Persamaan dengan garis singgung. Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

Saat menyelesaikan banyak hal masalah matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan telah ditentukan dengan jelas. Permasalahan tersebut misalnya persamaan linier dan kuadrat, pertidaksamaan linier dan kuadrat, persamaan pecahan, dan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat. Prinsip keberhasilan penyelesaian setiap masalah yang disebutkan adalah sebagai berikut: Anda perlu menentukan jenis masalah apa yang sedang Anda pecahkan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, yaitu. jawab dan ikuti langkah berikut.

Jelaslah bahwa keberhasilan atau kegagalan dalam menyelesaikan suatu masalah tertentu terutama bergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan penyelesaiannya direproduksi. Tentunya dalam hal ini diperlukan keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.

Situasinya berbeda dengan persamaan trigonometri. Sama sekali tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut bersifat trigonometri. Kesulitan muncul ketika menentukan urutan tindakan yang akan menghasilkan jawaban yang benar.

Terkadang sulit untuk menentukan jenisnya berdasarkan kemunculan suatu persamaan. Dan tanpa mengetahui jenis persamaannya, hampir tidak mungkin memilih persamaan yang tepat dari beberapa lusin rumus trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mencoba:

1. membawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke “sudut yang sama”;
2. membawa persamaan ke “fungsi identik”;
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dst.

Mari kita pertimbangkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana

Diagram solusi

Langkah 1. Nyatakan fungsi trigonometri dalam komponen-komponen yang diketahui.

Langkah 2. Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:

karena x = sebuah; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dosa x = a; x = (-1) n busursin a + πn, n Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Z.

Langkah 3. Temukan variabel yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Larutan.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

Jawaban: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Penggantian variabel

Diagram solusi

Langkah 1. Ubah persamaan tersebut menjadi bentuk aljabar terhadap salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2. Nyatakan fungsi yang dihasilkan dengan variabel t (jika perlu, berikan batasan pada t).

Langkah 3. Tuliskan dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.

Langkah 4. Lakukan penggantian terbalik.

Langkah 5. Selesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

Contoh.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Larutan.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Misalkan sin (x/2) = t, dimana |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2, tidak memenuhi syarat |t| ≤ 1.

4) dosa(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Z;

x = π + 4πn, n Z.

Jawaban: x = π + 4πn, n Z.

AKU AKU AKU. Metode pengurangan orde persamaan

Diagram solusi

Langkah 1. Gantikan persamaan ini dengan persamaan linier, menggunakan rumus pengurangan derajat:

dosa 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.

Contoh.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Larutan.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + πn, n Z.

Jawaban: x = ±π/6 + πn, n Z.

IV. Persamaan homogen

Diagram solusi

Langkah 1. Kurangi persamaan ini ke bentuk

a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen derajat satu)

atau ke pemandangan

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).

Langkah 2. Bagilah kedua ruas persamaan dengan

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dan dapatkan persamaan untuk tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Langkah 3. Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Larutan.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Misalkan tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 atau t = -4 yang artinya

tg x = 1 atau tg x = -4.

Dari persamaan pertama x = π/4 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + πk, k Z.

Jawaban: x = π/4 + πn, n Z; x = -arctg 4 + πk, k Z.

V. Metode transformasi persamaan menggunakan rumus trigonometri

Diagram solusi

Langkah 1. Dengan menggunakan semua rumus trigonometri yang mungkin, kurangi persamaan ini menjadi persamaan yang diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

dosa x + dosa 2x + dosa 3x = 0.

Larutan.

1) (dosa x + dosa 3x) + dosa 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) dosa 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Dari persamaan pertama 2x = π/2 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.

Kita mempunyai x = π/4 + πn/2, n Є Z; dari persamaan kedua x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Hasilnya, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Jawaban: x = π/4 + πn/2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Kemampuan dan keterampilan menyelesaikan persamaan trigonometri sangat baik Yang terpenting, pengembangannya memerlukan usaha yang besar, baik dari pihak siswa maupun dari pihak guru.

Banyak masalah stereometri, fisika, dll yang terkait dengan penyelesaian persamaan trigonometri.Proses penyelesaian masalah tersebut mewujudkan banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dengan mempelajari unsur-unsur trigonometri.

Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pembelajaran matematika dan pengembangan pribadi secara umum.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Persamaan trigonometri paling sederhana biasanya diselesaikan dengan menggunakan rumus. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa persamaan trigonometri paling sederhana adalah:

sinx = a

karenax = a

tgx = a

ctgx = a

x adalah sudut yang dicari,
a adalah bilangan apa pun.

Dan berikut adalah rumus yang dapat Anda gunakan untuk segera menuliskan solusi persamaan paling sederhana tersebut.

Untuk sinus:

Untuk kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Untuk garis singgung:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Untuk kotangen:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Sebenarnya, ini adalah bagian teoretis dalam menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana. Apalagi semuanya!) Tidak ada sama sekali. Namun, jumlah kesalahan pada topik ini sungguh di luar batas. Apalagi jika contohnya sedikit melenceng dari template. Mengapa?

Ya, karena banyak orang yang menulis surat-surat ini, tanpa memahami maknanya sama sekali! Dia menulis dengan hati-hati, jangan sampai terjadi sesuatu...) Ini perlu diselesaikan. Trigonometri untuk manusia, atau manusia untuk trigonometri!?)

Mari kita cari tahu?

Satu sudut akan sama dengan arccos a, Kedua: -arcos a.

Dan itu akan selalu berhasil seperti ini. Untuk apa pun A.

Jika Anda tidak mempercayai saya, arahkan mouse Anda ke atas gambar, atau sentuh gambar di tablet Anda.) Saya mengubah nomornya A terhadap sesuatu yang negatif. Bagaimanapun, kami mendapat satu sudut arccos a, Kedua: -arcos a.

Oleh karena itu, jawabannya selalu dapat ditulis sebagai dua rangkaian akar:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Mari kita gabungkan kedua seri ini menjadi satu:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Dan itu saja. Kami telah memperoleh rumus umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana dengan kosinus.

Jika Anda memahami bahwa ini bukanlah semacam kebijaksanaan superilmiah, tapi hanya versi singkat dari dua rangkaian jawaban, Anda juga akan dapat menangani tugas “C”. Dengan pertidaksamaan, dengan memilih akar-akar dari interval tertentu... Di sana jawaban dengan plus/minus tidak berfungsi. Namun jika Anda memperlakukan jawabannya secara bisnis dan memecahnya menjadi dua jawaban terpisah, semuanya akan terselesaikan.) Sebenarnya, itulah alasan kami menyelidikinya. Apa, bagaimana dan dimana.

Dalam persamaan trigonometri paling sederhana

sinx = a

kami juga mendapatkan dua rangkaian akar. Selalu. Dan kedua seri ini juga bisa direkam dalam satu baris. Hanya baris ini yang lebih rumit:

x = (-1) n busursin a + π n, n ∈ Z

Namun esensinya tetap sama. Matematikawan hanya merancang rumus untuk membuat satu, bukan dua entri, untuk rangkaian akar. Itu saja!

Mari kita periksa ahli matematika? Dan Anda tidak pernah tahu...)

Pada pelajaran sebelumnya, penyelesaian (tanpa rumus apa pun) persamaan trigonometri dengan sinus telah dibahas secara detail:

Jawabannya menghasilkan dua rangkaian akar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jika kita menyelesaikan persamaan yang sama menggunakan rumus, kita mendapatkan jawabannya:

x = (-1) n busursin 0,5 + π n, n ∈ Z

Sebenarnya ini adalah jawaban yang belum selesai.) Siswa harus mengetahui hal itu busursin 0,5 = π /6. Jawaban lengkapnya adalah:

x = (-1) n /6+ π n, n ∈ Z

Hal ini menimbulkan pertanyaan menarik. Balas melalui x 1; x 2 (ini adalah jawaban yang benar!) dan melalui kesepian X (dan ini jawaban yang benar!) - apakah sama atau tidak? Kita akan mencari tahu sekarang.)

Kami mengganti jawabannya dengan x 1 nilai-nilai N =0; 1; 2; dll., kita hitung, kita mendapatkan rangkaian akar:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 dan seterusnya.

Dengan substitusi yang sama sebagai tanggapan dengan x 2 , kita mendapatkan:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 dan seterusnya.

Sekarang mari kita substitusikan nilainya N (0; 1; 2; 3; 4...) ke dalam rumus umum tunggal X . Artinya, kita menaikkan minus satu ke pangkat nol, lalu ke pangkat pertama, kedua, dan seterusnya. Tentu saja, kita substitusikan 0 ke suku kedua; 1; 2 3; 4, dll. Dan kami menghitung. Kami mendapatkan seri:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 dan seterusnya.

Hanya itu yang bisa Anda lihat.) Rumus umum yang diberikan kepada kita hasil yang persis sama begitu pula dua jawaban secara terpisah. Semuanya sekaligus, secara berurutan. Para ahli matematika tidak tertipu.)

Rumus penyelesaian persamaan trigonometri dengan tangen dan kotangen juga dapat diperiksa. Tapi kami tidak akan melakukannya.) Itu sudah sederhana.

Saya menulis semua substitusi dan verifikasi ini secara khusus. Di sini penting untuk memahami satu hal sederhana: ada rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dasar, hanya ringkasan singkat dari jawabannya. Agar singkatnya, kita harus memasukkan plus/minus ke dalam solusi cosinus dan (-1) n ke dalam solusi sinus.

Sisipan ini sama sekali tidak mengganggu tugas di mana Anda hanya perlu menuliskan jawaban persamaan dasar. Tetapi jika Anda perlu menyelesaikan pertidaksamaan, atau kemudian Anda perlu melakukan sesuatu dengan jawabannya: memilih akar pada suatu interval, memeriksa ODZ, dll., penyisipan ini dapat dengan mudah meresahkan seseorang.

Jadi apa yang harus aku lakukan? Ya, tulis jawabannya dalam dua deret, atau selesaikan persamaan/pertidaksamaan menggunakan lingkaran trigonometri. Kemudian sisipan ini hilang dan hidup menjadi lebih mudah.)

Kita dapat meringkasnya.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana, ada rumus jawaban yang sudah jadi. Empat potong. Mereka bagus untuk langsung menuliskan solusi persamaan. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan:

dosax = 0,3

Dengan mudah: x = (-1) n busursin 0,3 + π n, n ∈ Z

karenax = 0,2

Tidak masalah: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Dengan mudah: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

Sisa satu: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

karena x = 1,8

Jika Anda bersinar dengan ilmu, langsung tulis jawabannya:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

maka kamu sudah bersinar, ini... itu... dari genangan air.) Jawaban yang benar: tidak ada solusi. Tidak mengerti kenapa? Baca apa itu arc cosinus. Selain itu, jika pada ruas kanan persamaan awal terdapat nilai tabel sinus, cosinus, tangen, kotangen, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 dan seterusnya. - jawaban melalui lengkungan tidak akan selesai. Lengkungan harus dikonversi ke radian.

Dan jika Anda menemukan ketidaksetaraan, misalnya

maka jawabannya adalah:

x πn, n ∈ Z

jarang ada omong kosong ya...) Di sini Anda perlu menyelesaikannya menggunakan lingkaran trigonometri. Apa yang akan kita lakukan pada topik terkait.

Bagi mereka yang dengan heroik membaca baris-baris ini. Saya sangat menghargai upaya besar Anda. Bonusnya untukmu.)

Bonusnya:

Saat menuliskan rumus dalam situasi pertarungan yang mengkhawatirkan, bahkan para kutu buku berpengalaman pun sering bingung di mana πn, Dan dimana 2π n. Inilah trik sederhana untuk Anda. Di dalam setiap orang formula bernilai πn. Kecuali satu-satunya rumus dengan arc cosinus. Itu berdiri di sana 2πn. Dua peen. Kata kunci - dua. Dalam rumus yang sama ada dua tandatangani di awal. Plus dan minus. Di sana-sini - dua.

Jadi jika Anda menulis dua tanda sebelum arc cosinus, lebih mudah untuk mengingat apa yang akan terjadi pada akhirnya dua peen. Dan hal itu juga terjadi sebaliknya. Orang tersebut akan melewatkan tandanya ± , sampai ke akhir, menulis dengan benar dua Pien, dan dia akan sadar. Ada sesuatu di depan dua tanda! Orang tersebut akan kembali ke awal dan memperbaiki kesalahannya! Seperti ini.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Membutuhkan pengetahuan tentang rumus dasar trigonometri - jumlah kuadrat sinus dan kosinus, ekspresi garis singgung melalui sinus dan kosinus, dan lain-lain. Bagi yang lupa atau belum mengetahuinya, kami sarankan membaca artikel "".
Jadi, kita sudah mengetahui rumus dasar trigonometri, sekarang saatnya mempraktikkannya. Memecahkan persamaan trigonometri dengan pendekatan yang tepat, ini merupakan aktivitas yang cukup mengasyikkan, seperti misalnya memecahkan kubus Rubik.

Berdasarkan namanya sendiri, jelas bahwa persamaan trigonometri adalah persamaan yang tidak diketahui persamaannya yang berada di bawah tanda fungsi trigonometri.
Ada yang disebut persamaan trigonometri paling sederhana. Berikut penampakannya: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mari kita pertimbangkan bagaimana menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut, untuk lebih jelasnya kita akan menggunakan lingkaran trigonometri yang sudah kita kenal.

sinx = a

karena x = a

tan x = a

tempat tidur x = a

Persamaan trigonometri apa pun diselesaikan dalam dua tahap: kita mereduksi persamaan tersebut ke bentuk paling sederhana dan kemudian menyelesaikannya sebagai persamaan trigonometri sederhana.
Ada 7 metode utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

Substitusi variabel dan metode substitusi

Selesaikan persamaan 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Dengan menggunakan rumus reduksi kita peroleh:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Ganti cos(x + /6) dengan y untuk menyederhanakan dan mendapatkan persamaan kuadrat biasa:

2 tahun 2 – 3 tahun + 1 + 0

Akar-akarnya adalah y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sekarang mari kita lakukan dalam urutan terbalik

Kami mengganti nilai y yang ditemukan dan mendapatkan dua pilihan jawaban:

Menyelesaikan persamaan trigonometri melalui faktorisasi

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan sin x + cos x = 1?

Mari kita pindahkan semuanya ke kiri sehingga 0 tetap di kanan:

dosa x + cos x – 1 = 0

Mari kita gunakan identitas yang dibahas di atas untuk menyederhanakan persamaan:

dosa x - 2 dosa 2 (x/2) = 0

Mari kita faktorkan:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kami mendapatkan dua persamaan

Reduksi menjadi persamaan homogen

Suatu persamaan dikatakan homogen terhadap sinus dan kosinus jika semua sukunya relatif terhadap sinus dan kosinus yang berderajat sama dan sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, lakukan sebagai berikut:

a) memindahkan seluruh anggotanya ke sisi kiri;

b) keluarkan semua faktor persekutuan dari tanda kurung;

c) menyamakan semua faktor dan tanda kurung dengan 0;

d) persamaan homogen dengan derajat yang lebih rendah diperoleh dalam tanda kurung, yang selanjutnya dibagi dengan sinus atau kosinus dengan derajat yang lebih tinggi;

e) selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk tg.

Selesaikan persamaan 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Mari kita gunakan rumus sin 2 x + cos 2 x = 1 dan hilangkan dua bilangan terbuka di sebelah kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Bagi dengan cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Gantikan tan x dengan y dan dapatkan persamaan kuadrat:

y 2 + 4y +3 = 0, yang akar-akarnya adalah y 1 =1, y 2 = 3

Dari sini kita menemukan dua solusi persamaan awal:

x 2 = arctan 3 + k

Memecahkan persamaan melalui transisi ke setengah sudut

Selesaikan persamaan 3sin x – 5cos x = 7

Mari kita lanjutkan ke x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Mari kita pindahkan semuanya ke kiri:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Bagi dengan cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Pengenalan sudut bantu

Sebagai pertimbangan, mari kita ambil persamaan bentuk: a sin x + b cos x = c,

di mana a, b, c adalah beberapa koefisien sembarang, dan x tidak diketahui.

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan:

Sekarang koefisien-koefisien persamaan tersebut menurut rumus trigonometri mempunyai sifat sin dan cos, yaitu: modulusnya tidak lebih dari 1 dan jumlah kuadratnya = 1. Mari kita nyatakan masing-masing sebagai cos dan sin, dimana - ini adalah yang disebut sudut bantu. Maka persamaannya akan berbentuk:

cos * sin x + sin * cos x = C

atau dosa(x + ) = C

Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana ini adalah

x = (-1) k * arcsin C - + k, dimana

Perlu dicatat bahwa notasi cos dan sin dapat dipertukarkan.

Selesaikan persamaan sin 3x – cos 3x = 1

Koefisien dalam persamaan ini adalah:

a = , b = -1, jadi bagi kedua ruasnya dengan = 2

Anda dapat memesan solusi terperinci untuk masalah Anda!!!

Persamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri (`sin x, cos x, tan x` atau `ctg x`) disebut persamaan trigonometri, dan rumus-rumusnyalah yang akan kita bahas lebih lanjut.

Persamaan paling sederhana adalah `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dengan `x` adalah sudut yang dicari, `a` adalah bilangan apa pun. Mari kita tuliskan rumus akar untuk masing-masing rumus tersebut.

1. Persamaan `sin x=a`.

Untuk `|a|>1` tidak ada solusi.

Ketika `|a| \leq 1` memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.

Rumus akar: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Persamaan `cos x=a`

Untuk `|a|>1` - seperti dalam kasus sinus, ia tidak memiliki solusi di antara bilangan real.

Ketika `|a| \leq 1` memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.

Rumus akar: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Kasus khusus untuk sinus dan kosinus dalam grafik.

3. Persamaan `tg x=a`

Memiliki jumlah solusi yang tak terbatas untuk setiap nilai `a`.

Rumus akar: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Persamaan `ctg x=a`

Juga memiliki jumlah solusi yang tak terbatas untuk setiap nilai `a`.

Rumus akar: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Rumus akar-akar persamaan trigonometri pada tabel

Untuk sinus:
Untuk kosinus:
Untuk tangen dan kotangen:
Rumus penyelesaian persamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik:

Metode penyelesaian persamaan trigonometri

Menyelesaikan persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap:

dengan bantuan mengubahnya menjadi yang paling sederhana;
selesaikan persamaan paling sederhana yang diperoleh dengan menggunakan rumus akar dan tabel yang ditulis di atas.

Mari kita lihat metode solusi utama menggunakan contoh.

Metode aljabar.

Metode ini melibatkan penggantian variabel dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

buat penggantinya: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, lalu `2y^2-3y+1=0`,

kita menemukan akar-akarnya: `y_1=1, y_2=1/2`, yang diikuti dua kasus:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jawaban: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisasi.

Contoh. Selesaikan persamaan: `sin x+cos x=1`.

Larutan. Mari kita pindahkan semua suku persamaan ke kiri: `sin x+cos x-1=0`. Dengan menggunakan , kita mentransformasikan dan memfaktorkan ruas kiri:

`dosa x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`dosa x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jawaban: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduksi menjadi persamaan homogen

Pertama, Anda perlu mereduksi persamaan trigonometri ini menjadi salah satu dari dua bentuk:

`a sin x+b cos x=0` (persamaan homogen derajat pertama) atau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (persamaan homogen derajat kedua).

Kemudian bagi kedua bagian dengan `cos x \ne 0` - untuk kasus pertama, dan dengan `cos^2 x \ne 0` - untuk kasus kedua. Kita memperoleh persamaan untuk `tg x`: `a tg x+b=0` dan `a tg^2 x + b tg x +c =0`, yang perlu diselesaikan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Larutan. Mari kita tulis ruas kanannya sebagai `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`dosa^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ini adalah persamaan trigonometri homogen derajat kedua, kita bagi ruas kiri dan kanannya dengan `cos^2 x \ne 0`, kita peroleh:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Mari kita perkenalkan penggantian `tg x=t`, sehingga menghasilkan `t^2 + t - 2=0`. Akar persamaan ini adalah `t_1=-2` dan `t_2=1`. Kemudian:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \di Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \dalam Z`.

Menjawab. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \dalam Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \dalam Z`.

Pindah ke Setengah Sudut

Contoh. Selesaikan persamaan: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Larutan. Mari kita terapkan rumus sudut ganda, sehingga menghasilkan: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Dengan menerapkan metode aljabar yang dijelaskan di atas, kita memperoleh:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \dalam Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Menjawab. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \dalam Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Pengenalan sudut bantu

Dalam persamaan trigonometri `a sin x + b cos x =c`, dengan a,b,c adalah koefisien dan x adalah variabel, bagi kedua ruas dengan `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(a^2 ) +b^2))`.

Koefisien di sebelah kiri mempunyai sifat sinus dan kosinus, yaitu jumlah kuadratnya sama dengan 1 dan modulnya tidak lebih besar dari 1. Mari kita nyatakan sebagai berikut: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, lalu:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Mari kita lihat lebih dekat contoh berikut:

Contoh. Selesaikan persamaan: `3 sin x+4 cos x=2`.

Larutan. Bagilah kedua ruas persamaan dengan `sqrt (3^2+4^2)`, kita peroleh:

`\frac (3 sin x) (akar (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(akar (3^2+4^2))=` `\frac 2(akar (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Mari kita nyatakan `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Karena `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, maka kita ambil `\varphi=arcsin 4/5` sebagai sudut bantu. Kemudian kita tulis persamaan kita dalam bentuk:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Dengan menerapkan rumus jumlah sudut sinus, kita tuliskan persamaan kita dalam bentuk berikut:

`dosa (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \dalam Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Menjawab. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Persamaan trigonometri rasional pecahan

Ini adalah persamaan pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung fungsi trigonometri.

Contoh. Selesaikan persamaannya. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Larutan. Kalikan dan bagi ruas kanan persamaan dengan `(1+cos x)`. Hasilnya kita mendapatkan:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Mengingat penyebutnya tidak boleh sama dengan nol, kita mendapatkan `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Mari kita samakan pembilang pecahan dengan nol: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Kemudian `sin x=0` atau `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \dalam Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \dalam Z`.

Diketahui ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, solusinya adalah `x=2\pi n, n \in Z` dan `x=\pi /2+2\pi n` , `n \dalam Z`.

Menjawab. `x=2\pi n`, `n \dalam Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Trigonometri, dan persamaan trigonometri khususnya, digunakan di hampir semua bidang geometri, fisika, dan teknik. Belajar dimulai dari kelas 10, selalu ada tugas untuk Ujian Negara Bersatu, jadi cobalah mengingat semua rumus persamaan trigonometri - pasti berguna bagi Anda!

Namun tidak perlu menghafalkannya, yang utama adalah memahami intisarinya dan mampu memperolehnya. Ini tidak sesulit kelihatannya. Buktikan sendiri dengan menonton videonya.

Memecahkan persamaan trigonometri sederhana.

Memecahkan persamaan trigonometri pada tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya bermuara pada penyelesaian persamaan trigonometri yang paling sederhana. Dan dalam hal ini lingkaran trigonometri kembali menjadi asisten terbaik.

Mari kita mengingat kembali definisi cosinus dan sinus.

Kosinus suatu sudut adalah absis (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.

Sinus suatu sudut adalah ordinat (yaitu koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.

Arah gerak positif pada lingkaran trigonometri adalah berlawanan arah jarum jam. Rotasi 0 derajat (atau 0 radian) berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat (1;0)

Kami menggunakan definisi ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.

1. Selesaikan persamaannya

Persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai sudut rotasi yang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya sama dengan .

Mari kita tandai suatu titik dengan ordinat pada sumbu ordinat:

Gambarlah garis mendatar sejajar sumbu x hingga berpotongan dengan lingkaran. Kita mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu ordinat. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:

Jika kita meninggalkan titik yang sudut rotasinya per radian, dan mengelilingi satu lingkaran penuh, maka kita akan sampai pada suatu titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian dan mempunyai ordinat yang sama. Artinya, sudut rotasi ini juga memenuhi persamaan kita. Kita dapat melakukan putaran “idle” sebanyak yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Jumlah putaran “idle” akan dilambangkan dengan huruf (atau). Karena kita dapat melakukan putaran ini dalam arah positif dan negatif, (atau) dapat mengambil nilai bilangan bulat berapa pun.

Artinya, deret pertama penyelesaian persamaan awal berbentuk:

, , - himpunan bilangan bulat (1)

Demikian pula, solusi rangkaian kedua memiliki bentuk:

, Di mana , . (2)

Seperti yang sudah Anda duga, rangkaian solusi ini didasarkan pada titik pada lingkaran yang bersesuaian dengan sudut rotasi sebesar .

Kedua rangkaian solusi ini dapat digabungkan menjadi satu entri:

Jika kita mengambil (yaitu, genap) dalam entri ini, maka kita akan mendapatkan rangkaian solusi pertama.

Jika kita mengambil (yaitu ganjil) dalam entri ini, maka kita mendapatkan solusi rangkaian kedua.

2. Sekarang mari kita selesaikan persamaannya

Karena ini adalah absis suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar suatu sudut, maka kita tandai titik tersebut dengan absis pada sumbunya:

Gambarlah garis vertikal sejajar sumbu hingga berpotongan dengan lingkaran. Kita akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu absis. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian. Ingatlah bahwa ketika bergerak searah jarum jam kita mendapatkan sudut rotasi negatif:

Mari kita tuliskan dua rangkaian solusi:

(Kita mencapai titik yang diinginkan dengan pergi dari lingkaran penuh utama, yaitu.

Mari gabungkan kedua seri ini menjadi satu entri:

3. Selesaikan persamaannya

Garis singgung melewati titik dengan koordinat (1,0) lingkaran satuan yang sejajar sumbu OY

Mari kita tandai sebuah titik di atasnya dengan ordinat sama dengan 1 (kita mencari garis singgung sudut yang sama dengan 1):

Mari kita hubungkan titik ini dengan titik asal koordinat dengan sebuah garis lurus dan tandai titik potong garis tersebut dengan lingkaran satuan. Titik potong garis lurus dan lingkaran sesuai dengan sudut rotasi pada dan :

Karena titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi yang memenuhi persamaan kita terletak pada jarak radian satu sama lain, kita dapat menulis penyelesaiannya sebagai berikut:

4. Selesaikan persamaannya

Garis kotangen melewati suatu titik yang koordinat lingkaran satuannya sejajar dengan sumbunya.

Mari kita tandai sebuah titik dengan absis -1 pada garis kotangen:

Mari kita hubungkan titik ini dengan asal garis lurus dan lanjutkan hingga berpotongan dengan lingkaran. Garis lurus ini akan memotong lingkaran di titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:

Karena titik-titik tersebut dipisahkan satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , kita dapat menuliskan penyelesaian umum persamaan ini sebagai berikut: