Opće informacije o jednačinama. Sažetak časa iz matematike "Rješavanje jednačina" (3. razred)

Lekcija 80-81. Tema: “Rješavanje jednačina”

Ciljevi: naučiti rješavati jednačine sa nepoznatim pojmovima; ponoviti omjer jedinica dužine; konsolidovati veštine izračunavanja u koloni; razvijati vještine zaključivanja i logičkog mišljenja.

Planirani rezultati: učenici će naučiti rješavati jednačine za pronalaženje nepoznatog člana; izvršiti pismene proračune koristeći naučene tehnike; razumjeti razloge za uspjeh/neuspjeh obrazovne aktivnosti.

Tokom nastave

I . Organiziranje vremena

II . Ažuriranje znanja

Matematički diktat

1. Koliko je 67 manje od 89? (U 22.)

2. Oduzmite 4 desetice od 7 desetica. (30.)

3. Povećajte 23 za 32. (55.)

4. Koji broj sam smanjio za 27 i dobio 23? (50.)

5. Koliko biste trebali povećati 43 da biste dobili 70? (27.)

6. Od zbira brojeva 9 i 6 oduzmi 10. (5.)

7. Koji broj treba oduzeti od 64 da bi se dobilo 37? (27.)

8. Kojem broju ste dodali 0 i dobili 44? (44.)

9. Na 21 dodajte razliku između brojeva 14 i 6. (29.) 10. Zbir brojeva 33, 16, 4 i 27. (80.)

(Provjera. Samoprocjena.)

III . Samoopredjeljenje za aktivnost

Napravite još tri primjera koristeći ovaj primjer. 6 + 4=10

(Nastavnik piše primjere na tabli.) 4 + 6=10 10-4 = 6 10-6 = 4

Koje ste pravilo primijenili prilikom kreiranja primjera prekrivanja? (Zbroj se ne mijenja preuređivanjem uslova.)

Koje ste pravilo koristili prilikom kreiranja primjera oduzimanja? (Ako od zbirate oduzmete jedan član, dobit ćete drugi član.)

- Da biste saznali temu lekcije, riješite križaljku.

1. Oni su numerički i abecedni. (Izrazi.)

2. Pozivaju se brojevi koji se dodaju. (Dodaci.)

3. Broj od kojeg treba oduzeti. (Minuend.)

4. Matematički znak za oduzimanje. (Oduzeti.)

5. Jednakost koja sadrži nepoznati broj. (Jednačina.)

6. Zbir dužina stranica figure. (Perimetar.)

7. Izraz sa znakom plus. (Suma.)

8. Unos koji sadrži znak jednakosti. (Jednakost.)

9. Najmanje dvocifreni broj. (Deset.) 10. Latinično pismo. (X.)

Šta se dogodilo u istaknutom redu? (Rješavanje jednačina.)

Tema lekcije: “Rješavanje jednadžbi s nepoznatim pojmom.” Koje ćemo zadatke sebi postaviti?

IV . Radite na temi lekcije

1. Rad prema udžbeniku

Pogledajte domine na str. 7 udžbenika i primjera snimljenih jedan pored drugog. Kako se dobijaju primjeri oduzimanja? Koje pravilo ste koristili da ih sastavite? Završi zaključak. ( Naći nepoznat pojam, trebate oduzeti poznati pojam od zbira.)

№ 1 (str. 7).(Usmeno izvođenje.)

№2 (str. 7).(Zbirno izvršenje sa detaljnim objašnjenjem.)

2. Nezavisno rješenje jednačine

Opcija 1 Opcija 2

x + 45 = 92 75 + x = 81

26+x = 50 x + 22 = 70

(Dva učenika zapisuju rješenje na flip tablu. Provjera. Samoprocjena.)

Rješenje:

x + 45 = 92 75 + x = 81

x = 92-45 x = 81-75

x = 47 X= 6

26+x=50 x + 22 = 70

x = 50 – 26 x = 70 - 22

3. Rad prema udžbeniku

№3 (str. 7).(Usmeno izvođenje.)

№4 (str. 7). (Samostalno ispunjavanje. Za one koji imaju poteškoća nastavnik daje karticu pomoći sa programom rješenja.) 1) Koliko je čaša malina skupila sestra?

2) Koliko ste čaša malina skupili zajedno? (Provjeri. Samoprocjena.)

V . Minut fizičkog vaspitanja

Ja hodam i ti hodaš - jedan, dva, tri. (Koraci na mjestu.)

Ja pjevam, a ti pjevaš - jedan, dva, tri. (Pljesni rukama.)

Idemo i pjevamo - jedan, dva, tri. (Skakanje u mjestu.)

Živimo veoma prijateljski - jedan, dva, tri. (Koraci na mjestu.)

VI . Učvršćivanje naučenog materijala

Rad iz udžbenikabr. 1 (str. 14).

Koje jedinice dužine znate?

Koliko milimetara ima 1 cm? (Nezavisno izvršenje. Provjera.) Rješenje:

5 cm 3 mm = 53 mm

3 cm 8 mm = 38 mmbr. 2 (str. 14).

(Nezavisno izvršenje. Provjera.)

1) Rješenje:

AB= 3 cm 5 mm, CD= 5 cm 5 mm;

5 cm 5 mm - 3 cm 5 mm = 2 cm.

odgovor: dužina segmenta CD 2 cm više od dužine segmenta AB.

2) Rješenje: ECMO= 2 cm + 4 cm + 1 cm 5 mm = 7 cm 5 mm. br. 3 (str. 14).

(Nezavisna implementacija. Provjera. Samoprocjena.)

Rješenje:

2 cm = 20 mm

4 cm 2 mm > 40 mm 30 mm = 3 cm

4 cm 5 mm < 5 cm

VII . Refleksija

(„Testiraj se“ (udžbenik, str. 7). Samostalna implementacija. Test.)

Rješenje: 15+x = 35 x = 35-15 x = 20

VIII . Sumiranje lekcije

Koje vrste jednačina ste se danas sjetili?

Kako pronaći nepoznat pojam?

Kome treba pomoć?

Zadaća: Radna sveska: br. 10, 11 (str. 6).

Jednadžbe su teška tema za savladavanje, ali su moćan alat za rješavanje većine problema.

Pomoću jednačina opisuju se različiti procesi koji se dešavaju u prirodi. Jednačine se široko koriste u drugim naukama: ekonomiji, fizici, biologiji i hemiji.

U ovoj lekciji pokušaćemo da razumemo suštinu najjednostavnijih jednačina, naučimo da izrazimo nepoznanice i rešimo nekoliko jednačina. Kako budete učili nove materijale, jednadžbe će postati složenije, pa je razumijevanje osnova vrlo važno.

Šta je jednačina?

Jednačina je jednakost koja sadrži varijablu čiju vrijednost želite pronaći. Ova vrijednost mora biti takva da kada se zameni u originalnu jednačinu, dobije se ispravna numerička jednakost.

Na primjer, izraz 2 + 2 = 4 je jednakost. Prilikom izračunavanja lijeve strane dobija se tačna brojčana jednakost 4 = 4.

Ali jednakost je 2+ x= 4 je jednadžba jer sadrži varijablu x, čija se vrijednost može pronaći. Vrijednost mora biti takva da se zamjenom ove vrijednosti u originalnu jednačinu dobije tačna brojčana jednakost.

Drugim riječima, moramo pronaći vrijednost na kojoj bi znak jednakosti opravdao svoju lokaciju - lijeva strana mora biti jednaka desnoj strani.

Jednačina 2 + x= 4 je elementarno. Varijabilna vrijednost x jednako je broju 2. Za bilo koju drugu vrijednost, jednakost se neće poštovati

Kažu da je broj 2 root ili rješavanje jednačine 2 + x = 4

Root ili rješenje jednačine- ovo je vrijednost varijable pri kojoj se jednačina pretvara u pravu numeričku jednakost.

Može postojati nekoliko korijena ili nijedan. Riješite jednačinu znači pronaći njegove korijene ili dokazati da korijena nema.

Varijabla uključena u jednačinu naziva se drugačije nepoznato. Imate pravo da to nazovete kako želite. Ovo su sinonimi.

Bilješka. Izraz "riješi jednačinu" govori sam za sebe. Rješavanje jednačine znači „izjednačavanje“ jednačine – uravnotežiti je tako da je lijeva strana jednaka desnoj strani.

Izrazite jednu stvar kroz drugu

Proučavanje jednačina tradicionalno počinje učenjem izražavanja jednog broja uključenog u jednakost kroz niz drugih. Nemojmo kršiti ovu tradiciju i učinimo isto.

Razmotrite sljedeći izraz:

8 + 2

Ovaj izraz je zbir brojeva 8 i 2. Vrijednost ovog izraza je 10

8 + 2 = 10

Imamo jednakost. Sada možete izraziti bilo koji broj iz ove jednakosti kroz druge brojeve uključene u istu jednakost. Na primjer, izrazimo broj 2.

Da biste izrazili broj 2, morate postaviti pitanje: "šta treba učiniti sa brojevima 10 i 8 da dobijete broj 2." Jasno je da da biste dobili broj 2, trebate oduzeti broj 8 od broja 10.

To je ono što mi radimo. Zapisujemo broj 2 i kroz znak jednakosti kažemo da smo za dobijanje ovog broja 2 oduzeli broj 8 od broja 10:

2 = 10 − 8

Izrazili smo broj 2 iz jednakosti 8 + 2 = 10. Kao što se može vidjeti iz primjera, u tome nema ništa komplicirano.

Prilikom rješavanja jednadžbi, posebno kada se izražava jedan broj drugim, zgodno je zamijeniti znak jednakosti riječju “ Tu je" . To se mora učiniti mentalno, a ne u samom izražavanju.

Dakle, izražavajući broj 2 iz jednakosti 8 + 2 = 10, dobili smo jednakost 2 = 10 − 8. Ova jednakost se može pročitati na sljedeći način:

2 Tu je 10 − 8

To je znak = zamijenjen riječju "je". Štaviše, jednakost 2 = 10 − 8 može se prevesti iz matematički jezik punim ljudskim jezikom. Tada se može pročitati na sljedeći način:

Broj 2 Tu je razlika između broja 10 i broja 8

Broj 2 Tu je razlika između broja 10 i broja 8.

Ali mi ćemo se ograničiti samo na zamjenu znaka jednakosti riječju „je“, a to nećemo uvijek činiti. Elementarni izrazi se mogu razumjeti bez prevođenja matematičkog jezika na ljudski jezik.

Vratimo rezultirajuću jednakost 2 = 10 − 8 u prvobitno stanje:

8 + 2 = 10

Izrazimo ovaj put broj 8. Šta treba uraditi sa preostalim brojevima da dobijemo broj 8? Tako je, od broja 10 morate oduzeti 2

8 = 10 − 2

Vratimo rezultirajuću jednakost 8 = 10 − 2 u prvobitno stanje:

8 + 2 = 10

Ovaj put ćemo izraziti broj 10. Ali ispostavilo se da nema potrebe da se izražava desetica, jer je već izražena. Dovoljno je zamijeniti lijevi i desni dio, pa dobijamo ono što nam treba:

10 = 8 + 2

Primjer 2. Razmotrimo jednakost 8 − 2 = 6

Izrazimo iz ove jednakosti broj 8. Da bismo izrazili broj 8, potrebno je dodati preostala dva broja:

8 = 6 + 2

Vratimo rezultirajuću jednakost 8 = 6 + 2 u prvobitno stanje:

8 − 2 = 6

Izrazimo iz ove jednakosti broj 2. Da biste izrazili broj 2, potrebno je od 8 oduzeti 6

2 = 8 − 6

Primjer 3. Razmotrimo jednakost 3 × 2 = 6

Izrazimo broj 3. Da biste izrazili broj 3, potrebno vam je 6 podijeljeno sa 2

Vratimo rezultirajuću jednakost u prvobitno stanje:

3 × 2 = 6

Izrazimo iz ove jednakosti broj 2. Da biste izrazili broj 2, treba vam 6 podijeljeno sa 3

Primjer 4. Uzmite u obzir jednakost

Iz ove jednakosti izrazimo broj 15. Da biste izrazili broj 15, trebate pomnožiti brojeve 3 i 5

15 = 3 × 5

Vratimo rezultirajuću jednakost 15 = 3 × 5 u prvobitno stanje:

Izrazimo iz ove jednakosti broj 5. Da biste izrazili broj 5, treba vam 15 podijeljeno sa 3

Pravila za pronalaženje nepoznatih

Razmotrimo nekoliko pravila za pronalaženje nepoznanica. Možda su vam poznate, ali ne škodi da ih ponovite. U budućnosti se mogu zaboraviti, jer učimo rješavati jednačine bez primjene ovih pravila.

Vratimo se na prvi primjer, koji smo pogledali u prethodnoj temi, gdje smo u jednakosti 8 + 2 = 10 trebali izraziti broj 2.

U jednakosti 8 + 2 = 10, brojevi 8 i 2 su članovi, a broj 10 je zbir.

Da bismo izrazili broj 2, uradili smo sledeće:

2 = 10 − 8

Odnosno, od zbira 10 oduzeli smo član 8.

Sada zamislite da u jednakosti 8 + 2 = 10, umjesto broja 2, postoji varijabla x

8 + x = 10

U ovom slučaju, jednakost 8 + 2 = 10 postaje jednačina 8 + x= 10 i varijabla x nepoznat pojam

Naš zadatak je da pronađemo ovaj nepoznati pojam, odnosno da riješimo jednačinu 8 + x= 10 . Da biste pronašli nepoznati pojam, predviđeno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati pojam, potrebno je da od zbroja oduzmete poznati pojam.

Što smo u osnovi uradili kada smo izrazili dva u jednakosti 8 + 2 = 10. Da bismo izrazili član 2, oduzeli smo još jedan član 8 od zbira 10

2 = 10 − 8

Sada, da pronađemo nepoznati pojam x, moramo oduzeti poznati član 8 od zbira 10:

x = 10 − 8

Ako izračunate desnu stranu rezultirajuće jednakosti, možete saznati čemu je varijabla jednaka x

x = 2

Rešili smo jednačinu. Varijabilna vrijednost x jednako 2. Za provjeru vrijednosti varijable x poslano na originalnu jednačinu 8 + x= 10 i zamena x. Preporučljivo je to učiniti sa bilo kojom riješenom jednadžbom, jer ne možete biti potpuno sigurni da je jednačina točno riješena:

Kao rezultat

Isto pravilo bi vrijedilo ako je nepoznati pojam prvi broj 8.

x + 2 = 10

U ovoj jednačini x je nepoznati pojam, 2 je poznati pojam, 10 je zbir. Da pronađem nepoznati pojam x, potrebno je da oduzmete poznati član 2 od zbira 10

x = 10 − 2

x = 8

Vratimo se na drugi primjer iz prethodne teme, gdje je u jednakosti 8 − 2 = 6 bilo potrebno izraziti broj 8.

U jednakosti 8 − 2 = 6, broj 8 je minus, broj 2 je oduzetak, a broj 6 je razlika

Da bismo izrazili broj 8, uradili smo sledeće:

8 = 6 + 2

To jest, dodali smo razliku od 6 i oduzeli 2.

Sada zamislite da u jednakosti 8 − 2 = 6, umjesto broja 8, postoji varijabla x

x − 2 = 6

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu tzv nepoznati minuend

Da biste pronašli nepoznati minuend, predviđeno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati minuend, morate dodati oduzetak razlici.

To smo uradili kada smo broj 8 izrazili u jednakosti 8 − 2 = 6. Da bismo izrazili minus od 8, dodali smo oduzetak od 2 razlici 6.

Sada, da pronađemo nepoznati minus x, moramo dodati oduzetak 2 razlici 6

x = 6 + 2

Ako izračunate desnu stranu, možete saznati čemu je varijabla jednaka x

x = 8

Sada zamislite da u jednakosti 8 − 2 = 6, umjesto broja 2, postoji varijabla x

8 − x = 6

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati subtrahend

Da biste pronašli nepoznati oduzetak, predviđeno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati oduzetak, trebate oduzeti razliku od minusa.

To je ono što smo uradili kada smo izrazili broj 2 u jednakosti 8 − 2 = 6. Da bismo izrazili broj 2, oduzeli smo razliku 6 od minusa 8.

Sada, da pronađemo nepoznati oduzetak x, opet trebate oduzeti razliku 6 od minusa 8

x = 8 − 6

Izračunamo desnu stranu i pronađemo vrijednost x

x = 2

Vratimo se na treći primjer iz prethodne teme, gdje smo u jednakosti 3 × 2 = 6 pokušali izraziti broj 3.

U jednakosti 3 × 2 = 6, broj 3 je množenik, broj 2 je množitelj, broj 6 je proizvod

Da bismo izrazili broj 3 uradili smo sljedeće:

To jest, podijelili smo proizvod 6 sa faktorom 2.

Sada zamislite da u jednakosti 3 × 2 = 6, umjesto broja 3 postoji varijabla x

x× 2 = 6

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati množenik.

Da biste pronašli nepoznati množenik, predviđeno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati množenik, morate proizvod podijeliti sa faktorom.

To smo uradili kada smo izrazili broj 3 iz jednakosti 3 × 2 = 6. Proizvod 6 podijelili smo sa faktorom 2.

Sada da pronađemo nepoznati množenik x, trebate podijeliti proizvod 6 sa faktorom 2.

Izračunavanje desne strane nam omogućava da pronađemo vrijednost varijable x

x = 3

Isto pravilo vrijedi ako je varijabla x se nalazi umjesto množitelja, a ne množitelja. Zamislimo da u jednakosti 3 × 2 = 6 umjesto broja 2 postoji varijabla x.

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati množitelj. Za pronalaženje nepoznatog faktora predviđen je isti postupak kao i za pronalaženje nepoznatog množenika, naime, dijeljenje proizvoda sa poznatim faktorom:

Da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti množenikom.

To smo uradili kada smo izrazili broj 2 iz jednakosti 3 × 2 = 6. Zatim da bismo dobili broj 2 podijelili smo proizvod 6 sa množenikom 3.

Sada da pronađemo nepoznati faktor x Podijelili smo proizvod 6 sa množenikom od 3.

Izračunavanje desne strane jednakosti omogućava vam da saznate čemu je x jednako

x = 2

Množilac i množilac zajedno se nazivaju faktori. Pošto su pravila za pronalaženje množitelja i množitelja ista, možemo formulirati opšte pravilo pronalaženje nepoznatog faktora:

Da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti sa poznatim faktorom.

Na primjer, riješimo jednačinu 9 × x= 18. Varijabilna x je nepoznat faktor. Da biste pronašli ovaj nepoznati faktor, trebate podijeliti proizvod 18 sa poznatim faktorom 9

Hajde da riješimo jednačinu x× 3 = 27. Varijabilna x je nepoznat faktor. Da biste pronašli ovaj nepoznati faktor, trebate podijeliti proizvod 27 sa poznatim faktorom 3

Vratimo se na četvrti primjer iz prethodne teme, gdje smo u jednakosti trebali izraziti broj 15. U ovoj jednakosti broj 15 je dividenda, broj 5 je djelitelj, a broj 3 je količnik.

Da bismo izrazili broj 15 uradili smo sledeće:

15 = 3 × 5

To jest, pomnožili smo količnik 3 sa djeliteljem 5.

Sada zamislite da u jednakosti, umjesto broja 15, postoji varijabla x

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznata dividenda.

Da biste pronašli nepoznatu dividendu, predviđeno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate pomnožiti količnik sa djeliteljem.

To smo uradili kada smo iz jednakosti izrazili broj 15. Da bismo izrazili broj 15, pomnožimo količnik od 3 sa djeliteljem broja 5.

Sada, da pronađemo nepoznatu dividendu x, potrebno je da pomnožite količnik 3 sa djeliteljem 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Sada zamislite da u jednakosti, umjesto broja 5, postoji varijabla x .

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati djelitelj.

Da biste pronašli nepoznati djelitelj, predviđeno je sljedeće pravilo:

To je ono što smo uradili kada smo izrazili broj 5 iz jednakosti. Da bismo izrazili broj 5, dijelimo dividendu 15 s količnikom 3.

Sada da pronađemo nepoznati djelitelj x, trebate podijeliti dividendu 15 s količnikom 3

Izračunajmo desnu stranu rezultirajuće jednakosti. Na ovaj način saznajemo čemu je varijabla jednaka x .

x = 5

Dakle, da bismo pronašli nepoznanice, proučavali smo sljedeća pravila:

• Da biste pronašli nepoznati pojam, trebate oduzeti poznati pojam od zbira;
• Da biste pronašli nepoznati minuend, morate dodati oduzetak razlici;
• Da biste pronašli nepoznati oduzetak, trebate oduzeti razliku od minuenda;
• Da biste pronašli nepoznati množenik, morate proizvod podijeliti sa faktorom;
• Da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti množenikom;
• Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate pomnožiti količnik sa djeliteljem;
• Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.

Komponente

Komponentama ćemo zvati brojeve i varijable uključene u jednakost

Dakle, komponente sabiranja su uslovi I suma

Komponente oduzimanja su minuend, subtrahend I razlika

Komponente množenja su množenik, faktor I rad

Komponente dijeljenja su dividenda, djelitelj i količnik.

Ovisno o kojim komponentama imamo posla, primjenjivat će se odgovarajuća pravila za pronalaženje nepoznatih. Proučili smo ova pravila u prethodnoj temi. Prilikom rješavanja jednačina preporučljivo je znati ova pravila napamet.

Primjer 1. Pronađite korijen jednačine 45 + x = 60

45 - rok, x- nepoznat termin, 60 - zbir. Bavimo se komponentama sabiranja. Podsjećamo da da biste pronašli nepoznati pojam, morate oduzeti poznati pojam od zbira:

x = 60 − 45

Izračunajmo desnu stranu i dobijemo vrijednost x jednako 15

x = 15

Dakle, korijen jednadžbe je 45 + x= 60 je jednako 15.

Najčešće se nepoznati pojam mora svesti na oblik u kojem se može izraziti.

Primjer 2. Riješite jednačinu

Ovdje, za razliku od prethodnog primjera, nepoznati član se ne može odmah izraziti, jer sadrži koeficijent 2. Naš zadatak je da ovu jednačinu dovedemo u oblik u kojem bi se mogla izraziti x

IN u ovom primjeru Radimo sa komponentama sabiranja – terminima i zbirom. 2 x je prvi član, 4 je drugi član, 8 je zbir.

U ovom slučaju termin 2 x sadrži varijablu x. Nakon pronalaženja vrijednosti varijable x termin 2 xće imati drugačiji izgled. Dakle, termin 2 x može se u potpunosti uzeti kao nepoznat pojam:

Sada primjenjujemo pravilo za pronalaženje nepoznatog pojma. Oduzmite poznati pojam od zbira:

Izračunajmo desnu stranu rezultirajuće jednačine:

Imamo novu jednačinu. Sada imamo posla sa komponentama množenja: množenjem, množenjem i proizvodom. 2 - množenik, x- množitelj, 4 - proizvod

U ovom slučaju, varijabla x nije samo množitelj, već nepoznati množitelj

Da biste pronašli ovaj nepoznati faktor, trebate podijeliti proizvod sa množenikom:

Izračunajmo desnu stranu i dobijemo vrijednost varijable x

Da biste provjerili, pošaljite pronađeni korijen u originalnu jednadžbu i zamijenite x

Primjer 3. Riješite jednačinu 3x+ 9x+ 16x= 56

Odmah izrazite nepoznato x zabranjeno je. Prvo morate ovu jednačinu dovesti u oblik u kojem bi se mogla izraziti.

Na lijevoj strani ove jednačine predstavljamo:

Bavimo se komponentama množenja. 28 - množenik, x- množitelj, 56 - proizvod. Gde x je nepoznat faktor. Da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti množenikom:

Odavde x jednako 2

Ekvivalentne jednačine

U prethodnom primjeru, prilikom rješavanja jednadžbe 3x + 9x + 16x = 56 , dali smo slične članove na lijevoj strani jednačine. Kao rezultat, dobili smo novu jednačinu 28 x= 56 . Stara jednadžba 3x + 9x + 16x = 56 i rezultirajuća nova jednačina 28 x= 56 se poziva ekvivalentne jednačine, budući da im se korijeni poklapaju.

Jednačine se nazivaju ekvivalentnim ako im se korijeni poklapaju.

Hajde da to proverimo. Za jednačinu 3x+ 9x+ 16x= 56 našli smo korijen jednak 2. Zamijenimo prvo ovaj korijen u jednadžbu 3x+ 9x+ 16x= 56 , a zatim u jednačinu 28 x= 56, što je dobijeno donošenjem sličnih članova na levoj strani prethodne jednačine. Moramo dobiti tačne numeričke jednakosti

Prema redoslijedu operacija, prvo se vrši množenje:

Zamenimo koren 2 u drugu jednačinu 28 x= 56

Vidimo da obje jednačine imaju iste korijene. Dakle, jednačine 3x+ 9x+ 16x= 6 i 28 x= 56 su zaista ekvivalentni.

Za rješavanje jednačine 3x+ 9x+ 16x= 56 Koristili smo jedan od njih - redukciju sličnih pojmova. Ispravna identična transformacija jednačine omogućila nam je da dobijemo ekvivalentnu jednačinu 28 x= 56, što je lakše riješiti.

Od identičnih transformacija do ovog trenutka Znamo samo smanjiti razlomke, dodati slične članove, izvaditi zajednički faktor iz zagrada i otvoriti zagrade. Postoje i druge konverzije kojih biste trebali biti svjesni. Ali za opšta ideja o identičnim transformacijama jednačina, teme koje smo proučavali su sasvim dovoljne.

Razmotrimo neke transformacije koje nam omogućavaju da dobijemo ekvivalentnu jednačinu

Ako na obje strane jednačine dodate isti broj, dobit ćete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.

i slično:

Ako oduzmete isti broj sa obe strane jednačine, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.

Drugim riječima, korijen jednadžbe se neće promijeniti ako se isti broj doda (ili oduzme s obje strane) istom broju.

Primjer 1. Riješite jednačinu

Oduzmite 10 sa obe strane jednačine

Dobili smo jednačinu 5 x= 10 . Bavimo se komponentama množenja. Da pronađe nepoznati faktor x, trebate podijeliti proizvod 10 sa poznatim faktorom 5.

i zamena x pronađena vrijednost 2

Dobili smo tačnu brojčanu jednakost. To znači da je jednačina ispravno riješena.

Rješavanje jednačine oduzeli smo broj 10 sa obe strane jednačine. Kao rezultat, dobili smo ekvivalentnu jednačinu. Koren ove jednačine, kao i jednačina takođe je jednako 2

Primjer 2. Riješi jednačinu 4( x+ 3) = 16

Oduzmite broj 12 sa obe strane jednačine

Ostat će 4 na lijevoj strani x, a na desnoj strani broj 4

Dobili smo jednačinu 4 x= 4 . Bavimo se komponentama množenja. Da pronađe nepoznati faktor x, trebate podijeliti proizvod 4 sa poznatim faktorom 4

Vratimo se na prvobitnu jednačinu 4( x+ 3) = 16 i zamjena x pronađena vrijednost 1

Dobili smo tačnu brojčanu jednakost. To znači da je jednačina ispravno riješena.

Rješavanje jednadžbe 4( x+ 3) = 16 oduzeli smo broj 12 sa obe strane jednačine. Kao rezultat, dobili smo ekvivalentnu jednačinu 4 x= 4 . Korijen ove jednadžbe, poput jednačine 4 ( x+ 3) = 16 je takođe jednako 1

Primjer 3. Riješite jednačinu

Proširimo zagrade na lijevoj strani jednakosti:

Dodajte broj 8 na obje strane jednačine

Predstavimo slične članove na obje strane jednačine:

Ostat će 2 na lijevoj strani x, a na desnoj strani broj 9

U rezultirajućoj jednačini 2 x= 9 izražavamo nepoznati pojam x

Vratimo se originalnoj jednadžbi i zamena x pronađena vrijednost 4.5

Dobili smo tačnu brojčanu jednakost. To znači da je jednačina ispravno riješena.

Rješavanje jednačine na obje strane jednačine smo dodali broj 8. Kao rezultat, dobili smo ekvivalentnu jednačinu. Koren ove jednačine, kao i jednačina takođe jednako 4,5

Sljedeće pravilo koje nam omogućava da dobijemo ekvivalentnu jednačinu je sljedeće

Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobit ćete jednačinu ekvivalentnu datoj.

To jest, korijen jednačine se neće promijeniti ako pomjerimo član iz jednog dijela jednačine u drugi, mijenjajući njegov predznak. Ovo svojstvo je jedno od važnih i jedno od često korištenih pri rješavanju jednačina.

Razmotrite sljedeću jednačinu:

Koren ove jednačine je jednak 2. Zamenimo x ovaj korijen i provjeriti da li je numerička jednakost tačna

Rezultat je tačna jednakost. To znači da je broj 2 zaista korijen jednadžbe.

Pokušajmo sada eksperimentirati s terminima ove jednadžbe, premještajući ih iz jednog dijela u drugi, mijenjajući predznake.

Na primjer, termin 3 x nalazi se na lijevoj strani jednačine. Pomaknimo ga na desnu stranu, mijenjajući znak u suprotno:

Rezultat je jednadžba 12 = 9x − 3x . na desnoj strani ove jednačine:

x je nepoznat faktor. Hajde da pronađemo ovaj dobro poznati faktor:

Odavde x= 2 . Kao što vidite, korijen jednačine se nije promijenio. Dakle, jednačine su 12 + 3 x = 9x I 12 = 9x − 3x su ekvivalentni.

U stvari, ova transformacija je pojednostavljena metoda prethodne transformacije, gdje je isti broj dodan (ili oduzet) na obje strane jednačine.

To smo rekli u jednačini 12 + 3 x = 9x termin 3 x je pomjeren na desnu stranu, mijenjajući znak. U stvarnosti se dogodilo sljedeće: član 3 je oduzet sa obje strane jednačine x

Zatim su slični članovi dati na lijevoj strani i dobijena je jednačina 12 = 9x − 3x. Zatim su ponovo dati slični članovi, ali na desnoj strani i dobijena je jednačina 12 = 6 x.

Ali takozvani "transfer" je pogodniji za takve jednadžbe, zbog čega je postao toliko raširen. Prilikom rješavanja jednačina često ćemo koristiti ovu konkretnu transformaciju.

Jednačine 12 + 3 su također ekvivalentne x= 9x I 3x− 9x= −12 . Ovaj put jednačina je 12 + 3 x= 9x termin 12 je pomjeren na desnu stranu, a termin 9 x nalijevo. Ne treba zaboraviti da su znakovi ovih termina promijenjeni tokom transfera

Sljedeće pravilo koje nam omogućava da dobijemo ekvivalentnu jednačinu je sljedeće:

Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem, koji nije jednak nuli, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.

Drugim riječima, korijeni jednadžbe se neće promijeniti ako se obje strane pomnože ili podijele istim brojem. Ova se radnja često koristi kada trebate riješiti jednačinu koja sadrži frakcijske izraze.

Prvo, pogledajmo primjere u kojima će obje strane jednadžbe biti pomnožene istim brojem.

Primjer 1. Riješite jednačinu

Prilikom rješavanja jednadžbi koje sadrže frakcijske izraze, uobičajeno je da se najprije pojednostavi jednačina.

U ovom slučaju imamo posla upravo sa takvom jednačinom. Da bismo pojednostavili ovu jednačinu, obje strane se mogu pomnožiti sa 8:

Sjećamo se da za , moramo pomnožiti brojilac datog razlomka ovim brojem. Imamo dva razlomka i svaki od njih se množi sa brojem 8. Naš zadatak je da pomnožimo brojioce razlomaka sa ovim brojem 8

Sada se dešava zanimljivi dio. Brojnici i imenioci oba razlomka sadrže faktor 8, koji se može smanjiti za 8. To će nam omogućiti da se riješimo razlomka:

Kao rezultat, ostaje najjednostavnija jednadžba

Pa, nije teško pogoditi da je korijen ove jednadžbe 4

x pronađena vrijednost 4

Rezultat je tačna brojčana jednakost. To znači da je jednačina ispravno riješena.

Prilikom rješavanja ove jednačine pomnožili smo obje strane sa 8. Kao rezultat, dobili smo jednačinu. Koren ove jednačine, kao i jednačine, je 4. To znači da su ove jednačine ekvivalentne.

Faktor kojim se množe obje strane jednačine obično se piše prije dijela jednačine, a ne iza njega. Dakle, rješavajući jednačinu, pomnožili smo obje strane sa faktorom 8 i dobili smo sljedeći unos:

To nije promijenilo korijen jednačine, ali da smo to radili u školi, bili bismo ukoreni, jer je u algebri uobičajeno da se prije izraza s kojim se množi činilac piše. Stoga je preporučljivo prepisati množenje obje strane jednadžbe sa faktorom 8 na sljedeći način:

Primjer 2. Riješite jednačinu

Na lijevoj strani faktori od 15 se mogu smanjiti za 15, a na desnoj strani faktori od 15 i 5 mogu se smanjiti za 5

Otvorimo zagrade na desnoj strani jednačine:

Hajde da pomerimo termin x sa lijeve strane jednačine na desnu stranu, mijenjajući predznak. I pomjerimo član 15 s desne strane jednačine na lijevu stranu, opet mijenjajući predznak:

Predstavljamo slične pojmove sa obe strane, dobijamo

Bavimo se komponentama množenja. Varijabilna x

Vratimo se originalnoj jednadžbi i zamena x pronađena vrijednost 5

Rezultat je tačna brojčana jednakost. To znači da je jednačina ispravno riješena. Prilikom rješavanja ove jednačine pomnožili smo obje strane sa 15. Daljnjim izvođenjem identičnih transformacija, dobili smo jednačinu 10 = 2 x. Koren ove jednačine, kao i jednačina jednako 5. To znači da su ove jednačine ekvivalentne.

Primjer 3. Riješite jednačinu

Na lijevoj strani možete smanjiti dvije trojke, i desni deo biće jednako 18

Ostaje najjednostavnija jednadžba. Bavimo se komponentama množenja. Varijabilna x je nepoznat faktor. Hajde da pronađemo ovaj dobro poznati faktor:

Vratimo se originalnoj jednadžbi i zamjeni x pronađena vrijednost 9

Rezultat je tačna brojčana jednakost. To znači da je jednačina ispravno riješena.

Primjer 4. Riješite jednačinu

Pomnožite obje strane jednačine sa 6

Otvorimo zagrade na lijevoj strani jednačine. Na desnoj strani faktor 6 se može podići na brojilac:

Smanjimo ono što se može smanjiti na obje strane jednadžbe:

Hajde da prepišemo šta nam je ostalo:

Koristimo prijenos pojmova. Termini koji sadrže nepoznato x, grupiramo na lijevoj strani jednačine, a članove bez nepoznanica - na desnoj:

Predstavimo slične pojmove u oba dijela:

Sada pronađimo vrijednost varijable x. Da biste to učinili, podijelite proizvod 28 sa poznatim faktorom 7

Odavde x= 4.

Vratimo se originalnoj jednadžbi i zamena x pronađena vrijednost 4

Rezultat je ispravna numerička jednačina. To znači da je jednačina ispravno riješena.

Primjer 5. Riješite jednačinu

Otvorimo zagrade na obje strane jednačine gdje je to moguće:

Pomnožite obje strane jednačine sa 15

Otvorimo zagrade na obje strane jednačine:

Smanjimo ono što se može smanjiti na obje strane jednačine:

Hajde da prepišemo šta nam je ostalo:

Proširimo zagrade gdje je moguće:

Koristimo prijenos pojmova. Grupiramo članove koji sadrže nepoznatu na lijevoj strani jednačine, a članove bez nepoznanica na desnoj strani. Ne zaboravite da tokom prijenosa termini mijenjaju svoje predznake u suprotne:

Predstavimo slične članove na obje strane jednačine:

Hajde da nađemo vrednost x

Dobijeni odgovor se može podijeliti na cijeli dio:

Vratimo se originalnoj jednadžbi i zamjeni x pronađena vrijednost

Ispada da je to prilično glomazan izraz. Koristimo varijable. Stavimo lijevu stranu jednakosti u varijablu A, a desna strana jednakosti u varijablu B

Naš zadatak je da provjerimo da li je lijeva strana jednaka desnoj. Drugim riječima, dokazati jednakost A = B

Pronađimo vrijednost izraza u varijabli A.

Varijabilna vrijednost A jednako . Sada pronađimo vrijednost varijable B. Odnosno, vrijednost desne strane naše jednakosti. Ako je i ono jednako, onda će jednačina biti ispravno riješena

Vidimo da je vrijednost varijable B, kao i vrijednost varijable A je . To znači da je lijeva strana jednaka desnoj. Iz ovoga zaključujemo da je jednačina ispravno riješena.

Sada pokušajmo da obje strane jednačine ne množimo istim brojem, već podijelimo.

Razmotrite jednačinu 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Rešimo ga uobičajenom metodom: grupiramo članove koji sadrže nepoznate na levoj strani jednačine, a članove bez nepoznanica - na desnoj strani. Zatim, izvodeći poznate transformacije identiteta, nalazimo vrijednost x

Umjesto toga zamijenimo pronađenu vrijednost 2 x u originalnu jednačinu:

Pokušajmo sada razdvojiti sve članove jednačine 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Napominjemo da svi članovi ove jednačine imaju zajednički faktor 2. Svaki član podijelimo s njim:

Izvršimo redukciju u svakom pojmu:

Hajde da prepišemo šta nam je ostalo:

Rešimo ovu jednačinu koristeći dobro poznate transformacije identiteta:

Imamo root 2. Dakle, jednačine 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 I 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 su ekvivalentni.

Dijeljenje obje strane jednadžbe istim brojem omogućava vam da uklonite nepoznato iz koeficijenta. U prethodnom primjeru kada smo dobili jednačinu 7 x= 14, morali smo proizvod 14 podijeliti sa poznatim faktorom 7. Ali da smo oslobodili nepoznato od faktora 7 na lijevoj strani, korijen bi se odmah našao. Da biste to učinili, bilo je dovoljno podijeliti obje strane sa 7

Takođe ćemo često koristiti ovu metodu.

Množenje sa minus jedan

Ako se obje strane jednačine pomnože sa minus jedan, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna ovoj.

Ovo pravilo proizilazi iz činjenice da množenje (ili dijeljenje) obje strane jednačine istim brojem ne mijenja korijen date jednačine. To znači da se korijen neće promijeniti ako se oba njegova dijela pomnože sa −1.

Ovo pravilo vam omogućava da promijenite predznake svih komponenti uključenih u jednadžbu. čemu služi? Opet, da dobijemo ekvivalentnu jednačinu koju je lakše riješiti.

Razmotrite jednačinu. Šta je korijen ove jednačine?

Dodajte broj 5 na obje strane jednačine

Pogledajmo slične pojmove:

Sada se prisjetimo o. Šta je leva strana jednačine? Ovo je proizvod minus jedan i varijable x

To jest, znak minus ispred varijable x ne odnosi se na samu varijablu x, ali na jedan, što ne vidimo, pošto se koeficijent 1 obično ne zapisuje. To znači da jednačina zapravo izgleda ovako:

Bavimo se komponentama množenja. Naći X, trebate podijeliti proizvod −5 sa poznatim faktorom −1.

ili podijelite obje strane jednačine sa −1, što je još jednostavnije

Dakle, korijen jednačine je 5. Za provjeru, zamijenimo ga u originalnu jednačinu. Ne zaboravite da je u originalnoj jednačini minus ispred varijable x odnosi se na nevidljivu jedinicu

Rezultat je ispravna numerička jednačina. To znači da je jednačina ispravno riješena.

Sada pokušajmo pomnožiti obje strane jednačine sa minus jedan:

Nakon otvaranja zagrada, izraz se formira na lijevoj strani, a desna strana će biti jednaka 10

Koren ove jednačine, kao i jednačine, je 5

To znači da su jednačine ekvivalentne.

Primjer 2. Riješite jednačinu

U ovoj jednačini sve komponente su negativne. Pogodnije je raditi s pozitivnim komponentama nego s negativnim, pa promijenimo predznake svih komponenti uključenih u jednadžbu. Da biste to učinili, pomnožite obje strane ove jednačine sa −1.

Jasno je da kada se pomnoži sa −1, svaki broj će promijeniti svoj predznak u suprotan. Dakle, postupak množenja sa −1 i otvaranja zagrada nije detaljno opisan, već se odmah zapisuju komponente jednačine suprotnih predznaka.

Dakle, množenje jednadžbe sa −1 može se detaljno napisati na sljedeći način:

ili možete jednostavno promijeniti znakove svih komponenti:

Rezultat će biti isti, ali razlika će biti u tome što ćemo uštedjeti vrijeme.

Dakle, množenjem obe strane jednačine sa −1, dobijamo jednačinu. Hajde da riješimo ovu jednačinu. Oduzmite 4 sa obe strane i podelite obe strane sa 3

Kada se korijen pronađe, varijabla se obično ispisuje na lijevoj strani, a njena vrijednost na desnoj, što smo i uradili.

Primjer 3. Riješite jednačinu

Pomnožimo obje strane jednačine sa −1. Tada će sve komponente promijeniti svoje predznake u suprotne:

Oduzmi 2 sa obe strane rezultirajuće jednačine x i dati slične uslove:

Dodajmo jedan na obje strane jednačine i damo slične pojmove:

Izjednačavanje sa nulom

Nedavno smo naučili da ako pomjerimo član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićemo jednačinu koja je ekvivalentna datoj.

Šta se dešava ako pređete iz jednog dela u drugi ne samo jedan termin, već sve termine? Tako je, u dijelu gdje su oduzeti svi pojmovi ostaće nula. Drugim riječima, neće ostati ništa.

Kao primjer, razmotrite jednačinu. Riješimo ovu jednačinu kao i obično - u jednom dijelu ćemo grupirati pojmove koji sadrže nepoznate, a u drugom ostaviti numeričke članove bez nepoznanica. Zatim, izvodeći poznate transformacije identiteta, nalazimo vrijednost varijable x

Pokušajmo sada riješiti istu jednačinu tako što ćemo sve njene komponente izjednačiti sa nulom. Da bismo to učinili, pomičemo sve pojmove s desne strane na lijevu, mijenjajući predznake:

Predstavimo slične pojmove na lijevoj strani:

Dodajte 77 na obje strane i podijelite obje strane sa 7

Alternativa pravilima za pronalaženje nepoznatih

Očigledno, znajući za identične transformacije jednačina, ne morate pamtiti pravila za pronalaženje nepoznanica.

Na primjer, da bismo pronašli nepoznato u jednadžbi, podijelili smo proizvod 10 sa poznatim faktorom 2

Ali ako podijelite obje strane jednadžbe sa 2, korijen će se odmah pronaći. Na lijevoj strani jednačine u brojiocu faktor 2 i u nazivniku faktor 2 će biti smanjen za 2. A desna strana će biti jednaka 5

Jednačine oblika smo riješili izražavanjem nepoznatog člana:

Ali možete koristiti identične transformacije koje smo danas proučavali. U jednačini se član 4 može pomjeriti na desnu stranu promjenom predznaka:

Na lijevoj strani jednačine, dvije dvojke će se poništiti. Desna strana će biti jednaka 2. Dakle .

Ili možete oduzeti 4 sa obje strane jednačine. Tada biste dobili sljedeće:

U slučaju jednačina oblika, pogodnije je proizvod podijeliti poznatim faktorom. Uporedimo oba rješenja:

Prvo rješenje je mnogo kraće i urednije. Drugo rješenje možete značajno skratiti ako podjelu radite u glavi.

Međutim, potrebno je poznavati obje metode i tek onda koristiti onu koja vam je draža.

Kada postoji nekoliko korijena

Jednačina može imati više korijena. Na primjer jednadžba x(x+ 9) = 0 ima dva korijena: 0 i −9.

U Eq. x(x+ 9) = 0 bilo je potrebno pronaći takvu vrijednost x pri čemu bi lijeva strana bila jednaka nuli. Lijeva strana ove jednadžbe sadrži izraze x I (x+9), koji su faktori. Iz zakona o proizvodu znamo da je proizvod jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli (bilo prvi faktor ili drugi).

To jest, u jednadžbi x(x+ 9) = 0 jednakost će se postići ako xće biti jednak nuli ili (x+9)će biti jednaka nuli.

x= 0 ili x + 9 = 0

Postavljanjem oba ova izraza na nulu, možemo pronaći korijene jednadžbe x(x+ 9) = 0 . Prvi korijen, kao što se može vidjeti iz primjera, pronađen je odmah. Da biste pronašli drugi korijen potrebno je riješiti elementarnu jednačinu x+ 9 = 0 . Lako je pretpostaviti da je korijen ove jednadžbe −9. Provjera pokazuje da je root ispravan:

−9 + 9 = 0

Primjer 2. Riješite jednačinu

Ova jednadžba ima dva korijena: 1 i 2. Lijeva strana jednadžba je proizvod izraza ( x− 1) i ( x− 2) . A proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli (ili faktor ( x− 1) ili faktor ( x − 2) ).

Hajde da nađemo nešto ovako x pod kojim su izrazi ( x− 1) ili ( x− 2) postati nula:

Pronađene vrijednosti zamjenjujemo jednu po jednu u originalnu jednadžbu i pazimo da je za ove vrijednosti lijeva strana jednaka nuli:

Kada postoji beskonačno mnogo korijena

Jednačina može imati beskonačno mnogo korijena. Odnosno, zamjenom bilo kojeg broja u takvu jednačinu, dobijamo ispravnu numeričku jednakost.

Primjer 1. Riješite jednačinu

Koren ove jednačine je bilo koji broj. Ako otvorite zagrade na lijevoj strani jednadžbe i dodate slične članove, dobit ćete jednakost 14 = 14. Ova jednakost će se dobiti za bilo koje x

Primjer 2. Riješite jednačinu

Koren ove jednačine je bilo koji broj. Ako otvorite zagrade na lijevoj strani jednadžbe, dobit ćete jednakost 10x + 12 = 10x + 12. Ova jednakost će se dobiti za bilo koje x

Kad nema korijena

Takođe se dešava da jednačina uopšte nema rešenja, odnosno nema koren. Na primjer, jednadžba nema korijen, jer za bilo koju vrijednost x, lijeva strana jednačine neće biti jednaka desnoj strani. Na primjer, neka . Tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik

Primjer 2. Riješite jednačinu

Proširimo zagrade na lijevoj strani jednakosti:

Pogledajmo slične pojmove:

Vidimo da lijeva strana nije jednaka desnoj. I to će biti slučaj za svaku vrijednost y. Na primjer, neka y = 3 .

Slovne jednadžbe

Jednačina može sadržavati ne samo brojeve s varijablama, već i slova.

Na primjer, formula za pronalaženje brzine je doslovna jednadžba:

Ova jednačina opisuje brzinu tijela za vrijeme jednoliko ubrzanog kretanja.

Korisna vještina je sposobnost izražavanja bilo koje komponente uključene u jednadžbu slova. Na primjer, da biste odredili udaljenost od jednadžbe, trebate izraziti varijablu s .

Pomnožite obje strane jednačine sa t

Varijable na desnoj strani t skratimo to t

U rezultirajućoj jednadžbi mijenjamo lijevu i desnu stranu:

Imamo formulu za pronalaženje udaljenosti koju smo ranije proučavali.

Pokušajmo odrediti vrijeme iz jednačine. Da biste to učinili, morate izraziti varijablu t .

Pomnožite obje strane jednačine sa t

Varijable na desnoj strani t skratimo to t i prepiši šta nam je ostalo:

U rezultirajućoj jednačini v×t = s podeliti oba dela na v

Varijable na lijevoj strani v skratimo to v i prepiši šta nam je ostalo:

Imamo formulu za određivanje vremena koju smo ranije proučavali.

Pretpostavimo da je brzina voza 50 km/h

v= 50 km/h

A udaljenost je 100 km

s= 100 km

Tada će pismo poprimiti sljedeći oblik

Vrijeme se može naći iz ove jednačine. Da biste to učinili, morate biti u mogućnosti izraziti varijablu t. Možete koristiti pravilo za pronalaženje nepoznatog djelitelja tako što ćete dividendu podijeliti s količnikom i tako odrediti vrijednost varijable t

ili možete koristiti identične transformacije. Najprije pomnožite obje strane jednačine sa t

Zatim podijelite obje strane sa 50

Primjer 2 x

Oduzmite od obje strane jednačine a

Podijelimo obje strane jednačine sa b

a + bx = c, onda ćemo imati gotovo rešenje. Bit će dovoljno zamijeniti tražene vrijednosti u njega. Te vrijednosti koje će biti zamijenjene slovima a, b, c obično se zove parametri. I jednačine oblika a + bx = c pozvao jednadžba sa parametrima. U zavisnosti od parametara, root će se promeniti.

Rešimo jednačinu 2 + 4 x= 10 . Izgleda kao jednadžba slova a + bx = c. Umjesto izvođenja identičnih transformacija, možemo koristiti gotova rješenja. Uporedimo oba rješenja:

Vidimo da je drugo rješenje mnogo jednostavnije i kraće.

Za gotovo rješenje potrebno je napraviti malu primjedbu. Parametar b ne smije biti jednaka nuli (b ≠ 0), budući da je dijeljenje nulom sa dozvoljeno.

Primjer 3. Doslovna je jednačina data. Izrazite iz ove jednačine x

Otvorimo zagrade na obje strane jednačine

Koristimo prijenos pojmova. Parametri koji sadrže varijablu x, grupišemo na lijevoj strani jednačine, a parametre slobodne od ove varijable - na desnoj.

Na lijevoj strani faktor izvlačimo iz zagrada x

Podijelimo obje strane izrazom a − b

Na lijevoj strani brojnik i imenilac se mogu smanjiti za a − b. Ovako se varijabla konačno izražava x

Sada, ako naiđemo na jednačinu oblika a(x − c) = b(x + d), tada ćemo imati gotovo rješenje. Bit će dovoljno zamijeniti tražene vrijednosti u njega.

Pretpostavimo da nam je data jednadžba 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Izgleda kao jednačina a(x − c) = b(x + d). Hajde da to riješimo na dva načina: korištenjem identičnih transformacija i korištenjem gotovog rješenja:

Radi praktičnosti, izbacimo to iz jednačine 4(x− 3) = 2(x+ 4) vrijednosti parametara a, b, c, d . Ovo će nam omogućiti da ne pogriješimo prilikom zamjene:

Kao iu prethodnom primjeru, nazivnik ovdje ne bi trebao biti jednak nuli ( a − b ≠ 0) . Ako naiđemo na jednačinu oblika a(x − c) = b(x + d) u kojoj su parametri a I bće biti isti, možemo bez rješavanja reći da ova jednačina nema korijen, budući da je razlika identični brojevi jednaka nuli.

Na primjer, jednadžba 2(x − 3) = 2(x + 4) je jednadžba oblika a(x − c) = b(x + d). U Eq. 2(x − 3) = 2(x + 4) opcije a I b isto. Ako počnemo rješavati, doći ćemo do zaključka da lijeva strana neće biti jednaka desnoj:

Primjer 4. Doslovna je jednačina data. Izrazite iz ove jednačine x

Dovedemo lijevu stranu jednačine na zajednički nazivnik:

Pomnožite obje strane sa a

Na lijevoj strani x stavimo to van zagrada

Podijelite obje strane izrazom (1 − a)

Linearne jednadžbe sa jednom nepoznatom

Jednačine o kojima se govori u ovoj lekciji nazivaju se linearne jednačine prvog stepena sa jednom nepoznatom.

Ako je jednačina data u prvom stepenu, ne sadrži dijeljenje nepoznatim, a također ne sadrži korijene iz nepoznatog, onda se može nazvati linearnom. Još nismo proučavali moći i korijene, pa da ne bismo zakomplikovali svoj život, riječ "linearno" shvatit ćemo kao "jednostavnu".

Većina jednačina riješenih u ovoj lekciji na kraju se svela na jednostavnu jednadžbu u kojoj ste morali podijeliti proizvod s poznatim faktorom. Na primjer, ovo je jednadžba 2 ( x+ 3) = 16 . Hajde da to rešimo.

Otvorimo zagrade na lijevoj strani jednačine, dobićemo 2 x+ 6 = 16. Pomerimo član 6 na desnu stranu, menjajući predznak. Tada dobijamo 2 x= 16 − 6. Izračunaj desnu stranu, dobijamo 2 x= 10. Za pronalaženje x, podijeliti proizvod 10 sa poznatim faktorom 2. Dakle x = 5.

Jednačina 2( x+ 3) = 16 je linearan. Svodi se na jednačinu 2 x= 10, da bi se pronašao korijen kojeg je bilo potrebno podijeliti proizvod sa poznatim faktorom. Ova najjednostavnija jednačina se zove linearna jednačina prvog stepena sa jednom nepoznatom u kanonskom obliku. Riječ "kanonski" je sinonim za riječi "jednostavno" ili "normalno".

Linearna jednačina prvog stepena sa jednom nepoznatom u kanonskom obliku naziva se jednačina oblika ax = b.

Naša rezultirajuća jednačina 2 x= 10 je linearna jednačina prvog stepena sa jednom nepoznatom u kanonskom obliku. Ova jednadžba ima prvi stepen, jednu nepoznatu, ne sadrži dijeljenje nepoznatim i ne sadrži korijene iz nepoznatog, a predstavljena je u kanonskom obliku, odnosno u najjednostavnijem obliku u kojem se vrijednost lako može odrediti x. Umjesto parametara a I b naša jednačina sadrži brojeve 2 i 10. Ali takva jednačina može sadržavati i druge brojeve: pozitivne, negativne ili jednake nuli.

Ako je u linearnoj jednadžbi a= 0 i b= 0, onda jednačina ima beskonačno mnogo korijena. Zaista, ako a jednako nuli i b jednaka nuli, onda linearna jednačina sjekira= b poprimiće oblik 0 x= 0 . Za bilo koju vrijednost x lijeva strana će biti jednaka desnoj strani.

Ako je u linearnoj jednadžbi a= 0 i b≠ 0, tada jednačina nema korijena. Zaista, ako a jednako nuli i b jednak je nekom broju koji nije jednak nuli, recimo broju 5, a zatim jednadžbi ax = b poprimiće oblik 0 x= 5 . Lijeva strana će biti nula, a desna pet. A nula nije jednaka pet.

Ako je u linearnoj jednadžbi a≠ 0, i b jednako bilo kojem broju, tada jednačina ima jedan korijen. Određuje se dijeljenjem parametra b po parametru a

Zaista, ako a jednak nekom broju koji nije nula, recimo broj 3, i b jednak nekom broju, recimo broj 6, tada će jednačina poprimiti oblik .
Odavde.

Postoji još jedan oblik snimanja linearna jednačina prvog stepena sa jednom nepoznatom. izgleda ovako: ax−b= 0 . Ovo je ista jednadžba kao ax = b

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj nova grupa VKontakte i počnite primati obavještenja o novim lekcijama

Dug put do razvoja vještina rješavanje jednačina počinje rješavanjem prvih i relativno jednostavnih jednačina. Pod takvim jednadžbama podrazumijevamo jednadžbe u kojima lijeva strana sadrži zbir, razliku, proizvod ili količnik dva broja, od kojih je jedan nepoznat, a desna strana sadrži broj. Odnosno, ove jednadžbe sadrže nepoznati sabir, minuend, oduzetak, množitelj, dividendu ili djelitelj. Rješenje takvih jednadžbi će biti razmotreno u ovom članku.

Ovdje ćemo dati pravila koja vam omogućavaju da pronađete nepoznati pojam, faktor itd. Štaviše, odmah ćemo razmotriti primjenu ovih pravila u praksi, rješavajući karakteristične jednačine.

Navigacija po stranici.

Dakle, zamijenimo broj 5 umjesto x u originalnu jednačinu 3+x=8, dobijemo 3+5=8 - ova jednakost je tačna, dakle, ispravno smo pronašli nepoznati pojam. Ako bismo prilikom provjere dobili pogrešnu brojčanu jednakost, to bi nam ukazivalo da smo jednačinu pogrešno riješili. Glavni razlozi za to mogu biti ili primjena pogrešnog pravila ili računske greške.

Kako pronaći nepoznati minuend ili subtrahend?

Veza između sabiranja i oduzimanja brojeva, koju smo već spomenuli u prethodnom pasusu, omogućava nam da dobijemo pravilo za pronalaženje nepoznatog oduzetog preko poznatog oduzimanja i razlike, kao i pravilo za pronalaženje nepoznatog oduzetog preko poznatog minus i razlika. Formulisaćemo ih jedan po jedan i odmah predstaviti rešenje odgovarajućih jednačina.

Da biste pronašli nepoznati minuend, morate dodati oduzetak razlici.

Na primjer, razmotrite jednačinu x−2=5. Sadrži nepoznati minus. Gornje pravilo nam govori da da bismo ga pronašli moramo dodati poznati oduzetak 2 poznatoj razlici 5, imamo 5+2=7. Dakle, traženi minus jednak je sedam.

Ako izostavimo objašnjenja, rješenje se piše na sljedeći način:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .

Za samokontrolu, izvršimo provjeru. Pronađeni minuend zamjenjujemo u originalnu jednačinu i dobijamo numeričku jednakost 7−2=5. Tačno je, dakle, možemo biti sigurni da smo ispravno odredili vrijednost nepoznatog minusa.

Možete nastaviti sa pronalaženjem nepoznatog oduzetog. Nalazi se dodavanjem sledeće pravilo: da biste pronašli nepoznati oduzetak, trebate oduzeti razliku od minusa.

Rešimo jednačinu oblika 9−x=4 koristeći napisano pravilo. U ovoj jednačini, nepoznata je oduzet. Da bismo ga pronašli, moramo oduzeti poznatu razliku 4 od poznatog minusa 9, imamo 9−4=5. Dakle, traženi oduzetak jednak je pet.

Hajde da damo kratka verzija rješenja ove jednačine:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .

Ostaje samo provjeriti ispravnost pronađenog oduzimanja. Uradimo provjeru zamjenom pronađene vrijednosti 5 u originalnu jednačinu umjesto x, i dobićemo numeričku jednakost 9−5=4. Tačno je, tako da je vrijednost oduzimanja koju smo pronašli tačna.

I prije nego što pređemo na sljedeće pravilo, napominjemo da se u razredu 6 razmatra pravilo za rješavanje jednačina, koje vam omogućava da prenesete bilo koji član iz jednog dijela jednačine u drugi sa suprotan znak. Dakle, sva pravila o kojima smo gore govorili za pronalaženje nepoznatog sabirka, minuenda i oduzetog su potpuno u skladu s njim.

Da biste pronašli nepoznati faktor, trebate...

Pogledajmo jednačine x·3=12 i 2·y=6. U njima je nepoznati broj faktor na lijevoj strani, a poznati su proizvod i drugi faktor. Da biste pronašli nepoznati množitelj, možete koristiti sljedeće pravilo: da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti sa poznatim faktorom.

Osnova ovog pravila je da smo dijeljenju brojeva dali suprotno značenje značenju množenja. Odnosno, postoji veza između množenja i dijeljenja: iz jednakosti a·b=c, u kojoj a≠0 i b≠0 slijedi da je c:a=b i c:b=c, i obrnuto.

Na primjer, nađimo nepoznati faktor jednačine x·3=12. Po pravilu se trebamo podijeliti poznato delo 12 poznatim faktorom 3. Izvodimo: 12:3=4. Dakle, nepoznati faktor je 4.

Ukratko, rješenje jednačine je zapisano kao niz jednakosti:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .

Također je preporučljivo provjeriti rezultat: umjesto slova zamjenjujemo pronađenu vrijednost u originalnoj jednačini, dobijamo 4·3=12 - tačna brojčana jednakost, dakle ispravno smo pronašli vrijednost nepoznatog faktora.

I još jedna stvar: postupajući prema naučenom pravilu, mi zapravo dijelimo obje strane jednačine sa poznatim faktorom koji nije nula. U 6. razredu će se reći da se obje strane jednačine mogu pomnožiti i podijeliti istim brojem koji nije nula, to ne utiče na korijene jednačine.

Kako pronaći nepoznatu dividendu ili djelitelj?

U okviru naše teme, ostaje da shvatimo kako pronaći nepoznatu dividendu sa poznatim djeliteljem i količnikom, kao i kako pronaći nepoznati djelitelj sa poznatim djeliteljem i količnikom. Veza između množenja i dijeljenja već spomenuta u prethodnom paragrafu omogućava nam da odgovorimo na ova pitanja.

Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate pomnožiti količnik sa djeliteljem.

Pogledajmo njegovu primjenu koristeći primjer. Rešimo jednačinu x:5=9. Da biste pronašli nepoznatu dividendu ove jednadžbe, prema pravilu, trebate poznati količnik 9 pomnožiti sa poznatim djeliteljem 5, odnosno izvršimo množenje prirodni brojevi: 9·5=45. Dakle, potrebna dividenda je 45.

pokazaćemo ti kratka napomena rješenja:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45 .

Provjera potvrđuje da je vrijednost nepoznate dividende pronađena ispravno. Zaista, kada se u originalnu jednačinu zamijeni broj 45 umjesto varijable x, on se pretvara u tačnu brojčanu jednakost 45:5=9.

Imajte na umu da se analizirano pravilo može tumačiti kao množenje obje strane jednačine poznatim djeliteljem. Ova transformacija ne utječe na korijene jednadžbe.

Pređimo na pravilo za pronalaženje nepoznatog djelitelja: da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.

Pogledajmo primjer. Nađimo nepoznati djelitelj iz jednačine 18:x=3. Da bismo to učinili, trebamo podijeliti poznatu dividendu 18 sa poznatim količnikom 3, imamo 18:3=6. Dakle, traženi djelitelj je šest.

Rješenje se može napisati ovako:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .

Provjerimo pouzdanost ovog rezultata: 18:6=3 je tačna numerička jednakost, dakle, korijen jednadžbe je ispravno pronađen.

To je jasno ovo pravilo može se koristiti samo kada je količnik različit od nule, kako ne bi došlo do dijeljenja sa nulom. Kada je količnik jednak nuli, tada su moguća dva slučaja. Ako je dividenda jednaka nuli, odnosno, jednačina ima oblik 0:x=0, tada bilo koja vrijednost djelitelja različita od nule zadovoljava ovu jednačinu. Drugim riječima, korijeni takve jednačine su svi brojevi koji nisu jednaki nuli. Ako je, kada je količnik jednak nuli, dividenda različita od nule, tada se bez vrijednosti djelitelja originalna jednadžba pretvara u ispravnu numeričku jednakost, odnosno, jednačina nema korijena. Za ilustraciju predstavljamo jednačinu 5:x=0, ona nema rješenja.

Pravila dijeljenja

Dosljedna primjena pravila za pronalaženje nepoznatog sabirka, minuenda, oduzimanja, množitelja, dividende i djelitelja omogućava vam da rješavate jednadžbe s jednom promjenljivom više složenog tipa. Hajde da to shvatimo na primjeru.

Razmotrimo jednačinu 3 x+1=7. Prvo možemo pronaći nepoznati član 3 x, da bismo to uradili moramo oduzeti poznati član 1 od zbira 7, dobićemo 3 x = 7−1, a zatim 3 x = 6. Sada ostaje da pronađemo nepoznati faktor dijeljenjem proizvoda 6 sa poznatim faktorom 3, imamo x=6:3, odakle je x=2. Ovako se nalazi korijen originalne jednadžbe.

Za konsolidaciju materijala predstavljamo kratko rešenje druga jednačina (2 x−7):3−5=2.
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2 x−7=21 ,
2 x=21+7 ,
2 x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .

Bibliografija.

• Matematika.. 4. razred. Udžbenik za opšte obrazovanje institucije. U 14 sati 1. dio / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, itd.] - 8. izd. - M.: Obrazovanje, 2011. - 112 str.: ilustr. - (Ruska škola). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.

Ciljevi učenja- rješavati jednačine metodom selekcije i na osnovu veze između sabiranja i oduzimanja.

Ciljevi lekcije

Svi studenti će moći:
pronađite korijen jednadžbe koristeći metodu odabira

Većina učenika će moći:
biti u stanju napisati i riješiti jednostavne jednadžbe za pronalaženje nepoznatog pojma

Neki učenici će moći:
Na osnovu crteža samostalno sastavljati i rješavati jednačine.

Dosadašnja znanja: razumijevanje sistema brojeva unutar 100; sposobnost poređenja i upotrebe komparativnog jezika.

Tokom nastave

Stvaranje okruženja za saradnju
(psihološki minuti)

Zazvonilo je veselo zvono.
Jeste li spremni za početak lekcije?
slušajmo, pričajmo,
I pomozite jedni drugima!

Grupisanje

Cilj: udruživanje učenika u grupe povećava kognitivni interes za čas i koheziju u grupnom radu.
Razmatranje pravila za rad u grupama

Ažuriranje životnog iskustva

Brainstorming strategija Korištenje debelih i tankih pitanja.
- Šta je jednačina? (Jednakost s nepoznatom naziva se jednadžba)
- Kako je nepoznata prikazana u jednačini?
- Šta znači riješiti jednačinu? (Znači pronaći nepoznato)
- Koje su komponente sabiranja?

Ocena: Tri pljeska
Početni "Pogledajte video" (edukativni crtani film)
Metoda "Zamrzni okvir".

Postavljanje ciljeva za lekciju
- Da li ste pogodili šta ćemo danas raditi na času?
- Šta će nam pomoći da ostvarimo ciljeve lekcije (učiti nove stvari, naučiti rješavati probleme) matematičke notacije) (vaše iskustvo, nastavnik, udžbenik)
Djeca formuliraju svrhu lekcije, ja generalizujem.
- Danas u lekciji ćete naučiti kako da rešavate jednačine sa nepoznatim članovima

Studija. Rad prema udžbeniku.
Cilj: Istraži udžbenički materijal str. 46

Zadatak 1. Igra po udžbeniku "Automobili u tunelu"
Grupni rad. Strategija „Razmišljaj, diskutuj, dijeli“. Interdisciplinarna povezanost podučavanja pismenosti (slušanje i govor)

Igra "Automobili u tunelu"

Koliko automobila ima u tunelu?
6 + x = 18 i 2 + x = 14.
Odgovor: 12 vagona.

Deskriptor:
- sastavlja jednačinu na osnovu crteža
- pronalazi značenje slova metodom odabira.
- donosi zaključak (formuliše pravilo)

Povratna informacija "Semafor"
Ovdje koristim modeliranje jednačina sa svrhom
formiranje sposobnosti rješavanja jednačina sa nepoznatim članom.

Zadatak 2. Radite u parovima. "Pomozi heroju"

Igra "Pomozi heroju"

Za rad u paru koristim kooperativno učenje koje prenosi znanja i vještine između učenika.
Samoocjenjivanje po deskriptoru: "palac"

Dinamička pauza. Muzička fizička vježba.

Zadatak 3. Grupni rad. "Razmisli, nađi par, podijeli!"

Deskriptori:
- radi cijela grupa;
- samostalno sastavlja i rješava jednačine na osnovu crteža;
- donosi zaključak (formuliše pravilo).

Povratna informacija "Točak"
Aplikacija (nastavnik - posmatra, pomaže, provjerava, učenik - rješava pitanja, pokazuje znanje)

Peer review na slajdovima
Ovdje koristim grupni rad za poboljšanje procesa učenja.

Zadatak 4. Igra u paru "Kocka" (probajte)

Grupni rad: “Razmisli, nađi par, podijeli!”

Deskriptor:
- zamjenjuje izvučeni broj
- samostalno rješava jednačinu.

Ovdje koristim aktivna metoda V forma igrešto dovodi do dubljeg razumijevanja rješenja jednadžbe sa nepoznatim članom.
Procjena na osnovu deskriptora semafora

Zadatak 5. Individualni zadatak
Diferencirani zadaci.
Zadaci su odabrani za učenike različitog nivoa znanja.

Deskriptor:

1. pronalazi korijen jednadžbe pomoću brojevne prave;
2. pronalazi korijen jednadžbe koristeći matematičke brojeve i znakove;
3. sastavlja jednačinu sa slike.

Samoocjenjivanje "Semafor" (test prema standardu).
- Bravo, obavili ste ovaj zadatak!
Ovdje koristim diferenciran pristup individualnim potrebama učenja za svakog učenika.

Sažetak lekcije. Refleksija "Metoda intervjua"
- Na čemu smo danas radili na času?
- Kako pronaći nepoznat pojam?
- Šta je nepoznati pojam? (dio)
- Da li ste postigli svoj cilj?
- Šta će oni momci koji su imali poteškoća da rade sa jednačinama? (izjave studenata)

Cilj: Nastavnik će saznati da li su učenici razumjeli temu časa i svoje greške kako bi ih ispravio na sljedećem času. (izjava učenika) (ovdje koristim potrebe učenika na zadovoljavajući način)
Vršnjačka evaluacija "2 zvjezdice, 1 želja"

Refleksija “Lestvice uspjeha” (djeca objavljuju emotikone)
- Mogu da rešim jednačinu sa nepoznatim članom.
- Mogu da naučim nekog drugog...
- Teško mi je da...
– Ništa nisam dobio…

Cilj: samoprocjenu vaših postignuća tokom lekcije.