Grundlagen der Geometrie: Eine regelmäßige Pyramide ist. Grundlegende Eigenschaften einer regelmäßigen Pyramide

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Was ist eine Pyramide?

Wie sieht sie aus?

Sie sehen: am Fuße der Pyramide (sie sagen „ an der Wurzel") ein Polygon, und alle Eckpunkte dieses Polygons sind mit einem Punkt im Raum verbunden (dieser Punkt heißt " Scheitel»).

Diese ganze Struktur hat immer noch Bestand Seitenflächen, seitliche Rippen Und Grundrippen. Zeichnen wir noch einmal eine Pyramide mit all diesen Namen:

Manche Pyramiden sehen vielleicht sehr seltsam aus, aber es sind immer noch Pyramiden.

Hier ist zum Beispiel völlig „schräg“ Pyramide.

Und noch etwas zu den Namen: Wenn sich an der Basis der Pyramide ein Dreieck befindet, dann heißt die Pyramide dreieckig, wenn es ein Viereck ist, dann viereckig, und wenn es ein Zenteck ist, dann... raten Sie selbst .

Gleichzeitig der Punkt, an dem es fiel Höhe, angerufen Höhe Basis. Bitte beachten Sie, dass es sich um „schiefe“ Pyramiden handelt Höhe könnte sogar außerhalb der Pyramide landen. So:

Und daran ist nichts auszusetzen. Es sieht aus wie ein stumpfes Dreieck.

Richtige Pyramide.

Viele komplizierte Wörter? Entschlüsseln wir: „An der Basis – richtig“ – das ist verständlich. Erinnern wir uns nun daran, dass ein regelmäßiges Vieleck einen Mittelpunkt hat – einen Punkt, der der Mittelpunkt von und , und ist.

Nun, die Worte „die Spitze wird in die Mitte der Basis projiziert“ bedeuten, dass die Basis der Höhe genau in die Mitte der Basis fällt. Schauen Sie, wie glatt und süß es aussieht regelmäßige Pyramide.

Sechseckig: An der Basis befindet sich ein regelmäßiges Sechseck, dessen Scheitelpunkt in die Mitte der Basis projiziert wird.

Viereckig: Die Grundfläche ist ein Quadrat, die Oberseite wird auf den Schnittpunkt der Diagonalen dieses Quadrats projiziert.

Dreieckig: An der Basis befindet sich ein regelmäßiges Dreieck, dessen Scheitelpunkt auf den Schnittpunkt der Höhen (sie sind auch Mittel- und Winkelhalbierende) dieses Dreiecks projiziert wird.

Sehr wichtige Eigenschaften einer regelmäßigen Pyramide:

In der rechten Pyramide

• alle Seitenkanten sind gleich.
• Alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke und alle diese Dreiecke sind gleich.

Volumen der Pyramide

Die Hauptformel für das Volumen einer Pyramide:

Wo genau kam es her? Das ist nicht so einfach, und zunächst müssen Sie sich nur daran erinnern, dass eine Pyramide und ein Kegel in der Formel Volumen haben, ein Zylinder jedoch nicht.

Berechnen wir nun das Volumen der beliebtesten Pyramiden.

Die Seite der Basis sei gleich und die Seitenkante sei gleich. Wir müssen finden und.

Dies ist die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks.

Erinnern wir uns daran, wie man nach diesem Bereich sucht. Wir verwenden die Flächenformel:

Für uns ist „ “ dies, und „ “ ist auch dies, eh.

Jetzt lasst es uns finden.

Nach dem Satz des Pythagoras für

Was ist der Unterschied? Dies ist der Umkreisradius in weil Pyramiderichtig und damit das Zentrum.

Da - auch der Schnittpunkt der Mediane.

(Satz des Pythagoras für)

Ersetzen wir es in die Formel für.

Und setzen wir alles in die Volumenformel ein:

Aufmerksamkeit: Wenn Sie ein regelmäßiges Tetraeder haben (d. h.), dann sieht die Formel so aus:

Die Seite der Basis sei gleich und die Seitenkante sei gleich.

Es besteht keine Notwendigkeit, hier nachzuschauen; Schließlich ist die Basis ein Quadrat und daher.

Wir werden es finden. Nach dem Satz des Pythagoras für

Wissen wir? Fast. Sehen:

(Wir haben es gesehen, als wir es uns angesehen haben).

Ersetzen Sie in die Formel:

Und jetzt ersetzen wir und in die Volumenformel.

Lassen Sie die Seite der Basis gleich sein und die Seitenkante.

Wie findet man? Schauen Sie, ein Sechseck besteht aus genau sechs identischen regelmäßigen Dreiecken. Wir haben bereits bei der Berechnung des Volumens einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide nach der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks gesucht; hier verwenden wir die Formel, die wir gefunden haben.

Jetzt lasst uns (es) finden.

Nach dem Satz des Pythagoras für

Aber worauf kommt es an? Es ist einfach, weil (und alle anderen auch) Recht haben.

Ersetzen wir:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMIDE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Eine Pyramide ist ein Polyeder, das aus einem beliebigen flachen Polygon (), einem Punkt, der nicht in der Ebene der Basis (Spitze der Pyramide) liegt, und allen Segmenten besteht, die die Spitze der Pyramide mit Punkten der Basis (Seitenkanten) verbinden.

Eine Senkrechte verläuft von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis.

Richtige Pyramide- eine Pyramide, bei der an der Basis ein regelmäßiges Vieleck liegt und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Basis projiziert wird.

Eigenschaft einer regelmäßigen Pyramide:

• Bei einer regelmäßigen Pyramide sind alle Seitenkanten gleich.
• Alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke und alle diese Dreiecke sind gleich.

Pyramidenvolumen:

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Viereckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen Seitenflächen identische gleichschenklige Dreiecke sind.

Dieses Polyeder hat viele verschiedene Eigenschaften:

• Seine Seitenkanten und angrenzenden Diederwinkel sind einander gleich;
• Die Flächen der Seitenflächen sind gleich;
• An der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide liegt ein Quadrat;
• Die Höhe, die von der Spitze der Pyramide abfällt, schneidet den Punkt, an dem sich die Diagonalen der Basis schneiden.

All diese Eigenschaften erleichtern das Auffinden. Allerdings ist es häufig darüber hinaus notwendig, das Volumen des Polyeders zu berechnen. Verwenden Sie dazu die Formel für das Volumen einer viereckigen Pyramide:

Das heißt, das Volumen der Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Höhe der Pyramide und der Grundfläche. Da es gleich dem Produkt seiner gleichen Seiten ist, geben wir die Formel für die Fläche eines Quadrats sofort in den Ausdruck für das Volumen ein.
Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung des Volumens einer viereckigen Pyramide.

Gegeben sei eine viereckige Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6 cm ist. Die Seitenfläche der Pyramide beträgt b = 8 cm. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide.

Um das Volumen eines bestimmten Polyeders zu ermitteln, benötigen wir die Länge seiner Höhe. Deshalb werden wir es finden, indem wir den Satz des Pythagoras anwenden. Berechnen wir zunächst die Länge der Diagonale. Im blauen Dreieck ist es die Hypotenuse. Es sei auch daran erinnert, dass die Diagonalen eines Quadrats einander gleich sind und am Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden:


Aus dem roten Dreieck ermitteln wir nun die Höhe h, die wir benötigen. Es wird gleich sein:

Ersetzen wir die notwendigen Werte und ermitteln die Höhe der Pyramide:

Wenn wir nun die Höhe kennen, können wir alle Werte in die Formel für das Volumen der Pyramide einsetzen und den erforderlichen Wert berechnen:

Auf diese Weise konnten wir mit der Kenntnis einiger einfacher Formeln das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide berechnen. Denken Sie daran, dass dieser Wert in Kubikeinheiten gemessen wird.

Dieses Video-Tutorial hilft Benutzern, sich ein Bild vom Pyramid-Thema zu machen. Richtige Pyramide. In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept einer Pyramide vertraut und geben ihm eine Definition. Betrachten wir, was eine regelmäßige Pyramide ist und welche Eigenschaften sie hat. Dann beweisen wir den Satz über die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide.

In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept einer Pyramide vertraut und geben ihm eine Definition.

Betrachten Sie ein Polygon A 1 A 2...Ein, der in der α-Ebene liegt, und der Punkt P, die nicht in der α-Ebene liegt (Abb. 1). Lassen Sie uns die Punkte verbinden P mit Eckpunkten A 1, A 2, A 3, … Ein. Wir bekommen N Dreiecke: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R usw.

Definition. Polyeder RA 1 A 2 ...A n, besteht aus N-Quadrat A 1 A 2...Ein Und N Dreiecke RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 wird aufgerufen N-Kohlenpyramide. Reis. 1.

Reis. 1

Betrachten Sie eine viereckige Pyramide PABCD(Abb. 2).

R- die Spitze der Pyramide.

A B C D- die Basis der Pyramide.

RA- Seitenrippe.

AB- Grundrippe.

Von Punkt R Lassen wir die Senkrechte fallen RN zur Basisebene A B C D. Die eingezeichnete Senkrechte ist die Höhe der Pyramide.

Reis. 2

Die Gesamtfläche der Pyramide besteht aus der Mantelfläche, also der Fläche aller Seitenflächen, und der Grundfläche:

S voll = S Seite + S Haupt

Eine Pyramide heißt korrekt, wenn:

• seine Basis ist ein regelmäßiges Vieleck;
• Das Segment, das die Spitze der Pyramide mit der Mitte der Basis verbindet, ist ihre Höhe.

Erläuterung am Beispiel einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Betrachten Sie eine regelmäßige viereckige Pyramide PABCD(Abb. 3).

R- die Spitze der Pyramide. Basis der Pyramide A B C D- ein regelmäßiges Viereck, also ein Quadrat. Punkt UM, der Schnittpunkt der Diagonalen, ist der Mittelpunkt des Quadrats. Bedeutet, RO ist die Höhe der Pyramide.

Reis. 3

Erläuterung: im richtigen N In einem Dreieck fallen der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises und der Mittelpunkt des Umkreises zusammen. Dieses Zentrum wird als Mittelpunkt des Polygons bezeichnet. Manchmal sagt man, dass der Scheitelpunkt in die Mitte projiziert wird.

Die Höhe der Seitenfläche einer von ihrem Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema und ist bezeichnet h a.

1. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind gleich;

2. Die Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke.

Wir werden diese Eigenschaften am Beispiel einer regelmäßigen viereckigen Pyramide beweisen.

Gegeben: PABCD- regelmäßige viereckige Pyramide,

A B C D- Quadrat,

RO- Höhe der Pyramide.

Beweisen:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Siehe Abb. 4.

Reis. 4

Nachweisen.

RO- Höhe der Pyramide. Das heißt, gerade RO senkrecht zur Ebene ABC und daher direkt JSC, VO, SO Und TUN darin liegen. Also Dreiecke ROA, ROV, ROS, ROD- rechteckig.

Betrachten Sie ein Quadrat A B C D. Aus den Eigenschaften eines Quadrats folgt das AO = VO = CO = TUN.

Dann die rechtwinkligen Dreiecke ROA, ROV, ROS, ROD Bein RO- Allgemein und Beine JSC, VO, SO Und TUN sind gleich, was bedeutet, dass diese Dreiecke auf zwei Seiten gleich sind. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der Segmente, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 ist bewiesen.

Segmente AB Und Sonne sind gleich, weil sie Seiten desselben Quadrats sind, RA = PB = RS. Also Dreiecke AVR Und VSR - gleichschenklig und auf drei Seiten gleich.

Auf ähnliche Weise finden wir Dreiecke ABP, VCP, CDP, DAP gleichschenklig und gleich sind, wie in Absatz 2 zu beweisen ist.

Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide entspricht der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem:

Um dies zu beweisen, wählen wir eine regelmäßige dreieckige Pyramide.

Gegeben: RAVS- regelmäßige dreieckige Pyramide.

AB = BC = AC.

RO- Höhe.

Beweisen: . Siehe Abb. 5.

Reis. 5

Nachweisen.

RAVS- regelmäßige dreieckige Pyramide. Also AB= AC = BC. Lassen UM- Mittelpunkt des Dreiecks ABC, Dann RO ist die Höhe der Pyramide. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichseitiges Dreieck ABC. Beachte das .

Dreiecke RAV, RVS, RSA- gleiche gleichschenklige Dreiecke (nach Eigenschaft). Eine dreieckige Pyramide hat drei Seitenflächen: RAV, RVS, RSA. Dies bedeutet, dass die Fläche der Seitenfläche der Pyramide beträgt:

S-Seite = 3S RAW

Der Satz ist bewiesen.

Der Radius eines Kreises, der an der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide eingeschrieben ist, beträgt 3 m, die Höhe der Pyramide beträgt 4 m. Ermitteln Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.

Gegeben: regelmäßige viereckige Pyramide A B C D,

A B C D- Quadrat,

R= 3m,

RO- Höhe der Pyramide,

RO= 4 m.

Finden: S-Seite. Siehe Abb. 6.

Reis. 6

Lösung.

Nach dem bewiesenen Satz ist .

Lassen Sie uns zunächst die Seite der Basis finden AB. Wir wissen, dass der Radius eines Kreises, der an der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide eingeschrieben ist, 3 m beträgt.

Dann, m.

Finden Sie den Umfang des Quadrats A B C D mit einer Seitenlänge von 6 m:

Betrachten Sie ein Dreieck BCD. Lassen M- Mitte der Seite Gleichstrom. Als UM- Mitte BD, Lautstärke).

Dreieck DPC- gleichschenklig. M- Mitte Gleichstrom. Also, RM- Median und damit Höhe im Dreieck DPC. Dann RM- Apothem der Pyramide.

RO- Höhe der Pyramide. Dann gerade RO senkrecht zur Ebene ABC und daher direkt OM, darin liegen. Finden wir das Apothem RM aus einem rechtwinkligen Dreieck Rom.

Jetzt können wir die Seitenfläche der Pyramide finden:

Antwort: 60 m2.

Der Radius des um die Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide umschriebenen Kreises beträgt m. Die Mantelfläche beträgt 18 m 2. Finden Sie die Länge des Apothems.

Gegeben: ABCP- regelmäßige dreieckige Pyramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S-Seite = 18 m2.

Finden: . Siehe Abb. 7.

Reis. 7

Lösung.

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC Der Radius des umschriebenen Kreises ist angegeben. Finden wir eine Seite AB dieses Dreieck unter Verwendung des Sinusgesetzes.

Wenn wir die Seite eines regelmäßigen Dreiecks (m) kennen, ermitteln wir seinen Umfang.

Nach dem Satz über die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide, wo h a- Apothem der Pyramide. Dann:

Antwort: 4 m.

Also haben wir uns angeschaut, was eine Pyramide ist, was eine regelmäßige Pyramide ist, und wir haben den Satz über die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide bewiesen. In der nächsten Lektion lernen wir den Pyramidenstumpf kennen.

Referenzliste

1. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Grund- und Fachniveau) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S.: Abb.
2. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 Seiten: Abb.
3. Geometrie. Klasse 10: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen mit vertieftem und spezialisiertem Studium der Mathematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Aufl., Stereotyp. - M.: Bustard, 008. - 233 S.: Abb.

1. Internetportal „Yaklass“ ()
2. Internetportal „Festival pädagogischer Ideen „Erster September““ ()
3. Internetportal „Slideshare.net“ ()

Hausaufgaben

1. Kann ein regelmäßiges Vieleck die Basis einer unregelmäßigen Pyramide sein?
2. Beweisen Sie, dass disjunkte Kanten einer regelmäßigen Pyramide senkrecht zueinander stehen.
3. Ermitteln Sie den Wert des Diederwinkels an der Seite der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, wenn das Apothem der Pyramide gleich der Seite ihrer Basis ist.
4. RAVS- regelmäßige dreieckige Pyramide. Konstruieren Sie den linearen Winkel des Diederwinkels an der Basis der Pyramide.