समतल और अंतरिक्ष में समरूपता। "अंतरिक्ष में गति केंद्रीय समरूपता अक्षीय समरूपता दर्पण समरूपता समानांतर अनुवाद" विषय पर प्रस्तुति

पाठ मकसद:

छात्रों को अंतरिक्ष में समरूपता की अवधारणा से परिचित कराएं।

गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान से सार्थक कनेक्शन का उपयोग करके समरूपता की अवधारणा पर विचार करें।

विचार करना निम्नलिखित प्रकारसमरूपताएँ: केंद्रीय, अक्षीय, दर्पण, रोटरी, पेचदार।

गणित सीखने के लिए विद्यार्थियों की प्रेरणा बढ़ाएँ।

शैक्षिक:

1. विकास को बढ़ावा देना संज्ञानात्मक गतिविधि.

2. कल्पना के विकास को बढ़ावा देना।

3. संचार कौशल और एक टीम में काम करने की क्षमता के विकास को बढ़ावा देना।

शैक्षिक:

छात्रों की सौंदर्य बोध के विकास को बढ़ावा देना।

छात्रों के क्षितिज को व्यापक बनाने में सहायता करें।

पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखना.

इस पाठ से 2 सप्ताह पहले शिक्षक को कक्षा को टीमों में बाँट देना चाहिए। प्रत्येक टीम एक के अनुसार एक संदेश तैयार करती है निम्नांकिट विषय: "समरूपता", "पौधों में समरूपता", "जानवरों में समरूपता", "मनुष्यों में समरूपता", "रसायन विज्ञान में समरूपता"। टीमों में विभाजन कुछ विषयों में छात्रों की रुचि को ध्यान में रखता है। रुचि का निर्धारण शिक्षक द्वारा व्यक्तिगत टिप्पणियों और छात्रों के साथ बातचीत के आधार पर किया जाता है।

प्रत्येक टीम को एक सांकेतिक योजना प्राप्त होती है, जिसके अनुसार प्रस्तावित विषय पर एक संदेश तैयार करना आवश्यक होता है। योजना में जो बिंदु बताए गए हैं, उन्हें अवश्य शामिल किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, पौधों में समरूपता के बारे में कहानी तैयार करने वाली एक टीम को निम्नलिखित रूपरेखा दी गई है:

1) ऊर्ध्वाधर समरूपता;

घूर्णी समरूपता;

पेचदार समरूपता.

तैयारी के पहले सप्ताह में छात्र स्वयं आवश्यक साहित्य की खोज करते हैं और सामग्री का चयन करते हैं। परिणामस्वरूप, टीम के प्रत्येक सदस्य के पास एक नोट होना चाहिए। यदि टीम को सामग्री ढूंढने में कठिनाई होती है, तो शिक्षक छात्रों को संदर्भों की एक सूची प्रदान करता है। इसके अलावा, शिक्षक उन टीमों को परामर्श प्रदान करता है जो स्वयं पाठ की तैयारी नहीं कर सकती हैं।

आप विद्यार्थियों से एक टीम के भीतर जिम्मेदारियाँ साझा करने के लिए कह सकते हैं। फिर कुछ छात्र सामग्री की खोज और चयन के लिए जिम्मेदार होंगे, कुछ दृश्य सामग्री बनाने (खोजने) के लिए जिम्मेदार होंगे, कुछ सामग्री को कक्षा में प्रस्तुत करने के लिए जिम्मेदार होंगे, कुछ एक प्रस्तुति विकसित करने और बनाने के लिए जिम्मेदार होंगे। हालाँकि, सभी छात्रों को पता होना चाहिए कि उनकी टीम किस सामग्री के साथ काम कर रही है और उनके पास नोट्स होने चाहिए। प्रत्येक टीम के प्रदर्शन के बाद, शिक्षक प्रत्येक प्रतिभागी से प्रस्तुत सामग्री के बारे में एक संक्षिप्त प्रश्न पूछ सकते हैं।

टीमें बारी-बारी से प्रदर्शन करती हैं। टीम की प्रस्तुति के दौरान, अन्य सभी छात्र निम्नलिखित तालिका को सुनते हैं और भरते हैं:

कक्षाओं के दौरान:

1. एक शैक्षिक प्रभुत्व का निर्माण:

छात्रों को ऑफर किया जाता है अगला कार्य: समरूपता के प्रकार को ध्यान में रखते हुए, चित्रों के खाली हिस्सों को संख्याओं और आकृतियों से भरें।

2. शिक्षक से परिचयात्मक शब्द:

रूपों की अनंत विविधता के बीच, जीवित और निर्जीव प्रकृतिऐसे उत्तम नमूने बहुतायत में पाए जाते हैं, जिनका स्वरूप बरबस ही हमारा ध्यान खींच लेता है। ऐसे नमूनों में कुछ क्रिस्टल और सूक्ष्म जीव, कई जानवर और पौधे शामिल हैं। हम लगातार प्रत्येक फूल, पतंगे या शंख की सुंदरता की प्रशंसा करते हैं और हमेशा सुंदरता के रहस्य को भेदने की कोशिश करते रहते हैं। हम छत्ते की वास्तुकला, सूरजमुखी की टोपी पर बीजों की व्यवस्था और पौधे के तने पर पत्तियों की पेचदार व्यवस्था से आश्चर्यचकित हैं।

सावधानीपूर्वक अवलोकन से पता चलता है कि प्रकृति द्वारा बनाए गए कई रूपों की सुंदरता का आधार समरूपता है, या बल्कि, इसके सभी प्रकार - सबसे सरल से सबसे जटिल तक।

समरूपता (ग्रीक सिमेट्रिया से - "आनुपातिकता") - आनुपातिकता, संपूर्ण के सापेक्ष भागों की व्यवस्था में पूर्ण पत्राचार मध्य रेखा, केंद्र; किसी चीज़ की व्यवस्था या स्थान में सख्त शुद्धता।

3. प्रत्येक टीम अपनी रिपोर्ट बनाती है।

4. शिक्षक के अंतिम शब्द:

जी. वेइल की निष्पक्ष टिप्पणी के अनुसार, गणित समरूपता के मूल में है। साथ ही, समरूपता को हम सामान्य रूप से सुंदरता के तत्व और विशेष रूप से प्रकृति की सुंदरता के रूप में देखते हैं। आज हमने समरूपता को गणित, जीव विज्ञान, भौतिकी और रसायन विज्ञान के दृष्टिकोण से देखा। इसके अलावा, कला में, विशेषकर वास्तुकला में, समरूपता का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

5. गृहकार्य: "हमारे शहर की वास्तुकला में समरूपता" विषय को प्रकट करने वाली छवियों की प्रतियां (फोटोकॉपी, फोटोग्राफ, आदि) ढूंढें और बनाएं। (प्राप्त कार्यों का उपयोग करके एक प्रदर्शनी का आयोजन करना संभव होगा)।

6. अब आप में से प्रत्येक हमारे पाठ के विषय को समर्पित एक लघु सिंकवाइन (रिक्त छंद) लिखेंगे। सिंकवाइन लिखने के नियम: पहली पंक्ति में विषय (संज्ञा) लिखा जाता है, दूसरी पंक्ति में: दो विशेषणों के साथ विषय का विवरण, तीसरी पंक्ति में: क्रियाओं का विवरण (तीन क्रिया), चौथी पंक्ति में लिखा जाता है : विषय के प्रति दृष्टिकोण व्यक्त करने वाले 4 शब्दों का एक वाक्यांश, पांचवीं पंक्ति: एक शब्द जो पहली पंक्ति में उल्लिखित विषय का सार प्रकट करता है।

फ़ायदे:जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, भौतिकी पर टेबल और दृश्य सहायता; पावर प्वाइंट प्रेजेंटेशन.

सदियों से, समरूपता एक ऐसा विषय रहा है जिसने दार्शनिकों, खगोलविदों, गणितज्ञों, कलाकारों, वास्तुकारों और भौतिकविदों को आकर्षित किया है। प्राचीन यूनानी इसके प्रति पूरी तरह से आसक्त थे - और आज भी हम फर्नीचर व्यवस्था से लेकर बाल कटाने तक हर चीज में समरूपता का सामना करते हैं।

बस यह ध्यान रखें कि एक बार जब आपको इसका एहसास हो जाए, तो संभवतः आप जो कुछ भी देखते हैं उसमें समरूपता देखने की तीव्र इच्छा महसूस करेंगे।

(कुल 10 तस्वीरें)

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1. ब्रोकोली रोमनेस्को

शायद आपने स्टोर में रोमनस्को ब्रोकोली देखी हो और सोचा हो कि यह आनुवंशिक रूप से संशोधित उत्पाद का एक और उदाहरण है। लेकिन वास्तव में, यह प्रकृति की भग्न समरूपता का एक और उदाहरण है। प्रत्येक ब्रोकोली पुष्प में एक लघुगणकीय सर्पिल पैटर्न होता है। रोमनेस्को दिखने में ब्रोकोली के समान है, लेकिन स्वाद और स्थिरता में - फूलगोभी. यह कैरोटीनॉयड के साथ-साथ विटामिन सी और के से भरपूर है, जो इसे न केवल सुंदर बनाता है, बल्कि स्वस्थ भोजन भी बनाता है।

हज़ारों वर्षों से, लोग छत्ते के उत्तम षटकोणीय आकार को देखकर आश्चर्यचकित हो गए हैं और खुद से पूछा है कि मधुमक्खियाँ सहज रूप से एक ऐसा आकार कैसे बना सकती हैं जिसे मनुष्य केवल एक कम्पास और शासक के साथ ही पुन: उत्पन्न कर सकते हैं। मधुमक्खियों को षट्कोण बनाने का शौक कैसे और क्यों होता है? गणितज्ञों का मानना ​​है कि यही है उपयुक्त आकार, जो उन्हें न्यूनतम मात्रा में मोम का उपयोग करके अधिकतम मात्रा में शहद संग्रहीत करने की अनुमति देता है। किसी भी तरह, यह सब प्रकृति का उत्पाद है, और यह बहुत प्रभावशाली है।

3. सूरजमुखी

सूरजमुखी रेडियल समरूपता और एक दिलचस्प प्रकार की समरूपता का दावा करता है जिसे फाइबोनैचि अनुक्रम के रूप में जाना जाता है। फाइबोनैचि अनुक्रम: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, आदि। (प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग से निर्धारित होती है)। यदि हम अपना समय लें और सूरजमुखी में बीजों की संख्या गिनें, तो हम पाएंगे कि सर्पिलों की संख्या फाइबोनैचि अनुक्रम के सिद्धांतों के अनुसार बढ़ती है। प्रकृति में कई पौधे हैं (रोमनेस्को ब्रोकोली सहित) जिनकी पंखुड़ियाँ, बीज और पत्तियाँ इस क्रम से मेल खाती हैं, यही कारण है कि चार पत्तियों वाला तिपतिया घास ढूंढना इतना मुश्किल है।

लेकिन सूरजमुखी और अन्य पौधे गणितीय नियमों का पालन क्यों करते हैं? छत्ते में षट्कोण की तरह, यह सब दक्षता का मामला है।

4. नॉटिलस शैल

पौधों के अलावा, कुछ जानवर, जैसे नॉटिलस, फाइबोनैचि अनुक्रम का पालन करते हैं। नॉटिलस का खोल फाइबोनैचि सर्पिल में बदल जाता है। खोल उसी आनुपातिक आकार को बनाए रखने की कोशिश करता है, जो इसे जीवन भर बनाए रखने की अनुमति देता है (मनुष्यों के विपरीत, जो पूरे जीवन में अनुपात बदलते हैं)। सभी नॉटिलस में फाइबोनैचि शेल नहीं होता है, लेकिन वे सभी एक लघुगणकीय सर्पिल का पालन करते हैं।

इससे पहले कि आप गणित के क्लैम्स से ईर्ष्या करें, याद रखें कि वे ऐसा जानबूझकर नहीं करते हैं, बात बस इतनी है कि यह फॉर्म उनके लिए सबसे तर्कसंगत है।

5. पशु

अधिकांश जानवरों में द्विपक्षीय समरूपता होती है, जिसका अर्थ है कि उन्हें दो समान हिस्सों में विभाजित किया जा सकता है। यहाँ तक कि मनुष्यों में भी द्विपक्षीय समरूपता होती है और कुछ वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि मानव समरूपता सबसे अधिक है महत्वपूर्ण कारक, जो हमारी सुंदरता की धारणा को प्रभावित करता है। दूसरे शब्दों में, यदि आपका चेहरा एकतरफ़ा है, तो आप केवल यह आशा कर सकते हैं कि इसकी भरपाई अन्य अच्छे गुणों से हो।

कुछ लोग मोर जैसे साथी को आकर्षित करने के प्रयास में पूर्ण समरूपता अपनाते हैं। डार्विन निश्चित रूप से पक्षी से नाराज़ थे, और उन्होंने एक पत्र में लिखा था कि "जब भी मैं मोर को देखता हूँ, उसकी पूँछ के पंखों को देखकर मेरा मन बीमार हो जाता है!" डार्विन को, पूंछ बोझिल लगती थी और इसका कोई विकासवादी अर्थ नहीं था, क्योंकि यह "योग्यतम की उत्तरजीविता" के उनके सिद्धांत के साथ फिट नहीं बैठती थी। वह यौन चयन के सिद्धांत के सामने आने तक क्रोधित थे, जिसमें कहा गया था कि जानवरों में संभोग की संभावना बढ़ाने के लिए कुछ विशेषताएं विकसित होती हैं। इसलिए, साथी को आकर्षित करने के लिए मोर के पास विभिन्न अनुकूलन होते हैं।

लगभग 5,000 प्रकार की मकड़ियाँ हैं, और वे सभी लगभग समान दूरी पर रेडियल सहायक धागों और शिकार को पकड़ने के लिए सर्पिल जालों के साथ लगभग पूर्ण गोलाकार जाल बनाती हैं। वैज्ञानिक निश्चित नहीं हैं कि मकड़ियों को ज्यामिति इतनी पसंद क्यों है, क्योंकि परीक्षणों से पता चला है कि एक गोल कपड़ा एक कैनवास से बेहतर भोजन को आकर्षित नहीं कर सकता है। अनियमित आकार. वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि जब शिकार जाल में फंस जाता है तो रेडियल समरूपता प्रभाव बल को समान रूप से वितरित करती है, जिसके परिणामस्वरूप कम टूटना होता है।

कुछ चालबाजों को एक बोर्ड, घास काटने की मशीन और अंधेरे से सुरक्षा दें, और आप देखेंगे कि लोग सममित आकार भी बनाते हैं। डिज़ाइन की जटिलता और क्रॉप सर्कल की अविश्वसनीय समरूपता के कारण, सर्कल के रचनाकारों द्वारा कबूल किए जाने और अपने कौशल का प्रदर्शन करने के बाद भी, कई लोग अभी भी मानते हैं कि वे अंतरिक्ष एलियंस द्वारा बनाए गए थे।

जैसे-जैसे वृत्त अधिक जटिल होते जाते हैं, उनकी कृत्रिम उत्पत्ति अधिक स्पष्ट होती जाती है। यह मान लेना अतार्किक है कि एलियंस अपने संदेशों को और अधिक कठिन बना देंगे जबकि हम पहले संदेशों को समझ भी नहीं सके।

चाहे वे कैसे भी बने हों, क्रॉप सर्कल देखने में आनंददायक हैं, मुख्यतः क्योंकि उनकी ज्यामिति प्रभावशाली है।

यहां तक ​​कि बर्फ के टुकड़े जैसी छोटी संरचनाएं भी समरूपता के नियमों द्वारा नियंत्रित होती हैं, क्योंकि अधिकांश बर्फ के टुकड़ों में हेक्सागोनल समरूपता होती है। ऐसा आंशिक रूप से पानी के अणुओं के जमने (क्रिस्टलीकृत) होने पर पंक्तिबद्ध होने के कारण होता है। जल के अणु प्राप्त होते हैं ठोस अवस्था, कमजोर हाइड्रोजन बांड बनाते हुए, वे एक व्यवस्थित व्यवस्था में संरेखित होते हैं जो आकर्षण और प्रतिकर्षण की शक्तियों को संतुलित करते हैं, जिससे बर्फ के टुकड़े का हेक्सागोनल आकार बनता है। लेकिन एक ही समय में, प्रत्येक बर्फ का टुकड़ा सममित होता है, लेकिन एक भी बर्फ का टुकड़ा दूसरे के समान नहीं होता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि जब प्रत्येक बर्फ का टुकड़ा आसमान से गिरता है, तो यह अद्वितीय वायुमंडलीय परिस्थितियों का अनुभव करता है जिसके कारण इसके क्रिस्टल एक निश्चित तरीके से व्यवस्थित हो जाते हैं।

9. आकाशगंगा

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, समरूपता और गणितीय मॉडल लगभग हर जगह मौजूद हैं, लेकिन क्या प्रकृति के ये नियम हमारे ग्रह तक ही सीमित हैं? स्पष्टः नहीं। हाल ही में Galaxy's Edge पर एक नया अनुभाग खोला गया है आकाशगंगा, और खगोलविदों का मानना ​​है कि आकाशगंगा स्वयं की लगभग पूर्ण दर्पण छवि है।

10. सूर्य-चन्द्र समरूपता

यह देखते हुए कि सूर्य का व्यास 1.4 मिलियन किमी है, और चंद्रमा - 3474 किमी, यह लगभग असंभव लगता है कि चंद्रमा अवरुद्ध कर सकता है सूरज की रोशनीऔर हमें हर दो साल में लगभग पांच सूर्य ग्रहण प्रदान करते हैं। कैसे यह काम करता है? संयोगवश, जहाँ सूर्य चंद्रमा से लगभग 400 गुना चौड़ा है, वहीं सूर्य 400 गुना दूर भी है। समरूपता यह सुनिश्चित करती है कि पृथ्वी से देखने पर सूर्य और चंद्रमा एक ही आकार के हों, इसलिए चंद्रमा सूर्य को अस्पष्ट कर सकता है। बेशक, पृथ्वी से सूर्य की दूरी बढ़ सकती है, यही कारण है कि हम कभी-कभी वलयाकार और आंशिक ग्रहण देखते हैं। लेकिन हर एक या दो साल में एक अच्छा संरेखण होता है, और हम एक शानदार घटना देखते हैं जिसे पूर्ण कहा जाता है सूर्यग्रहण. खगोलविदों को यह नहीं पता कि यह समरूपता अन्य ग्रहों में कितनी सामान्य है, लेकिन उनका मानना ​​है कि यह काफी दुर्लभ है। हालाँकि, हमें यह नहीं मान लेना चाहिए कि हम विशेष हैं, क्योंकि यह सब संयोग की बात है। उदाहरण के लिए, हर साल चंद्रमा पृथ्वी से लगभग 4 सेमी दूर चला जाता है, जिसका अर्थ है कि अरबों साल पहले हर सूर्य ग्रहण पूर्ण ग्रहण होता था। यदि चीजें इसी तरह जारी रहीं, तो अंततः पूर्ण ग्रहण गायब हो जाएंगे, और इसके साथ ही वलयाकार ग्रहण भी गायब हो जाएगा। यह पता चला है कि हम बस अंदर हैं सही जगह मेंवी सही समयइस घटना को देखने के लिए.

अंतरिक्ष में समरूपता भागों या तत्वों का एक सुंदर, सामंजस्यपूर्ण और संतुलित आनुपातिक संबंध है विभिन्न रूपवस्तुएं, जीव या वस्तुएं। अपने आस-पास के अंतरिक्ष में हम सममित आकार की बहुत सी निर्जीव वस्तुओं को देख सकते हैं। सरल और अत्यधिक जटिल दोनों तरह के जीवित जीवों की संरचना में समरूपता के तत्व भी होते हैं।

उत्कृष्टता की खोज

एक सममित आकार की पहचान पूर्णता और सामंजस्य से की जा सकती है। यह अकारण नहीं है कि "समरूपता" और "पूर्णता" जैसे शब्द कई लोगों की भाषाओं में पर्यायवाची हैं।

अंतरिक्ष में समरूपता हर जगह पाई जाती है। पौधों और जीवित जीवों के रूपों की विविधता उनकी आनुपातिकता, स्थिरता और एर्गोनोमिक रूप से आश्चर्यचकित करती है। यहां हर चीज़ को सबसे छोटे विवरण के साथ सोचा गया है: अद्भुत सुंदरता, अनुपात की सुंदरता और कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं। जीवन की सर्वोत्तम कार्यक्षमता के लिए सब कुछ प्रदान किया जाता है।

केंद्रीय समरूपता

हमारे चारों ओर की दुनिया के अंतरिक्ष में, क्रिस्टल की संरचना में निर्जीव प्रकृति स्पष्ट रूप से दिखाई देती है। इस प्रकार की समरूपता बर्फ के टुकड़ों की संरचना में स्पष्ट रूप से दिखाई देती है, जो बर्फ के क्रिस्टल हैं। उनके रूप आश्चर्यजनक रूप से विविध हैं। लेकिन वे सभी केंद्रीय रूप से सममित हैं।

केंद्रीय या रेडियल समरूपता का एक उदाहरण पौधे के फूल हैं: सूरजमुखी, कैमोमाइल, आईरिस, एस्टर। इस प्रकार की सममिति को घूर्णी भी कहा जाता है। यदि किसी फूल की पंखुड़ियाँ या बर्फ के टुकड़े की किरणें केंद्र के सापेक्ष घूमें, तो वे एक-दूसरे को ओवरलैप कर देंगी।

दर्पण समरूपता

हमारे आस-पास की प्राकृतिक दुनिया में दर्पण समरूपता पौधों और जानवरों में देखी जाती है। ओक या फर्न, बीटल या तितली, मकड़ी या कैटरपिलर, चूहा या खरगोश - ये केवल कुछ उदाहरण हैं जहां आप जीवित जीवों में द्विपक्षीय या दर्पण समरूपता देख सकते हैं। एक व्यक्ति सममित है, जैसे शरीर के अंग हैं: हाथ, पैर। इन रूपों में हम वस्तु के एक आधे भाग का दूसरे आधे भाग से एक प्रकार का दर्पण प्रतिबिंब देखते हैं। यदि आप किसी वस्तु को समतल में रखते हैं, तो उसकी छवि मानसिक रूप से बीच में झुक सकती है, और एक आधा दूसरे पर ओवरलैप हो जाएगा।

समरूपता के उद्भव की परिकल्पना

वैज्ञानिक दुनिया में, ऐसी कई परिकल्पनाएँ हैं जो यह समझाने की कोशिश करती हैं कि हमारी दुनिया के अंतरिक्ष में समरूपता कैसे उत्पन्न हुई। उनमें से एक के अनुसार, जो कुछ भी ऊपर या नीचे बढ़ता है वह कानून के अधीन है, और जो कुछ भी पृथ्वी की सतह के समानांतर बनता है या उसकी ओर झुका होता है वह दर्पण-सममित आकार लेता है। वे इन गुणों को समझाने का प्रयास करते हैं गुरुत्वाकर्षणग्रह के केंद्र से और उनके स्थान के आधार पर सूर्य के प्रकाश द्वारा वस्तुओं की रोशनी की अलग-अलग डिग्री।

विज्ञान और कला में समरूपता

प्राचीन काल में कलाकारों, मूर्तिकारों और वास्तुकारों द्वारा अंतरिक्ष में समरूपता की सराहना की गई थी। हम प्राचीन शैल चित्रों, प्राचीन वस्तुओं और हथियारों की सजावटी सजावट में समरूपता के तत्व देखते हैं। मिस्र और माया के पिरामिड, स्लाव कैथेड्रल के गुंबद, यूनानी मंदिरऔर महल, प्राचीन मेहराब और अखाड़े, व्हाइट हाउस और मॉस्को क्रेमलिन का मुखौटा - ये उत्कृष्ट सुंदरता और सच्ची पूर्णता की इच्छा के कुछ उदाहरण हैं।

समरूपता की अवधारणाओं को गणितज्ञों द्वारा गंभीरता से विकसित किया गया था। किए गए गणितीय अध्ययनों से समतल और अंतरिक्ष में समरूपता के मुख्य पैटर्न की पहचान करना संभव हो गया। भौतिकी और रसायन विज्ञान ने भी इस दिलचस्प प्राकृतिक पैटर्न को नजरअंदाज नहीं किया। शिक्षाविद् वी.आई. वर्नाडस्की का मानना ​​था कि "समरूपता... उन सभी क्षेत्रों के गुणों को शामिल करती है जिनके साथ एक भौतिक विज्ञानी और एक रसायनज्ञ व्यवहार करता है।" परमाणुओं की सममित संरचना के कारण अणु अंदर प्रवेश करते हैं विभिन्न प्रतिक्रियाएँऔर शर्त भौतिक गुणक्रिस्टल गठन. भले ही भौतिकी के नियम स्थापित हो रहे हों भौतिक मात्रा, विभिन्न परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तित रहेगा, तो हम कह सकते हैं कि इन कानूनों में इन परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीयता या समरूपता है।

पीछे की ओर आगे की ओर

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पाठ का प्रकार:संयुक्त.

पाठ मकसद:

• कुछ ज्यामितीय आकृतियों के गुणों के रूप में अक्षीय, केंद्रीय और दर्पण समरूपता पर विचार करें।
• सममित बिंदु बनाना और अक्षीय समरूपता और केंद्रीय समरूपता वाली आकृतियों को पहचानना सिखाएं।
• समस्या समाधान कौशल में सुधार करें.

पाठ मकसद:

• छात्रों के स्थानिक प्रतिनिधित्व का गठन।
• अवलोकन और तर्क करने की क्षमता विकसित करना; प्रयोग के माध्यम से किसी विषय में रुचि विकसित करना सूचना प्रौद्योगिकी.
• एक ऐसे व्यक्ति का पालन-पोषण करना जो सुंदरता की सराहना करना जानता हो।

पाठ उपकरण:

• सूचना प्रौद्योगिकी का उपयोग (प्रस्तुति)।
• चित्र.
• होमवर्क कार्ड.

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण.

पाठ का विषय बताएं, पाठ के उद्देश्य बताएं।

द्वितीय. परिचय.

समरूपता क्या है?

उत्कृष्ट गणितज्ञ हरमन वेइल ने समरूपता की भूमिका की अत्यधिक सराहना की आधुनिक विज्ञान: "समरूपता, चाहे हम शब्द को कितना भी व्यापक या संकीर्ण रूप से समझें, एक विचार है जिसकी मदद से मनुष्य ने व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझाने और बनाने की कोशिश की है।"

हम बहुत खूबसूरत और में रहते हैं सामंजस्यपूर्ण दुनिया. हम उन वस्तुओं से घिरे हुए हैं जो आंखों को भाती हैं। उदाहरण के लिए, एक तितली मेपल का पत्ता, बर्फ़ का टुकड़ा। देखो वे कितने सुंदर हैं. क्या आपने उन पर ध्यान दिया है? आज हम इस अद्भुत गणितीय घटना - समरूपता पर बात करेंगे। आइए अक्षीय की अवधारणा से परिचित हों, केंद्रीय और दर्पण समरूपता. हम ऐसी आकृतियाँ बनाना और पहचानना सीखेंगे जो अक्ष, केंद्र और तल के सापेक्ष सममित हों।

ग्रीक से अनुवादित "समरूपता" शब्द "सद्भाव" जैसा लगता है, जिसका अर्थ है भागों की व्यवस्था में सुंदरता, आनुपातिकता, आनुपातिकता, एकरूपता। मनुष्य ने लंबे समय से वास्तुकला में समरूपता का उपयोग किया है। प्राचीन मंदिर, मध्यकालीन महलों की मीनारें, आधुनिक इमारतोंयह सद्भाव और पूर्णता देता है।

अधिकांश में सामान्य रूप से देखेंगणित में "समरूपता" को अंतरिक्ष (तल) के ऐसे परिवर्तन के रूप में समझा जाता है, जिसमें प्रत्येक बिंदु M किसी समतल (या रेखा) a के सापेक्ष दूसरे बिंदु M" पर जाता है, जब खंड MM" समतल के लंबवत होता है (या लाइन) ए और इसके द्वारा आधे में विभाजित है। समतल (सीधी रेखा) a को सममिति का समतल (या अक्ष) कहा जाता है। समरूपता की मूलभूत अवधारणाओं में समरूपता का तल, समरूपता की धुरी, समरूपता का केंद्र शामिल हैं। सममिति तल P वह समतल है जो किसी आकृति को दो दर्पण जैसे समान भागों में विभाजित करता है, जो एक वस्तु और उसकी दर्पण छवि के समान एक दूसरे के सापेक्ष स्थित होते हैं।

तृतीय. मुख्य हिस्सा। समरूपता के प्रकार.

केंद्रीय समरूपता

किसी बिंदु के बारे में समरूपता या केंद्रीय समरूपता- यह एक ऐसी संपत्ति है ज्यामितीय आकृति, जब समरूपता केंद्र के एक तरफ स्थित कोई भी बिंदु केंद्र के दूसरी तरफ स्थित किसी अन्य बिंदु से मेल खाता है। इस मामले में, बिंदु केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा खंड पर स्थित होते हैं, जो खंड को आधे में विभाजित करता है।

व्यावहारिक कार्य.

1. अंक दिए गए हैं ए, मेंऔर एम एमखंड के मध्य के सापेक्ष अब.
2. निम्नलिखित में से किस अक्षर में समरूपता का केंद्र है: A, O, M, X, K?
3. क्या उनके पास समरूपता का केंद्र है: ए) एक खंड; बी) किरण; ग) प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी; घ) वर्ग?

अक्षीय समरूपता

एक सीधी रेखा के बारे में समरूपता (या अक्षीय समरूपता) एक ज्यामितीय आकृति का एक गुण है जब एक रेखा के एक तरफ स्थित कोई भी बिंदु हमेशा रेखा के दूसरी तरफ स्थित एक बिंदु के अनुरूप होगा, और इन बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड समरूपता के अक्ष के लंबवत होंगे और द्वारा विभाजित होंगे यह।

व्यावहारिक कार्य.

1. दो अंक दिए गए एऔर में, कुछ रेखा और एक बिंदु के संबंध में सममित एम. बिंदु के सममित एक बिंदु का निर्माण करें एमउसी पंक्ति के सापेक्ष.
2. निम्नलिखित में से किस अक्षर में समरूपता का अक्ष है: A, B, D, E, O?
3. a) एक खंड में सममिति के कितने अक्ष होते हैं? बी) सीधा; ग) किरण?
4. चित्र में सममिति के कितने अक्ष हैं? (चित्र 1 देखें)

दर्पण समरूपता

अंक एऔर मेंसमतल α (समरूपता का तल) के सापेक्ष सममित कहलाते हैं यदि समतल α खंड के मध्य से होकर गुजरता है अबऔर इस खंड के लंबवत। α तल का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है।

व्यावहारिक कार्य.

1. उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिन पर बिंदु A (0; 1; 2), B (3; -1; 4), C (1; 0; -2) जाते हैं: a) मूल बिंदु के सापेक्ष केंद्रीय समरूपता; बी) समन्वय अक्षों के सापेक्ष अक्षीय समरूपता; ग) समन्वित तलों के सापेक्ष दर्पण समरूपता।
2. क्या दर्पण समरूपता में दायाँ दस्ताना दाएँ या बाएँ दस्ताना में जाता है? अक्षीय समरूपता? केंद्रीय समरूपता?
3. चित्र से पता चलता है कि संख्या 4 दो दर्पणों में कैसे परिलक्षित होती है। यदि संख्या 5 के साथ भी ऐसा ही किया जाए तो प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या दिखाई देगा? (चित्र 2 देखें)
4. तस्वीर में दिखाया गया है कि कैसे कंगारू शब्द दो दर्पणों में प्रतिबिंबित होता है। यदि आप संख्या 2011 के साथ भी ऐसा ही करें तो क्या होगा? (चित्र 3 देखें)

चावल। 2

यह दिलचस्प है।

जीवित प्रकृति में समरूपता।

लगभग सभी जीवित प्राणियों का निर्माण समरूपता के नियमों के अनुसार किया गया है, यह अकारण नहीं है कि इसका अनुवाद किया गया है ग्रीक शब्द"समरूपता" का अर्थ है "आनुपातिकता"।

उदाहरण के लिए, फूलों में घूर्णी समरूपता होती है। कई फूलों को घुमाया जा सकता है ताकि प्रत्येक पंखुड़ी अपने पड़ोसी की स्थिति ले ले, फूल अपने साथ संरेखित हो जाए। ऐसे घूर्णन का न्यूनतम कोण विभिन्न रंगों के लिए समान नहीं होता है। आईरिस के लिए यह 120° है, बेलफ़्लॉवर के लिए - 72°, नार्सिसस के लिए - 60°।

पौधे के तनों पर पत्तियों की व्यवस्था में पेचदार समरूपता होती है। तने के साथ एक पेंच की तरह स्थित, पत्तियां अलग-अलग दिशाओं में फैली हुई लगती हैं और प्रकाश से एक-दूसरे को अस्पष्ट नहीं करती हैं, हालांकि पत्तियों में स्वयं भी समरूपता की धुरी होती है। मानते हुए समग्र योजनाकिसी भी जानवर की संरचना में, हम आमतौर पर शरीर के अंगों या अंगों की व्यवस्था में एक निश्चित नियमितता देखते हैं, जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर दोहराई जाती हैं या एक निश्चित विमान के संबंध में समान स्थिति पर कब्जा कर लेती हैं। इस नियमितता को शरीर समरूपता कहा जाता है। समरूपता की घटनाएँ पशु जगत में इतनी व्यापक हैं कि ऐसे समूह को इंगित करना बहुत कठिन है जिसमें शरीर की कोई समरूपता नज़र नहीं आती। छोटे कीड़ों और बड़े जानवरों दोनों में समरूपता होती है।

निर्जीव प्रकृति में समरूपता.

निर्जीव प्रकृति के असंख्य रूपों के बीच ऐसे उत्तम चित्र बहुतायत में पाए जाते हैं, जिनका स्वरूप बरबस ही हमारा ध्यान अपनी ओर आकर्षित कर लेता है। प्रकृति की सुंदरता का अवलोकन करते हुए, आप देख सकते हैं कि जब वस्तुएँ पोखरों और झीलों में परिलक्षित होती हैं, दर्पण समरूपता(चित्र 4 देखें)।

क्रिस्टल निर्जीव प्रकृति की दुनिया में समरूपता का आकर्षण लाते हैं। प्रत्येक बर्फ का टुकड़ा जमे हुए पानी का एक छोटा क्रिस्टल है। बर्फ के टुकड़ों का आकार बहुत विविध हो सकता है, लेकिन उन सभी में घूर्णी समरूपता और, इसके अलावा, दर्पण समरूपता होती है।

कोई भी मुखयुक्त रत्नों में समरूपता देखने से बच नहीं सकता। कई कटर हीरे को टेट्राहेड्रोन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रोन या इकोसाहेड्रोन का आकार देने का प्रयास करते हैं। चूंकि गार्नेट में क्यूब के समान तत्व होते हैं, इसलिए विशेषज्ञों द्वारा इसे अत्यधिक महत्व दिया जाता है। कीमती पत्थर. कब्रों में गार्नेट से बनी कलाकृतियाँ मिलीं प्राचीन मिस्र, पूर्व-राजवंशीय काल (दो सहस्राब्दी ईसा पूर्व) से डेटिंग (चित्र 5 देखें)।

हर्मिटेज संग्रह में विशेष ध्यानप्राचीन सीथियनों के सोने के गहनों का उपयोग किया जाता था। सोने की मालाओं, मुकुटों, लकड़ी का कलात्मक काम और कीमती लाल-बैंगनी गार्नेट से सजाया गया असामान्य रूप से बढ़िया है।

जीवन में समरूपता के नियमों का सबसे स्पष्ट उपयोग वास्तुशिल्प संरचनाओं में होता है। यही तो हम अक्सर देखते हैं. वास्तुकला में, समरूपता के अक्षों का उपयोग वास्तुशिल्प डिजाइन को व्यक्त करने के साधन के रूप में किया जाता है (चित्र 6 देखें)। ज्यादातर मामलों में, कालीन, कपड़े और इनडोर वॉलपेपर पर पैटर्न अक्ष या केंद्र के बारे में सममित होते हैं।

किसी व्यक्ति द्वारा अपने अभ्यास में समरूपता का उपयोग करने का एक और उदाहरण प्रौद्योगिकी है। इंजीनियरिंग में, समरूपता अक्षों को सबसे स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है जहां शून्य स्थिति से विचलन का अनुमान लगाना आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, ट्रक के स्टीयरिंग व्हील पर या जहाज के स्टीयरिंग व्हील पर। या मानव जाति के सबसे महत्वपूर्ण आविष्कारों में से एक जिसमें समरूपता का केंद्र है वह पहिया है; प्रोपेलर और अन्य तकनीकी साधनों में भी समरूपता का केंद्र है।

"आईने में देखो!"

क्या हमें यह सोचना चाहिए कि हम स्वयं को केवल "दर्पण छवि" में देखते हैं? या, अधिक से अधिक, क्या हम केवल तस्वीरों और फिल्म में ही पता लगा सकते हैं कि हम "वास्तव में" कैसे दिखते हैं? बिल्कुल नहीं: यह काफी है दर्पण छविअपना असली चेहरा देखने के लिए दूसरी बार दर्पण में प्रतिबिंबित करें। ट्रेलिस बचाव के लिए आते हैं। उनके बीच में एक बड़ा मुख्य दर्पण और किनारों पर दो छोटे दर्पण हैं। अगर आप ऐसे साइड मिरर को बीच वाले मिरर से समकोण पर लगाएं तो आप खुद को ठीक उसी रूप में देख सकते हैं, जिस रूप में दूसरे आपको देखते हैं। अपनी बाईं आंख बंद करें, और दूसरे दर्पण में आपका प्रतिबिंब आपकी बाईं आंख के साथ आपकी गति को दोहराएगा। जाली से पहले, आप चुन सकते हैं कि आप स्वयं को दर्पण छवि में देखना चाहते हैं या प्रत्यक्ष छवि में।

यह कल्पना करना आसान है कि यदि प्रकृति में समरूपता टूट गई तो पृथ्वी पर किस प्रकार का भ्रम व्याप्त हो जाएगा!

चावल। 4	चावल। 5	चावल। 6

चतुर्थ. शारीरिक शिक्षा मिनट.

• « आलसी आठ» – ऐसी संरचनाओं को सक्रिय करें जो याद रखना सुनिश्चित करती हैं, ध्यान की स्थिरता बढ़ाती हैं।
  हवा में खींचो क्षैतिज समक्षेत्रसंख्या आठ तीन बार, पहले एक हाथ से, फिर दोनों हाथों से एक साथ।
• « सममित चित्र »- हाथ-आंख समन्वय में सुधार करें और लेखन प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाएं।
  दोनों हाथों से हवा में सममित पैटर्न बनाएं।

वी. स्वतंत्र परीक्षण कार्य.

Ι विकल्प

ΙΙ विकल्प

1. आयत MPKH में O विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, RA और BH शीर्ष P और H से सीधी रेखा MK पर खींचे गए लंबवत हैं। यह ज्ञात है कि एमए = ओबी। कोण POM ज्ञात कीजिए।
2. समचतुर्भुज MPKH में विकर्ण बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं के बारे में।पक्षों पर एमके, केएच, पीएच बिंदु ए, बी, सी क्रमशः लिए गए हैं, एके = केवी = आरएस। सिद्ध कीजिए कि OA = OB है और कोण POC तथा MOA का योग ज्ञात कीजिए।
3. दिए गए विकर्ण के अनुदिश एक वर्ग का निर्माण करें ताकि इस वर्ग के दो विपरीत शीर्ष दिए गए तीव्र कोण के विपरीत पक्षों पर स्थित हों।

VI. पाठ का सारांश. आकलन।

• आपने कक्षा में किस प्रकार की समरूपता के बारे में सीखा?
• किसी दी गई रेखा के संबंध में कौन से दो बिंदु सममित कहलाते हैं?
• किसी दी गई रेखा के संबंध में कौन सी आकृति सममित कहलाती है?
• किसी दिए गए बिंदु के बारे में किन दो बिंदुओं को सममित कहा जाता है?
• किसी दिए गए बिंदु के बारे में कौन सी आकृति सममित कहलाती है?
• दर्पण समरूपता क्या है?
• उन आकृतियों के उदाहरण दीजिए जिनमें: a) अक्षीय समरूपता; बी) केंद्रीय समरूपता; ग) अक्षीय और केंद्रीय समरूपता दोनों।
• सजीव और निर्जीव प्रकृति में समरूपता के उदाहरण दीजिए।

सातवीं. गृहकार्य।

1. व्यक्तिगत: अक्षीय समरूपता का उपयोग करके संरचना को पूरा करें (चित्र 7 देखें)।

चावल। 7

2. निम्नलिखित के संबंध में दी गई आकृति के सममित एक आकृति बनाएं: ए) एक बिंदु; बी) सीधा (चित्र 8, 9 देखें)।

चावल। 8	चावल। 9

3. रचनात्मक कार्य: "जानवरों की दुनिया में"। पशु जगत से एक प्रतिनिधि का चित्र बनाइये और समरूपता का अक्ष दिखाइये।

आठवीं. प्रतिबिंब।

• आपको पाठ के बारे में क्या पसंद आया?
• कौन सी सामग्री सबसे दिलचस्प थी?
• इस या उस कार्य को पूरा करते समय आपको किन कठिनाइयों का सामना करना पड़ा?
• पाठ के दौरान आप क्या बदलेंगे?

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स्लाइड कैप्शन:

अंतरिक्ष में समरूपता A A 1 O बिंदु A और A1 को बिंदु O (समरूपता का केंद्र) के सापेक्ष सममित कहा जाता है यदि O खंड AA1 का मध्य है। बिंदु O को स्वयं सममित माना जाता है।

अंतरिक्ष में समरूपता बिंदु A और A1 को एक सीधी रेखा (समरूपता की धुरी) के संबंध में सममित कहा जाता है यदि सीधी रेखा खंड AA1 के मध्य से होकर गुजरती है और इस खंड के लंबवत है। रेखा a का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है। एक पत्ती, एक बर्फ का टुकड़ा, एक तितली अक्षीय समरूपता के उदाहरण हैं। ए 1 ए ए

अंतरिक्ष में समरूपता बिंदु ए और ए 1 को एक विमान (समरूपता का विमान) के सापेक्ष सममित कहा जाता है यदि यह विमान खंड एए 1 के मध्य से गुजरता है और इस खंड के लंबवत है। समतल का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है। ए ए 1

एक बिंदु (सीधी रेखा, समतल) को किसी आकृति की समरूपता का केंद्र (अक्ष, समतल) कहा जाता है यदि आकृति का प्रत्येक बिंदु उसी आकृति के किसी बिंदु के सापेक्ष सममित हो। यदि किसी आकृति में समरूपता का केंद्र (अक्ष, तल) है, तो इसे केंद्रीय (अक्षीय, दर्पण) समरूपता कहा जाता है। ए 1 ए ओ ए 1 ए ओ

हम अक्सर प्रकृति, वास्तुकला, प्रौद्योगिकी और रोजमर्रा की जिंदगी में समरूपता का सामना करते हैं। इस प्रकार, कई इमारतें विमान के सापेक्ष सममित हैं, उदाहरण के लिए मॉस्को की मुख्य इमारत स्टेट यूनिवर्सिटी, कुछ प्रकार के भागों में समरूपता की धुरी होती है। प्रकृति में पाए जाने वाले लगभग सभी क्रिस्टलों में एक केंद्र, अक्ष या समरूपता का तल होता है। ज्यामिति में, किसी बहुफलक के केंद्र, अक्षों और समरूपता के तलों को उस बहुफलक के समरूपता तत्व कहा जाता है।

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