Kesik piramidin toplam yüzeyi nedir? Piramit ve kesik piramit

Piramit, tabanında bir çokgen bulunan bir çokyüzlüdür. Tüm yüzler sırayla bir tepe noktasında birleşen üçgenler oluşturur. Piramitler üçgen, dörtgen vb. şeklindedir. Hangi piramidin önünüzde olduğunu belirlemek için tabanındaki köşe sayısını saymanız yeterlidir. "Piramitin yüksekliği" tanımına okul müfredatındaki geometri problemlerinde sıklıkla rastlanır. Makalede onu bulmanın farklı yollarını düşünmeye çalışacağız.

Piramidin parçaları

Her piramit aşağıdaki unsurlardan oluşur:

üç köşesi olan ve üstte birleşen yan yüzler;
apothem, tepesinden inen yüksekliği temsil eder;
piramidin tepesi, yan kenarları birleştiren ancak taban düzleminde yer almayan bir noktadır;
taban, tepe noktası içermeyen bir çokgendir;
piramidin yüksekliği, piramidin tepesiyle kesişen ve tabanıyla dik açı oluşturan bir segmenttir.

Hacmi biliniyorsa piramidin yüksekliği nasıl bulunur?

V \u003d (S * h) / 3 formülü aracılığıyla (formülde V hacimdir, S taban alanıdır, h piramidin yüksekliğidir), h \u003d (3 * V) / S'yi buluruz . Malzemeyi pekiştirmek için sorunu hemen çözelim. Üçgenin tabanı 50 cm2, hacmi ise 125 cm3'tür. Bulmamız gereken üçgen piramidin yüksekliği bilinmiyor. Burada her şey basit: Verileri formülümüze ekliyoruz. H \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm elde ederiz.

Köşegen uzunluğu ve kenarı biliniyorsa piramidin yüksekliği nasıl bulunur?

Hatırladığımız gibi piramidin yüksekliği tabanıyla dik açı oluşturuyor. Bu da köşegenin yüksekliğinin, kenarının ve yarısının birlikte oluşturduğu anlamına gelir. Pek çok kişi elbette Pisagor teoremini hatırlar. İki boyutu bildiğimiz için üçüncü değeri bulmak zor olmayacaktır. İyi bilinen a² = b² + c² teoremini hatırlayın; burada a hipotenüstür ve bizim durumumuzda piramidin kenarıdır; b - köşegenin ilk ayağı veya yarısı ve c - sırasıyla ikinci ayak veya piramidin yüksekliği. Bu formülden c² = a² - b² olur.

Şimdi sorun şu: Normal bir piramitte köşegen 20 cm, kenar uzunluğu 30 cm'dir, yüksekliği bulmanız gerekir. Çözüyoruz: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Dolayısıyla c \u003d √ 500 \u003d yaklaşık 22,4.

Kesilmiş bir piramidin yüksekliği nasıl bulunur?

Tabanına paralel bir kesiti olan çokgendir. Kesik bir piramidin yüksekliği, iki tabanını birleştiren bölümdür. Her iki tabanın köşegenlerinin uzunlukları ve piramidin kenarı biliniyorsa, normal bir piramidin yüksekliği bulunabilir. Büyük tabanın köşegeni d1, küçük tabanın köşegeni d2 ve kenarının uzunluğu l olsun. Yüksekliği bulmak için, diyagramın iki üst karşıt noktasından tabana kadar olan yükseklikleri indirebilirsiniz. İki dik açılı üçgenimiz olduğunu görüyoruz, geriye bacaklarının uzunluklarını bulmak kalıyor. Bunu yapmak için, daha küçük köşegeni daha büyük köşegenden çıkarın ve 2'ye bölün. Böylece bir bacak bulacağız: a \u003d (d1-d2) / 2. Bundan sonra Pisagor teoremine göre piramidin yüksekliği olan ikinci ayağı bulmamız yeterli.

Şimdi tüm bunlara pratikte bakalım. Önümüzde bir görev var. Kesik piramidin tabanında kare vardır, büyük tabanın köşegen uzunluğu 10 cm, küçük olanın köşe uzunluğu 6 cm, kenarı 4 cm olup, yüksekliğini bulmak gerekmektedir. Başlangıç olarak bir bacak buluyoruz: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm Bir bacak 2 cm ve hipotenüs 4 cm, ikinci bacağın veya yüksekliğin 16- olacağı ortaya çıkıyor 4 \u003d 12, yani h \u003d √12 = yaklaşık 3,5 cm.

- Bu, piramidin tabanı ve ona paralel bir bölümden oluşan bir çokyüzlüdür. Kesik bir piramidin üstü kesik bir piramit olduğunu söyleyebiliriz. Bu figürün birçok benzersiz özelliği var:

Piramidin yan yüzleri yamuktur;
Düzenli bir kesik piramidin yanal kaburgaları aynı uzunluktadır ve tabana aynı açıyla eğimlidir;
Tabanlar benzer çokgenlerdir;
Düzenli bir kesik piramidin yüzleri, alanı eşit olan aynı ikizkenar yamuklardır. Ayrıca tabana bir açıyla eğimlidirler.

Kesik bir piramidin yan yüzeyinin alanı için formül, yan alanlarının toplamıdır:

Kesik piramidin kenarları yamuk olduğundan, parametreleri hesaplamak için formülü kullanmanız gerekecektir. yamuk alanı. Düzenli bir kesik piramit için alanı hesaplamak için başka bir formül uygulanabilir. Tabandaki tüm kenarları, yüzleri ve açıları eşit olduğundan tabanın çevrelerini ve özdeyişini uygulamak ve ayrıca tabandaki açıyla alanı elde etmek mümkündür.

Düzgün kesik piramitte şartlara göre apothem (kenar yüksekliği) ve tabanın kenar uzunlukları verilirse, çevrelerin toplamının yarı çarpımı ile alan hesaplanabilir. bazlar ve özdeyiş:

Kesik bir piramidin yan yüzey alanının hesaplanmasına ilişkin bir örneğe bakalım.
Düzenli bir beşgen piramit verilmiştir. Özlem ben\u003d 5 cm, geniş tabandaki yüzün uzunluğu A\u003d 6 cm ve yüz daha küçük tabanda B\u003d 4 cm Kesik piramidin alanını hesaplayın.

Öncelikle tabanların çevrelerini bulalım. Bize beşgen bir piramit verildiğinden tabanlarının beşgen olduğunu anlıyoruz. Bu, tabanların beş özdeş kenara sahip bir şekil olduğu anlamına gelir. Büyük tabanın çevresini bulun:

Aynı şekilde küçük tabanın çevresini de buluyoruz:

Artık düzenli bir kesik piramidin alanını hesaplayabiliriz. Formüldeki verileri değiştiriyoruz:

Böylece, düzenli bir kesik piramidin alanını çevre ve apothem yoluyla hesapladık.

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanını hesaplamanın başka bir yolu da formüldür. tabandaki köşeler ve bu tabanların alanı boyunca.

Örnek bir hesaplamaya bakalım. Bu formülün yalnızca normal kesik piramit için geçerli olduğunu unutmayın.

Düzenli bir dörtgen piramit verilsin. Alt tabanın yüzü a = 6 cm, üst kısmın yüzü b = 4 cm Tabandaki dihedral açı β = 60°'dir. Düzenli bir kesik piramidin yan yüzey alanını bulun.

Öncelikle tabanların alanını hesaplayalım. Piramit düzgün olduğundan tabanların tüm yüzleri birbirine eşittir. Tabanın dörtgen olduğu göz önüne alındığında, hesaplamanın gerekli olacağını anlıyoruz. kare alan. Genişlik ve uzunluğun çarpımıdır ancak karesi alındığında bu değerler aynıdır. Daha büyük tabanın alanını bulun:

Şimdi bulunan değerleri yan yüzey alanını hesaplamak için kullanıyoruz.

Birkaç basit formülü bilerek, kesik bir piramidin yan yamuk alanını çeşitli değerlerle kolayca hesapladık.

Bu ders “Piramit” konusu hakkında fikir edinmenize yardımcı olacaktır. Düzenli ve kesik piramit. Bu dersimizde düzenli piramit kavramını tanıyacağız, ona bir tanım vereceğiz. Daha sonra teoremi düzgün bir piramidin yan yüzeyinde ve teoremi düzgün kesik piramidin yan yüzeyinde ispatlıyoruz.

Tema: Piramit

Ders: Düzenli ve kesik piramitler

Tanım: düzenli bir n-genel piramit, tabanı düzenli bir n-gon olan ve yüksekliği bu n-gon'un merkezine yansıtılan bir piramittir (Şekil 1).

Pirinç. 1

Düzenli üçgen piramit

Başlangıç olarak, AB=BC=CA olan (yani piramidin tabanında düzenli bir üçgen bulunan) ∆ABC'yi (Şekil 2) düşünün. Düzenli bir üçgende, yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri çakışır ve üçgenin kendisinin merkezidir. Bu durumda merkez şu şekilde bulunur: AB - C 1'in ortasını buluruz, medyan, açıortay ve yükseklik olan SS 1 segmentini çizeriz; benzer şekilde AC-B 1 orta noktasını buluyoruz ve BB 1 parçasını çiziyoruz. BB 1 ile CC 1'in kesişimi ∆ABC'nin merkezi olan O noktası olacaktır.

O üçgeninin merkezini S piramidinin tepesine bağlarsak, piramidin yüksekliğini SO ⊥ ABC, SO = h elde ederiz.

S noktasını A, B ve C noktalarıyla birleştirerek piramidin yan kenarlarını elde ederiz.

Düzenli bir üçgen piramit SABC elde ettik (Şekil 2).

Bu derste kesik piramidi ele alacağız, doğru kesik piramidi tanıyacağız ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Üçgen piramit örneğini kullanarak n-gonal piramit kavramını hatırlayalım. ABC üçgeni veriliyor. Üçgen düzleminin dışında, üçgenin köşelerine bağlı bir P noktası alınıyor. Ortaya çıkan çokyüzlü yüzeye piramit adı verilir (Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen piramit

Piramidi, piramidin taban düzlemine paralel bir düzlemle keselim. Bu düzlemler arasında elde edilen şekle kesik piramit adı verilir (Şekil 2).

Pirinç. 2. Kesik piramit

Temel unsurlar:

Üst taban;

Alt taban ABC;

Yan yüz ;

PH orijinal piramidin yüksekliği ise, o zaman kesik piramidin yüksekliği olur.

Kesik bir piramidin özellikleri, yapım yönteminden, yani taban düzlemlerinin paralelliğinden kaynaklanır:

Kesik bir piramidin tüm yan yüzleri yamuktur. Örneğin bir yüz düşünün. Paralel düzlem özelliğine sahiptir (düzlemler paralel olduğundan orijinal ABP piramidinin yan yüzünü paralel çizgiler boyunca keserler), aynı zamanda paralel değildirler. Açıkçası, dörtgen, kesik bir piramidin tüm yan yüzleri gibi bir yamuktur.

Bazların oranı tüm yamuklar için aynıdır:

Aynı benzerlik katsayısına sahip birkaç çift benzer üçgenimiz var. Örneğin üçgenler ve RAB, düzlemlerin paralelliği ve benzerlik katsayısı nedeniyle benzerdir:

Aynı zamanda üçgenler ve RCS benzerlik katsayılarıyla benzerdir:

Açıkçası, benzer üçgenlerin üç çiftinin de benzerlik katsayıları eşittir, dolayısıyla tabanların oranı tüm yamuklar için aynıdır.

Düzenli bir kesik piramit, normal bir piramidin tabana paralel bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen kesik bir piramittir (Şekil 3).

Pirinç. 3. Kesilmiş piramidi düzeltin

Tanım.

Tabanında düzenli bir n-gon bulunan ve tepe noktası bu n-gon'un merkezine (yazılı ve çevrelenmiş dairenin merkezi) yansıtılan düzenli bir piramit, piramit olarak adlandırılır.

Bu durumda, piramidin tabanında bir kare bulunur ve tepe noktası, köşegenlerinin kesişme noktasına yansıtılır. Ortaya çıkan düzenli dörtgen kesik piramidin ABCD'si - alt tabanı - üst tabanı vardır. Orijinal piramidin yüksekliği - RO, kesik piramit - (Şekil 4).

Pirinç. 4. Düzenli dörtgen kesik piramit

Tanım.

Kesik bir piramidin yüksekliği, bir tabanın herhangi bir noktasından ikinci tabanın düzlemine çizilen diktir.

Orijinal piramidin özeti RM'dir (M, AB'nin ortasıdır), kesik piramidin özetidir (Şekil 4).

Tanım.

Kesik bir piramidin özü, herhangi bir yan yüzün yüksekliğidir.

Kesik piramidin tüm yan kenarlarının birbirine eşit olduğu, yani yan yüzlerin eşit ikizkenar yamuk olduğu açıktır.

Düzenli bir kesik piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanların ve apothemin çevrelerinin toplamının yarısına eşittir.

Kanıt (normal dörtgen kesik piramit için - Şekil 4):

O halde şunu kanıtlamamız gerekiyor:

Buradaki yan yüzey alanı, yan yüzlerin (yamuk) alanlarının toplamından oluşacaktır. Yamuklar aynı olduğundan, elimizde:

Bir ikizkenar yamuğun alanı, tabanların toplamının yarısının ve yüksekliğin çarpımıdır, apothem yamuğun yüksekliğidir. Sahibiz:

Q.E.D.

N-genel bir piramit için:

Burada n piramidin yan yüzlerinin sayısıdır, a ve b yamuğun tabanlarıdır, bu da apothemdir.

Düzenli kesik dörtgen piramidin tabanının kenarları 3 cm ve 9 cm'ye eşittir, yükseklik - 4 cm Yan yüzeyin alanını bulun.

Pirinç. 5. Problem 1 için örnek resim

Çözüm. Durumu şöyle açıklayalım:

Verilenler: , ,

Alt tabanın iki kenarına paralel O noktasından geçen düz bir MN çizgisi çizin, benzer şekilde bu noktadan geçen düz bir çizgi çizin (Şek. 6). Kesik piramidin tabanlarında kareler ve yapılar paralel olduğundan yan yüzlere eşit bir yamuk elde ederiz. Üstelik yan tarafı, yan yüzlerin üst ve alt kenarlarının ortasından geçecek ve kesik bir piramidin özü olacaktır.

Pirinç. 6. Ek yapılar

Ortaya çıkan yamuğu düşünün (Şekil 6). Bu yamukta üst taban, alt taban ve yükseklik bilinmektedir. Verilen kesik piramidin özeti olan yan tarafı bulmak gerekir. MN'ye dik çizin. NQ dik noktasını noktadan bırakalım. Daha büyük tabanın üç santimetrelik () bölümlere ayrıldığını anlıyoruz. Bir dik üçgen düşünün, içindeki bacaklar biliniyor, bu bir Mısır üçgeni, Pisagor teoremine göre hipotenüsün uzunluğunu belirliyoruz: 5 cm.

Artık piramidin yan yüzeyinin alanını belirlemek için tüm unsurlar var:

Piramidin üzerinden tabana paralel bir düzlem geçmektedir. Üçgen piramit örneğini kullanarak, piramidin yan kenarlarının ve yüksekliğinin bu düzlem tarafından orantılı parçalara bölündüğünü kanıtlayın.

Kanıt. Örnekleyelim:

Pirinç. 7. Problem 2 için örnek resim

RABC piramidi veriliyor. RO piramidin yüksekliğidir. Piramit bir düzlemle kesilir, ayrıca kesik bir piramit elde edilir. Nokta - RO'nun yüksekliğinin kesik piramidin taban düzlemi ile kesişme noktası. Kanıtlamak gereklidir:

Çözümün anahtarı paralel düzlemlerin özelliğidir. İki paralel düzlem herhangi bir üçüncü düzlemi keserek kesişme çizgilerinin paralel olmasını sağlar. Buradan: . Karşılık gelen çizgilerin paralelliği, dört çift benzer üçgenin varlığına işaret eder:

Üçgenlerin benzerliğinden karşılık gelen kenarların orantılılığı gelir. Önemli bir özellik, bu üçgenlerin benzerlik katsayılarının aynı olmasıdır:

Q.E.D.

Taban yüksekliği ve yan tarafı olan düzenli bir üçgen piramit olan RABC, ABC tabanına paralel PH yüksekliğinin orta noktasından geçen bir düzlem tarafından parçalanıyor. Ortaya çıkan kesik piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Çözüm. Örnekleyelim:

Pirinç. 8. Problem 3 için örnek resim

DIA normal bir üçgendir, H bu üçgenin merkezidir (yazılı ve sınırlı dairelerin merkezi). RM verilen piramidin özüdür. - kesik piramidin özeti. Paralel düzlemlerin özelliğine göre (iki paralel düzlem, kesişim çizgileri paralel olacak şekilde herhangi bir üçüncü düzlemi keser), eşit benzerlik katsayısına sahip birkaç benzer üçgen çiftimiz vardır. Özellikle aşağıdaki ilişkiyle ilgileniyoruz:

NM'yi bulalım. Bu, tabana yazılan bir dairenin yarıçapıdır, karşılık gelen formülü biliyoruz:

Şimdi, Pisagor teoremine göre, dik açılı РНМ üçgeninden, orijinal piramidin özeti olan РМ'yi buluyoruz:

Başlangıç oranından:

Artık kesik bir piramidin yan yüzey alanını bulmak için tüm unsurları biliyoruz:

Böylece kesik piramit ve düzenli kesik piramit kavramlarını tanıdık, temel tanımlar verdik, özellikleri dikkate aldık ve yan yüzey alanına ilişkin teoremi kanıtladık. Bir sonraki ders problem çözmeye odaklanacaktır.

Kaynakça

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometri. 10-11. Sınıf: Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı (temel ve profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, Rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.
Sharygin I.F. Geometri. 10-11. Sınıf: Genel eğitim kurumları için bir ders kitabı / Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s .: hasta.
E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometri. 10. Sınıf: Genel eğitim kurumları için derinlemesine ve profil matematik çalışması içeren ders kitabı / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. baskı, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: hasta.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.exponenta.ru().

Ev ödevi