Βαθμός ρίζας. Τύποι δυνάμεων και ριζών

Συγχαρητήρια: σήμερα θα δούμε τις ρίζες - ένα από τα πιο εντυπωσιακά θέματα στην 8η τάξη. :)

Πολλοί άνθρωποι μπερδεύονται με τις ρίζες, όχι επειδή είναι περίπλοκες (τι είναι τόσο περίπλοκο σε αυτό - μερικοί ορισμοί και μερικές ακόμη ιδιότητες), αλλά επειδή στα περισσότερα σχολικά εγχειρίδια οι ρίζες ορίζονται μέσα από μια τέτοια ζούγκλα που μόνο οι συγγραφείς των εγχειριδίων οι ίδιοι μπορούν να καταλάβουν αυτό το γράψιμο. Και ακόμα και τότε μόνο με ένα μπουκάλι καλό ουίσκι. :)

Επομένως, τώρα θα δώσω τον πιο σωστό και πιο ικανό ορισμό της ρίζας - τον μόνο που πρέπει πραγματικά να θυμάστε. Και στη συνέχεια θα εξηγήσω: γιατί χρειάζονται όλα αυτά και πώς να τα εφαρμόσουμε στην πράξη.

Αλλά πρώτα θυμηθείτε ένα σημαντικό σημείο, για το οποίο πολλοί μεταγλωττιστές σχολικών βιβλίων για κάποιο λόγο «ξεχνούν»:

Οι ρίζες μπορεί να είναι ζυγού βαθμού (το αγαπημένο μας $\sqrt(a)$, καθώς και όλων των ειδών $\sqrt(a)$ και ακόμη και $\sqrt(a)$) και περιττού βαθμού (όλα τα είδη $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, κ.λπ.). Και ο ορισμός της ρίζας περιττού βαθμού είναι κάπως διαφορετικός από τον άρτιο.

Μάλλον το 95% όλων των λαθών και των παρεξηγήσεων που σχετίζονται με τις ρίζες κρύβονται σε αυτό το γαμημένο «κάπως διαφορετικό». Ας ξεκαθαρίσουμε λοιπόν μια για πάντα την ορολογία:

Ορισμός. Ακόμα και ρίζα nαπό τον αριθμό $a$ είναι οποιαδήποτε μη αρνητικόο αριθμός $b$ είναι τέτοιος ώστε $((b)^(n))=a$. Και η περιττή ρίζα του ίδιου αριθμού $a$ είναι γενικά οποιοσδήποτε αριθμός $b$ για τον οποίο ισχύει η ίδια ισότητα: $((b)^(n))=a$.

Σε κάθε περίπτωση, η ρίζα συμβολίζεται ως εξής:

\(ένα)\]

Ο αριθμός $n$ σε μια τέτοια σημείωση ονομάζεται εκθέτης ρίζας και ο αριθμός $a$ ονομάζεται ριζική έκφραση. Συγκεκριμένα, για $n=2$ παίρνουμε την «αγαπημένη» μας τετραγωνική ρίζα (παρεμπιπτόντως, αυτή είναι ρίζα άρτιας μοίρας) και για $n=3$ παίρνουμε μια κυβική ρίζα (μονός βαθμός), που είναι επίσης συχνά βρίσκεται σε προβλήματα και εξισώσεις.

Παραδείγματα. Κλασικά παραδείγματα τετραγωνικές ρίζες:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(στοίχιση)\]

Παρεμπιπτόντως, $\sqrt(0)=0$ και $\sqrt(1)=1$. Αυτό είναι αρκετά λογικό, αφού $((0)^(2))=0$ και $((1)^(2))=1$.

Οι ρίζες κύβου είναι επίσης κοινές - δεν χρειάζεται να τις φοβάστε:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, μερικά «εξωτικά παραδείγματα»:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(στοίχιση)\]

Εάν δεν καταλαβαίνετε ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός άρτιου και ενός περιττού βαθμού, διαβάστε ξανά τον ορισμό. Είναι πολύ σημαντικό!

Στο μεταξύ, θα εξετάσουμε ένα δυσάρεστο χαρακτηριστικό των ριζών, εξαιτίας του οποίου χρειάστηκε να εισαγάγουμε έναν ξεχωριστό ορισμό για άρτιους και περιττούς εκθέτες.

Γιατί χρειάζονται καθόλου οι ρίζες;

Αφού διαβάσουν τον ορισμό, πολλοί μαθητές θα ρωτήσουν: «Τι κάπνιζαν οι μαθηματικοί όταν το σκέφτηκαν;» Και αλήθεια: γιατί χρειάζονται καθόλου όλες αυτές οι ρίζες;

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ας επιστρέψουμε για λίγο στο δημοτικές τάξεις. Θυμηθείτε: σε εκείνες τις μακρινές εποχές, που τα δέντρα ήταν πιο πράσινα και τα ζυμαρικά πιο νόστιμα, το κύριο μέλημά μας ήταν να πολλαπλασιάζουμε σωστά τους αριθμούς. Λοιπόν, κάτι σαν "πέντε επί πέντε - είκοσι πέντε", αυτό είναι όλο. Αλλά μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς όχι σε ζεύγη, αλλά σε τρίδυμα, τετραπλά και γενικά ολόκληρα σύνολα:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Ωστόσο, αυτό δεν είναι το ζητούμενο. Το κόλπο είναι διαφορετικό: οι μαθηματικοί είναι τεμπέληδες, οπότε δυσκολεύτηκαν να γράψουν τον πολλαπλασιασμό των δέκα πεντάδων ως εξής:

Γι' αυτό κατέληξαν στα πτυχία. Γιατί να μην γράψετε τον αριθμό των παραγόντων ως εκθέτη αντί για μια μεγάλη συμβολοσειρά; Κάτι σαν αυτό:

Είναι πολύ βολικό! Όλοι οι υπολογισμοί μειώνονται σημαντικά και δεν χρειάζεται να σπαταλήσετε ένα σωρό φύλλα περγαμηνής και σημειωματάρια για να σημειώσετε περίπου 5.183. Αυτός ο δίσκος ονομαζόταν δύναμη ενός αριθμού· ένα σωρό ιδιότητες βρέθηκαν σε αυτό, αλλά η ευτυχία αποδείχθηκε βραχύβια.

Μετά από ένα μεγαλειώδες πάρτι ποτού, το οποίο οργανώθηκε μόνο για την «ανακάλυψη» των πτυχίων, κάποιος ιδιαίτερα πεισματάρης μαθηματικός ρώτησε ξαφνικά: «Κι αν γνωρίζουμε τον βαθμό ενός αριθμού, αλλά ο ίδιος ο αριθμός είναι άγνωστος;» Τώρα, πράγματι, αν γνωρίζουμε ότι ένας ορισμένος αριθμός $b$, ας πούμε, στην 5η δύναμη δίνει 243, τότε πώς μπορούμε να μαντέψουμε με τι ισούται ο ίδιος ο αριθμός $b$;

Αυτό το πρόβλημα αποδείχθηκε πολύ πιο παγκόσμιο από ό,τι φαίνεται με την πρώτη ματιά. Επειδή αποδείχθηκε ότι για τις περισσότερες «έτοιμες» δυνάμεις δεν υπάρχουν τέτοιοι «αρχικοί» αριθμοί. Κρίνετε μόνοι σας:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Δεξί βέλος b=4\cdot 4\cdot 4\Δεξί βέλος b=4. \\ \end(στοίχιση)\]

Τι γίνεται αν $((b)^(3))=50$; Αποδεικνύεται ότι πρέπει να βρούμε έναν συγκεκριμένο αριθμό που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του τρεις φορές, θα μας δώσει το 50. Ποιος είναι όμως αυτός ο αριθμός; Είναι σαφώς μεγαλύτερο από 3, αφού 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Δηλαδή αυτός ο αριθμός βρίσκεται κάπου μεταξύ τρία και τέσσερα, αλλά δεν θα καταλάβετε με τι ισούται.

Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που οι μαθηματικοί βρήκαν $n$th ρίζες. Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που εισήχθη το σύμβολο ριζοσπαστικού $\sqrt(*)$. Για να ορίσουμε τον ίδιο τον αριθμό $b$, ο οποίος στον υποδεικνυόμενο βαθμό θα μας δώσει μια προηγουμένως γνωστή τιμή

\[\sqrt[n](a)=b\Δεξί βέλος ((b)^(n))=a\]

Δεν διαφωνώ: συχνά αυτές οι ρίζες υπολογίζονται εύκολα - είδαμε πολλά τέτοια παραδείγματα παραπάνω. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, εάν σκεφτείτε έναν αυθαίρετο αριθμό και στη συνέχεια προσπαθήσετε να εξαγάγετε τη ρίζα ενός αυθαίρετου βαθμού από αυτόν, θα αντιμετωπίσετε τρομερό κακό.

Τι ΕΙΝΑΙ εκει! Ακόμη και το πιο απλό και γνωστό $\sqrt(2)$ δεν μπορεί να αναπαρασταθεί στη συνήθη μορφή μας - ως ακέραιος ή κλάσμα. Και αν εισαγάγετε αυτόν τον αριθμό σε μια αριθμομηχανή, θα δείτε αυτό:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Όπως μπορείτε να δείτε, μετά την υποδιαστολή υπάρχει μια ατελείωτη ακολουθία αριθμών που δεν υπακούουν σε καμία λογική. Μπορείτε, φυσικά, να στρογγυλοποιήσετε αυτόν τον αριθμό για να συγκρίνετε γρήγορα με άλλους αριθμούς. Για παράδειγμα:

\[\sqrt(2)=1,4142...\περίπου 1,4 \lt 1,5\]

Ή εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα:

\[\sqrt(3)=1,73205...\περίπου 1,7 \gt 1,5\]

Αλλά όλες αυτές οι στρογγυλοποιήσεις, πρώτον, είναι αρκετά σκληρές. και δεύτερον, πρέπει επίσης να μπορείτε να εργάζεστε με κατά προσέγγιση τιμές, διαφορετικά μπορείτε να πιάσετε μια δέσμη μη προφανών σφαλμάτων (παρεμπιπτόντως, η ικανότητα σύγκρισης και στρογγυλοποίησης απαιτείται να δοκιμαστεί στο προφίλ Unified State Examination).

Επομένως, στα σοβαρά μαθηματικά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς ρίζες - είναι οι ίδιοι ίσοι εκπρόσωποι του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών $\mathbb(R)$, ακριβώς όπως τα κλάσματα και οι ακέραιοι αριθμοί που μας ήταν από καιρό γνωστοί.

Η αδυναμία αναπαράστασης μιας ρίζας ως κλάσματος της μορφής $\frac(p)(q)$ σημαίνει ότι αυτή η ρίζα δεν είναι ρητός αριθμός. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι και δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με ακρίβεια παρά μόνο με τη βοήθεια μιας ρίζας ή άλλων κατασκευών ειδικά σχεδιασμένων για αυτό (λογάριθμοι, δυνάμεις, όρια κ.λπ.). Αλλά περισσότερα για αυτό άλλη φορά.

Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα όπου, μετά από όλους τους υπολογισμούς, οι παράλογοι αριθμοί θα εξακολουθούν να παραμένουν στην απάντηση.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\περίπου 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\περίπου -1,2599... \\ \end(στοίχιση)\]

Όπως είναι φυσικό, σύμφωνα με εμφάνιση root είναι σχεδόν αδύνατο να μαντέψουμε ποιοι αριθμοί θα έρθουν μετά την υποδιαστολή. Ωστόσο, μπορείτε να βασιστείτε σε μια αριθμομηχανή, αλλά ακόμα και η πιο προηγμένη αριθμομηχανή ημερομηνίας μας δίνει μόνο τα πρώτα ψηφία ενός παράλογου αριθμού. Επομένως, είναι πολύ πιο σωστό να γράψετε τις απαντήσεις με τη μορφή $\sqrt(5)$ και $\sqrt(-2)$.

Γι' αυτό ακριβώς εφευρέθηκαν. Για εύκολη καταγραφή των απαντήσεων.

Γιατί χρειάζονται δύο ορισμοί;

Ο προσεκτικός αναγνώστης μάλλον έχει ήδη παρατηρήσει ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες που δίνονται στα παραδείγματα προέρχονται από θετικούς αριθμούς. Καλά μέσα ως έσχατη λύσηαπό την αρχή. Αλλά οι ρίζες κύβου μπορούν να εξαχθούν ήρεμα από απολύτως οποιονδήποτε αριθμό - είτε είναι θετικός είτε αρνητικός.

Γιατί συμβαίνει αυτό? Ρίξτε μια ματιά στο γράφημα της συνάρτησης $y=((x)^(2))$:

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το $\sqrt(4)$ χρησιμοποιώντας αυτό το γράφημα. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζεται μια οριζόντια γραμμή $y=4$ στο γράφημα (σημειωμένη με κόκκινο χρώμα), η οποία τέμνεται με την παραβολή σε δύο σημεία: $((x)_(1))=2$ και $((x )_(2)) =-2$. Αυτό είναι πολύ λογικό, αφού

Όλα είναι ξεκάθαρα με τον πρώτο αριθμό - είναι θετικό, επομένως είναι η ρίζα:

Αλλά τότε τι να κάνουμε με το δεύτερο σημείο; Σαν τέσσερα έχουν δύο ρίζες ταυτόχρονα; Άλλωστε, αν τετραγωνίσουμε τον αριθμό −2, παίρνουμε επίσης 4. Γιατί να μην γράψουμε τότε $\sqrt(4)=-2$; Και γιατί οι δάσκαλοι βλέπουν τέτοιες αναρτήσεις σαν να θέλουν να σε φάνε; :)

Αυτό είναι το πρόβλημα, αν δεν εφαρμόσεις κανένα πρόσθετες προϋποθέσεις, τότε το τετράπτυχο θα έχει δύο τετραγωνικές ρίζες - θετικές και αρνητικές. Και οποιοσδήποτε θετικός αριθμόςθα υπάρξουν επίσης δύο από αυτά. Αλλά οι αρνητικοί αριθμοί δεν θα έχουν καθόλου ρίζες - αυτό φαίνεται από το ίδιο γράφημα, αφού η παραβολή δεν πέφτει ποτέ κάτω από τον άξονα y, δηλ. δεν δέχεται αρνητικές τιμές.

Παρόμοιο πρόβλημα παρουσιάζεται για όλες τις ρίζες με ζυγό εκθέτη:

1. Αυστηρά μιλώντας, κάθε θετικός αριθμός θα έχει δύο ρίζες με ζυγό εκθέτη $n$.
2. Από αρνητικούς αριθμούς, η ρίζα με ακόμη και $n$ δεν εξάγεται καθόλου.

Γι' αυτό στον ορισμό μιας ρίζας ζυγού βαθμού $n$ ορίζεται συγκεκριμένα ότι η απάντηση πρέπει να είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Έτσι απαλλαγούμε από την ασάφεια.

Αλλά για το μονό $n$ δεν υπάρχει τέτοιο πρόβλημα. Για να το δούμε αυτό, ας δούμε το γράφημα της συνάρτησης $y=((x)^(3))$:

Από αυτό το γράφημα μπορούν να εξαχθούν δύο συμπεράσματα:

1. Οι κλάδοι μιας κυβικής παραβολής, σε αντίθεση με μια κανονική, πηγαίνουν στο άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις - και προς τα πάνω και προς τα κάτω. Επομένως, ανεξάρτητα από το ύψος που σχεδιάζουμε μια οριζόντια γραμμή, αυτή η γραμμή σίγουρα θα τέμνεται με το γράφημά μας. Κατά συνέπεια, η ρίζα του κύβου μπορεί πάντα να εξαχθεί από απολύτως οποιονδήποτε αριθμό.
2. Επιπλέον, μια τέτοια τομή θα είναι πάντα μοναδική, επομένως δεν χρειάζεται να σκεφτείτε ποιος αριθμός θεωρείται η "σωστή" ρίζα και ποιος να αγνοήσετε. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο προσδιορισμός των ριζών για έναν περιττό βαθμό είναι απλούστερος από ό, τι για έναν ζυγό βαθμό (δεν υπάρχει απαίτηση για μη αρνητικότητα).

Είναι κρίμα που αυτά τα απλά πράγματα δεν εξηγούνται στα περισσότερα σχολικά βιβλία. Αντίθετα, ο εγκέφαλός μας αρχίζει να πετάει στα ύψη με κάθε είδους αριθμητικές ρίζες και τις ιδιότητές τους.

Ναι, δεν διαφωνώ: πρέπει επίσης να ξέρετε τι είναι η αριθμητική ρίζα. Και θα μιλήσω για αυτό λεπτομερώς σε ένα ξεχωριστό μάθημα. Σήμερα θα μιλήσουμε επίσης για αυτό, γιατί χωρίς αυτό όλες οι σκέψεις για τις ρίζες της πολλαπλότητας $n$-th θα ήταν ελλιπείς.

Αλλά πρώτα πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τον ορισμό που έδωσα παραπάνω. Διαφορετικά, λόγω της πληθώρας των όρων, θα ξεκινήσει ένα τέτοιο χάλι στο κεφάλι σου που στο τέλος δεν θα καταλάβεις απολύτως τίποτα.

Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να κατανοήσετε τη διαφορά μεταξύ ζυγών και περιττών δεικτών. Επομένως, ας συλλέξουμε για άλλη μια φορά όλα όσα πραγματικά πρέπει να γνωρίζετε για τις ρίζες:

1. Μια ρίζα ενός ζυγού βαθμού υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό και η ίδια είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός. Για αρνητικούς αριθμούς μια τέτοια ρίζα είναι απροσδιόριστη.
2. Αλλά η ρίζα ενός περιττού βαθμού υπάρχει από οποιονδήποτε αριθμό και μπορεί η ίδια να είναι οποιοσδήποτε αριθμός: για θετικούς αριθμούς είναι θετικός, και για αρνητικούς αριθμούς, όπως υποδηλώνει το κεφαλαίο, είναι αρνητικός.

Είναι δύσκολο? Όχι, δεν είναι δύσκολο. Είναι σαφές? Ναι, είναι απολύτως προφανές! Τώρα λοιπόν θα εξασκηθούμε λίγο με τους υπολογισμούς.

Βασικές ιδιότητες και περιορισμοί

Οι ρίζες έχουν πολλές περίεργες ιδιότητες και περιορισμούς - αυτό θα συζητηθεί σε ξεχωριστό μάθημα. Επομένως, τώρα θα εξετάσουμε μόνο το πιο σημαντικό «κόλπο», το οποίο ισχύει μόνο για ρίζες με άρτιο δείκτη. Ας γράψουμε αυτήν την ιδιότητα ως τύπο:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\αριστερά| x\δεξιά|\]

Με άλλα λόγια, αν υψώσουμε έναν αριθμό σε άρτια ισχύ και μετά εξαγάγουμε τη ρίζα της ίδιας δύναμης, δεν θα πάρουμε τον αρχικό αριθμό, αλλά το μέτρο του. Αυτό είναι ένα απλό θεώρημα που μπορεί εύκολα να αποδειχθεί (αρκεί να εξετάσουμε τα μη αρνητικά $x$ ξεχωριστά και μετά τα αρνητικά ξεχωριστά). Οι δάσκαλοι μιλούν συνεχώς για αυτό, δίνεται σε κάθε σχολικό εγχειρίδιο. Αλλά μόλις πρόκειται για την επίλυση παράλογων εξισώσεων (δηλαδή, εξισώσεων που περιέχουν ένα ριζικό πρόσημο), οι μαθητές ξεχνούν ομόφωνα αυτόν τον τύπο.

Για να κατανοήσουμε το ζήτημα λεπτομερώς, ας ξεχάσουμε όλους τους τύπους για ένα λεπτό και ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε δύο αριθμούς κατευθείαν:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Αυτό είναι πολύ απλά παραδείγματα. Οι περισσότεροι άνθρωποι θα λύσουν το πρώτο παράδειγμα, αλλά πολλοί άνθρωποι κολλάνε στο δεύτερο. Για να λύσετε οποιαδήποτε τέτοια χάλια χωρίς προβλήματα, σκεφτείτε πάντα τη διαδικασία:

1. Πρώτον, ο αριθμός αυξάνεται στην τέταρτη δύναμη. Λοιπόν, είναι κάπως εύκολο. Θα λάβετε έναν νέο αριθμό που μπορεί να βρεθεί ακόμη και στον πίνακα πολλαπλασιασμού.
2. Και τώρα από αυτόν τον νέο αριθμό είναι απαραίτητο να εξαχθεί η τέταρτη ρίζα. Εκείνοι. δεν συμβαίνει "μείωση" των ριζών και των δυνάμεων - αυτές είναι διαδοχικές ενέργειες.

Ας δούμε την πρώτη έκφραση: $\sqrt(((3)^(4)))$. Προφανώς, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την έκφραση κάτω από τη ρίζα:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Στη συνέχεια εξάγουμε την τέταρτη ρίζα του αριθμού 81:

Τώρα ας κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη έκφραση. Αρχικά, ανεβάζουμε τον αριθμό −3 στην τέταρτη δύναμη, η οποία απαιτεί πολλαπλασιασμό του με τον εαυτό του 4 φορές:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ αριστερά(-3 \δεξιά)=81\]

Πήραμε έναν θετικό αριθμό, αφού ο συνολικός αριθμός των μείον στο γινόμενο είναι 4, και όλα θα ακυρώσουν το ένα το άλλο (εξάλλου, ένα μείον για ένα μείον δίνει ένα συν). Στη συνέχεια εξάγουμε ξανά τη ρίζα:

Κατ' αρχήν, αυτή η γραμμή δεν θα μπορούσε να είχε γραφτεί, αφού δεν είναι λογικό ότι η απάντηση θα ήταν η ίδια. Εκείνοι. μια άρτια ρίζα της ίδιας άρτιας ισχύος «καίει» τα μειονεκτήματα, και από αυτή την άποψη το αποτέλεσμα δεν διακρίνεται από μια κανονική ενότητα:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \δεξιά|=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Αυτοί οι υπολογισμοί συμφωνούν καλά με τον ορισμό της ρίζας άρτιου βαθμού: το αποτέλεσμα είναι πάντα μη αρνητικό και κάτω από το ριζικό πρόσημο επίσης δεν είναι πάντα ένας αρνητικός αριθμός. Διαφορετικά, η ρίζα είναι απροσδιόριστη.

Σημείωση για τη διαδικασία

1. Ο συμβολισμός $\sqrt(((a)^(2)))$ σημαίνει ότι πρώτα τετραγωνίζουμε τον αριθμό $a$ και μετά παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα της τιμής που προκύπτει. Επομένως, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι υπάρχει πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας, αφού $((a)^(2))\ge 0$ σε κάθε περίπτωση.
2. Αλλά ο συμβολισμός $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, αντίθετα, σημαίνει ότι πρώτα παίρνουμε τη ρίζα ενός συγκεκριμένου αριθμού $a$ και μόνο στη συνέχεια τετραγωνίζουμε το αποτέλεσμα. Επομένως, ο αριθμός $a$ δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι αρνητικός - αυτό είναι υποχρεωτική απαίτηση, περιλαμβάνονται στον ορισμό.

Έτσι, σε καμία περίπτωση δεν πρέπει κανείς να μειώνει αλόγιστα τις ρίζες και τους βαθμούς, «απλοποιώντας» δήθεν την αρχική έκφραση. Γιατί αν η ρίζα έχει αρνητικό αριθμό και ο εκθέτης της είναι άρτιος, έχουμε ένα σωρό προβλήματα.

Ωστόσο, όλα αυτά τα προβλήματα αφορούν μόνο ζυγούς δείκτες.

Αφαιρώντας το σύμβολο μείον κάτω από το σύμβολο της ρίζας

Φυσικά, οι ρίζες με περιττούς εκθέτες έχουν επίσης το δικό τους χαρακτηριστικό, το οποίο καταρχήν δεν υπάρχει με άρτιους. Και συγκεκριμένα:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Εν ολίγοις, μπορείτε να αφαιρέσετε το μείον κάτω από το σημάδι των ριζών περιττών μοιρών. Αυτό είναι πολύ χρήσιμη ιδιότητα, που σας επιτρέπει να «πετάξετε» όλα τα αρνητικά:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(στοίχιση)\]

Αυτή η απλή ιδιότητα απλοποιεί σημαντικά πολλούς υπολογισμούς. Τώρα δεν χρειάζεται να ανησυχείτε: τι θα γινόταν αν μια αρνητική έκφραση ήταν κρυμμένη κάτω από τη ρίζα, αλλά ο βαθμός στη ρίζα αποδείχθηκε ομοιόμορφος; Αρκεί απλώς να «πετάξουμε» όλα τα μειονεκτήματα έξω από τις ρίζες, μετά από τα οποία μπορούν να πολλαπλασιαστούν το ένα με το άλλο, να διαιρεθούν και γενικά να κάνουμε πολλά ύποπτα πράγματα, τα οποία στην περίπτωση των «κλασικών» ριζών είναι σίγουρο ότι θα μας οδηγήσουν σε ένα λάθος.

Και εδώ έρχεται στη σκηνή ένας άλλος ορισμός - ο ίδιος με τον οποίο στα περισσότερα σχολεία αρχίζουν τη μελέτη των παράλογων εκφράσεων. Και χωρίς αυτό το σκεπτικό μας θα ήταν ελλιπές. Συναντώ!

Αριθμητική ρίζα

Ας υποθέσουμε για λίγο ότι κάτω από το σύμβολο της ρίζας μπορούν να υπάρχουν μόνο θετικοί αριθμοί ή, σε ακραίες περιπτώσεις, μηδέν. Ας ξεχάσουμε τους ζυγούς/μονούς δείκτες, ας ξεχάσουμε όλους τους ορισμούς που δίνονται παραπάνω - θα εργαστούμε μόνο με μη αρνητικούς αριθμούς. Τι τότε?

Και τότε θα πάρουμε μια αριθμητική ρίζα - επικαλύπτεται εν μέρει με τους "τυποποιημένους" ορισμούς μας, αλλά εξακολουθεί να διαφέρει από αυτούς.

Ορισμός. Μια αριθμητική ρίζα του $n$th βαθμού ενός μη αρνητικού αριθμού $a$ είναι ένας μη αρνητικός αριθμός $b$ τέτοιος ώστε $((b)^(n))=a$.

Όπως βλέπουμε, δεν μας ενδιαφέρει πλέον η ισοτιμία. Αντίθετα, εμφανίστηκε ένας νέος περιορισμός: η ριζική έκφραση είναι πλέον πάντα μη αρνητική και η ίδια η ρίζα είναι επίσης μη αρνητική.

Για να κατανοήσετε καλύτερα πώς διαφέρει η αριθμητική ρίζα από τη συνηθισμένη, ρίξτε μια ματιά στα γραφήματα του τετραγώνου και της κυβικής παραβολής που γνωρίζουμε ήδη:

Όπως μπορείτε να δείτε, από εδώ και πέρα ​​μας ενδιαφέρουν μόνο εκείνα τα κομμάτια γραφημάτων που βρίσκονται στο πρώτο τρίμηνο συντεταγμένων - όπου οι συντεταγμένες $x$ και $y$ είναι θετικές (ή τουλάχιστον μηδέν). Δεν χρειάζεται πλέον να κοιτάτε τον δείκτη για να καταλάβετε αν έχουμε το δικαίωμα να βάλουμε αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα ή όχι. Επειδή οι αρνητικοί αριθμοί δεν λαμβάνονται πλέον υπόψη κατ' αρχήν.

Μπορεί να ρωτήσετε: "Λοιπόν, γιατί χρειαζόμαστε έναν τόσο στειρωμένο ορισμό;" Ή: "Γιατί δεν μπορούμε να τα βγάλουμε πέρα ​​με τον τυπικό ορισμό που δίνεται παραπάνω;"

Λοιπόν, θα δώσω μόνο μία ιδιότητα εξαιτίας της οποίας ο νέος ορισμός γίνεται κατάλληλος. Για παράδειγμα, ο κανόνας της εκθέσεως:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Παρακαλώ σημειώστε: μπορούμε να αυξήσουμε τη ριζική έκφραση σε οποιαδήποτε ισχύ και ταυτόχρονα να πολλαπλασιάσουμε τον εκθέτη ρίζας με την ίδια ισχύ - και το αποτέλεσμα θα είναι ο ίδιος αριθμός! Ακολουθούν παραδείγματα:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(στοίχιση)\]

Ποια είναι λοιπόν η μεγάλη υπόθεση; Γιατί δεν μπορούσαμε να το κάνουμε αυτό νωρίτερα; Να γιατί. Ας εξετάσουμε μια απλή έκφραση: $\sqrt(-2)$ - αυτός ο αριθμός είναι αρκετά φυσιολογικός στην κλασική μας κατανόηση, αλλά απολύτως απαράδεκτος από την άποψη της αριθμητικής ρίζας. Ας προσπαθήσουμε να το μετατρέψουμε:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Όπως μπορείτε να δείτε, στην πρώτη περίπτωση αφαιρέσαμε το μείον από κάτω από τη ρίζα (έχουμε κάθε δικαίωμα, αφού ο εκθέτης είναι περιττός), και στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιήσαμε τον παραπάνω τύπο. Εκείνοι. Από μαθηματική άποψη όλα γίνονται σύμφωνα με τους κανόνες.

WTF;! Πώς μπορεί ο ίδιος αριθμός να είναι θετικός και αρνητικός; Με τιποτα. Απλώς η φόρμουλα για την εκτίμηση, η οποία λειτουργεί εξαιρετικά για θετικούς αριθμούς και μηδέν, αρχίζει να παράγει πλήρη αίρεση στην περίπτωση των αρνητικών αριθμών.

Ήταν για να απαλλαγούμε από μια τέτοια ασάφεια που εφευρέθηκαν οι αριθμητικές ρίζες. Ένα ξεχωριστό μεγάλο μάθημα είναι αφιερωμένο σε αυτούς, όπου εξετάζουμε όλες τις ιδιότητές τους λεπτομερώς. Επομένως, δεν θα σταθούμε σε αυτά τώρα - το μάθημα έχει ήδη αποδειχθεί πολύ μεγάλο.

Αλγεβρική ρίζα: για όσους θέλουν να μάθουν περισσότερα

Σκέφτηκα πολύ αν θα βάλω αυτό το θέμα σε ξεχωριστή παράγραφο ή όχι. Στο τέλος αποφάσισα να το αφήσω εδώ. Αυτό το υλικό προορίζεται για όσους θέλουν να κατανοήσουν ακόμα καλύτερα τις ρίζες - όχι πλέον στο μέσο επίπεδο «σχολείου», αλλά σε επίπεδο κοντά στο επίπεδο της Ολυμπιάδας.

Έτσι: εκτός από τον «κλασικό» ορισμό της $n$th ρίζας ενός αριθμού και τη σχετική διαίρεση σε άρτιους και περιττούς εκθέτες, υπάρχει ένας πιο «ενήλικος» ορισμός που δεν εξαρτάται καθόλου από την ισοτιμία και άλλες λεπτές αποχρώσεις. Αυτό ονομάζεται αλγεβρική ρίζα.

Ορισμός. Η αλγεβρική $n$th ρίζα οποιουδήποτε $a$ είναι το σύνολο όλων των αριθμών $b$ έτσι ώστε $((b)^(n))=a$. Δεν υπάρχει καθιερωμένος προσδιορισμός για τέτοιες ρίζες, επομένως θα βάλουμε απλώς μια παύλα στην κορυφή:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \δεξιά. \δεξιά\) \]

Η θεμελιώδης διαφορά από τον τυπικό ορισμό που δόθηκε στην αρχή του μαθήματος είναι ότι μια αλγεβρική ρίζα δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός, αλλά ένα σύνολο. Και δεδομένου ότι εργαζόμαστε με πραγματικούς αριθμούς, αυτό το σύνολο διατίθεται μόνο σε τρεις τύπους:

1. Αδειο σετ. Εμφανίζεται όταν χρειάζεται να βρείτε μια αλγεβρική ρίζα ζυγού βαθμού από έναν αρνητικό αριθμό.
2. Ένα σύνολο που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο. Όλες οι ρίζες των περιττών δυνάμεων, καθώς και οι ρίζες των άρτιων δυνάμεων μηδέν, εμπίπτουν σε αυτήν την κατηγορία.
3. Τέλος, το σετ μπορεί να περιλαμβάνει δύο αριθμούς - τους ίδιους $((x)_(1))$ και $((x)_(2))=-((x)_(1))$ που είδαμε στο γραφική τετραγωνική συνάρτηση. Κατά συνέπεια, μια τέτοια διάταξη είναι δυνατή μόνο κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός ζυγού βαθμού από έναν θετικό αριθμό.

Η τελευταία περίπτωση αξίζει λεπτομερέστερης εξέτασης. Ας μετρήσουμε μερικά παραδείγματα για να καταλάβουμε τη διαφορά.

Παράδειγμα. Αξιολογήστε τις εκφράσεις:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Λύση. Η πρώτη έκφραση είναι απλή:

\[\overline(\sqrt(4))=\αριστερά\( 2;-2 \δεξιά\)\]

Είναι δύο αριθμοί που αποτελούν μέρος του συνόλου. Επειδή κάθε ένα από αυτά στο τετράγωνο δίνει ένα τέσσερα.

\[\overline(\sqrt(-27))=\αριστερά\( -3 \δεξιά\)\]

Εδώ βλέπουμε ένα σύνολο που αποτελείται από έναν μόνο αριθμό. Αυτό είναι αρκετά λογικό, αφού ο ριζικός εκθέτης είναι περίεργος.

Τέλος, η τελευταία έκφραση:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Λάβαμε ένα κενό σύνολο. Διότι δεν υπάρχει ούτε ένας πραγματικός αριθμός που, όταν αυξηθεί στην τέταρτη (δηλαδή, ζυγή!) δύναμη, θα μας δώσει τον αρνητικό αριθμό −16.

Τελική σημείωση. Παρακαλώ σημειώστε: δεν ήταν τυχαίο που παρατήρησα παντού ότι δουλεύουμε με πραγματικούς αριθμούς. Επειδή υπάρχουν και μιγαδικοί αριθμοί - είναι πολύ πιθανό να υπολογιστούν εκεί $\sqrt(-16)$ και πολλά άλλα περίεργα πράγματα.

Ωστόσο, στη σύγχρονη σχολικό μάθημαΣτα μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί δεν συναντώνται σχεδόν ποτέ. Έχουν αφαιρεθεί από τα περισσότερα σχολικά βιβλία επειδή οι αξιωματούχοι μας θεωρούν το θέμα "πολύ δύσκολο να κατανοηθεί".

Αυτό το άρθρο είναι μια συλλογή λεπτομερών πληροφοριών που σχετίζονται με το θέμα των ιδιοτήτων των ριζών. Λαμβάνοντας υπόψη το θέμα, θα ξεκινήσουμε με τις ιδιότητες, θα μελετήσουμε όλα τα σκευάσματα και θα παρέχουμε στοιχεία. Για να εμπεδώσουμε το θέμα, θα εξετάσουμε ιδιότητες του nου βαθμού.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ιδιότητες των ριζών

Θα μιλήσουμε για ακίνητα.

1. Ιδιοκτησία πολλαπλασιασμένοι αριθμοί έναΚαι σι, η οποία παριστάνεται ως η ισότητα a · b = a · b. Μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή παραγόντων, θετικών ή ίσων με μηδέν a 1 , a 2 , … , a kως 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. από το πηλίκο a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, μπορεί επίσης να γραφτεί με αυτή τη μορφή a b = a b;
3. Ιδιότητα από τη δύναμη ενός αριθμού έναμε άρτιο εκθέτη a 2 m = a m για οποιονδήποτε αριθμό ένα, για παράδειγμα, η ιδιότητα από το τετράγωνο ενός αριθμού a 2 = a.

Σε οποιαδήποτε από τις παρουσιαζόμενες εξισώσεις, μπορείτε να ανταλλάξετε τα μέρη πριν και μετά το σύμβολο της παύλας, για παράδειγμα, η ισότητα a · b = a · b μετατρέπεται σε a · b = a · b. Οι ιδιότητες ισότητας χρησιμοποιούνται συχνά για την απλοποίηση μιγαδικών εξισώσεων.

Η απόδειξη των πρώτων ιδιοτήτων βασίζεται στον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας και των ιδιοτήτων των δυνάμεων με φυσικό εκθέτη. Για να δικαιολογήσουμε την τρίτη ιδιότητα, είναι απαραίτητο να αναφερθούμε στον ορισμό του συντελεστή συντελεστή ενός αριθμού.

Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να αποδείξουμε τις ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας a · b = a · b. Σύμφωνα με τον ορισμό, είναι απαραίτητο να θεωρηθεί ότι το a b είναι ένας αριθμός, θετικός ή ίσος με μηδέν, ο οποίος θα είναι ίσος με α βκατά την κατασκευή σε ένα τετράγωνο. Η τιμή της παράστασης a · b είναι θετική ή ίση με μηδέν ως γινόμενο μη αρνητικών αριθμών. Η ιδιότητα των δυνάμεων των πολλαπλασιασμένων αριθμών μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε την ισότητα με τη μορφή (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Εξ ορισμού της τετραγωνικής ρίζας, a 2 = a και b 2 = b, μετά a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Με παρόμοιο τρόπο μπορεί κανείς να το αποδείξει αυτό από το προϊόν κπολλαπλασιαστές a 1 , a 2 , … , a kθα είναι ίσο με το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών αυτών των παραγόντων. Πράγματι, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Από αυτή την ισότητα προκύπτει ότι a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για να ενισχύσουμε το θέμα.

Παράδειγμα 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 και 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί η ιδιότητα της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας του πηλίκου: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Η ιδιότητα μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα a: b 2 = a 2: b 2, και a 2: b 2 = a: b, ενώ το a: b είναι θετικός αριθμός ή ίσος με μηδέν. Αυτή η έκφραση θα γίνει η απόδειξη.

Για παράδειγμα, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 και 30,121 = 30,121.

Ας εξετάσουμε την ιδιότητα της τετραγωνικής ρίζας του τετραγώνου ενός αριθμού. Μπορεί να γραφτεί ως ισότητα ως 2 = α Για να αποδειχθεί αυτό το ακίνητο, είναι απαραίτητο να εξεταστούν λεπτομερώς αρκετές ισότητες για a ≥ 0και στο ένα< 0 .

Προφανώς, για a ≥ 0 ισχύει η ισότητα a 2 = a. Στο ένα< 0 η ισότητα a 2 = - a θα είναι αληθής. Στην προκειμένη μάλιστα περίπτωση − a > 0και (− a) 2 = a 2 . Μπορούμε να συμπεράνουμε, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 2

5 2 = 5 = 5 και - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36.

Η αποδεδειγμένη ιδιότητα θα σας βοηθήσει να δικαιολογήσετε ένα 2 m = a m, όπου ένα– πραγματικό, και Μ –φυσικός αριθμός. Πράγματι, η ιδιότητα της αύξησης μιας δύναμης μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε την εξουσία ένα 2 μέκφραση (α μ) 2, τότε a 2 m = (a m) 2 = a m.

Παράδειγμα 3

3 8 = 3 4 = 3 4 και (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Ιδιότητες της νης ρίζας

Αρχικά, πρέπει να εξετάσουμε τις βασικές ιδιότητες των ντων ριζών:

1. Ιδιότητα από το γινόμενο των αριθμών έναΚαι σι, που είναι θετικά ή ίσα με μηδέν, μπορεί να εκφραστεί ως η ισότητα a · b n = a n · b n , αυτή η ιδιότητα ισχύει για το γινόμενο καριθμοί a 1 , a 2 , … , a kως 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. από κλασματικό αριθμό έχει την ιδιότητα a b n = a n b n , όπου έναείναι κάθε πραγματικός αριθμός που είναι θετικός ή ίσος με μηδέν, και σι– θετικός πραγματικός αριθμός.
3. Για κάθε έναακόμη και δείκτες n = 2 m a 2 · m 2 · m = a είναι αληθές, και για περιττό n = 2 m − 1ισχύει η ισότητα a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Ιδιότητα εξαγωγής από a m n = a n m , όπου ένα– οποιοσδήποτε αριθμός, θετικός ή ίσος με μηδέν, nΚαι Μείναι φυσικοί αριθμοί, αυτή η ιδιότητα μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί στη μορφή. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Για κάθε μη αρνητικό α και αυθαίρετο nΚαι Μ, που είναι φυσικά, μπορούμε επίσης να ορίσουμε τη δίκαιη ισότητα a m n · m = a n ;
6. Ιδιότητα πτυχίου nαπό τη δύναμη ενός αριθμού ένα, που είναι θετικό ή ίσο με μηδέν, σε φυσικός βαθμός Μ, που ορίζεται από την ισότητα a m n = a n m ;
7. Σύγκριση ιδιοτήτων που έχουν τους ίδιους εκθέτες: για τυχόν θετικούς αριθμούς έναΚαι σιτέτοια που ένα< b , η ανισότητα a n< b n ;
8. Σύγκριση ιδιοτήτων που έχουν τους ίδιους αριθμούςκάτω από τη ρίζα: αν ΜΚαι n -φυσικοί αριθμοί που m > n, μετά στο 0 < a < 1 η ανισότητα a m > a n είναι αληθής, και όταν α > 1εκτέλεσε ένα μ< a n .

Οι ισότητες που δίνονται παραπάνω ισχύουν εάν ανταλλάσσονται τα μέρη πριν και μετά το πρόσημο ίσου. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν σε αυτή τη μορφή. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά κατά την απλοποίηση ή τη μετατροπή εκφράσεων.

Η απόδειξη των παραπάνω ιδιοτήτων μιας ρίζας βασίζεται στον ορισμό, τις ιδιότητες του βαθμού και τον ορισμό του συντελεστή μέτρησης ενός αριθμού. Αυτές οι ιδιότητες πρέπει να αποδειχθούν. Όλα όμως είναι εντάξει.

1. Αρχικά, ας αποδείξουμε τις ιδιότητες της νης ρίζας του γινομένου a · b n = a n · b n . Για έναΚαι β , το οποίοείναι θετικό ή ίσο με μηδέν , η τιμή a n · b n είναι επίσης θετική ή ίση με μηδέν, αφού είναι συνέπεια του πολλαπλασιασμού των μη αρνητικών αριθμών. Η ιδιότητα ενός προϊόντος στη φυσική δύναμη μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα a n · b n n = a n n · b n n . Εξ ορισμού ρίζας n-ος βαθμός a n n = a και b n n = b , επομένως, a n · b n n = a · b . Η ισότητα που προκύπτει είναι ακριβώς αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να αποδειχθεί παρόμοια για το προϊόν κπολλαπλασιαστές: για μη αρνητικούς αριθμούς a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Ακολουθούν παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας root n-η δύναμη από το γινόμενο: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 και 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Ας αποδείξουμε την ιδιότητα της ρίζας του πηλίκου a b n = a n b n . Στο a ≥ 0Και β > 0η συνθήκη a n b n ≥ 0 ικανοποιείται και a n b n n = a n n b n n = a b .

Ας δείξουμε παραδείγματα:

Παράδειγμα 4

8 27 3 = 8 3 27 3 και 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Για το επόμενο βήμα είναι απαραίτητο να αποδειχθούν οι ιδιότητες του nου βαθμού από τον αριθμό στον βαθμό n. Ας το φανταστούμε ως την ισότητα a 2 m 2 m = a και a 2 m - 1 2 m - 1 = a για οποιοδήποτε πραγματικό ένακαι φυσικό Μ. Στο a ≥ 0παίρνουμε a = a και a 2 m = a 2 m, που αποδεικνύει την ισότητα a 2 m 2 m = a, και η ισότητα a 2 m - 1 2 m - 1 = a είναι προφανής. Στο ένα< 0 παίρνουμε, αντίστοιχα, a = - a και a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Ο τελευταίος μετασχηματισμός ενός αριθμού ισχύει σύμφωνα με την ιδιότητα ισχύος. Αυτό ακριβώς αποδεικνύει ότι η ισότητα a 2 m 2 m = a, και a 2 m - 1 2 m - 1 = a θα ισχύει, αφού ο περιττός βαθμός θεωρείται - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 για οποιοδήποτε αριθμό γ ,θετικό ή ίσο με μηδέν.

Για να ενοποιήσουμε τις πληροφορίες που λάβαμε, ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα χρησιμοποιώντας την ιδιότητα:

Παράδειγμα 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 και (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Ας αποδείξουμε την ακόλουθη ισότητα a m n = a n m . Για να γίνει αυτό, πρέπει να ανταλλάξετε τους αριθμούς πριν και μετά το σύμβολο ίσου a n · m = a m n . Αυτό σημαίνει ότι η καταχώριση είναι σωστή. Για ένα,που είναι θετικό ή ίσο με μηδέν , της μορφής a m n είναι αριθμός θετικός ή ίσος με μηδέν. Ας στραφούμε στην ιδιότητα της ανύψωσης μιας δύναμης σε μια δύναμη και στον ορισμό της. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να μετατρέψετε ισότητες με τη μορφή a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα της ρίζας της υπό εξέταση ρίζας.

Άλλες ιδιότητες αποδεικνύονται παρόμοια. Πραγματικά, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Για παράδειγμα, 7 3 5 = 7 5 3 και 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Ας αποδείξουμε την ακόλουθη ιδιότητα a m n · m = a n . Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι το a n είναι ένας αριθμός, θετικός ή ίσος με μηδέν. Όταν αυξάνεται στην ισχύ το n m είναι ίσο με είμαι. Αν ο αριθμός έναείναι θετικό ή ίσο με μηδέν, λοιπόν n-ο βαθμός από μεταξύ έναείναι θετικός αριθμός ή ίσος με μηδέν.Σε αυτή την περίπτωση, a n · m n = a n n m , που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Για να εμπεδώσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε, ας δούμε μερικά παραδείγματα.

1. Ας αποδείξουμε την ακόλουθη ιδιότητα – την ιδιότητα μιας ρίζας μιας δύναμης της μορφής a m n = a n m . Είναι προφανές ότι όταν a ≥ 0ο βαθμός a n m είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Επιπλέον, αυτή nη δύναμη είναι ίση με είμαι, πράγματι, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα του υπό εξέταση πτυχίου.

Για παράδειγμα, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι για τυχόν θετικούς αριθμούς ένακαι β η προϋπόθεση ικανοποιείται ένα< b . Θεωρήστε την ανισότητα a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ένα< b . Επομένως, ένα ν< b n при ένα< b .

Για παράδειγμα, ας δώσουμε 12 4< 15 2 3 4 .

1. Εξετάστε την ιδιότητα της ρίζας n-ο βαθμός. Είναι απαραίτητο να εξετάσουμε πρώτα το πρώτο μέρος της ανισότητας. Στο m > nΚαι 0 < a < 1 αληθής a m > a n . Ας υποθέσουμε ότι a m ≤ a n. Οι ιδιότητες θα σας επιτρέψουν να απλοποιήσετε την έκφραση σε ένα n m · n ≤ a m m · n . Τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη, ισχύει η ανισότητα a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, δηλαδή, a n ≤ a m. Η λαμβανόμενη τιμή στο m > nΚαι 0 < a < 1 δεν αντιστοιχεί στις ιδιότητες που δίνονται παραπάνω.

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι όταν m > nΚαι α > 1η συνθήκη a m είναι αληθής< a n .

Για να ενοποιήσετε τις παραπάνω ιδιότητες, εξετάστε αρκετές συγκεκριμένα παραδείγματα. Ας δούμε τις ανισώσεις χρησιμοποιώντας συγκεκριμένους αριθμούς.

Παράδειγμα 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Τύποι πτυχίωνχρησιμοποιείται στη διαδικασία μείωσης και απλοποίησης σύνθετων εκφράσεων, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.

Αριθμός ντοείναι n-η δύναμη ενός αριθμού έναΟταν:

Επιχειρήσεις με πτυχία.

1. Πολλαπλασιάζοντας τις μοίρες με την ίδια βάση, προστίθενται οι δείκτες τους:

είμαι·a n = a m + n .

2. Κατά τη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται:

3. Ο βαθμός του γινομένου 2 ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ο βαθμός ενός κλάσματος είναι ίσος με τον λόγο των μοιρών του μερίσματος και του διαιρέτη:

(a/b) n = a n /b n .

5. Ανεβάζοντας μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:

(a m) n = a m n .

Κάθε τύπος παραπάνω ισχύει στις κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.

Για παράδειγμα. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Επεμβάσεις με ρίζες.

1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:

2. Η ρίζα ενός λόγου είναι ίση με τον λόγο του μερίσματος και του διαιρέτη των ριζών:

3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον ριζικό αριθμό σε αυτήν την ισχύ:

4. Αν αυξήσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nμια φορά και ταυτόχρονα ενσωματώνονται nΗ ισχύς είναι ένας ριζικός αριθμός, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

5. Αν μειώσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nεξάγετε τη ρίζα ταυτόχρονα n-η δύναμη ενός ριζικού αριθμού, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

Ένας βαθμός με αρνητικό εκθέτη.Η ισχύς ενός ορισμένου αριθμού με έναν μη θετικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τη δύναμη του ίδιου αριθμού με έναν εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του μη θετικού εκθέτη:

Τύπος είμαι:a n =a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ> n, αλλά και με Μ< n.

Για παράδειγμα. ένα4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Στη φόρμουλα είμαι:a n =a m - nέγινε δίκαιο όταν m=n, απαιτείται η παρουσία μηδενικού βαθμού.

Πτυχίο με μηδενικό δείκτη.Η ισχύς οποιουδήποτε αριθμού που δεν ισούται με μηδέν με μηδενικό εκθέτη είναι ίση με ένα.

Για παράδειγμα. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Βαθμός με κλασματικό εκθέτη.Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό ΕΝΑστον βαθμό m/n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα nο βαθμός του Μ-η δύναμη αυτού του αριθμού ΕΝΑ.

Δίνονται οι βασικές ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος, συμπεριλαμβανομένων των τύπων και των ιδιοτήτων των ριζών. Παράγωγο, ολοκλήρωμα, επέκταση σε σειρά ισχύοςκαι αναπαράσταση μέσω μιγαδικών αριθμών μιας συνάρτησης ισχύος.

Ορισμός

Ορισμός
Λειτουργία ισχύοςμε εκθέτη pείναι η συνάρτηση f (x) = x p, η τιμή της οποίας στο σημείο x είναι ίση με την τιμή της εκθετικής συνάρτησης με βάση x στο σημείο p.
Επιπλέον, στ (0) = 0 p = 0για p > 0 .

Για φυσικές τιμές του εκθέτη, η συνάρτηση ισχύος είναι το γινόμενο n αριθμών ίσων με x:
.
Ορίζεται για όλα έγκυρα .

Για θετικές ορθολογικές τιμές του εκθέτη, η συνάρτηση ισχύος είναι το γινόμενο n ριζών βαθμού m του αριθμού x:
.
Για περιττό m, ορίζεται για όλα τα πραγματικά x. Για ακόμη και m, η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για μη αρνητικές.

Για το αρνητικό, η συνάρτηση ισχύος καθορίζεται από τον τύπο:
.
Επομένως, δεν ορίζεται στο σημείο.

Για παράλογες τιμές του εκθέτη p, η συνάρτηση ισχύος καθορίζεται από τον τύπο:
,
όπου α είναι ένας αυθαίρετος θετικός αριθμός όχι ίσος με ένα: .
Όταν , ορίζεται για .
Όταν , η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για .

Συνέχεια. Μια συνάρτηση ισχύος είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

Ιδιότητες και τύποι συναρτήσεων ισχύος για x ≥ 0

Εδώ θα εξετάσουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος για το μη αρνητικές τιμέςόρισμα x. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για ορισμένες τιμές του εκθέτη p, η συνάρτηση ισχύος ορίζεται επίσης για αρνητικές τιμές του x. Σε αυτή την περίπτωση, οι ιδιότητές του μπορούν να ληφθούν από τις ιδιότητες του , χρησιμοποιώντας άρτιο ή περιττό. Αυτές οι περιπτώσεις συζητούνται και παρουσιάζονται αναλυτικά στη σελίδα "".

Μια συνάρτηση ισχύος, y = x p, με εκθέτη p έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
(1.1) καθορισμένο και συνεχές στο σετ
στο ,
στο ;
(1.2) έχει πολλές έννοιες
στο ,
στο ;
(1.3) αυξάνεται αυστηρά με,
μειώνεται αυστηρά ως ?
(1.4) στο ;
στο ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Η απόδειξη ιδιοτήτων δίνεται στη σελίδα «Λειτουργία ισχύος (απόδειξη συνέχειας και ιδιότητες)»

Ρίζες - ορισμός, τύποι, ιδιότητες

Ορισμός
Ρίζα αριθμού x βαθμού nείναι ο αριθμός που όταν αυξηθεί στην ισχύ n δίνει x:
.
Εδώ n = 2, 3, 4, ... - φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ενός.

Μπορείτε επίσης να πείτε ότι η ρίζα ενός αριθμού x βαθμού n είναι η ρίζα (δηλαδή λύση) της εξίσωσης
.
Σημειώστε ότι η συνάρτηση είναι το αντίστροφο της συνάρτησης.

Τετραγωνική ρίζα του xείναι ρίζα του βαθμού 2: .

κυβική ρίζααπό τον αριθμό xείναι ρίζα του βαθμού 3: .

Ακόμη και πτυχίο

Για ζυγές δυνάμεις n = 2 μ, η ρίζα ορίζεται για x ≥ 0 . Ένας τύπος που χρησιμοποιείται συχνά ισχύει τόσο για θετικό όσο και για αρνητικό x:
.
Για τετραγωνική ρίζα:
.

Η σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις είναι σημαντική εδώ - δηλαδή, πρώτα εκτελείται το τετράγωνο, καταλήγοντας σε έναν μη αρνητικό αριθμό και, στη συνέχεια, λαμβάνεται η ρίζα από αυτόν (η τετραγωνική ρίζα μπορεί να ληφθεί από έναν μη αρνητικό αριθμό ). Αν αλλάζαμε τη σειρά: , τότε για το αρνητικό x η ρίζα θα ήταν απροσδιόριστη και μαζί της ολόκληρη η έκφραση θα ήταν απροσδιόριστη.

Περίεργος βαθμός

Για περιττές δυνάμεις, η ρίζα ορίζεται για όλα τα x:
;
.

Ιδιότητες και τύποι ριζών

Η ρίζα του x είναι συνάρτηση ισχύος:
.
Όταν x ≥ 0 ισχύουν οι παρακάτω τύποι:
;
;
, ;
.

Αυτοί οι τύποι μπορούν επίσης να εφαρμοστούν για αρνητικές τιμές μεταβλητών. Απλά πρέπει να βεβαιωθείτε ότι η ριζοσπαστική έκφραση ακόμη και δυνάμεων δεν είναι αρνητική.

Ιδιωτικές αξίες

Η ρίζα του 0 είναι 0: .
Η ρίζα 1 είναι ίση με 1: .
Η τετραγωνική ρίζα του 0 είναι 0: .
Η τετραγωνική ρίζα του 1 είναι 1: .

Παράδειγμα. Ρίζα ριζών

Ας δούμε ένα παράδειγμα τετραγωνικής ρίζας ριζών:
.
Ας μετατρέψουμε την εσωτερική τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους:
.
Τώρα ας μετατρέψουμε την αρχική ρίζα:
.
Ετσι,
.

y = x p για διαφορετικές τιμές του εκθέτη p.

Ακολουθούν γραφήματα της συνάρτησης για μη αρνητικές τιμές του ορίσματος x. Τα γραφήματα μιας συνάρτησης ισχύος που ορίζονται για αρνητικές τιμές του x δίνονται στη σελίδα "Συνάρτηση ισχύος, οι ιδιότητες και τα γραφήματα της"

Αντίστροφη συνάρτηση

Το αντίστροφο μιας συνάρτησης ισχύος με εκθέτη p είναι μια συνάρτηση ισχύος με εκθέτη 1/p.

Αν τότε.

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος

Παράγωγο νης τάξης:
;

Εξαγωγή τύπων > > >

Αναπόσπαστο συνάρτησης ισχύος

P ≠ - 1 ;
.

Επέκταση σειράς ισχύος

στο - 1 < x < 1 γίνεται η ακόλουθη αποσύνθεση:

Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών

Εξετάστε τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής z:
φά (z) = z t.
Ας εκφράσουμε τη μιγαδική μεταβλητή z ως προς το μέτρο r και το όρισμα φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Αντιπροσωπεύουμε τον μιγαδικό αριθμό t με τη μορφή πραγματικών και φανταστικών μερών:
t = p + i q .
Εχουμε:

Στη συνέχεια, λαμβάνουμε υπόψη ότι το όρισμα φ δεν ορίζεται μοναδικά:
,

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που q = 0 , δηλαδή ο εκθέτης είναι πραγματικός αριθμός, t = p. Επειτα
.

Αν το p είναι ακέραιος, τότε το kp είναι ακέραιος. Στη συνέχεια, λόγω της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
.
Δηλαδή, η εκθετική συνάρτηση με ακέραιο εκθέτη, για δεδομένο z, έχει μόνο μία τιμή και επομένως είναι μονοσήμαντη.

Αν το p είναι παράλογο, τότε τα γινόμενα kp για οποιοδήποτε k δεν παράγουν ακέραιο αριθμό. Αφού το k διατρέχει μια άπειρη σειρά τιμών k = 0, 1, 2, 3, ..., τότε η συνάρτηση z p έχει άπειρες τιμές. Κάθε φορά που το όρισμα z αυξάνεται 2π(μία στροφή), μεταβαίνουμε σε νέο κλάδο της συνάρτησης.

Εάν το p είναι ορθολογικό, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
, Οπου m, n- ακέραιοι που δεν περιέχουν κοινούς διαιρέτες. Επειτα
.
Πρώτα n τιμές, με k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, δίνω n διαφορετικές έννοιες kp:
.
Ωστόσο, οι επόμενες τιμές δίνουν τιμές που διαφέρουν από τις προηγούμενες κατά έναν ακέραιο. Για παράδειγμα, όταν k = k 0+nέχουμε:
.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις, των οποίων τα ορίσματα διαφέρουν κατά τιμές που είναι πολλαπλάσιες του 2π, έχουν ίσες τιμές. Επομένως, με περαιτέρω αύξηση στο k, λαμβάνουμε τις ίδιες τιμές του z p όπως για το k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Έτσι, μια εκθετική συνάρτηση με ορθολογικό εκθέτη είναι πολλαπλών τιμών και έχει n τιμές (κλαδιά). Κάθε φορά που το όρισμα z αυξάνεται 2π(μία στροφή), μεταβαίνουμε σε νέο κλάδο της συνάρτησης. Μετά από n τέτοιες περιστροφές επιστρέφουμε στον πρώτο κλάδο από τον οποίο ξεκίνησε η αντίστροφη μέτρηση.

Συγκεκριμένα, μια ρίζα του βαθμού n έχει n τιμές. Για παράδειγμα, θεωρήστε την nη ρίζα ενός πραγματικού θετικού αριθμού z = x. Στην περίπτωση αυτή φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Άρα, για τετραγωνική ρίζα, n = 2 ,
.
Ακόμη και για κ. (- 1 ) k = 1. Για περιττό k, (- 1 ) k = - 1.
Δηλαδή, η τετραγωνική ρίζα έχει δύο έννοιες: + και -.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.