Bir fonksiyonun grafiğini çevrimiçi araştırın. Tam bir fonksiyon çalışması nasıl yapılır?

Diferansiyel hesabın en önemli görevlerinden biri, fonksiyonların davranışını incelemeye yönelik genel örneklerin geliştirilmesidir.

y=f(x) fonksiyonu , aralığında sürekliyse ve türevi, (a,b) aralığında pozitif veya 0'a eşitse, bu durumda y=f(x) (f"(x)0) kadar artar y=f(x) fonksiyonu doğru parçası üzerinde sürekli ise ve (a,b) aralığında türevi negatif veya 0'a eşitse, bu durumda y=f(x) (f"(x)0 kadar azalır) )

Fonksiyonun azalmadığı veya artmadığı aralıklara fonksiyonun monotonluk aralıkları denir. Bir fonksiyonun monotonluğu, yalnızca tanım kümesinin birinci türevinin işaretinin değiştiği noktalarında değişebilir. Bir fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu veya süreksiz olduğu noktalara kritik denir.

Teorem 1 (Bir ekstremun varlığı için 1. yeterli koşul).

y=f(x) fonksiyonu x 0 noktasında tanımlı olsun ve fonksiyonun aralıkta sürekli ve (x 0 -δ,x 0)u( aralığında türevlenebilir olmasını sağlayacak şekilde bir δ>0 komşuluğu olsun. x 0 , x 0 +δ) ve türevi bu aralıkların her birinde sabit bir işareti korur. O halde eğer x 0 -δ,x 0) ve (x 0 , x 0 +δ) üzerinde türevin işaretleri farklıysa, o zaman x 0 bir ekstrem noktadır ve eğer çakışıyorlarsa o zaman x 0 bir ekstrem nokta değildir . Ayrıca, x0 noktasından geçerken türevin işareti artıdan eksiye değişirse (x 0'ın solunda f"(x)>0 sağlanırsa, o zaman x 0 maksimum nokta olur; eğer türev işareti şu şekilde değiştirirse: eksiden artıya (x 0'ın sağında yürütülen f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimum ve minimum noktalara fonksiyonun ekstrem noktaları, maksimum ve minimum noktalarına ise ekstrem değerler denir.

Teorem 2 (yerel bir ekstremun gerekli işareti).

Eğer y=f(x) fonksiyonunun x=x 0 mevcut noktasında bir ekstremumu varsa, o zaman f'(x 0)=0 ya da f'(x 0) mevcut değildir.
Türevlenebilir fonksiyonun uç noktalarında grafiğinin teğeti Ox eksenine paraleldir.

Bir ekstremum için bir fonksiyonu incelemek için algoritma:

1) Fonksiyonun türevini bulun.
2) Kritik noktaları bulun; Fonksiyonun sürekli olduğu ve türevinin sıfır olduğu veya mevcut olmadığı noktalar.
3) Her noktanın komşuluğunu düşünün ve bu noktanın solunda ve sağında türevin işaretini inceleyin.
4) Uç noktaların koordinatlarını belirleyin; bunun için kritik noktaların değerlerini bu fonksiyonda değiştirin. Ekstremum için yeterli koşulları kullanarak uygun sonuçları çıkarın.

Örnek 18. Bir ekstremum için y=x 3 -9x 2 +24x fonksiyonunu inceleyin

Çözüm.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Türevi sıfıra eşitleyerek x 1 =2, x 2 =4'ü buluruz. Bu durumda türev her yerde tanımlıdır; Yani bulunan iki nokta dışında başka kritik nokta yok.
3) y"=3(x-2)(x-4) türevinin işareti Şekil 1'de görüldüğü gibi aralığa bağlı olarak değişmektedir. x=2 noktasından geçerken türevin işareti artıdan eksiye değişir, ve x=4 noktasından geçerken - eksiden artıya.
4) x=2 noktasında fonksiyonun maksimumu y max =20'dir ve x=4 noktasında minimum y min =16'dır.

Teorem 3. (Bir ekstremumun varlığı için 2. yeterli koşul).

f"(x 0) olsun ve x 0 noktasında f""(x 0 vardır. O halde eğer f""(x 0)>0 ise, o zaman x 0 minimum noktadır ve eğer f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Bir parça üzerinde y=f(x) fonksiyonu en küçük (y en küçük) veya en büyük (y en yüksek) değere ya fonksiyonun (a;b) aralığındaki kritik noktalarında ya da segmentin uçları.

Segment üzerinde sürekli bir y=f(x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması:

1) f"(x)'i bulun.
2) f"(x)=0 veya f"(x)'in bulunmadığı noktaları bulun ve doğru parçasının içinde olanları seçin.
3) Adım 2'de elde edilen noktalarda ve parçanın uçlarında y=f(x) fonksiyonunun değerini hesaplayın ve bunlardan en büyüğünü ve en küçüğünü seçin: bunlar sırasıyla en büyüğüdür (y) aralıktaki fonksiyonun en büyük) ve en küçük (y en küçük) değerleri.

Örnek 19. Parça üzerinde y=x 3 -3x 2 -45+225 sürekli fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

1) Doğru parçasında y"=3x 2 -6x-45 var
2) Tüm x'ler için y" türevi vardır. y"=0; şunu elde ederiz:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x1 =-3; x 2 =5
3) Fonksiyonun x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 noktalarındaki değerini hesaplayın.
Doğru parçası yalnızca x=5 noktasını içerir. Fonksiyonun bulunan değerlerinin en büyüğü 225, en küçüğü ise 50 sayısıdır. Yani y max = 225, y min = 50 olur.

Dışbükeylik üzerine bir fonksiyonun incelenmesi

Şekilde iki fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Bunlardan ilki yukarıya doğru dışbükey, ikincisi aşağıya doğru dışbükeydir.

y=f(x) fonksiyonu parça üzerinde süreklidir ve (a;b) aralığında türevlenebilirdir ve eğer axb için grafiği, Herhangi bir M 0 (x 0 ;f(x 0)) noktasına çizilen teğet, burada axb.

Teorem 4. y=f(x) fonksiyonunun doğru parçasının herhangi bir iç x noktasında ikinci bir türevi olsun ve bu parçanın uçlarında sürekli olsun. Bu durumda f""(x)0 eşitsizliği (a;b) aralığında geçerliyse, fonksiyon ; aralığında aşağı doğru dışbükeydir; f""(x)0 eşitsizliği (a;b) aralığında geçerliyse, bu durumda fonksiyon üzerinde dışbükeydir.

Teorem 5. Eğer y=f(x) fonksiyonunun (a;b) aralığında ikinci bir türevi varsa ve x 0 noktasından geçerken işaret değiştiriyorsa, bu durumda M(x 0 ;f(x 0)) bir dönüm noktası.

Bükülme noktalarını bulma kuralı:

1) f""(x)'in bulunmadığı veya sıfır olduğu noktaları bulun.
2) İlk adımda bulunan her noktanın solundaki ve sağındaki f""(x) işaretini inceleyin.
3) Teorem 4'e dayanarak bir sonuç çıkarın.

Örnek 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 fonksiyonunun grafiğinin ekstrem noktalarını ve dönüm noktalarını bulun.

Elimizde f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 var. Açıkçası, x 1 =0, x 2 =1 olduğunda f"(x)=0 olur. Türev, x=0 noktasından geçerken işareti eksiden artıya değiştirir, ancak x=1 noktasından geçerken işareti değişmez. Bu, x=0'ın minimum nokta olduğu (y min =12) ve x=1 noktasında hiçbir ekstremum olmadığı anlamına gelir. Sonra buluyoruz . İkinci türev x 1 =1, x 2 =1/3 noktalarında sıfırdır. İkinci türevin işaretleri şu şekilde değişir: (-∞;) ışınında f""(x)>0 var, (;1) aralığında f""(x) var<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Dolayısıyla, x= fonksiyon grafiğinin bükülme noktasıdır (dışbükeylikten yukarıya doğru dışbükeyliğe geçiş) ve x=1 aynı zamanda bükülme noktasıdır (yukarı doğru dışbükeylikten aşağıya doğru dışbükeyliğe geçiş). Eğer x= ise y=; eğer öyleyse x=1, y=13.

Bir grafiğin asimptotunu bulmak için algoritma

I. Eğer x → a olarak y=f(x) ise, o zaman x=a dikey bir asimptottur.
II. Eğer x → ∞ veya x → -∞ olarak y=f(x) ise, o zaman y=A yatay bir asimptottur.
III. Eğik asimptotu bulmak için aşağıdaki algoritmayı kullanırız:
1) Hesaplayın. Limit mevcutsa ve b'ye eşitse, o zaman y=b yatay bir asimptottur; ise ikinci adıma geçin.
2) Hesaplayın. Bu limit mevcut değilse asimptot da yoktur; eğer varsa ve k'ye eşitse üçüncü adıma geçin.
3) Hesaplayın. Bu limit mevcut değilse asimptot da yoktur; eğer varsa ve b'ye eşitse dördüncü adıma geçin.
4) Eğik asimptot y=kx+b'nin denklemini yazın.

Örnek 21: Bir fonksiyonun asimptotunu bulun

1)
2)
3)
4) Eğik asimptotun denklemi şu şekildedir:

Bir fonksiyonu incelemek ve grafiğini oluşturmak için şema

I. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun.
II. Fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun.
III. Asimptotları bulun.
IV. Olası ekstrem noktaları bulun.
V. Kritik noktaları bulun.
VI. Yardımcı şekli kullanarak birinci ve ikinci türevlerin işaretini inceleyin. Artan ve azalan fonksiyonun alanlarını belirleyin, grafiğin dışbükeylik yönünü, ekstremum noktalarını ve dönüm noktalarını bulun.
VII. 1-6 paragraflarında yapılan araştırmayı dikkate alarak bir grafik oluşturun.

Örnek 22: Yukarıdaki diyagrama göre fonksiyonun grafiğini oluşturun

Çözüm.
I. Bir fonksiyonun tanım kümesi, x=1 dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir.
II. x 2 +1=0 denkleminin gerçek kökleri olmadığından, fonksiyonun grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktası yoktur, ancak Oy eksenini (0;-1) noktasında keser.
III. Asimptotların varlığı sorusunu açıklığa kavuşturalım. Fonksiyonun x=1 süreksizlik noktası yakınındaki davranışını inceleyelim. x → -∞ olarak y → ∞, x → 1+ olarak y → +∞ olduğundan, x=1 düz çizgisi fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur.
Eğer x → +∞(x → -∞), o zaman y → +∞(y → -∞); bu nedenle grafiğin yatay bir asimptotu yoktur. Ayrıca sınırların varlığından

x 2 -2x-1=0 denklemini çözerek iki olası uç nokta elde ederiz:
x 1 =1-√2 ve x 2 =1+√2

V. Kritik noktaları bulmak için ikinci türevi hesaplıyoruz:

f""(x) yok olmadığından kritik noktalar yoktur.
VI. Birinci ve ikinci türevlerin işaretini inceleyelim. Dikkate alınması gereken olası uç noktalar: x 1 =1-√2 ve x 2 =1+√2, fonksiyonun varlık tanım kümesini aralıklara bölün (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) ve (1+√2;+∞).

Bu aralıkların her birinde türev işaretini korur: birincide artı, ikincide eksi, üçüncüde artı. Birinci türevin işaret dizisi şu şekilde yazılacaktır: +,-,+.
Fonksiyonun (-∞;1-√2)'de arttığını, (1-√2;1+√2)'de azaldığını ve (1+√2;+∞)'da tekrar arttığını buluyoruz. Ekstrem noktalar: x=1-√2'de maksimum ve f(1-√2)=2-2√2 x=1+√2'de minimum ve f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) noktasında grafik yukarıya doğru dışbükeydir ve (1;+∞) noktasında aşağıya doğru dışbükeydir.
VII Elde edilen değerlerin bir tablosunu yapalım

VIII Elde edilen verilere dayanarak fonksiyonun grafiğinin bir taslağını oluşturuyoruz

Tam bir çalışma yürütün ve fonksiyonun grafiğini çizin

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Fonksiyonun kapsamı. Fonksiyon bir kesir olduğundan paydanın sıfırlarını bulmamız gerekir.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Tek x=1x=1 noktasını fonksiyonun tanım alanından hariç tutuyoruz ve şunu elde ediyoruz:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Süreksizlik noktası civarında fonksiyonun davranışını inceleyelim. Tek taraflı limitleri bulalım:

Limitler sonsuza eşit olduğundan, x=1x=1 noktası ikinci türden bir süreksizliktir, x=1x=1 düz çizgisi ise dikey bir asimptottur.

3) Fonksiyon grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını belirleyelim.

X=0x=0'a eşitlediğimiz OyOy ordinat ekseni ile kesişme noktalarını bulalım:

Böylece OyOy ekseni ile kesişme noktası (0;8)(0;8) koordinatlarına sahiptir.

y=0y=0 olarak belirlediğimiz OxOx abscissa ekseni ile kesişme noktalarını bulalım:

Denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla OxOx ekseniyle kesişme noktaları yoktur.

Herhangi bir xx için x2+8>0x2+8>0 olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) için, x∈(1;+∞ için) y>0y>0 fonksiyonu (pozitif değerler alır, grafik x ekseninin üzerindedir) )x∈(1; +∞) fonksiyonu y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Fonksiyon ne çift ne de tektir çünkü:

5) Periyodiklik fonksiyonunu inceleyelim. Fonksiyon kesirli rasyonel bir fonksiyon olduğundan periyodik değildir.

6) Fonksiyonu ekstremum ve monotonluk açısından inceleyelim. Bunu yapmak için fonksiyonun ilk türevini buluyoruz:

Birinci türevi sıfıra eşitleyelim ve durağan noktaları bulalım (burada y′=0y′=0):

Üç kritik noktamız var: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Fonksiyonun tüm tanım alanını bu noktalarla aralıklara bölelim ve her aralıkta türevin işaretlerini belirleyelim:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) için y' türevi<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) türevi y′>0y′>0 için fonksiyon bu aralıklarda artar.

Bu durumda, x=−2x=−2 bir yerel minimum noktadır (fonksiyon önce azalır, sonra artar), x=4x=4 bir yerel maksimum noktadır (fonksiyon önce artar, sonra azalır).

Bu noktalardaki fonksiyonun değerlerini bulalım:

Böylece minimum nokta (−2;4)(−2;4), maksimum nokta (4;−8)(4;−8) olur.

7) Fonksiyonu bükülme ve dışbükeylik açısından inceleyelim. Fonksiyonun ikinci türevini bulalım:

İkinci türevi sıfıra eşitleyelim:

Ortaya çıkan denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla bükülme noktaları da yoktur. Üstelik x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 sağlandığında, yani fonksiyon içbükeydir, x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) y′′ tarafından sağlanır<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Fonksiyonun sonsuzdaki, yani deki davranışını inceleyelim.

Limitler sonsuz olduğundan yatay asimptot yoktur.

y=kx+by=kx+b formunun eğik asimptotlarını belirlemeye çalışalım. Bilinen formülleri kullanarak k,bk,b değerlerini hesaplıyoruz:

Fonksiyonun bir eğik asimptotu y=−x−1y=−x−1 olduğunu bulduk.

9) Ek noktalar. Grafiği daha doğru oluşturabilmek için fonksiyonun değerini başka noktalarda da hesaplayalım.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Elde edilen verilere dayanarak bir grafik oluşturacağız, onu x=1x=1 (mavi), y=−x−1y=−x−1 (yeşil) asimptotlarıyla tamamlayacağız ve karakteristik noktaları işaretleyeceğiz (ordinatla mor kesişim) eksen, turuncu ekstrema, siyah ek noktalar):

Görev 4: Geometrik, Ekonomik problemler (Ne olduğu hakkında hiçbir fikrim yok, burada çözümleri ve formülleriyle birlikte yaklaşık bir problem seçimi var)

Örnek 3.23. A

Çözüm. X Ve sen sen
y = a - 2×a/4 =a/2. Tek kritik nokta x = a/4 olduğundan bu noktadan geçerken türevin işaretinin değişip değişmediğini kontrol edelim. xa/4 S için " > 0 ve x >a/4 S " için< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Örnek 3.24.

Çözüm.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Örnek 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 fonksiyonunun ekstremumunu bulun.

Çözüm. F "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3) olduğundan, x 1 = 2 ve x 2 = 3 fonksiyonunun kritik noktaları. Ekstrem yalnızca şu noktada olabilir: x 1 = 2 noktasından geçerken türevin işareti artıdan eksiye değiştiği için, bu noktada fonksiyonun bir maksimumu vardır. x 2 = 3 noktasından geçerken türevin işareti eksiden değişir. artıya, dolayısıyla x 2 = 3 noktasında fonksiyonun minimum değeri vardır.Fonksiyon değerlerini noktalarda hesapladıktan sonra
x 1 = 2 ve x 2 = 3, fonksiyonun ekstremumunu buluruz: maksimum f(2) = 14 ve minimum f(3) = 13.

Örnek 3.23. Taş duvarın yanına, üç tarafı tel örgüyle çevrilecek, dördüncü tarafı duvara bitişik olacak şekilde dikdörtgen bir alan inşa etmek gerekiyor. Bunun için var A doğrusal metre örgü. Site hangi en boy oranında en geniş alana sahip olacak?

Çözüm. Platformun kenarlarını şu şekilde belirtelim: X Ve sen. Sitenin alanı S = xy'dir. İzin vermek sen- bu, duvara bitişik tarafın uzunluğudur. O halde koşula göre 2x + y = a eşitliği sağlanmalıdır. Dolayısıyla y = a - 2x ve S = x(a - 2x), burada
0 ≤ x ≤ a/2 (pedin uzunluğu ve genişliği negatif olamaz). S " = a - 4x, a - 4x = 0, x = a/4'te, dolayısıyla
y = a - 2×a/4 =a/2. Tek kritik nokta x = a/4 olduğundan bu noktadan geçerken türevin işaretinin değişip değişmediğini kontrol edelim. xa/4 S için " > 0 ve x >a/4 S " için< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Örnek 3.24. Kapasitesi V=16p ≈ 50 m 3 olan kapalı silindirik bir tankın yapılması gerekmektedir. Üretiminde en az miktarda malzemenin kullanılması için tankın boyutları (yarıçap R ve yükseklik H) ne olmalıdır?

Çözüm. Silindirin toplam yüzey alanı S = 2pR(R+H). Silindirin hacmini biliyoruz V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Bu, S(R) = 2p(R2 +16/R) anlamına gelir. Bu fonksiyonun türevini buluyoruz:
S " (R) = 2p(2R- 16/R2) = 4p (R- 8/R2). R3 = 8 için S " (R) = 0, dolayısıyla,
R = 2, H = 16/4 = 4.

İlgili bilgi.

$y= \frac(x^3)(1-x) $ fonksiyonunu inceleyelim ve grafiğini oluşturalım.

1. Tanımın kapsamı.
Rasyonel bir fonksiyonun (kesir) tanım alanı şu şekilde olacaktır: payda sıfıra eşit değildir, yani. $1 -x \ne 0 => x \ne 1$. Etki alanı $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Fonksiyon kırılma noktaları ve sınıflandırılması.
Fonksiyonun bir kırılma noktası vardır x = 1
x= 1 noktasını inceleyelim. Süreksizlik noktasının sağında ve solunda fonksiyonun limitini bulalım, $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1) -x)) = -\infty $$ ve $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ noktasının solunda Bu ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır çünkü tek taraflı limitler $\infty$'e eşittir.

Düz çizgi $x = 1$ dikey bir asimptottur.

3. İşlev eşitliği.
Pariteyi kontrol ediyoruz $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $ fonksiyon ne çift ne de tek.

4. Fonksiyonun sıfırları (Ox ekseni ile kesişme noktaları). Bir fonksiyonun sabit işaretinin aralıkları.
Fonksiyon sıfırları ( Ox ekseni ile kesişme noktası): $y=0\'ı eşitleriz, \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $ elde ederiz. Eğrinin Ox ekseniyle $(0;0)$ koordinatlarına sahip bir kesişme noktası vardır.

Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları.
Dikkate alınan $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$ aralıklarında eğrinin Ox ekseniyle bir kesişme noktası vardır, dolayısıyla tanım tanım kümesini üç aralıkta ele alacağız.

Tanım kümesinin aralıklarında fonksiyonun işaretini belirleyelim:
aralık $(-\infty; 0) $ fonksiyonun herhangi bir noktadaki değerini bulun $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
$(0; 1) $ aralığında fonksiyonun değerini herhangi bir noktada buluruz $f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $, bu aralıkta fonksiyon şöyledir: pozitif $f(x) > 0 $, yani Ox ekseninin üzerinde yer alır.
aralık $(1;+\infty) $ fonksiyonun herhangi bir noktadaki değerini bulun $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. Oy ekseni ile kesişme noktaları: $x=0\'ı eşitliyoruz, \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$ elde ediyoruz. Oy ekseni ile kesişme noktasının koordinatları $(0; 0)$

6. Monotonluk aralıkları. Bir fonksiyonun ekstremumu.
Kritik (durağan) noktaları bulalım, bunun için ilk türevi bulup sıfıra eşitleyelim $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ eşittir 0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Fonksiyonun bu noktadaki değerini bulalım $ f(0) = 0$ ve $f(\frac(3)(2)) = -6,75$. $(0;0)$ ve $(1.5;-6.75)$ koordinatlarına sahip iki kritik noktamız var

Monotonluk aralıkları.
Fonksiyonun iki kritik noktası vardır (olası uç noktalar), bu nedenle monotonluğu dört aralıkta ele alacağız:
aralığı $(-\infty; 0) $ aralığın herhangi bir noktasında birinci türevin değerini bulun $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
aralığı \((0;1)$ $f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ aralığındaki herhangi bir noktada birinci türevin değerini buluruz 2) > 0$ ise fonksiyon bu aralıkta artar.
aralığı $(1;1.5)$ $f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ aralığındaki herhangi bir noktada birinci türevin değerini buluruz 2) > 0$ ise fonksiyon bu aralıkta artar.
aralığı $(1.5; +\infty)$ aralığın herhangi bir noktasındaki ilk türevin değerini bulun $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

Bir fonksiyonun ekstremumu.

Fonksiyonu incelerken tanım tanım kümesinin aralığında iki kritik (durağan) nokta elde ettik. Bunların aşırı olup olmadığını belirleyelim. Kritik noktalardan geçerken türevin işaretindeki değişimi ele alalım:

nokta $x = 0$ türev $\quad +\quad 0 \quad + \quad$ ile işaret değiştirir - nokta bir ekstremum değildir.
nokta $x = 1,5$ türev $\quad +\quad 0 \quad - \quad$ ile işaret değiştirir - nokta bir maksimum noktadır.

7. Dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları. Eğilme noktaları.

Dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulmak için, fonksiyonun ikinci türevini bulup sıfıra eşitleriz $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Sıfıra eşittir $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Fonksiyonun koordinatları $(0;0)$ olan ikinci türden bir kritik noktası vardır. .
İkinci türden bir kritik noktayı (olası bir bükülme noktası) hesaba katarak, tanım alanının aralıkları üzerinde dışbükeyliği tanımlayalım.

aralığı $(-\infty; 0)$ herhangi bir noktada ikinci türevin değerini bulun $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
aralığı $(0; 1)$ herhangi bir noktada ikinci türevin değerini buluruz $f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 $, bu aralıkta fonksiyonun ikinci türevi pozitiftir $f""(x) > 0 $ fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir (dışbükey).
aralık $(1; \infty)$ herhangi bir noktada ikinci türevin değerini bulun $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Eğilme noktaları.

İkinci türden bir kritik noktadan geçerken ikinci türevin işaretindeki değişikliği ele alalım:
$x =0\ noktasında, ikinci türev \(\quad - \quad 0 \quad + \quad$ ile işaret değiştirir, fonksiyonun grafiği dışbükeyliği değiştirir, yani. bu, $(0;0)$ koordinatlarına sahip bükülme noktasıdır.

8. Asimptotlar.

Dikey asimptot. Fonksiyonun grafiğinde bir dikey asimptot $x =1$ vardır (bkz. paragraf 2).
Eğik asimptot.
$y= \frac(x^3)(1-x) $ fonksiyonunun $x \to \infty$ noktasındaki grafiğinin eğik bir asimptot olması için $y = kx+b$ , gerekli ve yeterlidir, böylece iki limit vardır $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$buluruz $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x)))) = \infty => k= \infty $$ ve ikinci limit $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, çünkü $k = \infty$ - eğik asimptot yoktur.

Yatay asimptot: yatay bir asimptotun var olması için bir limitin olması gerekir $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ hadi bulalım $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ sonsuz$$
Yatay asimptot yoktur.

9. Fonksiyon grafiği.

Fonksiyonu tam olarak incelemek ve grafiğini çizmek için aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1) fonksiyonun tanım kümesini bulun;

2) fonksiyonun süreksizlik noktalarını ve dikey asimptotları (varsa) bulun;

3) fonksiyonun sonsuzdaki davranışını araştırın, yatay ve eğik asimptotları bulun;

4) fonksiyonu parite (tuhaflık) ve periyodiklik (trigonometrik fonksiyonlar için) açısından inceleyin;

5) fonksiyonun monotonluğunun ekstremumlarını ve aralıklarını bulun;

6) dışbükeylik aralıklarını ve bükülme noktalarını belirler;

7) Koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve mümkünse grafiği netleştiren bazı ek noktaları bulun.

Fonksiyonun çalışması grafiğinin oluşturulmasıyla eş zamanlı olarak gerçekleştirilir.

Örnek 9 Fonksiyonu keşfedin ve bir grafik oluşturun.

1. Tanımın kapsamı: ;

2. Fonksiyon bazı noktalarda süreksizlikten zarar görmektedir
,
;

Fonksiyonu dikey asimptotların varlığı açısından inceliyoruz.

;
,
─ dikey asimptot.

3. Fonksiyonu eğik ve yatay asimptotların varlığı açısından inceliyoruz.

Dümdüz
─ eğik asimptot, eğer
,
.

,
.

Dümdüz
─ yatay asimptot.

4. Fonksiyon çifttir çünkü
. Fonksiyonun paritesi, grafiğin ordinat eksenine göre simetrisini gösterir.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremumlarını bulun.

Kritik noktaları bulalım, yani. Türevin 0 olduğu veya bulunmadığı noktalar:
;
. Üç puanımız var
;

. Bu noktalar gerçek eksenin tamamını dört aralığa böler. İşaretleri tanımlayalım her birinin üzerinde.

(-∞; -1) ve (-1; 0) aralıklarında fonksiyon artar, (0; 1) ve (1; +∞) ─ aralıklarında ise azalır. Bir noktadan geçerken
türevin işareti artıdan eksiye değişir, dolayısıyla bu noktada fonksiyonun maksimumu vardır
.

6. Dışbükeylik ve bükülme noktalarının aralıklarını bulun.

Hangi noktaları bulalım 0'dır veya mevcut değildir.

gerçek kökleri yoktur.
,
,

Puanlar
Ve
gerçek ekseni üç aralığa bölün. İşareti tanımlayalım her aralıkta.

Böylece aralıklardaki eğri
Ve
aşağı doğru dışbükey, (-1;1) aralığında yukarıya doğru dışbükey; fonksiyon noktalarda olduğundan bükülme noktaları yoktur
Ve
belirlenmedi.

7. Eksenler ile kesişme noktalarını bulun.

Akslı
fonksiyonun grafiği (0; -1) noktasında ve eksenle kesişir
grafik kesişmiyor çünkü bu fonksiyonun payının gerçek kökleri yoktur.

Verilen fonksiyonun grafiği Şekil 1’de gösterilmektedir.

Şekil 1 ─ Fonksiyon grafiği

Türev kavramının ekonomide uygulanması. Esneklik fonksiyonu

Ekonomik süreçleri incelemek ve diğer uygulamalı problemleri çözmek için bir fonksiyonun esnekliği kavramı sıklıkla kullanılır.

Tanım. Esneklik fonksiyonu
fonksiyonun bağıl artış oranının limiti denir değişkenin göreceli artışına en
, . (VII)

Bir fonksiyonun esnekliği, fonksiyonun yaklaşık olarak yüzde kaç oranında değişeceğini gösterir
bağımsız değişken değiştiğinde %1 oranında.

Talep ve tüketim analizinde esneklik fonksiyonu kullanılmaktadır. Talebin esnekliği (mutlak değer olarak) ise
o zaman talep esnek kabul edilir, eğer
─ nötr ise
─ fiyata (veya gelire) göre esnek değildir.

Örnek 10 Fonksiyonun esnekliğini hesaplayın
ve esneklik endeksinin değerini bulun. = 3.

Çözüm: Formül (VII)'ye göre fonksiyonun esnekliği:

x=3 olsun, o zaman
.Bağımsız değişkenin %1 oranında artması durumunda bağımlı değişkenin değerinin %1,42 oranında artacağı anlamına gelmektedir.

Örnek 11 Talep fonksiyonuna izin verin fiyatla ilgili benziyor
, Nerede ─ sabit katsayı. Talep fonksiyonunun esneklik göstergesinin x = 3 den fiyatındaki değerini bulun. birimler

Çözüm: talep fonksiyonunun esnekliğini formül (VII) kullanarak hesaplayın

İnanmak
para birimleri elde ederiz
. Bu şu anlama gelir: bir fiyata
para birimleri Fiyattaki %1'lik bir artış talepte %6'lık bir düşüşe neden olacaktır; talep esnektir.

Bugün sizi bizimle bir fonksiyonun grafiğini keşfetmeye ve oluşturmaya davet ediyoruz. Bu makaleyi dikkatlice inceledikten sonra, bu tür bir görevi tamamlamak için uzun süre terlemenize gerek kalmayacak. Bir fonksiyonun grafiğini incelemek ve oluşturmak kolay değildir; maksimum dikkat ve hesaplamaların doğruluğu gerektiren hacimli bir iştir. Materyalin anlaşılmasını kolaylaştırmak için aynı işlevi adım adım inceleyeceğiz ve tüm eylemlerimizi ve hesaplamalarımızı açıklayacağız. Matematiğin şaşırtıcı ve büyüleyici dünyasına hoş geldiniz! Gitmek!

İhtisas

Bir fonksiyonu keşfetmek ve grafiğini çizmek için çeşitli tanımları bilmeniz gerekir. Fonksiyon matematiğin ana (temel) kavramlarından biridir. Değişiklikler sırasında çeşitli değişkenler (iki, üç veya daha fazla) arasındaki bağımlılığı yansıtır. Fonksiyon aynı zamanda kümelerin bağımlılığını da gösterir.

Belirli bir değişim aralığına sahip iki değişkenimiz olduğunu hayal edin. Dolayısıyla, ikinci değişkenin her değerinin ikincinin bir değerine karşılık gelmesi koşuluyla y, x'in bir fonksiyonudur. Bu durumda y değişkeni bağımlıdır ve ona fonksiyon denir. X ve y değişkenlerinin şu şekilde olduğunu söylemek gelenekseldir: Bu bağımlılığın daha net anlaşılması için fonksiyonun bir grafiği oluşturulur. Bir fonksiyonun grafiği nedir? Bu, koordinat düzleminde her x değerinin bir y değerine karşılık geldiği bir dizi noktadır. Grafikler farklı olabilir - düz çizgi, hiperbol, parabol, sinüs dalgası vb.

Araştırma yapmadan bir fonksiyonun grafiğini çizmek imkansızdır. Bugün nasıl araştırma yapacağımızı ve bir fonksiyonun grafiğini nasıl oluşturacağımızı öğreneceğiz. Çalışma sırasında not almak çok önemlidir. Bu, görevin üstesinden gelmeyi çok daha kolay hale getirecek. En uygun araştırma planı:

İhtisas.
Süreklilik.
Çift veya tek.
Periyodiklik.
Asimptotlar.
Sıfırlar.
Kalıcılığı imzala.
Artıyor ve azalıyor.
Aşırılıklar.
Dışbükeylik ve içbükeylik.

İlk noktayla başlayalım. Tanımın tanım kümesini, yani fonksiyonumuzun hangi aralıklarda bulunduğunu bulalım: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Bizim durumumuzda fonksiyon x'in herhangi bir değeri için mevcuttur, yani tanım tanım kümesi R'ye eşittir. Bu, aşağıdaki gibi yazılabilir: xÎR.

Süreklilik

Şimdi süreksizlik fonksiyonunu inceleyeceğiz. Matematikte “süreklilik” terimi hareket yasalarının incelenmesi sonucunda ortaya çıktı. Sonsuz nedir? Uzay, zaman, bazı bağımlılıklar (örneğin, hareket problemlerinde S ve t değişkenlerinin bağımlılığı), ısıtılmış bir nesnenin sıcaklığı (su, kızartma tavası, termometre vb.), Sürekli bir çizgi (yani, kalemden kaldırmadan çizilebilir).

Bir grafik bir noktada kırılmazsa sürekli olarak kabul edilir. Böyle bir grafiğin en belirgin örneklerinden biri, bu bölümdeki resimde görebileceğiniz sinüzoiddir. Bir fonksiyon birkaç koşulun karşılanması durumunda x0 noktasında süreklidir:

bir fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır;
bir noktadaki sağ ve sol sınırlar eşittir;
limit fonksiyonun x0 noktasındaki değerine eşittir.

En az bir koşul karşılanmazsa fonksiyonun başarısız olduğu söylenir. Fonksiyonun bozulduğu noktalara genellikle kırılma noktaları denir. Grafiksel olarak görüntülendiğinde "kırılacak" bir fonksiyon örneği: y=(x+4)/(x-3). Üstelik x = 3 noktasında y yoktur (çünkü sıfıra bölmek imkansızdır).

Üzerinde çalıştığımız fonksiyonda (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) grafik sürekli olacağından her şeyin basit olduğu ortaya çıktı.

Tek çift

Şimdi eşlik fonksiyonunu inceleyin. İlk önce küçük bir teori. Çift işlev, x değişkeninin herhangi bir değeri için (değer aralığından) f(-x)=f(x) koşulunu karşılayan işlevdir. Örnekler şunları içerir:

modül x (grafik, grafiğin birinci ve ikinci çeyreğinin açıortayı olan bir daw'a benzer);
x kare (parabol);
kosinüs x (kosinüs).

Tüm bu grafiklerin y eksenine (yani y eksenine) göre bakıldığında simetrik olduğunu unutmayın.

O halde tek fonksiyon olarak adlandırılan şey nedir? Bunlar, x değişkeninin herhangi bir değeri için f(-x)=-f(x) koşulunu karşılayan işlevlerdir. Örnekler:

hiperbol;
kübik parabol;
sinüzoid;
teğet vb.

Lütfen bu fonksiyonların (0:0) noktasına, yani orijine göre simetrik olduğunu unutmayın. Makalenin bu bölümünde söylenenlere dayanarak, çift ve tek bir fonksiyonun şu özelliğe sahip olması gerekir: x, tanım kümesine aittir ve -x de.

Eşlik fonksiyonunu inceleyelim. Tanımların hiçbirine uymadığını görüyoruz. Bu nedenle fonksiyonumuz ne çift ne de tektir.

Asimptotlar

Bir tanımla başlayalım. Asimptot, grafiğe mümkün olduğu kadar yakın olan, yani belirli bir noktadan uzaklığın sıfıra doğru yöneldiği bir eğridir. Toplamda üç tür asimptot vardır:

dikey, yani y eksenine paralel;
yatay yani x eksenine paralel;
eğimli.

Birinci tipte ise bazı noktalarda şu çizgiler aranmalıdır:

açıklık;
tanım alanının uçları.

Bizim durumumuzda fonksiyon süreklidir ve tanım kümesi R'ye eşittir. Bu nedenle dikey asimptot yoktur.

Bir fonksiyonun grafiğinin yatay bir asimptotu vardır ve bu aşağıdaki gereksinimi karşılar: eğer x sonsuza veya eksi sonsuza eğilimliyse ve limit belirli bir sayıya eşitse (örneğin, a). Bu durumda y=a yatay asimptottur. İncelediğimiz fonksiyonda yatay asimptot yoktur.

Eğik bir asimptot yalnızca iki koşulun karşılanması durumunda ortaya çıkar:

lim(f(x))/x=k;
lim f(x)-kx=b.

Daha sonra şu formül kullanılarak bulunabilir: y=kx+b. Yine bizim durumumuzda eğik asimptotlar yoktur.

Fonksiyon sıfırları

Bir sonraki adım, fonksiyonun grafiğini sıfırlar için incelemektir. Bir fonksiyonun sıfırlarını bulma görevinin yalnızca bir fonksiyonun grafiğini incelerken ve oluştururken değil, aynı zamanda bağımsız bir görev ve eşitsizlikleri çözmenin bir yolu olarak da gerçekleştiğini belirtmek de çok önemlidir. Bir fonksiyonun sıfırlarını bir grafik üzerinde bulmanız veya matematiksel gösterim kullanmanız gerekebilir.

Bu değerleri bulmak fonksiyonun grafiğini daha doğru çizmenize yardımcı olacaktır. Basit bir ifadeyle, bir fonksiyonun sıfırı, y = 0 olan x değişkeninin değeridir. Bir grafikte bir fonksiyonun sıfırlarını arıyorsanız grafiğin x ekseniyle kesiştiği noktalara dikkat etmelisiniz.

Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için şu denklemi çözmeniz gerekir: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Gerekli hesaplamaları yaptıktan sonra aşağıdaki cevabı alıyoruz:

İşaret tutarlılığı

Bir fonksiyonun (grafik) araştırılması ve oluşturulmasının bir sonraki aşaması, sabit işaretli aralıkların bulunmasıdır. Bu, fonksiyonun hangi aralıklarla pozitif, hangi aralıklarla negatif değer aldığını belirlememiz gerektiği anlamına gelir. Son bölümde bulunan sıfır fonksiyonları bunu yapmamıza yardımcı olacaktır. Bu nedenle, düz bir çizgi (grafikten ayrı) oluşturmamız ve fonksiyonun sıfırlarını bu çizgi boyunca küçükten büyüğe doğru sırayla dağıtmamız gerekiyor. Şimdi ortaya çıkan aralıklardan hangisinin “+” işaretine, hangisinin “-” işaretine sahip olduğunu belirlemeniz gerekiyor.

Bizim durumumuzda fonksiyon aralıklarla pozitif bir değer alır:

1'den 4'e kadar;
9'dan sonsuza.

Negatif anlam:

eksi sonsuzdan 1'e;
4'ten 9'a kadar.

Bunu belirlemek oldukça kolaydır. Aralıktaki herhangi bir sayıyı fonksiyona yerleştirin ve cevabın hangi işarete (eksi veya artı) sahip olduğunu görün.

Arttırma ve azaltma fonksiyonu

Bir fonksiyonu keşfetmek ve oluşturmak için grafiğin nerede artacağını (Oy ekseni boyunca yukarıya doğru) ve nereye düşeceğini (y ekseni boyunca aşağı doğru sürün) bilmemiz gerekir.

Bir fonksiyon yalnızca x değişkeninin daha büyük bir değeri, y'nin daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa artar. Yani x2, x1'den büyüktür ve f(x2), f(x1)'den büyüktür. Ve azalan fonksiyonla (ne kadar çok x, o kadar az y) tamamen zıt bir fenomen gözlemliyoruz. Artış ve azalma aralıklarını belirlemek için aşağıdakileri bulmanız gerekir:

tanım alanı (zaten elimizde var);
türev (bizim durumumuzda: 1/3(3x^2-28x+49);
1/3(3x^2-28x+49)=0 denklemini çözün.

Hesaplamalardan sonra sonucu elde ederiz:

Şunu elde ederiz: fonksiyon eksi sonsuzdan 7/3'e ve 7'den sonsuza kadar artar ve 7/3'ten 7'ye doğru azalır.

Aşırılıklar

y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) çalışmasının altındaki fonksiyon süreklidir ve x değişkeninin herhangi bir değeri için mevcuttur. Ekstrem nokta belirli bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu gösterir. Bizim durumumuzda hiçbiri yok, bu da inşaat işini büyük ölçüde kolaylaştırıyor. Aksi halde türev fonksiyonu kullanılarak da bulunabilirler. Bulduğunuzda bunları grafik üzerinde işaretlemeyi unutmayın.

Dışbükeylik ve içbükeylik

y(x) fonksiyonunu daha detaylı incelemeye devam ediyoruz. Şimdi dışbükeylik ve içbükeylik açısından kontrol etmemiz gerekiyor. Bu kavramların tanımlarını anlamak oldukça zordur, her şeyi örneklerle analiz etmek daha iyidir. Test için: Bir fonksiyon azalmayan bir fonksiyon ise dışbükeydir. Katılıyorum, bu anlaşılmaz!

İkinci dereceden bir fonksiyonun türevini bulmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz: y=1/3(6x-28). Şimdi sağ tarafı sıfıra eşitleyelim ve denklemi çözelim. Cevap: x=14/3. Bükülme noktasını, yani grafiğin dışbükeylikten içbükeyliğe veya tam tersi yönde değiştiği yeri bulduk. Eksi sonsuzdan 14/3'e kadar olan aralıkta fonksiyon dışbükeydir ve 14/3'ten artı sonsuza kadar içbükeydir. Ayrıca grafikte dönüm noktasının düzgün ve yumuşak olması, keskin köşelerin bulunmaması gerektiğine de dikkat etmek çok önemlidir.

Ek noktaların tanımlanması

Görevimiz fonksiyonun grafiğini araştırmak ve oluşturmaktır. Çalışmayı tamamladık, fonksiyonun grafiğini oluşturmak artık zor değil. Koordinat düzleminde bir eğrinin veya düz çizginin daha doğru ve ayrıntılı bir şekilde çoğaltılması için birkaç yardımcı nokta bulabilirsiniz. Hesaplanmaları oldukça kolaydır. Örneğin x=3 alıyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve y=4'ü buluyoruz. Veya x=5 ve y=-5 vb. İnşaat için ihtiyaç duyduğunuz kadar ek puan alabilirsiniz. Bunlardan en az 3-5 tanesi bulunur.

Grafik çizme

(x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y fonksiyonunu araştırmamız gerekiyordu. Hesaplamalar sırasında gerekli tüm işaretlemeler koordinat düzleminde yapıldı. Geriye kalan tek şey bir grafik oluşturmak, yani tüm noktaları birleştirmektir. Noktaları birleştirmek düzgün ve doğru olmalıdır, bu bir beceri meselesidir; biraz pratik yaparsanız programınız mükemmel olacaktır.