Συνάρτηση 3 ρίζες του x. Συνάρτηση ισχύος και ρίζες - ορισμός, ιδιότητες και τύποι

Αντί για εισαγωγή

Η χρήση σύγχρονων τεχνολογιών (CTE) και διδακτικών βοηθημάτων (πίνακας πολυμέσων) στα μαθήματα βοηθά τον δάσκαλο να σχεδιάζει και να διεξάγει αποτελεσματικά μαθήματα, να δημιουργεί συνθήκες ώστε οι μαθητές να κατανοούν συνειδητά, να απομνημονεύουν και να εξασκούν δεξιότητες.

Το μάθημα αποδεικνύεται δυναμικό και ενδιαφέρον εάν κατά τη διάρκεια προπόνησησυνδυάζουν διαφορετικές μορφές εκπαίδευσης.

Στη σύγχρονη διδακτική, υπάρχουν τέσσερις γενικές οργανωτικές μορφές εκπαίδευσης:

• μεμονωμένη διαμεσολάβηση·
• χαμάμ;
• ομάδα;

συλλογικό (σε ζεύγη βάρδιας). (Dyachenko V.K. Σύγχρονη διδακτική. - M.: Δημόσια εκπαίδευση, 2005).

Σε ένα παραδοσιακό μάθημα, κατά κανόνα, χρησιμοποιούνται μόνο οι τρεις πρώτες οργανωτικές μορφές διδασκαλίας που αναφέρονται παραπάνω. Η συλλογική μορφή διδασκαλίας (εργασία σε ζευγάρια σε βάρδιες) πρακτικά δεν χρησιμοποιείται από τον δάσκαλο. Ωστόσο, αυτή η οργανωτική μορφή εκπαίδευσης δίνει τη δυνατότητα στην ομάδα να εκπαιδεύει όλους και όλοι να συμμετέχουν ενεργά στην εκπαίδευση των άλλων. Η συλλογική μορφή εκπαίδευσης πρωτοστατεί στην τεχνολογία ΕΚΕ.

Μία από τις πιο κοινές μεθόδους τεχνολογίας συλλογικής μάθησης είναι η τεχνική «Αμοιβαία Εκπαίδευση».

Αυτή η «μαγική» τεχνική είναι καλή σε κάθε μάθημα και σε κάθε μάθημα. Σκοπός είναι η εκπαίδευση.

Η εκπαίδευση είναι ο διάδοχος του αυτοελέγχου· βοηθά τον μαθητή να αποκτήσει επαφή με το αντικείμενο σπουδών, διευκολύνοντας την εύρεση των σωστών βημάτων και ενεργειών. Μέσω της εκπαίδευσης στην απόκτηση, την εδραίωση, την ανασυγκρότηση, την αναθεώρηση και την εφαρμογή της γνώσης, αναπτύσσονται οι γνωστικές ικανότητες ενός ατόμου. (Yanovitskaya E.V. Πώς να διδάξετε και να μάθετε σε μάθημα σαν αυτόνα θέλεις να μάθεις. Άλμπουμ-βιβλίο αναφοράς. – Αγία Πετρούπολη: Εκπαιδευτικά έργα, Μ.: Εκδότης Α.Μ. Kushnir, 2009.-P.14;131)

Θα σας βοηθήσει να επαναλάβετε γρήγορα έναν κανόνα, να θυμάστε τις απαντήσεις στις ερωτήσεις που έχετε μελετήσει και να εμπεδώσετε την απαραίτητη δεξιότητα. Ο βέλτιστος χρόνος εργασίας με τη μέθοδο είναι 5-10 λεπτά. Κατά κανόνα, η εργασία σε κάρτες εκπαίδευσης πραγματοποιείται κατά τον προφορικό υπολογισμό, δηλαδή στην αρχή του μαθήματος, αλλά κατά την κρίση του δασκάλου μπορεί να πραγματοποιηθεί σε οποιοδήποτε στάδιο του μαθήματος, ανάλογα με τους στόχους και τη δομή του . Μια κάρτα εκπαίδευσης μπορεί να περιέχει από 5 έως 10 απλά παραδείγματα (ερωτήσεις, εργασίες). Κάθε μαθητής της τάξης λαμβάνει μια κάρτα. Οι κάρτες είναι διαφορετικές για τον καθένα ή διαφορετικές για όλους στη «μικτή ομάδα» (τα παιδιά κάθονται στην ίδια σειρά). Μια συνδυασμένη απόσπαση (ομάδα) είναι μια προσωρινή συνεργασία μαθητών που σχηματίζεται για την εκτέλεση ενός συγκεκριμένου εκπαιδευτικού έργου. (Yalovets T.V. Technology of a συλλογική μέθοδος διδασκαλίας στην κατάρτιση εκπαιδευτικών: Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο. - Novokuznetsk: IPK Publishing House, 2005. - P. 122)

Έργο μαθήματος για το θέμα "Συνάρτηση y=, οι ιδιότητές της και η γραφική παράσταση"

Στο έργο μαθήματος, το θέμα του οποίου είναι: « Η συνάρτηση y=, οι ιδιότητές της και η γραφική παράσταση»Παρουσιάζεται η χρήση τεχνικών αμοιβαίας εκπαίδευσης σε συνδυασμό με τη χρήση παραδοσιακών και πολυμεσικών εργαλείων διδασκαλίας.

Θέμα μαθήματος: " Συνάρτηση y=, τις ιδιότητές του και το γράφημα”

Στόχοι:

• προετοιμασία για τη δοκιμή·
• έλεγχος της γνώσης όλων των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης και της ικανότητας κατασκευής γραφημάτων συναρτήσεων και ανάγνωσης των ιδιοτήτων τους.

Καθήκοντα: επίπεδο θέματος:

υπερθεματικό επίπεδο:

• μάθουν να αναλύουν γραφικές πληροφορίες.
• εξασκηθείτε στην ικανότητα διεξαγωγής διαλόγου·
• αναπτύξουν την ικανότητα εργασίας με έναν διαδραστικό πίνακα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εργασίας με γραφήματα.

Ας αποκαλύψουμε με περισσότερες λεπτομέρειες το περιεχόμενο κάθε σταδίου.

1. Η Εισαγωγή Πληροφοριών Δασκάλου (TII) περιλαμβάνει Οργάνωση χρόνου; άρθρωση του θέματος, του σκοπού και του σχεδίου μαθήματος· παρουσιάζοντας δείγμα εργασίας σε ζευγάρια με τη μέθοδο της αμοιβαίας εκπαίδευσης.

Η επίδειξη δείγματος εργασίας σε ζευγάρια από μαθητές σε αυτό το στάδιο του μαθήματος ενδείκνυται για την επανάληψη του αλγόριθμου εργασίας της μεθοδολογίας που χρειαζόμαστε, γιατί στο επόμενο στάδιο του μαθήματος, προγραμματίζεται όλη η εργασία σε αυτό δροσερή ομάδα. Ταυτόχρονα, μπορείτε να ονομάσετε τα σφάλματα κατά την εργασία με τον αλγόριθμο (αν υπήρχαν), καθώς και να αξιολογήσετε την εργασία αυτών των μαθητών.

2. Η ενημέρωση των βασικών γνώσεων πραγματοποιείται σε ζεύγη βάρδιων με τη μέθοδο της αμοιβαίας εκπαίδευσης.

Ο αλγόριθμος μεθοδολογίας περιλαμβάνει ατομικές, ζευγαριές (στατικά ζεύγη) και συλλογικές (ζεύγη βάρδιων) οργανωτικές μορφές εκπαίδευσης.

Ατομικό: όλοι όσοι παραλαμβάνουν την κάρτα γνωρίζουν το περιεχόμενό της (διαβάζει τις ερωτήσεις και τις απαντήσεις στο πίσω μέρος της κάρτας).

• πρώτα(στο ρόλο του «εκπαιδευόμενου») διαβάζει την εργασία και απαντά στις ερωτήσεις στην κάρτα του συνεργάτη.
• δεύτερος(στο ρόλο του «προπονητή») – ελέγχει την ορθότητα των απαντήσεων στο πίσω μέρος της κάρτας.
• δουλέψτε παρόμοια σε μια άλλη κάρτα, αλλάζοντας ρόλους.
• κάντε ένα σημάδι σε ένα ατομικό φύλλο και ανταλλάξτε κάρτες.
• μετακομίσει σε ένα νέο ζευγάρι.

Συλλογικός:

• στο νέο ζευγάρι δουλεύουν όπως στο πρώτο? μετάβαση σε ένα νέο ζευγάρι κ.λπ.

Ο αριθμός των μεταβάσεων εξαρτάται από τον χρόνο που διατίθεται από τον δάσκαλο για αυτό το στάδιο του μαθήματος, από την επιμέλεια και την ταχύτητα κατανόησης κάθε μαθητή και από τους συνεργάτες στην κοινή εργασία.

Αφού εργαστούν σε ζευγάρια, οι μαθητές σημειώνουν στα φύλλα καταγραφής τους και ο δάσκαλος πραγματοποιεί μια ποσοτική και ποιοτική ανάλυση της εργασίας.

Το λογιστικό φύλλο μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Ivanov Petya 7 βαθμού «β».

3. Εισαγωγή στο θέμα «Συνάρτηση y=, οι ιδιότητες και η γραφική παράσταση της» πραγματοποιείται από τον εκπαιδευτικό με τη μορφή παρουσίασης με χρήση εργαλείων εκμάθησης πολυμέσων (Παράρτημα 4). Αφενός, αυτή είναι μια εκδοχή σαφήνειας που είναι κατανοητή στους σύγχρονους μαθητές, αφετέρου εξοικονομεί χρόνο στην εξήγηση νέου υλικού.

4. Ενοποίηση νεομαθημένου και ήδη καλυμμένου υλικού με θέμα «Λειτουργία ” οργανωμένο σε δύο εκδόσεις, χρησιμοποιώντας παραδοσιακά εργαλεία διδασκαλίας (μαυροπίνακας, σχολικό βιβλίο) και καινοτόμα (διαδραστικός πίνακας).

Αρχικά, προσφέρονται αρκετές εργασίες από το σχολικό βιβλίο για την εμπέδωση του νεομαθημένου υλικού. Χρησιμοποιείται το εγχειρίδιο που χρησιμοποιείται για τη διδασκαλία. Η εργασία εκτελείται ταυτόχρονα με όλη την τάξη. Σε αυτήν την περίπτωση, ένας μαθητής ολοκληρώνει την εργασία "α" - σε έναν παραδοσιακό πίνακα. η άλλη είναι η εργασία "β" σε διαδραστικός ασπροπίνακας, οι υπόλοιποι μαθητές καταγράφουν τις λύσεις των ίδιων εργασιών σε ένα τετράδιο και συγκρίνουν τη λύση τους με τη λύση που παρουσιάζεται στους πίνακες. Στη συνέχεια, ο δάσκαλος αξιολογεί την εργασία των μαθητών στον πίνακα.

Στη συνέχεια, για την ταχύτερη ενοποίηση του μελετημένου υλικού στο θέμα «Λειτουργία», προτείνεται μετωπική εργασία με διαδραστικό πίνακα, η οποία μπορεί να οργανωθεί ως εξής:

• η εργασία και το χρονοδιάγραμμα εμφανίζονται στον διαδραστικό πίνακα.
• ένας μαθητής που θέλει να απαντήσει πηγαίνει στον πίνακα, εκτελεί τις απαραίτητες κατασκευές και φωνάζει την απάντηση.
• μια νέα εργασία και ένα νέο πρόγραμμα εμφανίζονται στον πίνακα.
• Ένας άλλος μαθητής βγαίνει να απαντήσει.

Έτσι, σε σύντομο χρονικό διάστημα, είναι δυνατή η επίλυση πολλών εργασιών και η αξιολόγηση των απαντήσεων των μαθητών. Ορισμένες εργασίες ενδιαφέροντος (παρόμοιες με τις εργασίες από τις επερχόμενες δοκιμαστική εργασία), μπορεί να καταγραφεί σε σημειωματάριο.

5. Στο στάδιο του αυτοελέγχου, προσφέρεται στους μαθητές ένα τεστ που ακολουθείται από αυτοέλεγχο (Παράρτημα 3).

Βιβλιογραφία

1. Dyachenko, V.K. Σύγχρονη διδακτική [Κείμενο] / V.K. Dyachenko - M.: Δημόσια εκπαίδευση, 2005.
2. Yalovets, T.V. Τεχνολογία συλλογικής μεθόδου διδασκαλίας στην κατάρτιση εκπαιδευτικών: Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο[Κείμενο] / T.V. Γιαλόβετς. – Novokuznetsk: IPK Publishing House, 2005.
3. Yanovitskaya, E.V. Πώς να διδάξετε και να μάθετε σε ένα μάθημα ώστε να θέλετε να μάθετε. Λεύκωμα αναφοράς [Κείμενο] / E.V. Yanovitskaya. – Αγία Πετρούπολη: Εκπαιδευτικά έργα, Μ.: Εκδότης Α.Μ. Kushnir, 2009.

Που ισούται με $έ\nu \alpha .$Με άλλα λόγια, αυτή είναι η λύση της εξίσωσης $x^3\; =\; \alpha$(συνήθως εννοούνται πραγματικές λύσεις).

Πραγματική ρίζα

Επιδεικτική μορφή

Η ρίζα των μιγαδικών αριθμών μπορεί να οριστεί ως εξής:

$x^(1/3)\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln(x))$

Αν φαντάζεστε ${\rm X}$Πως

$x\; =\; r\backslash exp(i\backslash theta)$

τότε ο τύπος για έναν κυβικό αριθμό είναι:

$\backslash sqrt(x)\; =\; \backslash sqrt(r)\backslash exp\; (\backslash tfrac13\; i\backslash theta).$

Αυτό γεωμετρικά σημαίνει ότι σε πολικές συντεταγμένεςπαίρνουμε την κυβική ρίζα της ακτίνας και διαιρούμε την πολική γωνία με το τρία για να προσδιορίσουμε την κυβική ρίζα. Οπότε αν ${\rm X}$σύνθετο, λοιπόν $\backslash sqrt(-8)$θα σημαίνει όχι $-2$, Θα είναι $1\; +\; i\backslash sqrt(3).$

Σε μια σταθερή πυκνότητα ύλης, οι διαστάσεις δύο όμοιων σωμάτων σχετίζονται μεταξύ τους ως οι κυβικές ρίζες των μαζών τους. Έτσι, εάν ένα καρπούζι ζυγίζει διπλάσιο από ένα άλλο, τότε η διάμετρός του (καθώς και η περιφέρειά του) θα είναι μόνο λίγο περισσότερο από το ένα τέταρτο (26%) μεγαλύτερο από το πρώτο. και στο μάτι θα φαίνεται ότι η διαφορά στο βάρος δεν είναι τόσο σημαντική. Επομένως, ελλείψει ζυγαριών (πώληση με το μάτι), είναι συνήθως πιο επικερδές να αγοράσετε ένα μεγαλύτερο φρούτο.

Μέθοδοι υπολογισμού

Στήλη

Πριν ξεκινήσετε, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό σε τρίδυμα (το ακέραιο μέρος - από δεξιά προς τα αριστερά, το κλασματικό μέρος - από αριστερά προς τα δεξιά). Όταν φτάσετε στην υποδιαστολή, πρέπει να προσθέσετε μια υποδιαστολή στο τέλος του αποτελέσματος.

Ο αλγόριθμος είναι ο εξής:

1. Βρείτε έναν αριθμό του οποίου ο κύβος είναι μικρότερος από την πρώτη ομάδα ψηφίων, αλλά όταν αυξηθεί κατά 1 γίνεται μεγαλύτερος. Γράψτε τον αριθμό που βρίσκετε στα δεξιά του δεδομένου αριθμού. Γράψε τον αριθμό 3 από κάτω.
2. Γράψτε τον κύβο του αριθμού που βρίσκεται κάτω από την πρώτη ομάδα αριθμών και αφαιρέστε. Γράψτε το αποτέλεσμα μετά την αφαίρεση κάτω από τον υποβρύχιο. Στη συνέχεια, αφαιρέστε την επόμενη ομάδα αριθμών.
3. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την ενδιάμεση απάντηση που βρέθηκε με το γράμμα $έ\nu \alpha$. Υπολογίστε χρησιμοποιώντας τον τύπο $$έναν τέτοιο αριθμό ${\rm X}$ότι το αποτέλεσμά του είναι μικρότερο από τον χαμηλότερο αριθμό, αλλά όταν αυξάνεται κατά 1 γίνεται μεγαλύτερο. Γράψτε τι βρίσκετε ${\rm X}$στα δεξιά της απάντησης. Εάν επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια, σταματήστε τους υπολογισμούς.
4. Καταγράψτε το αποτέλεσμα του υπολογισμού κάτω από τον κάτω αριθμό χρησιμοποιώντας τον τύπο $300\; \backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; a^2\; \backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; x\; +\; 30\; \backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; a\; \backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; x\; ^\; 2\; +\; x\; ^\; 3$και κάντε την αφαίρεση. Μεταβείτε στο βήμα 3.

δείτε επίσης

Γράψε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Κυβική ρίζα"

Βιβλιογραφία

• Korn G., Korn T. 1,3-3. Αναπαράσταση αθροίσματος, προϊόντος και πηλίκου. Δυνάμεις και ρίζες // Εγχειρίδιο μαθηματικών. - 4η έκδοση. - Μ.: Nauka, 1978. - Σ. 32-33.

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει την κυβική ρίζα

Στις εννέα το πρωί, όταν τα στρατεύματα είχαν ήδη κινηθεί μέσω της Μόσχας, κανείς άλλος δεν ήρθε να ζητήσει τις εντολές του κόμη. Όλοι όσοι μπορούσαν να πάνε το έκαναν μόνοι τους. όσοι έμειναν αποφάσισαν μόνοι τους τι έπρεπε να κάνουν.
Ο κόμης διέταξε να φέρουν τα άλογα για να πάνε στο Σοκολνίκι και, συνοφρυωμένος, κίτρινος και σιωπηλός, με σταυρωμένα χέρια, κάθισε στο γραφείο του.
Σε ήρεμους και όχι θυελλώδεις καιρούς, φαίνεται σε κάθε διαχειριστή ότι μόνο με τις προσπάθειές του κινείται ολόκληρος ο πληθυσμός υπό τον έλεγχό του και μέσα σε αυτή τη συνείδηση ​​της αναγκαιότητάς του, κάθε διαχειριστής αισθάνεται την κύρια ανταμοιβή για τους κόπους και τις προσπάθειές του. Είναι σαφές ότι όσο η ιστορική θάλασσα είναι ήρεμη, ο κυβερνήτης-διαχειριστής, με το εύθραυστο σκάφος του να ακουμπά το κοντάρι του στο πλοίο του λαού και ο ίδιος να κινείται, πρέπει να του φαίνεται ότι μέσα από τις προσπάθειές του το πλοίο στο οποίο αναπαύεται είναι κίνηση. Μόλις όμως ξεσπάσει καταιγίδα, η θάλασσα αναστατώνεται και το ίδιο το πλοίο κινείται, τότε η αυταπάτη είναι αδύνατη. Το πλοίο κινείται με την τεράστια, ανεξάρτητη ταχύτητά του, ο πόλος δεν φτάνει στο κινούμενο πλοίο και ο κυβερνήτης ξαφνικά μεταβαίνει από τη θέση του κυβερνήτη, μιας πηγής δύναμης, σε ένα ασήμαντο, άχρηστο και αδύναμο άτομο.
Ο Ραστόπτσιν το ένιωσε αυτό και τον εκνεύρισε. Ο αρχηγός της αστυνομίας, τον οποίο σταμάτησε το πλήθος, μαζί με τον βοηθό, που ήρθε να αναφέρει ότι τα άλογα ήταν έτοιμα, μπήκαν στην καταμέτρηση. Και οι δύο ήταν χλωμοί και ο αρχηγός της αστυνομίας, αναφέροντας την εκτέλεση της αποστολής του, είπε ότι στην αυλή του κόμη υπήρχε ένα τεράστιο πλήθος κόσμου που ήθελε να τον δει.
Ο Ραστόπτσιν, χωρίς να απαντήσει λέξη, σηκώθηκε και μπήκε γρήγορα στο πολυτελές, φωτεινό σαλόνι του, ανέβηκε στην μπαλκονόπορτα, άρπαξε το χερούλι, το άφησε και πήγε στο παράθυρο, από το οποίο φαινόταν όλο το πλήθος πιο καθαρά. Ένας ψηλός άντρας στεκόταν στις πρώτες σειρές και με αυστηρό πρόσωπο, κουνώντας το χέρι του, είπε κάτι. Ο ματωμένος σιδεράς στάθηκε δίπλα του με ένα ζοφερό βλέμμα. Το βουητό των φωνών ακουγόταν από τα κλειστά παράθυρα.
- Είναι έτοιμο το πλήρωμα; - είπε ο Ραστόπτσιν, απομακρυνόμενος από το παράθυρο.
«Έτοιμοι, Εξοχότατε», είπε ο υπασπιστής.
Ο Ραστόπτσιν πλησίασε ξανά την μπαλκονόπορτα.
-Τι θέλουν; – ρώτησε τον αρχηγό της αστυνομίας.
- Σεβασμιώτατε, λένε ότι επρόκειτο να πάνε κόντρα στους Γάλλους με εντολή σας, κάτι φώναξαν για προδοσία. Μα βίαιο πλήθος, Σεβασμιώτατε. Έφυγα με το ζόρι. Σεβασμιώτατε, τολμώ να προτείνω...
«Αν σε παρακαλώ, πήγαινε, ξέρω τι να κάνω χωρίς εσένα», φώναξε θυμωμένος ο Ροστόπτσιν. Στάθηκε στην πόρτα του μπαλκονιού, κοιτάζοντας έξω το πλήθος. «Αυτό έκαναν στη Ρωσία! Αυτό μου έκαναν!». - σκέφτηκε ο Ροστόπτσιν, νιώθοντας έναν ανεξέλεγκτο θυμό να υψώνεται στην ψυχή του εναντίον κάποιου που θα μπορούσε να αποδοθεί στην αιτία για όλα όσα συνέβησαν. Όπως συμβαίνει συχνά με τους καυτερούς, ο θυμός τον κυριεύει ήδη, αλλά έψαχνε άλλο θέμα γι' αυτό. «La voila la populace, la lie du peuple», σκέφτηκε, κοιτάζοντας το πλήθος, «la plebe qu"ils ont soulevee par leur sottise. πληθυσμό, τους πληβείους, τους οποίους μεγάλωσαν με τη βλακεία τους! Χρειάζονται ένα θύμα."] - του συνέβη κοιτάζοντας τον ψηλό που κουνούσε το χέρι του. Και για τον ίδιο λόγο σκέφτηκε ότι ο ίδιος χρειαζόταν αυτό το θύμα , αυτό το αντικείμενο για τον θυμό του.
- Είναι έτοιμο το πλήρωμα; – ρώτησε μια άλλη φορά.
- Έτοιμοι, Εξοχότατε. Τι παραγγέλνετε για το Vereshchagin; «Περιμένει στη βεράντα», απάντησε ο βοηθός.
- ΕΝΑ! - φώναξε ο Ροστόπτσιν, σαν να τον χτυπούσε κάποια απροσδόκητη ανάμνηση.
Και, ανοίγοντας γρήγορα την πόρτα, βγήκε στο μπαλκόνι με αποφασιστικά βήματα. Η συζήτηση σταμάτησε ξαφνικά, τα καπέλα και τα καπέλα βγήκαν και όλα τα βλέμματα στράφηκαν στον καταμέτρηση που είχε βγει.
- Γεια σας παιδιά! - είπε ο κόμης γρήγορα και δυνατά. - Σας ευχαριστώ που ήρθατε. Θα σας μιλήσω τώρα, αλλά πρώτα από όλα πρέπει να αντιμετωπίσουμε τον κακό. Πρέπει να τιμωρήσουμε τον κακό που σκότωσε τη Μόσχα. Περίμενέ με! «Και ο κόμης επέστρεψε το ίδιο γρήγορα στις κάμαρες του, χτυπώντας δυνατά την πόρτα.
Ένα μουρμουρητό ευχαρίστησης διαπέρασε το πλήθος. «Αυτό σημαίνει ότι θα ελέγξει όλους τους κακούς! Και λες γαλλικά... θα σου δώσει όλη την απόσταση!». - είπαν οι άνθρωποι, σαν να επικρίνουν ο ένας τον άλλον για την έλλειψη πίστης τους.

Δίνονται οι βασικές ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος, συμπεριλαμβανομένων των τύπων και των ιδιοτήτων των ριζών. Παράγωγο, ολοκλήρωμα, επέκταση σε σειρά ισχύοςκαι αναπαράσταση μέσω μιγαδικών αριθμών μιας συνάρτησης ισχύος.

Ορισμός

Ορισμός
Λειτουργία ισχύοςμε εκθέτη pείναι η συνάρτηση f (x) = x p, η τιμή της οποίας στο σημείο x είναι ίση με την τιμή της εκθετικής συνάρτησης με βάση x στο σημείο p.
Επιπλέον, στ (0) = 0 p = 0για p > 0 .

Για φυσικές τιμές του εκθέτη, η συνάρτηση ισχύος είναι το γινόμενο n αριθμών ίσων με x:
.
Ορίζεται για όλα έγκυρα .

Για θετικές ορθολογικές τιμές του εκθέτη, η συνάρτηση ισχύος είναι το γινόμενο n ριζών βαθμού m του αριθμού x:
.
Για περιττό m, ορίζεται για όλα τα πραγματικά x. Για ακόμη και m, η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για μη αρνητικές.

Για το αρνητικό, η συνάρτηση ισχύος καθορίζεται από τον τύπο:
.
Επομένως, δεν ορίζεται στο σημείο.

Για παράλογες τιμές του εκθέτη p, η συνάρτηση ισχύος καθορίζεται από τον τύπο:
,
όπου α είναι ένας αυθαίρετος θετικός αριθμός όχι ίσος με ένα: .
Όταν , ορίζεται για .
Όταν , η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για .

Συνέχεια. Μια συνάρτηση ισχύος είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

Ιδιότητες και τύποι συναρτήσεων ισχύος για x ≥ 0

Εδώ θα εξετάσουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος για το μη αρνητικές τιμέςόρισμα x. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για ορισμένες τιμές του εκθέτη p, η συνάρτηση ισχύος ορίζεται επίσης για αρνητικές τιμές του x. Σε αυτή την περίπτωση, οι ιδιότητές του μπορούν να ληφθούν από τις ιδιότητες του , χρησιμοποιώντας άρτιο ή περιττό. Αυτές οι περιπτώσεις συζητούνται και παρουσιάζονται αναλυτικά στη σελίδα "".

Μια συνάρτηση ισχύος, y = x p, με εκθέτη p έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
(1.1) καθορισμένο και συνεχές στο σετ
στο ,
στο ;
(1.2) έχει πολλές έννοιες
στο ,
στο ;
(1.3) αυξάνεται αυστηρά με,
μειώνεται αυστηρά ως ?
(1.4) στο ;
στο ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Η απόδειξη ιδιοτήτων δίνεται στη σελίδα «Λειτουργία ισχύος (απόδειξη συνέχειας και ιδιότητες)»

Ρίζες - ορισμός, τύποι, ιδιότητες

Ορισμός
Ρίζα αριθμού x βαθμού nείναι ο αριθμός που όταν αυξηθεί στην ισχύ n δίνει x:
.
Εδώ n = 2, 3, 4, ... - φυσικός αριθμός, μεγαλύτερο από ένα.

Μπορείτε επίσης να πείτε ότι η ρίζα ενός αριθμού x βαθμού n είναι η ρίζα (δηλαδή λύση) της εξίσωσης
.
Σημειώστε ότι η συνάρτηση είναι το αντίστροφο της συνάρτησης.

Τετραγωνική ρίζα του xείναι ρίζα του βαθμού 2: .

κυβική ρίζααπό τον αριθμό xείναι ρίζα του βαθμού 3: .

Ακόμη και πτυχίο

Για ζυγές δυνάμεις n = 2 μ, η ρίζα ορίζεται για x ≥ 0 . Ένας τύπος που χρησιμοποιείται συχνά ισχύει τόσο για θετικό όσο και για αρνητικό x:
.
Για τετραγωνική ρίζα:
.

Η σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις είναι σημαντική εδώ - δηλαδή, πρώτα πραγματοποιείται τετραγωνισμός, με αποτέλεσμα έναν μη αρνητικό αριθμό και, στη συνέχεια, εξάγεται η ρίζα από αυτόν (μπορείτε να εξαγάγετε από έναν μη αρνητικό αριθμό Τετραγωνική ρίζα). Αν αλλάζαμε τη σειρά: , τότε για το αρνητικό x η ρίζα θα ήταν απροσδιόριστη και μαζί της ολόκληρη η έκφραση θα ήταν απροσδιόριστη.

Περίεργος βαθμός

Για περιττές δυνάμεις, η ρίζα ορίζεται για όλα τα x:
;
.

Ιδιότητες και τύποι ριζών

Η ρίζα του x είναι συνάρτηση ισχύος:
.
Όταν x ≥ 0 ισχύουν οι παρακάτω τύποι:
;
;
, ;
.

Αυτοί οι τύποι μπορούν επίσης να εφαρμοστούν για αρνητικές τιμές μεταβλητών. Απλά πρέπει να βεβαιωθείτε ότι η ριζοσπαστική έκφραση ακόμη και δυνάμεων δεν είναι αρνητική.

Ιδιωτικές αξίες

Η ρίζα του 0 είναι 0: .
Η ρίζα 1 είναι ίση με 1: .
Η τετραγωνική ρίζα του 0 είναι 0: .
Η τετραγωνική ρίζα του 1 είναι 1: .

Παράδειγμα. Ρίζα ριζών

Ας δούμε ένα παράδειγμα τετραγωνικής ρίζας ριζών:
.
Ας μετατρέψουμε την εσωτερική τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους:
.
Τώρα ας μετατρέψουμε την αρχική ρίζα:
.
Ετσι,
.

y = x p για διαφορετικές τιμές του εκθέτη p.

Ακολουθούν γραφήματα της συνάρτησης για μη αρνητικές τιμές του ορίσματος x. Τα γραφήματα μιας συνάρτησης ισχύος που ορίζονται για αρνητικές τιμές του x δίνονται στη σελίδα "Συνάρτηση ισχύος, οι ιδιότητες και τα γραφήματα της"

Αντίστροφη συνάρτηση

Το αντίστροφο μιας συνάρτησης ισχύος με εκθέτη p είναι μια συνάρτηση ισχύος με εκθέτη 1/p.

Αν τότε.

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος

Παράγωγο νης τάξης:
;

Εξαγωγή τύπων > > >

Αναπόσπαστο συνάρτησης ισχύος

P ≠ - 1 ;
.

Επέκταση σειράς ισχύος

στο - 1 < x < 1 γίνεται η ακόλουθη αποσύνθεση:

Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών

Εξετάστε τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής z:
φά (z) = z t.
Ας εκφράσουμε τη μιγαδική μεταβλητή z ως προς το μέτρο r και το όρισμα φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Αντιπροσωπεύουμε τον μιγαδικό αριθμό t με τη μορφή πραγματικών και φανταστικών μερών:
t = p + i q .
Εχουμε:

Στη συνέχεια, λαμβάνουμε υπόψη ότι το όρισμα φ δεν ορίζεται μοναδικά:
,

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που q = 0 , δηλαδή ο εκθέτης - πραγματικός αριθμός, t = p. Επειτα
.

Αν το p είναι ακέραιος, τότε το kp είναι ακέραιος. Στη συνέχεια, λόγω της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
.
Δηλαδή, η εκθετική συνάρτηση με ακέραιο εκθέτη, για δεδομένο z, έχει μόνο μία τιμή και επομένως είναι μονοσήμαντη.

Αν το p είναι παράλογο, τότε τα γινόμενα kp για οποιοδήποτε k δεν παράγουν ακέραιο αριθμό. Αφού το k διατρέχει μια άπειρη σειρά τιμών k = 0, 1, 2, 3, ..., τότε η συνάρτηση z p έχει άπειρες τιμές. Κάθε φορά που το όρισμα z αυξάνεται 2π(μία στροφή), μεταβαίνουμε σε νέο κλάδο της συνάρτησης.

Εάν το p είναι ορθολογικό, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
, Οπου m, n- ακέραιοι που δεν περιέχουν κοινούς διαιρέτες. Επειτα
.
Πρώτα n τιμές, με k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, δίνω n διαφορετικές έννοιες kp:
.
Ωστόσο, οι επόμενες τιμές δίνουν τιμές που διαφέρουν από τις προηγούμενες κατά έναν ακέραιο. Για παράδειγμα, όταν k = k 0+nέχουμε:
.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις, των οποίων τα ορίσματα διαφέρουν κατά τιμές που είναι πολλαπλάσιες του 2π, έχουν ίσες τιμές. Επομένως, με περαιτέρω αύξηση στο k, λαμβάνουμε τις ίδιες τιμές του z p όπως για το k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Έτσι, μια εκθετική συνάρτηση με ορθολογικό εκθέτη είναι πολλαπλών τιμών και έχει n τιμές (κλαδιά). Κάθε φορά που το όρισμα z αυξάνεται 2π(μία στροφή), μεταβαίνουμε σε νέο κλάδο της συνάρτησης. Μετά από n τέτοιες περιστροφές επιστρέφουμε στον πρώτο κλάδο από τον οποίο ξεκίνησε η αντίστροφη μέτρηση.

Συγκεκριμένα, μια ρίζα του βαθμού n έχει n τιμές. Για παράδειγμα, λάβετε υπόψη την nη ρίζα του πραγματικού θετικός αριθμός z = x. Στην περίπτωση αυτή φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Άρα, για τετραγωνική ρίζα, n = 2 ,
.
Ακόμη και για κ. (- 1 ) k = 1. Για περιττό k, (- 1 ) k = - 1.
Δηλαδή, η τετραγωνική ρίζα έχει δύο έννοιες: + και -.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Συναρτήσεις ισχύος. Κυβική ρίζα. Ιδιότητες της κυβικής ρίζας"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εκπαιδευτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την 9η τάξη
Εκπαιδευτικό συγκρότημα 1C: "Αλγεβρικά προβλήματα με παραμέτρους, τάξεις 9–11" Περιβάλλον λογισμικού "1C: Mathematical Constructor 6.0"

Ορισμός συνάρτησης ισχύος - ρίζα κύβου

Ας ελέγξουμε την ισότητα: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Έστω $\sqrt((-x))=a$ και $\sqrt(x)=b$. Ας ανεβάσουμε και τις δύο εκφράσεις στην τρίτη δύναμη. $–x=a^3$ και $x=b^3$. Στη συνέχεια $a^3=-b^3$ ή $a=-b$. Χρησιμοποιώντας τη σημείωση για τις ρίζες παίρνουμε την επιθυμητή ταυτότητα.

Ιδιότητες των κυβικών ριζών

Ας αποδείξουμε τη δεύτερη ιδιότητα. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Βρήκαμε ότι ο αριθμός $\sqrt(\frac(a)(b))$ σε κύβους είναι ίσος με $\frac(a)(b)$ και στη συνέχεια ισούται με $\sqrt(\frac(a)(b))$ , το οποίο και έπρεπε να αποδειχθεί.

Παιδιά, ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησής μας.
1) Τομέας ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
2) Η συνάρτηση είναι περίεργη, αφού $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Στη συνέχεια, εξετάστε τη συνάρτησή μας για $x≥0$ και, στη συνέχεια, εμφανίστε το γράφημα σε σχέση με την αρχή.
3) Η συνάρτηση αυξάνεται όταν $x≥0$. Για τη συνάρτησή μας, μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης, που σημαίνει αύξηση.
4) Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω. Στην πραγματικότητα, από οποιαδήποτε μεγάλος αριθμόςμπορούμε να υπολογίσουμε την τρίτη ρίζα, και μπορούμε να ανεβούμε στο άπειρο, βρίσκοντας τα πάντα μεγάλες αξίεςδιαφωνία.
5) Για $x≥0$ η μικρότερη τιμή είναι 0. Αυτή η ιδιότητα είναι προφανής.
Ας φτιάξουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης ανά σημεία x≥0.

Ας κατασκευάσουμε το γράφημα της συνάρτησης σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Να θυμάστε ότι η συνάρτησή μας είναι περίεργη.

Ιδιότητες λειτουργίας:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Περιττή συνάρτηση.
3) Αυξάνεται κατά (-∞;+∞).
4) Απεριόριστο.
5) Δεν υπάρχει ελάχιστη ή μέγιστη τιμή.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Κυρτό προς τα κάτω κατά (-∞;0), κυρτό προς τα πάνω κατά (0;+∞).

Παραδείγματα επίλυσης συναρτήσεων ισχύος

2. Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Λύση. Το γράφημά μας προκύπτει από το γράφημα της συνάρτησης $y=\sqrt(x)$, παράλληλη μεταφοράδύο μονάδες προς τα δεξιά και τρεις μονάδες προς τα κάτω.

3. Γράψτε τη συνάρτηση και διαβάστε τη. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Λύση. Ας κατασκευάσουμε δύο γραφήματα συναρτήσεων στο ίδιο επίπεδο συντεταγμένων, λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκες μας. Για $x≥-1$ χτίζουμε ένα γράφημα της κυβικής ρίζας, για $x≤-1$ χτίζουμε ένα γράφημα μιας γραμμικής συνάρτησης.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
3) Μειώνεται κατά (-∞;-1), αυξάνεται κατά (-1;+∞).
4) Απεριόριστο από πάνω, περιορισμένο από κάτω.
5) Η μεγαλύτερη αξίαΟχι. Χαμηλότερη τιμήίσον μείον ένα.
6) Η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.
7) E(y)= (-1;+∞).

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα