Fonksiyonun dahili bir noktası olduğu söylenir.
alanlar D yerel maksimum(minimum) noktanın böyle bir komşuluğu varsa
, her nokta için
hangi eşitsizliği tatmin

fonksiyon noktasında varsa
yerel maksimum veya yerel minimum, o zaman bu noktada olduğunu söylüyoruz yerel ekstremum(veya sadece aşırı).

teorem (bir ekstremumun varlığı için gerekli bir koşul). Türevlenebilir fonksiyon bu noktada bir uç noktaya ulaşırsa
, sonra fonksiyonun her birinci dereceden kısmi türevi bu noktada kaybolur.

Tüm birinci dereceden kısmi türevlerin sıfır olduğu noktalara denir. fonksiyonun durağan noktaları
. Bu noktaların koordinatları, sistemden çözülerek bulunabilir. denklemler

.

Türevlenebilir bir fonksiyon durumunda bir ekstremumun varlığı için gerekli koşul kısaca aşağıdaki gibi formüle edilebilir:

Bazı noktalarda bazı kısmi türevlerin sonsuz değerlere sahip olduğu veya bulunmadığı (geri kalanı sıfıra eşitken) durumlar vardır. Bu tür noktalara denir fonksiyonun kritik noktaları. Bu noktalar durağan olduğu kadar ekstremum için de "şüpheli" kabul edilmelidir.

İki değişkenli bir fonksiyon durumunda, bir uç nokta için gerekli koşul, yani uç noktadaki kısmi türevlerin (diferansiyel) sıfıra eşit olması geometrik bir yoruma sahiptir: yüzeye teğet düzlem
uç noktada düzleme paralel olmalıdır
.

20. Bir ekstremumun varlığı için yeterli koşullar

Bir noktada bir ekstremumun varlığı için gerekli koşulun yerine getirilmesi, orada bir ekstremumun varlığını garanti etmez. Örnek olarak, her yerde türevlenebilir fonksiyonu alabiliriz.
. Hem kısmi türevleri hem de fonksiyonun kendisi bu noktada yok olur.
. Ancak bu noktanın herhangi bir komşuluğunda hem olumlu (büyük
) ve negatif (daha küçük
) bu işlevin değerleri. Bu nedenle, bu noktada, tanım gereği, aşırılık yoktur. Bu nedenle, ekstremum olduğundan şüphelenilen bir noktanın incelenen fonksiyonun uç noktası olduğu yeterli koşulların bilinmesi gerekir.

İki değişkenli bir fonksiyonun durumunu düşünün. Diyelim ki fonksiyon
tanımlı, sürekli ve bir noktanın komşuluğunda ikinci mertebeye kadar ve ikinci mertebe dahil sürekli kısmi türevlere sahip
fonksiyonun durağan noktası olan
, yani koşulları karşılıyor

,
.

Notasyonu tanıtalım:

teorem (bir ekstremumun varlığı için yeterli koşullar). işleve izin ver
yukarıdaki koşulları karşılar, yani: durağan noktanın bazı komşuluklarında türevlenebilir
ve noktanın kendisinde iki kez türevlenebilir
. O zaman eğer

Eğer
sonra işlev
noktada
ulaşır

yerel maksimum de
Ve

yerel minimum de
.

Genel olarak, bir işlev için
bir noktada var olmak için yeterli koşul
yerelminimum(maksimum) dır-dir pozitif(olumsuz) ikinci diferansiyelin kesinliği.

Başka bir deyişle, aşağıdaki ifade doğrudur.

teorem . Eğer noktada
işlev için

aynı anda sıfıra eşit olmayanlar için
, o zaman bu noktada fonksiyon minimum(benzer maksimum, Eğer
).

Örnek 18.Bir fonksiyonun yerel uç noktalarını bulun

Çözüm. Fonksiyonun kısmi türevlerini bulun ve bunları sıfıra eşitleyin:

Bu sistemi çözerek, iki olası uç nokta buluyoruz:

Bu fonksiyon için ikinci dereceden kısmi türevleri bulalım:

Bu nedenle, ilk durağan noktada ve
Bu nedenle, bu nokta için daha fazla araştırmaya ihtiyaç vardır. fonksiyon değeri
bu noktada sıfır:
Daha öte,

de

A

de

Bu nedenle, noktanın herhangi bir mahallesinde
işlev
değerleri büyük olarak alır
ve daha küçük
, ve dolayısıyla bu noktada
işlev
, tanım gereği, yerel ekstremuma sahip değildir.

İkinci sabit noktada



bu nedenle, bu nedenle, beri
o zaman noktada
fonksiyonun yerel bir maksimumu vardır.

>> Aşırılıklar

İşlev uç noktası

extremum'un tanımı

İşlev y = f(x) denir artan (azalan) x 1 için bir aralıkta< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Bir segmentteki türevlenebilir bir fonksiyon y \u003d f (x) artarsa ​​(azalırsa), o zaman bu segmentteki türevi f " (X )> 0

(F"(X)< 0).

Nokta X Ö isminde yerel maksimum nokta (minimum) f (x ) fonksiyonunun, noktanın bir komşuluğu varsa x o, f (x) eşitsizliğinin olduğu tüm noktalar için≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Maksimum ve minimum noktalar denir uç noktalar ve bu noktalardaki fonksiyonun değerleri onun aşırılık.

uç noktalar

Bir ekstremum için gerekli koşullar . Eğer nokta X Ö f (x) fonksiyonunun uç noktasıdır, o zaman ya f " (x o ) = 0 veya f(x o ) mevcut değil. Bu tür noktalara denir kritik, fonksiyonun kendisinin kritik noktada tanımlandığı yer. Bir fonksiyonun uç noktası, kritik noktaları arasında aranmalıdır.

İlk yeterli koşul. İzin vermek X Ö - kritik nokta. eğer f" (x ) noktasından geçerken X Ö artı işaretini eksi olarak değiştirir, ardından şu noktada x o fonksiyonun bir maksimumu vardır, aksi halde bir minimumu vardır. Türev kritik bir noktadan geçerken işaret değiştirmiyorsa, o noktada X Ö ekstremum yoktur.

İkinci yeterli koşul. f(x) fonksiyonunun sahip olmasına izin verin
F" (x ) noktanın yakınında X Ö ve tam noktada ikinci türev x o. eğer f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o f(x) fonksiyonunun yerel minimum (maksimum) noktasıdır. =0 ise, o zaman ya birinci yeterli koşul kullanılmalı ya da daha yüksek olanlar dahil edilmelidir.

Bir segmentte, y \u003d f (x) işlevi, segmentin kritik noktalarında veya uçlarında en küçük veya en büyük değere ulaşabilir.

Örnek 3.22.

Çözüm.Çünkü F " (

Bir fonksiyonun ekstremumunu bulma görevleri

Örnek 3.23. A

Çözüm. X Ve y y
0 ≤ X≤
> 0 iken x >a /4S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fonksiyonlar metrekare. birimler).

Örnek 3.24. p ≈

Çözüm. pp
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Örnek 3.22.f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 fonksiyonunun ekstremumunu bulun.

Çözüm.Çünkü F " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), ardından x 1 \u003d 2 ve x 2 \u003d 3 fonksiyonunun kritik noktaları. Uç noktalar yalnızca bu noktalarda olabilir. x 1 \u003d 2 noktasından geçerken türev işareti artıdan eksiye değiştirdiğinden, bu noktada fonksiyon maksimuma sahiptir. x 2 \u003d 3 noktasından geçerken, türev işareti eksiden artıya değiştirir, bu nedenle x 2 \u003d 3 noktasında fonksiyonun minimum değeri vardır. Fonksiyonun değerlerinin nokta cinsinden hesaplanması
x 1 = 2 ve x 2 = 3, fonksiyonun ekstremumunu buluyoruz: maksimum f (2) = 14 ve minimum f (3) = 13.

Örnek 3.23.Taş duvarın yanında, üç tarafı tel örgü ile çevrili ve dördüncü tarafta duvara bitişik olacak şekilde dikdörtgen bir alan oluşturmak gerekir. Bunun için var Aızgaranın doğrusal metre. Site hangi en boy oranında en geniş alana sahip olacak?

Çözüm.Sitenin kenarlarını şu şekilde belirtin: X Ve y. Sitenin alanı S = xy'ye eşittir. İzin vermek y duvara bitişik kenarın uzunluğudur. O halde koşula göre 2x + y=a eşitliğini sağlamalıdır. Bu nedenle y = a - 2x ve S = x (a - 2x), burada
0 ≤ X≤ a /2 (yastığın uzunluğu ve genişliği negatif olamaz). x = a/4 için S "= a - 4x, a - 4x = 0, bu nedenle
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Çünkü x = a /4 tek kritik nokta, bu noktadan geçerken türevin işaretinin değişip değişmediğini kontrol edelim. x a /4 S" için> 0 iken x >a /4S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fonksiyonlar S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (metrekare. birimler). S sürekli açık olduğundan ve S(0) ile S(a /2) uçlarındaki değerleri sıfıra eşit olduğundan, bulunan değer fonksiyonun en büyük değeri olacaktır. Böylece, problemin verilen koşulları altında sitenin en uygun en boy oranı y = 2x'dir.

Örnek 3.24.V=16 kapasiteli kapalı silindirik bir tank yapılması gerekmektedir. p ≈ 50 m3. Üretiminde en az miktarda malzeme kullanmak için tankın boyutları (yarıçap R ve yükseklik H) ne olmalıdır?

Çözüm.Silindirin toplam yüzey alanı S = 2'dir. P R(R+H). Silindirin hacmini biliyoruz V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R2 \u003d 16 / R2. Yani S(R) = 2 P (R2+16/R). Bu fonksiyonun türevini buluyoruz:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0, R3 = 8 için, dolayısıyla,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişimi ve fonksiyonun artışının limiti olarak tanımlanan argümanın artışı sıfıra eğilimlidir. Bunu bulmak için türev tablosunu kullanın. Örneğin, y = x3 fonksiyonunun türevi, y' = x2'ye eşit olacaktır.

Bu türevi sıfıra eşitleyin (bu durumda x2=0).

Verilen değişkenin değerini bulun. Bunlar, bu türevin 0'a eşit olacağı değerler olacaktır. Bunu yapmak için, ifadede x yerine tüm ifadenin sıfır olacağı rasgele sayıları değiştirin. Örneğin:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Elde edilen değerleri koordinat çizgisine uygulayın ve elde edilenlerin her biri için türevin işaretini hesaplayın. Noktalar, orijin olarak alınan koordinat çizgisinde işaretlenir. Aralıklardaki değeri hesaplamak için, ölçütlerle eşleşen rasgele değerleri değiştirin. Örneğin, -1 aralığına kadar olan önceki işlev için -2 değerini seçebilirsiniz. -1'den 1'e kadar 0'ı, 1'den büyük değerler için 2'yi seçebilirsiniz. Bu sayıları türevde yerine koyun ve türevin işaretini bulun. Bu durumda, x = -2 olan türev -0,24'e eşit olacaktır, yani negatif ve bu aralıkta bir eksi işareti olacaktır. x=0 ise değer 2 olur ve bu aralığa bir işaret konur. Eğer x=1 ise, o zaman türev de -0.24'e eşit olur ve bir eksi konur.

Koordinat çizgisindeki bir noktadan geçerken türev işaretini eksiden artıya değiştirirse, bu minimum noktadır ve artıdan eksi ise, bu maksimum noktadır.

İlgili videolar

Yararlı tavsiye

Türevi bulmak için gerekli değerleri hesaplayan ve sonucu görüntüleyen çevrimiçi hizmetler vardır. Bu tür sitelerde 5 siparişe kadar türev bulabilirsiniz.

kaynaklar:

• Türev hesaplama hizmetlerinden biri
• fonksiyonun maksimum noktası

Fonksiyonun minimum noktaları ile birlikte maksimum noktalarına uç noktalar denir. Bu noktalarda fonksiyon davranışını değiştirir. Ekstremiteler, sınırlı sayısal aralıklarda belirlenir ve her zaman yereldir.

Talimat

Yerel ekstremumları bulma işlemine fonksiyon denir ve fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerinin analizi ile gerçekleştirilir. Keşfe başlamadan önce, belirtilen argüman değerleri aralığının izin verilen değerlere ait olduğundan emin olun. Örneğin, F=1/x işlevi için x=0 bağımsız değişkeninin değeri geçersiz. Veya Y=tg(x) işlevi için bağımsız değişken x=90° değerine sahip olamaz.

Y fonksiyonunun verilen aralığın tamamı boyunca türevlenebilir olduğundan emin olun. Y"nin birinci türevini bulun. Görülüyor ki, fonksiyon yerel maksimum noktasına ulaşmadan artar, maksimumdan geçerken ise azalan olur. Fiziksel anlamındaki birinci türev, fonksiyonun değişim oranını karakterize eder. Fonksiyon artarken bu sürecin hızı pozitiftir. Fonksiyon yerel maksimumdan geçerken azalmaya başlar ve fonksiyonun değişim sürecinin hızı negatif olur. Fonksiyonun değişim hızının sıfıra geçişi yerel maksimum noktasında gerçekleşir.

Bir fonksiyonun uç noktası, fonksiyonun tanım alanında, fonksiyonun değerinin minimum veya maksimum değer aldığı noktadır. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerine fonksiyonun ekstremum (minimum ve maksimum) adı verilir..

Tanım. Nokta X1 işlev kapsamı F(X) denir fonksiyonun maksimum noktası , fonksiyonun bu noktadaki değeri, fonksiyonun kendisine yeterince yakın, sağında ve solunda bulunan noktalardaki değerlerinden büyükse (yani eşitsizlik F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksimum.

Tanım. Nokta X2 işlev kapsamı F(X) denir fonksiyonun minimum noktası, fonksiyonun bu noktadaki değeri, fonksiyonun kendisine yeterince yakın, sağında ve solunda bulunan noktalardaki değerlerinden küçükse (yani eşitsizlik F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). Bu durumda fonksiyonun şu noktada sahip olduğu söylenir. X2 minimum.

noktayı söyleyelim X1 - fonksiyonun maksimum noktası F(X) . Daha sonra aralıkta kadar X1 fonksiyon artar, dolayısıyla fonksiyonun türevi sıfırdan büyüktür ( F "(X) > 0 ) ve sonraki aralıkta X1 fonksiyon azalıyor, yani fonksiyon türevi Sıfırdan daha az ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Şu noktayı da varsayalım X2 - işlevin minimum noktası F(X) . Daha sonra aralıkta kadar X2 fonksiyon azalıyor ve fonksiyonun türevi sıfırdan küçük ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 fonksiyon artıyor ve fonksiyonun türevi sıfırdan büyük ( F "(X) > 0). Bu durumda da noktada X2 fonksiyonun türevi sıfırdır veya yoktur.

Fermat teoremi (bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için gerekli bir kriter). Eğer nokta X0 - fonksiyonun uç noktası F(X) , o zaman bu noktada fonksiyonun türevi sıfıra eşittir ( F "(X) = 0 ) veya yok.

Tanım. Bir fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara ne ad verilir? kritik noktalar .

örnek 1 Bir fonksiyon düşünelim.

Noktada X= 0 fonksiyonun türevi sıfıra eşittir, dolayısıyla nokta X= 0 kritik noktadır. Ancak, fonksiyonun grafiğinde de görülebileceği gibi, tanım alanının tamamında artar, yani nokta X= 0, bu fonksiyonun uç noktası değildir.

Bu nedenle, bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin sıfıra eşit olması veya olmaması koşulları, bir ekstremum için gerekli koşullardır, ancak yeterli değildir, çünkü bu koşulların sağlandığı başka fonksiyon örnekleri verilebilir, ancak fonksiyonun karşılık gelen noktada bir ekstremumu yoktur. Bu yüzden yeterli endikasyona sahip olmalıdır, belirli bir kritik noktada bir uç nokta olup olmadığına ve hangisinin - maksimum veya minimum olduğuna karar vermeyi mümkün kılar.

Teorem (bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için yeterli ilk kriter). Kritik nokta X0 F(X) , fonksiyonun türevi bu noktadan geçerken işaret değiştiriyorsa ve işaret "artı" dan "eksi" ye değişiyorsa maksimum nokta, "eksi" den "artı" ise minimum nokta.

noktaya yakın ise X0 , solunda ve sağında, türev işaretini korur, bu, fonksiyonun noktanın bazı komşuluklarında ya sadece azaldığı ya da sadece arttığı anlamına gelir. X0 . Bu durumda, noktada X0 ekstremum yoktur.

Bu yüzden, fonksiyonun uç noktalarını belirlemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir :

1. Bir fonksiyonun türevini bulun.
2. Türevi sıfıra eşitleyin ve kritik noktaları belirleyin.
3. Zihinsel veya kağıt üzerinde, kritik noktaları sayısal eksen üzerinde işaretleyin ve elde edilen aralıklarda fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyin. Türevin işareti "artı"dan "eksi"ye değişirse kritik nokta maksimum nokta, "eksi"den "artı"ya dönerse kritik nokta minimum noktadır.
4. Ekstremum noktalarında fonksiyonun değerini hesaplayın.

Örnek 2 Bir fonksiyonun uç noktalarını bulun .

Çözüm. Fonksiyonun türevini bulalım:

Kritik noktaları bulmak için türevi sıfıra eşitleyin:

.

Herhangi bir "x" değeri için payda sıfıra eşit olmadığından, payı sıfıra eşitleriz:

Bir kritik nokta var X= 3 Bu nokta ile sınırlanan aralıklarda türevin işaretini belirleriz:

eksi sonsuzdan 3 - eksi işaretine kadar, yani fonksiyon azalır,

3 ila artı sonsuza kadar - artı işareti, yani işlev artar.

yani nokta X= 3 minimum noktadır.

Minimum noktada fonksiyonun değerini bulun:

Böylece fonksiyonun uç noktası bulunur: (3; 0) ve minimum noktasıdır.

Teorem (bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için ikinci yeterli kriter). Kritik nokta X0 fonksiyonun uç noktasıdır F(X) , fonksiyonun bu noktadaki ikinci türevi sıfıra eşit değilse ( F ""(X) ≠ 0 ), üstelik ikinci türev sıfırdan büyükse ( F ""(X) > 0 ), maksimum nokta ve ikinci türev sıfırdan küçükse ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Açıklama 1. Eğer bir noktada X0 hem birinci hem de ikinci türev kaybolursa, bu noktada ikinci yeterli işaret temelinde bir ekstremumun varlığını yargılamak imkansızdır. Bu durumda, fonksiyonun uç noktası için ilk yeterli kriteri kullanmanız gerekir.

Açıklama 2. Bir fonksiyonun uç noktası için ikinci yeterli kriter, birinci türev durağan noktada olmadığında da uygulanamaz (bu durumda ikinci türev de yoktur). Bu durumda, fonksiyonun ekstremumu için ilk yeterli kriteri kullanmak da gereklidir.

Fonksiyonun ekstremumunun yerel doğası

Yukarıdaki tanımlardan, bir fonksiyonun ekstremumunun yerel nitelikte olduğu anlaşılmaktadır - bu, fonksiyonun en yakın değerlerle karşılaştırıldığında en büyük ve en küçük değeridir.

Kazançlarınızı bir yıllık bir zaman aralığında değerlendirdiğinizi varsayalım. Mayıs ayında 45.000 ruble ve Nisan'da 42.000 ruble ve Haziran'da 39.000 ruble kazandıysanız, Mayıs kazançları, en yakın değerlere kıyasla kazanç fonksiyonunun maksimum değeridir. Ancak Ekim'de 71.000 ruble, Eylül'de 75.000 ruble ve Kasım'da 74.000 ruble kazandınız, bu nedenle Ekim kazançları, yakın değerlerle karşılaştırıldığında kazanç fonksiyonunun minimumudur. Ve Nisan-Mayıs-Haziran değerleri arasında maksimumun Eylül-Ekim-Kasım aylarındaki minimumdan daha az olduğunu rahatlıkla görebilirsiniz.

Genel olarak konuşursak, bir fonksiyonun bir aralıkta birkaç uç noktası olabilir ve fonksiyonun herhangi bir minimumunun herhangi bir maksimumdan daha büyük olduğu ortaya çıkabilir. Yani, yukarıdaki şekilde gösterilen fonksiyon için, .

Yani, fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinin, söz konusu segmentin tamamında sırasıyla maksimum ve minimum değerleri olduğu düşünülmemelidir. Maksimum noktada, fonksiyon yalnızca maksimum noktaya yeterince yakın tüm noktalarda sahip olduğu değerlerle karşılaştırıldığında en büyük değere sahiptir ve minimum noktada, yalnızca minimum noktaya yeterince yakın tüm noktalarda sahip olduğu değerlerle karşılaştırıldığında en küçük değere sahiptir.

Bu nedenle, yukarıda verilen bir fonksiyonun uç noktaları kavramını geliştirebilir ve minimum noktaları yerel minimum noktalar ve maksimum noktaları - yerel maksimum noktalar olarak adlandırabiliriz.

Birlikte fonksiyonun uç noktasını arıyoruz

Örnek 3

Çözüm: Fonksiyon tam sayı doğrusu üzerinde tanımlı ve süreklidir. türevi ayrıca tüm sayı satırında da bulunur. Bu nedenle, bu durumda, yalnızca , yani kritik noktalar olarak hizmet eder. , nereden ve . Kritik noktalar ve fonksiyonun tüm alanını üç monotonluk aralığına bölün: . Her birinde bir kontrol noktası seçiyoruz ve bu noktadaki türevin işaretini buluyoruz.

Aralık için referans noktası şöyle olabilir: buluruz. Aralıkta bir nokta alarak, elde ederiz ve aralıkta bir nokta alarak, elde ederiz. Yani, ve aralıklarında ve aralığında . Bir ekstremumun ilk yeterli işaretine göre, noktada bir ekstremum yoktur (çünkü türev , aralığında işaretini korur) ve fonksiyonun bu noktada bir minimumu vardır (türev bu noktadan geçerken eksiden artıya işaret değiştirdiğinden). İşlevin karşılık gelen değerlerini bulun: , ve . Aralıkta fonksiyon azalır, çünkü bu aralıktadır ve aralıkta artar, çünkü bu aralıktadır.

Grafiğin yapısını netleştirmek için, koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını buluruz. Fonksiyon grafiğinin kökleri ve yani iki noktası (0; 0) ve (4; 0) bulunan bir denklem elde ettiğimizde. Alınan tüm bilgileri kullanarak bir grafik oluşturuyoruz (örneğin başına bakın).

Örnek 4 Fonksiyonun ekstremumunu bulun ve grafiğini oluşturun.

Fonksiyonun alanı, nokta dışında tüm sayı doğrusudur, yani. .

Çalışmayı kısaltmak için bu fonksiyonun çift olduğu gerçeğini kullanabiliriz, çünkü . Bu nedenle grafiği eksene göre simetriktir. Oy ve çalışma sadece aralık için yapılabilir.

türevi bulma ve işlevin kritik noktaları:

1) ;

2) ,

ancak fonksiyon bu noktada bir kesintiye uğrar, bu nedenle bir uç nokta olamaz.

Böylece, verilen fonksiyonun iki kritik noktası vardır: ve . Fonksiyonun paritesini hesaba katarak, sadece ekstremumun ikinci yeterli işareti ile noktayı kontrol ederiz. Bunu yapmak için ikinci türevi buluruz. ve işaretini şu noktada belirleyin: elde ederiz. ve , fonksiyonun minimum noktası olduğundan, .

Fonksiyonun grafiğinin daha eksiksiz bir resmini elde etmek için tanım alanının sınırları üzerindeki davranışını bulalım:

(burada sembol arzuyu gösterir) X sağda sıfıra ve X pozitif kalır; benzer şekilde aspirasyon anlamına gelir X solda sıfıra ve X negatif kalır). Böylece, eğer , o zaman . Sonra, buluruz

,

onlar. eğer , öyleyse .

Fonksiyonun grafiğinin eksenlerle kesişme noktası yoktur. Resim örneğin başındadır.

Birlikte fonksiyonun ekstremumlarını aramaya devam ediyoruz.

Örnek 8 Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

Çözüm. Fonksiyonun etki alanını bulun. Eşitsizliğin sağlanması gerektiğinden, .

Fonksiyonun birinci türevini bulalım:

Fonksiyonun kritik noktalarını bulalım.

Tanım: x0 noktası, fonksiyonun yerel maksimum (veya minimum) noktası olarak adlandırılır, eğer x0 noktasının bazı mahallelerinde fonksiyon en büyük (veya en küçük) değeri alırsa, yani x0 noktasının bazı komşularından tüm х için f(x) f(x0) (veya f(x) f(x0)) koşulu karşılanır.

Yerel maksimum veya minimum noktaları, ortak bir adla birleştirilir - bir işlevin yerel ekstremum noktaları.

Yerel bir ekstremum noktalarında, fonksiyonun yalnızca bazı yerel bölgelerde maksimum veya minimum değerine ulaştığına dikkat edin. уmaxуmin değerine göre durumlar vardır.

Bir fonksiyonun yerel ekstremumunun varlığı için gerekli bir kriter

teorem . Sürekli bir y = f(x) fonksiyonunun x0 noktasında yerel bir uç noktası varsa, o zaman bu noktada birinci türev ya sıfırdır ya da yoktur, yani yerel ekstremum, birinci türden kritik noktalarda gerçekleşir.

Yerel uç noktalarında, ya teğet 0x eksenine paraleldir ya da iki teğet vardır (şekle bakın). Kritik noktaların yerel bir ekstremum için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşul olduğuna dikkat edin. Bir yerel ekstremum yalnızca birinci türden kritik noktalarda gerçekleşir, ancak tüm kritik noktaların yerel bir ekstremumu yoktur.

Örneğin: y = x3 kübik parabolü, x0=0 kritik noktasına sahiptir ve bu noktada türev y/(0)=0, ancak x0=0 kritik noktası bir uç nokta değil, ancak içinde bir bükülme noktası var (aşağıya bakın).

Bir fonksiyonun yerel ekstremumunun varlığı için yeterli bir kriter

teorem . Argüman birinci türden kritik bir noktadan soldan sağa geçtiğinde, birinci türev y / (x)

işareti “+”dan “-”ye değiştirir, o zaman sürekli fonksiyon y(x) bu kritik noktada bir yerel maksimuma sahiptir;

İşareti "-"den "+"ya değiştirirse, y(x) sürekli fonksiyonunun bu kritik noktada bir yerel minimumu vardır.

işaret değiştirmiyorsa, bu kritik noktada yerel ekstremum yoktur, bir bükülme noktası vardır.

Yerel bir maksimum için, artan fonksiyon alanı (y/0) azalan fonksiyon alanı (y/0) ile değiştirilir. Yerel bir minimum için, azalan fonksiyon alanı (y/0) artan fonksiyon alanı (y/0) ile değiştirilir.

Örnek: y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 fonksiyonunu monotonluk, ekstremum açısından araştırın ve fonksiyonun bir grafiğini oluşturun.

Türevi (y/) tanımlayıp sıfıra eşitleyerek birinci türden kritik noktaları bulalım: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Diskriminantı kullanarak kare üç terimliyi çözeriz:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Sayısal ekseni kritik noktalara göre 3 bölgeye ayıralım ve içlerindeki türevin (y/) işaretlerini belirleyelim. Bu işaretlere dayanarak, fonksiyonların monotonluk (artma ve azalma) alanlarını buluruz ve işaretleri değiştirerek yerel ekstremum noktalarını (maksimum ve minimum) belirleriz.

Çalışmanın sonuçları, aşağıdaki sonuçların çıkarılabileceği bir tablo şeklinde sunulmuştur:

• 1. y /(-10) 0 aralığında, fonksiyon monoton olarak artar (y türevinin işareti, bu aralıkta alınan x = -10 kontrol noktasından tahmin edilmiştir);
• 2. (-5; -1) y /(-2) 0 aralığında, fonksiyon monoton olarak azalır (y türevinin işareti, bu aralıkta alınan x = -2 kontrol noktasından tahmin edilmiştir);
• 3. y /(0) 0 aralığında, fonksiyon monoton olarak artar (y türevinin işareti, bu aralıkta alınan x = 0 kontrol noktasından tahmin edilmiştir);
• 4. x1k \u003d -5 kritik noktasından geçerken, türev işareti "+" dan "-" ye değiştirir, bu nedenle bu nokta yerel bir maksimum noktadır.
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. x2k \u003d -1 kritik noktasından geçerken, türev işareti "-" den "+" ya değiştirir, bu nedenle bu nokta yerel bir minimum noktadır.
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Kontrol noktalarında fonksiyon değerlerinin ek hesaplamalarının dahil olduğu çalışmanın sonuçlarına dayalı olarak bir grafik oluşturacağız:

dikdörtgen bir koordinat sistemi Oxy oluşturuyoruz;

maksimum (-5; 16) ve minimum (-1; -16) noktaların koordinatlarını gösterin;

grafiği iyileştirmek için, maksimum ve minimum noktaların solundan ve sağından ve orta aralığın içinden seçerek kontrol noktalarındaki fonksiyonun değerini hesaplıyoruz, örneğin: y(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) ve (0;-9) - bir grafik oluşturmak için çizilen hesaplanmış kontrol noktaları;

grafiği maksimum noktada yukarı ve minimum noktada aşağı doğru çıkıntı yapan ve hesaplanan kontrol noktalarından geçen bir eğri şeklinde gösteriyoruz.