4 wunderbare Punkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks
Bezirk Liskinsky, städtische Bildungseinrichtung Anoshkinskaya-Sekundarschule.
Mathematiklehrerin Smorchkova E.B.
Ziel des Projekts: lernen, verschiedene Literatur zur Geometrie zu nutzen, Referenzmaterialien für eine detailliertere Untersuchung des Themas „Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks“, um ein umfassenderes Verständnis des Themas zu vermitteln, eine Präsentation zu diesem Thema zur Demonstration in Reden und im Unterricht vorzubereiten.
Geometrie beginnt mitDreieck. Es ist schon zweieinhalbIm neuen Jahrtausend ist das Dreieck wie ein Symbol der Geometrie; Aber es ist nicht nur ein Symbol, ein Dreieck ist ein Atom der Geometrie.Und auch heute noch wird die Schulgeometrie interessant undsinnvoll, wird erst von Anfang an zur eigentlichen Geometriedas Aussehen eines Dreiecks. Vorherige Konzepte - Punkt, geradeAh, Winkel – scheinen vage Abstraktionen zu sein, aber weiterDie Analyse von Theoremen und damit verbundenen Problemen ist einfach langweilig.
Schon in den ersten Schritten seiner Entwicklung ist der Mensch und vor allem moderner Mann, kollidiert mit allen möglichen geometrischen Objekten – Figuren und Körpern. Es gibt Fälle, in denen sich ein Mensch schon in jungen Jahren, wenn nicht sogar im Säuglingsalter, für Geometrie interessiert und sogar eigenständige geometrische Entdeckungen macht. So entwickelte der kleine Blaise Pascal ein „Geometriespiel“, bei dem es sich um „Münzen“ – Kreise, „dreieckige Hüte“ – Dreiecke, „Tische“ – Rechtecke, „Stöcke“ – Segmente handelte. Sein Vater, der über umfassende Mathematikkenntnisse verfügte, schloss die Mathematik zunächst entschieden aus den Fächern aus, die er seinem Sohn beibrachte, da es dem kleinen Blaise nicht anders ging. gute Gesundheit. Als er jedoch die Leidenschaft seines Sohnes entdeckte, erzählte er ihm etwas über mysteriöse Geometrie, und als er Blaise in dem Moment erwischte, als er entdeckte, dass die Winkel eines Dreiecks zwei rechte Winkel ergeben, gab der berührte Vater seinem 12-Jährigen etwas Sohn Zugriff auf die mathematischen Bücher, die in der Heimbibliothek gespeichert sind.
Das Dreieck ist unerschöpflich – seine neuen Eigenschaften werden ständig entdeckt. Um über alle bekannten Eigenschaften zu sprechen, benötigen Sie einen Band, dessen Volumen mit dem Band der Großen Enzyklopädie vergleichbar ist. Über einige von ihnen, oder besser gesagt, über einige wunderbare Punkte, rund um das Dreieck wollen wir Ihnen verraten.
Erklären wir zunächst die Bedeutung des Ausdrucks „ wunderbare Punkte Dreieck." Wir alle wissen, dass Winkelhalbierende Innenecken Dreiecke schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des Kreises, der in dieses Dreieck eingeschrieben ist. Auf die gleiche Weise schneiden sich die Mediane, die Höhen eines Dreiecks und die Winkelhalbierenden zu seinen Seiten in einem Punkt.
Bemerkenswert sind natürlich die Punkte, die sich aus dem Schnittpunkt der aufgeführten Geradentripel ergeben (schließlich schneiden sich drei Geraden in der Regel an drei verschiedenen Punkten). Auch bemerkenswerte Punkte anderer Art sind möglich, beispielsweise Punkte, an denen eine für alle Punkte des Dreiecks definierte Funktion ein Extremum erreicht. Andererseits sollte der Begriff der „bemerkenswerten Punkte eines Dreiecks“ eher auf einer literarisch-emotionalen als auf einer formal-mathematischen Ebene interpretiert werden. Es gibt einen bekannten Sophismus, der alles „beweist“. ganze Zahlen"interessant". (Angenommen, es gibt „uninteressante“ Zahlen, nehmen wir die kleinste unter ihnen. Zweifellos ist diese Zahl „interessant“: Sie ist einfach deshalb interessant, weil sie die kleinste unter den „uninteressanten“ Zahlen ist.) Ähnliche Argumentation, „beweisen“ dass alle Punkte des Dreiecks „bemerkenswert“ sind, lässt sich in unserem Fall konstruieren. Betrachten wir nun einige Beispiele.
KREISZENTRUM
Beweisen wir, dass es einen Punkt gibt, der von den Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat, oder anders ausgedrückt: Das Es geht ein Kreis vorbeidurch die drei Eckpunkte des Dreiecks. Der Ort von Punkten mit gleichem Abstand zu Punkten A Und IN, ist senkrecht zum Segment AB, durch seinen Mittelpunkt (die Mittelsenkrechte des Segments) verläuft AB). Bedenken Sie den Punkt UM, an dem sich die Winkelhalbierenden der Senkrechten zu den Segmenten schneiden AB Und Sonne. Punkt UM gleich weit von den Punkten A und B sowie von den Punkten entfernt IN Und MIT. Daher ist es von den Punkten gleich weit entfernt A Und MIT, d.h. es liegt auch auf der Mittelsenkrechten des Segments Wechselstrom(Abb. 50).
Center UM Der Umkreis liegt nur dann innerhalb eines Dreiecks, wenn das Dreieck spitz ist. Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann der Punkt UM fällt mit der Mitte der Hypotenuse zusammen,
und wenn der Winkel am Scheitelpunkt MIT stumpf, dann gerade AB trennt die Punkte O und C.
Wenn in Δ ABC Spitzenwinkel MIT scharf dann Seite AB sichtbar vom Punkt O in einem Winkel von 2
In der Mathematik kommt es häufig vor, dass sich völlig unterschiedlich definierte Objekte als gleich herausstellen. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.
Seien A 1, B 1 und C 1 die Mittelpunkte der Seiten VS, S A Und AB. Es kann nachgewiesen werden, dass Kreise umschrieben sind um Δ AB 1 C 1 , Δ A 1 B.C. 1 und Δ A 1 B 1 C , schneiden sich in einem Punkt, und dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises Δ ABC(Abb. 51). Wir haben also zwei scheinbar völlig unterschiedliche Punkte: den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden zu den Seiten Δ ABC und der Schnittpunkt der umschriebenen Kreise Δ AB 1 MIT 1 , Δ AiBCi und Δ AiBiC . Aber es stellt sich heraus, dass diese beiden Punkte aus irgendeinem Grund übereinstimmen!
Führen wir jedoch den versprochenen Beweis durch. Es genügt zu beweisen, dass der Mittelpunkt O des Kreises Δ ist ABC liegt auf Kreisen, die um Δ umschrieben sind AB 1 MIT 1 , Δ A iBCi und Δ A 1 B 1 C . Winkel OB 1 A Und Betriebssystem 1 A gerade Linien, also die Punkte IN 1 Und MIT 1 liegen auf einem Kreis mit Durchmesser OA, Das bedeutet, dass der Punkt O auf einem um Δ umschriebenen Kreis liegt AB 1 C 1 . Für Δ AiBCi und Δ A 1 IN 1 MIT Der Beweis ist ähnlich.
Die bewiesene Aussage ist ein Sonderfall eines sehr interessanten Satzes: wenn an den SeitenAB, BCUndSADreieckABCwillkürliche Punkte vergebenMIT 1 , A 1 UndIN 1 , dann beschriebenKreis ΔAB 1 MIT 1 , ΔA 1 Sonne 1 und ΔA 1 IN 1 MIT sich in einem kreuzenPunkt.
Lassen Sie uns noch eine letzte Bemerkung zum Mittelpunkt des Kreises machen. Direkte A 1 IN 1 Und AB sind also parallel Betriebssystem 1 aufrecht A 1 IN 1 Ebenfalls OB 1 aufrecht A 1 C 1 Und OA 1 aufrecht IN 1 MIT 1 , d.h. UM- Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks A 1 B 1 MIT 1 ... Warte warte! Wir haben noch nicht bewiesen, dass sich die Höhen eines Dreiecks in einem Punkt schneiden. Gibt es keine Möglichkeit, dies zu beweisen? Wir werden später auf dieses Gespräch zurückkommen.
ZENTRUM DES INDISCHEN KREISES
Beweisen wir, dass die Winkelhalbierenden Δ sind ABC sich in einem Punkt schneiden. Betrachten Sie den Punkt O des Schnittpunkts der Winkelhalbierenden A und B. Beliebige Winkelhalbierende Punkte A gleich weit von Geraden entfernt AB Und Wechselstrom, und jeder Punkt der Winkelhalbierenden B gleich weit von Geraden entfernt AB Und Sonne, Daher ist Punkt O von den Linien gleich weit entfernt Wechselstrom Und Sonne, das heißt, es liegt auf der Winkelhalbierenden von Winkel C. Punkt O ist von Geraden gleich weit entfernt AB, BC Und SA, Das bedeutet, dass es einen Kreis mit Mittelpunkt gibt UM, tangential zu diesen Linien, und die Tangentialpunkte liegen auf den Seiten selbst und nicht auf ihren Verlängerungen. Tatsächlich sind es die Winkel an den Eckpunkten A und BΔ AOB scharf, daher die Projektion des Punktes O auf eine Gerade AB liegt innerhalb des Segments AB. Für Partys Sonne Und SA Der Beweis ist ähnlich.
Lassen A 1 , IN 1 Und MIT 1 - Berührungspunkte des eingeschriebenen Kreises eines Dreiecks mit den Seiten VS, SA Und AB(Abb. 52). Dann AB 1 =AC 1 , B.C. 1 = B.A. 1 Und SA 1 = SV 1 . Außerdem der Winkel B 1 A 1 C 1 gleich den Winkeln an der Basis einer gleichschenkligen Δ AB 1 MIT 1 (nach dem Satz über den Winkel zwischen der Tangente und der Sehne) usw. Für den Winkel B 1 C 1 A 1 und Winkel A 1 B 1 C 1 Der Beweis ist ähnlich.
Die Winkel an der Basis jedes gleichschenkligen Dreiecks sind spitz, daher ist Δ A 1 B 1 C 1 für jedes Δ ABC spitz.
Wenn X = AB 1 , j = B.C. 1 Und z = C.A. 1 , Das x+y = c,j + z = A Und z + X = B , Wo A,B Und Mit- Seitenlängen Δ ABC. Wenn wir die ersten beiden Gleichungen addieren und die dritte davon subtrahieren, erhalten wir y= (a+c-c)/2. Ebenfalls x=(b+c-a)/2 Und z =(a+b-c)/2. Es ist zu beachten, dass eine solche Argumentation für ein Viereck aufgrund des entsprechenden Gleichungssystems nicht zum gewünschten Ergebnis führen würde
Entweder gibt es überhaupt keine Lösungen oder es gibt unendlich viele davon. Tatsächlich, wenn x+y=a,j + z = B , z + T = C Und T + X = D , Das y=a-X,z = B -j = B - a+x Und T = C - B + A -X, und aus Gleichheit T + X = D folgt dem A + C = B + D . Deshalb wenn a+c ist nicht gleich b+ D , dann hat das System keine Lösungen, und wenn A + C = B + D , Das X kann beliebig gewählt werden, und ja,z , T werden ausgedrückt durch X.
Kehren wir noch einmal zur Eindeutigkeit der Lösung des Gleichungssystems für ein Dreieck zurück. Damit können wir die folgende Aussage beweisen: Die Kreise mit den Mittelpunkten A, B und C berühren sich äußerlich in den Punkten A 1, IN 1 Und MIT 1 (Abb. 53). Dann ist der Umkreis Δ A 1 B 1 C 1 eingeschrieben in Δ ABC. Tatsächlich, wenn x, y Und z - Kreisradien; A , B Und Mit- Seitenlängen Δ ABC, Das x+y = c,j + z = A , j + X = B .
Lassen Sie uns drei Eigenschaften des Zentrums beweisen UM eingeschriebener Kreis Δ ABC .
1. Wenn die Fortsetzung der Winkelhalbierenden MIT schneidet den Umkreis Δ ABC am Punkt M, Das MA=MV=MO(Abb. 54).
Beweisen wir zum Beispiel, dass in Δ AMO die Winkel an den Eckpunkten A und O sind gleich. Tatsächlich ist<OAM = < OAB + < BAM Und < AOM =< O.A.C. +<А CO , < OAB=<ОАС Und< DU=DU<ВСМ = < ACO . Somit, AM=MO. Ebenfalls VM=MO.
2. Wenn AB- Basis der gleichschenkligen Δ ABC, dann der Kreis tangential zu den Seiten<ACB an Punkten A und B, geht durch Punkt O (Abb. 55).
Sei „O“ der Mittelpunkt des (kleineren) Bogens AB der betreffende Kreis. Durch die Eigenschaft des Winkels zwischen einer Tangente und einer Sehne<CAO "= <О"ВА= <О"АВ, d.h. Punkt O" liegt auf der Winkelhalbierenden < A . Ebenso kann gezeigt werden, dass es auf der Winkelhalbierenden liegt < B , d.h. O" = O.
3. Wenn eine Linie, die durch Punkt O geht, parallel zur Seite ist AB, kreuzt die Seiten Sonne Und SA an Punkten A 1 Und IN 1 , Das A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .
Beweisen wir, dass Δ AB 1 Ö gleichschenklig. Tatsächlich, < B 1 O.A. = < OAB = < B 1 A.O. (Abb. 56). Deshalb AB 1 = B 1 0. Ebenfalls A 1 B = A 1 Ö , was bedeutet A 1 B 1 = A 1 O+O.B. 1 = A 1 B + AB 1 .
Lasse Δ ein ABC Scheitelwinkel A, B und C sind gleich α, β, γ . Berechnen wir den Winkel, in dem die Seite AB sichtbar vom Punkt O. Da die Winkel Δ JSC B an den Eckpunkten A und B sind dann gleich α/2 und β/2
< AOB = 180°- (α+β)/2=180°- (180°- γ)/2=90° +γ/2. Das
Die Formel kann bei der Lösung vieler Probleme hilfreich sein.
Mittelpunkte der Seiten Δ ABC; lassen H
1
und H – ihre Orthozentren (Abb. 65). Punkt H 1 fällt mit dem Mittelpunkt zusammen UM Umkreis Δ ABC. Beweisen wir, dass Δ 
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| spitzwinklig | stumpf | rechteckig |
Folgen
sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.
Es wird auf ähnliche Weise bewiesen A/ sin α =2R, b/ sin β =2R.
Auf diese Weise:
Diese Eigenschaft wird Sinussatz genannt.
In der Mathematik kommt es häufig vor, dass völlig unterschiedlich definierte Objekte sich als gleich herausstellen.
Beispiel. Seien A1, B1, C1 jeweils die Mittelpunkte der Seiten ∆ABC BC, AC, AB. Zeigen Sie, dass sich die um die Dreiecke AB1C1, A1B1C, A1BC1 beschriebenen Kreise in einem Punkt schneiden. Darüber hinaus ist dieser Punkt der Mittelpunkt eines um ∆ABC umschriebenen Kreises.
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| Betrachten wir das Segment AO und konstruieren auf diesem Segment einen Kreis, wie auf einem Durchmesser. Die Punkte C1 und B1 fallen auf diesen Kreis, weil sind die Eckpunkte rechter Winkel basierend auf AO. Die Punkte A, C1, B1 liegen auf einem Kreis = dieser Kreis wird um ∆AB1C1 umschrieben. Zeichnen wir auf ähnliche Weise das Segment BO und konstruieren auf diesem Segment einen Kreis, wie auf einem Durchmesser. Dies wird ein um ∆ВС1 А1 umschriebener Kreis sein. Zeichnen wir ein Segment CO und konstruieren auf diesem Segment einen Kreis, wie auf einem Durchmesser. Dies wird ein Kreis sein, der von ungefähr umschrieben wird Diese drei Kreise verlaufen durch Punkt O – den Mittelpunkt des um ∆ABC umschriebenen Kreises. |
Verallgemeinerung. Wenn wir auf den Seiten ∆ABC AC, BC, AC beliebige Punkte A 1, B 1, C 1 nehmen, dann schneiden sich die um die Dreiecke AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 umschriebenen Kreise in einem Punkt .
1.2 Schnittpunkt der Dreieckshalbierenden
Das Umgekehrte gilt auch: Wenn ein Punkt von den Seiten eines Winkels gleich weit entfernt ist, liegt er auf dessen Winkelhalbierende.
Es ist sinnvoll, die Hälften einer Ecke mit den gleichen Buchstaben zu kennzeichnen:
OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.
Punkt O sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Winkel A und B. Aufgrund der Eigenschaft des Punktes, der auf der Winkelhalbierenden von Winkel A liegt, gilt OF=OD=r. Gemäß der Eigenschaft des Punktes, der auf der Winkelhalbierenden von B liegt, gilt OE=OD=r. Somit ist OE=OD= OF=r= Punkt O von allen Seiten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt, d.h. O ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. (Punkt O ist der einzige).
Abschluss: Wenn also der Punkt O der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist, dann ist OE=OD= OF=r, d.h. Punkt O ist von allen Seiten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt, was bedeutet, dass er der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ist. Der O-Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist ein bemerkenswerter Punkt des Dreiecks.
Folgen:
Aus der Gleichheit der Dreiecke AOF und AOD (Abbildung 1) entlang der Hypotenuse und des spitzen Winkels folgt dies A.F. = ANZEIGE . Aus der Gleichheit der Dreiecke OBD und OBE folgt das BD = SEI , Aus der Gleichheit der Dreiecke COE und COF folgt das MIT F = C.E. . Somit sind die Tangentensegmente, die von einem Punkt zum Kreis gezogen werden, gleich.
AF=AD= z, BD=BE= j, CF=CE= X
a=x+y (1), B= x+z (2), c= x+y (3).
+ (2) – (3), dann erhalten wir: a+B-с=X+ j+ X+ z- z- j = a+B-с= 2X =
x=( B + C - a)/2
Ähnlich: (1) + (3) – (2), dann erhalten wir: y = (a + c –B)/2.
Ähnlich: (2) + (3) – (1), dann erhalten wir: z= (a +B - C)/2.
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks unterteilt die gegenüberliegende Seite in Segmente, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind.
1.3 Schnittpunkt der Dreiecksmediane (Schwerpunkt)
Beweis 1. Seien A 1 , B 1 und C 1 jeweils die Mittelpunkte der Seiten BC, CA und AB des Dreiecks ABC (Abb. 4).
Sei G der Schnittpunkt zweier Mediane AA 1 und BB 1. Beweisen wir zunächst, dass AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2 ist.
Nehmen Sie dazu die Mittelpunkte P und Q der Segmente AG und BG. Nach dem Satz über die Mittellinie eines Dreiecks sind die Segmente B 1 A 1 und PQ gleich der Hälfte der Seite AB und parallel dazu. Daher ist das Viereck A 1 B 1 ein PQ-Parallelogramm. Dann teilt der Punkt G des Schnittpunkts seiner Diagonalen PA 1 und QB 1 jede von ihnen in zwei Hälften. Daher teilen die Punkte P und G den Median AA 1 in drei gleiche Teile, und die Punkte Q und G teilen auch den Median BB 1 in drei gleiche Teile. Der Punkt G am Schnittpunkt zweier Mittelwerte eines Dreiecks teilt also jeden von ihnen im Verhältnis 2:1, gerechnet vom Scheitelpunkt.
Der Schnittpunkt der Mediane eines Dreiecks heißt Schwerpunkt oder Schwerpunkt Dreieck. Dieser Name ist darauf zurückzuführen, dass sich an dieser Stelle der Schwerpunkt einer homogenen dreieckigen Platte befindet.
1.4 Schnittpunkt der Dreieckshöhen (Orthozentrum)
1,5 Torricelli-Punkt
Der Weg ist durch das Dreieck ABC gegeben. Der Torricelli-Punkt dieses Dreiecks ist der Punkt O, von dem aus die Seiten dieses Dreiecks in einem Winkel von 120° sichtbar sind, d. h. Die Winkel AOB, AOC und BOC betragen 120°.
Beweisen wir, dass der Torricelli-Punkt existiert, wenn alle Winkel eines Dreiecks kleiner als 120° sind.
Auf der Seite AB des Dreiecks ABC konstruieren wir ein gleichseitiges Dreieck ABC“ (Abb. 6, a) und beschreiben einen Kreis darum. Das Segment AB liegt auf einem Bogen dieses Kreises mit einer Länge von 120°. Folglich gibt es auf diesem Bogen andere Punkte als A und B haben die Eigenschaft, dass das Segment AB von ihnen aus in einem Winkel von 120° sichtbar ist. Ebenso werden wir auf der Seite AC des Dreiecks ABC ein gleichseitiges Dreieck ACB konstruieren (Abb. 6, a) und einen Kreis darum beschreiben Es. Punkte des entsprechenden Bogens, die sich von A und C unterscheiden, haben die Eigenschaft, dass von ihnen aus das Segment AC in einem Winkel von 120° sichtbar ist. Wenn die Winkel des Dreiecks weniger als 120° betragen, schneiden sich diese Bögen an einem inneren Punkt O. In diesem Fall ist ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Daher ist ∟BOC = 120°. Daher ist Punkt O der gewünschte.
Wenn einer der Winkel eines Dreiecks, zum Beispiel ABC, 120° beträgt, ist der Schnittpunkt der Kreisbögen Punkt B (Abb. 6, b). In diesem Fall existiert der Torricelli-Punkt nicht, da es unmöglich ist, über die Winkel zu sprechen, unter denen die Seiten AB und BC von diesem Punkt aus sichtbar sind.
Wenn einer der Winkel eines Dreiecks, zum Beispiel ABC, größer als 120° ist (Abb. 6, c), schneiden sich die entsprechenden Kreisbögen nicht und der Torricelli-Punkt existiert auch nicht.
Der Torricelli-Punkt ist mit Fermats Problem verbunden (das wir in Kapitel II betrachten werden), den Punkt zu finden, dessen Summe der Abstände zu drei gegebenen Punkten am kleinsten ist.
1.6 Neun-Punkte-Kreis
Tatsächlich ist A 3 B 2 die Mittellinie des Dreiecks AHC und daher A 3 B 2 || CC 1. B 2 A 2 ist die Mittellinie des Dreiecks ABC und daher B 2 A 2 || AB. Da CC 1 ┴ AB, dann A 3 B 2 A 2 = 90°. Ebenso gilt A 3 C 2 A 2 = 90°. Daher liegen die Punkte A 2, B 2, C 2, A 3 auf demselben Kreis mit dem Durchmesser A 2 A 3. Da AA 1 ┴BC, gehört auch Punkt A 1 zu diesem Kreis. Somit liegen die Punkte A 1 und A 3 auf dem Umkreis des Dreiecks A2B2C2. Ebenso wird gezeigt, dass die Punkte B 1 und B 3, C 1 und C 3 auf diesem Kreis liegen. Das bedeutet, dass alle neun Punkte auf demselben Kreis liegen.
In diesem Fall liegt der Mittelpunkt des Kreises aus neun Punkten in der Mitte zwischen dem Schnittpunkt der Höhen und dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. In der Tat sei im Dreieck ABC (Abb. 9) der Punkt O der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises; G – Schnittpunkt der Mediane. H ist der Punkt, an dem sich die Höhen schneiden. Sie müssen beweisen, dass die Punkte O, G, H auf derselben Linie liegen und der Mittelpunkt des Kreises aus neun Punkten N das Segment OH in zwei Hälften teilt.
Betrachten Sie eine Homothetie mit dem Mittelpunkt im Punkt G und dem Koeffizienten -0,5. Die Eckpunkte A, B, C des Dreiecks ABC gehen jeweils zu den Punkten A 2, B 2, C 2. Die Höhen des Dreiecks ABC gehen in die Höhen des Dreiecks A 2 B 2 C 2 über und daher geht Punkt H zu Punkt O. Daher liegen die Punkte O, G, H auf derselben geraden Linie.
Zeigen wir, dass der Mittelpunkt N des Segments OH der Mittelpunkt des Kreises aus neun Punkten ist. Tatsächlich ist C 1 C 2 ein Akkord des Kreises aus neun Punkten. Daher ist die Mittelsenkrechte dieser Sehne ein Durchmesser und schneidet OH in der Mitte von N. Ebenso ist die Mittelsenkrechte der Sehne B 1 B 2 ein Durchmesser und schneidet OH im selben Punkt N. N ist also der Mittelpunkt von der Kreis aus neun Punkten. Q.E.D.
In der Tat sei P ein beliebiger Punkt, der auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt; D, E, F – die Basen der Senkrechten, die vom Punkt P zu den Seiten des Dreiecks fallen (Abb. 10). Zeigen wir, dass die Punkte D, E, F auf derselben Linie liegen.
Beachten Sie, dass, wenn AP durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, die Punkte D und E mit den Eckpunkten B und C zusammenfallen. Andernfalls ist einer der Winkel ABP oder ACP spitz und der andere stumpf. Daraus folgt, dass die Punkte D und E auf gegenüberliegenden Seiten der Linie BC liegen und um zu beweisen, dass die Punkte D, E und F auf derselben Linie liegen, genügt es zu überprüfen, dass ∟CEF =∟BED.
Beschreiben wir einen Kreis mit dem Durchmesser CP. Da ∟CFP = ∟CEP = 90°, liegen die Punkte E und F auf diesem Kreis. Daher ist ∟CEF =∟CPF als eingeschriebene Winkel, die von einem Kreisbogen begrenzt werden. Als nächstes gilt ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. Beschreiben wir einen Kreis mit dem Durchmesser BP. Da ∟BEP = ∟BDP = 90°, liegen die Punkte F und D auf diesem Kreis. Daher ist ∟BPD =∟BED. Daher erhalten wir schließlich ∟CEF =∟BED. Das bedeutet, dass die Punkte D, E, F auf derselben Linie liegen.
KapitelIIProbleme lösen
Beginnen wir mit Problemen im Zusammenhang mit der Lage von Winkelhalbierenden, Mitteln und Höhen eines Dreiecks. Ihre Lösung ermöglicht es Ihnen einerseits, sich an zuvor behandeltes Material zu erinnern, andererseits entwickelt es die notwendigen geometrischen Konzepte und bereitet Sie auf die Lösung komplexerer Probleme vor.
Aufgabe 1. In den Winkeln A und B des Dreiecks ABC (∟A
Lösung. Dann sei CD die Höhe und CE die Winkelhalbierende
∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.
Daher ist ∟DCE =.
Lösung. Sei O der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC (Abb. 1). Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass der größere Winkel der größeren Seite des Dreiecks gegenüberliegt. Wenn AB BC, dann ∟A
Lösung. Sei O der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks ABC (Abb. 2). Wenn AC ∟B. Ein Kreis mit dem Durchmesser BC verläuft durch die Punkte F und G. Wenn man bedenkt, dass der kleinere der beiden Sehnen derjenige ist, auf dem der kleinere eingeschriebene Winkel ruht, erhalten wir CG
Nachweisen. Auf den Seiten AC und BC des Dreiecks ABC sowie auf den Durchmessern konstruieren wir Kreise. Zu diesen Kreisen gehören die Punkte A 1, B 1, C 1. Daher ist ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC, als Winkel, die auf demselben Kreisbogen basieren. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 als Winkel mit zueinander senkrechten Seiten. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 als Winkel, die von demselben Kreisbogen begrenzt werden. Daher ist ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, d.h. CC 1 ist die Winkelhalbierende des Winkels B 1 C 1 A 1 . Ebenso wird gezeigt, dass AA 1 und BB 1 die Winkelhalbierenden der Winkel B 1 A 1 C 1 und A 1 B 1 C 1 sind.
Das betrachtete Dreieck, dessen Eckpunkte die Basis der Höhen eines gegebenen spitzen Dreiecks sind, liefert eine Antwort auf eines der klassischen Extremalprobleme.
Lösung. Sei ABC das gegebene spitze Dreieck. Auf seinen Seiten müssen Sie Punkte finden A 1 , B 1 , C 1 für die der Umfang des Dreiecks A 1 B 1 C 1 am kleinsten wäre (Abb. 4).
Fixieren wir zunächst den Punkt C 1 und suchen wir nach den Punkten A 1 und B 1, für die der Umfang des Dreiecks A 1 B 1 C 1 am kleinsten ist (für eine gegebene Position des Punktes C 1).
Betrachten Sie dazu die Punkte D und E als symmetrisch zum Punkt C 1 relativ zu den Geraden AC und BC. Dann ist B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E und daher ist der Umfang des Dreiecks A 1 B 1 C 1 gleich der Länge der gestrichelten Linie DB 1 A 1 E. Es Es ist klar, dass die Länge dieser gestrichelten Linie am kleinsten ist, wenn die Punkte B 1, A 1 auf der Linie DE liegen.
Wir ändern nun die Position des Punktes C 1 und suchen nach einer Position, an der der Umfang des entsprechenden Dreiecks A 1 B 1 C 1 am kleinsten ist.
Da Punkt D relativ zu AC symmetrisch zu C 1 ist, gilt CD = CC 1 und ACD = ACC 1. Ebenso gilt CE=CC 1 und BCE=BCC 1. Daher ist das Dreieck CDE gleichschenklig. Seine laterale Seite ist gleich CC 1. Die Basis-DE ist gleich dem Umfang P Dreieck A 1 B 1 C 1. Der Winkel DCE ist gleich dem doppelten Winkel ACB des Dreiecks ABC und hängt daher nicht von der Position des Punktes C 1 ab.
In einem gleichschenkligen Dreieck mit einem bestimmten Winkel an der Spitze gilt: Je kleiner die Seite, desto kleiner die Basis. Daher der kleinste Umfangswert P wird beim niedrigsten CC 1-Wert erreicht. Dieser Wert wird verwendet, wenn CC 1 die Höhe des Dreiecks ABC ist. Somit ist der erforderliche Punkt C 1 auf der Seite AB die Basis der vom Scheitelpunkt C ausgehenden Höhe.
Beachten Sie, dass wir zunächst nicht Punkt C 1, sondern Punkt A 1 oder Punkt B 1 festlegen könnten und erhalten würden, dass A 1 und B 1 die Basen der entsprechenden Höhen des Dreiecks ABC sind.
Daraus folgt, dass das erforderliche Dreieck mit dem kleinsten Umfang, das in ein gegebenes spitzes Dreieck ABC eingeschrieben ist, ein Dreieck ist, dessen Eckpunkte die Basis der Höhen des Dreiecks ABC sind.
Lösung. Beweisen wir, dass der Torricelli-Punkt der erforderliche Punkt im Steiner-Problem ist, wenn die Winkel des Dreiecks weniger als 120° betragen.
Drehen wir das Dreieck ABC um den Scheitelpunkt C um einen Winkel von 60°, Abb. 7. Wir erhalten das Dreieck A’B’C. Nehmen wir einen beliebigen Punkt O im Dreieck ABC. Beim Abbiegen geht es irgendwann zu Punkt O’. Das Dreieck OO'C ist gleichseitig, da CO = CO' und ∟OCO' = 60°, also OC = OO'. Daher ist die Summe der Längen OA + OB + OC gleich der Länge der gestrichelten Linie AO + OO’ + O’B’. Es ist klar, dass die Länge dieser gestrichelten Linie den kleinsten Wert annimmt, wenn die Punkte A, O, O’, B’ auf derselben Geraden liegen. Wenn O ein Torricelli-Punkt ist, dann ist dies der Fall. Tatsächlich ist ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Daher liegen die Punkte A, O, O' auf derselben Geraden. Ebenso ist ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. Daher liegen die Punkte O, O', B' auf derselben Geraden, was bedeutet, dass alle Punkte A, O, O', B' auf derselben Geraden liegen.
Abschluss
Die Geometrie eines Dreiecks ermöglicht zusammen mit anderen Abschnitten der elementaren Mathematik die Schönheit der Mathematik im Allgemeinen zu spüren und kann für jemanden zum Beginn des Weges zur „großen Wissenschaft“ werden.
Geometrie ist eine erstaunliche Wissenschaft. Seine Geschichte reicht mehr als tausend Jahre zurück, aber jede Begegnung mit ihm kann (sowohl Schüler als auch Lehrer) mit der aufregenden Neuheit einer kleinen Entdeckung, der erstaunlichen Freude an Kreativität beschenken und bereichern. Tatsächlich ist jedes Problem in der Elementargeometrie im Wesentlichen ein Theorem, und seine Lösung ist ein bescheidener (und manchmal großer) mathematischer Sieg.
Historisch gesehen begann die Geometrie mit einem Dreieck, daher ist das Dreieck seit zweieinhalb Jahrtausenden ein Symbol der Geometrie. Schulgeometrie kann nur dann interessant und bedeutungsvoll werden, sie kann nur dann zur eigentlichen Geometrie werden, wenn sie ein tiefes und umfassendes Studium des Dreiecks einschließt. Überraschenderweise ist das Dreieck trotz seiner scheinbaren Einfachheit ein unerschöpflicher Gegenstand des Studiums – selbst in unserer Zeit wagt niemand zu sagen, dass er alle Eigenschaften des Dreiecks studiert und kennt.
In dieser Arbeit wurden die Eigenschaften von Winkelhalbierenden, Medianen, Mittelsenkrechten und Höhen eines Dreiecks betrachtet, die Anzahl der bemerkenswerten Punkte und Linien des Dreiecks erweitert sowie Theoreme formuliert und bewiesen. Eine Reihe von Problemen bei der Anwendung dieser Theoreme wurde gelöst.
Die vorgestellten Materialien können sowohl im Grundunterricht als auch im Wahlpflichtunterricht sowie zur Vorbereitung auf Zentralprüfungen und Mathematikolympiaden eingesetzt werden.
Referenzliste
Berger M. Geometrie in zwei Bänden – M: Mir, 1984.
Kiselyov A.P. Elementare Geometrie. – M.: Bildung, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Neue Begegnungen mit der Geometrie. – M.: Nauka, 1978.
Latotin L.A., Chebotaravsky B.D. Mathematik 9. – Minsk: Narodnaya Asveta, 2014.
Prasolov V.V. Probleme in der Planimetrie. – M.: Nauka, 1986. – Teil 1.
Scanavi M. I. Mathematik. Probleme mit Lösungen. – Rostow am Don: Phoenix, 1998.
Sharygin I.F. Geometrieprobleme: Planimetrie. – M.: Nauka, 1986.
Ministerium für allgemeine und berufliche Bildung des Gebiets Swerdlowsk.
Städtische Bildungseinrichtung von Jekaterinburg.
Bildungseinrichtung – MOUSOSH Nr. 212 „Jekaterinburger Kulturlyzeum“
Bildungsbereich – Mathematik.
Thema - Geometrie.
Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks
Referent: Schüler der 8. Klasse
Selizki Dmitri Konstantinowitsch.
Wissenschaftlicher Leiter:
Rabkanow Sergej Petrowitsch.
Jekaterinburg, 2001
Einführung 3
Beschreibender Teil:
Orthocenter 4
Icenter 5
Schwerpunkt 7
Umfang 8
Euler-Linie 9
Praktischer Teil:
Orthozentrisches Dreieck 10
Fazit 11
Referenzen 11
Einführung.
Geometrie beginnt mit einem Dreieck. Seit zweieinhalb Jahrtausenden ist das Dreieck ein Symbol der Geometrie. Seine neuen Eigenschaften werden ständig entdeckt. Es wird viel Zeit in Anspruch nehmen, über alle bekannten Eigenschaften eines Dreiecks zu sprechen. Mich interessierten die sogenannten „Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks“. Ein Beispiel für solche Punkte ist der Schnittpunkt von Winkelhalbierenden. Das Bemerkenswerte daran ist, dass wenn man drei beliebige Punkte im Raum nimmt, daraus ein Dreieck konstruiert und Winkelhalbierende zeichnet, dann werden sie (die Winkelhalbierenden) sich in einem Punkt schneiden! Es scheint, dass dies nicht möglich ist, da wir willkürliche Punkte genommen haben, aber diese Regel gilt immer. Andere „bemerkenswerte Punkte“ haben ähnliche Eigenschaften.
Nachdem ich die Literatur zu diesem Thema gelesen hatte, legte ich für mich selbst die Definitionen und Eigenschaften von fünf wunderbaren Punkten und einem Dreieck fest. Aber damit war meine Arbeit noch nicht beendet; ich wollte diese Punkte selbst erforschen.
Deshalb Ziel Diese Arbeit ist eine Untersuchung einiger bemerkenswerter Eigenschaften eines Dreiecks und eine Untersuchung eines orthozentrischen Dreiecks. Bei der Erreichung dieses Ziels lassen sich folgende Phasen unterscheiden:
Auswahl der Literatur mit Hilfe eines Lehrers
Untersuchung der grundlegenden Eigenschaften der bemerkenswerten Punkte und Linien eines Dreiecks
Verallgemeinerung dieser Eigenschaften
Aufstellen und Lösen eines Problems mit einem orthozentrischen Dreieck
Ich habe die in dieser Forschungsarbeit erzielten Ergebnisse vorgestellt. Alle Zeichnungen habe ich mit Computergrafik (Vektorgrafikeditor CorelDRAW) erstellt.
Orthozentrum. (Schnittpunkt der Höhen)
Beweisen wir, dass sich die Höhen in einem Punkt schneiden. Wir führen Sie durch die Gipfel A, IN Und MIT Dreieck ABC gerade Linien parallel zu gegenüberliegenden Seiten. Diese Linien bilden ein Dreieck A 1 IN 1 MIT 1 . Höhe des Dreiecks ABC sind die Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks A 1 IN 1 MIT 1 . Daher schneiden sie sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks A 1 IN 1 MIT 1 . Der Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks wird Orthozentrum genannt ( H).
Icenter ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.
(Schnittpunkt der Winkelhalbierenden)
Beweisen wir, dass die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ABC sich in einem Punkt schneiden. Bedenken Sie den Punkt UM Winkelhalbierende Schnittpunkte A Und IN. Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Winkels A sind von den Geraden gleich weit entfernt AB Und Wechselstrom und jeder Punkt der Winkelhalbierenden IN gleich weit von Geraden entfernt AB Und Sonne, also Punkt UM gleich weit von Geraden entfernt Wechselstrom Und Sonne, d.h. es liegt auf der Winkelhalbierenden MIT. Punkt UM gleich weit von Geraden entfernt AB, Sonne Und SA, was bedeutet, dass es einen Kreis mit Mittelpunkt gibt UM, tangential zu diesen Linien, und die Tangentenpunkte liegen auf den Seiten selbst und nicht auf ihren Verlängerungen. Tatsächlich sind es die Winkel an den Eckpunkten A Und IN Dreieck AOB scharfer daher Projektionspunkt UM direkt AB liegt innerhalb des Segments AB.
Für Partys Sonne Und SA Der Beweis ist ähnlich.
Das icenter verfügt über drei Eigenschaften:
Wenn die Fortsetzung der Winkelhalbierenden MIT schneidet den Umkreis eines Dreiecks ABC am Punkt M, Das MA=MV=MO.
Wenn AB- Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ABC, dann der Kreis, der die Seiten des Winkels tangiert DIA an Punkten A Und IN, geht durch den Punkt UM.
Wenn eine Linie durch einen Punkt geht UM parallel zur Seite AB, kreuzt die Seiten Sonne Und SA an Punkten A 1 Und IN 1 , Das A 1 IN 1 =A 1 IN+AB 1 .
Schwerpunkt. (Schnittpunkt der Mediane)
Beweisen wir, dass sich die Mediane eines Dreiecks in einem Punkt schneiden. Bedenken Sie dazu den Punkt M, an dem sich die Mediane schneiden AA 1 Und BB 1 . Lass uns ein Dreieck zeichnen BB 1 MIT Mittellinie A 1 A 2 , parallel BB 1 . Dann A 1 M:AM=IN 1 A 2 :AB 1 =IN 1 A 2 :IN 1 MIT=VA 1 :SONNE=1:2, d.h. mittlerer Schnittpunkt BB 1 Und AA 1 teilt den Median AA 1 im Verhältnis 1:2. Ebenso der Schnittpunkt der Mediane SS 1 Und AA 1 teilt den Median AA 1 im Verhältnis 1:2. Daher der Schnittpunkt der Mediane AA 1 Und BB 1 fällt mit dem Schnittpunkt der Mediane zusammen AA 1 Und SS 1 .
Wenn der Schnittpunkt der Mittellinien eines Dreiecks mit den Eckpunkten verbunden ist, werden die Dreiecke in drei Dreiecke gleicher Fläche geteilt. Tatsächlich reicht es aus, zu beweisen, dass wenn R– jeder Punkt des Medians AA 1 im Dreieck ABC, dann die Flächen der Dreiecke AVR Und AKP sind gleich. Immerhin Mediane AA 1 Und RA 1 in Dreiecken ABC Und RVS Schneiden Sie sie in gleichgroße Dreiecke.
Die umgekehrte Aussage gilt auch: Wenn für einen bestimmten Punkt R, innerhalb des Dreiecks liegend ABC, Fläche von Dreiecken AVR, AM MITTWOCH Und SAR sind also gleich R– Schnittpunkt der Mediane.
Der Schnittpunkt hat noch eine weitere Eigenschaft: Wenn Sie aus einem beliebigen Material ein Dreieck ausschneiden, Mittellinien darauf zeichnen, eine Stange am Schnittpunkt der Mittellinien anbringen und die Aufhängung an einem Stativ befestigen, dann ist das Modell (Dreieck) drin ein Gleichgewichtszustand, daher ist der Schnittpunkt nichts anderes als der Schwerpunkt des Dreiecks.
Mittelpunkt des umschriebenen Kreises.
Beweisen wir, dass es einen Punkt gibt, der von den Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat, oder mit anderen Worten, dass es einen Kreis gibt, der durch die drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft. Der Ort von Punkten mit gleichem Abstand zu Punkten A Und IN, ist senkrecht zum Segment AB, durch seine Mitte (die Mittelsenkrechte des Segments) verlaufend AB). Bedenken Sie den Punkt UM, in dem sich die Winkelhalbierenden der Senkrechten zu den Segmenten schneiden AB Und Sonne. Punkt UM gleich weit von Punkten entfernt A Und IN, sowie aus Punkten IN Und MIT. daher ist es von den Punkten gleich weit entfernt A Und MIT, d.h. es liegt auch auf der Mittelsenkrechten zum Segment Wechselstrom.
Center UM Der Umkreis liegt nur dann innerhalb eines Dreiecks, wenn das Dreieck spitz ist. Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann der Punkt UM mit der Mitte der Hypotenuse zusammenfällt und wenn der Winkel am Scheitelpunkt liegt MIT stumpf, dann gerade AB trennt die Punkte UM Und MIT.
In der Mathematik kommt es häufig vor, dass sich völlig unterschiedlich definierte Objekte als gleich herausstellen. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.
Lassen A 1 , IN 1 ,MIT 1 – Mittelpunkte der Seiten Sonne,SA und AB. Es lässt sich nachweisen, dass Kreise von Dreiecken umschrieben werden AB 1 MIT, A 1 Sonne 1 Und A 1 IN 1 MIT 1 schneiden sich in einem Punkt, und dieser Punkt ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Wir haben also zwei scheinbar völlig unterschiedliche Punkte: den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks ABC und der Schnittpunkt der Umkreise der Dreiecke AB 1 MIT 1 , A 1 Sonne Und A 1 IN 1 MIT 1 . aber es stellt sich heraus, dass diese beiden Punkte übereinstimmen.
Eulers Gerade.
Die erstaunlichste Eigenschaft der bemerkenswerten Punkte eines Dreiecks besteht darin, dass einige von ihnen durch bestimmte Beziehungen miteinander verbunden sind. Zum Beispiel der Schwerpunkt M, Orthozentrum N und der Mittelpunkt des Umkreises UM liegen auf derselben Geraden und der Punkt M teilt die Strecke OH, sodass die Beziehung gültig ist OM:MN=1:2. Dieser Satz wurde 1765 vom Schweizer Wissenschaftler Leonardo Euler bewiesen.
Orthozentrisches Dreieck.
Orthozentrisches Dreieck(Orthodreieck) ist ein Dreieck ( MNZU), deren Eckpunkte die Basis der Höhen dieses Dreiecks sind ( ABC). Dieses Dreieck hat viele interessante Eigenschaften. Geben wir einen davon.
Eigentum.
Beweisen:
Dreiecke AKM, CMN Und BKNähnlich einem Dreieck ABC;
Winkel eines Orthodreiecks MNK Sind: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.
Nachweisen:
Wir haben AB cos A, A.K. cos A. Somit, BIN./AB = A.K./A.C..
Weil bei Dreiecken ABC Und AKM Ecke A– gemeinsam, dann sind sie ähnlich, woraus wir auf den Winkel schließen L AKM = L C. Deshalb L BKM = L C. Als nächstes haben wir L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – - - L C, d.h. SK- Winkelhalbierende MNK. Also, L MNK= π – 2 L C. Die übrigen Gleichheiten werden auf ähnliche Weise bewiesen.
Abschluss.
Am Ende dieser Forschungsarbeit können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden:
Die bemerkenswerten Punkte und Linien des Dreiecks sind:
Orthozentrum eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner Höhen;
undZentrum Dreieck ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden;
Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner Mediane;
Umkreiszentrum– ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden;
Eulers Gerade- das ist die Gerade, auf der der Schwerpunkt, das Orthozentrum und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises liegen.
Ein orthozentrisches Dreieck teilt ein gegebenes Dreieck in drei ähnliche.
Nach dieser Arbeit habe ich viel über die Eigenschaften eines Dreiecks gelernt. Diese Arbeit war für mich im Hinblick auf die Weiterentwicklung meiner Kenntnisse auf dem Gebiet der Mathematik relevant. Ich beabsichtige, dieses interessante Thema in Zukunft weiterzuentwickeln.
Referenzliste.
Kiselyov A.P. Elementare Geometrie. – M.: Bildung, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Neue Begegnungen mit der Geometrie. – M.: Nauka, 1978.
Prasolov V.V. Probleme in der Planimetrie. – M.: Nauka, 1986. – Teil 1.
Sharygin I.F. Geometrieprobleme: Planimetrie. – M.: Nauka, 1986.
Scanavi M. I. Mathematik. Probleme mit Lösungen. – Rostow am Don: Phoenix, 1998.
Berger M. Geometrie in zwei Bänden – M: Mir, 1984.
Ziele:
- Fassen Sie das Wissen der Schüler zum Thema „Vier bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks“ zusammen und arbeiten Sie weiter an der Entwicklung von Fähigkeiten zur Konstruktion der Höhe, des Mittelwerts und der Winkelhalbierenden eines Dreiecks.
Machen Sie die Schüler mit neuen Konzepten des in ein Dreieck eingeschriebenen und umschriebenen Kreises vertraut.
Forschungskompetenzen entwickeln;
- Beharrlichkeit, Genauigkeit und Organisation bei den Schülern fördern.
Aufgabe: das kognitive Interesse am Thema Geometrie erweitern.
Ausrüstung: Tafel, Zeichenwerkzeuge, Buntstifte, Modell eines Dreiecks auf einem Querformatblatt; Computer, Multimediaprojektor, Leinwand.
Während des Unterrichts
1.
Organisatorischer Moment (1 Minute)
Lehrer: In dieser Lektion wird sich jeder von Ihnen wie ein Forschungsingenieur fühlen und nach Abschluss der praktischen Arbeit in der Lage sein, sich selbst zu bewerten. Für den Erfolg der Arbeit ist es notwendig, alle Aktionen mit dem Modell während des Unterrichts sehr genau und organisiert durchzuführen. Ich wünsche Ihnen Erfolg.
2.
Lehrer: Zeichnen Sie einen offenen Winkel in Ihr Notizbuch
F. Welche Methoden kennen Sie, um die Winkelhalbierende zu konstruieren?
Bestimmung der Winkelhalbierenden. Zwei Schüler konstruieren Winkelhalbierende auf der Tafel (unter Verwendung vorbereiteter Modelle) auf zwei Arten: mit einem Lineal oder einem Zirkel. Die folgenden beiden Studierenden beweisen die Aussagen mündlich:
1. Welche Eigenschaften haben die Winkelhalbierenden?
2. Was lässt sich über die Punkte sagen, die innerhalb des Winkels liegen und von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt sind?
Lehrer: Zeichnen Sie ein tetragonales Dreieck ABC und konstruieren Sie auf beliebige Weise die Winkelhalbierenden von Winkel A und Winkel C, ihren Punkt
Schnittpunkt - Punkt O. Welche Hypothese können Sie über den Strahl VO aufstellen? Beweisen Sie, dass der Strahl BO die Winkelhalbierende des Dreiecks ABC ist. Formulieren Sie eine Schlussfolgerung über die Lage aller Winkelhalbierenden eines Dreiecks.
3.
Arbeiten mit dem Dreiecksmodell (5-7 Minuten).
Option 1 – spitzes Dreieck;
Option 2 – rechtwinkliges Dreieck;
Option 3 – stumpfes Dreieck.
Lehrer: Konstruieren Sie auf dem Dreiecksmodell zwei Winkelhalbierende und kreisen Sie sie gelb ein. Markieren Sie den Schnittpunkt
Winkelhalbierenden Punkt K. Siehe Folie Nr. 1.
4.
Vorbereitung auf die Hauptphase des Unterrichts (10-13 Minuten).
Lehrer: Zeichnen Sie das Liniensegment AB in Ihr Notizbuch. Welche Werkzeuge können verwendet werden, um eine Mittelsenkrechte zu einem Segment zu konstruieren? Bestimmung der Mittelsenkrechten. Zwei Schüler konstruieren an der Tafel eine Mittelsenkrechte
(nach vorbereiteten Modellen) auf zwei Arten: mit einem Lineal, mit einem Zirkel. Die folgenden beiden Studierenden beweisen die Aussagen mündlich:
1. Welche Eigenschaften haben die Punkte der Mittelsenkrechten einer Strecke?
2. Was lässt sich über die Punkte mit gleichem Abstand von den Enden des Segments AB sagen? Lehrer: Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC in Ihr Notizbuch und konstruieren Sie die Mittelsenkrechten zu zwei beliebigen Seiten des Dreiecks ABC.
Markieren Sie den Schnittpunkt O. Zeichnen Sie eine Senkrechte zur dritten Seite durch Punkt O. Was fällt Ihnen auf? Beweisen Sie, dass dies die Mittelsenkrechte des Segments ist.
5.
Arbeiten mit einem Dreiecksmodell (5 Minuten). Lehrer: Konstruieren Sie an einem Dreiecksmodell Winkelhalbierende zu den beiden Seiten des Dreiecks und kreisen Sie sie grün ein. Markieren Sie den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit einem Punkt O. Siehe Folie Nr. 2.
6.
Vorbereitung auf die Hauptphase der Lektion (5-7 Minuten). Lehrer: Zeichnen Sie ein stumpfes Dreieck ABC und konstruieren Sie zwei Höhen. Beschriften Sie ihren Schnittpunkt mit O.
1. Was lässt sich über die dritte Höhe sagen (die dritte Höhe verläuft, wenn sie über die Basis hinausgeht, durch Punkt O)?
2. Wie kann man beweisen, dass sich alle Höhen in einem Punkt schneiden?
3. Welche neue Figur bilden diese Höhen und was sind sie darin?
7.
Arbeiten mit dem Dreiecksmodell (5 Minuten).
Lehrer: Konstruieren Sie auf dem Dreiecksmodell drei Höhen und kreisen Sie sie blau ein. Markieren Sie den Schnittpunkt der Höhen mit Punkt H. Siehe Folie Nr. 3.
Lektion zwei
8.
Vorbereitung auf die Hauptphase des Unterrichts (10-12 Minuten).
Lehrer: Zeichnen Sie ein spitzes Dreieck ABC und konstruieren Sie alle seine Mediane. Beschriften Sie ihren Schnittpunkt mit O. Welche Eigenschaft haben die Mediane eines Dreiecks?
9.
Arbeiten mit dem Dreiecksmodell (5 Minuten).
Lehrer: Konstruieren Sie auf dem Dreiecksmodell drei Mediane und kreisen Sie sie braun ein.
Markieren Sie den Schnittpunkt der Mediane mit einem Punkt T. Siehe Folie Nr. 4.
10.
Überprüfung der Korrektheit der Konstruktion (10-15 Minuten).
1. Was lässt sich über Punkt K sagen? / Punkt K ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, er ist von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt /
2. Zeigen Sie auf dem Modell den Abstand vom Punkt K zur halben Seite des Dreiecks an. Welche Form hast du gezeichnet? Wie befindet sich das?
zur Seite schneiden? Mit einem einfachen Bleistift kräftig hervorheben. (Siehe Folie Nummer 5).
3. Was ist ein Punkt, der von drei Punkten der Ebene, die nicht auf derselben Geraden liegen, den gleichen Abstand hat? Zeichnen Sie mit einem gelben Stift einen Kreis mit Mittelpunkt K und einem Radius, der der mit einem einfachen Bleistift markierten Entfernung entspricht. (Siehe Folie Nummer 6).
4. Was ist Ihnen aufgefallen? Wie liegt dieser Kreis relativ zum Dreieck? Sie haben einem Dreieck einen Kreis eingeschrieben. Wie kann man einen solchen Kreis nennen?
Der Lehrer gibt die Definition eines eingeschriebenen Kreises in einem Dreieck.
5. Was lässt sich über Punkt O sagen? \Punkt O ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und hat von allen Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand\. Welche Figur kann durch die Verbindung der Punkte A, B, C und O konstruiert werden?
6. Konstruieren Sie einen Kreis (O; OA) mit Grün. (Siehe Folie Nummer 7).
7. Was ist Ihnen aufgefallen? Wie liegt dieser Kreis relativ zum Dreieck? Wie kann man einen solchen Kreis nennen? Wie können wir in diesem Fall das Dreieck nennen?
Der Lehrer gibt die Definition eines umschriebenen Kreises um ein Dreieck.
8. Befestigen Sie ein Lineal an den Punkten O, H und T und zeichnen Sie eine rote Linie durch diese Punkte. Diese Linie heißt gerade
Euler. (Siehe Folie Nummer 8).
9. Vergleichen Sie OT und TN. Überprüfen Sie FROM:TN=1: 2. (Siehe Folie Nummer 9).
10. a) Finden Sie die Mediane des Dreiecks (in Braun). Markieren Sie die Basis der Mediane mit Tinte.
Wo sind diese drei Punkte?
b) Finden Sie die Höhen des Dreiecks (in Blau). Markieren Sie die Basis der Höhen mit Tinte. Wie viele dieser Punkte gibt es? \ Option 1-3; Option 2-2; Option 3-3\.c) Messen Sie den Abstand von den Scheitelpunkten zum Schnittpunkt der Höhen. Benennen Sie diese Abstände (AN,
VN, SN). Finden Sie die Mittelpunkte dieser Segmente und markieren Sie sie mit Tinte. Wie viele davon?
Punkte? \1 option-3; Option 2-2; Option 3-3\.
11. Zählen Sie, wie viele Punkte mit Tinte markiert sind? \ 1 Option - 9; Option 2-5; Option 3-9\. Benennen
Punkte D 1, D 2,…, D 9. (Siehe Folie Nummer 10.) Mit diesen Punkten können Sie einen Euler-Kreis konstruieren. Der Mittelpunkt des Kreises, Punkt E, liegt in der Mitte des Segments OH. Wir zeichnen einen Kreis (E; ED 1) in Rot. Dieser Kreis ist ebenso wie die Gerade nach dem großen Wissenschaftler benannt. (Siehe Folie Nummer 11).
11.
Vortrag über Euler (5 Minuten).
12. Zusammenfassung(3 Minuten). Ergebnis: „5“ – wenn Sie genau die gelben, grünen und roten Kreise und die Euler-Gerade erhalten. „4“ – wenn die Kreise 2-3 mm ungenau sind. „3“ – wenn die Kreise 5-7 mm ungenau sind.
Silchenkov Ilja
Materialien für den Unterricht, Präsentation mit Animation
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Folienunterschriften:
Die Mittellinie eines Dreiecks ist ein Segment, das die Mittelpunkte seiner beiden Seiten verbindet und gleich der Hälfte dieser Seite ist. Außerdem ist nach dem Satz die Mittellinie eines Dreiecks parallel zu einer seiner Seiten und gleich der Hälfte dieser Seite.
Steht eine Gerade senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen
Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks
Bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks Schnittpunkt der Mediane (Schwerpunkt des Dreiecks); Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises; Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; Schnittpunkt der Höhen (Orthozentrum); Eulers Gerade und Neun-Punkte-Kreis; Gergonne- und Nagel-Punkte; Punkt Fermat-Torricelli;
Mittlerer Schnittpunkt
Der Median eines Dreiecks ist ein Segment, das den Scheitelpunkt eines beliebigen Winkels des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet.
I. Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jeden Mittelwert im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt.
Nachweisen:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt zweier Mediane AA 1 und B B1 des Dreiecks ABC und zeichnen wir die Mittellinie A 1 B 1 dieses Dreiecks. 2. Die Strecke A 1 B 1 ist parallel zur Seite AB und 1/2 AB = A 1 B 1, d. h. AB = 2A1B1 (nach dem Satz über die Mittellinie des Dreiecks), also 1 = 4 und 3 = 2 (da Sie bilden interne Kreuzwinkel mit den Parallelen AB und A 1 B 1 und der Sekante BB 1 für 1, 4 und AA 1 für 3, 2 3. Folglich sind die Dreiecke AOB und A 1 OB 1 in zwei Winkeln ähnlich und daher ähnlich Seiten sind proportional , d.h. die Verhältnisse der Seiten AO und A 1 O, BO und B 1 O, AB und A 1 B 1 sind gleich. Aber AB = 2A 1 B 1, also AO = 2A 1 O und BO = 2B 1 O. Somit teilt der Punkt O des Schnittpunkts der Mediane BB 1 und AA 1 jeden von ihnen im Verhältnis 2:1, gerechnet vom Scheitelpunkt. Der Satz ist bewiesen. Ebenso können Sie die beiden anderen Mediane beweisen
Der Schwerpunkt wird manchmal als Schwerpunkt bezeichnet. Deshalb sagt man, dass der Schnittpunkt der Mediane der Schwerpunkt des Dreiecks ist. Der Massenschwerpunkt einer homogenen dreieckigen Platte liegt im gleichen Punkt. Legt man eine solche Platte so auf einen Stift, dass die Spitze des Stiftes genau den Schwerpunkt des Dreiecks trifft, dann befindet sich die Platte im Gleichgewicht. Außerdem ist der Schnittpunkt der Mediane der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises seines medialen Dreiecks. Eine interessante Eigenschaft des Schnittpunkts der Mediane hängt mit dem physikalischen Konzept des Massenschwerpunkts zusammen. Es stellt sich heraus, dass, wenn man gleiche Massen an den Eckpunkten eines Dreiecks platziert, deren Mittelpunkt genau auf diesen Punkt fällt.
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist ein Segment der Winkelhalbierenden, das den Scheitelpunkt eines der Winkel des Dreiecks mit einem auf der gegenüberliegenden Seite liegenden Punkt verbindet.
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt mit gleichem Abstand zu seinen Seiten.
Nachweisen:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden AA 1 und BB 1 des Dreiecks ABC. 3. Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht entwickelten Winkels den gleichen Abstand von seinen Seiten hat und umgekehrt: Jeder Punkt, der innerhalb des Winkels liegt und den gleichen Abstand von den Seiten des Winkels hat, liegt auf seiner Winkelhalbierenden. Dann ist OK=OL und OK=OM. Das bedeutet OM=OL, d. h. Punkt O ist von den Seiten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt und liegt daher auf der Winkelhalbierenden CC1 des Winkels C. 4. Folglich schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC im Punkt O. K L M Der Satz ist bewiesen. 2.Zeichnen Sie von diesem Punkt aus die Senkrechten OK, OL und OM zu den Geraden AB, BC und CA.
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
Eine Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die durch die Mitte eines gegebenen Segments verläuft und senkrecht dazu steht.
Die Mittelsenkrechten zu den Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der gleich weit von den Eckpunkten des Dreiecks entfernt ist.
Nachweisen:
B C A m n 1. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden m und n zu den Seiten AB und BC des Dreiecks ABC. O 2. Mit dem Satz, dass jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment den gleichen Abstand von den Enden dieses Segments hat und umgekehrt: Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden des Segments liegt auf der Mittelsenkrechten dazu, erhalten wir OB = OA und OB = OC. 3. Daher ist OA = OC, d. h. Punkt O ist von den Enden des Segments AC gleich weit entfernt und liegt daher auf der Mittelsenkrechten zu diesem Segment. 4. Folglich schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden m, n und p zu den Seiten des Dreiecks ABC im Punkt O. Der Satz ist bewiesen. R
Schnittpunkt von Höhen (oder deren Verlängerungen)
Die Höhe eines Dreiecks ist die Senkrechte, die vom Scheitelpunkt eines beliebigen Winkels des Dreiecks zur Geraden gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält.
Die Höhen eines Dreiecks bzw. deren Verlängerungen schneiden sich in einem Punkt, der innerhalb oder außerhalb des Dreiecks liegen kann.
Nachweisen:
Beweisen wir, dass sich die Linien AA 1, BB 1 und CC 1 in einem Punkt schneiden. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Zeichnen Sie durch jeden Scheitelpunkt des Dreiecks ABC eine gerade Linie parallel zur gegenüberliegenden Seite. Wir erhalten das Dreieck A 2 B 2 C 2. 2. Die Punkte A, B und C sind die Mittelpunkte der Seiten dieses Dreiecks. Tatsächlich sind AB=A 2 C und AB=CB 2 wie gegenüberliegende Seiten der Parallelogramme ABA 2 C und ABCB 2, daher A 2 C=CB 2. Ebenso gilt C 2 A=AB 2 und C 2 B=BA 2. Darüber hinaus steht CC 1, wie aus der Konstruktion hervorgeht, senkrecht auf A 2 B 2, AA 1 steht senkrecht auf B 2 C 2 und BB 1 steht senkrecht auf A 2 C 2 (aus der Folgerung zum Satz paralleler Geraden und Sekanten). ). Somit sind die Linien AA 1, BB 1 und CC 1 die senkrechten Winkelhalbierenden zu den Seiten des Dreiecks A 2 B 2 C 2. Daher schneiden sie sich in einem Punkt. Der Satz ist bewiesen.
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