Kök nasıl alınır 2. Karekök nasıl bulunur? Özellikler, Köklendirme Örnekleri

Öğrenciler her zaman şunu sorar: “Matematik sınavında neden hesap makinesi kullanamıyorum? Hesap makinesi olmadan bir sayının karekökü nasıl çıkarılır? Bu soruyu cevaplamaya çalışalım.

Hesap makinesinin yardımı olmadan bir sayının karekökü nasıl çıkarılır?

Aksiyon karekök çıkarma kare almanın tersi.

√81= 9 9 2 =81

Pozitif bir sayının karekökünü alıp sonucun karesini alırsak aynı sayıyı elde ederiz.

Doğal sayıların tam kareleri olan küçük sayılardan, örneğin 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, karekökler sözlü olarak çıkarılabilir. Genellikle okulda yirmiye kadar doğal sayıların karelerinden oluşan bir tablo öğretilir. Bu tabloyu bilerek 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 sayılarından karekökleri çıkarmak kolaydır. 400'den büyük sayılardan bazı ipuçlarını kullanarak seçim yöntemini kullanarak çıkarım yapabilirsiniz. Bu yöntemi dikkate almak için bir örnek deneyelim.

Örnek: 676 sayısının kökünü çıkarın.

20 2 \u003d 400 ve 30 2 \u003d 900 olduğunu fark ettik, yani 20< √676 < 900.

Doğal sayıların tam kareleri 0 ile biter; 1; 4; 5; 6; 9.
6 sayısı 4 2 ve 6 2 ile verilmektedir.
Yani kök 676'dan alınırsa ya 24 ya da 26 olur.

Kontrol etmeye devam ediyor: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Cevap: √676 = 26 .

Daha örnek: √6889 .

80 2 \u003d 6400 ve 90 2 \u003d 8100 olduğundan, o zaman 80< √6889 < 90.
9 sayısı 3 2 ve 7 2 ile verildiğinde √6889 ya 83 ya da 87 olur.

Kontrol edin: 83 2 = 6889.

Cevap: √6889 = 83 .

Seçim yöntemiyle çözmekte zorlanıyorsanız kök ifadeyi çarpanlara ayırabilirsiniz.

Örneğin, √893025'i bul.

893025 sayısını çarpanlara ayıralım, unutmayın, bunu altıncı sınıfta yapmıştınız.

Şunu elde ederiz: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Daha örnek: √20736. 20736 sayısını çarpanlarına ayıralım:

√20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 elde ederiz.

Elbette faktoring, bölünebilme kriterleri bilgisini ve faktoring becerisini gerektirir.

Ve nihayet, var karekök kuralı. Bu kurala bir örnekle bakalım.

√279841'i hesapla.

Çok basamaklı bir tam sayının kökünü çıkarmak için, onu sağdan sola, her biri 2 basamak içeren yüzlere böleriz (sol uç yüzde bir basamak olabilir). Böyle yaz 27'98'41

Kökün (5) ilk rakamını elde etmek için, ilk sol yüzde (27) bulunan en büyük tam karenin karekökünü çıkarırız.
Daha sonra kökün ilk rakamının (25) karesi ilk yüzden çıkarılır ve sonraki yüz (98) farka atfedilir (yıkılır).
Ortaya çıkan 298 sayısının soluna, kökün (10) çift hanesini yazarlar, daha önce elde edilen sayının (29/2 ≈ 2) onluk sayısını ona bölerler, bölümü deneyimlerler (102 ∙ 2 = 204, 298'den büyük olmamalı) ve kökün ilk rakamından sonra (2) yazılmalıdır.
Daha sonra elde edilen bölüm 204, 298'den çıkarılır ve bir sonraki yön (41), farka (94) atfedilir (yıkılır).
Ortaya çıkan 9441 sayısının soluna, kök rakamlarının çift çarpımını (52 ∙ 2 = 104) yazarlar, bu çarpıma 9441 (944/104 ≈ 9) sayısının onluk sayısını bölerler, deneyim bölümün (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 olması ve bunu kökün ikinci rakamından sonra (9) yazmanız gerekir.

√279841 = 529 cevabını aldık.

Benzer şekilde çıkar ondalık sayıların kökleri. Virgül yüzler arasında olacak şekilde yalnızca radikal sayı yüzlere bölünmelidir.

Örnek. √0,00956484 değerini bulun.

Ondalık kesrin tek sayıda ondalık basamağı varsa, bundan tam karekökün çıkarılmayacağını unutmayın.

Artık kökü çıkarmanın üç yolunu gördünüz. Size en uygun olanı seçin ve pratik yapın. Sorunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek için onları çözmeniz gerekir. Herhangi bir sorunuz varsa .

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanması durumunda kaynağa bağlantı verilmesi gerekmektedir.

Çoğu zaman, problemleri çözerken, içinden çıkarmamız gereken büyük sayılarla karşı karşıya kalırız. Kare kök. Birçok öğrenci bunun bir hata olduğuna karar verir ve örneğin tamamını çözmeye başlar. Hiçbir durumda bu yapılmamalıdır! Bunun iki nedeni var:

1. Büyük sayıların kökleri problemlerde ortaya çıkar. Özellikle metinde;
2. Bu köklerin neredeyse sözel olarak değerlendirildiği bir algoritma var.

Bugün bu algoritmayı ele alacağız. Belki bazı şeyler size anlaşılmaz gelebilir. Ancak bu derse dikkat ederseniz karşı en güçlü silahı elde edeceksiniz. Karekök.

Yani algoritma:

1. Üst ve alttan istediğiniz kökü 10'un katlarıyla sınırlandırın. Böylece arama aralığını 10 rakamına indireceğiz;
2. Bu 10 sayıdan kesinlikle kök olamayacak olanları ayıklayın. Sonuç olarak 1-2 sayı kalacak;
3. Bu 1-2 sayının karesini alın. Bunlardan karesi orijinal sayıya eşit olan kök olacaktır.

Bu algoritmanın pratikte işe yaramasını uygulamadan önce, her bir adıma ayrı ayrı bakalım.

Kök kısıtlaması

Öncelikle kökümüzün hangi sayılar arasında olduğunu bulmamız gerekiyor. Sayıların onun katı olması oldukça arzu edilir:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Bir dizi sayı alıyoruz:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu rakamlar bize ne veriyor? Çok basit: sınırlara sahibiz. Örneğin 1296 sayısını ele alalım. 900 ile 1600 arasında yer alır. Dolayısıyla kökü 30'dan küçük ve 40'tan büyük olamaz:

[Şekil başlığı]

Aynı şey, karekökünü bulabileceğiniz diğer sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 3364:

Böylece anlaşılmaz bir sayı yerine orijinal kökün bulunduğu çok spesifik bir aralık elde ederiz. Aramanın kapsamını daha da daraltmak için ikinci adıma geçin.

Açıkça gereksiz sayıların ortadan kaldırılması

Yani 10 sayımız var - kök için aday. Bunları çok hızlı bir şekilde, karmaşık düşünmeden ve bir sütunda çoğaltmadan aldık. Devam etme zamanı geldi.

İster inanın ister inanmayın, şimdi aday sayısını ikiye indireceğiz - üstelik yine karmaşık hesaplamalar yapmadan! Özel kuralı bilmeniz yeterlidir. İşte burada:

Karenin son rakamı yalnızca son rakama bağlıdır orijinal numara.

Başka bir deyişle, karenin son rakamına bakmak yeterlidir - orijinal sayının nerede bittiğini hemen anlayacağız.

Son sırada yer alabilecek yalnızca 10 rakam vardır. Kareleri alındığında neye dönüştüklerini bulmaya çalışalım. Tabloya bir göz atın:

Bu tablo kökün hesaplanmasına yönelik başka bir adımdır. Gördüğünüz gibi ikinci satırdaki sayıların beşe göre simetrik olduğu ortaya çıktı. Örneğin:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Gördüğünüz gibi her iki durumda da son rakam aynı. Bu da örneğin 3364'ün kökünün mutlaka 2 veya 8 ile biteceği anlamına geliyor. Öte yandan önceki paragraftaki kısıtlamayı da hatırlıyoruz. Şunu elde ederiz:

Kırmızı kareler bu rakamı henüz bilmediğimizi gösteriyor. Ama sonuçta kök 50 ile 60 arasındadır ve üzerinde 2 ve 8 ile biten yalnızca iki sayı vardır:

Bu kadar! Olası tüm köklerden yalnızca iki seçenek bıraktık! Ve bu en zor durumda çünkü son rakam 5 veya 0 olabilir. Ve o zaman kökler için tek aday kalacak!

Nihai Hesaplamalar

Yani elimizde 2 aday sayımız kaldı. Hangisinin kök olduğunu nasıl anlarsınız? Cevap açık: her iki sayının karesini alın. Karesi alınan orijinal sayıyı verecek ve kök olacaktır.

Örneğin 3364 sayısı için iki aday sayı bulduk: 52 ve 58. Bunların karesini alalım:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Bu kadar! Kökün 58 olduğu ortaya çıktı! Aynı zamanda hesaplamaları basitleştirmek için toplamın ve farkın kareleri formülünü kullandım. Bu sayede bir sütundaki sayıları çarpmanıza bile gerek kalmadı! Bu, hesaplamaların başka bir optimizasyon düzeyidir, ancak elbette tamamen isteğe bağlıdır :)

Kök Hesaplama Örnekleri

Teori elbette iyidir. Ama bunu pratikte test edelim.

[Şekil başlığı]

Öncelikle 576 sayısının hangi sayılar arasında olduğunu bulalım:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Şimdi son sayıya bakalım. 6'ya eşittir. Bu ne zaman olur? Yalnızca kök 4 veya 6 ile bitiyorsa iki sayı elde ederiz:

Her sayının karesini almak ve orijinaliyle karşılaştırmak kalır:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Harika! İlk karenin orijinal sayıya eşit olduğu ortaya çıktı. Yani bu kök.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Şekil başlığı]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Son sayıya bakalım:

1369 → 9;
33; 37.

Karesini alalım:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

İşte cevap: 37.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Şekil başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Son sayıya bakalım:

2704 → 4;
52; 58.

Karesini alalım:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Cevabı aldık: 52. İkinci sayının artık karesine gerek kalmayacak.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Şekil başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Son sayıya bakalım:

4225 → 5;
65.

Gördüğünüz gibi ikinci adımdan sonra geriye tek bir seçenek kalıyor: 65. Bu istenen köktür. Ama yine de karesini alıp kontrol edelim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Her şey doğru. Cevabını yazıyoruz.

Çözüm

Ne yazık ki, daha iyi değil. Nedenlerine bir göz atalım. Bunlardan iki tane var:

• İster GIA ister Birleşik Devlet Sınavı olsun, herhangi bir normal matematik sınavında hesap makinesi kullanmak yasaktır. Ve sınıfa hesap makinesi taşıdıkları için kolaylıkla sınavdan atılabilirler.
• Aptal Amerikalılar gibi olmayın. Köklere benzemeyenler iki asal sayıyı toplayamazlar. Ve kesirleri gördüklerinde genellikle histeriye kapılırlar.

İlk bölüm.

Belirli bir tam sayıdan en büyük tam sayının karekökünün çıkarılması.

170. Ön açıklamalar.

A) Bu bölümde sadece karekök çıkarmaktan bahsedeceğimiz için, konuyu kısaltmak adına "kare" kök yerine sadece "kök" diyeceğiz.

B) Doğal serideki sayıların karesini alırsak: 1,2,3,4,5. . . , sonra şu kareler tablosunu elde ederiz: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Açıkçası bu tabloda yer almayan pek çok tam sayı var; elbette bu sayılardan tam bir kök çıkarmak imkansızdır. Bu nedenle, örneğin bir tamsayının kökünü almak istiyorsanız. √4082'yi bulmak gerekiyor, o zaman bu gereksinimi şu şekilde anlayacağız: mümkünse 4082'den kökün tamamını çıkarın; değilse, karesi 4082 olan en büyük tam sayıyı bulmalıyız (böyle bir sayı 63'tür, çünkü 63 2 \u003d 3969 ve 64 2 \u003d 4090).

V) Bu sayı 100'den küçükse kökü çarpım tablosundadır; yani √60 7 olur, çünkü sem 7 49'a eşittir, yani 60'tan küçüktür ve 8, 64'e eşittir, yani 60'tan büyüktür.

171. 10.000'den küçük, 100'den büyük bir sayının kökünü çıkarmak.√4082'yi bulmamız gerekli olsun. Bu sayı 10.000'den küçük olduğuna göre kökü √l0 000 = 100'den küçüktür. Öte yandan bu sayı 100'den büyüktür; yani kökü 10'dan büyüktür (veya 10'a eşittir). (Örneğin, √'yi bulmak gerekiyorsa 120 120 > 100 olmasına rağmen √ 120 10'a eşittir çünkü 11 2 = 121.) Ancak 10'dan büyük ancak 100'den küçük her sayının 2 basamağı vardır; yani istenen kök toplamdır:

onlarca + birim,

ve bu nedenle karesi toplama eşit olmalıdır:

Bu toplam 4082'nin içerdiği en büyük kare olmalıdır.

Bunlardan en büyüğü olan 36'yı alalım ve köklerin onluklarının karesinin bu en büyük kareye eşit olacağını varsayalım. O zaman kökteki onlar sayısı 6 olmalıdır. Şimdi bunun her zaman böyle olması gerektiğini kontrol edelim, yani kökün onlar sayısı her zaman yüzler kök sayısının en büyük tamsayı köküne eşittir.

Nitekim örneğimizde kökün onluk sayısı 6'dan fazla olamaz, çünkü (7 aralık) 2 \u003d 49 yüz, bu da 4082'yi aşıyor. Ancak 5 aralıktan bu yana 6'dan az olamaz. (birimlerle birlikte) 6 des'den küçüktür, ancak bu arada (6 des.) 2 = 36 yüz, yani 4082'den küçüktür. Ve en büyük tamsayı kökünü aradığımız için, kök olarak 5 des almamalıyız. 6 onluk çok fazla değil.

Böylece kökün onluk sayısını yani 6'yı bulmuş olduk. Bu sayıyı = işaretinin sağına yazıyoruz, bunun kökün onlukları anlamına geldiğini hatırlıyoruz. Onu kareye yükselterek 36 yüz elde ediyoruz. Bu 36 yüzlüğü, kök sayının 40 yüzlüğünden çıkarıyoruz ve bu sayının diğer iki rakamını yıkıyoruz. Geri kalan 482, 2 (6 ondalık) (birim) + (birim) 2 içermelidir. (6 dekar.) (birim) çarpımı onlarca olmalıdır; bu nedenle onların birlik çift çarpımı kalanın onlarında yani 48'de aranmalıdır (henüz bilinmeyen 48 "2'de bir rakamı sağdan ayırarak elde edeceğiz). 48'in içerdiği sayıyı elde etmemiz gerekiyor. Bu nedenle 48'i 12'ye böleceğiz.

Bunun için kalanın soluna dikey bir çizgi çiziyoruz ve arkasına (şimdi bulunacak hedef için çizgiden bir basamak sola doğru ayrılarak) kökün ilk rakamını ikiye katlayarak yani 12 yazıyoruz, ve 48'i buna bölüyoruz.Bölümde 4 elde ediyoruz.

Ancak 4 sayısının kökün birimi olarak alınabileceğini önceden garanti edemeyiz, çünkü geri kalan onlu sayıların tamamını şimdi 12'ye böldük, bazıları ise onların çift çarpımına ait olmayabilir. birimlere göre, ancak birimlerin karesinin bir parçasıdır. Bu nedenle 4 sayısı büyük olabilir. Onu test etmelisin. 2 (6 ondalık) 4 + 4 2'nin toplamının 482'nin geri kalanından fazla olmaması açıkça uygundur.

Sonuç olarak hemen her ikisinin toplamını elde ederiz. Ortaya çıkan ürünün 496 olduğu ortaya çıktı; bu, 482'nin geri kalanından daha fazladır; Yani 4 büyüktür. Daha sonra bir sonraki küçük sayı olan 3'ü de aynı şekilde test edeceğiz.

Örnekler.

4. örnekte 47'yi kalanın onluğu 4'e böldüğümüzde bölüm 11 çıkıyor ama kökün birler basamağı iki basamaklı 11 ya da 10 olamayacağı için doğrudan 9 sayısını test etmemiz gerekiyor.

5. örnekte karenin ilk yüzünden 8 çıkarıldığında kalan 0 olup sonraki yüzü de sıfırlardan oluşmaktadır. Bu, istenen kökün yalnızca 8 ondan oluştuğunu ve bu nedenle birimlerin yerine sıfır konulması gerektiğini gösterir.

172. 10000'den büyük bir sayının kökünü çıkarmak. √35782'yi bulmamız gereksin. Radikal sayı 10.000'den büyük olduğundan kökü √10000 = 100'den büyüktür ve dolayısıyla 3 veya daha fazla rakamdan oluşur. Kaç rakamdan oluşursa oluşsun, her zaman sadece onlar ve birlerin toplamı olarak düşünebiliriz. Örneğin kök 482 ise bunu 48 dess'in toplamı olarak düşünebiliriz. + 2 adet O zaman kökün karesi 3 terimden oluşacaktır:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (un.) + (un.) 2 .

Artık √4082'yi (önceki paragrafta) bulurken yaptığımız gibi mantık yürütebiliriz. Tek fark, 4082'nin kökünün onluklarını bulmak için 40'ın kökünü çıkarmamız gerekmesiydi ve bu, çarpım tablosu kullanılarak yapılabilirdi; şimdi onlar√35782'yi elde etmek için 357'nin kökünü almamız gerekecek ki bu çarpım tablosu kullanılarak yapılamaz. Ancak önceki paragrafta anlatılan hileyle √357'yi bulabiliriz, çünkü 357 sayısı< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Daha sonra √4082'yi bulurken yaptığımız gibi ilerliyoruz, yani: 3382'nin geri kalanının soluna dikey bir çizgi çiziyoruz ve ondan sonra (satırdan bir basamak ayrılarak) bulunan kök onluk sayısının iki katını yazıyoruz, yani. 36 (iki kez 18). Kalan kısımda sağdaki bir rakamı ayırıp kalanın onluk sayısını yani 338'i 36'ya bölüyoruz. Bölümde 9 elde ediyoruz. 36'ya atfettiğimiz bu sayıyı test ediyoruz. sağdakini alıp onunla çarpın. Ürünün 3321 olduğu ortaya çıktı ki bu da kalandan daha az. Yani 9 sayısı iyi, bunu köke yazıyoruz.

Genel olarak herhangi bir tam sayının karekökünü almak için öncelikle yüzlerin kökünün alınması gerekir; eğer bu sayı 100'den fazlaysa, o zaman bu yüzlerce sayıdan, yani belirli bir sayının onbinlercesinden kökü aramanız gerekecektir; eğer bu sayı 100'den fazlaysa, yüz onbinlerlik sayıdan, yani belirli bir sayının milyonlarcasından vb. kök almanız gerekecektir.

Örnekler.

Son örnekte ilk rakamı bulup karesini çıkardığımızda kalan 0 oluyor, sonraki 2 rakamı 51 yıkıyoruz.Onları ayırdığımızda 5 ondalık elde ediyoruz, iki kere bulunan kök rakam ise 6 oluyor. 5'e 6 yaparsak 0 elde ederiz. İkinci sıraya 0 kökünü koyup sonraki 2 rakamı kalana kadar yıkıyoruz; 5110 alıyoruz. Sonra her zamanki gibi devam ediyoruz.

Bu örnekte istenen kök yalnızca 9 yüzden oluşuyor ve bu nedenle onlar ve birimlerin yerine sıfır konulması gerekiyor.

Kural. Belirli bir tam sayının karekökünü çıkarmak için, bir basamaklı olabilen sonuncusu hariç, onu sağdan sola, her birinde 2 basamak olacak şekilde kenardan bölün.
Kökün ilk rakamını bulmak için ilk yüzün karekökünü alın.
İkinci rakamı bulmak için kökün ilk rakamının karesi birinci yüzden çıkarılır, kalan ikinci yüz yıkılır ve elde edilen sayının onluk sayısı kökün ilk rakamının iki katına bölünür. ; elde edilen tamsayı test edilir.
Bu test şu şekilde gerçekleştirilir: dikey çizginin arkasına (geriye kalanın soluna) kökün daha önce bulunan iki sayısını yazarlar ve sağ tarafa, test rakamını, sonuç sayısını sonra atarlar. Bu eklemeyle sayı test rakamıyla çarpılır. Çarpma işleminden sonra kalandan daha büyük bir sayı elde edilirse, bu durumda test rakamı iyi değildir ve bir sonraki daha küçük sayının test edilmesi gerekir.
Aşağıdaki kök sayıları aynı yöntemle bulunur.
Yüzü yıktıktan sonra, elde edilen sayının onlukları bölenden küçük çıkarsa, yani kökün bulunan kısmının iki katından az çıkarsa köke 0 konur, sonraki yüz yıkılır ve eylem daha da devam ediyor.

173. Kökün basamak sayısı. Kök bulma süreci göz önüne alındığında, kök sayıda her biri 2 basamaklı yüzler olduğu kadar kökte de çok sayıda basamak olduğu sonucu çıkar (sol tarafta bir basamak olabilir).

İkinci bölüm.

Tam ve kesirli sayılardan yaklaşık kareköklerin çıkarılması .

Polinomların karekökünün çıkarılması için § 399 ve devamının 2. kısmına yapılan eklemelere bakınız.

174. Tam karekökün işaretleri. Belirli bir sayının tam karekökü, karesi verilen sayıya tam olarak eşit olan bir sayıdır. Belirli bir sayıdan tam kökün çıkarılıp çıkarılmadığına karar verebilmek için bazı işaretler verelim:

A) Belirli bir tam sayıdan tam tamsayı kökü çıkarılmazsa (kalan çıkarıldığında elde edilir), o zaman böyle bir sayıdan kesirli tam kök bulunamaz, çünkü kendisiyle çarpıldığında bir tam sayıya eşit olmayan herhangi bir kesir , ayrıca çarpımda bir tamsayı değil kesir verir.

B) Bir kesrin kökü, payın kökünün paydanın köküne bölünmesine eşit olduğundan, indirgenemez bir kesrin paydan veya paydadan çıkarılamaması durumunda tam kökü bulunamaz. Örneğin, 4/5, 8/9 ve 11/15 kesirlerinden tam kök çıkarılamaz, çünkü ilk kesirde paydadan, ikincisinde paydan ve üçüncüsünde de çıkarılamaz. pay veya paydadan.

Tam kökün çıkarılmasının mümkün olmadığı bu sayılardan yalnızca yaklaşık kökler çıkarılabilir.

175. 1'e kadar yaklaşık kök. Belirli bir sayının (tam sayı veya kesirli - fark etmez) 1'e kadar olan yaklaşık karekökü, aşağıdaki iki gereksinimi karşılayan bir tam sayıdır:

1) bu sayının karesi verilen sayıdan büyük değildir; 2) Ancak bu sayının 1 artan karesi verilen sayıdan büyüktür. Başka bir deyişle, 1'e kadar olan yaklaşık karekök, belirli bir sayının en büyük tamsayı kareköküdür, yani önceki bölümde bulmayı öğrendiğimiz köktür. Bu köke 1'e kadar yaklaşık kök denir, çünkü tam bir kök elde etmek için, bu yaklaşık köke 1'den küçük bir kesirin eklenmesi gerekir; dolayısıyla, bilinmeyen tam kök yerine bu yaklaşık kökü alırsak, şunu yaparız: 1'den küçük bir hata.

Kural. 1 doğruluğuyla yaklaşık bir karekök çıkarmak için, belirli bir sayının tamsayı kısmının en büyük tamsayı kökünü çıkarmanız gerekir.

Bu kurala göre bulunan sayı, tam kökün bazı kesirlerinden (1'den az) yoksun olduğundan dezavantajı olan yaklaşık bir köktür. Bu kökü 1 arttırırsak, tam kökün üzerinde bir miktar fazlalığın olduğu ve bu fazlalığın 1'den küçük olduğu başka bir sayı elde ederiz. Bu kökün 1 artması da 1'e kadar yaklaşık kök olarak adlandırılabilir, ancak aşırılık. (Bazı matematik kitaplarında "eksikliği olan" veya "fazlalığı olan" isimlerinin yerini "eksikliğiyle" veya "fazlasıyla" eşdeğerleri almıştır.)

176. 1/10 doğrulukla yaklaşık kök. 1/10'a kadar √2,35104'ü bulmamız gereksin. Bu, tam birimler ve ondalıklardan oluşan ve aşağıdaki iki şartı sağlayacak böyle bir ondalık kesirin bulunması gerektiği anlamına gelir:

1) Bu kesrin karesi 2,35104'ü geçmez, ancak 2) 1/10 arttırırsak bu artan kesrin karesi 2,35104'ü aşar.

Böyle bir kesri bulmak için önce 1'e kadar yaklaşık bir kök buluruz, yani yalnızca 2 tam sayısından kökü çıkarırız. 1 elde ederiz (ve kalan 1'dir). Köküne 1 sayısını yazıp arkasına virgül koyuyoruz. Şimdi ondalıkların sayısını arayacağız. Bunun için virgülün sağındaki 1'in kalan kısmına kadar olan 35 rakamını indirip, 235 tamsayısından kök çıkarıyormuşçasına çıkarma işlemine devam ediyoruz. Ortaya çıkan 5 sayısını yerinde köke yazıyoruz. onda biri. Radikal sayının (104) kalan rakamına ihtiyacımız yok. Ortaya çıkan 1,5 sayısının aslında 1/10 doğrulukla yaklaşık bir kök olacağı aşağıdan anlaşılmaktadır. Eğer 235'in en büyük tamsayı kökünü 1 doğrulukla bulursak 15 sonucunu elde ederiz. Yani:

15 2 < 235, ancak 16 2 >235.

Tüm bu sayıları 100'e bölerek şunu elde ederiz:

Bu, 1,5 sayısının 1/10 doğrulukla yaklaşık kök dediğimiz ondalık kesir olduğu anlamına gelir.

Ayrıca bu yöntemle aşağıdaki yaklaşık kökleri 0,1 doğrulukla buluyoruz:

177. 1/100 ila 1/1000 vb. doğrulukla yaklaşık karekök.

1/100 doğrulukla yaklaşık √248'in bulunması gereksin. Bu şu anlama gelir: tam sayılardan, onda birlerden ve yüzde birlerden oluşan ve iki gereksinimi karşılayan böyle bir ondalık kesir bulmak:

1) karesi 248'i geçmez ama 2) bu kesri 1/100 arttırırsak bu artan kesrin karesi 248'i aşar.

Böyle bir kesri şu sırayla bulacağız: önce bir tam sayı, sonra onda birler basamağını, sonra da yüzde birler basamağını bulacağız. Bir tam sayının karekökü 15 tam sayı olacaktır. Onunculuk sayısını elde etmek için gördüğümüz gibi kalan 23'e virgülün sağındaki 2 rakamı daha indirmek gerekiyor. Örneğimizde bu sayılar hiç yok, yerlerine sıfır koyuyoruz. Bunları kalanlara atayıp 24.800 tam sayısının kökünü buluyormuş gibi işleme devam edersek onda birler basamağını 7 bulacağız. Geriye yüzde birler basamağını bulmak kalıyor. Bunu yapmak için kalan 151'e 2 sıfır daha ekliyoruz ve 2.480.000 tamsayısının kökünü buluyormuş gibi çıkarma işlemine devam ediyoruz ve 15.74 elde ediyoruz. Bu sayının aslında 248'in yaklaşık 1/100 kökü olduğu aşağıdan anlaşılmaktadır. 2.480.000 tam sayısının en büyük tamsayı karekökünü bulursak 1574 elde ederiz; Araç:

1574 2 < 2.480.000 ama 1575 2 > 2.480.000.

Tüm sayıları 10.000'e (= 100 2) bölerek şunu elde ederiz:

Yani 15,74, 248'in 1/100'ü doğrulukla yaklaşık kök dediğimiz ondalık kesirdir.

Bu tekniği 1/1000 ila 1/10000 vb. doğrulukla yaklaşık bir kök bulmaya uyguladığımızda aşağıdakileri buluruz.

Kural. Belirli bir tam sayıdan veya belirli bir ondalık kesirden 1/10 ila 1/100 ila 1/100 vb. doğrulukla yaklaşık bir kök çıkarmak için, önce doğruluğu 1 olan yaklaşık bir kök bulun ve kökü tamsayı (hayır ise 0 tam sayının kökü hakkında yazıyorlar).

Daha sonra ondalık sayısını bulun. Bunu yapmak için, kalan kısım yıkılır, virgülün sağındaki radikal sayının 2 hanesi (eğer değilse, kalana iki sıfır atfedilir) ve çıkarma işlemi, çıkarma işleminde yapıldığı gibi devam ettirilir. bir tamsayıdan kök. Ortaya çıkan rakam onda biri yerine köke yazılır.

Daha sonra yüzde birlik sayıyı bulun. Bunu yapmak için, kalanlara, yeni yıkılanların sağına vb. iki sayı tekrar yıkılır.

Bu nedenle, ondalık kesirli bir tam sayıdan kök çıkarırken, virgülden başlayarak hem sola (sayının tamsayı kısmında) hem de sağa (kesirli kısımda) her birini 2 basamağa bölmek gerekir. parça).

Örnekler.

1) 1/100'e kadar kökü bulun: a) √2; b) √0,3;

Son örnekte, kökün 4 ondalık basamağını bulmak için gereken 4 yüzü oluşturmak için 8 ondalık basamak hesaplayarak 3/7'yi ondalık sayıya dönüştürdük.

178. Karekök tablosunun açıklaması. Bu kitabın sonunda dört rakamla hesaplanan bir karekök tablosu bulunmaktadır. Bu tabloyu kullanarak, en fazla dört basamakla ifade edilen bir tam sayının (veya ondalık kesrin) karekökünü hızlı bir şekilde bulabilirsiniz. Bu tablonun nasıl düzenlendiğini açıklamadan önce, kök numarasına bir bakışta tabloların yardımı olmadan istenilen kökün ilk anlamlı basamağını her zaman bulabileceğimizi belirtelim; hangi ondalık basamağın kökün ilk basamağı anlamına geldiğini de kolaylıkla belirleyebiliriz ve dolayısıyla kökün neresinde basamaklarını bulduğumuzda virgül koymamız gerekir. İşte bazı örnekler:

1) √5"27,3 . Kök sayının sol tarafı 5 olduğundan ilk rakam 2 olacaktır; ve 5'in kökü 2'dir. Ayrıca tüm yüzlerin radikal sayısının tamsayı kısmında yalnızca 2 olduğundan, istenen kökün tamsayı kısmının 2 rakamı olması gerekir ve dolayısıyla ilk rakamı 2 anlamına gelmelidir. onlarca.

2) √9.041. Açıkçası bu kökte ilk rakam 3 basit birim olacaktır.

3) √0,00"83"4 . İlk anlamlı rakamı elde etmek için kökün çıkarılması gereken yüz 83 olduğundan ilk anlamlı rakam 9'dur ve 83'ün kökü de 9'dur. İstenilen sayıda ne tamsayılar ne de ondalıklar olmayacağından, İlk rakam 9 yüzde birler anlamına gelmelidir.

4) √0,73 "85. İlk önemli rakam onda 8'dir.

5) √0,00 "00" 35 "7. İlk anlamlı rakam binde 5 olacaktır.

Bir hatırlatma daha yapalım. Diyelim ki, içinde işgal edileni attıktan sonra bir dizi sayıyla gösterilen böyle bir sayıdan kök çıkarmanın gerekli olduğunu varsayalım: 5681. Bu kök aşağıdakilerden biri olabilir:

Altını tek çizgiyle çizdiğimiz kökleri alırsak, hepsi aynı sayı dizisiyle ifade edilecektir, tam olarak 5681'den kök çıkarılarak elde edilen sayılar (bunlar 7, 5, 3, 7 sayıları olacaktır) ). Bunun nedeni, kökün rakamlarını bulurken radikal sayının bölünmesi gereken yüzlerin tüm bu örneklerde aynı olacağından her kökün rakamları aynı olacaktır (sadece virgülün konumu). elbette farklı olacaktır). Aynı şekilde altını iki çizgiyle çizdiğimiz tüm köklerde, tam olarak √568.1'i ifade eden aynı sayılar (bu sayılar 2, 3, 8, 3 olacaktır) ve aynı nedenle elde edilmelidir. Böylece, aynı rakam dizisi (5681) tarafından gösterilen sayıların (virgül atılarak) köklerinin rakamları iki katlı (ve yalnızca iki katlı) türden olacaktır: ya bu bir 7, 5, 3, 7 dizisidir, veya 2, 3, 8, 3'lük bir dizi. Aynı şey elbette diğer sayı dizileri için de söylenebilir. Bu nedenle, şimdi göreceğimiz gibi, tabloda radikal sayının her rakam sırası, kökler için 2 basamak rakamına karşılık gelir.

Artık tablonun yapısını ve nasıl kullanılacağını anlatabiliriz. Açıklamanın netliği açısından burada tablonun ilk sayfasının başlangıcını gösterdik.

Bu tablo birkaç sayfayı kapsamaktadır. Her birinin üzerinde soldaki ilk sütunda 10, 11, 12 ... (99'a kadar) sayıları yer almaktadır. Bu sayılar karekökü aranan sayının ilk 2 rakamını ifade eder. Üst yatay çizgide (ve altta) sayılar vardır: 0, 1, 2, 3 ... 9, bu sayının 3. basamağıdır ve daha sonra sağda 1, 2 sayıları vardır. , 3. . . 9, bu sayının 4. basamağını temsil ediyor. Diğer tüm yatay çizgilere, karşılık gelen sayıların kareköklerini ifade eden 2 adet dört basamaklı sayı yerleştirilir.

Tamsayı veya ondalık kesir olarak ifade edilen bir sayının karekökünü bulmamız gereksin. Öncelikle tabloların yardımı olmadan kökün ilk rakamını ve kategorisini buluyoruz. Daha sonra verilen sayıdaki virgül varsa atıyoruz. Öncelikle virgül atıldıktan sonra yalnızca 3 rakamın kaldığını varsayalım. 114. Tablolarda en soldaki sütunda ilk 2 rakamı, yani 11'i buluyoruz ve üstte (ve altta) 3. rakam olan dikey sütuna ulaşana kadar yatay çizgi boyunca onlardan sağa doğru hareket ediyoruz. yani 4. Burada dört basamaklı iki sayı buluyoruz: 1068 ve 3376. Bu iki sayıdan hangisinin alınması gerektiği ve nereye virgül konulacağı, bu kökün ilk rakamına göre belirlenir ve daha önce bulduğumuz deşarjı. Yani √0,11 "4'ü bulmanız gerekiyorsa, kökün ilk basamağı onda 3 olur ve bu nedenle kök için 0,3376 almamız gerekir. √1,14'ü bulmamız gerekirse kökün ilk basamağı 1 olursa 1,068 alırız.

Böylece kolayca bulabiliriz:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, vb.

Şimdi 4 rakamla (virgül atılarak) ifade edilen bir sayının kökünü bulmamız gerektiğini varsayalım, örneğin √7"45.6. Kökün ilk rakamının 2 onluk olduğuna dikkat ederek sayı için buluyoruz 745, şimdi açıklandığı gibi 2729 sayısı (bu sayıyı sadece parmağımızla fark ediyoruz ama yazmıyoruz.) Daha sonra bu sayıdan sağa doğru ilerleyerek tablonun sağ tarafına kadar ilerliyoruz (arkasında). son kalın çizgi) bu sayının 4. rakamının yani 6 rakamının üstünde (ve altında) işaretlenen dikey sütunla karşılaşıyoruz ve orada 1 sayısını buluyoruz. Mind) daha önce bulduğumuz 2729 sayısına 2730 çıkıyor. Bu sayıyı uygun yere yazıp virgül koyuyoruz: 27.30.

Bu şekilde örneğin şunu buluruz:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 \u003d 0,2107, vb.

Radikal sayı yalnızca bir veya iki rakamla ifade ediliyorsa, bu rakamlardan sonra bir veya iki sıfır olduğunu varsayabilir ve üç basamaklı sayı için anlatıldığı gibi ilerleyebiliriz. Örneğin √2,7 = √2,70 =1,643; √0,13 \u003d √0,13 "0 \u003d 0,3606, vb..

Son olarak radikal sayı 4'ten fazla rakamla ifade ediliyorsa, bunlardan sadece ilk 4'ünü alıp geri kalanını atacağız ve atılan rakamlardan ilki 5 veya 5'ten büyükse hatayı azaltmak için, o zaman tutulan rakamların dördüncüsünü l artıracağız. Bu yüzden:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; ve benzeri.

Yorum. Tablolar yaklaşık karekökü bazen eksik bazen fazla olarak yani bu yaklaşık köklerden tam köke yaklaşan birini göstermektedir.

179. Sıradan kesirlerden kareköklerin çıkarılması.İndirgenemez bir kesrin tam karekökü ancak kesrin her iki terimi de tam kare olduğunda elde edilebilir. Bu durumda pay ve paydanın kökünü ayrı ayrı çıkarmak yeterlidir, örneğin:

Sıradan bir kesirin belirli bir ondalık hassasiyetle yaklaşık karekökü, ilk önce sıradan kesri bir ondalık sayıya dönüştürürsek, bu kesirde ondalık sayının iki katı olacak olan ondalık noktadan sonraki ondalık basamakların sayısını hesaplarsak en kolay şekilde bulunabilir. istenilen köke yerleştirir.

Ancak başka türlü de yapabilirsiniz. Bunu aşağıdaki örnekle açıklayalım:

Yaklaşık √ 5 / 24'ü bulun

Paydayı tam kare yapalım. Bunu yapmak için kesrin her iki terimini de payda 24 ile çarpmak yeterli olacaktır; ancak bu örnekte aksini yapabilirsiniz. 24'ü asal faktörlere ayırıyoruz: 24 \u003d 2 2 2 3. Bu ayrıştırmadan, 24'ün 2 ile ve diğerinin 3 ile çarpılması durumunda, çarpımda her asal faktörün çift sayıda tekrarlanacağı görülebilir. ve dolayısıyla payda kareye dönüşecektir:

Geriye √30'u bir miktar doğrulukla hesaplamak ve sonucu 12'ye bölmek kalıyor. Bu durumda, doğruluk derecesini gösteren kesirin de 12'ye bölünmesiyle azalacağı unutulmamalıdır. Yani √30'u 1/10 doğrulukla bulup sonucu 12'ye bölersek, 1/120 doğrulukla (yani 54/120 ve 55/120) 5/24 kesirinin yaklaşık kökünü elde ederiz.

Üçüncü bölüm.

Fonksiyon Grafiğix = √ y .

180. Ters fonksiyon. tanımlayan bir denklem olsun en bir fonksiyonu olarak X örneğin şu: y = x 2 . Sadece belirlemediğini söyleyebiliriz. en bir fonksiyonu olarak X ama aynı zamanda tam tersini de belirler X bir fonksiyonu olarak en , örtülü bir şekilde de olsa. Bu fonksiyonu açık hale getirmek için bu denklemi çözmemiz gerekir. X , alıyor en bilinen bir sayı için; Yani aldığımız denklemden şunu buluyoruz: y = x 2 .

Y'yi x'in bir fonksiyonu olarak tanımlayan denklem çözüldükten sonra x için elde edilen cebirsel ifadeye, y'yi tanımlayanın ters fonksiyonu denir.

Yani fonksiyon x = √ y fonksiyon tersi y = x 2 . Geleneksel olduğu gibi bağımsız değişken belirtilirse X ve bağımlı en , o zaman şimdi elde edilen ters fonksiyonu şu şekilde ifade edebiliriz: y = √x . Bu nedenle, verilen bir fonksiyona ters (direkt) bir fonksiyon elde etmek için, verilen bu fonksiyonu tanımlayan denklemden türetilmesi gerekir. X bağlı olarak sen ve ortaya çıkan ifadede değiştirin sen Açık X , A X Açık sen .

181. Bir fonksiyonun grafiği y = √x . Bu işlev negatif bir değerle mümkün değildir X , ancak herhangi bir pozitif değer için (herhangi bir doğrulukla) hesaplanabilir X ve bu tür her değer için, işlev aynı mutlak değere sahip ancak zıt işaretlere sahip iki farklı değer alır. Eğer tanıdıksa √ yalnızca karekökün aritmetik değerini belirtirsek, fonksiyonun bu iki değeri şu şekilde ifade edilebilir: y= ± √ x Bu işlevi çizmek için önce değerlerinin bir tablosunu oluşturmanız gerekir. Bu tabloyu derlemenin en kolay yolu doğrudan işlev değerleri tablosundan yararlanmaktır:

y = x 2 .

eğer değerler en değer olarak almak X ve tam tersi:

y= ± √ x

Tüm bu değerleri çizime koyarak aşağıdaki grafiği elde ederiz.

Aynı çizimde (kesikli çizgi) ve doğrudan fonksiyonun grafiğini gösterdik. y = x 2 . Bu iki grafiği karşılaştıralım.

182. Doğrudan ve ters fonksiyonların grafikleri arasındaki ilişki. Ters fonksiyon değerleri tablosunu derlemek için y= ± √ x için aldık X doğrudan işlev tablosundaki sayılar y = x 2 için değerler olarak görev yaptı en , ve için en bu sayıları aldım; bu tabloda hangi değerler vardı X . Bundan, her iki grafiğin de aynı olduğu, yalnızca doğrudan fonksiyonun grafiğinin eksene göre bu şekilde konumlandırıldığı sonucu çıkar. en - ters fonksiyonun grafiğinin eksene göre nasıl konumlandırıldığı X - ov. Sonuç olarak, çizimi düz bir çizgi etrafında katlarsak OA dik açıyı ikiye bölmek xOy böylece çizimin yarı ekseni içeren kısmı kuruluş birimi , yarı ekseni içeren parçanın üzerine düştü Ah , O kuruluş birimi ile uyumlu Ah , tüm bölümler kuruluş birimi bölünmelerle örtüşüyor Ah ve parabolün noktaları y = x 2 grafikte karşılık gelen noktalarla çakışır y= ± √ x . Örneğin noktalar M Ve N , kimin koordinatı 4 ve apsis 2 Ve - 2 , noktalarla çakışıyor M" Ve N" , kimin apsisi 4 ve koordinatlar 2 Ve - 2 . Bu noktalar çakışırsa, bu, çizgilerin olduğu anlamına gelir. MM" Ve NN" dik OA ve bu düz çizgiyi ikiye bölün. Aynı şey her iki grafikteki diğer ilgili noktalar için de söylenebilir.

Bu nedenle, ters fonksiyonun grafiği doğrudan fonksiyonun grafiğiyle aynı olmalıdır, ancak bu grafikler farklı şekilde, yani açının açıortayına göre birbirleriyle simetrik olarak konumlandırılmıştır. hoy . Ters fonksiyonun grafiğinin, açının açıortayına göre doğrudan fonksiyonun grafiğinin (aynada olduğu gibi) bir yansıması olduğunu söyleyebiliriz. hoy .

Bir kökün çıkarılması üstel almanın ters işlemidir. Yani, X sayısının kökünü çıkararak, karesi aynı X sayısını verecek bir sayı elde ederiz.

Kökün çıkarılması oldukça basit bir işlemdir. Karelerden oluşan bir tablo çıkarma işini kolaylaştırabilir. Çünkü tüm kareleri ve kökleri ezberlemek imkansızdır ve sayılar büyük olabilir.

Bir sayının kökünü çıkarma

Bir sayının karekökünü çıkarmak kolaydır. Üstelik bu hemen değil, yavaş yavaş yapılabilir. Örneğin √256 ifadesini alın. Başlangıçta bilmeyen bir kişinin hemen cevap vermesi zordur. Daha sonra adımları atacağız. Öncelikle sadece 4 sayısına bölüyoruz ve buradan seçilen kareyi kök olarak çıkarıyoruz.

Beraberlik: √(64 4), o zaman 2√64'e eşdeğer olacaktır. Ve bildiğiniz gibi çarpım tablosuna göre 64=8 8. Cevap 2*8=16 olacaktır.

Hızlı ve doğru şekilde toplamayı, çıkarmayı, çarpmayı, bölmeyi, sayıların karesini almayı ve hatta kök almayı öğrenmek için "Zihinsel aritmetiği değil, zihinsel saymayı hızlandırın" kursuna kaydolun. 30 gün içinde aritmetik işlemleri basitleştirmek için kolay hileleri nasıl kullanacağınızı öğreneceksiniz. Her ders yeni teknikler, anlaşılır örnekler ve faydalı görevler içerir.

Karmaşık kök çıkarma

Negatif sayılardan karekök hesaplanamaz çünkü her sayının karesi pozitif bir sayıdır!

Karmaşık sayı, karesi -1 olan bir sayıdır. Bu i2=-1'dir.

Matematikte -1 sayısının kökü alınarak elde edilen bir sayı vardır.

Yani negatif bir sayının kökünü hesaplamak mümkündür, ancak bu zaten okul için değil yüksek matematik için geçerlidir.

Böyle bir kök çıkarma örneğini düşünün: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Çevrimiçi kök hesaplayıcı

Hesap makinemizin yardımıyla bir sayının karekökünden çıkarılmasını hesaplayabilirsiniz:

Kök çıkarma işlemini içeren ifadeleri dönüştürme

Radikal ifadeleri dönüştürmenin özü, radikal sayıyı kökün çıkarılabileceği daha basit sayılara ayırmaktır. 4, 9, 25 ve benzeri gibi.

Bir örnek alalım, √625. Köklü ifadeyi 5 sayısına böleriz. √(125) elde ederiz. 5), √(25) işlemini tekrarlıyoruz 25), ancak 25'in 52 olduğunu biliyoruz. Yani cevap 5*5=25'tir.

Ancak kökü bu yöntemle hesaplanamayan sayılar vardır ve yalnızca cevabı bilmeniz veya elinizde bir kareler tablosu olması gerekir.

√289=√(17*17)=17

Sonuç

Matematiği daha iyi anlamak için buzdağının sadece görünen kısmını değerlendirdik - kursumuza kaydolun: Zihinsel saymayı hızlandırın - zihinsel aritmetik DEĞİL.

Kursta sadece basitleştirilmiş ve hızlı çarpma, toplama, çarpma, bölme, yüzde hesaplama için düzinelerce püf noktası öğrenmekle kalmayacak, aynı zamanda bunları özel görevlerde ve eğitici oyunlarda da çözeceksiniz! Zihinsel sayma aynı zamanda ilginç problemleri çözme konusunda aktif olarak eğitilmiş çok fazla dikkat ve konsantrasyon gerektirir.

Talimat

Altından kaldırılması böyle bir faktör olan radikal bir sayı seçin kök geçerli ifade - aksi takdirde işlem kaybedilir. Örneğin, işaretin altındaysa kökÜssü üçe eşit olan (küp kökü) değer sayı 128, daha sonra tabelanın altından çıkarılabilir, örneğin, sayı 5. Aynı zamanda kök sayı 128'in 5'in küpüne bölünmesi gerekecek: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. İşaretin altında kesirli bir sayı varsa kök sorunun koşullarıyla çelişmiyor, bu haliyle mümkün. Daha basit bir seçeneğe ihtiyacınız varsa, önce radikal ifadeyi bu tür tamsayı faktörlere bölün; bunlardan birinin küp kökü bir tam sayı olacaktır. sayı m.Örneğin: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Aklınızda sayının derecesini hesaplamak mümkün değilse, kök sayının çarpanlarını seçmek için kullanın. Bu özellikle aşağıdakiler için geçerlidir: köküssü ikiden büyük olan m. İnternet erişiminiz varsa Google ve Nigma arama motorlarında yerleşik hesap makinelerini kullanarak hesaplamalar yapabilirsiniz. Örneğin kübik sayının işaretinden çıkarılabilecek en büyük tamsayı faktörünü bulmanız gerekiyorsa kök 250 sayısı için Google web sitesine gidin ve işaretin altından çıkmanın mümkün olup olmadığını kontrol etmek için "6 ^ 3" sorgusunu girin kök altı. Arama motoru 216'ya eşit bir sonuç gösterecektir. Ne yazık ki 250 bu sayıya kalansız bölünemez sayı. Daha sonra 5^3 sorgusunu girin. Sonuç 125 olacaktır ve bu, 250'yi 125 ve 2'nin çarpanlarına ayırmanıza olanak tanır, bu da onu işaretten çıkarmak anlamına gelir kök sayı 5 oradan ayrılıyor sayı 2.

Kaynaklar:

• kökün altından nasıl çıkarılır
• Ürünün karekökü

Altından çıkar kök Matematiksel bir ifadeyi basitleştirmeniz gereken durumlarda faktörlerden biri gereklidir. Hesap makinesi kullanarak gerekli hesaplamaları yapmanın imkansız olduğu durumlar vardır. Örneğin sayılar yerine değişkenlerin harfleri kullanılıyorsa.

Talimat

Radikal ifadeyi basit faktörlere ayırın. Göstergelerde belirtilen faktörlerden hangisinin aynı sayıda tekrarlandığını görün kök, yada daha fazla. Örneğin a sayısının kökünü dördüncü kuvvete almanız gerekiyor. Bu durumda sayı a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 olarak temsil edilebilir. gösterge kök bu durumda karşılık gelecektir faktör a3. Tabeladan çıkarılması gerekiyor.

Mümkün olduğunda, ortaya çıkan radikallerin köklerini ayrı ayrı çıkarın. çıkarma köküstel almanın tersi olan cebirsel işlemdir. çıkarma kök Bir sayıdan keyfi bir kuvvet alınıyorsa, bu keyfi kuvvete yükseltildiğinde belirli bir sayıyla sonuçlanacak bir sayı bulun. Ekstraksiyon ise köküretilemiyorsa radikal ifadeyi işaretinin altına bırakın kök bu şekilde. Yukarıdaki eylemlerin sonucunda, altından bir kaldırma işlemi yapacaksınız. imza kök.

İlgili videolar

Not

Radikal ifadeyi faktörler olarak yazarken dikkatli olun; bu aşamadaki bir hata, yanlış sonuçlara yol açacaktır.

Yararlı tavsiye

Kökleri çıkarırken, özel tabloların veya logaritmik kök tablolarının kullanılması uygundur - bu, doğru çözümü bulma süresini önemli ölçüde azaltacaktır.

Kaynaklar:

• 2019'da kök çıkarma işareti

Cebirsel ifadelerin basitleştirilmesi, yüksek dereceli denklemlerin çözümü, türev ve integral dahil olmak üzere matematiğin birçok alanında gereklidir. Bu, çarpanlara ayırma da dahil olmak üzere çeşitli yöntemler kullanır. Bu yöntemi uygulamak için ortak bir tane bulup çıkarmanız gerekir. faktör arka parantez.

Talimat

için ortak çarpanı çıkarırsak parantez- en yaygın ayrıştırma yöntemlerinden biri. Bu teknik, uzun cebirsel ifadelerin yapısını basitleştirmek için kullanılır; polinomlar. Genel, tek terimli veya iki terimli bir sayı olabilir ve onu bulmak için çarpmanın dağılma özelliği kullanılır.

Sayı: Aynı sayıya bölünüp bölünemeyeceklerini görmek için her polinomun katsayılarına yakından bakın. Örneğin 12 z³ + 16 z² - 4 ifadesinde bariz olan şudur: faktör 4. Dönüşümden sonra 4 (3 z³ + 4 z² - 1) elde edersiniz. Başka bir deyişle bu sayı, tüm katsayıların en küçük ortak tamsayı bölenidir.

Mononom: Polinomun her bir teriminde aynı değişkenin olup olmadığını belirleyin. Durumun böyle olduğunu varsayalım, şimdi önceki durumda olduğu gibi katsayılara bakalım. Örnek: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Bu polinomun her elemanı z değişkenini içerir. Ayrıca tüm katsayılar 3'ün katıdır. Dolayısıyla ortak faktör tek terimli 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1) olacaktır.

Binom.For parantez genel faktör ikiden oluşan, bir değişken ve bir sayı olan, genel bir polinomdur. Bu nedenle eğer faktör-binom açık değilse, en az bir kök bulmanız gerekir. Polinomun serbest terimini vurgulayın, bu değişken olmayan katsayıdır. Şimdi ikame yöntemini serbest terimin tüm tamsayı bölenlerinin ortak ifadesine uygulayın.

Şunu düşünün: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0'ın tam sayı bölenlerinden herhangi birinin olup olmadığını kontrol edin. Basit yerine koymayla z1'i bulun = 1 ve z2 = 2 yani parantez(z - 1) ve (z - 2) binomları çıkarılabilir. Kalan ifadeyi bulmak için bir sütuna sıralı bölmeyi kullanın.