Kısaca tam sayılar. Bütün sayılar. Tanım

Bu makaledeki bilgiler genel bir anlayış sağlar. tamsayılar. Öncelikle tamsayıların tanımı verilmekte ve örnekler verilmektedir. Daha sonra, sayı doğrusunda tam sayıları ele alıyoruz; buradan hangi sayılara pozitif tam sayılar, hangilerine negatif tam sayılar denildiği netleşiyor. Daha sonra miktarlardaki değişimlerin tam sayılar kullanılarak nasıl tanımlandığı, negatif tam sayıların borç anlamında nasıl değerlendirildiği gösterilir.

Sayfada gezinme.

Tamsayılar - Tanım ve Örnekler

Tanım.

Bütün sayılar– bunlar doğal sayılardır, sıfır sayısı ve doğal sayıların karşısındaki sayılar.

Tam sayıların tanımı, 1, 2, 3, … sayılarından herhangi birinin, 0 sayısının ve ayrıca −1, −2, −3, … sayılarının herhangi birinin bir tam sayı olduğunu belirtir. Artık kolayca getirebiliriz tamsayı örnekleri. Örneğin, 38 sayısı bir tam sayıdır, 70,040 sayısı da bir tam sayıdır, sıfır bir tam sayıdır (sıfırın bir doğal sayı OLMADIĞINI, sıfırın bir tam sayı olduğunu unutmayın), −999, −1, −8,934,832 sayıları da aynı zamanda tamsayı sayılara örnekler

Tüm tam sayıları, aşağıdaki biçimde olan bir tam sayı dizisi olarak temsil etmek uygundur: 0, ±1, ±2, ±3, ... Bir tam sayı dizisi şu şekilde yazılabilir: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Tam sayıların tanımından, doğal sayılar kümesinin tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle her doğal sayı bir tam sayıdır ancak her tam sayı bir doğal sayı değildir.

Koordinat doğrusu üzerindeki tamsayılar

Tanım.

Pozitif tam sayılar sıfırdan büyük tam sayılardır.

Tanım.

Negatif tamsayılar sıfırdan küçük tam sayılardır.

Pozitif ve negatif tam sayılar koordinat doğrusu üzerindeki konumlarına göre de belirlenebilir. Yatay bir koordinat doğrusu üzerinde, koordinatları pozitif tamsayı olan noktalar orijinin sağında yer alır. Buna karşılık, koordinatları negatif olan noktalar O noktasının solunda bulunur.

Tüm pozitif tam sayılar kümesinin doğal sayılar kümesi olduğu açıktır. Buna karşılık, tüm negatif tam sayılar kümesi, doğal sayıların karşısındaki tüm sayılar kümesidir.

Ayrı olarak, herhangi bir doğal sayıya güvenle tam sayı diyebileceğimiz, ancak hiçbir tam sayıya doğal sayı diyemeyeceğimiz gerçeğine dikkatinizi çekelim. Negatif tam sayılar ve sıfır doğal sayı olmadığından herhangi bir pozitif tam sayıya yalnızca doğal sayı diyebiliriz.

Pozitif ve negatif olmayan tam sayılar

Pozitif olmayan tam sayıların ve negatif olmayan tam sayıların tanımlarını verelim.

Tanım.

Sıfır sayısıyla birlikte tüm pozitif tam sayılara denir negatif olmayan tam sayılar.

Tanım.

Pozitif olmayan tam sayılar– bunların hepsi 0 sayısıyla birlikte negatif tam sayılardır.

Başka bir deyişle, negatif olmayan bir tam sayı, sıfırdan büyük veya sıfıra eşit bir tam sayıdır ve pozitif olmayan bir tam sayı, sıfırdan küçük veya sıfıra eşit bir tam sayıdır.

Pozitif olmayan tam sayılara örnek olarak −511, −10,030, 0, −2 sayıları verilebilir ve negatif olmayan tam sayılara örnek olarak 45, 506, 0, 900,321 sayılarını veriyoruz.

Çoğu zaman, "pozitif olmayan tam sayılar" ve "negatif olmayan tam sayılar" terimleri kısalık sağlamak için kullanılır. Örneğin, "a sayısı bir tam sayıdır ve a sıfırdan büyüktür veya sıfıra eşittir" ifadesi yerine "a negatif olmayan bir tam sayıdır" diyebilirsiniz.

Tamsayıları kullanarak niceliklerdeki değişiklikleri açıklama

İlk etapta neden tam sayılara ihtiyaç duyulduğundan bahsetmenin zamanı geldi.

Tamsayıların temel amacı, onların yardımıyla herhangi bir nesnenin miktarındaki değişiklikleri tanımlamanın uygun olmasıdır. Bunu örneklerle anlayalım.

Depoda belli sayıda parça olsun. Örneğin depoya 400 parça daha getirilirse depodaki parça sayısı artacaktır ve 400 sayısı bu miktar değişimini olumlu yönde (artarak) ifade etmektedir. Örneğin depodan 100 parça alınırsa depodaki parça sayısı azalacak, 100 sayısı ise miktardaki negatif yönde (aşağıya doğru) değişimi ifade edecektir. Depoya parça getirilmeyecek, depodan parça alınmayacak, o zaman parça miktarının sabit olmasından (yani sıfır miktar değişiminden bahsedebiliriz) bahsedebiliriz.

Verilen örneklerde parça sayısındaki değişim sırasıyla 400, −100 ve 0 tam sayıları kullanılarak açıklanabilir. Pozitif bir tamsayı (400), miktardaki pozitif yönde bir değişikliği (artışı) gösterir. Negatif bir tam sayı -100, miktardaki negatif yönde bir değişikliği (azalış) ifade eder. 0 tam sayısı miktarın değişmediğini gösterir.

Tam sayıları kullanmanın doğal sayıları kullanmaya göre rahatlığı, miktarın arttığını mı yoksa azaldığını mı açıkça belirtmenize gerek olmamasıdır; tamsayı değişikliğin niceliğini belirtir ve tamsayının işareti değişimin yönünü gösterir.

Tamsayılar sadece nicelikteki değişimi değil aynı zamanda bazı niceliklerdeki değişimi de ifade edebilir. Bunu sıcaklık değişimleri örneğini kullanarak anlayalım.

Sıcaklıktaki örneğin 4 derecelik bir artış, 4 pozitif tamsayı olarak ifade edilir. Sıcaklıkta örneğin 12 derecelik bir azalma, negatif bir −12 tamsayısıyla tanımlanabilir. Ve sıcaklığın değişmezliği, 0 tamsayısıyla belirlenen değişimidir.

Negatif tam sayıların borç miktarı olarak yorumlanmasından da ayrıca bahsetmek gerekir. Örneğin, eğer 3 elmamız varsa, pozitif tam sayı olan 3, sahip olduğumuz elma sayısını temsil eder. Öte yandan, birine 5 elma vermek zorunda kalıyorsak ancak stoklarımızda yoksa bu durum -5 negatif tamsayı kullanılarak açıklanabilir. Bu durumda, −5 elmaya “sahip oluyoruz”, eksi işareti borcu gösteriyor ve 5 sayısı da borcun miktarını gösteriyor.

Negatif bir tam sayıyı borç olarak anlamak, örneğin negatif tam sayıların eklenmesi kuralını doğrulamaya olanak tanır. Bir örnek verelim. Birinin birine 2 elma, diğerine 1 elma borcu varsa, o zaman toplam borç 2+1=3 elma olur, yani −2+(−1)=−3.

Kaynakça.

• Vilenkin N.Ya. ve diğerleri Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.

Bir demet bu kümenin elemanları olarak adlandırılan herhangi bir nesnenin kümesidir.

Örneğin: birçok okul çocuğu, birçok araba, birçok sayı .

Matematikte küme çok daha geniş bir şekilde ele alınır. Yüksek matematikle ilgili olduğu ve ilk başta öğrenmede zorluklar yaratabileceği için bu konuyu çok derinlemesine incelemeyeceğiz. Konunun yalnızca daha önce ele aldığımız kısmını ele alacağız.

Tanımlar

Bir küme çoğunlukla Latin alfabesinin büyük harfleriyle, elemanları ise küçük harflerle gösterilir. Bu durumda elemanlar küme parantezleri içine alınır.

Örneğin arkadaşlarımızın adı Tom, John ve Leo , o zaman unsurları olacak bir arkadaş kümesi tanımlayabiliriz. Tom, John ve Leo.

Birçok arkadaşımızı büyük Latin harfiyle belirtelim F(Arkadaşlar), sonra eşittir işareti koyun ve arkadaşlarımızı küme parantezleri içinde listeleyin:

F = (Tom, John, Aslan)

Örnek 2. 6 sayısının bölenleri kümesini yazalım.

Bu kümeyi herhangi bir büyük Latin harfiyle, örneğin harfle gösterelim. D

daha sonra eşittir işareti koyarız ve bu kümenin elemanlarını süslü parantez içinde listeleriz, yani 6 sayısının bölenlerini listeleriz

D = (1, 2, 3, 6)

Eğer bir eleman belirli bir kümeye aitse, bu üyelik ∈ üyelik işareti kullanılarak gösterilir. Örneğin, 2 böleni 6 sayısının bölenler kümesine aittir (küme D). Bu şekilde yazılmıştır:

Şöyle okur: “2, 6 sayısının bölenler kümesine aittir”

Eğer bazı öğeler belirli bir kümeye ait değilse, bu durumda üyeliksizlik, üstü çizili üyelik işareti ∉ kullanılarak belirtilir. Örneğin 5 numaralı bölen bu kümeye ait değil D. Bu şekilde yazılmıştır:

Şöyle okur: "5 ait değil 6″ sayısının bölenleri kümesi

Ayrıca elemanları büyük harfler olmadan doğrudan listeleyerek bir küme yazılabilir. Küme az sayıda öğeden oluşuyorsa bu uygun olabilir. Örneğin tek elemanlı bir küme tanımlayalım. Bu element dostumuz olsun Hacim:

( Hacim )

Bir adet 2 sayısından oluşan bir küme tanımlayalım

{ 2 }

İki sayıdan oluşan bir küme tanımlayalım: 2 ve 5

{ 2, 5 }

Doğal sayılar kümesi

Bu çalışmaya başladığımız ilk set. Doğal sayılar 1, 2, 3 vb. sayılardır.

Doğal sayılar, insanların diğer nesneleri sayma ihtiyacı nedeniyle ortaya çıktı. Örneğin tavukların, ineklerin, atların sayısını sayın. Doğal sayılar sayarken doğal olarak ortaya çıkar.

Önceki derslerde bu kelimeyi kullandığımızda "sayı", çoğunlukla kastedilen doğal bir sayıydı.

Matematikte doğal sayılar kümesi büyük harfle gösterilir N.

Örneğin 1 sayısının doğal sayılar kümesine ait olduğunu belirtelim. Bunu yapmak için 1 sayısını yazıp ∈ üyelik işaretini kullanarak birimin kümeye ait olduğunu belirtiriz. N

1 ∈ N

Şöyle okur: “biri doğal sayılar kümesine aittir”

Tam sayılar kümesi

Tamsayılar kümesi tüm pozitifleri ve 0 sayısını içerir.

Tam sayılar kümesi büyük harfle gösterilir Z .

Örneğin -5 sayısının tamsayılar kümesine ait olduğunu belirtelim:

−5 ∈ Z

10'un tam sayılar kümesine ait olduğunu belirtelim:

10 ∈ Z

0'ın tamsayılar kümesine ait olduğunu belirtelim:

Gelecekte tüm pozitif ve negatif sayıları tek bir ifade olarak adlandıracağız - bütün sayılar.

Rasyonel sayılar kümesi

Rasyonel sayılar bugüne kadar üzerinde çalıştığımız sıradan kesirlerin aynısıdır.

Rasyonel sayı, kesir olarak gösterilebilen bir sayıdır; burada A- kesrin payı, B- payda.

Pay ve payda, tam sayılar da dahil olmak üzere herhangi bir sayı olabilir (sıfıra bölemeyeceğiniz için sıfır hariç).

Örneğin, bunun yerine şunu hayal edin: A 10 sayısı ama onun yerine B- 2 numara

10'un 2'ye bölümü 5'e eşittir. 5 sayısının kesir olarak ifade edilebildiğini görüyoruz, bu da 5 sayısının rasyonel sayılar kümesine dahil olduğu anlamına geliyor.

5 sayısının tamsayılar kümesi için de geçerli olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle tamsayılar kümesi rasyonel sayılar kümesinin içinde yer alır. Bu, rasyonel sayılar kümesinin yalnızca sıradan kesirleri değil aynı zamanda -2, -1, 0, 1, 2 biçimindeki tam sayıları da içerdiği anlamına gelir.

Şimdi bunun yerine şunu hayal edelim A sayı 12'dir, ancak bunun yerine B- 5 numara.

12 bölü 5, 2,4'e eşittir. 2.4 ondalık kesirinin kesir olarak gösterilebileceğini görüyoruz, bu da onun rasyonel sayılar kümesine dahil olduğu anlamına geliyor. Bundan, rasyonel sayılar kümesinin yalnızca sıradan kesirleri ve tam sayıları değil, aynı zamanda ondalık kesirleri de içerdiği sonucuna varıyoruz.

Kesiri hesapladık ve 2.4 cevabını aldık. Ancak bu kesirin tamamını izole edebiliriz:

Bir kesrin tam kısmını ayırdığınızda karışık sayı elde edersiniz. Karışık bir sayının kesir olarak da gösterilebileceğini görüyoruz. Bu, rasyonel sayılar kümesinin aynı zamanda karışık sayıları da içerdiği anlamına gelir.

Sonuç olarak rasyonel sayılar kümesinin aşağıdakileri içerdiği sonucuna varıyoruz:

• bütün sayılar
• ortak kesirler
• ondalık sayılar
• karışık sayılar

Rasyonel sayılar kümesi büyük harfle gösterilir Q.

Örneğin bir kesrin rasyonel sayılar kümesine ait olduğunu belirtiyoruz. Bunu yapmak için kesrin kendisini yazıyoruz, ardından ∈ üyelik işaretini kullanarak kesrin rasyonel sayılar kümesine ait olduğunu belirtiyoruz:

∈ Q

4,5 ondalık kesirinin rasyonel sayılar kümesine ait olduğunu belirtelim:

4,5 ∈ Q

Karışık bir sayının rasyonel sayılar kümesine ait olduğunu belirtelim:

∈ Q

Setlere giriş dersi tamamlandı. Gelecekte setlere çok daha iyi bakacağız ama şimdilik bu derste anlatılanlar yeterli olacaktır.

Dersi beğendin mi?
Yeni VKontakte grubumuza katılın ve yeni derslerle ilgili bildirimler almaya başlayın

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü konusunda henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.

Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.

Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ancak bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:

Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun, uzayın farklı noktalarında her an hareketsiz olduğunu, bunun aslında bir hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.

Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaktır. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.

Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paraların farklı miktarda kirleri var, kristal yapısı ve atomların düzeni her madeni para için benzersizdir...

Ve şimdi en ilginç sorum var: Çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.

Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.

18 Mart 2018 Pazar

Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.

Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.

Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.

1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.

2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.

3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.

4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.

12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.

Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. Büyük sayı olan 12345 ile kafamı kandırmak istemem, yazıdaki 26 sayısını ele alalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.

Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.

Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.

Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.

Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.

Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası ruhların cennete yükselişleri sırasındaki ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?

Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.

Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,

O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resmin birleşimi: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.

1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.

İLE tamsayılar doğal sayıları, sıfırı ve doğal sayıların karşısındaki sayıları içerir.

Tamsayılar pozitif tamsayılardır.

Örneğin: 1, 3, 7, 19, 23 vb. Bu tür sayıları saymak için kullanırız (Masanın üzerinde 5 elma var, bir arabanın 4 tekerleği var, vb.)

Latin harfi \mathbb(N) - gösterilir doğal sayılar kümesi.

Doğal sayılar, negatif sayıları (bir sandalyenin negatif sayıda bacağı olamaz) ve kesirli sayıları (Ivan 3,5 bisiklet satamazdı) içeremez.

Doğal sayıların zıttı negatif tam sayılardır: −8, −148, −981, ….

Tam sayılarla aritmetik işlemler

Tam sayılarla ne yapabilirsiniz? Birbirleriyle çarpılabilir, toplanabilir ve çıkarılabilirler. Her işleme belirli bir örnek kullanarak bakalım.

Tam sayıların eklenmesi

Aynı işaretli iki tam sayı şu şekilde toplanır: Bu sayıların modülleri toplanır ve elde edilen toplamın önüne son işaret gelir:

(+11) + (+9) = +20

Tam Sayılarda Çıkarma

Farklı işaretlere sahip iki tam sayı şu şekilde eklenir: Daha büyük sayının modülünden küçük olanın modülü çıkarılır ve daha büyük modülo numarasının işareti ortaya çıkan cevabın önüne yerleştirilir:

(-7) + (+8) = +1

Tam Sayılarda Çarpma

Bir tamsayıyı diğeriyle çarpmak için, bu sayıların modüllerini çarpmanız ve orijinal sayılar aynı işaretlere sahipse ortaya çıkan cevabın önüne "+" işareti, orijinal sayılar farklıysa "-" işareti koymanız gerekir. işaretler:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

Şunu unutmamak lazım tam sayılarda çarpma kuralı:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Birden çok tam sayıyı çarpmanın bir kuralı vardır. Şunu hatırlayalım:

Negatif işaretli faktör sayısı çift ise çarpımın işareti “+”, negatif işaretli faktör sayısı tek ise “-” olacaktır.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Tam sayı bölümü

İki tam sayının bölünmesi şu şekilde gerçekleştirilir: bir sayının modülü diğerinin modülüne bölünür ve sayıların işaretleri aynıysa ortaya çıkan bölümün önüne "+" işareti yerleştirilir. , orijinal sayıların işaretleri farklı ise “-” işareti konur.

(-25) : (+5) = -5

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri

Herhangi bir a, b ve c tamsayısı için toplama ve çarpma işlemlerinin temel özelliklerine bakalım:

1. a + b = b + a - toplamanın değişme özelliği;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - toplamanın birleştirici özelliği;
3. a \cdot b = b \cdot a - çarpmanın değişme özelliği;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- çarpmanın ilişkisel özellikleri;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- Çarpmanın dağılma özelliği.

En yüksek kategorideki öğretmen

Hangi sayılara tamsayı denir?

Dersin Hedefleri:

-Negatif sayıları tanıtarak sayı kavramını genişletin:

-Pozitif ve negatif sayıları yazma becerisini geliştirin.

Dersin Hedefleri.

eğitici - genelleme ve sistematikleştirme yeteneğinin gelişimini teşvik etmek, matematiksel ufukların, düşünme ve konuşmanın, dikkat ve hafızanın gelişimini teşvik etmek.

eğitici – kendi kendine eğitime, kendi kendine eğitime, kesin performansa, etkinliğe karşı yaratıcı bir tutuma, eleştirel düşünmeye yönelik bir tutumun geliştirilmesi.

Gelişimsel - Okul çocuklarında karşılaştırma ve genelleme, düşünceleri mantıksal olarak ifade etme, matematiksel ufuk, düşünme ve konuşma, dikkat ve hafıza geliştirme becerilerini geliştirmek.

Dersler sırasında:

1. Giriş konuşması.

Şu ana kadar matematik derslerinde hangi sayılara baktık?

-Doğal ve kesirli.

Hangi sayılara doğal sayılar denir?

- Nesneleri sayarken kullanılan sayılardır.

Kaç tane söyleyebilirsin?

- sonsuz sayıda.

Sıfır bir doğal sayı mıdır? Neden?

-Kesirli sayılar ne için kullanılır?

-Sadece nesneleri değil, belirli miktarlardaki parçaları da sayarız.

Hangi kesirleri biliyorsun?

- Sıradan ve ondalık.

Görev No.1.

Sayılar arasında doğal sayılar nelerdir? Ortak kesirler? Ondalık sayılar mı?

10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" genişlik = "16" yükseklik = "35 src = "> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" genişlik = "24" yükseklik = "35 src = "> .

2. Yeni malzemenin açıklaması:

Ancak hayatınızda muhtemelen başka sayılarla da karşılaşmışsınızdır, hangileri? Nerede?

-Olumsuz. Örneğin, bir hava durumu raporunda.

Yeni bir konuyu öğrenmeye geçmeden önce sayı kümesini genişletmeye yardımcı olacak işaretleri tartışalım. Bunlar artı ve eksi işaretleridir. Bu işaretlerin hayatta neyle ilişkili olduğunu düşünün. Herhangi bir şey olabilir: beyaz - siyah, iyi - kötü. Örneklerinizi tablo şeklinde yazacağız.

Sadece iki işaret pek çok düşünceyi uyandırır. Aslında bu iki burç farklı yönlere gitme fırsatı sağlar. Doğal sayılara "benzer" ancak eksi işaretli bu tür sayılara, bir miktarın iki zıt yönde değişebileceği durumlarda ihtiyaç duyulur. Bir değeri negatif bir sayı olarak ifade etmek için, bir başlangıç, sıfır işareti eklenir. Başkalarının yaptığı örneklere bakalım, siz de evde bunun üzerinde düşünüp kendi sunumunuzu yapabilirsiniz. 2-7 numaralı slayt.

İşareti kullanmak çok uygundur. Kullanımı tüm dünyada kabul görmektedir. Ama her zaman böyle değildi. 8 numaralı slayt.

Yani doğal sayılarla birlikte

1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …

Her biri karşılık gelen doğal sayıya eksi işareti eklenerek elde edilen negatif sayıları ele alacağız:

-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …

Bir doğal sayıya ve ona karşılık gelen negatif sayıya karşıtlar denir. Örneğin 15 ve -15 sayıları. -15 ve 15'i kullanabilirsiniz. O kendisinin tersidir.

Kural: Doğal sayılara, negatif karşıtlarına ve 0 sayısına denir. bütün sayılar. Bu sayıların tümü bir araya gelerek tamsayılar kümesini oluşturur.

Ders kitabının 159. sayfasını açın, kuralı bulun, tekrar okuyun ve evde ezberleyin.

Doğal sayıya genellikle pozitif tam sayı da denir, yani aynı şeydir. Negatiften dış farkı vurgulamak için bazen önüne bir artı işareti konur. +5=5.

3. Beceri ve yeteneklerin oluşumu:

1) № 000.

2) Bu sayıları iki gruba yazın: pozitif ve negatif:

-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.

3) “Ruh halim” oyunu.

Şimdi o andaki ruh halinizi aşağıdaki ölçekte derecelendireceksiniz:

İyi ruh hali: +1, +2, +3, +4, +5.

Kötü ruh hali: -1, -2, -3, -4, -5.

Bir kişi sonuçları tahtaya yazacak ve diğer herkes sırayla yüksek sesle şöyle diyecek: "4 puanla iyi bir ruh halindeyim."

4) Oyun "kraker"

Sayı çiftlerini isimlendireceğim, eğer çift zıtsa, o zaman ellerinizi çırparsınız, değilse, o zaman sınıfta sessizlik olmalıdır:

5 ve -5; 6 ve 0,6; -300 ve 300; 3 ve 1/3; 8 ve 80; 14 ve -14; 5/7 ve 7/5; -1 ve 1.

5) Tam sayıların eklenmesini öğrenmek için propaedeutics:

000 (a) No.

Sunumu kullanarak çözüme bakıyoruz. 8 numaralı slayt.

4. Ders özeti:

-Hangi sayılara pozitif denir? Olumsuz?

-O hakkında ne buldun?

- Negatif sayılar ne için kullanılır?

-Pozitif ve negatif sayılar nasıl yazılır?

5.D/Z: madde 8.1, No. 000, 721(b), 715(b). Yaratıcı görev: Tam sayılar, çizim, sunum, peri masalı hakkında bir şiir yazın.

sayıdan bir tane daha çıkaracağız
Düz bir çizgi koyduk.
Bu işareti tanıyoruz
Ona “Eksi” diyoruz.
1.
Bir değer
Bir maça benziyor.
O sadece bir şeytan
Küçük bir patlamayla.

2.
Suda zar zor süzülüyor,
Kuğu gibi, iki numara.
Boynunu büktü,
Dalgaları arkasından sürükler.

3.
İki kanca, bak
Sonuç üç numaraydı.
Ama bu iki kanca
Bir solucan alamazsınız.

4.
Bir şekilde çatal düştü
Bir karanfil kırıldı.
Bu çatal tüm dünyada
Buna "dört" denir.

5.
Beş numara - büyük göbekli,
Vizörlü bir şapka takıyor.
Okulda bu sayı beş
Çocuklar almayı severler.

6.
Ne kiraz dostum
Kök yukarı doğru bükülmüş mü?
Onu yemeyi dene
Bu kiraz altı numara.

7.
Ben tam bir pokerim
Fırına koyamıyorum.
Herkes onu biliyor
Buna "yedi" deniyor.

8.
Halat bükülüyordu, bükülüyordu,
İki ilmek halinde örüldü.
"Bu numara ne?" - Anneme soralım.
Annem bize cevap verecek: "Sekiz."

9.
Rüzgâr esti ve kuvvetli esti,
Kirazını ters çevirdi.
Altı numara, lütfen söyle bana
Dokuz numaraya dönüştü.

10.
Bir abla gibi
Sıfır bir tarafından yönetiliyor.
Az önce birlikte yürüdük
Bir anda on numara oldular.

Matematik ile ilgili şiirler

· Matematiğin çoğu hafızada kalmaz ama anladığınızda, ara sıra unuttuğunuz şeyleri hatırlamak kolaydır.