Geometrinin temelleri: doğru piramit. Doğru piramidin ana özellikleri

Önemli notlar!
1. Formüller yerine abrakadabra görüyorsanız, önbelleği temizleyin. Tarayıcınızda nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, sizin için en yararlı kaynak olan gezginimize dikkat edin.

Piramit nedir?

O nasıl görünüyor?

Görüyorsunuz: aşağıdaki piramitte ("diyorlar) üssünde"") bir çokgen ve bu çokgenin tüm köşeleri uzayda bir noktaya bağlıdır (bu noktaya " köşe»).

Bütün bu yapı, yan yüzler, yan kaburga Ve taban nervürleri. Bir kez daha tüm bu isimlerle birlikte bir piramit çizelim:

Bazı piramitler çok tuhaf görünebilir ama yine de piramitler.

Burada, örneğin, oldukça "eğik" piramit.

Ve isimler hakkında biraz daha: piramidin tabanında bir üçgen varsa, o zaman piramit üçgen olarak adlandırılır;

Aynı zamanda düştüğü nokta yükseklik, denir yükseklik tabanı. "Eğri" piramitlerde yükseklik piramidin dışında bile olabilir. Bunun gibi:

Ve bunda korkunç bir şey yok. Geniş bir üçgene benziyor.

Doğru piramit.

Bir sürü zor kelime? Deşifre edelim: " Temelde - doğru"- bu anlaşılabilir. Ve şimdi normal bir çokgenin bir merkezi olduğunu hatırlayın - ve , ve 'nin merkezi olan bir nokta.

Pekala, "üst kısım tabanın merkezine yansıtılır" ifadesi, yüksekliğin tabanının tam olarak tabanın merkezine düştüğü anlamına gelir. Bak ne kadar pürüzsüz ve sevimli görünüyor sağ piramit.

altıgen: tabanda - normal bir altıgen, tepe noktası tabanın merkezine yansıtılır.

dörtgen: tabanda - bir kare, üst kısım bu karenin köşegenlerinin kesişme noktasına yansıtılır.

üçgensel: tabanda normal bir üçgendir, tepe noktası bu üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasına yansıtılır (bunlar aynı zamanda ortanca ve açıortaydır).

Çok düzenli bir piramidin önemli özellikleri:

Sağdaki piramitte

• tüm yan kenarlar eşittir.
• tüm yan yüzler ikizkenar üçgendir ve tüm bu üçgenler eşittir.

Piramit Hacmi

Piramidin hacmi için ana formül:

Tam olarak nereden geldi? Bu o kadar basit değil ve ilk başta piramidin ve koninin formülde hacme sahip olduğunu, ancak silindirin olmadığını hatırlamanız gerekiyor.

Şimdi en popüler piramitlerin hacmini hesaplayalım.

Tabanın kenarı eşit olsun ve yan kenar eşit olsun. bulmam gerek ve.

Bu, bir dik üçgenin alanıdır.

Bu alanı nasıl arayacağımızı hatırlayalım. Alan formülünü kullanıyoruz:

Elimizde "" - bu ve "" - bu da var, eh.

Şimdi bulalım.

için Pisagor teoremine göre

Ne önemi var? Bu, çevrelenmiş çemberin yarıçapıdır, çünkü piramitdoğru ve dolayısıyla merkez.

Beri - kesişme noktası ve medyan da.

(için Pisagor teoremi)

için formülde yerine koyun.

Her şeyi hacim formülüne koyalım:

Dikkat: normal bir dört yüzlünüz varsa (yani), formül şöyledir:

Tabanın kenarı eşit olsun ve yan kenar eşit olsun.

Burada aramaya gerek yok; çünkü tabanda bir kare var ve bu nedenle.

Bulalım. için Pisagor teoremine göre

Biliyormuyuz? Neredeyse. Bakmak:

(bunu inceleyerek gördük).

Formülde şunun yerine koyun:

Ve şimdi ve'yi hacim formülüne yerleştiriyoruz.

Tabanın kenarı ve yan kenarı eşit olsun.

Nasıl bulunur? Bakın, bir altıgen tamı tamına altı özdeş düzgün üçgenden oluşur. Düzenli bir üçgen piramidin hacmini hesaplarken normal bir üçgenin alanını zaten aradık, burada bulunan formülü kullanıyoruz.

Şimdi (bunu) bulalım.

için Pisagor teoremine göre

Ama ne fark eder? Çok basit çünkü (ve diğer herkes de) doğru.

Değiştiriyoruz:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PİRAMİT. ANA KONU HAKKINDA KISACA

Bir piramit, herhangi bir düz çokgenden (), taban düzleminde (piramidin tepesi) uzanmayan bir noktadan ve piramidin tepesini taban noktalarına (yan kenarlar) bağlayan tüm parçalardan oluşan bir çokyüzlüdür.

Piramidin tepesinden taban düzlemine bir dikme düştü.

Doğru piramit- tabanında düzenli bir çokgen bulunan ve piramidin tepesi tabanın merkezine yansıtılan bir piramit.

Düzenli bir piramidin özelliği:

• Düzgün bir piramitte tüm yan kenarlar eşittir.
• Tüm yan yüzler ikizkenar üçgendir ve tüm bu üçgenler eşittir.

Piramidin hacmi:

neyse konu kapandı Bu satırları okuyorsanız, çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların sadece %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, o zaman% 5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu ... bu sadece süper! Akranlarınızın büyük çoğunluğundan zaten daha iyisiniz.

Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...

Ne için?

Sınavı başarıyla geçmek, bütçeden enstitüye kabul edilmek ve EN ÖNEMLİ Ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...

İyi bir eğitim almış kişiler, almayanlardan çok daha fazla kazanıyor. Bu istatistik.

Ama asıl mesele bu değil.

Asıl mesele, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle araştırmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? bilmiyorum...

Ama kendin için düşün...

Sınavda diğerlerinden daha iyi olacağından ve nihayetinde ... daha mutlu olacağından emin olmak için ne gerekiyor?

ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONU İLE İLGİLİ SORUNLARI ÇÖZÜN.

Sınavda size teori sorulmayacaktır.

İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.

Ve onları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanında yapamayacaksınız.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.

İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değil) ve kesinlikle tavsiye ediyoruz.

Görevlerimizi yerine getirmek için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek vardır:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın -
2. Öğreticideki 99 makalenin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 ruble

Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere erişim ve bunlardaki tüm gizli metinler anında açılabilir.

Tüm gizli görevlere erişim, sitenin tüm kullanım ömrü boyunca sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmediyseniz, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.

“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

dörtgen piramit Bir çokyüzlü, tabanı bir kare olan ve tüm yan yüzleri aynı ikizkenar üçgen olan bir çokyüzlü olarak adlandırılır.

Bu polihedronun birçok farklı özelliği vardır:

• Yanal nervürleri ve bitişik dihedral açıları birbirine eşittir;
• Yan yüzlerin alanları aynıdır;
• Düzenli bir dörtgen piramidin tabanında bir kare bulunur;
• Piramidin tepesinden düşen yükseklik, tabanın köşegenlerinin kesişme noktasıyla kesişir.

Tüm bu özellikler bulmayı kolaylaştırır. Bununla birlikte, çoğu zaman buna ek olarak çokyüzlünün hacmini hesaplamak gerekir. Bunu yapmak için, dörtgen bir piramidin hacmi için formülü uygulayın:

Yani piramidin hacmi, piramidin yüksekliği ile taban alanının çarpımının üçte birine eşittir. Eşit kenarlarının çarpımına eşit olduğu için hemen kare alan formülünü hacim ifadesine giriyoruz.
Dörtgen bir piramidin hacmini hesaplama örneğini ele alalım.

Tabanında bir kenarı a = 6 cm olan bir kare bulunan dörtgen bir piramit verilsin Piramidin yan yüzü b = 8 cm Piramidin hacmini bulun.

Belirli bir çokyüzlünün hacmini bulmak için yüksekliğinin uzunluğuna ihtiyacımız var. Bu nedenle Pisagor teoremini uygulayarak bulacağız. İlk önce köşegenin uzunluğunu hesaplayalım. Mavi üçgende hipotenüs olacak. Karenin köşegenlerinin birbirine eşit olduğunu ve kesişme noktasında ikiye bölündüğünü de hatırlamakta fayda var:


Şimdi kırmızı üçgenden h ihtiyacımız olan yüksekliği buluyoruz. Şuna eşit olacaktır:

Gerekli değerleri değiştirin ve piramidin yüksekliğini bulun:

Şimdi, yüksekliği bilerek, formüldeki tüm değerleri piramidin hacminin yerine koyabilir ve gerekli değeri hesaplayabiliriz:

Birkaç basit formülü bilerek, düzenli bir dörtgen piramidin hacmini bu şekilde hesaplayabildik. Bu değerin kübik birimlerle ölçüldüğünü unutmayın.

Bu video eğitimi, kullanıcıların Piramit teması hakkında fikir edinmelerine yardımcı olacaktır. Doğru piramit. Bu derste piramit kavramını tanıyacağız, ona bir tanım vereceğiz. Düzenli bir piramidin ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu düşünün. Daha sonra düzgün bir piramidin yan yüzeyindeki teoremi ispatlıyoruz.

Bu derste piramit kavramını tanıyacağız, ona bir tanım vereceğiz.

Bir çokgen düşünün bir 1 bir 2...Birα düzleminde yer alan ve bir nokta Pα düzleminde yer almayan (Şekil 1). noktayı birleştirelim P zirvelerle A 1, A 2, A 3, … Bir. Elde etmek Nüçgenler: Bir 1 Bir 2 R, Bir 2 Bir 3 R ve benzeri.

Tanım. çokyüzlü RA 1 A 2 ... Bir n, ondan yapılmış N-gon bir 1 bir 2...Bir Ve Nüçgenler RA 1 Bir 2, RA 2 Bir 3 …RA n Bir n-1 , çağrıldı N- kömür piramidi. Pirinç. 1.

Pirinç. 1

Dörtgen bir piramit düşünün PABCD(İncir. 2).

R- piramidin tepesi.

ABCD- piramidin tabanı.

RA- yan kaburga.

AB- taban kenarı.

bir noktadan R direği bırak RN yer düzleminde ABCD. Çizilen dikey, piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 2

Piramidin toplam yüzeyi, yan yüzeyden, yani tüm yan yüzlerin alanından ve taban alanından oluşur:

S dolu \u003d S tarafı + S ana

Aşağıdaki durumlarda bir piramit doğru olarak adlandırılır:

• tabanı normal bir çokgendir;
• piramidin tepesini tabanın merkezine bağlayan kısım, piramidin yüksekliğidir.

Düzenli bir dörtgen piramit örneği ile ilgili açıklama

Düzenli bir dörtgen piramit düşünün PABCD(Şek. 3).

R- piramidin tepesi. piramidin tabanı ABCD- normal bir dörtgen, yani bir kare. Nokta HAKKINDA, köşegenlerin kesişme noktası, karenin merkezidir. Araç, RO piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 3

Açıklama: sağda N-gon, çevrelenmiş çemberin merkezi ile çevrelenmiş çemberin merkezi çakışıyor. Bu merkeze çokgenin merkezi denir. Bazen tepenin merkeze yansıtıldığını söylerler.

Düzgün bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliğine denir. apothema ve belirtilen ha.

1. düzgün bir piramidin tüm yan kenarları eşittir;

2. yan yüzler birbirine eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Bu özellikleri düzenli bir dörtgen piramit örneğini kullanarak kanıtlayalım.

Verilen: RABCD- düzenli dörtgen piramit,

ABCD- kare,

RO piramidin yüksekliğidir.

Kanıtlamak:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Bkz. Şekil. 4.

Pirinç. 4

Kanıt.

RO piramidin yüksekliğidir. yani düz RO düzleme dik ABC ve dolayısıyla doğrudan AO, VO, SO Ve YAPMAK içinde yatıyor. Yani üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK- dikdörtgen.

Bir kare düşünün ABCD. Bir karenin özelliklerinden şu çıkar: AO = BO = CO = YAPMAK.

Sonra dik üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK bacak RO- genel ve bacaklar AO, VO, SO Ve YAPMAK eşittir, yani bu üçgenler iki bacakta eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden segmentlerin eşitliği çıkar, RA = PB = PC = PD. 1. nokta kanıtlanmıştır.

Segmentler AB Ve Güneş eşitler çünkü aynı karenin kenarları, RA = RV = PC. Yani üçgenler AVR Ve VCR- ikizkenar ve üç kenarı eşit.

Benzer şekilde, üçgenleri elde ederiz. ABP, BCP, CDP, DAP 2. paragrafta kanıtlanması gereken ikizkenar ve eşittir.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın ve apothemin çevresinin çarpımının yarısına eşittir:

Kanıt için düzenli bir üçgen piramit seçiyoruz.

Verilen: RAVS düzenli bir üçgen piramittir.

AB = BC = AC.

RO- yükseklik.

Kanıtlamak: . Bkz. 5.

Pirinç. 5

Kanıt.

RAVS düzenli bir üçgen piramittir. Yani AB= AC = BC. İzin vermek HAKKINDA- üçgenin merkezi ABC, Daha sonra RO piramidin yüksekliğidir. Piramidin tabanı bir eşkenar üçgendir. ABC. Dikkat edin, bu .

üçgenler RAV, RVS, RSA- eşit ikizkenar üçgenler (özelliğe göre). Üçgen bir piramidin üç yan yüzü vardır: RAV, RVS, RSA. Yani, piramidin yan yüzeyinin alanı:

S tarafı = 3S RAB

Teorem kanıtlanmıştır.

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanına yazılan bir dairenin yarıçapı 3 m, piramidin yüksekliği 4 m'dir Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Verilen: düzenli dörtgen piramit ABCD,

ABCD- kare,

R= 3 m,

RO- piramidin yüksekliği,

RO= 4 m.

Bulmak: S tarafı. Bkz. 6.

Pirinç. 6

Çözüm.

Kanıtlanmış teoreme göre, .

Önce tabanın kenarını bulun AB. Düzgün bir dörtgen piramidin tabanına çizilmiş bir dairenin yarıçapının 3 m olduğunu biliyoruz.

Sonra M.

Karenin çevresini bulun ABCD 6 m kenarlı:

Bir üçgen düşünün BCD. İzin vermek M- orta taraf DC. Çünkü HAKKINDA- orta BD, hacim).

Üçgen DPC- ikizkenar. M- orta DC. Yani, RM- medyan ve dolayısıyla üçgendeki yükseklik DPC. Daha sonra RM- piramidin özü.

RO piramidin yüksekliğidir. Sonra, düz RO düzleme dik ABC ve dolayısıyla doğrudan om içinde yatıyor. Bir apothem bulalım RM bir dik üçgenden ROM.

Şimdi piramidin yan yüzeyini bulabiliriz:

Cevap: 60 m2.

Düzgün bir üçgen piramidin tabanına yakın çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı m, yanal yüzey alanı 18 m2'dir. Apothemin uzunluğunu bulun.

Verilen: ABCP- düzenli üçgen piramit,

AB = BC = SA,

R= m,

G tarafı = 18 m 2.

Bulmak: . Bkz. 7.

Pirinç. 7

Çözüm.

Bir dik üçgende ABCçevrelenmiş dairenin yarıçapı verilir. bir taraf bulalım AB sinüs teoremini kullanarak bu üçgen.

Düzgün bir üçgenin kenarını (m) bilerek çevresini buluruz.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanındaki teoreme göre, burada ha- piramidin özü. Daha sonra:

Cevap: 4 m.

Böylece piramidin ne olduğunu, düzgün piramidin ne olduğunu inceledik, düzgün piramidin yan yüzeyinde teoremini ispatladık. Bir sonraki derste kesik piramit ile tanışacağız.

Kaynakça

1. Geometri. 10-11. Sınıflar: eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı (temel ve profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, Rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.
2. Geometri. 10-11. Sınıflar: Genel eğitim kurumları için bir ders kitabı / Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s.: hasta.
3. Geometri. 10. Sınıf: Genel eğitim kurumları için matematiğin derinlemesine ve profil çalışmasını içeren ders kitabı / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. baskı, basmakalıp. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: hasta.

1. İnternet portalı "Yaklass" ()
2. İnternet portalı "Pedagojik Fikirler Festivali" 1 Eylül "()
3. İnternet portalı "Slideshare.net" ()

Ev ödevi

1. Düzgün bir çokgen, düzensiz bir piramidin tabanı olabilir mi?
2. Düzgün bir piramidin kesişmeyen kenarlarının dik olduğunu kanıtlayın.
3. Eğer piramidin özü tabanının kenarına eşitse, düzgün bir dörtgen piramidin tabanının kenarındaki dihedral açının değerini bulun.
4. RAVS düzenli bir üçgen piramittir. Piramidin tabanında dihedral açının doğrusal açısını oluşturun.