İki zarın atılması olayı nedir? Zar olasılığı

B6'daki tüm görevlerde olasılık teorisi, sunulanlar Görev bankasını aç, bulman gerek olasılık herhangi bir olay.

Sadece birini bilmeniz yeterli formül hesaplamak için kullanılır olasılık:

Bu formülde p - olayın olasılığı,

k- dilde bizi “tatmin eden” olayların sayısı olasılık teorisi onlar aranmaktadır olumlu sonuçlar.

N- tüm olası olayların sayısı veya olası tüm sonuçların sayısı.

Açıkçası, tüm olası olayların sayısı, olumlu sonuçların sayısından daha fazladır, bu nedenle olasılık 1'den küçük veya ona eşit bir değerdir.

Eğer olasılık olay değeri 1'dir, bu da bu olayın mutlaka gerçekleşeceği anlamına gelir. Böyle bir olaya denir güvenilir. Örneğin Pazar gününden sonra Pazartesi'nin gelmesi maalesef güvenilir bir olaydır ve olasılığı 1'e eşittir.

Problem çözmedeki en büyük zorluklar tam olarak k ve n sayılarını bulmada ortaya çıkar.

Elbette, herhangi bir problemi çözerken olduğu gibi, problemleri çözerken de olasılık teorisi Neyin verildiğini ve neyi bulmanız gerektiğini doğru bir şekilde anlamak için durumu dikkatlice okumanız gerekir.

Sorunları çözmek için çeşitli örneklere bakalım Açık Görev Bankası'ndan .

Örnek 1. Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın 8 puan olma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.

İlk zar bir puan atsın, sonra ikinci zar 6 puan atsın Çeşitli seçenekler. Böylece ilk zarın 6 farklı yüzü olduğundan toplam farklı seçenek sayısı 6x6=36 olur.

Ama her şeyden memnun değiliz. Problemin koşullarına göre çekilen puanların toplamı 8'e eşit olmalıdır. Olumlu sonuçlar tablosu oluşturalım:

Bize uygun olan sonuç sayısının 5 olduğunu görüyoruz.

Böylece toplamda 8 puan gelme olasılığı 5/36=0,13(8) olur.

Sorunun sorusunu bir kez daha okuyoruz: Sonuç yüzde birlere yuvarlanmalıdır.

Hatırlayalım yuvarlama kuralı.

En yakın yüzlüğe yuvarlamamız gerekiyor. Yüzde birlerden sonraki basamakta (yani binde birlerde) 5'ten büyük ya da ona eşit bir sayı varsa yüzler basamağındaki sayıya 1 ekleriz; bu sayı 5'ten küçükse, daha sonra yüzler basamağındaki sayı değişmeden kalır.

Bizim durumumuzda binler basamağındaki sayı 8 olduğu için yüzler basamağındaki 3 sayısını 1 artırıyoruz.

Yani p=5/36 ≈0,14

Cevap: 0,14

Örnek 2. Jimnastik şampiyonasına 20 sporcu katılıyor: 8'i Rusya'dan, 7'si ABD'den, geri kalanı Çin'den. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.

Bu problemde olası sonuçların sayısı 20'dir; bu, tüm sporcuların sayısıdır.

Olumlu sonuçların sayısını bulalım. Bu rakam Çin'deki kadın sporcu sayısına eşit.

Böylece,

Cevap: 0,25

Örnek 3. 1000 üzerinden ortalama bahçe pompaları Satışa sunulan 5 adet sızıntı yapıyor. Kontrol için rastgele seçilen bir pompanın sızıntı yapmama olasılığını bulun.

Bu problemde n=1000.

Sızıntı yapmayan pompalarla ilgileniyoruz. Sayıları 1000-5=995'tir. Onlar.

Sorunlar 1.4 - 1.6

Sorun durumu 1.4

Sorunun “çözümünde” hatayı belirtin: iki zar atılıyor; Çekilen noktaların toplamının 3 olma olasılığını bulun (A olayı). "Çözüm". Testin iki olası sonucu vardır: Alınan puanların toplamı 3'tür, alınan puanların toplamı 3'e eşit değildir. A olayı bir sonuç tarafından tercih edilir, toplam sonuç sayısı ikidir. Dolayısıyla istenilen olasılık P(A) = 1/2'ye eşittir.

Problem 1.4'ün Çözümü

Bu “çözüm”deki hata, söz konusu sonuçların eşit derecede mümkün olmamasıdır. Doğru çözüm: Eşit derecede olası sonuçların toplam sayısı eşittir (bir zarda atılan her puan, başka bir zarda atılan tüm puanlarla birleştirilebilir). Bu sonuçlar arasında sadece iki sonuç olayı lehte tutuyor: (1; 2) ve (2; 1). Bu, gerekli olasılığın

Cevap:

Sorun durumu 1.5

İki zar atılıyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: a) çekilen noktaların toplamı yedidir; b) çekilen puanların toplamı sekiz, fark ise dört; c) Farkın dört olduğu biliniyorsa, çekilen puanların toplamı sekizdir; d) Haddelenmiş noktaların toplamı beştir ve çarpım dörttür.

Problem 1.5'in Çözümü

a) İlk zarda altı seçenek, ikinci zarda altı seçenek. Toplam seçenekler: (çarpım kuralına göre). Toplam 7'ye eşit seçenekler: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - toplamda altı seçenek. Araç,

b) Sadece iki uygun seçenekler: (6.2) ve (2.6). Araç,

c) Yalnızca iki uygun seçenek vardır: (2,6), (6,2). Ama toplamda olası seçenekler 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Araç, .

d) 5'e eşit bir toplam için şu seçenekler uygundur: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Ürün sadece iki seçenek için 4'tür. Daha sonra

Cevap: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; 1/18

Sorun durumu 1.6

Tüm kenarları renkli olan bir küp, aynı büyüklükte bin küp halinde kesilir ve bunlar daha sonra iyice karıştırılır. Şans eseri çizilen küpün yüzlerinin renkli olma olasılığını bulun: a) bir; b) iki; saat üçte.

Problem 1.6'nın Çözümü

Toplam 1000 küp oluşturuldu. Üç renkli yüzü olan küpler: 8 (bunlar köşe küpleridir). İki renkli yüzü olan: 96 (çünkü her bir kenarında 8 küp bulunan bir küpün 12 kenarı vardır). Renkli kenarlı zarlar: 384 (6 yüzü olduğundan ve her yüzünde 64 küp olduğundan). Geriye kalan tek şey bulunan her miktarı 1000'e bölmek.

Cevap: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgini çektiyse bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Eğitim teknolojileri : Açıklayıcı ve resimli öğretim teknolojisi, bilgisayar teknolojisi, kişi merkezli öğrenme yaklaşımı, sağlık tasarrufu sağlayan teknolojiler.

Ders türü: yeni bilgi edinme dersi.

Süre: 1 ders.

Sınıf: 8. sınıf.

Dersin Hedefleri:

Eğitici:

• bir olayın olasılığını bulmak için formülü kullanma becerilerini tekrarlayın ve bunun zarlarla ilgili problemlerde nasıl kullanılacağını öğretin;
• problemleri çözerken kanıtlayıcı akıl yürütme yürütmek, akıl yürütmenin mantıksal doğruluğunu değerlendirmek, mantıksal olarak yanlış akıl yürütmeyi tanımak.

Eğitici:

• bilgiyi arama, işleme ve sunma becerilerini geliştirmek;
• karşılaştırma, analiz etme ve sonuç çıkarma yeteneğini geliştirmek;
• Gözlem ve iletişim becerilerini geliştirin.

Eğitici:

• dikkat ve azim geliştirmek;
• Çevremizdeki dünyayı anlamanın bir yolu olarak matematiğin önemine dair bir anlayış oluşturmak.

Ders ekipmanı: bilgisayar, multimedya, işaretleyiciler, mimio kopyalama cihazı (veya etkileşimli beyaz tahta), zarf (pratik çalışma için bir görev içerir, Ev ödevi, üç kart: sarı, yeşil, kırmızı), zar modelleri.

Ders planı

Zamanı organize etmek.

Önceki derste formülle tanıştık klasik olasılık.

Rastgele bir A olayının meydana gelme olasılığı P, m'nin n'ye oranıdır; burada n, deneyin tüm olası sonuçlarının sayısıdır ve m, tüm olumlu sonuçların sayısıdır.

Formül, Laplace'a göre, olasılık alanından gelen klasik olasılık tanımını temsil etmektedir. kumar Kazanma olasılığını belirlemek için olasılık teorisinin kullanıldığı yer. Bu formül, sınırlı sayıda eşit olası sonuca sahip deneyler için kullanılır.

Bir olayın olasılığı = Olumlu sonuçların sayısı / eşit derecede olası tüm sonuçların sayısı

Yani olasılık 0 ile 1 arasında bir sayıdır.

Eğer olay imkansız ise olasılık 0'dır.

Olayın kesin olması durumunda olasılık 1'dir.

Sorunu sözlü olarak çözelim: Bir kitaplıkta 3'ü referans kitabı olmak üzere 20 kitap var. Raftan alınan bir kitabın başvuru kitabı olmama olasılığı nedir?

Çözüm:

Eşit derecede olası sonuçların toplam sayısı 20'dir

Olumlu sonuçların sayısı – 20 – 3 = 17

Cevap: 0,85.

2. Yeni bilgi edinmek.

Şimdi dersimizin konusuna dönelim: “Olayların olasılıkları”, defterlerimize imza atalım.

Dersin amacı: Bir zar veya 2 zar atarken olasılığı bulma ile ilgili problemleri çözmeyi öğrenmek.

Bugünkü konumuz zarlarla ilgili veya buna da deniyor zar. Zarlar eski çağlardan beri bilinmektedir. Zar oyunu en eski oyunlardan biridir; ilk zar prototipleri Mısır'da bulunmuştur ve bunların tarihi M.Ö. 20. yüzyıla kadar uzanır. e. Basit olanlardan (atıcı kazanır) pek çok çeşidi vardır. büyük miktar puanlar) çeşitli oyun taktiklerini kullanabileceğiniz karmaşık olanlara.

En eski kemikler M.Ö. 20. yüzyıla kadar uzanıyor. e., Thebes'te keşfedildi. Başlangıçta kemikler falcılık için araç görevi görüyordu. Arkeolojik kazılara göre dünyanın her yerinde zarlar oynanıyordu. Adı orijinal malzemeden - hayvan kemiklerinden geliyor.

Eski Yunanlılar, Lidyalıların en azından zihinlerini bir şeylerle meşgul etmek için açlıktan kaçarak kemikleri icat ettiklerine inanıyorlardı.

Zar oyunu eski Mısır, Greko-Romen ve Vedik mitolojilerine yansıdı. İncil'de adı geçen “İlyada”, “Odysseia”, “Mahabharata”, Vedik ilahiler koleksiyonu “Rigveda”. Tanrıların panteonlarında en az bir tanrı, ayrılmaz bir özellik olarak zarların sahibiydi http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Roma İmparatorluğu'nun çöküşünden sonra oyun Avrupa'ya yayıldı ve özellikle Orta Çağ'da popüler oldu. Zarlar sadece oynamak için değil, aynı zamanda falcılık için de kullanıldığından, kilise defalarca oyunu yasaklamaya çalıştı; en karmaşık cezalar bu amaçla icat edildi, ancak tüm girişimler başarısızlıkla sonuçlandı.

Arkeolojik verilere göre pagan Rusya'da da zar oynanıyordu. Vaftizden sonra Ortodoks Kilisesi oyunu ortadan kaldırmaya çalıştı, ancak en yüksek soyluların ve hatta din adamlarının zar oynamaktan suçlu olduğu Avrupa'nın aksine, sıradan insanlar arasında popülerliğini korudu.

Yetkililer tarafından savaş ilan edildi Farklı ülkeler Zar oyunu birçok farklı hile hilesinin ortaya çıkmasına neden oldu.

Aydınlanma Çağı'nda zar oynama hobisi giderek azalmaya başlamış, insanlar yeni hobiler geliştirmiş, edebiyat, müzik ve resimle daha fazla ilgilenmeye başlamışlardır. Günümüzde zar oynamak o kadar yaygın değil.

Doğru zar, bir tarafa eşit gelme şansı sağlar. Bunu yapmak için tüm kenarların aynı olması gerekir: pürüzsüz, düz, aynı alana sahip, yuvarlatılmış (varsa), delikler aynı derinliğe kadar açılmalıdır. Karşı taraflardaki noktaların toplamı 7'dir.

Olasılık teorisinde kullanılan matematiksel zar, normal bir zarın matematiksel görüntüsüdür. Matematiksel Kemiğin boyutu, rengi, ağırlığı vb. yoktur.

Fırlatırken oynuyor kemikler(küp) altı yüzünden herhangi biri düşebilir, yani. herhangi biri olaylar- 1'den 6 puana (puan) kadar kayıp. Ama hiçbiri iki ve daha fazla yüz aynı anda görünemez. Çok olaylar uyumsuz denir.

1 zarın atıldığı durumu düşünün. 2 numarayı tablo şeklinde yapalım.

Şimdi 2 zarın atıldığı durumu düşünün.

İlk zar bir puan atarsa ​​ikinci zar 1, 2, 3, 4, 5, 6 atabilir. (1;1), (1;2), (1;3), (1) çiftlerini elde ederiz. ;4) , (1;5), (1;6) vb. her yüz için. Tüm durumlar 6 satır ve 6 sütundan oluşan bir tablo şeklinde sunulabilir:

Temel Olaylar Tablosu

Masanızda bir zarf var.

Zarftaki görevleri içeren sayfayı alın.

Şimdi temel olaylar tablosunu kullanarak pratik bir görevi tamamlayacaksınız.

Olayları destekleyen olayları gölgeleyerek gösterin:

Görev 1. “Aynı sayıda puan düştü”;

Görev 2. “Puanların toplamı 7”;

Görev 3. “Puanların toplamı 7'den az değil.”

"Daha az değil" ne anlama geliyor? (Cevap “büyük veya eşittir”)

Şimdi olayların olasılıklarını bulalım. pratik iş Olumlu olaylar gölgelendi.

3 numaralı defterlere yazalım.

1. Egzersiz.

Toplam sonuç sayısı - 36

Cevap: 1/6.

Görev 2.

Toplam sonuç sayısı - 36

Olumlu sonuçların sayısı - 6

Cevap: 1/6.

Görev 3.

Toplam sonuç sayısı - 36

Olumlu sonuçların sayısı - 21

P = 21/36=7/12.

Cevap: 7/12.

№4. Sasha ve Vlad zar oynuyorlar. Herkes zarı iki kez atar. En yüksek puana sahip olan kazanır. Puanların eşit olması durumunda oyun berabere biter. Zarı ilk atan Sasha oldu ve 5 puan ve 3 puan aldı. Şimdi Vlad zarları atıyor.

a) Temel olaylar tablosunda, "Vlad kazanacak" olayını destekleyen temel olayları (gölgeleyerek) belirtin.

b) “Vlad kazanacak” olayının olasılığını bulun.

3. Beden eğitimi dakikası.

Eğer olay güvenilirse hep birlikte alkışlıyoruz,

Eğer olay imkansızsa hep birlikte ayağa kalkarız,

Olay rastgele ise başınızı / sola ve sağa sallayın

“Sepette 3 elma var (2 kırmızı, 1 yeşil).

Sepetten 3 kırmızı çıkarıldı - (imkansız)

Sepetten kırmızı bir elma çıkarıldı - (rastgele)

Sepetten bir yeşil elma çıkarıldı - (rastgele)

Sepetten 2 kırmızı ve 1 yeşil çıkarıldı - (güvenilir)

Bir sonraki sayıyı çözelim.

Adil bir zar iki kez atılıyor. Hangi olayın olasılığı daha yüksektir:

C: “İkisinde de skor 5'ti”;

Soru: “İlkinde 2 puan aldım, ikincisinde 5 puan aldım”;

S: “Bir defasında 2 puandı, bir defasında 5 puandı”?

A olayını analiz edelim: Toplam sonuç sayısı 36, olumlu sonuç sayısı ise 1 (5;5)

B olayını analiz edelim: Toplam sonuç sayısı 36, olumlu sonuç sayısı ise 1 (2;5)

C olayını analiz edelim: toplam sonuç sayısı 36, olumlu sonuç sayısı ise 2 (2;5 ve 5;2)

Cevap: C olayı.

4. Ödev verme.

1. Geliştirmeyi kesin, küpleri yapıştırın. Bir sonraki dersinize getirin.

2. 25 atış yapın. Sonuçları tabloya yazın: (bir sonraki derste frekans kavramını tanıtabilirsiniz)

3. Problemi çözün: İki zar atılıyor. Olasılığı hesaplayın:

a) “Puanların toplamı 6”;

b) “Puanların toplamı 5'ten az değil”;

c) "İlk zarın puanı ikinciden daha fazladır."

Şunun için görevler: zar olasılığı yazı-tura problemlerinden daha az popüler değildir. Böyle bir sorunun durumu genellikle şu şekilde ses çıkarır: bir veya daha fazla atarken zar(2 veya 3), puanların toplamının 10'a eşit olma veya puan sayısının 4 olma olasılığı veya puan sayısının çarpımı veya puan sayısının çarpımının sayıya bölünmesi olasılığı nedir? 2, vb.

Klasik olasılık formülünün uygulanması bu tür problemlerin çözümünde ana yöntemdir.

Bir ölür, olasılık.

Bir zarla durum oldukça basittir. şu formülle belirlenir: P=m/n; burada m, olay için olumlu sonuçların sayısıdır ve n, bir kemik veya küp fırlatma deneyinin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısıdır.

Problem 1. Zarlar bir kez atılıyor. Çift sayıda puan alma olasılığı nedir?

Zar bir küp olduğundan (ya da normal zar olarak da adlandırıldığından, dengeli olduğu için zar her tarafa eşit olasılıkla düşecektir), zarın 6 kenarı vardır (1'den 6'ya kadar olan puan sayısı; genellikle noktalarla gösterilir), bu, problemin toplam sonuç sayısına sahip olduğu anlamına gelir: n=6. Etkinlik yalnızca 2,4 ve 6 çift puana sahip tarafın göründüğü sonuçlarda tercih edilir; zarın kenarları şu şekildedir: m=3. Artık zarın istenilen olasılığını belirleyebiliriz: P=3/6=1/2=0,5.

Görev 2. Zarlar bir kez atılır. En az 5 puan alma olasılığınız nedir?

Bu problem yukarıda verilen örneğe benzetilerek çözülmüştür. Fırlatırken zar eşit derecede olası sonuçların toplam sayısı: n=6 ve yalnızca 2 sonuç problemin koşulunu karşılıyor (en az 5 puan, yani 5 veya 6 puan yuvarlanıyor), yani m=2. Daha sonra gerekli olasılığı buluyoruz: P=2/6=1/3=0,333.

İki zar, olasılık.

2 zar atmayı içeren problemleri çözerken özel bir puanlama tablosu kullanmak çok uygundur. Üzerinde ilk zara düşen puan sayısı yatay olarak, ikinci zara düşen puan sayısı ise dikey olarak görüntülenir. İş parçası şöyle görünür:

Ancak şu soru ortaya çıkıyor: Tablonun boş hücrelerinde ne olacak? Çözülmesi gereken soruna bağlıdır. Sorun puanların toplamıyla ilgiliyse, toplam oraya yazılır, farkla ilgiliyse fark yazılır vb.

Problem 3. 2 zar aynı anda atılıyor. 5 puandan az alma olasılığı nedir?

Öncelikle deneyin toplam sonuç sayısının ne olacağını bulmanız gerekir. O zaman her şey belliydi bir zar atmak Küpün 6 ​​yüzü - deneyin 6 sonucu. Ancak zaten iki zar varsa, olası sonuçlar (x, y) biçimindeki sıralı sayı çiftleri olarak temsil edilebilir; burada x, ilk zarda kaç puan atıldığını gösterir (1'den 6'ya kadar) ve y - ikinci zarda kaç puan atıldığı (1'den 6'ya kadar). Toplamda bu tür sayı çiftleri olacaktır: n=6*6=36 (sonuç tablosunda tam olarak 36 hücreye karşılık gelirler).

Artık tabloyu doldurabilirsiniz, bunun için birinci ve ikinci zara düşen puanların sayısı her hücreye girilir. Tamamlanan tablo şuna benzer:

Tabloyu kullanarak, "toplamda 5 puandan az puanın ortaya çıkacağı" olayı destekleyen sonuçların sayısını belirleyeceğiz. Hücre sayısını sayalım, toplamın değeri daha az sayı 5 (bunlar 2, 3 ve 4'tür). Kolaylık sağlamak için bu tür hücrelerin üzerini boyarız; bunlardan m = 6 tane olacaktır:

Tablo verileri dikkate alındığında, zar olasılığı eşittir: P=6/36=1/6.

Problem 4. İki zar atıldı. Nokta sayısının çarpımının 3'e bölünme olasılığını belirleyin.

Sorunu çözmek için birinci ve ikinci zarın üzerine düşen puanların çarpımlarından oluşan bir tablo yapalım. İçinde hemen 3'ün katları olan sayıları vurguluyoruz:

Deneyin toplam sonuç sayısını n=36 (gerekçe önceki problemdekiyle aynı) ve olumlu sonuçların sayısını (tabloda gölgelenen hücre sayısı) m=20 olarak yazıyoruz. Olayın olasılığı: P=20/36=5/9.

Problem 5. Zarlar iki kez atılıyor. Birinci ve ikinci zardaki puan sayısı farkının 2'den 5'e kadar olma olasılığı nedir?

Belirlemek, birsey belirlemek zar olasılığı Bir nokta farkları tablosu yazalım ve içinde fark değeri 2 ile 5 arasında olacak hücreleri seçelim:

Olumlu sonuçların sayısı (tabloda gölgelenen hücrelerin sayısı) m=10, eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı ise n=36 olacaktır. Olayın olasılığını belirler: P=10/36=5/18.

Basit bir olay durumunda ve 2 zar atarken, bir masa oluşturmanız, ardından içindeki gerekli hücreleri seçmeniz ve sayılarını 36'ya bölmeniz gerekir, bu bir olasılık olarak kabul edilecektir.