Forschungsprojekt bemerkenswerte Dreieckspunkte. Forschungsarbeit „Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks

In einem Dreieck gibt es sogenannte vier bemerkenswerte Punkte: den Schnittpunkt der Mediane. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, der Schnittpunkt der Höhen und der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Schauen wir uns jeden von ihnen an.

Schnittpunkt der Dreiecksmediane

Satz 1

Am Schnittpunkt der Mittelwerte eines Dreiecks: Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und werden ausgehend vom Scheitelpunkt im Verhältnis $2:1$ durch den Schnittpunkt geteilt.

Nachweisen.

Betrachten Sie das Dreieck $ABC$, wobei $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ seine Mediane sind. Da Mediane die Seiten in zwei Hälften teilen. Betrachten wir die Mittellinie $A_1B_1$ (Abb. 1).

Abbildung 1. Mediane eines Dreiecks

Nach Satz 1 sind $AB||A_1B_1$ und $AB=2A_1B_1$, daher gilt $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Dies bedeutet, dass die Dreiecke $ABM$ und $A_1B_1M$ gemäß dem ersten Kriterium der Ähnlichkeit von Dreiecken ähnlich sind. Dann

Ebenso ist es bewiesen

Der Satz ist bewiesen.

Schnittpunkt der Dreieckshalbierenden

Satz 2

Am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Nachweisen.

Betrachten Sie das Dreieck $ABC$, dessen Winkelhalbierende $AM,\BP,\CK$ sind. Der Punkt $O$ sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden $AM\ und\BP$. Zeichnen wir von diesem Punkt aus Senkrechte zu den Seiten des Dreiecks (Abb. 2).

Abbildung 2. Dreieckshalbierende

Satz 3

Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht entwickelten Winkels ist von seinen Seiten gleich weit entfernt.

Nach Satz 3 gilt: $OX=OZ,\ OX=OY$. Daher ist $OY=OZ$. Das bedeutet, dass der Punkt $O$ von den Seiten des Winkels $ACB$ gleich weit entfernt ist und daher auf seiner Winkelhalbierenden $CK$ liegt.

Der Satz ist bewiesen.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks

Satz 4

Die Mittelsenkrechten zu den Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Nachweisen.

Gegeben sei ein Dreieck $ABC$, $n,\ m,\ p$ seine Mittelsenkrechten. Der Punkt $O$ sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden $n\ und\ m$ (Abb. 3).

Abbildung 3. Senkrechte Winkelhalbierende eines Dreiecks

Um es zu beweisen, benötigen wir den folgenden Satz.

Satz 5

Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment ist von den Enden des Segments gleich weit entfernt.

Nach Satz 3 gilt: $OB=OC,\ OB=OA$. Daher ist $OA=OC$. Das bedeutet, dass der Punkt $O$ von den Enden der Strecke $AC$ gleich weit entfernt ist und daher auf der Mittelsenkrechten $p$ liegt.

Der Satz ist bewiesen.

Schnittpunkt der Dreieckshöhen

Satz 6

Die Höhen eines Dreiecks bzw. ihrer Verlängerungen schneiden sich in einem Punkt.

Nachweisen.

Betrachten Sie das Dreieck $ABC$, wobei $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ seine Höhe ist. Zeichnen wir eine gerade Linie durch jeden Scheitelpunkt des Dreiecks parallel zur Seite gegenüber dem Scheitelpunkt. Wir erhalten ein neues Dreieck $A_2B_2C_2$ (Abb. 4).

Abbildung 4. Dreieckshöhen

Da $AC_2BC$ und $B_2ABC$ Parallelogramme mit einer gemeinsamen Seite sind, dann ist $AC_2=AB_2$, das heißt, Punkt $A$ ist der Mittelpunkt der Seite $C_2B_2$. Ebenso finden wir, dass Punkt $B$ der Mittelpunkt der Seite $C_2A_2$ ist und Punkt $C$ der Mittelpunkt der Seite $A_2B_2$ ist. Aus der Konstruktion ergibt sich $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Daher sind $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ die Mittelsenkrechten des Dreiecks $A_2B_2C_2$. Dann haben wir nach Satz 4, dass sich die Höhen $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ in einem Punkt schneiden.

Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation. Staatliche Haushaltsbildungseinrichtung für höhere Berufsbildung

„Staatliche Universität Magnitogorsk“

Fakultät für Physik und Mathematik

Abteilung für Algebra und Geometrie

Kursarbeit

Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks

Abgeschlossen von: Schüler der Gruppe 41

Vakhrameeva A.M.

Wissenschaftlicher Leiter

Velikikh A.S.

Magnitogorsk 2014

Einführung

Historisch gesehen begann die Geometrie mit einem Dreieck, so dass das Dreieck seit zweieinhalb Jahrtausenden sozusagen ein Symbol der Geometrie ist; aber er ist nicht nur ein Symbol, er ist ein Atom der Geometrie.

Warum kann ein Dreieck als Atom der Geometrie betrachtet werden? Denn die bisherigen Konzepte – Punkt, Gerade und Winkel – sind vage und nicht greifbare Abstraktionen zusammen mit einer damit verbundenen Reihe von Theoremen und Problemen. Daher kann die Schulgeometrie heute nur dann interessant und bedeutungsvoll werden, sie kann nur dann zur eigentlichen Geometrie werden, wenn sie ein tiefes und umfassendes Studium des Dreiecks beinhaltet.

Überraschenderweise ist das Dreieck trotz seiner scheinbaren Einfachheit ein unerschöpflicher Gegenstand des Studiums – selbst in unserer Zeit wagt niemand zu sagen, dass er alle Eigenschaften des Dreiecks studiert und kennt.

Das bedeutet, dass das Studium der Schulgeometrie nicht ohne ein tiefes Studium der Geometrie des Dreiecks durchgeführt werden kann; Angesichts der Vielfalt des Dreiecks als Untersuchungsgegenstand – und damit als Quelle verschiedener Methoden zu seiner Untersuchung – ist es notwendig, Material für die Untersuchung der Geometrie der bemerkenswerten Punkte des Dreiecks auszuwählen und zu entwickeln. Darüber hinaus sollte man sich bei der Auswahl dieses Materials nicht nur auf die bemerkenswerten Punkte beschränken, die im Schullehrplan durch den staatlichen Bildungsstandard vorgesehen sind, wie z. B. den Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises (den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden), den Mittelpunkt des Umkreis (der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden), der Schnittpunkt der Mediane, der Schnittpunkt der Höhen. Aber um tief in die Natur des Dreiecks einzudringen und seine Unerschöpflichkeit zu begreifen, ist es notwendig, Vorstellungen über möglichst viele bemerkenswerte Punkte des Dreiecks zu haben. Neben der Unerschöpflichkeit des Dreiecks als geometrisches Objekt ist die erstaunlichste Eigenschaft des Dreiecks als Untersuchungsgegenstand zu beachten: Das Studium der Geometrie eines Dreiecks kann mit dem Studium jeder seiner Eigenschaften beginnen. es als Grundlage nehmen; Dann kann die Methodik zur Untersuchung des Dreiecks so konstruiert werden, dass alle anderen Eigenschaften des Dreiecks auf dieser Grundlage aneinandergereiht werden können. Mit anderen Worten: Ganz gleich, wo Sie mit dem Studium des Dreiecks beginnen, Sie können immer jede beliebige Tiefe dieser erstaunlichen Figur erreichen. Aber dann können Sie optional mit dem Studium des Dreiecks beginnen, indem Sie seine bemerkenswerten Punkte studieren.

Der Zweck der Kursarbeit besteht darin, die bemerkenswerten Punkte eines Dreiecks zu untersuchen. Um dieses Ziel zu erreichen, ist es notwendig, folgende Aufgaben zu lösen:

· Studieren Sie die Konzepte von Winkelhalbierende, Median, Höhe, Mittelsenkrechte und ihre Eigenschaften.

· Betrachten Sie den Gergonne-Punkt, den Euler-Kreis und die Euler-Linie, die in der Schule nicht gelernt werden.

KAPITEL 1. Winkelhalbierende eines Dreiecks, Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines Dreiecks. Eigenschaften der Winkelhalbierenden eines Dreiecks. Gergonna-Punkt

1 Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines Dreiecks

Bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks sind Punkte, deren Lage eindeutig durch das Dreieck bestimmt wird und nicht von der Reihenfolge abhängt, in der die Seiten und Eckpunkte des Dreiecks aufgenommen werden.

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist das Winkelhalbierende eines Dreiecks, das einen Scheitelpunkt mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Satz. Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht entwickelten Winkels ist von seinen Seiten gleich weit (d. h. gleich weit von den Linien entfernt, die die Seiten des Dreiecks enthalten). Umgekehrt: Jeder Punkt, der innerhalb eines Winkels liegt und von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt ist, liegt auf seiner Winkelhalbierenden.

Nachweisen. 1) Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M auf der Winkelhalbierenden BAC, zeichnen Sie die Senkrechten MK und ML zu den Geraden AB und AC und beweisen Sie, dass MK = ML. Betrachten Sie rechtwinklige Dreiecke ?AMK und ?AML. Sie sind in Hypotenuse und spitzem Winkel gleich (AM – gemeinsame Hypotenuse, 1 = 2 gemäß Konvention). Daher ist MK=ML.

) Der Punkt M liege in DIR und sei gleich weit von seinen Seiten AB und AC entfernt. Beweisen wir, dass der Strahl AM die Winkelhalbierende BAC ist. Zeichnen wir die Senkrechten MK und ML zu den Geraden AB und AC. Die rechtwinkligen Dreiecke AKM und ALM sind in Hypotenuse und Schenkel gleich (AM ist die gemeinsame Hypotenuse, MK = ML laut Konvention). Daher ist 1 = 2. Dies bedeutet jedoch, dass der Strahl AM die Winkelhalbierende von BAC ist. Der Satz ist bewiesen.

Folge. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Mittelpunkt).

Bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden AA1 und BB1 des Dreiecks ABC und zeichnen wir von diesem Punkt aus die Senkrechten OK, OL bzw. OM zu den Geraden AB, BC und CA. Nach dem Satz (Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht entwickelten Winkels hat den gleichen Abstand von seinen Seiten. Umgekehrt: Jeder Punkt, der innerhalb des Winkels liegt und den gleichen Abstand von den Seiten des Winkels hat, liegt auf seiner Winkelhalbierenden) sagen wir: OK = OM und OK = OL. Daher ist OM = OL, d. h. Punkt O ist von den Seiten ACB gleich weit entfernt und liegt daher auf der Winkelhalbierenden CC1 dieses Winkels. Daher alle drei Winkelhalbierenden ?ABC schneiden sich im Punkt O, was bewiesen werden musste.

Kreishalbierende Dreieckslinie

1.2 Eigenschaften der Winkelhalbierenden eines Dreiecks

Winkelhalbierende BD (Abb. 1.1) eines beliebigen Winkels ?ABC teilt die gegenüberliegende Seite in Teile AD und CD, die proportional zu den angrenzenden Seiten des Dreiecks sind.

Wir müssen beweisen, dass für ABD = DBC AD: DC = AB: BC gilt.

Führen wir CE || durch BD bis zum Schnittpunkt am Punkt E mit der Fortsetzung der Seite AB. Dann erhalten wir nach dem Satz über die Proportionalität von Segmenten, die auf Geraden gebildet werden, die von mehreren parallelen Geraden geschnitten werden, das Verhältnis: AD: DC = AB: BE. Um von diesem Verhältnis zu dem zu beweisenden Verhältnis zu gelangen, reicht es aus, herauszufinden, dass BE = BC, d. h. dass ?ALLE gleichschenklig. In diesem Dreieck ist E = ABD (als entsprechende Winkel mit parallelen Linien) und ALL = DBC (als Kreuzwinkel mit denselben parallelen Linien).

Aber ABD = DBC nach Bedingung; das bedeutet E = ALL, und daher sind die Seiten BE und BC, die gleichen Winkeln gegenüber liegen, gleich.

Wenn wir nun BE im oben beschriebenen Verhältnis durch BC ersetzen, erhalten wir das Verhältnis, das bewiesen werden muss.

20 Die Winkelhalbierenden der Innen- und Nachbarwinkel eines Dreiecks stehen senkrecht zueinander.

Nachweisen. Sei BD die Winkelhalbierende von ABC (Abb. 1.2) und BE die Winkelhalbierende des externen CBF neben dem angegebenen Innenwinkel. ?ABC. Dann bezeichnen wir ABD = DBC = ?, CBE = EBF = ?, dann 2 ? + 2?= 1800 und somit ?+ ?= 900. Und das bedeutet, dass BD? SEI.

30 Die Winkelhalbierende eines Außenwinkels eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite äußerlich in Teile, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind.

(Abb.1.3) AB: BC = AD: DC, ?AED~ ?CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.

40 Die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Segmente, die proportional zu den angrenzenden Seiten des Dreiecks sind.

Nachweisen. Lassen Sie uns überlegen ?ABC. Der Bestimmtheit halber sei angenommen, dass die Winkelhalbierende CAB die Seite BC im Punkt D schneidet (Abb. 1.4). Zeigen wir, dass BD: DC = AB: AC. Zeichnen Sie dazu eine Linie parallel zur Linie AB durch den Punkt C und bezeichnen Sie den Schnittpunkt dieser Linie AD mit E. Dann ist DAB=DEC, ABD=ECD und daher ?DAB~ ?DEC basiert auf dem ersten Kriterium der Ähnlichkeit von Dreiecken. Da der Strahl AD außerdem eine Winkelhalbierende CAD ist, gilt CAE = EAB = AEC und daher ?ECA-gleichschenklige. Daher AC=CE. Aber in diesem Fall aus der Ähnlichkeit ?DAB und ?DEC folgt, dass BD: DC=AB: CE =AB: AC, und das war es, was bewiesen werden musste.

Wenn die Winkelhalbierende eines Außenwinkels eines Dreiecks die Verlängerung der Seite gegenüber dem Scheitelpunkt dieses Winkels schneidet, dann sind die Segmente vom resultierenden Schnittpunkt bis zu den Enden der gegenüberliegenden Seite proportional zu den angrenzenden Seiten des Dreiecks.

Nachweisen. Lassen Sie uns überlegen ?ABC. Sei F ein Punkt auf der Verlängerung der Seite CA, D der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des äußeren Dreiecks BAF mit der Verlängerung der Seite CB (Abb. 1.5). Zeigen wir, dass DC:DB=AC:AB. Zeichnen wir nämlich eine Linie parallel zur Linie AB durch den Punkt C und bezeichnen wir mit E den Schnittpunkt dieser Linie mit der Linie DA. Dann Dreieck ADB ~ ?EDC und daher DC:DB=EC:AB. Und da ?EAC= ?SCHLECHT= ?CEA, dann gleichschenklig ?CEA-Seite AC=EC und somit DC:DB=AC:AB, was bewiesen werden musste.

3 Lösen von Problemen mithilfe der Eigenschaften der Winkelhalbierenden

Aufgabe 1. Sei O der Mittelpunkt eines eingeschriebenen Kreises ?ABC, CAB = ?. Beweisen Sie, dass COB = 900 + ? /2.

Lösung. Da O das Zentrum des Eingeschriebenen ist ?ABC eines Kreises (Abbildung 1.6), dann sind die Strahlen BO und CO die Winkelhalbierenden ABC bzw. BCA. Und dann ist COB = 1800 - (OBC + BCO) = 1800 - (ABC + BCA)/2 = 1800 -(1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, was bewiesen werden musste.

Problem 2. Sei O das Zentrum des beschriebenen Über ?ABC eines Kreises, H ist die Basis der Höhe auf der Seite BC. Beweisen Sie, dass die Winkelhalbierende CAB auch die Winkelhalbierende ist? OAH.

Es sei AD die Winkelhalbierende von CAB und AE der Durchmesser des Umschriebenen ?ABC eines Kreises (Abb. 1.7, 1.8). Wenn ?ABC ist akut (Abb. 1.7) und daher ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ Wechselstrombögen und ?BHA und ?ECA rechteckig (BHA =ECA = 900), dann ?BHA~ ?ECA und daher CAO = CAE =HAB. Darüber hinaus sind BAD und CAD durch die Bedingung gleich, also HAD = BAD – BAH =CAD – CAE = EAD = OAD. Sei nun ABC = 900. In diesem Fall fällt die Höhe AH mit der Seite AB zusammen, dann gehört Punkt O zur Hypotenuse AC und daher ist die Gültigkeit der Problemstellung offensichtlich.

Betrachten wir den Fall, dass ABC > 900 ist (Abb. 1.8). Hier ist das Viereck ABCE in einen Kreis eingeschrieben und daher AEC = 1800 - ABC. Andererseits ist ABH = 1800 - ABC, d.h. AEC = ABH. Und da ?BHA und ?ECA sind rechteckig und daher gilt HAB = 900 – ABH = 900 – AEC = EAC, dann HAD = HAB +BAD = EAC + CAD = EAD = OAD. Fälle, in denen BAC und ACB stumpf sind, werden ähnlich behandelt. ?

4-Punkt-Gergonna

Der Gergonne-Punkt ist der Schnittpunkt der Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit den Tangentenpunkten der diesen Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten und dem eingeschriebenen Kreis des Dreiecks verbinden.

Punkt O sei der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC. Lassen Sie den Inkreis die Seiten des Dreiecks BC, AC und AB an den Punkten D, E bzw. F berühren. Der Gergonne-Punkt ist der Schnittpunkt der Segmente AD, BE und CF. Punkt O sei der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ?ABC. Lassen Sie den Inkreis die Seiten des Dreiecks BC, AC und AB an den Punkten D, E bzw. F berühren. Der Gergonne-Punkt ist der Schnittpunkt der Segmente AD, BE und CF.

Beweisen wir, dass sich diese drei Segmente tatsächlich in einem Punkt schneiden. Beachten Sie, dass der Mittelpunkt des Inkreises der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist ?ABC und die Radien des Inkreises sind OD, OE und OF ?Seiten des Dreiecks. Somit haben wir drei Paare gleicher Dreiecke (AFO und AEO, BFO und BDO, CDO und CEO).

Funktioniert AF?BD ? CE und AE ? SEI? CF sind gleich, da BF = BD, CD = CE, AE = AF, daher ist das Verhältnis dieser Produkte gleich, und nach dem Satz von Ceva (Lassen Sie die Punkte A1, B1, C1 auf den Seiten BC, AC und AB liegen? ABC. Lassen Sie die Segmente AA1, BB1 und CC1 sich in einem Punkt schneiden. Dann

(wir umrunden das Dreieck im Uhrzeigersinn)), die Segmente schneiden sich in einem Punkt.

Eigenschaften des eingeschriebenen Kreises:

Von einem Kreis spricht man, wenn er alle Seiten eines Dreiecks berührt.

Ein Kreis kann in jedes Dreieck eingeschrieben werden.

Gegeben: ABC – dieses Dreieck, O – der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, M, L und K – die Tangentialpunkte des Kreises mit den Seiten des Dreiecks (Abb. 1.11).

Beweisen Sie: O ist der Mittelpunkt eines in ABC eingeschriebenen Kreises.

Nachweisen. Zeichnen wir die Senkrechten OK, OL und OM vom Punkt O zu den Seiten AB, BC bzw. CA (Abb. 1.11). Da Punkt O von den Seiten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt ist, gilt OK = OL = OM. Daher verläuft ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius OK durch die Punkte K, L, M. Die Seiten des Dreiecks ABC berühren diesen Kreis an den Punkten K, L, M, da sie senkrecht zu den Radien OK, OL und OM stehen. Das bedeutet, dass ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius OK in das Dreieck ABC eingeschrieben ist. Der Satz ist bewiesen.

Der Mittelpunkt eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises ist der Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden.

Sei ABC gegeben, O sei der Mittelpunkt des darin eingeschriebenen Kreises, D, E und F seien die Berührungspunkte des Kreises mit den Seiten (Abb. 1.12). ? AEO = ? AOD an Hypotenuse und Bein (EO = OD – als Radius, AO – insgesamt). Was folgt aus der Gleichheit der Dreiecke? OAD = ? O.A.E. AO ist also die Winkelhalbierende des Winkels EAD. Auf die gleiche Weise wird bewiesen, dass der Punkt O auf den beiden anderen Winkelhalbierenden des Dreiecks liegt.

Der zum Tangentenpunkt gezeichnete Radius steht senkrecht zur Tangente.

Nachweisen. Der umgebende Kreis (O; R) sei ein gegebener Kreis (Abb. 1.13), die Gerade a berührt ihn im Punkt P. Der Radius OP sei nicht senkrecht zu a. Zeichnen wir eine Senkrechte OD vom Punkt O zur Tangente. Nach der Definition einer Tangente liegen alle ihre Punkte außer Punkt P und insbesondere Punkt D außerhalb des Kreises. Daher ist die Länge des senkrechten OD größer als die Länge R des schrägen OP. Dies widerspricht der Schrägeigenschaft, und der daraus resultierende Widerspruch beweist die Aussage.

KAPITEL 2. 3 bemerkenswerte Punkte des Dreiecks, Eulers Kreis, Eulers Gerade.

1 Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks

Eine Mittelsenkrechte zu einem Segment ist eine Linie, die durch die Mitte des Segments und senkrecht dazu verläuft.

Satz. Jeder Punkt der Mittelsenkrechten eines Segments ist von den Enden dieses Segments gleich weit entfernt. Umgekehrt: Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden einer Strecke liegt auf der Mittelsenkrechten dazu.

Nachweisen. Die Gerade m sei die Mittelsenkrechte zum Segment AB und der Punkt O der Mittelpunkt des Segments.

Betrachten wir einen beliebigen Punkt M auf einer Geraden m und beweisen, dass AM=BM. Wenn Punkt M mit Punkt O zusammenfällt, dann ist diese Gleichheit wahr, da O der Mittelpunkt des Segments AB ist. Seien M und O unterschiedliche Punkte. Rechteckig ?OAM und ?OBM sind auf zwei Beinen gleich (OA = OB, OM ist das gemeinsame Bein), also AM = VM.

) Betrachten Sie einen beliebigen Punkt N mit gleichem Abstand von den Enden des Segments AB und beweisen Sie, dass der Punkt N auf der Geraden m liegt. Wenn N ein Punkt auf der Linie AB ist, dann fällt er mit dem Mittelpunkt O der Strecke AB zusammen und liegt daher auf der Linie m. Wenn Punkt N nicht auf der Linie AB liegt, dann überlegen Sie ?ANB, das gleichschenklig ist, da AN=BN. Das Segment NO ist der Median dieses Dreiecks und damit die Höhe. NO steht also senkrecht auf AB, daher fallen die Linien ON und m zusammen, und daher ist N ein Punkt der Linie m. Der Satz ist bewiesen.

Folge. Die Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (dem Mittelpunkt des Kreises).

Bezeichnen wir O, den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden m und n zu den Seiten AB und BC ?ABC. Nach dem Satz (jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment ist von den Enden dieses Segments gleich weit entfernt. Umgekehrt: Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden des Segments liegt auf der Mittelsenkrechten dazu.) schließen wir, dass OB = OA und OB = OC, daher: OA = OC, das heißt, Punkt O ist von den Enden des Segments AC gleich weit entfernt und liegt daher auf der Senkrechten Winkelhalbierenden p zu diesem Segment. Daher liegen alle drei Winkelhalbierenden m, n und p an den Seiten ?ABC schneidet sich im Punkt O.

Bei einem spitzen Dreieck liegt dieser Punkt innerhalb, bei einem stumpfen Dreieck außerhalb des Dreiecks, bei einem rechtwinkligen Dreieck in der Mitte der Hypotenuse.

Eigenschaft der Mittelsenkrechten eines Dreiecks:

Die Linien, auf denen die Winkelhalbierenden des Innen- und Außenwinkels des Dreiecks liegen und von einem Scheitelpunkt ausgehen, schneiden sich mit der Senkrechten auf halbem Weg zur gegenüberliegenden Seite von diametral gegenüberliegenden Punkten des das Dreieck umschreibenden Kreises.

Nachweisen. Lassen Sie zum Beispiel die Winkelhalbierende ABC die oben beschriebene schneiden ?ABC-Kreis am Punkt D (Abb. 2.1). Da dann die eingeschriebenen Werte ABD und DBC gleich sind, gilt AD = arc DC. Aber die Mittelsenkrechte zur Seite AC halbieren auch den Bogen AC, sodass Punkt D ebenfalls zu dieser Mittelsenkrechten gehört. Da außerdem nach Eigenschaft 30 aus Absatz 1.3 die Winkelhalbierende BD ABC an ABC angrenzt, schneidet dieser den Kreis an einem Punkt, der dem Punkt D diametral gegenüberliegt, da ein eingeschriebener rechter Winkel immer auf dem Durchmesser ruht.

2 Orthozentrum des Kreises eines Dreiecks

Die Höhe ist eine Senkrechte, die vom Scheitelpunkt eines Dreiecks zu einer geraden Linie verläuft, die die gegenüberliegende Seite enthält.

Die Höhen eines Dreiecks (bzw. deren Verlängerungen) schneiden sich in einem Punkt (Orthozentrum).

Nachweisen. Betrachten Sie eine willkürliche ?ABC und beweisen Sie, dass sich die Linien AA1, BB1, CC1, die seine Höhen enthalten, in einem Punkt schneiden. Gehen wir jeden Scheitelpunkt durch ?ABC ist eine gerade Linie parallel zur gegenüberliegenden Seite. Wir bekommen ?A2B2C2. Die Punkte A, B und C sind die Mittelpunkte dieses Dreiecks. Tatsächlich sind AB=A2C und AB=CB2 wie gegenüberliegende Seiten der Parallelogramme ABA2C und ABCB2, daher A2C=CB2. Ebenso C2A=AB2 und C2B=BA2. Darüber hinaus ist, wie aus der Konstruktion hervorgeht, CC1 senkrecht zu A2B2, AA1 senkrecht zu B2C2 und BB1 senkrecht zu A2C2. Somit sind die Linien AA1, BB1 und CC1 senkrechte Winkelhalbierende zu den Seiten ?A2B2C2. Daher schneiden sie sich in einem Punkt.

Abhängig von der Art des Dreiecks kann das Orthozentrum in spitzen Winkeln innerhalb des Dreiecks liegen, außerhalb davon - in stumpfen Winkeln oder mit dem Scheitelpunkt zusammenfallen, in rechteckigen Winkeln kann es im rechten Winkel mit dem Scheitelpunkt zusammenfallen.

Eigenschaften der Höhe eines Dreiecks:

Ein Segment, das die Basen zweier Höhen eines spitzen Dreiecks verbindet, schneidet daraus ein dem gegebenen ähnliches Dreieck mit einem Ähnlichkeitskoeffizienten ab, der dem Kosinus des gemeinsamen Winkels entspricht.

Nachweisen. Seien AA1, BB1, CC1 die Höhen des spitzen Dreiecks ABC und ABC = ?(Abb. 2.2). Die rechtwinkligen Dreiecke BA1A und CC1B haben etwas gemeinsam ?, also sind sie ähnlich, was bedeutet, dass BA1/BA = BC1/BC = cos ist ?. Daraus folgt, dass BA1/BC1=BA/BC = cos ?, d.h. V ?C1BA1 und ?ABC-Seiten neben dem Gemeinsamen ??C1BA1~ ?ABC, mit dem Ähnlichkeitskoeffizienten gleich cos ?. Auf ähnliche Weise wird das bewiesen ?A1CB1~ ?ABC mit Ähnlichkeitskoeffizienten cos BCA und ?B1AC1~ ?ABC mit Ähnlichkeitskoeffizient cos CAB.

Die Höhe, die zur Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks fällt, teilt es in zwei einander ähnliche Dreiecke, die dem ursprünglichen Dreieck ähneln.

Nachweisen. Betrachten Sie ein Rechteck ?ABC, das hat ?BCA = 900 und CD ist seine Höhe (Abb. 2.3).

Dann die Ähnlichkeit ?ADC und ?BDC folgt beispielsweise aus dem Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke durch die Proportionalität zweier Schenkel, da AD/CD = CD/DB. Jedes der rechtwinkligen Dreiecke ADC und BDC ähnelt dem ursprünglichen rechtwinkligen Dreieck, zumindest basierend auf der Ähnlichkeit in zwei Winkeln.

Lösen von Problemen im Zusammenhang mit der Verwendung von Höheneigenschaften

Aufgabe 1. Beweisen Sie, dass ein Dreieck, dessen einer Scheitelpunkt der Scheitelpunkt des gegebenen stumpfen Dreiecks ist und dessen andere beiden Scheitelpunkte die Basen der Höhen des stumpfen Dreiecks sind, die in seinen beiden anderen Scheitelpunkten weggelassen wurden, ähnlich ist gegebenes Dreieck mit einem Ähnlichkeitskoeffizienten gleich dem Modul des Kosinus des Winkels am ersten Scheitelpunkt.

Lösung. Betrachten Sie einen stumpfen ?ABC mit dummem CAB. Seien AA1, BB1, CC1 seine Höhen (Abb. 2.4, 2.5, 2.6) und sei CAB = ?, ABC = ? , BCA = ?.

Beweis dafür, dass ?C1BA1~ ?ABC (Abb. 2.4) mit Ähnlichkeitskoeffizient k = cos ?, wiederholt vollständig die im Eigentumsnachweis 1, Absatz 2.2 ausgeführte Argumentation.

Lasst uns das beweisen ?A1CB~ ?ABC (Abb. 2.5) mit Ähnlichkeitskoeffizient k1= cos ?, A ?B1AC1~ ?ABC (Abb. 2.6) mit Ähnlichkeitskoeffizient k2 = |cos? |.

Tatsächlich haben die rechtwinkligen Dreiecke CA1A und CB1B einen gemeinsamen Winkel ?und daher ähnlich. Daraus folgt, dass B1C/ BC = A1C / AC= cos ?und daher ist B1C/ A1C = BC / AC = cos ?, d.h. in den Dreiecken A1CB1 und ABC bilden die Seiten einen gemeinsamen Punkt ??, sind proportional. Und dann nach dem zweiten Kriterium der Ähnlichkeit von Dreiecken ?A1CB~ ?ABC, mit Ähnlichkeitskoeffizient k1= cos ?. Was den letzten Fall betrifft (Abb. 2.6), dann aus der Betrachtung rechtwinkliger Dreiecke ?BB1A und ?CC1A mit gleichen vertikalen Winkeln BAB1 und C1AC Daraus folgt, dass sie ähnlich sind und daher B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |cos ?|, seit ??- unverblümt. Daher B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| und somit in Dreiecken ?B1AC1 und ?ABC-Seiten, die gleiche Winkel bilden, sind proportional. Und das bedeutet das ?B1AC1~ ?ABC mit Ähnlichkeitskoeffizient k2 = |cos? |.

Aufgabe 2. Beweisen Sie, dass, wenn Punkt O der Schnittpunkt der Höhen eines spitzen Dreiecks ABC ist, ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800 ist.

Lösung. Lassen Sie uns die Gültigkeit der ersten der in der Problemstellung angegebenen Formeln beweisen. Die Gültigkeit der verbleibenden beiden Formeln wird auf ähnliche Weise bewiesen. Sei also ABC = ?, AOC = ?. A1, B1 und C1 sind die Basen der Höhen des Dreiecks, das jeweils von den Eckpunkten A, B und C gezeichnet wird (Abb. 2.7). Dann folgt aus dem rechtwinkligen Dreieck BC1C, dass BCC1 = 900 - ?und somit ist im rechtwinkligen Dreieck OA1C der Winkel COA1 gleich ?. Aber die Summe der Winkel AOC + COA1 = ? + ?ergibt einen geraden Winkel und daher AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, was bewiesen werden musste.

Aufgabe 3. Beweisen Sie, dass die Höhen eines spitzen Dreiecks die Winkelhalbierenden eines Dreiecks sind, dessen Eckpunkte die Basen der Höhen dieses Dreiecks sind.

ist.2.8

Lösung. Seien AA1, BB1, CC1 die Höhen des spitzen Dreiecks ABC und sei CAB = ?(Abb. 2.8). Beweisen wir zum Beispiel, dass die Höhe AA1 die Winkelhalbierende des Winkels C1A1B1 ist. Da die Dreiecke C1BA1 und ABC tatsächlich ähnlich sind (Eigenschaft 1), gilt BA1C1 = ?und daher C1A1A = 900 - ?. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke A1CB1 und ABC folgt AA1B1 = 900 - ?und daher C1A1A = AA1B1= 900 - ?. Dies bedeutet jedoch, dass AA1 die Winkelhalbierende des Winkels C1A1B1 ist. Ebenso wird bewiesen, dass die anderen beiden Höhen des Dreiecks ABC die Winkelhalbierenden der anderen beiden entsprechenden Winkel des Dreiecks A1B1C1 sind.

3 Schwerpunkt des Kreises eines Dreiecks

Der Median eines Dreiecks ist ein Segment, das einen beliebigen Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Satz. Die Mittelwerte des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (dem Schwerpunkt).

Nachweisen. Betrachten wir willkürlich? ABC.

Bezeichnen wir den Schnittpunkt der Mediane AA1 und BB1 mit dem Buchstaben O und zeichnen wir die Mittellinie A1B1 dieses Dreiecks. Das Segment A1B1 ist parallel zur Seite AB, daher ist 1 = 2 und 3 = 4. Daher gilt: ?AOB und ?A1OB1 sind in zwei Winkeln ähnlich und daher sind ihre Seiten proportional: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. Aber AB=2A1B1, also AO=2A1O und BO=2B1O. Somit teilt der Punkt O des Schnittpunkts der Mediane AA1 und BB1 jeden von ihnen im Verhältnis 2:1, gezählt vom Scheitelpunkt.

Ebenso ist bewiesen, dass der Schnittpunkt der Mediane BB1 und CC1 jeden von ihnen im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt, und daher mit dem Punkt O zusammenfällt und durch ihn im Verhältnis 2:1 geteilt wird. vom Scheitelpunkt aus gezählt.

Eigenschaften des Medians eines Dreiecks:

10 Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und werden vom Scheitelpunkt aus im Verhältnis 2:1 durch den Schnittpunkt geteilt.

Gegeben: ?ABC, AA1, BB1 – Mediane.

Beweisen Sie: AO:OA1=VO:OB1=2:1

Nachweisen. Zeichnen wir die Mittellinie A1B1 (Abb. 2.10), entsprechend der Eigenschaft der Mittellinie A1B1||AB, A1B1=1/2 AB. Seit A1B1 || AB, dann 1 = 2 kreuzliegend mit parallelen Linien AB und A1B1 und Sekante AA1. 3 = 4 kreuzweise liegend mit Parallelen A1B1 und AB und Sekante BB1.

Somit, ?AOB ~ ?A1OB1 durch die Gleichheit zweier Winkel, was bedeutet, dass die Seiten proportional sind: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; OB/OB1 = 2/1.

Der Median teilt ein Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

Nachweisen. BD – Median ?ABC (Abb. 2.11), BE – seine Höhe. Dann ?ABD und ?DBC sind gleich groß, weil sie die gleichen Basen AD bzw. DC und eine gemeinsame Höhe BE haben.

Das gesamte Dreieck wird durch seine Mediane in sechs gleich große Dreiecke geteilt.

Wenn in der Fortsetzung des Medians des Dreiecks ein Segment gleicher Länge wie der Median von der Mitte der Seite des Dreiecks abgelegt wird, dann sind der Endpunkt dieses Segments und die Eckpunkte des Dreiecks die Eckpunkte von das Parallelogramm.

Nachweisen. Sei D der Mittelpunkt der Seite BC ?ABC (Abb. 2.12), E ist ein Punkt auf der Geraden AD, so dass DE=AD. Da dann die Diagonalen AE und BC des Vierecks ABEC im Punkt D ihres Schnittpunkts halbiert werden, folgt aus Eigenschaft 13.4, dass das Viereck ABEC ein Parallelogramm ist.

Lösen von Problemen mithilfe der Eigenschaften von Medianen:

Aufgabe 1. Beweisen Sie, dass O der Schnittpunkt der Mediane ist ?Also ABC ?A.O.B. ?BOC und ?AOC sind gleich groß.

Lösung. Seien AA1 und BB1 Mediane ?ABC(Abb. 2.13). Lassen Sie uns überlegen ?AOB und ?BOC. Es ist offensichtlich, dass S ?AOB = S ?AB1B-S ?AB1O, S ?BOC=S ?BB1C-S ?OB1C. Aber nach Eigenschaft 2 haben wir S ?AB1B=S ?BB1C,S ?AOB = S ?OB1C, was bedeutet, dass S ?AOB = S ?BOC. Die Gleichheit S ?AOB = S ?AOC.

Aufgabe 2. Beweisen Sie, dass Punkt O innerhalb liegt ?ABC und ?A.O.B. ?BOC und ?AOC sind flächenmäßig gleich, dann ist O der Schnittpunkt der Mediane? ABC.

Lösung. Lassen Sie uns überlegen ?ABC (2.14) und nehmen Sie an, dass Punkt O nicht auf dem Median BB1 liegt. Dann ist OB1 der Median ?AOC, dann S ?AOB1 = S ?B1OC , und da durch Bedingung S ?AOB = S ?BOC, dann S ?AB1OB = S ?BOB1C. Dies kann aber nicht sein, da S ?ABB1 = S ?B1BC. Der resultierende Widerspruch bedeutet, dass Punkt O auf dem Median BB1 liegt. Ebenso wird bewiesen, dass Punkt O zu zwei anderen Medianen gehört ?ABC. Daraus folgt, dass Punkt O wirklich der Schnittpunkt dreier Mediane ist? ABC.

Aufgabe 3. Beweisen Sie, dass if in ?Sind die ABC-Seiten AB und BC nicht gleich, liegt ihre Winkelhalbierende BD zwischen dem Median BM und der Höhe BH.

Nachweisen. Beschreiben wir etwa ?ABC ist ein Kreis und verlängere seine Winkelhalbierende BD, bis er den Kreis im Punkt K schneidet. Der senkrechte Mittelpunkt zum Segment AC verläuft durch Punkt K (Eigenschaft 1, aus Absatz 2.1), der mit dem Median einen gemeinsamen Punkt M hat. Aber seitdem Sind die Segmente BH und MK parallel und die Punkte B und K liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Linie AC, dann gehört der Schnittpunkt der Segmente BK und AC zum Segment HM, und dies beweist das Geforderte.

Problem 4. B ?Der ABC-Median BM ist halb so groß wie die Seite AB und bildet mit dieser einen Winkel von 40°. Finden Sie ABC.

Lösung. Erweitern wir den Median BM um seine Länge über Punkt M hinaus und erhalten Punkt D (Abb. 2.15). Da AB = 2BM ist, gilt AB = BD, d. h. das Dreieck ABD ist gleichschenklig. Daher ist BAD = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o. Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm, weil seine Diagonalen durch ihren Schnittpunkt halbiert werden. Das bedeutet CBD = ADB = 700. Dann ist ABC = ABD + CBD = 1100. Die Antwort ist 1100.

Aufgabe 5. Die Seiten?ABC sind gleich a, b, c. Berechnen Sie den Median mc auf der Seite c (Abb. 2.16).

Lösung. Verdoppeln wir den Median, indem wir ?ABC zum Parallelogramm ACBP bilden und Satz 8 auf dieses Parallelogramm anwenden. Wir erhalten: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, d.h. (2mc)2+c2= 2b2+2a2, woraus wir finden:

2.4 Euler-Kreis. Eulers Linie

Satz. Die Basen der Mediane, Höhen eines beliebigen Dreiecks sowie die Mittelpunkte der Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit seinem Orthozentrum verbinden, liegen auf demselben Kreis, dessen Radius gleich der Hälfte des Radius des umschriebenen Kreises ist das Dreieck. Dieser Kreis wird Neun-Punkte-Kreis oder Euler-Kreis genannt.

Nachweisen. Nehmen wir die Mitte?MNL (Abb. 2.17) und beschreiben einen Kreis W um ihn herum. Das Segment LQ ist der Median im Rechteck?AQB, also LQ=1/2AB. Das Segment MN=1/2AB, weil MN – Mittellinie?ABC. Daraus folgt, dass das Trapez QLMN gleichschenklig ist. Da der Kreis W durch drei Eckpunkte eines gleichschenkligen Trapezes L, M, N verläuft, verläuft er auch durch den vierten Eckpunkt Q. Ebenso ist bewiesen, dass P zu W gehört und R zu W gehört.

Kommen wir nun zu den Punkten X, Y, Z. Das Segment XL verläuft senkrecht zu BH als Mittellinie?AHB. Das Segment BH ist senkrecht zu AC und da AC parallel zu LM ist, ist BH senkrecht zu LM. Daher ist XLM=P/2. Ebenso ist XNM= P/2.

Im Viereck LXNM sind zwei gegenüberliegende Winkel rechte Winkel, sodass um sie herum ein Kreis beschrieben werden kann. Dies wird der Kreis W sein. X gehört also zu W, ebenso gehört Y zu W, Z gehört zu W.

Das mittlere LMN ähnelt ABC. Der Ähnlichkeitskoeffizient beträgt 2. Daher beträgt der Radius des Kreises aus neun Punkten R/2.

Eigenschaften des Eulerkreises:

Der Radius des Kreises aus neun Punkten ist gleich der Hälfte des Radius des von etwa ABC umschriebenen Kreises.

Der Kreis aus neun Punkten ist homothetisch zu dem Kreis, der um ? ABC umschrieben wird, mit dem Koeffizienten ½ und das Homothetiezentrum im Punkt H.

Satz. Orthozentrum, Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt und Mittelpunkt des Neun-Punkte-Kreises liegen auf derselben geraden Linie. Eulers Gerade.

Nachweisen. Sei H das Orthozentrum? ABC (Abb. 2.18) und O der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Konstruktionsbedingt enthalten die Mittelsenkrechten ABC die Höhen des Medians MNL, d. h. O ist gleichzeitig das Orthozentrum LMN. ?LMN ~ ?ABC, ihr Ähnlichkeitskoeffizient ist 2, also BH=2ON.

Zeichnen wir eine gerade Linie durch die Punkte H und O. Wir erhalten zwei ähnliche Dreiecke?NOG und?BHG. Da BH=2ON, dann ist BG=2GN. Letzteres bedeutet, dass Punkt G der Schwerpunkt ABC ist. Für Punkt G ist das Verhältnis HG:GO=2:1 erfüllt.

Sei weiterhin TF die Mittelsenkrechte? MNL und F der Schnittpunkt dieser Senkrechten mit der Geraden HO. Betrachten wir die ähnlichen ?TGF und ?NGO. Punkt G ist der Schwerpunkt von?MNL, daher ist der Ähnlichkeitskoeffizient von?TGF und?NGO gleich 2. Daher ist OG=2GF und da HG=2GO, dann ist HF=FO und F ist die Mitte des Segments HO.

Wenn wir die gleichen Überlegungen hinsichtlich der Mittelsenkrechten zur anderen Seite MNL anstellen, dann muss sie auch durch die Mitte des Segments HO verlaufen. Das bedeutet aber, dass Punkt F der Punkt der Mittelsenkrechten ist?MNL. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Eulerkreises. Der Satz ist bewiesen.

ABSCHLUSS

In dieser Arbeit haben wir uns 4 wunderbare Punkte eines Dreiecks angesehen, die in der Schule studiert wurden, und ihre Eigenschaften, auf deren Grundlage wir viele Probleme lösen können. Auch der Gergonne-Punkt, der Euler-Kreis und die Euler-Gerade wurden berücksichtigt.

LISTE DER VERWENDETEN QUELLEN

1.Geometrie 7-9. Lehrbuch für weiterführende Schulen // Atanasyan L.S., Butuzov V.F. und andere - M.: Bildung, 1994.

2.Amelkin V.V. Geometrie im Flugzeug: Theorie, Probleme, Lösungen: Proc. Ein Handbuch zur Mathematik // V.V. Amelkin, V.L. Rabtsevich, V.L. Timokhovich – Mn.: „Asar“, 2003.

.V.S. Bolodurin, O.A. Vakhmyanina, T.S. Izmailova // Handbuch zur Elementargeometrie. Orenburg, OGPI, 1991.

.Prasolov V.G. Probleme in der Planimetrie. - 4. Aufl., ergänzt - M.: Verlag des Moskauer Zentrums für mathematische Weiterbildung, 2001.

In dieser Lektion werden wir uns vier wunderbare Punkte des Dreiecks ansehen. Lassen Sie uns auf zwei davon im Detail eingehen, uns an die Beweise wichtiger Theoreme erinnern und das Problem lösen. Erinnern wir uns an die verbleibenden beiden und charakterisieren wir sie.

Thema:Überarbeitung des Geometriekurses der 8. Klasse

Lektion: Vier wunderbare Punkte eines Dreiecks

Ein Dreieck besteht zunächst einmal aus drei Segmenten und drei Winkeln, daher sind die Eigenschaften von Segmenten und Winkeln von grundlegender Bedeutung.

Gegeben ist die Strecke AB. Jedes Segment hat einen Mittelpunkt und eine Senkrechte kann durch ihn gezogen werden – bezeichnen wir ihn als p. Somit ist p die Mittelsenkrechte.

Satz (Haupteigenschaft der Mittelsenkrechten)

Jeder Punkt, der auf der Mittelsenkrechten liegt, ist von den Enden des Segments gleich weit entfernt.

Beweise das

Nachweisen:

Betrachten Sie Dreiecke und (siehe Abb. 1). Sie sind rechteckig und gleich, weil. haben ein gemeinsames Bein OM und die Beine AO und OB sind bedingt gleich, wir haben also zwei rechtwinklige Dreiecke, die in zwei Beinen gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Hypotenusen der Dreiecke gleich sind, also das, was bewiesen werden musste.

Reis. 1

Der umgekehrte Satz ist wahr.

Satz

Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden eines Segments liegt auf der Mittelsenkrechten zu diesem Segment.

Gegeben sei ein Segment AB, eine dazu senkrechte Winkelhalbierende p, ein Punkt M mit gleichem Abstand von den Enden des Segments (siehe Abb. 2).

Beweisen Sie, dass der Punkt M auf der Mittelsenkrechten des Segments liegt.

Reis. 2

Nachweisen:

Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist je nach Bedingung gleichschenklig. Betrachten Sie den Median eines Dreiecks: Punkt O ist die Mitte der Basis AB, OM ist der Median. Gemäß der Eigenschaft eines gleichschenkligen Dreiecks ist der zu seiner Basis gezogene Mittelwert sowohl eine Höhe als auch eine Winkelhalbierende. Es folgt dem . Die Gerade p steht aber auch senkrecht auf AB. Wir wissen, dass es am Punkt O möglich ist, eine einzelne Senkrechte zum Segment AB zu zeichnen, was bedeutet, dass die Geraden OM und p zusammenfallen. Daraus folgt, dass der Punkt M zur Geraden p gehört, was wir beweisen mussten.

Wenn es notwendig ist, einen Kreis um ein Segment zu beschreiben, ist dies möglich, und es gibt unendlich viele solcher Kreise, aber der Mittelpunkt jedes einzelnen von ihnen liegt auf der Mittelsenkrechten zum Segment.

Sie sagen, dass die Mittelsenkrechte der Ort der Punkte ist, die von den Enden eines Segments gleich weit entfernt sind.

Ein Dreieck besteht aus drei Segmenten. Zeichnen wir zu zwei von ihnen senkrechte Winkelhalbierende und erhalten wir den Punkt O ihres Schnittpunkts (siehe Abb. 3).

Punkt O gehört zur Mittelsenkrechten zur Seite BC des Dreiecks, was bedeutet, dass er von seinen Eckpunkten B und C den gleichen Abstand hat. Bezeichnen wir diesen Abstand als R: .

Außerdem liegt Punkt O auf der Mittelsenkrechten zum Segment AB, d.h. , gleichzeitig, von hier aus.

Somit ist Punkt O der Schnittpunkt zweier Mittelpunkte

Reis. 3

Die Senkrechte des Dreiecks ist von seinen Eckpunkten gleich weit entfernt, liegt also auch auf der dritten Mittelsenkrechten.

Wir haben den Beweis eines wichtigen Satzes wiederholt.

Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des Umkreises.

Also haben wir uns den ersten bemerkenswerten Punkt des Dreiecks angesehen – den Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden.

Kommen wir zur Eigenschaft eines beliebigen Winkels (siehe Abb. 4).

Der Winkel ist gegeben, seine Winkelhalbierende ist AL, der Punkt M liegt auf der Winkelhalbierenden.

Reis. 4

Liegt Punkt M auf der Winkelhalbierenden, dann ist er von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt, d. h. die Abstände der Seiten des Winkels von Punkt M zu AC und zu BC sind gleich.

Nachweisen:

Betrachten Sie Dreiecke und . Das sind rechtwinklige Dreiecke und sie sind gleich, weil... haben eine gemeinsame Hypotenuse AM und die Winkel sind gleich, da AL die Winkelhalbierende ist. Rechtwinklige Dreiecke haben also die gleiche Hypotenuse und den gleichen spitzen Winkel. Daraus folgt, was bewiesen werden musste. Somit ist ein Punkt auf der Winkelhalbierenden von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt.

Der umgekehrte Satz ist wahr.

Satz

Wenn ein Punkt von den Seiten eines nicht entwickelten Winkels gleich weit entfernt ist, liegt er auf seiner Winkelhalbierenden (siehe Abb. 5).

Es wird ein unbearbeiteter Winkel, Punkt M, angegeben, so dass der Abstand von ihm zu den Seiten des Winkels gleich ist.

Beweisen Sie, dass der Punkt M auf der Winkelhalbierenden liegt.

Reis. 5

Nachweisen:

Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge der Senkrechten. Vom Punkt M zeichnen wir die Senkrechten MK zur Seite AB und MR zur Seite AC.

Betrachten Sie Dreiecke und . Das sind rechtwinklige Dreiecke und sie sind gleich, weil... haben eine gemeinsame Hypotenuse AM, die Beine MK und MR sind bedingt gleich. Somit sind rechtwinklige Dreiecke in Hypotenuse und Bein gleich. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der entsprechenden Elemente; gleiche Winkel liegen gleichen Seiten gegenüber, also Daher liegt Punkt M auf der Winkelhalbierenden des gegebenen Winkels.

Wenn Sie einen Kreis in einen Winkel einschreiben müssen, ist dies möglich, und es gibt unendlich viele solcher Kreise, deren Mittelpunkte jedoch auf der Winkelhalbierenden eines bestimmten Winkels liegen.

Man sagt, dass eine Winkelhalbierende der Ort der Punkte ist, die von den Seiten eines Winkels gleich weit entfernt sind.

Ein Dreieck besteht aus drei Winkeln. Konstruieren wir die Winkelhalbierenden von zwei von ihnen und ermitteln wir den Punkt O ihres Schnittpunkts (siehe Abb. 6).

Punkt O liegt auf der Winkelhalbierenden, was bedeutet, dass er von seinen Seiten AB und BC den gleichen Abstand hat. Bezeichnen wir den Abstand als r: . Außerdem liegt Punkt O auf der Winkelhalbierenden, was bedeutet, dass er von seinen Seiten AC und BC gleich weit entfernt ist: , , von hier.

Es ist leicht zu erkennen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von den Seiten des dritten Winkels gleich weit entfernt ist, also auf dieser liegt

Reis. 6

Winkelhalbierende. Somit schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden des Dreiecks in einem Punkt.

Wir erinnerten uns also an den Beweis eines weiteren wichtigen Satzes.

Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.

Also haben wir uns den zweiten bemerkenswerten Punkt des Dreiecks angesehen – den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Wir haben die Winkelhalbierende untersucht und ihre wichtigen Eigenschaften festgestellt: Die Punkte der Winkelhalbierenden sind von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt, außerdem sind die Tangentensegmente, die von einem Punkt an den Kreis gezogen werden, gleich.

Lassen Sie uns eine Notation einführen (siehe Abb. 7).

Bezeichnen wir gleiche Tangentensegmente mit x, y und z. Die dem Scheitelpunkt A gegenüberliegende Seite BC wird mit a bezeichnet, ebenso AC mit b, AB mit c.

Reis. 7

Aufgabe 1: In einem Dreieck sind der Halbumfang und die Länge der Seite a bekannt. Finden Sie die Länge der Tangente, die vom Scheitelpunkt A - AK gezogen wird und mit x bezeichnet wird.

Offensichtlich ist das Dreieck nicht vollständig definiert, und es gibt viele solcher Dreiecke, aber es stellt sich heraus, dass sie einige Elemente gemeinsam haben.

Für Probleme mit einem eingeschriebenen Kreis kann folgende Lösungsmethode vorgeschlagen werden:

1. Zeichnen Sie Winkelhalbierende und ermitteln Sie den Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.

2. Zeichnen Sie vom Mittelpunkt O aus Senkrechte zu den Seiten und ermitteln Sie Tangentialpunkte.

3. Markieren Sie gleiche Tangenten.

4. Schreiben Sie die Beziehung zwischen den Seiten des Dreiecks und den Tangenten auf.

Schnittpunkt der Dreiecksmediane

Satz 1

Nachweisen.

Betrachten Sie das Dreieck $ABC$, wobei $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ seine Mediane sind. Da Mediane die Seiten in zwei Hälften teilen. Betrachten wir die Mittellinie $A_1B_1$ (Abb. 1).

Abbildung 1. Mediane eines Dreiecks

Ebenso ist es bewiesen

Der Satz ist bewiesen.

Schnittpunkt der Dreieckshalbierenden

Satz 2

Am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Nachweisen.

Abbildung 2. Dreieckshalbierende

Satz 3

Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht entwickelten Winkels ist von seinen Seiten gleich weit entfernt.

Nach Satz 3 gilt: $OX=OZ,\ OX=OY$. Daher ist $OY=OZ$. Das bedeutet, dass der Punkt $O$ von den Seiten des Winkels $ACB$ gleich weit entfernt ist und daher auf seiner Winkelhalbierenden $CK$ liegt.

Der Satz ist bewiesen.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks

Satz 4

Die Mittelsenkrechten zu den Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Nachweisen.

Gegeben sei ein Dreieck $ABC$, $n,\ m,\ p$ seine Mittelsenkrechten. Der Punkt $O$ sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden $n\ und\ m$ (Abb. 3).

Abbildung 3. Senkrechte Winkelhalbierende eines Dreiecks

Um es zu beweisen, benötigen wir den folgenden Satz.

Satz 5

Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment ist von den Enden des Segments gleich weit entfernt.

Nach Satz 3 gilt: $OB=OC,\ OB=OA$. Daher ist $OA=OC$. Das bedeutet, dass der Punkt $O$ von den Enden der Strecke $AC$ gleich weit entfernt ist und daher auf der Mittelsenkrechten $p$ liegt.

Der Satz ist bewiesen.

Schnittpunkt der Dreieckshöhen

Satz 6

Die Höhen eines Dreiecks bzw. ihrer Verlängerungen schneiden sich in einem Punkt.

Nachweisen.

Abbildung 4. Dreieckshöhen

Inhalt

Einleitung………………………………………………………………………………3

Kapitel 1.

1.1 Dreieck……………………………………………………………………………..4

1.2. Mittelwerte eines Dreiecks

1.4. Höhen im Dreieck

Abschluss

Liste der verwendeten Literatur

Broschüre

Einführung

Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verschiedenen Figuren und ihren Eigenschaften beschäftigt. Geometrie beginnt mit einem Dreieck. Seit zweieinhalb Jahrtausenden ist das Dreieck ein Symbol der Geometrie; Aber es ist nicht nur ein Symbol, ein Dreieck ist ein Atom der Geometrie.

In meiner Arbeit werde ich die Eigenschaften der Schnittpunkte von Winkelhalbierenden, Medianen und Höhen eines Dreiecks betrachten und über ihre bemerkenswerten Eigenschaften und die Linien des Dreiecks sprechen.

Zu den in einem Schulgeometriekurs untersuchten Punkten gehören:

a) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises);

b) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises);

c) Schnittpunkt der Höhen (Orthozentrum);

d) Schnittpunkt der Mediane (Schwerpunkt).

Relevanz: Erweitern Sie Ihr Wissen über das Dreieck,seine Eigenschaftenwunderbare Punkte.

Ziel: Erkundung des Dreiecks bis zu seinen bemerkenswerten Punkten,sie zu studierenKlassifizierungen und Eigenschaften.

Aufgaben:

1. Studieren Sie die notwendige Literatur

2. Studieren Sie die Klassifizierung bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks

3. Seien Sie in der Lage, bemerkenswerte Dreieckspunkte zu konstruieren.

4. Fassen Sie das untersuchte Material für die Gestaltung der Broschüre zusammen.

Projekthypothese:

Die Fähigkeit, bemerkenswerte Punkte in jedem Dreieck zu finden, ermöglicht es Ihnen, geometrische Konstruktionsprobleme zu lösen.

Kapitel 1. Historische Informationen zu den bemerkenswerten Punkten des Dreiecks

Im vierten Buch der Elemente löst Euklid das Problem: „Einen Kreis in ein gegebenes Dreieck einschreiben.“ Aus der Lösung folgt, dass sich die drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks in einem Punkt schneiden – dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Aus der Lösung eines anderen euklidischen Problems folgt, dass sich die an den Seiten des Dreiecks in ihren Mittelpunkten wiederhergestellten Senkrechten ebenfalls in einem Punkt schneiden – dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Die Elemente sagen nicht, dass sich die drei Höhen des Dreiecks in einem Punkt schneiden, dem sogenannten Orthozentrum (das griechische Wort „orthos“ bedeutet „gerade“, „richtig“). Dieser Vorschlag war jedoch Archimedes, Pappus und Proklos bekannt.

Der vierte singuläre Punkt des Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mediane. Archimedes bewies, dass es sich um den Schwerpunkt (Schwerpunkt) des Dreiecks handelt. Den oben genannten vier Punkten wurde besondere Aufmerksamkeit gewidmet und seit dem 18. Jahrhundert werden sie als „bemerkenswerte“ oder „besondere“ Punkte des Dreiecks bezeichnet.

Das Studium der Eigenschaften eines Dreiecks, das mit diesen und anderen Punkten verbunden ist, diente als Beginn der Schaffung eines neuen Zweigs der Elementarmathematik – der „Dreiecksgeometrie“ oder „neuen Dreiecksgeometrie“, deren Begründer Leonhard Euler war. Im Jahr 1765 bewies Euler, dass in jedem Dreieck das Orthozentrum, der Schwerpunkt und das Umkreiszentrum auf derselben Geraden liegen, die später „Euler-Gerade“ genannt wurde.

Dreieck - eine geometrische Figur, bestehend aus drei Punkten, die nicht auf derselben Linie liegen, und drei Segmenten, die diese Punkte paarweise verbinden. Punkte -Gipfel Dreieck, Segmente -Seiten Dreieck.

IN A, B, C – Eckpunkte

AB, BC, SA - Seiten

Ein C

Jedem Dreieck sind vier Punkte zugeordnet:

Schnittpunkt der Mediane;

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden;

Schnittpunkt der Höhen.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten;

1.2. Mittelwerte eines Dreiecks

Medina eines Dreiecks - , den Scheitelpunkt verbindend von der Mitte der gegenüberliegenden Seite (Abbildung 1). Der Punkt, an dem der Median die Seite des Dreiecks schneidet, wird Basis des Medians genannt.

Abbildung 1. Mediane eines Dreiecks

Konstruieren wir die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks und zeichnen wir Segmente, die jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbinden. Solche Segmente werden Mediane genannt.

Und wieder beobachten wir, dass sich diese Segmente in einem Punkt schneiden. Wenn wir die Längen der resultierenden Mediansegmente messen, können wir eine weitere Eigenschaft überprüfen: Der Schnittpunkt der Mediane teilt alle Mediane im Verhältnis 2:1, gezählt von den Eckpunkten. Und doch ist das Dreieck, das im Schnittpunkt der Mediane auf der Nadelspitze ruht, im Gleichgewicht! Ein Punkt mit dieser Eigenschaft wird als Schwerpunkt (Schwerpunkt) bezeichnet. Der Mittelpunkt gleicher Masse wird manchmal als Schwerpunkt bezeichnet. Daher lassen sich die Eigenschaften der Mediane eines Dreiecks wie folgt formulieren: Die Mediane eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt und werden vom Schnittpunkt aus im Verhältnis 2:1 durch den Schnittpunkt geteilt.

1.3. Winkelhalbierende eines Dreiecks

Halbierende angerufen Winkelhalbierende, die vom Scheitelpunkt des Winkels bis zu seinem Schnittpunkt mit der gegenüberliegenden Seite verläuft. Ein Dreieck hat drei Winkelhalbierende, die seinen drei Eckpunkten entsprechen (Abbildung 2).

Abbildung 2. Dreieckshalbierende

In einem beliebigen Dreieck ABC zeichnen wir die Winkelhalbierenden ein. Und wieder schneiden sich bei einer exakten Konstruktion alle drei Winkelhalbierenden in einem Punkt D. Punkt D ist ebenfalls ungewöhnlich: Er ist von allen drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt. Dies kann durch Absenken der Senkrechten DA 1, DB 1 und DC1 zu den Seiten des Dreiecks überprüft werden. Alle sind einander gleich: DA1=DB1=DC1.

Wenn Sie einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt D und einem Radius DA 1 zeichnen, berührt er alle drei Seiten des Dreiecks (d. h. er hat mit jeder nur einen gemeinsamen Punkt). Ein solcher Kreis wird als in ein Dreieck eingeschrieben bezeichnet. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich also im Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.

1.4. Höhen im Dreieck

Höhe des Dreiecks - , fiel von oben zur gegenüberliegenden Seite oder eine gerade Linie, die mit der gegenüberliegenden Seite zusammenfällt. Abhängig von der Art des Dreiecks kann die Höhe innerhalb des Dreiecks enthalten sein (z Dreieck), fallen mit seiner Seite zusammen (sein Dreieck) oder außerhalb des Dreiecks an einem stumpfen Dreieck vorbeigehen (Abbildung 3).

Abbildung 3. Höhen in Dreiecken

Wenn Sie drei Höhen in einem Dreieck konstruieren, schneiden sie sich alle in einem Punkt H. Dieser Punkt wird Orthozentrum genannt. (Figur 4).

Mithilfe von Konstruktionen können Sie überprüfen, dass je nach Dreieckstyp das Orthozentrum unterschiedlich liegt:

für ein spitzes Dreieck - innen;

für eine rechteckige - auf der Hypotenuse;

bei einem stumpfen Winkel liegt es außen.

Abbildung 4. Orthozentrum des Dreiecks

Damit haben wir einen weiteren bemerkenswerten Punkt des Dreiecks kennengelernt und können sagen: Die Höhen des Dreiecks schneiden sich im Orthozentrum.

1.5. Senkrechte Winkelhalbierende zu den Seiten eines Dreiecks

Die Mittelsenkrechte eines Segments ist eine Gerade, die senkrecht zum gegebenen Segment steht und durch dessen Mittelpunkt verläuft.

Zeichnen wir ein beliebiges Dreieck ABC und zeichnen wir senkrechte Winkelhalbierende zu seinen Seiten. Wenn die Konstruktion genau ausgeführt wird, schneiden sich alle Senkrechten in einem Punkt – Punkt O. Dieser Punkt ist von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt. Mit anderen Worten: Wenn Sie einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt O zeichnen, der durch einen der Eckpunkte des Dreiecks verläuft, verläuft er auch durch seine beiden anderen Eckpunkte.

Ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Dreiecks verläuft, wird als umschrieben bezeichnet. Daher lässt sich die etablierte Eigenschaft eines Dreiecks wie folgt formulieren: Die Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks schneiden sich im Mittelpunkt des umschriebenen Kreises (Abbildung 5).

Abbildung 5. In einen Kreis eingeschriebenes Dreieck

Kapitel 2. Untersuchung der bemerkenswerten Punkte des Dreiecks.

Untersuchung der Höhe in Dreiecken

Alle drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt wird Orthozentrum des Dreiecks genannt.

Die Höhen eines spitzen Dreiecks liegen streng innerhalb des Dreiecks.

Dementsprechend liegt auch der Schnittpunkt der Höhen innerhalb des Dreiecks.

In einem rechtwinkligen Dreieck fallen zwei Höhen mit den Seiten zusammen. (Dies sind die Höhen, die von den Scheitelpunkten spitzer Winkel zu den Beinen gezogen werden).

Die zur Hypotenuse gezeichnete Höhe liegt innerhalb des Dreiecks.

AC ist die Höhe vom Scheitelpunkt C zur Seite AB.

AB ist die Höhe vom Scheitelpunkt B zur Seite AC.

AK ist die Höhe vom Scheitelpunkt des rechten Winkels A zur Hypotenuse BC.

Die Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks schneiden sich am Scheitelpunkt des rechten Winkels (A ist das Orthozentrum).

In einem stumpfen Dreieck gibt es innerhalb des Dreiecks nur eine Höhe – diejenige, die vom Scheitelpunkt des stumpfen Winkels ausgeht.

Die anderen beiden Höhen liegen außerhalb des Dreiecks und sind bis zur Fortsetzung der Dreiecksseiten abgesenkt.

AK ist die zur Seite BC gezogene Höhe.

BF – Höhe in Fortsetzung der Seite AC.

CD ist die Höhe, die zur Fortsetzung der Seite AB gezogen wird.

Der Schnittpunkt der Höhen eines stumpfen Dreiecks liegt ebenfalls außerhalb des Dreiecks:

H ist das Orthozentrum des Dreiecks ABC.

Untersuchung der Winkelhalbierenden in einem Dreieck

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist der Teil der Winkelhalbierenden des Dreiecks (Strahl), der innerhalb des Dreiecks liegt.

Alle drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden in spitzen, stumpfen und rechtwinkligen Dreiecken ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises im Dreieck und liegt im Inneren.

Mediane in einem Dreieck studieren

Da ein Dreieck drei Scheitelpunkte und drei Seiten hat, gibt es auch drei Segmente, die den Scheitelpunkt und die Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden.

Nachdem ich diese Dreiecke untersucht hatte, wurde mir klar, dass sich in jedem Dreieck die Mediane in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt des Dreiecks.

Untersuchung von Mittelsenkrechten zu einer Seite eines Dreiecks

Senkrechte Winkelhalbierende eines Dreiecks ist eine Senkrechte, die zur Mitte einer Seite des Dreiecks gezogen wird.

Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und bilden den Mittelpunkt des Umkreises.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in einem spitzen Dreieck liegt innerhalb des Dreiecks; in einem stumpfen Winkel - außerhalb des Dreiecks; in einem rechteckigen - in der Mitte der Hypotenuse.

Abschluss

Im Zuge der durchgeführten Arbeiten kommen wir zu folgenden Schlussfolgerungen:

Ziel erreicht:erkundete das Dreieck und fand seine bemerkenswerten Punkte.

Die gestellten Aufgaben wurden gelöst:

1). Wir haben die notwendige Literatur studiert;

2). Wir haben die Klassifizierung bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks untersucht;

3). Wir haben gelernt, wie man wunderbare Dreieckspunkte baut;

4). Wir haben das untersuchte Material für die Gestaltung der Broschüre zusammengefasst.

Die Hypothese, dass die Fähigkeit, bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks zu finden, bei der Lösung von Konstruktionsproblemen hilft, wurde bestätigt.

Das Werk beschreibt konsequent die Techniken zur Konstruktion bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks und liefert historische Informationen über geometrische Konstruktionen.

Informationen aus dieser Arbeit können im Geometrieunterricht in der 7. Klasse nützlich sein. Das Heft kann zu einem Nachschlagewerk zur Geometrie zum vorgestellten Thema werden.

Referenzliste

Lehrbuch. L.S. Atanasyan „Geometrie Klassen 7-9Mnemosyne, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Portal-Scharlachrote Segel

Führendes Bildungsportal in Russland http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157