Tamsayılar ve rasyonel sayılar. Gerçek sayılar. Sayı kavramı. Sayı türleri

Sayı kavramı. Sayı türleri.

Sayı, nesneleri ölçmek için kullanılan bir soyutlamadır. İlkel toplumda sayılar, insanların nesneleri sayma ihtiyacıyla bağlantılı olarak ortaya çıktı. Zamanla bilim geliştikçe sayı en önemli matematik kavramı haline geldi.

Sorunları çözmek ve çeşitli teoremleri kanıtlamak için ne tür sayıların olduğunu anlamanız gerekir. Temel sayı türleri şunları içerir: doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, gerçek sayılar.

Tamsayılar- bunlar nesnelerin doğal sayılmasıyla veya daha doğrusu numaralandırılmasıyla elde edilen sayılardır (“birinci”, “ikinci”, “üçüncü”...). Doğal sayılar kümesi Latin harfleriyle gösterilir N (İngilizce doğal kelimesine dayanarak hatırlanabilir). Şu söylenebilir N ={1,2,3,....}

Bütün sayılar– bunlar (0, 1, -1, 2, -2, ....) kümesindeki sayılardır. Bu küme üç bölümden oluşur: doğal sayılar, negatif tam sayılar (doğal sayıların tersi) ve 0 sayısı (sıfır). Tamsayılar Latin harfleriyle gösterilir Z . Şu söylenebilir Z ={1,2,3,....}.

Rasyonel sayılar m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere kesir olarak temsil edilen sayılardır. Latin harfi rasyonel sayıları belirtmek için kullanılır Q . Tüm doğal sayılar ve tam sayılar rasyoneldir.

Gerçek sayılar Sürekli büyüklükleri ölçmek için kullanılan sayılardır. Gerçek sayılar kümesi Latin harfi R ile gösterilir. Gerçek sayılar rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları içerir. İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılarla çeşitli işlemlerin yapılması (örneğin kök alma, logaritma hesaplama) sonucunda elde edilen ancak rasyonel olmayan sayılardır.

1. Sayı sistemleri.

Sayı sistemi sayıları adlandırmanın ve yazmanın bir yoludur. Sayıları temsil etme yöntemine bağlı olarak konumsal - ondalık ve konumsal olmayan - Roma'ya ayrılırlar.

PC'ler 2 haneli, 8 haneli ve 16 haneli sayı sistemlerini kullanır.

Farklar: 16. sayı sisteminde bir sayının kaydı diğer kayda göre çok daha kısadır; daha az bit kapasitesi gerektirir.

Konumsal sayı sisteminde her basamak, sayıdaki konumundan bağımsız olarak sabit değerini korur. Konumsal sayı sisteminde her rakam yalnızca anlamını belirlemekle kalmaz, aynı zamanda sayıda işgal ettiği konuma da bağlıdır. Her sayı sistemi bir tabanla karakterize edilir. Taban, belirli bir sayı sisteminde sayıları yazmak için kullanılan farklı basamakların sayısıdır. Taban, bitişik bir konuma geçerken aynı rakamın değerinin kaç kez değiştiğini gösterir. Bilgisayar 2 rakamlı bir sistem kullanıyor. Sistemin tabanı herhangi bir sayı olabilir. Herhangi bir konumdaki sayılar üzerinde aritmetik işlemler 10'lu sayı sistemine benzer kurallara göre yapılır. Sayı 2, aritmetik hesaplamaları gerçekleştirmek için bilgisayarda uygulanan ikili aritmetiği kullanır.

İkili sayıların toplanması:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

Çıkarma:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

Çarpma:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

Bilgisayar yaygın olarak 8 sayı sistemini ve 16 sayı sistemini kullanır. İkili sayıları kısaltmak için kullanılırlar.

2. Küme kavramı.

Küme kavramı matematikte temel bir kavramdır ve tanımı yoktur. Herhangi bir kümenin neslinin doğası çeşitlidir, özellikle çevredeki nesneler, canlı doğa vb.

Tanım 1: Bir kümenin oluşturulduğu nesnelere denir bu kümenin elemanları. Bir kümeyi belirtmek için Latin alfabesinin büyük harfleri kullanılır: örneğin X, Y, Z ve elemanları virgülle ayrılmış küme parantezleri içinde küçük harflerle yazılır, örneğin: (x,y,z).

Bir küme ve elemanları için gösterim örneği:

X = (x 1, x 2,…, x n) – n elemandan oluşan bir küme. Eğer x elemanı X kümesine aitse, xÎX şeklinde yazılmalıdır, aksi takdirde x elemanı X kümesine ait değildir ve xÏX şeklinde yazılır. Soyut bir kümenin öğeleri örneğin sayılar, işlevler, harfler, şekiller vb. olabilir. Matematikte her bölümde küme kavramı kullanılır. Özellikle bazı spesifik reel sayı kümelerini verebiliriz. Eşitsizlikleri karşılayan x gerçek sayıları kümesi:

· a ≤ x ≤ b denir bölüm ve ile gösterilir;

a ≤ x< b или а < x ≤ b называется yarım segment ve şu şekilde gösterilir: ;

· A< x < b называется aralık ve (a,b) ile gösterilir.

Tanım 2: Sonlu sayıda elemanı olan kümeye sonlu denir. Örnek. X = (x1,x2,x3).

Tanım 3: Küme denir sonsuz Sonsuz sayıda elemandan oluşuyorsa. Örneğin tüm reel sayılar kümesi sonsuzdur. Örnek giriş. X = (x1,x2,...).

Tanım 4: Tek bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve Æ simgesiyle gösterilir.

Bir kümenin karakteristik özelliği güç kavramıdır. Güç, elemanlarının sayısıdır. Y=(y 1 , y 2 ,...) kümesi, eğer bire-bir y= f(x) eşleşmesi varsa, X=(x 1 , x 2 ,...) kümesiyle aynı önem derecesine sahiptir. ) bu kümelerin elemanları arasında. Bu tür kümeler aynı önem derecesine sahiptir veya eşit önem derecesine sahiptir. Boş bir kümenin kardinalitesi sıfırdır.

3. Kümeleri belirtme yöntemleri.

Bir kümenin elemanları tarafından tanımlandığına inanılmaktadır; set verilir, herhangi bir nesne hakkında şunu söyleyebilirsek: bu kümeye aittir veya ait değildir. Bir seti aşağıdaki yollarla belirtebilirsiniz:

1) Küme sonlu ise tüm elemanları listelenerek tanımlanabilir. Yani eğer küme A unsurlardan oluşur 2, 5, 7, 12 sonra yazıyorlar bir = (2, 5, 7, 12). Kümenin eleman sayısı A eşittir 4 , Onlar yazar n(A) = 4.

Ancak küme sonsuz ise elemanları sayılamaz. Bir kümeyi numaralandırma yoluyla ve çok sayıda öğeye sahip sonlu bir kümeyi tanımlamak zordur. Bu gibi durumlarda kümeyi belirlemenin başka bir yöntemi kullanılır.

2) Bir küme, elemanlarının karakteristik özellikleri belirtilerek belirlenebilir. Karakteristik özellik- Bu, bir kümeye ait olan her elemanın sahip olduğu bir özelliktir, ona ait olmayan tek bir elemanın değil. Örneğin iki basamaklı sayılardan oluşan bir X kümesini düşünün: bu kümenin her bir öğesinin sahip olduğu özellik "iki basamaklı sayı olmaktır." Bu karakteristik özellik, bir nesnenin X kümesine ait olup olmadığına karar vermeyi mümkün kılar. Örneğin 45 sayısı bu kümenin içinde yer alıyor çünkü iki basamaklıdır ve 4 sayısı X kümesine ait değildir çünkü kesindir ve iki değerli değildir. Aynı kümenin, elemanlarının farklı karakteristik özellikleri belirtilerek tanımlanabileceği görülür. Örneğin, bir kareler kümesi, kenarları eşit olan bir dikdörtgenler kümesi ve dik açılı bir eşkenar dörtgenler kümesi olarak tanımlanabilir.

Bir kümenin elemanlarının karakteristik özelliğinin sembolik formda gösterilebildiği durumlarda buna karşılık gelen bir gösterim mümkündür. Eğer set İÇİNDE kendisinden küçük tüm doğal sayılardan oluşur 10, sonra yazıyorlar B = (x N | x<10}.

İkinci yöntem daha geneldir ve hem sonlu hem de sonsuz kümeleri belirtmenize olanak tanır.

4. Sayısal kümeler.

Sayısal - elemanları sayılardan oluşan bir küme. Reel sayılar R ekseninde sayısal kümeler belirtilir. Bu eksende ölçek seçilir ve orijin ve yön gösterilir. En yaygın sayı kümeleri:

· - doğal sayılar kümesi;

· - tam sayılar kümesi;

· - rasyonel veya kesirli sayılar kümesi;

· - gerçek sayılar kümesi.

5. Setin gücü. Sonlu ve sonsuz kümelere örnekler verin.

Aralarında bire bir veya bire bir eşleşme, yani ikili bir eşleşme varsa, kümelere eşit güçlü veya eşdeğer denir. bir kümenin her bir öğesi başka bir kümenin tek bir öğesiyle ilişkilendirildiğinde ve bunun tersi de geçerliyken, bir kümenin farklı öğeleri başka bir kümenin farklı öğeleriyle ilişkilendirildiğinde.

Mesela otuz kişilik bir grup alıp sınav bileti keselim, otuz bilet içeren yığından her öğrenciye bir bilet, 30 öğrenci ve 30 biletin ikili yazışması bire bir olacaktır.

Aynı üçüncü kümeye sahip, eşit önem derecesine sahip iki küme, eşit önem derecesine sahiptir. M ve N kümeleri eşit önemdeyse, bu M ve N kümelerinin her birinin tüm alt kümelerinin kümeleri de eşit önemdedir.

Belirli bir kümenin bir alt kümesi, her bir öğesi verilen kümenin bir öğesi olacak şekilde bir kümedir. Yani araba seti ve kamyon seti araba setinin alt kümesi olacak.

Gerçel sayılar kümesinin kuvvetine sürekliliğin kuvveti denir ve “alef” harfiyle gösterilir. א . En küçük sonsuz alan, doğal sayılar kümesinin önem derecesidir. Tüm doğal sayılar kümesinin önem derecesi genellikle (alef-sıfır) ile gösterilir.

Kuvvetlere genellikle asal sayılar denir. Bu kavram Alman matematikçi G. Cantor tarafından tanıtıldı. Kümeler M, N sembolik harfleriyle gösteriliyorsa, asal sayılar m, n ile gösterilir. G. Cantor, belirli bir M kümesinin tüm alt kümelerinden oluşan kümenin, M kümesinin kendisinden daha büyük bir önem derecesine sahip olduğunu kanıtladı.

Tüm doğal sayıların oluşturduğu kümeye eşit olan kümeye sayılabilir küme denir.

6. Belirtilen kümenin alt kümeleri.

Kümemizden birkaç öğe seçip bunları ayrı ayrı gruplandırırsak bu, kümemizin bir alt kümesi olacaktır. Bir alt kümenin elde edilebileceği birçok kombinasyon vardır; kombinasyonların sayısı yalnızca orijinal kümedeki eleman sayısına bağlıdır.

A ve B diye iki kümemiz olsun. Eğer B kümesinin her elemanı A kümesinin bir elemanı ise, o zaman B kümesine A'nın alt kümesi denir. Şu şekilde gösterilir: B ⊂ A. Örnek.

A=1;2;3 kümesinin kaç alt kümesi vardır?

Çözüm. Kümemizin elemanlarından oluşan alt kümeler. O zaman alt kümedeki eleman sayısı için 4 seçeneğimiz var:

Bir alt küme 1, 2, 3 elemandan oluşabilir ve boş olabilir. Sırayla elementlerimizi yazalım.

1 elementin alt kümesi: 1,2,3

2 elementin alt kümesi: 1,2,1,3,2,3.

3 elementin alt kümesi: 1;2;3

Boş kümenin de kümemizin bir alt kümesi olduğunu unutmayalım. Daha sonra 3+3+1+1=8 alt kümemizin olduğunu buluyoruz.

7. Setlerde işlemler.

Cebirdeki gerçek sayılarla ilgili işlemlere bazı açılardan benzer şekilde, kümeler üzerinde belirli işlemler gerçekleştirilebilir. Bu nedenle küme cebirinden bahsedebiliriz.

Dernek setlerin (bağlantısı) A Ve İÇİNDE kümelerden en az birine ait olan tüm öğelerden oluşan bir kümedir (sembolik olarak ile gösterilir) A veya İÇİNDE. itibaren formda X kümelerin birleşimi şu şekilde yazılır

Girişte şu ifadeler yer alıyor: "Birleşme A Ve İÇİNDE" veya " A, ile kombine İÇİNDE».

Küme işlemleri Euler daireleri kullanılarak görsel olarak grafiksel olarak temsil edilir (bazen “Venn-Euler diyagramları” terimi kullanılır). Kümenin tüm elemanları ise A daire içinde yoğunlaşacak A ve kümenin elemanları İÇİNDE- bir daire içinde İÇİNDE Euler çemberlerini kullanan birleştirme işlemi aşağıdaki biçimde temsil edilebilir

örnek 1. Birçok kişinin birliği A= (0, 2, 4, 6, 8) çift sayılar ve kümeler İÇİNDE= (1, 3, 5, 7, 9) tek sayılar ondalık sayı sisteminin tüm basamaklarının =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) kümesidir.

8. Kümelerin grafiksel gösterimi. Euler-Venn diyagramları.

Euler-Venn diyagramları kümelerin geometrik gösterimleridir. Diyagramın yapısı evrensel kümeyi temsil eden büyük bir dikdörtgenin çizilmesinden oluşur. sen ve içinde - kümeleri temsil eden daireler (veya başka kapalı şekiller). Şekiller problemin gerektirdiği en genel şekilde kesişmeli ve buna göre etiketlenmelidir. Diyagramın farklı alanlarının içinde yer alan noktalar, karşılık gelen kümelerin elemanları olarak düşünülebilir. Oluşturulan diyagramla, yeni oluşan kümeleri belirtmek için belirli alanları gölgeleyebilirsiniz.

Küme işlemleri, mevcut kümelerden yeni kümelerin elde edilmesi olarak kabul edilir.

Tanım. Dernek A ve B kümeleri, A, B kümelerinden en az birine ait olan tüm elemanlardan oluşan bir kümedir (Şekil 1):

Tanım. Karşıya geçerek A ve B kümeleri, aynı anda hem A kümesine hem de B kümesine ait olan öğelerin tümünden ve yalnızca bu öğelerden oluşan bir kümedir (Şekil 2):

Tanım. Farkına göre A ve B kümeleri, A'nın B'de bulunmayan tüm elemanlarının kümesidir (Şekil 3):

Tanım. Simetrik fark setleri A ve B, yalnızca A kümesine veya yalnızca B kümesine ait olan bu kümelerin elemanlarının kümesidir (Şekil 4):

Kümelerin Kartezyen (veya doğrudan) çarpımıA Ve B formun böyle bir sonuç çiftleri kümesi ( X,sen) kümenin ilk elemanı olacak şekilde inşa edilmiştir A ve çiftin ikinci elemanı kümedendir B. Ortak tanım:

A× B={(X,sen)|X∈A,sen∈B}

Üç veya daha fazla setten oluşan ürünler aşağıdaki şekilde yapılabilir:

A× B× C={(X,sen,z)|X∈A,sen∈B,z∈C}

Formun ürünleri A× A,A× A× A,A× A× A× A vesaire. Bunu derece olarak yazmak gelenekseldir: A 2 ,A 3 ,A 4 (Derecenin tabanı çarpan kümesi, üs ise çarpım sayısıdır). Böyle bir girişi “Kartezyen kare” (küp vb.) Olarak okurlar. Ana setler için başka okumalar da var. Örneğin, R N“Er nnoe” olarak okumak gelenekseldir.

Özellikler

Kartezyen çarpımın çeşitli özelliklerini ele alalım:

1. Eğer A,B sonlu kümelerdir, o halde A× B- final. Ve tam tersi, eğer faktör kümelerinden biri sonsuzsa, bunların çarpımının sonucu da sonsuz bir küme olur.

2. Kartezyen çarpımdaki eleman sayısı, faktör setlerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir (tabii ki sonluysa): | A× B|=|A|⋅|B| .

3. bir np ≠(Bir) P- ilk durumda, Kartezyen çarpımının sonucunun 1× boyutlu bir matris olarak dikkate alınması tavsiye edilir. n.p., ikincisinde - boyutların matrisi olarak N× P .

4. Değişme kanunu sağlanmıyor çünkü Kartezyen çarpımın sonucunun eleman çiftleri sıralanır: A× B≠B× A .

5. Birleşme yasası yerine getirilmedi: ( A× B)× C≠A×( B× C) .

6. Kümelerdeki temel işlemlere göre dağılım vardır: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

10. Söylem kavramı. Temel ve bileşik ifadeler.

İfade doğru (I-1) veya yanlış (F-0) olduğu söylenebilen ancak her ikisinin birden söylenemediği bir ifade veya bildirim cümlesidir.

Örneğin, "Bugün yağmur yağıyor", "Ivanov fizikte 2 numaralı laboratuvar çalışmasını tamamladı."

Eğer birkaç başlangıç ifademiz varsa, onlardan yararlanarak mantıksal birlikler veya parçacıklar doğruluk değeri yalnızca orijinal ifadelerin doğruluk değerlerine ve yeni ifadenin inşasına katılan belirli bağlaçlara ve parçacıklara bağlı olan yeni ifadeler oluşturabiliriz. “Ve”, “veya”, “değil”, “eğer… o zaman”, “bu nedenle”, “o zaman ve ancak o zaman” kelime ve ifadeleri bu tür bağlaçlara örnektir. Orijinal ifadelere denir basit ve belirli mantıksal bağlaçların yardımıyla bunlardan oluşturulan yeni ifadeler - kompozit . Tabii ki, "basit" kelimesinin, kendileri oldukça karmaşık olabilen orijinal ifadelerin özü veya yapısıyla hiçbir ilgisi yoktur. Bu bağlamda “basit” kelimesi “orijinal” kelimesiyle eş anlamlıdır. Önemli olan basit ifadelerin doğruluk değerlerinin bilindiğinin veya verildiğinin varsayılmasıdır; her durumda, hiçbir şekilde tartışılmıyorlar.

“Bugün Perşembe değil” gibi bir ifade iki farklı basit ifadeden oluşmasa da, doğruluk değeri diğer “Bugün Perşembe. ”

Örnek 2. Aşağıdaki ifadeler bileşik olarak kabul edilir:

Moskovsky Komsomolets'i okudum ve Kommersant'ı okudum.

Eğer öyle dediyse doğrudur.

Güneş bir yıldız değildir.

Hava güneşliyse ve sıcaklık 25 0'ı geçerse tren veya arabayla geleceğim

Bileşiklerde yer alan basit ifadelerin kendileri tamamen keyfi olabilir. Özellikle kendileri kompozit olabilirler. Aşağıda açıklanan temel bileşik ifade türleri, onları oluşturan basit ifadelerden bağımsız olarak tanımlanır.

11. İfadeler üzerindeki işlemler.

1. Olumsuzlama işlemi.

İfadeyi reddederek A ("değil" yazıyor A", "bu doğru değil A"), ki bu doğru olduğunda A yanlış ve yanlış ne zaman A- doğru.

Birbirini yalanlayan ifadeler A Ve arandı zıt.

2. Bağlaç işlemi.

Bağlaç ifadeler A Ve İÇİNDE ile gösterilen bir ifade denir AB(okur" A Ve İÇİNDE"), gerçek değerleri ancak ve ancak her iki ifadenin de olması durumunda belirlenir A Ve İÇİNDE Doğrudur.

İfadelerin birleşimine mantıksal çarpım denir ve sıklıkla gösterilir. AB.

Bir açıklama yapılsın A- “Mart ayında hava sıcaklığı 0°C+ 7°C"ve söyleyerek İÇİNDE- "Vitebsk'te yağmur yağıyor." Daha sonra ABşöyle olacak: “Mart ayında hava sıcaklığı 0°C+ 7°C Vitebsk'te yağmur yağıyor." İfadeler varsa bu bağlaç doğru olacaktır A Ve İÇİNDE doğru. Sıcaklığın daha az olduğu ortaya çıkarsa 0°C ya da Vitebsk'te yağmur yoktu, o zaman AB yanlış olacaktır.

3 . Ayırma işlemi.

Ayrılık ifadeler A Ve İÇİNDE bir beyan olarak adlandırıldı AB (A veya İÇİNDE), ancak ve ancak ifadelerden en az birinin doğru ve yanlış olması durumunda doğrudur - her iki ifade de yanlış olduğunda.

İfadelerin ayrılmasına mantıksal toplam da denir A+B.

İfade " 4<5 veya 4=5 " doğru. Açıklamadan bu yana" 4<5 "doğrudur ve ifade" 4=5 » – yanlış, o halde AB gerçek ifadeyi temsil ediyor " 4 5 ».

4 . İmanın işleyişi.

Dolaylı olarak ifadeler A Ve İÇİNDE bir beyan olarak adlandırıldı AB("Eğer A, O İÇİNDE", "itibaren A meli İÇİNDE"), değeri yanlış olan ancak ve ancak şu durumda A doğru ama İÇİNDE YANLIŞ.

Yani AB ifade A isminde temel, veya öncül ve ifade İÇİNDE – sonuçlar, veya çözüm.

12. İfadelerin doğruluk tabloları.

Doğruluk tablosu, mantıksal bir fonksiyonda yer alan tüm olası mantıksal değişken kümeleri ile fonksiyonun değerleri arasında bir yazışma kuran bir tablodur.

Doğruluk tabloları aşağıdakiler için kullanılır:

Karmaşık İfadelerin Doğruluğunun Hesaplanması;

İfadelerin denkliğinin kurulması;

Totolojilerin tanımları.

Sayıları, özellikle de doğal sayıları anlamak, en eski matematik "becerilerinden" biridir. Pek çok uygarlık, hatta modern uygarlıklar, doğayı tanımlamadaki büyük önemi nedeniyle sayılara bazı mistik özellikler atfetmiştir. Modern bilim ve matematik bu "sihirli" özellikleri doğrulamasa da sayılar teorisinin önemi yadsınamaz.

Tarihsel olarak, önce çeşitli doğal sayılar ortaya çıktı, ardından oldukça hızlı bir şekilde bunlara kesirler ve pozitif irrasyonel sayılar eklendi. Gerçek sayılar kümesinin bu alt kümelerinden sonra sıfır ve negatif sayılar tanıtıldı. Son küme olan karmaşık sayılar kümesi ancak modern bilimin gelişmesiyle ortaya çıktı.

Modern matematikte sayılar, buna oldukça yakın olmasına rağmen, tarihsel sıraya göre tanıtılmamaktadır.

Doğal sayılar $\mathbb(N)$

Doğal sayılar kümesi genellikle $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ olarak gösterilir ve genellikle $\mathbb(N)_0$'ı belirtmek için sıfırla doldurulur.

$\mathbb(N)$, herhangi bir $a,b,c\in \mathbb(N)$ için aşağıdaki özelliklerle toplama (+) ve çarpma ($\cdot$) işlemlerini tanımlar:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ $\mathbb(N)$ kümesi toplama ve çarpma işlemleri altında kapalıdır
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ değişme
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ilişkisellik
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ dağılımı
5. $a\cdot 1=a$ çarpma işlemi için nötr bir elementtir

$\mathbb(N)$ kümesi çarpma için nötr bir öğe içerdiğinden, toplama için içermediğinden, bu kümeye sıfır eklemek, toplama için nötr bir öğe içermesini sağlar.

Bu iki işleme ek olarak “küçüktür” ilişkileri ($

1. $a b$ trikotomi
2. eğer $a\leq b$ ve $b\leq a$ ise, o zaman $a=b$ antisimetri
3. eğer $a\leq b$ ve $b\leq c$ ise, o zaman $a\leq c$ geçişlidir
4. eğer $a\leq b$ ise $a+c\leq b+c$
5. eğer $a\leq b$ ise $a\cdot c\leq b\cdot c$

Tamsayılar $\mathbb(Z)$

Tam sayılara örnekler:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

$a$ ve $b$'nin bilinen doğal sayılar olduğu ve $x$'ın bilinmeyen bir doğal sayı olduğu $a+x=b$ denklemini çözmek, yeni bir işlemin (çıkarma(-)) kullanılmasını gerektirir. Bu denklemi sağlayan bir $x$ doğal sayısı varsa, o zaman $x=b-a$ olur. Bununla birlikte, bu özel denklemin mutlaka $\mathbb(N)$ kümesinde bir çözümü olması gerekmez, dolayısıyla pratik hususlar, doğal sayılar kümesinin böyle bir denklemin çözümlerini içerecek şekilde genişletilmesini gerektirir. Bu, bir tamsayı kümesinin tanıtılmasına yol açar: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

$\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ olduğundan, daha önce tanıtılan $+$ ve $\cdot$ işlemlerinin ve $ 1 ilişkilerinin olduğunu varsaymak mantıklıdır. $0+a=a+0=a$ ilave için nötr bir unsur var
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$'ın tersi olan $-a$ sayısı var

Özellik 5.:
5. eğer $0\leq a$ ve $0\leq b$ ise, o zaman $0\leq a\cdot b$

$\mathbb(Z)$ kümesi de çıkarma işlemi altında kapatılır, yani $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Rasyonel sayılar $\mathbb(Q)$

Rasyonel sayılara örnekler:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Şimdi $a\cdot x=b$ formundaki denklemleri düşünün; burada $a$ ve $b$ bilinen tamsayılardır ve $x$ bilinmeyendir. Çözümün mümkün olabilmesi için bölme işleminin ($:$) tanıtılması gerekir ve çözüm $x=b:a$ formunu alır, yani $x=\frac(b)(a)$ . Sorun yine $x$'ın her zaman $\mathbb(Z)$'a ait olmamasıdır, dolayısıyla tamsayılar kümesinin genişletilmesi gerekir. Bu, $\frac(p)(q)$ öğelerini içeren $\mathbb(Q)$ rasyonel sayılar kümesini tanıtır; burada $p\in \mathbb(Z)$ ve $q\in \mathbb(N)$. $\mathbb(Z)$ kümesi, her elemanın $q=1$ olduğu bir alt kümedir, dolayısıyla $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ ve toplama ve çarpma işlemleri şuna göre bu kümeye uzanır: $\mathbb(Q)$ kümesinde yukarıdaki tüm özellikleri koruyan aşağıdaki kurallar:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Bölünme şu şekilde tanıtılmıştır:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

$\mathbb(Q)$ kümesinde, $a\cdot x=b$ denkleminin her $a\neq 0$ için benzersiz bir çözümü vardır (sıfıra bölme tanımsızdır). Bu, $\frac(1)(a)$ veya $a^(-1)$ ters öğesinin olduğu anlamına gelir:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

$\mathbb(Q)$ kümesinin sırası aşağıdaki şekilde genişletilebilir:
$\frac(p_1)(q_1)

$\mathbb(Q)$ kümesinin önemli bir özelliği vardır: Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı vardır, bu nedenle, doğal sayılar ve tam sayılar kümelerinden farklı olarak iki bitişik rasyonel sayı yoktur.

İrrasyonel sayılar $\mathbb(I)$

İrrasyonel sayılara örnekler:
$\sqrt(2) \yaklaşık 1,41422135...$
$\pi\yaklaşık 3,1415926535...$

Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı bulunduğundan, rasyonel sayılar kümesinin o kadar yoğun olduğu ve onu daha da genişletmeye gerek olmadığı sonucuna hatalı bir şekilde varmak kolaydır. Pisagor bile kendi zamanında böyle bir hata yapmıştı. Ancak çağdaşları, rasyonel sayılar kümesinde $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) denkleminin çözümlerini incelerken bu sonucu zaten çürüttüler. Böyle bir denklemi çözmek için karekök kavramını tanıtmak gerekir ve ardından bu denklemin çözümü $x=\sqrt(2)$ biçiminde olur. $a$'ın bilinen bir rasyonel sayı ve $x$'ın bilinmeyen bir sayı olduğu $x^2=a$ gibi bir denklemin rasyonel sayılar kümesinde her zaman bir çözümü yoktur ve yine denklemin genişletilmesi ihtiyacı ortaya çıkar. ayarlamak. İrrasyonel sayılar kümesi ortaya çıkar ve $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... gibi sayılar bu kümeye aittir.

Gerçek sayılar $\mathbb(R)$

Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi reel sayılar kümesidir. $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ olduğundan, tanıtılan aritmetik işlemlerin ve ilişkilerin yeni kümede özelliklerini koruduğunu varsaymak yine mantıklı olacaktır. Bunun biçimsel kanıtı çok zordur, bu nedenle aritmetik işlemlerin yukarıda belirtilen özellikleri ve gerçel sayılar kümesindeki ilişkiler aksiyomlar olarak tanıtılmıştır. Cebirde böyle bir nesneye alan denir, dolayısıyla gerçek sayılar kümesinin sıralı alan olduğu söylenir.

Gerçel sayılar kümesinin tanımının tamamlanması için, $\mathbb(Q)$ ve $\mathbb(R)$ kümelerini ayıran ek bir aksiyomun tanıtılması gerekir. $S$'nin gerçek sayılar kümesinin boş olmayan bir alt kümesi olduğunu varsayalım. Bir $b\in \mathbb(R)$ öğesine, eğer $\forall x\in S$ $x\leq b$ tutarsa, $S$ kümesinin üst sınırı denir. O zaman $S$ kümesinin yukarıdan sınırlandığını söyleriz. $S$ kümesinin en küçük üst sınırına üst sınır adı verilir ve $\sup S$ ile gösterilir. Alt sınır, alttan sınırlı küme ve infinum $\inf S$ kavramları da benzer şekilde tanıtılmıştır. Şimdi eksik aksiyom şu şekilde formüle edilir:

Reel sayılar kümesinin boş olmayan ve üst sınırı olan herhangi bir alt kümesinin bir üstünlüğü vardır.
Yukarıdaki şekilde tanımlanan reel sayılar alanının tek olduğu da kanıtlanabilir.

Karmaşık sayılar$\mathbb(C)$

Karmaşık sayılara örnekler:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ burada $i = \sqrt(-1)$ veya $i^2 = -1$

Karmaşık sayılar kümesi, tüm sıralı gerçek sayı çiftlerini temsil eder, yani üzerinde işlemlerin yapıldığı $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ Toplama ve çarpma şu şekilde tanımlanır:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Karmaşık sayıları yazmanın çeşitli biçimleri vardır; bunlardan en yaygın olanı $z=a+ib$'dır; burada $(a,b)$ bir çift gerçek sayıdır ve $i=(0,1)$ sayısıdır. sanal birim denir.

$i^2=-1$ olduğunu göstermek kolaydır. $\mathbb(R)$ kümesini $\mathbb(C)$ kümesine genişletmek, negatif sayıların karekökünü belirlememize olanak tanır; karmaşık sayılar kümesinin tanıtılmasının nedeni de budur. $\mathbb(C)$ kümesinin bir alt kümesinin $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ tarafından verildiğini göstermek de kolaydır, gerçek sayılara ilişkin tüm aksiyomları karşılar, dolayısıyla $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ veya $R\subset\mathbb(C)$.

Toplama ve çarpma işlemlerine göre $\mathbb(C)$ kümesinin cebirsel yapısı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. Toplama ve çarpmanın değişmezliği
2. Toplama ve çarpmanın ilişkilendirilebilirliği
3. $0+i0$ - ekleme için nötr öğe
4. $1+i0$ - çarpma için nötr eleman
5. Çarpma toplamaya göre dağıtıcıdır
6. Hem toplamanın hem de çarpmanın tek bir tersi vardır.

Sayı- yüzyıllar boyunca değişen önemli bir matematiksel kavram.

Sayılarla ilgili ilk fikirler insanları, hayvanları, meyveleri, çeşitli ürünleri vb. saymaktan ortaya çıktı. Sonuç doğal sayılardır: 1, 2, 3, 4, ...

Tarihsel olarak sayı kavramının ilk uzantısı kesirli sayıların doğal sayılara eklenmesidir.

Kesir bir birimin veya birkaç eşit parçanın bir kısmına (payına) denir.

Belirleyen: , nerede m, n- bütün sayılar;

Paydası 10 olan kesirler N, Nerede N- adı verilen bir tamsayı ondalık: .

Ondalık kesirler arasında özel bir yer işgal edilir periyodik kesirler: - saf periyodik kesir, - karışık periyodik kesir.

Sayı kavramının daha da genişlemesi matematiğin kendisinin (cebir) gelişmesinden kaynaklanmaktadır. 17. yüzyılda Descartes. konsepti tanıtıyor negatif sayı.

Tam sayılara (pozitif ve negatif), kesirlere (pozitif ve negatif) ve sıfır sayılarına denir. rasyonel sayılar. Herhangi bir rasyonel sayı sonlu ve periyodik bir kesir olarak yazılabilir.

Sürekli değişen değişken nicelikleri incelemek için, rasyonel sayılara irrasyonel sayılar eklenerek sayı kavramının yeni bir şekilde genişletilmesinin - gerçek (gerçek) sayıların tanıtılması - gerekli olduğu ortaya çıktı: irrasyonel sayılar sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirlerdir.

Cebirde ölçülemez bölümleri (bir karenin kenarı ve köşegeni) ölçerken irrasyonel sayılar ortaya çıktı - kökleri çıkarırken, aşkın, irrasyonel bir sayının örneği π'dir, e .

Sayılar doğal(1, 2, 3,...), tüm(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), akılcı(kesir olarak temsil edilebilir) ve mantıksız(kesir olarak temsil edilemez ) bir set oluşturmak gerçek (gerçek) sayılar.

Karmaşık sayılar matematikte ayrı ayrı ayırt edilir.

Karışık sayılar vaka için kareleri çözme problemiyle bağlantılı olarak ortaya çıkıyor D< 0 (здесь D– ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı). Uzun süre bu sayılar fiziksel uygulama bulamadı, bu yüzden onlara "hayali" sayılar denildi. Ancak artık fizik ve teknolojinin çeşitli alanlarında çok yaygın olarak kullanılıyorlar: elektrik mühendisliği, hidro ve aerodinamik, esneklik teorisi vb.

Karışık sayılar şu şekilde yazılır: z= A+ bi. Burada A Ve B – gerçek sayılar, A Ben – hayali birim, yanie. Ben 2 = -1. Sayı A isminde apsis, A B -koordine etmek karmaşık sayı A+ bi. İki karmaşık sayı A+ bi Ve a–bi arandı birleşik Karışık sayılar.

Özellikler:

1. Gerçek sayı A karmaşık sayı biçiminde de yazılabilir: A+ 0Ben veya A - 0Ben. Örneğin 5 + 0 Ben ve 5 – 0 Ben aynı sayı anlamına geliyor 5.

2. Kompleks sayı 0 + bi isminde tamamen hayali sayı. Kayıt bi 0 ile aynı anlama gelir + bi.

3. İki karmaşık sayı A+ bi Ve C+ di eşit kabul edilirse A= C Ve B= D. Aksi takdirde karmaşık sayılar eşit değildir.

Hareketler:

Ek. Karmaşık sayıların toplamı A+ bi Ve C+ di karmaşık sayı denir ( A+ C) + (B+ D)Ben. Böylece, Karmaşık sayılar toplanırken apsisleri ve ordinatları ayrı ayrı eklenir.

Çıkarma. İki karmaşık sayının farkı A+ bi(azaltılmış) ve C+ di(çıkarılan) karmaşık sayıya denir ( AC) + (b-d)Ben. Böylece, İki karmaşık sayı çıkarıldığında apsisleri ve koordinatları ayrı ayrı çıkarılır.

Çarpma işlemi. Karmaşık sayıların çarpımı A+ bi Ve C+ di karmaşık sayı denir:

(ac-bd) + (reklam+ M.Ö)Ben. Bu tanım iki gereksinimden kaynaklanmaktadır:

1) sayılar A+ bi Ve C+ di cebirsel binomlar gibi çarpılmalıdır,

2) sayı Ben ana özelliğe sahiptir: Ben 2 = –1.

ÖRNEK ( a+ bi)(a–bi)= bir 2 + b 2 . Buradan, işiki eşlenik karmaşık sayının toplamı pozitif bir gerçek sayıya eşittir.

Bölüm. Karmaşık bir sayıyı bölme A+ bi(bölünebilir) başka biri tarafından C+ di (bölücü) - üçüncü sayıyı bulmak anlamına gelir e+ ben(sohbet), bir bölenle çarpıldığında C+ di, temettüyle sonuçlanır A+ bi. Bölen sıfır değilse bölme her zaman mümkündür.

ÖRNEK Bul (8 + Ben) : (2 – 3Ben) .

Çözüm: Bu oranı kesir olarak yeniden yazalım:

Payını ve paydasını 2 + 3 ile çarpmak Ben ve tüm dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz:

Görev 1: Z'yi toplama, çıkarma, çarpma ve bölme 1 z'de 2

Karekökün çıkarılması: Denklemi çözün X 2 = -A. Bu denklemi çözmek için yeni türdeki sayıları kullanmak zorunda kalıyoruz - hayali sayılar . Böylece, hayali numara aranır ikinci kuvveti negatif bir sayı olan. Sanal sayıların bu tanımına göre tanımlayabiliriz ve hayali birim:

Daha sonra denklem için X 2 = – 25 iki tane elde ederiz hayali kök:

Görev 2: Denklemi çözün:

1)x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121

Karmaşık sayıların geometrik gösterimi. Gerçek sayılar sayı doğrusu üzerindeki noktalarla temsil edilir:

İşte asıl nokta A–3 sayısı, nokta anlamına gelir B–sayı 2 ve Ö-sıfır. Bunun aksine, karmaşık sayılar koordinat düzlemindeki noktalarla temsil edilir. Bu amaçla her iki eksende aynı ölçeklere sahip dikdörtgen (Kartezyen) koordinatları seçiyoruz. O halde karmaşık sayı A+ bi bir nokta ile temsil edilecek Apsisli PA ve koordine etmekB. Bu koordinat sistemine denir karmaşık düzlem .

Modül karmaşık sayı vektörün uzunluğudur OP, koordinatta karmaşık bir sayıyı temsil eder ( kapsayıcı) uçak. Karmaşık bir sayının modülü A+ bi belirtilen | A+ bi| veya) mektup R ve şuna eşittir:

Eşlenik karmaşık sayılar aynı modüle sahiptir.

Bir çizim çizme kuralları, Kartezyen koordinat sistemindeki bir çizimle hemen hemen aynıdır.Eksen boyunca boyutu ayarlamanız gerekir, şunu unutmayın:

e
gerçek eksen boyunca birim; Rez

hayali eksen boyunca hayali birim. ben z

Görev 3. Aşağıdaki karmaşık sayıları karmaşık düzlemde oluşturun: , , , , , , ,

1. Sayılar kesin ve yaklaşıktır. Pratikte karşılaştığımız sayılar iki türlüdür. Bazıları miktarın gerçek değerini verirken, diğerleri yalnızca yaklaşık değeri verir. Birincisine kesin, ikincisine yaklaşık denir. Çoğu zaman kesin bir sayı yerine yaklaşık bir sayı kullanmak daha uygundur, özellikle de çoğu durumda tam bir sayı bulmak imkansız olduğundan.

Yani bir sınıfta 29 öğrenci var derlerse 29 sayısı doğrudur. Moskova'dan Kiev'e olan mesafenin 960 km olduğunu söylerlerse, o zaman burada 960 sayısı yaklaşıktır, çünkü bir yandan ölçüm cihazlarımız kesinlikle doğru değildir, diğer yandan şehirlerin de belirli bir kapsamı vardır.

Yaklaşık sayılara sahip eylemlerin sonucu da yaklaşık bir sayıdır. Kesin sayılar üzerinde bazı işlemler yaparak (bölme, kök çıkarma) yaklaşık sayıları da elde edebilirsiniz.

Yaklaşık hesaplamalar teorisi şunları sağlar:

1) verilerin doğruluk derecesini bilmek, sonuçların doğruluk derecesini değerlendirmek;

2) sonucun gerekli doğruluğunu sağlamaya yetecek uygun doğruluk derecesine sahip verileri almak;

3) hesaplama sürecini rasyonelleştirerek sonucun doğruluğunu etkilemeyecek hesaplamalardan kurtarın.

2. Yuvarlama. Yaklaşık sayıları elde etmenin bir kaynağı yuvarlamadır. Hem yaklaşık hem de kesin sayılar yuvarlanır.

Verilen bir sayının belirli bir basamağa yuvarlanmasına, o rakamın sağındaki rakamın tamamı atılarak veya sıfırlarla değiştirilerek elde edilen yeni bir sayıyla değiştirilmesi denir. Bu sıfırlar genellikle altı çizilir veya daha küçük yazılır. Yuvarlanan sayının, yuvarlanan sayıya mümkün olduğu kadar yakın olmasını sağlamak için aşağıdaki kuralları kullanmalısınız: Bir sayıyı belirli bir rakama yuvarlamak için, bu rakamın rakamından sonraki tüm rakamları atmalı ve yerine koymalısınız. tam sayının içinde sıfırlar var. Aşağıdakiler dikkate alınır:

1) Atılan rakamların ilki (solda) 5'ten küçükse, kalan son rakam değiştirilmez (aşağı yuvarlanır);

2) Atılacak ilk rakam 5'ten büyük veya 5'e eşitse, kalan son rakam bir artırılır (fazla yuvarlanır).

Bunu örneklerle gösterelim. Yuvarlak:

a) onda birine kadar 12.34;

b) yüzde bire kadar 3,2465; 1038.785;

c) binde birine kadar 3.4335.

d) bin 12375'e kadar; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Mutlak ve bağıl hatalar. Kesin sayı ile yaklaşık değeri arasındaki farka yaklaşık sayının mutlak hatası denir. Örneğin tam 1,214 sayısını en yakın onluğa yuvarlarsak yaklaşık 1,2 sayısını elde ederiz. Bu durumda yaklaşık 1,2 sayısının mutlak hatası 1,214 - 1,2'dir, yani. 0.014.

Ancak çoğu durumda, söz konusu değerin kesin değeri bilinmemekle birlikte yalnızca yaklaşık bir değerdir. O zaman mutlak hata bilinmiyor. Bu durumlarda aşmadığı sınırı belirtiniz. Bu sayıya sınırlayıcı mutlak hata denir. Bir sayının tam değerinin, marjinal hatadan daha küçük bir hatayla yaklaşık değerine eşit olduğunu söylüyorlar. Örneğin, 23,71 sayısı, 23,7125 sayısının 0,01 doğrulukla yaklaşık değeridir, çünkü yaklaşımın mutlak hatası 0,0025 ve 0,01'den küçüktür. Burada sınırlayıcı mutlak hata 0,01 *'dir.

Yaklaşık sayının sınır mutlak hatası AΔ sembolüyle gösterilir A. Kayıt

X≈A(±Δ A)

şu şekilde anlaşılmalıdır: miktarın tam değeri X sayıların arasında A– Δ A Ve A+ Δ A sırasıyla alt ve üst sınırlar olarak adlandırılan X ve NG'yi belirtin X VG X.

Örneğin, eğer X≈ 2,3 (±0,1), ardından 2,2<X< 2,4.

Tam tersi, eğer 7.3 ise< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Mutlak veya marjinal mutlak hata, gerçekleştirilen ölçümün kalitesini karakterize etmez. Aynı mutlak hata, ölçülen değerin ifade edildiği sayıya bağlı olarak önemli veya önemsiz kabul edilebilir. Örneğin iki şehir arasındaki mesafeyi bir kilometre doğrulukla ölçersek bu değişiklik için bu doğruluk oldukça yeterlidir ancak aynı zamanda aynı cadde üzerindeki iki ev arasındaki mesafeyi ölçerken bu doğruluk olacaktır. kabul edilemez. Sonuç olarak, bir büyüklüğün yaklaşık değerinin doğruluğu yalnızca mutlak hatanın büyüklüğüne değil, aynı zamanda ölçülen büyüklüğün değerine de bağlıdır. Bu nedenle bağıl hata bir doğruluk ölçüsüdür.

Bağıl hata, mutlak hatanın yaklaşık sayının değerine oranıdır. Sınırlayıcı mutlak hatanın yaklaşık sayıya oranına sınırlayıcı bağıl hata denir; bunu şu şekilde tanımlarlar: . Göreceli ve marjinal göreli hatalar genellikle yüzde olarak ifade edilir. Örneğin, ölçümler mesafenin X iki nokta arası 12,3 km'den fazla ancak 12,7 km'den az ise bu iki sayının aritmetik ortalaması yaklaşık değer olarak alınır, yani. bunların yarı toplamları, o zaman marjinal mutlak hata bu sayıların yarı farkına eşittir. Bu durumda X≈ 12,5 (±0,2). Burada sınırlayıcı mutlak hata 0,2 km'dir ve sınırlayıcı bağıl

Bütün sayılar- bunlar (0, 1, -1, 2, -2, ....) kümesindeki sayılardır. Bu küme üç bölümden oluşur: doğal sayılar, negatif tam sayılar (doğal sayıların tersi) ve 0 sayısı (sıfır). Tamsayılar Latin harfleriyle gösterilir Z . Şu söylenebilir Z ={1,2,3,....}.

Gerçek sayılar- bunlar sürekli miktarları ölçmek için kullanılan sayılardır. Gerçek sayılar kümesi Latin harfi R ile gösterilir. Gerçek sayılar rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları içerir. İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılarla çeşitli işlemler yapılarak (örneğin kök alma, logaritma hesaplama) elde edilen ancak rasyonel olmayan sayılardır. İrrasyonel sayılara örnek olarak ,, verilebilir.

Sayı doğrusunda herhangi bir gerçek sayı görüntülenebilir:

Yukarıda listelenen sayı kümeleri için aşağıdaki ifade doğrudur:

Yani doğal sayılar kümesi tam sayılar kümesinin içindedir. Tamsayılar kümesi rasyonel sayılar kümesinin içindedir. Ve rasyonel sayılar kümesi reel sayılar kümesinin içindedir. Bu ifade Euler çemberleri kullanılarak gösterilebilir.

İfade " sayı setleri" matematik ders kitaplarında oldukça yaygındır. Orada sıklıkla şuna benzer ifadeler bulabilirsiniz:

"Falan filan, burası doğal sayılar kümesine ait."

Çoğunlukla bir cümlenin sonu yerine buna benzer bir şey görebilirsiniz. Biraz yukarıdaki metinle aynı anlama gelir - bir sayı doğal sayılar kümesine aittir. Pek çok kişi sıklıkla şu veya bu değişkenin hangi kümede tanımlandığına dikkat etmez. Bunun sonucunda bir problemin çözümünde veya bir teoremin ispatında tamamen yanlış yöntemler kullanılmaktadır. Bunun nedeni, farklı kümelere ait sayıların özelliklerinin farklı olabilmesidir.

Çok fazla sayısal küme yok. Aşağıda çeşitli sayı kümelerinin tanımlarını görebilirsiniz.

Doğal sayılar kümesi sıfırdan büyük tüm tam sayıları, yani pozitif tam sayıları içerir.

Örneğin: 1, 3, 20, 3057. Kümeye 0 sayısı dahil değildir.

Bu sayı kümesi sıfırdan büyük ve sıfırdan küçük tüm tam sayıları içerir, ve ayrıca sıfır.

Örneğin: -15, 0, 139.

Genel olarak rasyonel sayılar, iptal edilemeyen bir kesirler kümesidir (eğer bir kesir iptal edilirse, o zaman zaten bir tam sayı olacaktır ve bu durumda başka bir sayı kümesi eklemeye gerek yoktur).

Rasyonel kümede yer alan sayılara bir örnek: 3/5, 9/7, 1/2.

burada gerçek sayılar kümesine ait bir sayının tamsayı kısmının sonlu bir rakam dizisidir. Bu dizi sonludur, yani bir reel sayının tamsayı kısmındaki rakam sayısı sonludur.

– bir reel sayının kesirli kısmında yer alan sonsuz sayı dizisi. Kesirli kısmın sonsuz sayıda sayı içerdiği ortaya çıktı.

Bu sayılar kesir olarak gösterilemez. Aksi halde böyle bir sayı rasyonel sayılar kümesi olarak sınıflandırılabilir.

Gerçek sayılara örnekler:

İkinin kökünün anlamına daha yakından bakalım. Tamsayı kısmı yalnızca bir rakam içerir - 1, bu nedenle şunu yazabiliriz:

Kesirli kısımda (noktadan sonra) sırasıyla 4, 1, 4, 2 ve benzeri sayılar görünür. Bu nedenle ilk dört hane için şunu yazabiliriz:

Reel sayılar kümesinin tanımının artık daha net hale geldiğini umuyorum.

Çözüm

Aynı fonksiyonun, değişkenin hangi kümeye ait olduğuna bağlı olarak tamamen farklı özellikler sergileyebileceği unutulmamalıdır. Bu yüzden temel bilgileri unutmayın; bunlar işinize yarayacaktır.

Gönderi Görüntülemeleri: 5.103