İkinci dereceden denklem görevleri hem okul müfredatında hem de üniversitelerde incelenmektedir. Bunlar a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 formundaki denklemler olarak anlaşılırlar; X- değişken, a,b,c – sabitler; A<>0. Sorun denklemin köklerini bulmaktır.

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamı

İkinci dereceden bir denklemle temsil edilen bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. İkinci dereceden bir denklemin çözümleri (kökleri), parabolün x ekseni ile kesişme noktalarıdır. Buradan üç olası durumun olduğu anlaşılmaktadır:
1) Parabolün x ekseniyle kesişme noktası yoktur. Bu, dalları yukarı doğru olan üst düzlemde veya dalları aşağı doğru olan alt düzlemde olduğu anlamına gelir. Bu gibi durumlarda, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur (iki karmaşık kökü vardır).

2) parabolün Ox ekseni ile bir kesişme noktası vardır. Böyle bir noktaya parabolün tepe noktası denir ve içindeki ikinci dereceden denklem minimum veya maksimum değerini alır. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin bir gerçek kökü (veya iki özdeş kökü) vardır.

3) Son durum pratikte daha ilginçtir - parabolün apsis ekseni ile kesiştiği iki nokta vardır. Bu, denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir.

Değişkenlerin kuvvetlerindeki katsayıların analizine dayanarak parabolün yerleşimi hakkında ilginç sonuçlara varılabilir.

1) a katsayısı sıfırdan büyükse parabol yukarı doğru, negatifse parabolün dalları aşağı doğru yönlendirilir.

2) B katsayısı sıfırdan büyükse, parabolün tepe noktası sol yarı düzlemdedir, negatif bir değer alırsa sağdadır.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için bir formülün türetilmesi

Sabiti ikinci dereceden denklemden aktaralım

eşittir işareti için ifadeyi elde ederiz

Her iki tarafı da 4a ile çarpın

Solda tam kare elde etmek için her iki parçaya da b ^ 2 ekleyin ve dönüşümü gerçekleştirin

Buradan buluyoruz

Diskriminant formülü ve ikinci dereceden denklemin kökleri

Diskriminant radikal ifadenin değeridir.Pozitif ise denklemin formülle hesaplanan iki gerçek kökü vardır. Diskriminant sıfır olduğunda, ikinci dereceden denklemin tek bir çözümü vardır (iki çakışan kök), ve bunu yukarıdaki D=0 formülünden elde etmek kolaydır. Diskriminant negatif olduğunda, denklemin gerçek kökleri yoktur. Bununla birlikte, ikinci dereceden denklemin karmaşık düzlemdeki çözümlerini incelemek ve değerleri formülle hesaplanır.

Vieta'nın teoremi

İkinci dereceden bir denklemin iki kökünü göz önünde bulundurun ve bunlara dayanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturun. Gösterimden Vieta teoremi kolaylıkla şu şekilde çıkar: Eğer ikinci dereceden bir denklemimiz varsa: o zaman köklerinin toplamı, ters işaretle alınan p katsayısına eşittir ve denklemin köklerinin çarpımı, serbest terim q'ya eşittir. Yukarıdaki formül şöyle görünecektir: Klasik denklemdeki a sabiti sıfırdan farklıysa, o zaman tüm denklemi buna bölmeniz ve ardından Vieta teoremini uygulamanız gerekir.

Faktörlere ilişkin ikinci dereceden denklemin çizelgesi

Görev belirlensin: İkinci dereceden denklemi faktörlere ayırmak. Bunu gerçekleştirmek için önce denklemi çözeriz (kökleri buluruz). Daha sonra, bulunan kökleri ikinci dereceden denklemi genişletmek için formüle koyarız, bu problem çözülecektir.

İkinci dereceden denklem için görevler

Görev 1. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun

x^2-26x+120=0 .

Çözüm: Katsayıları yazın ve diskriminant formülünde yerine koyun.

Bu değerin kökü 14'tür, hesap makinesiyle bulmak kolaydır veya sık kullanımla hatırlamak kolaydır, ancak kolaylık sağlamak için makalenin sonunda size sıklıkla bulunabilecek sayıların karelerinin bir listesini vereceğim. bu tür görevlerde bulunur.
Bulunan değer kök formülde değiştirilir

ve alıyoruz

Görev 2. denklemi çözün

2x2+x-3=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var, katsayıları yazıyoruz ve diskriminantı buluyoruz


İyi bilinen formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerini buluyoruz

Görev 3. denklemi çözün

9x2 -12x+4=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var. Diskriminantı belirleyin

Köklerin çakıştığı durumla karşılaştık. Köklerin değerlerini formülle buluyoruz

Görev 4. denklemi çözün

x^2+x-6=0 .

Çözüm: X'in katsayılarının küçük olduğu durumlarda Vieta teoreminin uygulanması tavsiye edilir. Durumuna göre iki denklem elde ederiz

İkinci koşuldan çarpımın -6'ya eşit olması gerektiğini anlıyoruz. Bu, köklerden birinin negatif olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki olası çözüm çiftine sahibiz(-3;2), (3;-2) . İlk koşulu dikkate alarak ikinci çözüm çiftini reddediyoruz.
Denklemin kökleri

Görev 5. Çevresi 18 cm ve alanı 77 cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulun.

Çözüm: Dikdörtgenin çevresinin yarısı komşu kenarların toplamına eşittir. Büyük tarafı x olarak gösterelim, o zaman 18-x küçük tarafı olsun. Bir dikdörtgenin alanı bu uzunlukların çarpımına eşittir:
x(18x)=77;
veya
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Denklemin diskriminantını bulun

Denklemin köklerini hesaplıyoruz

Eğer x=11, O 18x=7 , bunun tersi de doğrudur (eğer x=7 ise 21-x=9).

Problem 6. İkinci dereceden 10x 2 -11x+3=0 denklemini çarpanlarına ayırın.

Çözüm: Denklemin köklerini hesaplayın, bunun için diskriminantı buluruz

Bulunan değeri kök formülüne koyarız ve hesaplarız

İkinci dereceden denklemi kökler cinsinden genişletmek için formülü uyguluyoruz

Parantezleri genişleterek kimliği elde ederiz.

Parametreli ikinci dereceden denklem

Örnek 1. Parametrenin hangi değerleri için A ,(a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 denkleminin bir kökü var mı?

Çözüm: a=3 değerini doğrudan yerine koyarsak çözümü olmadığını görürüz. Daha sonra, sıfır diskriminantla denklemin çokluk 2'nin bir köküne sahip olduğu gerçeğini kullanırız. Diskriminantını yazalım

basitleştirin ve sıfıra eşitleyin

Vieta teoremini kullanarak çözümü elde edilmesi kolay olan a parametresine göre ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Köklerin toplamı 7, çarpımı 12'dir. Basit bir numaralandırmayla 3,4 sayısının denklemin kökleri olacağını tespit ederiz. Hesaplamaların başında a=3 çözümünü zaten reddettiğimiz için tek doğru çözüm şu olacaktır: a=4. Dolayısıyla a = 4 için denklemin bir kökü vardır.

Örnek 2. Parametrenin hangi değerleri için A , denklem a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birden fazla kökü var mı?

Çözüm: İlk önce tekil noktaları düşünün, bunlar a=0 ve a=-3 değerleri olacaktır. a=0 olduğunda denklem 6x-9=0 şeklinde basitleştirilecektir; x=3/2 ve bir kök olacak. a= -3 için 0=0 kimliğini alırız.
Diskriminantı hesaplayın

ve a'nın pozitif olduğu değerlerini bulun

İlk koşuldan a>3 elde ederiz. İkinci olarak denklemin diskriminantını ve köklerini buluyoruz.


Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıkları tanımlayalım. a=0 noktasını değiştirerek şunu elde ederiz: 3>0 . Yani (-3; 1/3) aralığının dışında fonksiyon negatiftir. Noktayı unutma a=0 orijinal denklemin içinde bir kökü olduğundan bu hariç tutulmalıdır.
Sonuç olarak problemin koşulunu sağlayan iki aralık elde ederiz.

Pratikte pek çok benzer görev olacak, görevleri kendiniz halletmeye çalışın ve birbirini dışlayan koşulları dikkate almayı unutmayın. İkinci dereceden denklemleri çözmek için formülleri iyi inceleyin; bunlara çeşitli problemler ve bilimlerdeki hesaplamalarda sıklıkla ihtiyaç duyulur.

Daha basit bir şekilde. Bunu yapmak için z'yi parantezlerden çıkarın. Şunu elde edersiniz: z(az + b) = 0. Çarpanlar şu şekilde yazılabilir: z=0 ve az + b = 0, çünkü her ikisi de sıfırla sonuçlanabilir. az + b = 0 notasyonunda ikinciyi farklı bir işaretle sağa kaydırıyoruz. Buradan z1 = 0 ve z2 = -b/а elde ederiz. Bunlar orijinalin kökleridir.

az² + c \u003d 0 formunda eksik bir denklem varsa, bu durumda serbest terimin denklemin sağ tarafına aktarılmasıyla bulunurlar. Ayrıca işaretini de değiştirin. az² \u003d -s kaydını alırsınız. z² = -c/a'yı ifade edin. Kökü alın ve iki çözümü yazın - karekökün pozitif ve negatif değeri.

Not

Denklemde kesirli katsayılar varsa kesirlerden kurtulmak için denklemin tamamını uygun faktörle çarpın.

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini bilmek hem okul çocukları hem de öğrenciler için gereklidir, bazen bir yetişkine günlük yaşamda yardımcı olabilir. Birkaç özel karar yöntemi vardır.

İkinci dereceden denklemleri çözme

Bu denklemi çözmek için Vieta teoremini kullanmalı veya diskriminantı bulmalısınız. En yaygın yol ayrımcıyı bulmaktır, çünkü a, b, c'nin bazı değerleri için Vieta teoremini kullanmak mümkün değildir.

Diskriminantı (D) bulmak için D=b^2 - 4*a*c formülünü yazmalısınız. D değeri sıfırdan büyük, küçük veya sıfıra eşit olabilir. D sıfırdan büyük veya küçükse iki kök olacaktır, D = 0 ise yalnızca bir kök kalır, daha doğrusu bu durumda D'nin iki eşdeğer kökü olduğunu söyleyebiliriz. Bilinen a, b, c katsayılarını formülde yerine koyun ve değeri hesaplayın.

Diskriminantı bulduktan sonra x'i bulmak için şu formülleri kullanın: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a burada sqrt verilen sayının karekökünü alan fonksiyondur. Bu ifadeleri hesapladıktan sonra denkleminizin iki kökünü bulacaksınız, ardından denklem çözülmüş sayılır.

D sıfırdan küçükse hala kökleri vardır. Okulda bu bölüm pratikte çalışılmamaktadır. Üniversite öğrencileri kökün altında negatif bir sayının göründüğünün farkında olmalıdır. Sanal kısmı ayırarak kurtuluyoruz yani kökün altındaki -1 her zaman aynı pozitif sayı ile kök ile çarpılan hayali eleman "i"ye eşittir. Örneğin D=sqrt(-20) ise dönüşüm sonrasında D=sqrt(20)*i elde edilir. Bu dönüşümden sonra denklemin çözümü yukarıda anlatıldığı gibi köklerin aynı bulunmasına indirgenir.

Vieta teoremi x(1) ve x(2) değerlerinin seçiminden oluşur. İki özdeş denklem kullanılır: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Üstelik çok önemli bir nokta da b katsayısının önündeki işarettir, bu işaretin denklemdeki işaretin tersi olduğunu unutmayın. İlk bakışta x(1) ve x(2)’yi hesaplamak çok basit gibi görünse de çözerken sayıların tam olarak seçilmesi gerektiği gerçeğiyle karşılaşacaksınız.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için öğeler

Ayrıca tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri de unutmayın. Bazı terimleri kaçırıyor olabilirsiniz, eğer öyleyse tüm katsayılar sıfıra eşittir. Eğer x^2 veya x'in önünde hiçbir şey yoksa, a ve b katsayıları 1'e eşittir.

Bu yazıda tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümünü ele alacağız.

Ama önce hangi denklemlere ikinci dereceden denildiğini tekrarlayalım. x'in bir değişken olduğu ve a, b ve c katsayılarının bazı sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu ax 2 + bx + c \u003d 0 formundaki bir denklem denir kare. Gördüğümüz gibi x 2'deki katsayı sıfıra eşit değildir ve bu nedenle x'teki katsayılar veya serbest terim sıfıra eşit olabilir, bu durumda tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

Üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:

1) b \u003d 0, c ≠ 0 ise, ax 2 + c \u003d 0;

2) Eğer b ≠ 0, c \u003d 0 ise, ax 2 + bx \u003d 0;

3) b \u003d 0, c \u003d 0 ise ax 2 \u003d 0.

• Bakalım nasıl çözecekler ax 2 + c = 0 formundaki denklemler.

Denklemi çözmek için serbest terimi denklemin sağ tarafına aktarırız, şunu elde ederiz:

balta 2 = ‒s. a ≠ 0 olduğundan, denklemin her iki kısmını da a'ya, ardından x 2 \u003d -c / a'ya böleriz.

‒с/а > 0 ise denklemin iki kökü vardır

x = ±√(–c/a) .

Eğer -c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Bu tür denklemlerin nasıl çözüleceğini örneklerle anlamaya çalışalım.

örnek 1. 2x 2 - 32 = 0 denklemini çözün.

Cevap: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Örnek 2. 2x 2 + 8 = 0 denklemini çözün.

Cevap : Denklemin çözümü yoktur.

• Bakalım nasıl çözecekler ax 2 + bx = 0 formundaki denklemler.

Ax 2 + bx \u003d 0 denklemini çözmek için onu faktörlere ayırırız, yani x'i parantezlerden çıkarırız, x (ax + b) \u003d 0 elde ederiz. Aşağıdakilerden en az biri varsa ürün sıfırdır. faktörler sıfırdır. O zaman ya х = 0 ya da ах + b = 0. ах + b = 0 denklemini çözerek ах = – b'yi elde ederiz, dolayısıyla х = – b/a olur. Ax 2 + bx \u003d 0 formundaki bir denklemin her zaman iki kökü vardır: x 1 \u003d 0 ve x 2 \u003d - b / a. Bu tür denklemlerin çözümünün diyagramda nasıl göründüğüne bakın.

Bilgilerimizi somut bir örnek üzerinde pekiştirelim.

Örnek 3. 3x 2 - 12x = 0 denklemini çözün.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 veya 3x - 12 \u003d 0

Cevap: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Üçüncü tip denklemler ax 2 = 0çok basit bir şekilde çözüldü.

Ax 2 \u003d 0 ise, x 2 \u003d 0. Denklemin iki eşit kökü vardır: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Netlik sağlamak için diyagramı düşünün.

Örnek 4'ü çözerken bu tip denklemlerin çok basit bir şekilde çözülmesine dikkat edeceğiz.

Örnek 4 7x 2 = 0 denklemini çözün.

Cevap: x 1, 2 = 0.

Ne tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi çözmemiz gerektiği her zaman hemen belli olmaz. Aşağıdaki örneği düşünün.

Örnek 5 denklemi çözün

Denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla, yani 30 ile çarpın

hadi keselim

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Parantezleri açalım

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

İşte benzerleri

99'u denklemin sol tarafından sağa kaydıralım, işaretini ters çevirelim

Cevap: Kök yok.

Eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü analiz ettik. Umarım artık bu tür görevlerde zorluk çekmezsiniz. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin türünü belirlerken dikkatli olun, o zaman başarılı olursunuz.

Bu konuyla ilgili sorularınız varsa derslerime kaydolun, sorunları birlikte çözeceğiz.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanması durumunda kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İlk seviye

İkinci dereceden denklemler. Kapsamlı Kılavuz (2019)

"İkinci dereceden denklem" terimindeki anahtar kelime "ikinci dereceden"dir. Bu, denklemin mutlaka karede bir değişken (aynı X) içermesi gerektiği ve aynı zamanda üçüncü (veya daha büyük) derecede X'lerin olmaması gerektiği anlamına gelir.

Birçok denklemin çözümü ikinci dereceden denklemlerin çözümüne indirgenir.

Başka bir denklem değil, ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu belirlemeyi öğrenelim.

örnek 1

Paydadan kurtulun ve denklemin her terimini şununla çarpın:

Her şeyi sola taşıyalım ve terimleri x'in kuvvetlerine göre azalan şekilde sıralayalım.

Artık bu denklemin ikinci dereceden olduğunu güvenle söyleyebiliriz!

Örnek 2

Sol ve sağ tarafları şu şekilde çarpın:

Bu denklem başlangıçta içinde olmasına rağmen bir kare değildir!

Örnek 3

Her şeyi şununla çarpalım:

Korkutucu? Dördüncü ve ikinci dereceler... Ancak yerine koyarsak basit ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu görürüz:

Örnek 4

Öyle görünüyor, ama daha yakından bakalım. Her şeyi sol tarafa taşıyalım:

Görüyorsunuz, küçüldü ve artık basit bir doğrusal denklem haline geldi!

Şimdi aşağıdaki denklemlerden hangilerinin ikinci dereceden olduğunu ve hangilerinin olmadığını kendiniz belirlemeye çalışın:

Örnekler:

Yanıtlar:

1. kare;
2. kare;
3. kare değil;
4. kare değil;
5. kare değil;
6. kare;
7. kare değil;
8. kare.

Matematikçiler koşullu olarak tüm ikinci dereceden denklemleri aşağıdaki türlere ayırırlar:

• İkinci dereceden denklemleri tamamlayın- katsayıların ve serbest terim c'nin sıfıra eşit olmadığı denklemler (örnekte olduğu gibi). Ek olarak, tam ikinci dereceden denklemler arasında şunlar vardır: verildi katsayılı denklemlerdir (birinci örnekteki denklem sadece tamamlanmış değil, aynı zamanda azaltılmış!)

• Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu denklemler:

  Eksikler çünkü bazı unsurlar eksik. Ancak denklem her zaman x kareyi içermelidir!!! Aksi takdirde, artık ikinci dereceden bir denklem olmayacak, başka bir denklem olacaktır.

Neden böyle bir ayrım yaptılar? Görünüşe göre bir X kare var ve tamam. Böyle bir bölünme çözüm yöntemlerinden kaynaklanmaktadır. Her birini daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Öncelikle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeye odaklanalım; bunlar çok daha basit!

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler aşağıdaki türlerdendir:

1. , bu denklemde katsayı eşittir.
2. , bu denklemde serbest terim eşittir.
3. , bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

1. i. Karekök almayı bildiğimize göre bu denklemden ifade edelim.

İfade negatif veya pozitif olabilir. Kareli bir sayı negatif olamaz, çünkü iki negatif veya iki pozitif sayı çarpıldığında sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır, yani: eğer öyleyse, o zaman denklemin çözümü yoktur.

Ve eğer öyleyse, o zaman iki kök elde ederiz. Bu formüllerin ezberlenmesine gerek yoktur. Önemli olan, daha az olamayacağını her zaman bilmeniz ve hatırlamanızdır.

Bazı örnekleri çözmeye çalışalım.

Örnek 5:

Denklemi çözün

Artık kökü sol ve sağ parçalardan çıkarmaya devam ediyor. Sonuçta köklerin nasıl çıkarılacağını hatırlıyor musunuz?

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!!!

Örnek 6:

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 7:

Denklemi çözün

Ah! Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok!

Kökleri olmayan bu tür denklemler için matematikçiler özel bir simge (boş küme) buldular. Ve cevap şu şekilde yazılabilir:

Cevap:

Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır. Kökünü çıkarmadığımız için burada herhangi bir kısıtlama yoktur.
Örnek 8:

Denklemi çözün

Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım:

Böylece,

Bu denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin en basit türü (her ne kadar hepsi basit olsa da, değil mi?). Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:

Burada örnekler olmadan yapacağız.

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme

İkinci dereceden denklemin tamamının, form denkleminin bir denklemi olduğunu hatırlatırız;

Tam ikinci dereceden denklemleri çözmek, verilenlerden biraz daha karmaşıktır (sadece biraz).

Hatırlamak, İkinci dereceden herhangi bir denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Yöntemlerin geri kalanı bunu daha hızlı yapmanıza yardımcı olacaktır, ancak ikinci dereceden denklemlerle ilgili sorunlarınız varsa, önce diskriminant kullanarak çözümde ustalaşın.

1. İkinci dereceden denklemleri diskriminant kullanarak çözme.

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek çok basittir, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır.

Eğer öyleyse denklemin bir kökü var, adıma özellikle dikkat edilmelidir. Diskriminant () bize denklemin kök sayısını söyler.

• Eğer öyleyse, adımdaki formül şuna indirgenecektir. Böylece denklemin yalnızca bir kökü olacaktır.
• Eğer öyleyse, bu adımda diskriminantın kökünü çıkaramayacağız. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Denklemlerimize geri dönelim ve birkaç örneğe bakalım.

Örnek 9:

Denklemi çözün

Aşama 1 atlamak.

Adım 2

Diskriminantın bulunması:

Yani denklemin iki kökü var.

Aşama 3

Cevap:

Örnek 10:

Denklemi çözün

Denklem standart formda olduğundan Aşama 1 atlamak.

Adım 2

Diskriminantın bulunması:

Yani denklemin tek kökü var.

Cevap:

Örnek 11:

Denklemi çözün

Denklem standart formda olduğundan Aşama 1 atlamak.

Adım 2

Diskriminantın bulunması:

Bu, diskriminanttan kökü çıkaramayacağımız anlamına gelir. Denklemin kökleri yoktur.

Artık bu tür cevapları nasıl doğru yazacağımızı biliyoruz.

Cevap: kök yok

2. İkinci dereceden denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözümü.

Hatırlarsanız, indirgenmiş olarak adlandırılan böyle bir tür denklem vardır (a katsayısı eşit olduğunda):

Bu tür denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmek çok kolaydır:

Köklerin toplamı verildiİkinci dereceden denklem eşittir ve köklerin çarpımı eşittir.

Örnek 12:

Denklemi çözün

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülmeye uygundur çünkü .

Denklemin köklerinin toplamı, yani; ilk denklemi elde ederiz:

Ve ürün:

Sistemi oluşturup çözelim:

• Ve. Toplam;
• Ve. Toplam;
• Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Cevap: ; .

Örnek 13:

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 14:

Denklemi çözün

Denklem azaltılır, yani:

Cevap:

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

İkinci dereceden denklem nedir?

Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, bazı sayıların - bilinmeyen - olduğu formun bir denklemidir.

Sayıya en yüksek veya denir ilk katsayı ikinci dereceden denklem, - ikinci katsayı, A - Ücretsiz Üye.

Neden? Çünkü eğer denklem hemen doğrusal hale gelecektir, çünkü Kaybolacak.

Bu durumda ve sıfıra eşit olabilir. Bu dışkıda denkleme eksik denir. Eğer tüm terimler yerli yerindeyse denklem tamamlanmış demektir.

Çeşitli ikinci dereceden denklem türlerinin çözümleri

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

Başlangıç ​​olarak, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerini analiz edeceğiz - bunlar daha basittir.

Aşağıdaki denklem türleri ayırt edilebilir:

I., bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

II. , bu denklemde katsayı eşittir.

III. , bu denklemde serbest terim eşittir.

Şimdi bu alt türlerin her birinin çözümünü düşünün.

Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:

Karesi negatif olamaz çünkü iki negatif veya iki pozitif sayı çarpıldığında sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Bu yüzden:

eğer öyleyse denklemin çözümü yoktur;

eğer iki kökümüz varsa

Bu formüllerin ezberlenmesine gerek yoktur. Hatırlanması gereken en önemli şey, daha az olamayacağıdır.

Örnekler:

Çözümler:

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!

Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok.

Kısaca sorunun çözümü olmadığını yazmak için boş küme ikonunu kullanıyoruz.

Cevap:

Yani bu denklemin iki kökü var: ve.

Cevap:

Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım:

Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda ürün sıfıra eşittir. Bu, aşağıdaki durumlarda denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir:

Yani bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır: ve.

Örnek:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırıp kökleri buluyoruz:

Cevap:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

1. Ayrımcı

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek kolaydır, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır. Unutmayın, ikinci dereceden herhangi bir denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Kök formülündeki diskriminantın köküne dikkat ettiniz mi? Ancak diskriminant negatif olabilir. Ne yapalım? 2. adıma özellikle dikkat etmemiz gerekiyor. Diskriminant bize denklemin kök sayısını söyler.

• Eğer öyleyse, denklemin bir kökü var:
• Eğer öyleyse, denklem aynı köke sahipse, ancak aslında tek bir köke sahipse:

  Bu tür köklere çift kök denir.

• Eğer öyleyse, diskriminantın kökü çıkarılmaz. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Neden farklı sayıda kök var? İkinci dereceden denklemin geometrik anlamına dönelim. Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:

İkinci dereceden bir denklem olan özel bir durumda, . Bu da ikinci dereceden denklemin köklerinin x ekseni (ekseni) ile kesişme noktaları olduğu anlamına gelir. Parabol ekseni hiç kesmeyebilir veya onu bir noktada (parabolün tepesi eksen üzerinde olduğunda) veya iki noktada kesebilir.

Ayrıca katsayı parabolün dallarının yönünden de sorumludur. Eğer öyleyse, parabolün dalları yukarıya doğru, eğer ise - o zaman aşağıya doğru yönlendirilir.

Örnekler:

Çözümler:

Cevap:

Cevap: .

Cevap:

Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Cevap: .

2. Vieta teoremi

Vieta teoremini kullanmak çok kolaydır: Sadece çarpımı denklemin serbest terimine eşit olan ve toplamı ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan bir çift sayı seçmeniz yeterlidir.

Vieta teoreminin yalnızca aşağıdakilere uygulanabileceğini hatırlamak önemlidir: verilen ikinci dereceden denklemler ().

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülmeye uygundur çünkü . Diğer katsayılar: ; .

Denklemin köklerinin toplamı:

Ve ürün:

Çarpımı eşit olan bu tür sayı çiftlerini seçelim ve toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

• Ve. Toplam;
• Ve. Toplam;
• Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Dolayısıyla ve denklemimizin kökleridir.

Cevap: ; .

Örnek #2:

Çözüm:

Çarpımı veren sayı çiftlerini seçiyoruz ve ardından toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol ediyoruz:

ve: toplamda verin.

ve: toplamda verin. Bunu elde etmek için, iddia edilen köklerin işaretlerini ve sonuçta işi değiştirmeniz yeterlidir.

Cevap:

Örnek #3:

Çözüm:

Denklemin serbest terimi negatif olduğundan köklerin çarpımı negatif bir sayıdır. Bu ancak köklerden birinin negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür. Yani köklerin toplamı modüllerinin farklılıkları.

Üründe verilen ve farkı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçiyoruz:

ve: aralarındaki fark - uygun değil;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun. Geriye sadece köklerden birinin negatif olduğunu hatırlamak kalıyor. Toplamlarının eşit olması gerektiğinden mutlak değer olarak daha küçük olan kökün negatif olması gerekir: . Kontrol ediyoruz:

Cevap:

Örnek #4:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem azaltılır, yani:

Serbest terim negatif olduğundan köklerin çarpımı negatiftir. Ve bu ancak denklemin bir kökünün negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür.

Çarpımı eşit olan bu tür sayı çiftlerini seçiyoruz ve ardından hangi köklerin negatif işarete sahip olması gerektiğini belirliyoruz:

Açıkçası, yalnızca kökler ve ilk koşul için uygundur:

Cevap:

Örnek #5:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem azaltılır, yani:

Köklerin toplamı negatiftir, yani köklerden en az biri negatiftir. Ancak çarpımları pozitif olduğundan her iki kök de eksi demektir.

Çarpımı şuna eşit olan bu tür sayı çiftlerini seçiyoruz:

Açıkçası, kökler sayılardır ve.

Cevap:

Katılıyorum, bu kötü ayrımcıyı saymak yerine kökleri sözlü olarak icat etmek çok uygundur. Vieta teoremini mümkün olduğunca sık kullanmaya çalışın.

Ancak kökleri bulmayı kolaylaştırmak ve hızlandırmak için Vieta teoremine ihtiyaç vardır. Kullanımını karlı hale getirmek için eylemleri otomatizme getirmelisiniz. Bunun için beş örnek daha çözün. Ama hile yapmayın: ayrımcıyı kullanamazsınız! Yalnızca Vieta teoremi:

Bağımsız çalışmaya yönelik görevler için çözümler:

Görev 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta teoremine göre:

Her zamanki gibi seçime ürünle başlıyoruz:

Uygun değil çünkü miktar;

: miktar ihtiyacınız olan miktardır.

Cevap: ; .

Görev 2.

Ve yine favori Vieta teoremimiz: Toplamın doğru olması gerekir ama çarpım eşittir.

Ama olmaması gerektiği için, köklerin işaretlerini değiştiriyoruz: ve (toplamda).

Cevap: ; .

Görev 3.

Hımm... Nerede o?

Tüm şartları tek bir bölüme aktarmak gerekir:

Köklerin toplamı çarpıma eşittir.

Evet, dur! Denklem verilmemiştir. Ancak Vieta teoremi yalnızca verilen denklemlere uygulanabilir. Bu yüzden önce denklemi getirmeniz gerekiyor. Eğer konuyu gündeme getiremiyorsanız, bu fikirden vazgeçin ve sorunu başka bir şekilde (örneğin, ayırt edici aracılığıyla) çözün. İkinci dereceden bir denklem getirmenin baş katsayıyı şuna eşit yapmak anlamına geldiğini hatırlatmama izin verin:

Harika. O zaman köklerin toplamı eşittir ve çarpım.

Buradan almak daha kolay: sonuçta - bir asal sayı (totoloji için özür dilerim).

Cevap: ; .

Görev 4.

Serbest terim negatiftir. Bunda bu kadar özel olan ne? Ve köklerin farklı işaretlerde olacağı gerçeği. Ve şimdi seçim sırasında köklerin toplamını değil, modülleri arasındaki farkı kontrol ediyoruz: bu fark eşittir, ancak çarpımdır.

Yani kökler eşittir ve bunlardan biri eksidir. Vieta teoremi bize köklerin toplamının zıt işaretli ikinci katsayıya eşit olduğunu söyler. Bu, daha küçük kökün bir eksiye sahip olacağı anlamına gelir: ve, çünkü.

Cevap: ; .

Görev 5.

İlk önce ne yapılması gerekiyor? Bu doğru, denklemi verin:

Tekrar: Sayının faktörlerini seçiyoruz ve aralarındaki fark şuna eşit olmalıdır:

Kökler eşittir ama bir tanesi eksidir. Hangi? Toplamları eşit olmalıdır, bu da eksi ile daha büyük bir kökün olacağı anlamına gelir.

Cevap: ; .

Özetleyeyim:

1. Vieta teoremi yalnızca verilen ikinci dereceden denklemlerde kullanılır.
2. Vieta teoremini kullanarak kökleri seçim yoluyla sözlü olarak bulabilirsiniz.
3. Denklem verilmemişse veya serbest terimin uygun faktör çifti bulunamamışsa, o zaman tamsayı kökleri yoktur ve bunu başka bir şekilde (örneğin, diskriminant yoluyla) çözmeniz gerekir.

3. Tam kare seçim yöntemi

Bilinmeyeni içeren tüm terimler, kısaltılmış çarpma formüllerinden (toplamın veya farkın karesi) terimler olarak temsil edilirse, değişkenlerin değişmesinden sonra denklem, türün tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi olarak temsil edilebilir.

Örneğin:

Örnek 1:

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

Örnek 2:

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

Genel olarak dönüşüm şöyle görünecek:

Bu şu anlama gelir: .

Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Ayırt edici bu! Diskriminant formülü tam olarak bu şekilde elde edildi.

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER. ANA HAKKINDA KISACA

İkinci dereceden denklem bilinmeyenin olduğu, ikinci dereceden denklemin katsayıları olan formun bir denklemidir, serbest terimdir.

Tam ikinci dereceden denklem- katsayıların sıfıra eşit olmadığı bir denklem.

Azaltılmış ikinci dereceden denklem- katsayının olduğu bir denklem: .

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu bir denklem:

• katsayı ise denklem şu şekildedir: ,
• Serbest bir terim ise denklem şu şekildedir: ,
• eğer ve ise denklem şu şekildedir: .

1. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

1.1. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Bilinmeyeni ifade edin: ,

2) İfadenin işaretini kontrol edin:

• eğer öyleyse denklemin çözümü yok,
• eğer öyleyse denklemin iki kökü vardır.

1.2. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım: ,

2) Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda çarpım sıfıra eşittir. Bu nedenle denklemin iki kökü vardır:

1.3. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

Bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır: .

2. Formun ikinci dereceden tam denklemlerini çözmek için algoritma

2.1. Diskriminant kullanarak çözüm

1) Denklemi standart forma getirelim: ,

2) Denklemin kök sayısını gösteren formülü kullanarak diskriminantı hesaplayın:

3) Denklemin köklerini bulun:

• eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
• eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
• eğer öyleyse denklemin kökleri yoktur.

2.2. Vieta teoremini kullanarak çözüm

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı (burada bir form denklemi) eşittir ve köklerin çarpımı eşittir, yani. , A.

2.3. Tam kare çözüm

Formun ikinci dereceden bir denkleminin kökleri varsa, şu şekilde yazılabilir: .

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okuduysanız, o zaman siz de %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konunun teorisini çözdünüz. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Sınavın başarıyla geçmesi, bütçeyle enstitüye kabul edilmesi ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim ...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Sınavda diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZMEK İÇİN ELİNİZİ DOLDURUN.

Sınavda size teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya bunu zamanında yapamayacaksınız.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için defalarca tekrarlamanız gerekir.

İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değildir) ve bunları kesinlikle öneririz.

Görevlerimize yardımcı olabilmek için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Eğitimin 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 499 ovmak.

Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin kullanım ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoriyle yetinmeyin.

“Anlamak” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Örneğin, üç terimli \(3x^2+2x-7\) için diskriminant \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) olacaktır. Ve üç terimli \(x^2-5x+11\) için, \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)'a eşit olacaktır.

Diskriminant \(D\) harfiyle gösterilir ve genellikle çözerken kullanılır. Ayrıca diskriminantın değerine göre grafiğin nasıl göründüğünü anlayabilirsiniz (aşağıya bakınız).

İkinci dereceden denklemin diskriminantı ve kökleri

Diskriminantın değeri ikinci dereceden denklemin miktarını gösterir:
- eğer \(D\) pozitifse denklemin iki kökü olacaktır;
- eğer \(D\) sıfıra eşitse - yalnızca bir kök;
- eğer \(D\) negatifse, kök yoktur.

Bunun öğretilmesine gerek yoktur, ikinci dereceden denklemin köklerini hesaplama formülüne diskriminanttan (yani \(\sqrt(D)\) dahil edildiğini bilerek böyle bir sonuca varmak kolaydır. : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ve \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Her duruma daha detaylı bakalım.

Diskriminant pozitif ise

Bu durumda, kökü pozitif bir sayıdır, bu da \(x_(1)\) ve \(x_(2)\)'nin değer bakımından farklı olacağı anlamına gelir, çünkü ilk formülde \(\sqrt(D) \) eklenir ve ikincisinde - çıkarılır. Ve iki farklı kökümüz var.

Örnek : \(x^2+2x-3=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

Cevap : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Diskriminant sıfır ise

Peki eğer diskriminant sıfırsa kaç kök olacaktır? Hadi akıl yürütelim.

Kök formüller şuna benzer: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ve \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Ve eğer diskriminant sıfırsa kökü de sıfırdır. Sonra ortaya çıkıyor:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Yani denklemin köklerinin değerleri eşleşecektir çünkü sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez.

Örnek : \(x^2-4x+4=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

Cevap : \(x=2\)