Ри окръжността имат две общи точки. Но това противоречи на условието; прав Р- допирателна. Така, направо Рперпендикулярно на радиуса ОА.Теоремата е доказана.

Да разгледаме две допирателни към окръжност с център ОТНОСНО, минаваща през точката Аи докосване на кръга в точки INи С (фиг. 3). Сегменти ABИ ACда се обадим допирателни сегментиnyh, изтеглен от точка А.Те имат следното свойство, което следва от доказаната теорема:

Отсечките от допирателни към окръжност, изтеглени от една точка, са равни и сключват равни ъгли с права линия, минаваща през тази точка и центъра на окръжността.

За да докажем това твърдение, нека се обърнем към Фигура 3. Според теоремата за свойството допирателна, ъгли 1 и 2 са прави ъгли, следователно триъгълници ABOИ ASOправоъгълен. Те са равни, защото имат обща хипотенуза ОАи равни крака ОВИ ОПЕРАЦИОННА СИСТЕМА.следователно AB=ACи 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Ориз. 2 Фиг. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Изчертаване на диаметъра през точката на контакт АЗ, ще има: ; Ето защо

Ориз. 1 Фиг. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Зависимост между дъги, хорди и разстояния на хордите от центъра.

Теореми. В един кръг или V равни кръгове :

1) ако дъгите са равни, то и свързващите ги хорди са равни и еднакво отдалечени от центъра;

2) ако две дъги, по-малки от полукръг, не са равни, тогава по-голямата от тях се обхваща от по-голямата хорда и от двете хорди по-голямата е разположена по-близо до центъра .

1) Нека дъгата ABравен на дъга CD(фиг. 1), се изисква да се докаже, че хордите AB и CDравни и също равни и перпендикулярни OEИ НА,спуснати от центъра към акордите.

Нека завъртим сектора OAJBоколо центъра ОТНОСНОв посоката, посочена със стрелката, толкова, че радиусът ОТНОСНОсъвпадна с ОПЕРАЦИОННА СИСТЕМА.След това дъга Вирджинияще върви в дъга CDи поради тяхното равенство тези дъги ще се припокриват. Това означава, че хордата AS съвпада с хордата CDи перпендикулярно OEще съвпадне с НА(от една точка може да се спусне само един перпендикуляр върху права линия), т.е. AB=CDИ OE=НА.

2) Нека дъгата AB(фиг. 2) по-малко дъга CD,и освен това и двете дъги са по-малки от полукръг; изисква се да се докаже, че хордата ABпо-малко акорд CD,и перпендикулярно OEпо-перпендикулярно НА. Нека го поставим на дъгата CDдъга SK,равна на AB,и начертайте спомагателна акорда SK, което според доказаното е равно на хордата ABи еднакво отдалечени от центъра. На триъгълници C.O.D.И СОКдве страни на едната са равни на две страни на другата (като радиуси), но ъглите, затворени между тези страни, не са равни; в този случай, както знаем, срещу по-големия от ъглите, т.е. lCOD,по-голямата страна трябва да лежи, което означава CD>CK,и ето защо CD>AB.

За да докажа това OE>НА,ще проведем OLXCKи вземете предвид, че според доказаното, OE=OL;следователно за нас е достатъчно да сравним НАс OL.В правоъгълен триъгълник 0 FM(покрити на фигурата с тирета) хипотенуза ОМповече крак НА;Но OL>OM;това означава още повече OL>НА.и ето защо OE>НА.

Теоремата, която доказахме за една окръжност, остава вярна и за равни окръжности, тъй като такива окръжности се различават една от друга само по позиция.

Обратни теореми. Тъй като в предходния параграф бяха разгледани всички видове взаимно изключващи се случаи по отношение на сравнителния размер на две дъги с еднакъв радиус и бяха получени взаимно изключващи се заключения относно сравнителния размер на хордите и техните разстояния от центъра, тогава обратните твърдения трябва да бъдат вярно, c. точно:

IN един кръг или равни кръгове:

1) равните хорди са еднакво отдалечени от центъра и обхващат равни дъги;

2) хордите, еднакво отдалечени от центъра, са равни и обхващат равни дъги;

3) от две неравни хорди, като по-голямата е по-близо до центъра и обхваща по-голямата дъга;

4) от две хорди, неравно отдалечени от центъра, който е по-близо до центъра е по-голям и обхваща по-голяма дъга.

Тези твърдения могат лесно да бъдат доказани чрез противоречие. Например, за да докажем първия от тях, ние разсъждаваме по следния начин: ако тези хорди обхващат неравни дъги, тогава, според пряката теорема, те не биха били равни, което противоречи на условието; това означава, че равните хорди трябва да обхващат равни дъги; и ако дъгите са равни, тогава, според пряката теорема, хордите, които ги свързват, са еднакво отдалечени от центъра.

Теорема. Диаметърът е най-големият от хордите .

Ако се свържем с центъра ОТНОСНОкраищата на някакъв хорд, който не минава през центъра, например хорда AB(фиг. 3) тогава получаваме триъгълник AOB,в който едната страна е тази хорда, а другите две са радиуси, но в триъгълник всяка страна е по-малка от сумата на другите две страни; следователно акордът ABпо-малко от сбора на два радиуса; докато всеки диаметър CDравна на сумата от два радиуса. Това означава, че диаметърът е по-голям от всяка хорда, която не минава през центъра. Но тъй като диаметърът също е хорда, можем да кажем, че диаметърът е най-голямата от хордите.

Ориз. 1 Фиг. 2

Теорема за допирателната.

Както вече споменахме, допирателните сегменти, начертани към окръжност от една точка, имат еднаква дължина. Тази дължина се нарича допирателно разстояниеот точка към окръжност.

Без теоремата за допирателната е невъзможно да се реши повече от една задача за вписани окръжности, с други думи, за окръжности, докосващи страните на многоъгълник.

Допирателни разстояния в триъгълник.

Намерете дължините на отсечките, за които страните на триъгълника ABCса разделени от точки на допиране с вписана в него окръжност (фиг. 1,а), например допирателно разстояние tаот точка Акъм кръга. Нека добавим страните bИ ° С, и след това извадете страната от сумата А. Като вземем предвид равенството на допирателните, изтеглени от един връх, получаваме 2 tа. Така,

ta=(b+° С-а)/ 2=п-а,

Където p=(а+b+° С)/ 2 е полупериметърът на този триъгълник. Дължината на страничните сегменти, съседни на върховете INИ СЪС, са съответно равни п-bИ п-° С.

По същия начин за вписаната окръжност на триъгълник, допирателна към (извън) страната А(фиг. 1, b), допирателни разстояния от INИ СЪСса съответно равни п-° СИ п-b, и от върха А- Просто стр.

Имайте предвид, че тези формули могат да се използват и в обратна посока.

Нека отиде в ъгъла ВИЕе вписана окръжност, а разстоянието на допирателната от върха на ъгъла до окръжността е равно настрилип- а, Къдетостр– полупериметър на триъгълник ABC, А a=BC. Тогава кръгът докосва линията слънце(съответно извън или вътре в триъгълника).

Всъщност нека например разстоянието на допирателната е равно п-а. Тогава нашите кръгове докосват страните на ъгъла в същите точки като вписаната окръжност на триъгълника ABC, което означава, че съвпада с него. Следователно докосва линията слънце.

Описан четириъгълник.От теоремата за равенството на допирателните непосредствено следва (фиг. 2а), че

Ако една окръжност може да бъде вписана в четириъгълник, тогава сумите на противоположните му страни са равни:

AD+ пр.н.е.= AB+ CD

Обърнете внимание, че описаният четириъгълник е задължително изпъкнал. Обратното също е вярно:

Ако четириъгълникът е изпъкнал и сумите на противоположните му страни са равни, тогава в него може да се впише окръжност.

Нека докажем това за четириъгълник, различен от успоредник. Нека например две срещуположни страни на четириъгълник ABИ DC,когато се продължи, те ще се пресичат в точка д(фиг. 2, b). Нека впишем кръг в триъгълник ADE. Допирателното му разстояние текъм основния въпрос дизразено с формулата

те=½ (AE+ED-АД).

Но според условието сумите на срещуположните страни на четириъгълник са равни, което означава AD+пр.н.е.=AB+CD, или AD=AB+CD-пр.н.е.. Замествайки тази стойност в израза за те, получаваме

те=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+пр.н.е.)= ½ (BE+EC+пр.н.е.),

и това е полупериметърът на триъгълника пр.н.е.. От доказаното по-горе условие за допиране следва, че нашата окръжност се докосва пр.н.е..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Две допирателни, прекарани към окръжността от точка извън нея, са равни и образуват равни ъгли с правата, свързваща тази точка с центъра, което следва от равенството правоъгълни триъгълници AOB и AOB1

Съставител на учител по математика

MBOU Средно училище № 18, Красноярск

Андреева Инга Викторовна

Относителното положение на права линия и окръжност

ОТНОСНО R – радиус

СЪС Д - диаметър

AB- акорд

• Окръжност с център в точка ОТНОСНОрадиус r
• Права линия, която не минава през центъра ОТНОСНО
• Нека означим с буквата разстоянието от центъра на кръга до правата линия с

Възможни са три случая:

• 1) с

• по-малко радиус на окръжността, тогава правата и окръжността имат две общи точки .

Директен АВ се нарича секуща по отношение на кръга.

Възможни са три случая:

• 2 ) с = r

• Ако разстоянието от центъра на кръга до правата линия равно на радиус на окръжността, тогава правата и окръжността имат само една обща точка .

с = r

Възможни са три случая:

• 3 ) ср

• Ако разстоянието от центъра на кръга до правата линия Повече ▼ радиус на окръжност, след това права линия и окръжност нямат допирни точки .

Допирателна към окръжност

определение: П права, която има само една обща точка с окръжност, се нарича допирателна към окръжността, а тяхната обща точка се нарича допирателна точка на правата и окръжността.

с = r

• права - секуща
• права - секуща
• няма допирни точки
• права - секуща
• права - допирателна

• r = 15 cm, s = 11 cm
• r = 6 см, s = 5,2 см
• r = 3,2 m, s = 4,7 m
• r = 7 cm, s = 0,5 dm
• r = 4 cm, s = 4 0 mm

Решете номер 633.

• OABC- кв
• AB = 6 см
• Окръжност с център O с радиус 5 cm

секущи от прави OA, AB, BC, AC

Допирателно свойство: Допирателната към окръжност е перпендикулярна на радиуса, начертан до точката на допиране.

м– допирателна към окръжност с център ОТНОСНО

М- точка на допир

ОМ- радиус

Тангентен знак:Ако права линия минава през края на радиус, лежащ върху окръжност, и е перпендикулярна на радиуса, тогава тя е асативен.

кръг с център ОТНОСНО

радиус ОМ

м- права линия, която минава през точка М

м – допирателна

Свойство на допирателните, минаващи през една точка:

Допирателни отсечки към

нарисувани кръгове

от същата точка, са равни и

направете равни ъгли

с права линия, минаваща през

тази точка и центъра на окръжността.

▼ По свойството на допирателната

∆ AVO, ∆ ASO – правоъгълни

∆ ABO= ∆ ACO – по хипотенузата и катета:

OA - общ,

кръг - геометрична фигура, състоящ се от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние от дадена точка.

Тази точка (О) се нарича център на кръга.
Радиус на кръга- това е сегмент, свързващ центъра с всяка точка от окръжността. Всички радиуси имат еднаква дължина (по дефиниция).
Акорд- сегмент, свързващ две точки от окръжност. Нарича се хорда, минаваща през центъра на окръжност диаметър. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Всякакви две точки от окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъга от окръжност. Дъгата се нарича полукръг, ако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.
Дължината на единичен полукръг се означава с π .
Сумата от градусните мерки на две дъги на окръжност с общи краища е равна на 360º.
Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича навсякъде наоколо.
Кръгов сектор- част от окръжност, ограничена от дъга и два радиуса, свързващи краищата на дъгата с центъра на окръжността. Дъгата, която ограничава сектора, се нарича дъга на сектора.
Две окръжности с общ център се наричат концентричен.
Две окръжности, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ортогонален.

Относителното положение на права линия и окръжност

1. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността ( г), тогава правата и окръжността имат две общи точки. В този случай линията се извиква секущапо отношение на кръга.
2. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса на окръжността, то правата и окръжността имат само една обща точка. Тази линия се нарича допирателна към окръжността, а общата им точка се нарича точка на допир между права и окръжност.
3. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността, тогава правата линия и окръжността нямат допирни точки
.

Централни и вписани ъгли

Централен ъгъле ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността.
Вписан ъгъл- ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат окръжността.

Теорема за вписания ъгъл

Вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, върху която той се намира.

• Следствие 1.
  Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.


• Следствие 2.
  Вписан ъгъл, сключен от полукръг, е прав ъгъл.

Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди.

Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Основни формули

• Обиколка:

• Дължина на кръговата дъга:

• Диаметър:

• Дължина на кръговата дъга:

• Площ на кръг:

• Площ на кръговия сектор:

Уравнение на окръжност

• IN правоъгълна системакоординатно уравнение на радиус на окръжност rцентриран в точка ° С(x o;y o) има формата:

• Уравнението на окръжност с радиус r с център в началото има формата: