Αριθμητική ρίζα δευτέρου βαθμού

Ορισμός 1

Η δεύτερη ρίζα (ή τετραγωνική ρίζα) του $a$καλέστε έναν αριθμό που, όταν τετραγωνιστεί, γίνεται ίσος με $a$.

Παράδειγμα 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, που σημαίνει ότι ο αριθμός $7$ είναι η 2η ρίζα του αριθμού $49$.

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, που σημαίνει ότι ο αριθμός $0,9$ είναι η 2η ρίζα του αριθμού $0,81$.

$1^2=1 \cdot 1=1$, που σημαίνει ότι ο αριθμός $1$ είναι η 2η ρίζα του αριθμού $1$.

Σημείωση 2

Με απλά λόγια, για οποιονδήποτε αριθμό $a

Το $a=b^2$ για το αρνητικό $a$ είναι λάθος, γιατί Το $a=b^2$ δεν μπορεί να είναι αρνητικό για οποιαδήποτε τιμή του $b$.

Μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι για πραγματικούς αριθμούς δεν μπορεί να υπάρχει 2η ρίζα αρνητικού αριθμού.

Σημείωση 3

Επειδή $0^2=0 \cdot 0=0$, τότε από τον ορισμό προκύπτει ότι το μηδέν είναι η 2η ρίζα του μηδενός.

Ορισμός 2

Αριθμητική ρίζα του 2ου βαθμού του αριθμού $a$($a \ge 0$) δεν είναι αρνητικός αριθμός, το οποίο όταν τετραγωνιστεί θα είναι ίσο με $a$.

Ονομάζονται και ρίζες 2ου βαθμού τετραγωνικές ρίζες.

Η αριθμητική ρίζα του 2ου βαθμού του αριθμού $a$ συμβολίζεται ως $\sqrt(a)$ ή μπορείτε να δείτε τον συμβολισμό $\sqrt(a)$. Αλλά πιο συχνά για την τετραγωνική ρίζα ο αριθμός $2$ είναι εκθέτης ρίζας- Δεν διευκρινίζεται. Το πρόσημο "$\sqrt( )$" είναι το πρόσημο της αριθμητικής ρίζας του 2ου βαθμού, που ονομάζεται επίσης " ριζοσπαστικό σημάδι" Οι έννοιες «ρίζα» και «ριζικό» είναι ονόματα του ίδιου αντικειμένου.

Αν υπάρχει ένας αριθμός κάτω από το σύμβολο της αριθμητικής ρίζας, τότε καλείται ριζικός αριθμός, και αν η έκφραση, τότε - ριζική έκφραση.

Η καταχώρηση $\sqrt(8)$ διαβάζεται ως "αριθμητική ρίζα του 2ου βαθμού του οκτώ" και η λέξη "αριθμητική" συχνά δεν χρησιμοποιείται.

Ορισμός 3

Σύμφωνα με τον ορισμό αριθμητική ρίζα 2ου βαθμούμπορεί να γραφτεί:

Για οποιοδήποτε $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Δείξαμε τη διαφορά μεταξύ δεύτερης ρίζας και αριθμητικής δεύτερης ρίζας. Περαιτέρω θα εξετάσουμε μόνο τις ρίζες των μη αρνητικών αριθμών και παραστάσεων, δηλ. μόνο αριθμητική.

Αριθμητική ρίζα τρίτου βαθμού

Ορισμός 4

Αριθμητική ρίζα του 3ου βαθμού (ή κυβικής ρίζας) του αριθμού $a$($a \ge 0$) είναι ένας μη αρνητικός αριθμός που, όταν τεμαχιστεί σε κύβους, γίνεται ίσος με $a$.

Συχνά η λέξη αριθμητική παραλείπεται και λένε «η 3η ρίζα του αριθμού $a$».

Η αριθμητική ρίζα του 3ου βαθμού του $a$ συμβολίζεται ως $\sqrt(a)$, το σύμβολο "$\sqrt( )$" είναι το πρόσημο της αριθμητικής ρίζας του 3ου βαθμού και ο αριθμός $3$ σε αυτή η σημειογραφία ονομάζεται δείκτης ρίζας. Ο αριθμός ή η έκφραση που εμφανίζεται κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται ριζικό.

Παράδειγμα 2

$\sqrt(3,5)$ – αριθμητική ρίζα 3ου βαθμού 3,5$ ή κυβική ρίζα 3,5$.

$\sqrt(x+5)$ – αριθμητική ρίζα του 3ου βαθμού του $x+5$ ή κυβική ρίζα του $x+5$.

Αριθμητική η ρίζα

Ορισμός 5

Αριθμητική ρίζα ου βαθμού από τον αριθμό $a \ge 0$ καλείται ένας μη αρνητικός αριθμός ο οποίος, όταν αυξηθεί στην $n$th δύναμη, γίνεται ίσος με $a$.

Σημείωση για την αριθμητική ρίζα του βαθμού $n$ του $a \ge 0$:

όπου $a$ είναι ένας ριζικός αριθμός ή έκφραση,

Σε αυτό το άρθρο θα παρουσιάσουμε έννοια της ρίζας ενός αριθμού. Θα προχωρήσουμε διαδοχικά: θα ξεκινήσουμε με την τετραγωνική ρίζα, από εκεί θα προχωρήσουμε στην περιγραφή της κυβικής ρίζας, μετά από την οποία θα γενικεύσουμε την έννοια της ρίζας, ορίζοντας την ν η ρίζα. Ταυτόχρονα, θα εισαγάγουμε ορισμούς, σημειώσεις, θα δώσουμε παραδείγματα ριζών και θα δώσουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις και σχόλια.

Τετραγωνική ρίζα, αριθμητική τετραγωνική ρίζα

Για να κατανοήσετε τον ορισμό της ρίζας ενός αριθμού, και ειδικότερα της τετραγωνικής ρίζας, πρέπει να έχετε . Σε αυτό το σημείο θα συναντήσουμε συχνά τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού - το τετράγωνο ενός αριθμού.

Ας ξεκινήσουμε με ορισμοί τετραγωνικής ρίζας.

Ορισμός

Τετραγωνική ρίζα του αείναι ένας αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με α.

Για να φέρει παραδείγματα τετραγωνικές ρίζες , πάρτε αρκετούς αριθμούς, για παράδειγμα, 5, −0,3, 0,3, 0 και τετραγωνίστε τους, παίρνουμε τους αριθμούς 25, 0,09, 0,09 και 0, αντίστοιχα (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 και 0 2 =0·0=0 ). Τότε, με τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω, ο αριθμός 5 είναι η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 25, οι αριθμοί -0,3 και 0,3 είναι οι τετραγωνικές ρίζες του 0,09 και το 0 είναι η τετραγωνική ρίζα του μηδενός.

Πρέπει να σημειωθεί ότι για κανέναν αριθμό a δεν υπάρχει a του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με a. Δηλαδή, για κάθε αρνητικό αριθμό a δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός b του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με a. Στην πραγματικότητα, η ισότητα a=b 2 είναι αδύνατη για οποιοδήποτε αρνητικό a, αφού το b 2 είναι ένας μη αρνητικός αριθμός για οποιοδήποτε b. Ετσι, δεν υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Με άλλα λόγια, στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται και δεν έχει νόημα.

Αυτό οδηγεί σε ένα λογικό ερώτημα: «Υπάρχει τετραγωνική ρίζα του a για οποιοδήποτε μη αρνητικό α»; Η απάντηση είναι ναι. Η αιτιολόγηση αυτού του γεγονότος μπορεί να εξεταστεί εποικοδομητικό τρόπο, χρησιμοποιείται για την εύρεση της τιμής της τετραγωνικής ρίζας.

Τότε τίθεται το επόμενο λογικό ερώτημα: «Ποιος είναι ο αριθμός όλων των τετραγωνικών ριζών ενός δεδομένου μη αρνητικού αριθμού α - ένα, δύο, τρία ή ακόμη περισσότερο»; Εδώ είναι η απάντηση: αν το a είναι μηδέν, τότε η μόνη τετραγωνική ρίζα του μηδενός είναι μηδέν. αν το a είναι κάποιος θετικός αριθμός, τότε ο αριθμός των τετραγωνικών ριζών του αριθμού a είναι δύο και οι ρίζες είναι . Ας το δικαιολογήσουμε αυτό.

Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση a=0 . Αρχικά, ας δείξουμε ότι το μηδέν είναι πράγματι η τετραγωνική ρίζα του μηδενός. Αυτό προκύπτει από την προφανή ισότητα 0 2 =0·0=0 και τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας.

Τώρα ας αποδείξουμε ότι το 0 είναι η μόνη τετραγωνική ρίζα του μηδενός. Ας χρησιμοποιήσουμε την αντίθετη μέθοδο. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιος μη μηδενικός αριθμός b που είναι η τετραγωνική ρίζα του μηδενός. Τότε πρέπει να ικανοποιηθεί η συνθήκη b 2 =0, κάτι που είναι αδύνατο, αφού για οποιοδήποτε μη μηδενικό b η τιμή της παράστασης b 2 είναι θετική. Φτάσαμε σε μια αντίφαση. Αυτό αποδεικνύει ότι το 0 είναι η μόνη τετραγωνική ρίζα του μηδενός.

Ας περάσουμε σε περιπτώσεις όπου το α είναι θετικός αριθμός. Είπαμε παραπάνω ότι υπάρχει πάντα τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε μη αρνητικού αριθμού, έστω η τετραγωνική ρίζα του a είναι ο αριθμός b. Ας πούμε ότι υπάρχει ένας αριθμός c, που είναι και η τετραγωνική ρίζα του a. Τότε, με τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας, οι ισότητες b 2 =a και c 2 =a είναι αληθείς, από τις οποίες προκύπτει ότι b 2 −c 2 =a−a=0, αλλά αφού b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , μετά (b−c)·(b+c)=0 . Η ισότητα που προκύπτει ισχύει ιδιότητες πράξεων με πραγματικούς αριθμούςδυνατή μόνο όταν b−c=0 ή b+c=0 . Έτσι, οι αριθμοί b και c είναι ίσοι ή αντίθετοι.

Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας αριθμός d, που είναι μια άλλη τετραγωνική ρίζα του αριθμού a, τότε με συλλογισμούς παρόμοιους με αυτούς που έχουν ήδη δοθεί, αποδεικνύεται ότι το d ισούται με τον αριθμό b ή τον αριθμό c. Άρα, ο αριθμός των τετραγωνικών ριζών ενός θετικού αριθμού είναι δύο και οι τετραγωνικές ρίζες είναι αντίθετοι αριθμοί.

Για την ευκολία της εργασίας με τετραγωνικές ρίζες, η αρνητική ρίζα "διαχωρίζεται" από τη θετική. Για το σκοπό αυτό εισάγεται ορισμός της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας.

Ορισμός

Αριθμητική τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού αείναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με α.

Ο συμβολισμός για την αριθμητική τετραγωνική ρίζα του a είναι . Το πρόσημο ονομάζεται αριθμητική τετραγωνική ρίζα. Ονομάζεται επίσης ριζοσπαστικό ζώδιο. Επομένως, μερικές φορές μπορείτε να ακούσετε και "ρίζα" και "ριζική", που σημαίνει το ίδιο αντικείμενο.

Ο αριθμός κάτω από το σύμβολο της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας ονομάζεται ριζικός αριθμός, και η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας είναι ριζική έκφραση, ενώ ο όρος «ριζικός αριθμός» αντικαθίσταται συχνά από «ριζική έκφραση». Για παράδειγμα, στον συμβολισμό ο αριθμός 151 είναι ένας ριζικός αριθμός και στον συμβολισμό η έκφραση a είναι μια ριζική έκφραση.

Κατά την ανάγνωση, η λέξη "αριθμητική" συχνά παραλείπεται, για παράδειγμα, το λήμμα διαβάζεται ως "η τετραγωνική ρίζα του επτά σημείου είκοσι εννέα". Η λέξη «αριθμητική» χρησιμοποιείται μόνο όταν θέλουν να τονίσουν ότι μιλάμε συγκεκριμένα για τη θετική τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού.

Υπό το φως της εισαγόμενης σημείωσης, από τον ορισμό της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας προκύπτει ότι για οποιονδήποτε μη αρνητικό αριθμό a .

Οι τετραγωνικές ρίζες ενός θετικού αριθμού α γράφονται χρησιμοποιώντας το σύμβολο της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας ως και . Για παράδειγμα, οι τετραγωνικές ρίζες του 13 είναι και . Η αριθμητική τετραγωνική ρίζα του μηδενός είναι μηδέν, δηλαδή . Για τους αρνητικούς αριθμούς a, δεν θα προσδώσουμε νόημα στη σημειογραφία μέχρι να μελετήσουμε μιγαδικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, οι εκφράσεις και είναι χωρίς νόημα.

Με βάση τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας, αποδεικνύονται οι ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών, οι οποίες χρησιμοποιούνται συχνά στην πράξη.

Συμπερασματικά αυτού του σημείου, σημειώνουμε ότι οι τετραγωνικές ρίζες του αριθμού α είναι λύσεις της μορφής x 2 =a ως προς τη μεταβλητή x.

Κυβική ρίζα ενός αριθμού

Ορισμός της κυβικής ρίζαςτου αριθμού α δίνεται παρόμοια με τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Μόνο που βασίζεται στην έννοια του κύβου ενός αριθμού, όχι ενός τετραγώνου.

Ορισμός

Κυβική ρίζα του αείναι ένας αριθμός του οποίου ο κύβος είναι ίσος με α.

Ας δώσουμε παραδείγματα κυβικών ριζών. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε αρκετούς αριθμούς, για παράδειγμα, 7, 0, −2/3 και βάλτε τους σε κύβο: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Στη συνέχεια, με βάση τον ορισμό της κυβικής ρίζας, μπορούμε να πούμε ότι ο αριθμός 7 είναι η κυβική ρίζα του 343, το 0 είναι η κυβική ρίζα του μηδέν και το −2/3 είναι η κυβική ρίζα του −8/27.

Μπορεί να φανεί ότι η κυβική ρίζα ενός αριθμού, σε αντίθεση με την τετραγωνική ρίζα, υπάρχει πάντα, όχι μόνο για τον μη αρνητικό α, αλλά και για κάθε πραγματικό αριθμό α. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ίδια μέθοδο που αναφέραμε κατά τη μελέτη των τετραγωνικών ριζών.

Επιπλέον, υπάρχει μόνο μία κυβική ρίζα του δεδομένου αριθμούένα. Ας αποδείξουμε την τελευταία δήλωση. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε τρεις περιπτώσεις χωριστά: το a είναι ένας θετικός αριθμός, ο a=0 και ο a είναι ένας αρνητικός αριθμός.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αν το a είναι θετικό, η κυβική ρίζα του a δεν μπορεί να είναι ούτε αρνητικός αριθμός ούτε μηδέν. Πράγματι, έστω b η κυβική ρίζα του a, τότε εξ ορισμού μπορούμε να γράψουμε την ισότητα b 3 =a. Είναι σαφές ότι αυτή η ισότητα δεν μπορεί να ισχύει για το αρνητικό b και για το b=0, αφού σε αυτές τις περιπτώσεις το b 3 =b·b·b θα είναι αρνητικός αριθμός ή μηδέν, αντίστοιχα. Άρα η κυβική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι θετικός αριθμός.

Τώρα ας υποθέσουμε ότι εκτός από τον αριθμό b υπάρχει μια άλλη κυβική ρίζα του αριθμού a, ας τον συμβολίσουμε c. Τότε c 3 =a. Επομένως, b 3 −c 3 =a−a=0, αλλά b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού διαφορά των κύβων), από όπου (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Η ισότητα που προκύπτει είναι δυνατή μόνο όταν b−c=0 ή b 2 +b·c+c 2 =0. Από την πρώτη ισότητα έχουμε b=c, και η δεύτερη ισότητα δεν έχει λύσεις, αφού η αριστερή της πλευρά είναι θετικός αριθμός για οποιοδήποτε θετικούς αριθμούς b και c ως άθροισμα τριών θετικών όρων b 2, b·c και c 2. Αυτό αποδεικνύει τη μοναδικότητα της κυβικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α.

Όταν a=0, η κυβική ρίζα του αριθμού a είναι μόνο ο αριθμός μηδέν. Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας αριθμός b, ο οποίος είναι μια μη μηδενική κυβική ρίζα του μηδενός, τότε πρέπει να ισχύει η ισότητα b 3 =0, η οποία είναι δυνατή μόνο όταν b=0.

Για το αρνητικό α, μπορούν να δοθούν επιχειρήματα παρόμοια με την περίπτωση του θετικού α. Πρώτον, δείχνουμε ότι η κυβική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να είναι ίση ούτε με θετικό αριθμό ούτε με μηδέν. Δεύτερον, υποθέτουμε ότι υπάρχει μια δεύτερη κυβική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού και δείχνουμε ότι αναγκαστικά θα συμπίπτει με τον πρώτο.

Άρα, υπάρχει πάντα μια κυβική ρίζα οποιουδήποτε δεδομένου πραγματικού αριθμού a και μια μοναδική.

Ας δώσουμε ορισμός της αριθμητικής κυβικής ρίζας.

Ορισμός

Αριθμητική κυβική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού αείναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου ο κύβος είναι ίσος με α.

Η αριθμητική κυβική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται ως , το πρόσημο ονομάζεται πρόσημο της αριθμητικής κυβικής ρίζας, ο αριθμός 3 σε αυτόν τον συμβολισμό ονομάζεται δείκτης ρίζας. Ο αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας είναι ριζικός αριθμός, η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας είναι ριζική έκφραση.

Αν και η αριθμητική κυβική ρίζα ορίζεται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς a, είναι επίσης βολικό να χρησιμοποιούνται συμβολισμοί στους οποίους βρίσκονται αρνητικοί αριθμοί κάτω από το σύμβολο της αριθμητικής ρίζας του κύβου. Θα τα κατανοήσουμε ως εξής: , όπου a είναι θετικός αριθμός. Για παράδειγμα, .

Θα μιλήσουμε για τις ιδιότητες των ριζών του κύβου στο γενικό άρθρο ιδιότητες των ριζών.

Ο υπολογισμός της τιμής μιας ρίζας κύβου ονομάζεται εξαγωγή ρίζας κύβου· αυτή η ενέργεια συζητείται στο άρθρο εξαγωγή ριζών: μέθοδοι, παραδείγματα, λύσεις.

Για να ολοκληρώσουμε αυτό το σημείο, ας πούμε ότι η κυβική ρίζα του αριθμού a είναι λύση της μορφής x 3 =a.

η ρίζα, αριθμητική ρίζα βαθμού n

Ας γενικεύσουμε την έννοια της ρίζας ενός αριθμού - εισάγουμε ορισμός της νης ρίζαςγια ν.

Ορισμός

η ρίζα του αείναι ένας αριθμός του οποίου η ν η δύναμη ισούται με a.

Από αυτόν τον ορισμόΕίναι σαφές ότι η ρίζα πρώτου βαθμού του αριθμού α είναι ο ίδιος ο αριθμός a, αφού όταν μελετούσαμε το βαθμό με φυσικό εκθέτη πήραμε 1 =a.

Παραπάνω εξετάσαμε ειδικές περιπτώσεις της νης ρίζας για n=2 και n=3 - τετραγωνική ρίζα και κυβική ρίζα. Δηλαδή, μια τετραγωνική ρίζα είναι μια ρίζα του δεύτερου βαθμού και μια κυβική ρίζα είναι μια ρίζα του τρίτου βαθμού. Για να μελετήσετε τις ρίζες του ν-ου βαθμού για n=4, 5, 6, ..., είναι βολικό να τις χωρίσετε σε δύο ομάδες: η πρώτη ομάδα - ρίζες ζυγών μοιρών (δηλαδή για n = 4, 6, 8 , ...), η δεύτερη ομάδα - ρίζες περιττούς βαθμούς (δηλαδή με n=5, 7, 9, ...). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι ρίζες των ζυγών δυνάμεων είναι παρόμοιες με τις τετραγωνικές ρίζες και οι ρίζες των περιττών δυνάμεων είναι παρόμοιες με τις κυβικές ρίζες. Ας τα αντιμετωπίσουμε ένα προς ένα.

Ας ξεκινήσουμε με τις ρίζες των οποίων οι δυνάμεις είναι οι ζυγοί αριθμοί 4, 6, 8, ... Όπως ήδη είπαμε, μοιάζουν με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού α. Δηλαδή οποιαδήποτε ρίζα ακόμη και πτυχίοαπό τον αριθμό a υπάρχει μόνο για μη αρνητικό α. Επιπλέον, αν a=0, τότε η ρίζα του a είναι μοναδική και ίση με μηδέν, και αν a>0, τότε υπάρχουν δύο ρίζες άρτιου βαθμού του αριθμού a και είναι αντίθετοι αριθμοί.

Ας τεκμηριώσουμε την τελευταία δήλωση. Έστω b μια ρίζα άρτιας μοίρας (τη συμβολίζουμε ως 2 m, όπου m είναι κάποιο φυσικός αριθμός) από τον αριθμό α . Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας αριθμός c - μια άλλη ρίζα βαθμού 2·m από τον αριθμό a. Τότε b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Όμως γνωρίζουμε τη μορφή b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), τότε (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Από αυτή την ισότητα προκύπτει ότι b−c=0, ή b+c=0, ή b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Οι δύο πρώτες ισότητες σημαίνουν ότι οι αριθμοί b και c είναι ίσοι ή οι b και c είναι αντίθετοι. Και η τελευταία ισότητα ισχύει μόνο για b=c=0, αφού στην αριστερή της πλευρά υπάρχει μια παράσταση που είναι μη αρνητική για οποιαδήποτε b και c ως άθροισμα μη αρνητικών αριθμών.

Όσον αφορά τις ρίζες του ν ου βαθμού για περιττό n, είναι παρόμοιες με την κυβική ρίζα. Δηλαδή, η ρίζα οποιουδήποτε περιττού βαθμού του αριθμού a υπάρχει για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό a, και για έναν δεδομένο αριθμό a είναι μοναδικός.

Η μοναδικότητα μιας ρίζας περιττού βαθμού 2·m+1 του αριθμού α αποδεικνύεται κατ' αναλογία με την απόδειξη της μοναδικότητας της κυβικής ρίζας του α. Μόνο εδώ αντί για ισότητα a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)χρησιμοποιείται ισότητα της μορφής b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Η έκφραση στην τελευταία αγκύλη μπορεί να ξαναγραφτεί ως b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Για παράδειγμα, με m=2 έχουμε b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Όταν το a και το b είναι και τα δύο θετικά ή και τα δύο αρνητικά, το γινόμενο τους είναι ένας θετικός αριθμός, τότε η έκφραση b 2 +c 2 +b·c στις υψηλότερες ένθετες παρενθέσεις είναι θετική ως το άθροισμα των θετικών αριθμών. Τώρα, προχωρώντας διαδοχικά στις εκφράσεις σε αγκύλες των προηγούμενων βαθμών ένθεσης, είμαστε πεπεισμένοι ότι είναι επίσης θετικές ως άθροισμα θετικών αριθμών. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ότι η ισότητα b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0δυνατή μόνο όταν b−c=0, δηλαδή όταν ο αριθμός b είναι ίσος με τον αριθμό c.

Ήρθε η ώρα να κατανοήσουμε τη σημειογραφία της νης ρίζας. Για το σκοπό αυτό δίνεται ορισμός αριθμητικής ρίζας n ου βαθμού.

Ορισμός

Αριθμητική ρίζα του ν ου βαθμού ενός μη αρνητικού αριθμού αείναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου η nη δύναμη είναι ίση με a.

Βαθμός ρίζας nαπό πραγματικό αριθμό ένα, Οπου n- ένας φυσικός αριθμός, που ονομάζεται αυτό πραγματικός αριθμός Χ, nτου οποίου ο βαθμός είναι ίσος με ένα.

Βαθμός ρίζας nαπό τον αριθμό έναυποδεικνύεται με το σύμβολο. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό.

Βρίσκοντας τη ρίζα n-ο βαθμός από μεταξύ έναπου ονομάζεται εξαγωγή ριζών. Αριθμός ΕΝΑονομάζεται ριζικός αριθμός (έκφραση), n- δείκτης ρίζας. Για περίεργο nυπάρχει μια ρίζα n-η δύναμη για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ένα. Όταν ακόμη nυπάρχει μια ρίζα n-η δύναμη μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς ένα. Για να αποσαφηνιστεί η ρίζα n-ο βαθμός από μεταξύ ένα, εισάγεται η έννοια της αριθμητικής ρίζας n-ο βαθμός από μεταξύ ένα.

Η έννοια της αριθμητικής ρίζας του βαθμού Ν

Αν n- φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος 1 , τότε υπάρχει, και μόνο ένας, μη αρνητικός αριθμός Χ, έτσι ώστε να ικανοποιείται η ισότητα. Αυτός ο αριθμός Χονομάζεται αριθμητική ρίζα nη δύναμη ενός μη αρνητικού αριθμού ΕΝΑκαι ορίζεται . Αριθμός ΕΝΑονομάζεται ριζικός αριθμός, n- δείκτης ρίζας.

Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό, η σημειογραφία , όπου , σημαίνει, πρώτον, ότι και, δεύτερον, ότι, δηλ. .

Η έννοια του πτυχίου με ορθολογικό εκθέτη

Βαθμός με φυσικό εκθέτη: ας ΕΝΑείναι ένας πραγματικός αριθμός, και n- φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ενός, n-η δύναμη του αριθμού ΕΝΑκαλέστε την εργασία nπαράγοντες, καθένας από τους οποίους είναι ίσος ΕΝΑ, δηλ. . Αριθμός ΕΝΑ- τη βάση του πτυχίου, n- εκθέτης. Μια ισχύς με μηδενικό εκθέτη: εξ ορισμού, εάν , τότε . Μηδενική ισχύς ενός αριθμού 0 δεν έχει νόημα. Ένας βαθμός με αρνητικό ακέραιο εκθέτη: θεωρείται εξ ορισμού εάν και nείναι φυσικός αριθμός, τότε . Ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη: θεωρείται εξ ορισμού εάν και n- φυσικός αριθμός, Μείναι ακέραιος, τότε .

Επεμβάσεις με ρίζες.

Σε όλους τους παρακάτω τύπους, το σύμβολο σημαίνει αριθμητική ρίζα (η ριζική έκφραση είναι θετική).

1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:

2. Η ρίζα μιας αναλογίας είναι ίση με την αναλογία των ριζών του μερίσματος και του διαιρέτη:

3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον ριζικό αριθμό σε αυτήν την ισχύ:

4. Εάν αυξήσετε τον βαθμό της ρίζας n φορές και ταυτόχρονα αυξήσετε τον ριζικό αριθμό στην nη δύναμη, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

5. Εάν μειώσετε τον βαθμό της ρίζας κατά n φορές και ταυτόχρονα εξαγάγετε την ντη ρίζα του ριζικού αριθμού, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

Διεύρυνση της έννοιας του πτυχίου. Μέχρι στιγμής έχουμε εξετάσει βαθμούς μόνο με φυσικούς εκθέτες. αλλά οι πράξεις με δυνάμεις και ρίζες μπορούν επίσης να οδηγήσουν σε αρνητικούς, μηδενικούς και κλασματικούς εκθέτες. Όλοι αυτοί οι εκθέτες απαιτούν πρόσθετο ορισμό.

Ένας βαθμός με αρνητικό εκθέτη. Η ισχύς ενός ορισμένου αριθμού με αρνητικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τη δύναμη του ίδιου αριθμού με εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή αρνητικός δείκτης:

Τώρα ο τύπος a m: a n = a m - n μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για m μεγαλύτερο από n, αλλά και για m μικρότερο από n.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Αν θέλουμε ο τύπος a m: a n = a m - n να ισχύει για m = n, χρειαζόμαστε έναν ορισμό του βαθμού μηδέν.

Πτυχίο με μηδενικό δείκτη. Η ισχύς οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με εκθέτη μηδέν είναι 1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Βαθμός με κλασματικό εκθέτη. Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό a στην ισχύ m / n, πρέπει να εξαγάγετε την nη ρίζα της mth ισχύος αυτού του αριθμού a:

Σχετικά με εκφράσεις που δεν έχουν νόημα. Υπάρχουν πολλές τέτοιες εκφράσεις.

Περίπτωση 1.

Όπου a ≠ 0 δεν υπάρχει.

Αν μάλιστα υποθέσουμε ότι το x είναι ένας ορισμένος αριθμός, τότε σύμφωνα με τον ορισμό της πράξης διαίρεσης έχουμε: a = 0 x, δηλ. a = 0, που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη: a ≠ 0

Περίπτωση 2.

Οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.

Αν μάλιστα υποθέσουμε ότι η παράσταση αυτή είναι ίση με έναν ορισμένο αριθμό x, τότε σύμφωνα με τον ορισμό της πράξης διαίρεσης έχουμε: 0 = 0 · x. Αλλά αυτή η ισότητα ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό x, που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Πραγματικά,

Λύση. Ας εξετάσουμε τρεις κύριες περιπτώσεις:

1) x = 0 - αυτή η τιμή δεν ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση

2) για x > 0 παίρνουμε: x / x = 1, δηλ. 1 = 1, που σημαίνει ότι x είναι οποιοσδήποτε αριθμός. αλλά λαμβάνοντας υπόψη ότι στην περίπτωσή μας x > 0, η απάντηση είναι x > 0.

3) στο x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει λύση. Έτσι x > 0.

Πρώτο επίπεδο

Η ρίζα και οι ιδιότητές της. Λεπτομερής θεωρία με παραδείγματα (2019)

Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τι είναι αυτή η έννοια της «ρίζας» και «με τι τρώγεται». Για να το κάνετε αυτό, ας δούμε παραδείγματα που έχετε ήδη συναντήσει στην τάξη (καλά, ή πρόκειται απλώς να το συναντήσετε).

Για παράδειγμα, έχουμε μια εξίσωση. Ποια είναι η λύση αυτής της εξίσωσης; Ποιοι αριθμοί μπορούν να τετραγωνιστούν και να ληφθούν; Αν θυμάστε τον πίνακα πολλαπλασιασμού, μπορείτε εύκολα να δώσετε την απάντηση: και (εξάλλου, όταν πολλαπλασιάζονται δύο αρνητικοί αριθμοί, προκύπτει ένας θετικός αριθμός)! Για απλοποίηση, οι μαθηματικοί εισήγαγαν ειδική έννοιατετραγωνική ρίζα και την εκχώρησε ΕΙΔΙΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑΣ.

Ας ορίσουμε την αριθμητική τετραγωνική ρίζα.

Γιατί ο αριθμός πρέπει να είναι μη αρνητικός; Για παράδειγμα, με τι ισούται; Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε να διαλέξουμε ένα. Ίσως τρεις; Ας ελέγξουμε: , όχι. Μπορεί, ? Και πάλι, ελέγχουμε: . Λοιπόν, δεν ταιριάζει; Αυτό είναι αναμενόμενο - γιατί δεν υπάρχουν αριθμοί που όταν τετραγωνιστούν, δίνουν αρνητικό αριθμό!
Αυτό είναι που πρέπει να θυμάστε: ο αριθμός ή η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας πρέπει να είναι μη αρνητικός!

Ωστόσο, οι πιο προσεκτικοί πιθανότατα έχουν ήδη παρατηρήσει ότι ο ορισμός λέει ότι η λύση στην τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού ονομάζεται αυτό μη αρνητικόαριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με ". Κάποιοι από εσάς θα πουν ότι στην αρχή αναλύσαμε το παράδειγμα, επιλέξαμε αριθμούς που μπορούν να τετραγωνιστούν και να ληφθούν, η απάντηση ήταν και, αλλά εδώ μιλάμε για κάποιο είδος «μη αρνητικού αριθμού»! Αυτή η παρατήρηση είναι πολύ σωστή. Εδώ χρειάζεται απλώς να διακρίνετε τις έννοιες των τετραγωνικών εξισώσεων και την αριθμητική τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού. Για παράδειγμα, δεν είναι ισοδύναμο με την έκφραση.

Από αυτό προκύπτει ότι, δηλαδή, ή. (Διαβάστε το θέμα "")

Και αυτό προκύπτει.

Φυσικά, αυτό είναι πολύ μπερδεμένο, αλλά πρέπει να θυμόμαστε ότι τα σημάδια είναι το αποτέλεσμα της επίλυσης της εξίσωσης, καθώς όταν λύνουμε την εξίσωση πρέπει να γράψουμε όλα τα Χ, τα οποία, όταν αντικατασταθούν στην αρχική εξίσωση, θα δώσουν το σωστό αποτέλεσμα. Στο δικό μας τετραγωνική εξίσωσηκατάλληλο και για τα δύο.

Ωστόσο, εάν απλά πάρτε την τετραγωνική ρίζααπό κάτι, τότε πάντα έχουμε ένα μη αρνητικό αποτέλεσμα.

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε αυτήν την εξίσωση. Όλα δεν είναι πια τόσο απλά και ομαλά, έτσι δεν είναι; Δοκιμάστε να διαβάσετε τους αριθμούς, μήπως κάτι θα λειτουργήσει; Ας ξεκινήσουμε από την αρχή - από το μηδέν: - δεν χωράει, προχωρήστε - λιγότερα από τρία, επίσης σκουπίστε στην άκρη, τι θα γινόταν αν. Ας ελέγξουμε: - επίσης δεν είναι κατάλληλο, γιατί... είναι περισσότερα από τρία. Είναι η ίδια ιστορία με τους αρνητικούς αριθμούς. Τι να κάνουμε λοιπόν τώρα; Αλήθεια η αναζήτηση δεν μας έδωσε τίποτα; Καθόλου, τώρα ξέρουμε σίγουρα ότι η απάντηση θα είναι κάποιος αριθμός μεταξύ και, καθώς και μεταξύ και. Επίσης, προφανώς οι λύσεις δεν θα είναι ακέραιοι. Επιπλέον, δεν είναι λογικές. Λοιπόν, τι ακολουθεί; Ας γράψουμε τη συνάρτηση και ας σημειώσουμε τις λύσεις πάνω της.

Ας προσπαθήσουμε να εξαπατήσουμε το σύστημα και να πάρουμε την απάντηση χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή! Ας βγάλουμε τη ρίζα από αυτό! Ω-ω-ω, αυτό αποδεικνύεται. Αυτός ο αριθμός δεν τελειώνει ποτέ. Πώς μπορείτε να το θυμάστε αυτό, αφού δεν θα υπάρχει αριθμομηχανή στις εξετάσεις!; Όλα είναι πολύ απλά, δεν χρειάζεται να τα θυμάστε, απλά πρέπει να θυμάστε (ή να είστε σε θέση να εκτιμήσετε γρήγορα) την κατά προσέγγιση τιμή. και οι ίδιες οι απαντήσεις. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι· για να απλοποιηθεί η γραφή τέτοιων αριθμών εισήχθη η έννοια της τετραγωνικής ρίζας.

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα για να το ενισχύσουμε αυτό. Ας δούμε το εξής πρόβλημα: πρέπει να διασχίσετε ένα τετράγωνο πεδίο με πλευρά χλμ διαγώνια, πόσα χλμ πρέπει να διανύσετε;

Το πιο προφανές εδώ είναι να εξετάσουμε το τρίγωνο χωριστά και να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα: . Ετσι, . Ποια είναι λοιπόν η απαιτούμενη απόσταση εδώ; Προφανώς, η απόσταση δεν μπορεί να είναι αρνητική, αυτό καταλαβαίνουμε. Η ρίζα των δύο είναι περίπου ίση, αλλά, όπως σημειώσαμε νωρίτερα, - είναι ήδη μια πλήρης απάντηση.

Για να λύσετε παραδείγματα με ρίζες χωρίς να προκαλείτε προβλήματα, πρέπει να τα δείτε και να τα αναγνωρίσετε. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τουλάχιστον τα τετράγωνα των αριθμών από έως και επίσης να μπορείτε να τα αναγνωρίζετε. Για παράδειγμα, πρέπει να γνωρίζετε τι είναι ίσο με ένα τετράγωνο, και επίσης, αντίθετα, τι είναι ίσο με ένα τετράγωνο.

Καταλάβατε τι είναι τετραγωνική ρίζα; Στη συνέχεια, λύστε μερικά παραδείγματα.

Παραδείγματα.

Λοιπόν, πώς λειτούργησε; Ας δούμε τώρα αυτά τα παραδείγματα:

Απαντήσεις:

κυβική ρίζα

Λοιπόν, φαίνεται ότι έχουμε ξεχωρίσει την έννοια της τετραγωνικής ρίζας, τώρα ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τι είναι η κυβική ρίζα και ποια είναι η διαφορά τους.

κυβική ρίζαενός ορισμένου αριθμού είναι ένας αριθμός του οποίου ο κύβος είναι ίσος με. Έχετε παρατηρήσει ότι όλα είναι πολύ πιο απλά εδώ; Δεν υπάρχουν περιορισμοί σε πιθανές τιμέςτόσο οι τιμές κάτω από το σύμβολο της ρίζας του κύβου όσο και ο αριθμός που εξάγεται. Δηλαδή, η κυβική ρίζα μπορεί να εξαχθεί από οποιονδήποτε αριθμό: .

Καταλαβαίνετε τι είναι η κυβική ρίζα και πώς να την εξαγάγετε; Στη συνέχεια, προχωρήστε και λύστε τα παραδείγματα.

Παραδείγματα.

Απαντήσεις:

Ρίζα - ω βαθμό

Λοιπόν, καταλάβαμε τις έννοιες των τετραγωνικών και κυβικών ριζών. Τώρα ας συνοψίσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε με την έννοια 1η ρίζα.

1η ρίζαενός αριθμού είναι ένας αριθμός του οποίου η ισχύς είναι ίση, δηλ.

ισοδύναμος.

Αν - ακόμη, Οτι:

• με αρνητικό, η έκφραση δεν έχει νόημα (ζυγές ρίζες αρνητικών αριθμών δεν μπορεί να αφαιρεθεί!);
• για μη αρνητικό() η έκφραση έχει μία μη αρνητική ρίζα.

Αν - είναι περίεργο, τότε η έκφραση έχει μια μοναδική ρίζα για οποιαδήποτε.

Μην ανησυχείτε, εδώ ισχύουν οι ίδιες αρχές όπως για τις τετράγωνες και κυβικές ρίζες. Δηλαδή, οι αρχές που εφαρμόσαμε όταν θεωρούμε τετραγωνικές ρίζες επεκτείνονται σε όλες τις ρίζες άρτιου βαθμού.

Και οι ιδιότητες που χρησιμοποιήθηκαν για την κυβική ρίζα ισχύουν για ρίζες περιττού βαθμού.

Λοιπόν, έγινε πιο ξεκάθαρο; Ας δούμε παραδείγματα:

Εδώ όλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα: πρώτα κοιτάμε - ναι, ο βαθμός είναι άρτιος, ο αριθμός κάτω από τη ρίζα είναι θετικός, πράγμα που σημαίνει ότι το καθήκον μας είναι να βρούμε έναν αριθμό του οποίου η τέταρτη δύναμη θα μας δώσει. Λοιπόν, υπάρχουν εικασίες; Μπορεί, ? Ακριβώς!

Άρα, ο βαθμός είναι ίσος - περιττός, ο αριθμός κάτω από τη ρίζα είναι αρνητικός. Το καθήκον μας είναι να βρούμε έναν αριθμό που, όταν ανέβει σε δύναμη, παράγει. Είναι αρκετά δύσκολο να παρατηρήσετε αμέσως τη ρίζα. Ωστόσο, μπορείτε να περιορίσετε αμέσως την αναζήτησή σας, σωστά; Πρώτον, ο απαιτούμενος αριθμός είναι σίγουρα αρνητικός, και δεύτερον, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι είναι περιττός και επομένως ο επιθυμητός αριθμός είναι περιττός. Προσπαθήστε να βρείτε τη ρίζα. Φυσικά, μπορείτε να το απορρίψετε με ασφάλεια. Μπορεί, ?

Ναι, αυτό ψάχναμε! Σημειώστε ότι για να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό χρησιμοποιήσαμε τις ιδιότητες των μοιρών: .

Βασικές ιδιότητες των ριζών

Είναι σαφές? Αν όχι, τότε αφού δούμε τα παραδείγματα, όλα θα πρέπει να μπουν στη θέση τους.

Πολλαπλασιασμός ριζών

Πώς να πολλαπλασιάσετε τις ρίζες; Η απλούστερη και πιο βασική ιδιότητα βοηθά στην απάντηση αυτής της ερώτησης:

Ας ξεκινήσουμε με κάτι απλό:

Δεν εξάγονται ακριβώς οι ρίζες των αριθμών που προκύπτουν; Κανένα πρόβλημα - εδώ είναι μερικά παραδείγματα:

Τι γίνεται αν δεν υπάρχουν δύο, αλλά περισσότεροι πολλαπλασιαστές; Το ίδιο! Ο τύπος για τον πολλαπλασιασμό των ριζών λειτουργεί με οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων:

Τι μπορούμε να κάνουμε με αυτό; Λοιπόν, φυσικά, κρύψτε τα τρία κάτω από τη ρίζα, να θυμάστε ότι το τρία είναι η τετραγωνική ρίζα του!

Για τι το χρειαζόμαστε αυτό; Ναι, απλώς για να επεκτείνουμε τις δυνατότητές μας κατά την επίλυση παραδειγμάτων:

Πώς σας φαίνεται αυτή η ιδιότητα των ριζών; Κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη; Για μένα, αυτό ακριβώς είναι! Απλά πρέπει να το θυμάστε αυτό Μπορούμε να εισάγουμε μόνο θετικούς αριθμούς κάτω από το σύμβολο της ρίζας ενός ζυγού βαθμού.

Ας δούμε πού αλλού μπορεί να είναι χρήσιμο. Για παράδειγμα, το πρόβλημα απαιτεί τη σύγκριση δύο αριθμών:

Οτι περισσότερα:

Δεν μπορείς να πεις αμέσως. Λοιπόν, ας χρησιμοποιήσουμε την αποσυναρμολογημένη ιδιότητα της εισαγωγής ενός αριθμού κάτω από το σύμβολο της ρίζας; Τότε προχωρήστε:

Λοιπόν, γνωρίζοντας ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας, τόσο μεγαλύτερη είναι η ίδια η ρίζα! Εκείνοι. αν τότε, . Από αυτό συμπεραίνουμε σταθερά ότι. Και κανείς δεν θα μας πείσει για το αντίθετο!

Πριν από αυτό, εισάγαμε έναν πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας, αλλά πώς να τον αφαιρέσουμε; Απλά πρέπει να το συνυπολογίσετε σε παράγοντες και να εξαγάγετε αυτό που εξάγετε!

Ήταν δυνατό να ακολουθήσουμε έναν διαφορετικό δρόμο και να επεκταθούμε σε άλλους παράγοντες:

Δεν είναι κακό, σωστά; Οποιαδήποτε από αυτές τις προσεγγίσεις είναι σωστή, αποφασίστε όπως θέλετε.

Για παράδειγμα, εδώ είναι μια έκφραση:

Σε αυτό το παράδειγμα, ο βαθμός είναι άρτιος, αλλά τι γίνεται αν είναι περιττός; Και πάλι, εφαρμόστε τις ιδιότητες των εκθετών και συνυπολογίστε τα πάντα:

Όλα φαίνονται ξεκάθαρα με αυτό, αλλά πώς να εξαγάγετε τη ρίζα ενός αριθμού σε μια δύναμη; Εδώ, για παράδειγμα, είναι αυτό:

Πολύ απλό, σωστά; Τι γίνεται αν ο βαθμός είναι μεγαλύτερος από δύο; Ακολουθούμε την ίδια λογική χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μοιρών:

Λοιπόν, είναι όλα ξεκάθαρα; Τότε είναι ένα παράδειγμα:

Αυτές είναι οι παγίδες, σχετικά με αυτές αξίζει πάντα να θυμόμαστε. Αυτό αντικατοπτρίζεται στην πραγματικότητα στα παραδείγματα ιδιοκτησίας:

Είναι σαφές? Ενισχύστε με παραδείγματα:

Ναι, βλέπουμε ότι η ρίζα είναι σε άρτια δύναμη, ο αρνητικός αριθμός κάτω από τη ρίζα είναι επίσης σε άρτια δύναμη. Λοιπόν, βγαίνει το ίδιο; Να τι:

Αυτό είναι όλο! Εδώ είναι μερικά παραδείγματα:

Το έπιασα? Στη συνέχεια, προχωρήστε και λύστε τα παραδείγματα.

Παραδείγματα.

Απαντήσεις.

Εάν έχετε λάβει απαντήσεις, τότε μπορείτε να προχωρήσετε με ηρεμία. Αν όχι, τότε ας καταλάβουμε αυτά τα παραδείγματα:

Ας δούμε δύο άλλες ιδιότητες των ριζών:

Αυτές οι ιδιότητες πρέπει να αναλυθούν σε παραδείγματα. Λοιπόν, ας το κάνουμε αυτό;

Το έπιασα? Ας το εξασφαλίσουμε.

Παραδείγματα.

Απαντήσεις.

ΟΙ ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική τετραγωνική ρίζα

Η εξίσωση έχει δύο λύσεις: και. Πρόκειται για αριθμούς των οποίων το τετράγωνο είναι ίσο με.

Θεωρήστε την εξίσωση. Ας το λύσουμε γραφικά. Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης και μια γραμμή στο επίπεδο. Τα σημεία τομής αυτών των γραμμών θα είναι οι λύσεις. Βλέπουμε ότι αυτή η εξίσωση έχει επίσης δύο λύσεις - μια θετική, η άλλη αρνητική:

Αλλά σε αυτή την περίπτωση οι λύσεις δεν είναι ακέραιοι. Επιπλέον, δεν είναι λογικές. Για να καταγράψουμε αυτές τις παράλογες αποφάσεις, εισάγουμε ένα ειδικό σύμβολο τετραγωνικής ρίζας.

Αριθμητική τετραγωνική ρίζαείναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με. Όταν η έκφραση δεν ορίζεται, επειδή Δεν υπάρχει αριθμός του οποίου το τετράγωνο να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

Τετραγωνική ρίζα: .

Για παράδειγμα, . Και έπεται ότι ή.

Επιτρέψτε μου να επιστήσω την προσοχή σας για άλλη μια φορά, αυτό είναι πολύ σημαντικό: Η τετραγωνική ρίζα είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός: !

κυβική ρίζαενός αριθμού είναι ένας αριθμός του οποίου ο κύβος είναι ίσος με. Η κυβική ρίζα ορίζεται για όλους. Μπορεί να εξαχθεί από οποιονδήποτε αριθμό: . Όπως μπορείτε να δείτε, μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.

Η ρίζα ενός αριθμού είναι ένας αριθμός του οποίου η ισχύς είναι ίση, δηλ.

Αν είναι άρτιο, τότε:

• αν, τότε η ρίζα του α δεν ορίζεται.
• αν, τότε η μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης ονομάζεται αριθμητική ρίζα του ου βαθμού του και συμβολίζεται.

Αν - είναι περιττό, τότε η εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα για οποιοδήποτε.

Έχετε παρατηρήσει ότι αριστερά πάνω από το σημάδι της ρίζας γράφουμε το βαθμό της; Όχι όμως για την τετραγωνική ρίζα! Αν δείτε ρίζα χωρίς μοίρα, σημαίνει ότι είναι τετράγωνη (μοίρες).

Παραδείγματα.

Βασικές ιδιότητες των ριζών

ΟΙ ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Τετράγωνη ρίζα (αριθμητική τετραγωνική ρίζα)από έναν μη αρνητικό αριθμό ονομάζεται αυτό μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι

Ιδιότητες των ριζών: