Bir madeni para havaya atıldığında tura geleceği söylenebilir veya olasılık bunun 1/2'si. Elbette bu, bir madeni para 10 kez atılırsa mutlaka 5 kez tura geleceği anlamına gelmez. Madeni para "adil" ise ve birçok kez atılırsa, zamanın yarısında turalar çok yakına gelecektir. Böylece, iki tür olasılık vardır: deneysel Ve teorik .

Deneysel ve teorik olasılık

Eğer bir yazı tura atarsan çok sayıda kez - 1000 diyelim - ve kaç kez tura geldiğini sayarsak, tura gelme olasılığını belirleyebiliriz. 503 kez tura gelirse, gelme olasılığını hesaplayabiliriz:
503/1000 veya 0,503.

Bu deneysel olasılığın tanımı. Bu olasılık tanımı, verilerin gözlemlenmesi ve incelenmesinden kaynaklanır ve oldukça yaygın ve çok faydalıdır. Örneğin, deneysel olarak belirlenen bazı olasılıklar şunlardır:

1. Bir kadının meme kanserine yakalanma olasılığı 1/11'dir.

2. Nezle olan birini öperseniz, sizin de nezle olma olasılığınız 0,07'dir.

3. Cezaevinden yeni çıkmış bir kişinin cezaevine geri dönme şansı %80'dir.

Bir madeni paranın atışını ele alırsak ve yazı veya tura gelme olasılığının eşit olduğunu hesaba katarsak, tura gelme olasılığını hesaplayabiliriz: 1/2. Olasılığın teorik tanımı budur. Matematik kullanılarak teorik olarak belirlenmiş diğer bazı olasılıklar şunlardır:

1. Bir odada 30 kişi varsa, ikisinin aynı doğum gününe (yıl hariç) sahip olma olasılığı 0,706'dır.

2. Bir yolculuk sırasında biriyle tanışırsınız ve sohbet sırasında ortak bir tanıdığınızın olduğunu keşfedersiniz. Tipik tepki: "Bu olamaz!" Aslında, bu ifade uymuyor, çünkü böyle bir olayın olasılığı oldukça yüksek -% 22'nin biraz üzerinde.

Bu nedenle, deneysel olasılık gözlem ve veri toplama ile belirlenir. Teorik olasılıklar matematiksel muhakeme ile belirlenir. Yukarıda tartışılanlar ve özellikle de beklemediğimiz deneysel ve teorik olasılık örnekleri, bizi olasılığı incelemenin önemine götürür. "Gerçek olasılık nedir?" diye sorabilirsiniz. Aslında hiçbiri yok. Olasılıkları belirli sınırlar içinde belirlemek deneysel olarak mümkündür. Teorik olarak elde ettiğimiz olasılıklarla örtüşebilir veya örtüşmeyebilir. Bir olasılık türünü tanımlamanın diğerine göre çok daha kolay olduğu durumlar vardır. Örneğin, nezle olma olasılığını teorik olasılık kullanarak bulmak yeterli olacaktır.

Deneysel olasılıkların hesaplanması

Önce olasılığın deneysel tanımını ele alalım. Bu tür olasılıkları hesaplamak için kullandığımız temel ilke aşağıdaki gibidir.

İlke P (deneysel)

n gözlemin yapıldığı bir deneyde, E durumu veya olayı n gözlemde m defa meydana geliyorsa, olayın deneysel olasılığının P(E) = m/n olduğu söylenir.

örnek 1 Sosyolojik araştırma. Tutuldu Pilot çalışma solakların, sağlakların ve her iki eli de aynı gelişime sahip kişilerin sayısını belirlemek için Sonuçlar grafikte gösterilmiştir.

a) Kişinin sağlak olma olasılığını belirleyiniz.

b) Kişinin solak olma olasılığını belirleyiniz.

c) Kişinin her iki elinde de eşit derecede akıcı olma olasılığını belirleyiniz.

d) Çoğu PBA turnuvasında 120 oyuncu bulunur. Bu deneye göre kaç oyuncu solak olabilir?

Çözüm

a) Sağ elini kullananların sayısı 82, solakların sayısı 17 ve her iki eli de eşit derecede akıcı olanların sayısı 1'dir. Toplam gözlem sayısı 100'dür. Dolayısıyla bir kişinin sağ elini kullanma olasılığı P'dir.
P = 82/100 veya 0,82 veya %82.

b) Bir kişinin solak olma olasılığı P'dir, burada
P = 17/100 veya 0,17 veya %17.

c) Bir kişinin iki eliyle de eşit derecede akıcı olma olasılığı P'dir, burada
P = 1/100 veya 0,01 veya %1.

d) 120 bowling oyuncusu ve (b)'den %17'sinin solak olmasını bekleyebiliriz. Buradan
120'nin %17'si = 0,17,120 = 20,4,
yani yaklaşık 20 oyuncunun solak olmasını bekleyebiliriz.

Örnek 2 Kalite kontrol . Üreticilerin ürünlerinin kalitesini en üst seviyede tutması çok önemlidir. yüksek seviye. Aslında şirketler bu süreci sağlamak için kalite kontrol müfettişleri tutarlar. Amaç, mümkün olan en az sayıda kusurlu ürünü serbest bırakmaktır. Ancak şirket her gün binlerce ürün ürettiği için, her bir parçanın kusurlu olup olmadığını anlamak için incelemeye gücü yetmiyor. Ürünlerin yüzde kaçının kusurlu olduğunu öğrenmek için şirket çok daha az ürünü test ediyor.
Bakanlık Tarım ABD, yetiştiricilerin sattığı tohumların %80'inin çimlenmesini şart koşuyor. Tarım şirketinin ürettiği tohumların kalitesini belirlemek için üretilen tohumlardan 500 adet tohum ekilir. Ardından 417 tohumun çimlendiği hesaplanmıştır.

a) Tohumun çimlenme olasılığı nedir?

b) Tohumlar hükümet standartlarını karşılıyor mu?

Çözüm a) Ekilen 500 tohumdan 417'sinin filizlendiğini biliyoruz. Tohum çimlenme olasılığı P ve
P = 417/500 = 0,834 veya %83,4.

b) Talep üzerine çimlenen tohum oranı %80'i aştığı için tohumlar devlet standartlarını karşılamaktadır.

Örnek 3 TV derecelendirmeleri. İstatistiklere göre Amerika Birleşik Devletleri'nde 105.500.000 TV hanesi var. Her hafta, izleme programları hakkında bilgi toplanır ve işlenir. Bir hafta içinde 7.815.000 hane CBS'nin hit komedi dizisi Everybody Loves Raymond'u ve 8.302.000 hane NBC'nin hit dizisi Law & Order'ı izledi (Kaynak: Nielsen Media Research). Belirli bir hafta boyunca bir evin televizyonunun "Everybody Loves Raymond" veya "Law & Order" olarak ayarlanmış olma olasılığı nedir?

Çözüm Bir hanedeki televizyonun "Herkes Raymond'u Seviyor" olarak ayarlanma olasılığı P'dir ve
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ %7,4.
Ev TV'sinin "Hukuk ve Düzen" olarak ayarlanmış olma olasılığı P'dir ve
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ %7,9.
Bu yüzdelere derecelendirme denir.

teorik olasılık

Madeni para veya dart atmak, desteden bir kart çekmek veya bir montaj hattında öğeleri test etmek gibi bir deney yaptığımızı varsayalım. Böyle bir deneyin olası her sonucuna denir. Çıkış . Olası tüm sonuçların kümesine denir sonuç alanı . Etkinlik bir sonuçlar kümesidir, yani sonuçlar alanının bir alt kümesidir.

Örnek 4 Dart atmak. "Dart atma" deneyinde dartın hedefi vurduğunu varsayalım. Aşağıdakilerin her birini bulun:

b) Sonuç alanı

Çözüm
a) Sonuçlar: siyaha vurmak (H), kırmızıya vurmak (K) ve beyaza vurmak (B).

b) Basitçe (B, R, B) şeklinde yazılabilen bir sonuç uzayı vardır (siyaha vur, kırmızıya vur, beyaza vur).

Örnek 5 Zar atmak. Bir zar, her biri bir ila altı nokta içeren altı kenarlı bir küptür.


Diyelim ki zar atıyoruz. Bulmak
a) Sonuçlar
b) Sonuç alanı

Çözüm
a) Sonuçlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Sonuç alanı (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Bir E olayının meydana gelme olasılığını P(E) olarak gösteriyoruz. Örneğin, "madeni para tura gelecek" H ile gösterilebilir. O halde P(H), madeni paranın tura gelme olasılığıdır. Bir deneyin tüm sonuçlarının olma olasılığı aynı olduğunda, bunların eşit olasılığa sahip olduğu söylenir. Olasılığı eşit olan olaylar ile eşit olmayan olaylar arasındaki farkı görmek için aşağıda gösterilen hedefi göz önünde bulundurun.

A hedefi için, siyah, kırmızı ve beyaz sektörler aynı olduğundan, siyah, kırmızı ve beyaz isabet olayları eşit derecede olasıdır. Ancak B hedefi için bu renklere sahip bölgeler aynı değildir, yani onları vurma olasılığı eşit değildir.

İlke P (Teorik)

Eğer bir E olayı, S sonuç uzayından n olası denkleştirilebilir sonuçtan m farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa, o zaman teorik olasılık olay, P(E)
P(E) = m/n.

Örnek 6 Bir zar atarak 3 gelme olasılığı nedir?

Çözüm Açık zar 6 eşit olası sonuç vardır ve 3 sayısını atma olasılığı yalnızca birdir. O zaman P olasılığı P(3) = 1/6 olacaktır.

Örnek 7 Zarda çift sayı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm Olay, bir çift sayının atılmasıdır. Bu 3 şekilde olabilir (eğer 2, 4 veya 6 atarsanız). Eşlenebilir sonuçların sayısı 6'dır. O zaman olasılık P(çift) = 3/6 veya 1/2.

Standart 52 kartlık bir deste ile ilgili birkaç örnek kullanacağız. Böyle bir deste, aşağıdaki şekilde gösterilen kartlardan oluşur.

Örnek 8İyice karıştırılmış bir iskambil destesinden bir as çekme olasılığı nedir?

Çözüm 52 sonuç vardır (destedeki kart sayısı), bunlar eşit derecede olasıdır (deste iyi karışmışsa) ve bir as çekmenin 4 yolu vardır, yani P ilkesine göre olasılık
P(as çekme) = 4/52 veya 1/13.

Örnek 9 3 kırmızı ve 4 yeşil bilyeden oluşan bir torbadan bakmadan bir bilye seçtiğimizi varsayalım. Kırmızı bir top seçme olasılığı nedir?

Çözüm Herhangi bir topu almak için eşit olasılığa sahip 7 sonuç vardır ve kırmızı bir top çekmenin yollarının sayısı 3 olduğundan,
P(kırmızı bir top seçmek) = 3/7.

Aşağıdaki ifadeler P ilkesinin sonuçlarıdır.

Olasılık Özellikleri

a) E olayı gerçekleşemezse P(E) = 0 olur.
b) Eğer E olayı mutlaka gerçekleşecekse P(E) = 1 olur.
c) E olayının olma olasılığı 0 ile 1 arasında bir sayıdır: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Örneğin, bir madeni paranın havaya atılmasında, madeni paranın bir kenara gelme olasılığı sıfırdır. Bir madeni paranın tura veya yazı gelme olasılığı 1'dir.

Örnek 10 52 kartlık bir desteden 2 kart çekildiğini varsayalım. İkisinin de maça olma olasılığı kaçtır?

Çözümİyi karıştırılmış 52 kartlık bir desteden 2 kart çekmenin yol sayısı n 52 C2'dir. 52 karttan 13'ü maça olduğundan, 2 maça çekmenin yol sayısı m 13 C2'dir. Daha sonra,
P(germe 2 tepe) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Örnek 11 6 erkek ve 4 kadından oluşan bir gruptan rastgele 3 kişinin seçildiğini varsayalım. 1 erkek ve 2 kadının seçilme olasılığı kaçtır?

Çözüm 10 kişilik bir gruptan üç kişi seçmenin yol sayısı 10 C 3 . Bir erkek 6 C 1 şekilde, 2 kadın 4 C 2 şekilde seçilebilir. Saymanın temel ilkesine göre 1. erkek ve 2 kadını seçme yollarının sayısı 6 C 1'dir. 4C2. Buna göre 1 erkek ve 2 kadının seçilme olasılığı
P = 6 C1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Örnek 12 Zar atmak. İki zarda toplam 8 gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm Her zarda 6 olası sonuç vardır. Sonuçlar ikiye katlanır, yani iki zardaki sayıların düşebileceği 6,6 veya 36 olası yol vardır. (Küplerin farklı olması, örneğin birinin kırmızı, diğerinin mavi olması daha iyidir - bu, sonucu görselleştirmeye yardımcı olacaktır.)

Toplamları 8 olan sayı çiftleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. 5 tane var olası yollar toplamın 8'e eşit olması, dolayısıyla olasılık 5/36'dır.

İlk seviye

Olasılık teorisi. Problem çözme (2019)

olasılık nedir?

Bu terimle ilk kez karşılaştığımda, ne olduğunu anlamazdım. Bu yüzden anlaşılır bir şekilde açıklamaya çalışacağım.

Olasılık, istenen olayın meydana gelme şansıdır.

Örneğin, bir arkadaşınızı ziyaret etmeye, girişi ve hatta yaşadığı katı hatırlamaya karar verdiniz. Ama dairenin numarasını ve yerini unuttum. Ve burada duruyorsun merdiven boşluğu ve önünüzde seçim yapabileceğiniz kapı.

İlk kapı zilini çalarsanız, arkadaşınızın sizin için açma şansı (olasılığı) nedir? Bütün daire ve bir arkadaş sadece birinin arkasında yaşıyor. Eşit şans ile herhangi bir kapıyı seçebiliriz.

Ama bu şans nedir?

kapılar, istenen kapı. İlk kapıyı çalarak tahmin etme olasılığı: . Yani, üç kişiden biri kesin olarak tahmin edeceksiniz.

Bir kez arayarak bilmek istiyoruz, kapıyı ne sıklıkla tahmin edeceğiz? Tüm seçeneklere bakalım:

1. aradın 1 inci kapı
2. aradın 2. kapı
3. aradın 3 üncü kapı

Ve şimdi bir arkadaşın olabileceği tüm seçenekleri göz önünde bulundurun:

A. Arka 1 inci kapı
B. Arka 2. kapı
V. Arka 3 üncü kapı

Tüm seçenekleri bir tablo şeklinde karşılaştıralım. Seçiminiz bir arkadaşınızın konumuyla eşleştiğinde bir onay işareti, eşleşmediğinde bir çarpı - seçenekleri gösterir.

her şeyi nasıl görüyorsun Belki seçenekler arkadaşınızın konumu ve hangi kapıyı çalacağınıza dair seçiminiz.

A hepsinin olumlu sonuçları . Yani, kapıyı bir kez çalarak saatleri tahmin edeceksiniz, yani. .

Bu olasılık - olumlu bir sonucun (seçiminiz bir arkadaşın konumu ile çakıştığında) olası olayların sayısına oranıdır.

Tanım formüldür. Olasılık genellikle p ile gösterilir, yani:

Böyle bir formül yazmak pek uygun değil, bu yüzden - olumlu sonuçların sayısını ve - için - toplam sonuç sayısını alalım.

Olasılık yüzde olarak yazılabilir, bunun için elde edilen sonucu şu şekilde çarpmanız gerekir:

Muhtemelen, "sonuçlar" kelimesi dikkatinizi çekti. Matematikçiler çeşitli eylemleri (bizim için böyle bir eylem kapı zilidir) deney olarak adlandırdıklarından, bu tür deneylerin sonucuna sonuç demek adettendir.

Yani sonuçlar olumlu ve olumsuz.

Örneğimize geri dönelim. Diyelim ki kapılardan birini çaldık ama bizim için bir yabancı açtı. Tahmin etmedik. Kalan kapılardan birini çalarsak, arkadaşımızın bizim için açma olasılığı nedir?

Eğer böyle düşündüyseniz, o zaman bu bir hatadır. Hadi çözelim.

İki kapımız kaldı. Yani olası adımlarımız var:

1) Çağrı 1 inci kapı
2) Çağrı 2. kapı

Bir arkadaş, tüm bunlarla birlikte, kesinlikle onlardan birinin arkasındadır (sonuçta, aradığımız kişinin arkasında değildi):

a) bir arkadaş 1 inci kapı
b) için bir arkadaş 2. kapı

Tabloyu tekrar çizelim:

Gördüğünüz gibi, uygun olan tüm seçenekler var. Yani olasılık eşittir.

Neden?

İncelediğimiz durum bağımlı olaylara örnek. Birinci olay birinci kapı zilidir, ikinci olay ikinci kapı zilidir.

Ve aşağıdaki eylemleri etkiledikleri için bağımlı olarak adlandırılırlar. Sonuçta, ilk çalıştan sonra bir arkadaş kapıyı açarsa, diğer ikisinden birinin arkasında olma olasılığı nedir? Sağ, .

Ama eğer bağımlı olaylar varsa, o zaman mutlaka vardır. bağımsız? Doğru, var.

Bir ders kitabı örneği yazı tura atmaktır.

1. Yazı tura atıyoruz. Örneğin tura gelme olasılığı nedir? Bu doğru - çünkü her şey için seçenekler (tura veya yazı, bir madeni paranın kenarda durma olasılığını ihmal edeceğiz), ancak yalnızca bize uygun.
2. Ama kuyruklar düştü. Tamam, tekrar yapalım. Şimdi tura gelme olasılığı nedir? Hiçbir şey değişmedi, her şey aynı. Kaç seçenek var? İki. Ne kadarından memnunuz? Bir.

Ve arka arkaya en az bin kez kuyrukların düşmesine izin verin. Aynı anda tura gelme olasılığı aynı olacaktır. Her zaman seçenekler vardır, ancak uygun olanlar.

Bağımlı olayları bağımsız olaylardan ayırt etmek kolaydır:

1. Deney bir kez yapılırsa (bir kez yazı tura atıldığında, kapı zili bir kez çaldığında vb.), o zaman olaylar her zaman bağımsızdır.
2. Deney birkaç kez yapılırsa (bir kez yazı tura atılır, kapı zili birkaç kez çalınır), o zaman ilk olay her zaman bağımsızdır. Ve sonra, olumluların sayısı veya tüm sonuçların sayısı değişirse, o zaman olaylar bağımlıdır ve değilse, bağımsızdır.

Olasılığı belirlemek için biraz pratik yapalım.

örnek 1

Madeni para iki kez atılıyor. Arka arkaya iki kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Her şeyi düşünün olası seçenekler:

1. kartal kartal
2. kuyruklu kartal
3. kuyruklu kartal
4. yazı-kuyruk

Gördüğünüz gibi, tüm seçenekler. Bunlardan sadece biz memnunuz. Olasılık budur:

Koşul basitçe olasılığı bulmayı isterse, cevap şu şekilde verilmelidir: ondalık kesir. Cevabın yüzde olarak verilmesi gerektiği belirtilmiş olsaydı, o zaman ile çarpardık.

Cevap:

Örnek 2

Bir kutu çikolatada, tüm şekerler aynı pakette paketlenir. Ancak tatlılardan - fındık, konyak, kiraz, karamel ve nuga ile.

Bir şeker alıp fındıklı şeker alma olasılığı nedir? Cevabınızı yüzde olarak veriniz.

Çözüm:

Kaç olası sonuç vardır? .

Yani bir şeker alarak kutudakilerden biri olacaktır.

Ve kaç olumlu sonuç?

Çünkü kutuda sadece fındıklı çikolatalar var.

Cevap:

Örnek 3

Bir top kutusunda. beyaz ve siyah olanlardan.

1. Beyaz bir top çekme olasılığı nedir?
2. Kutuya daha fazla siyah top ekledik. Şimdi beyaz bir top çekme olasılığı nedir?

Çözüm:

a) Kutuda sadece top vardır. bunlardan beyaz.

Olasılık:

b) Şimdi kutuda toplar var. Ve bir o kadar da beyaz kaldı.

Cevap:

Tam Olasılık

Örneğin, kırmızı ve yeşil toplarla dolu bir kutuda. Kırmızı bir top çekme olasılığı nedir? Yeşil top mu? Kırmızı top mu yeşil top mu?

kırmızı top çekme olasılığı

Yeşil top:

Kırmızı veya yeşil top:

Gördüğünüz gibi, tüm olası olayların toplamı eşittir (). Bu noktayı anlamak, birçok sorunu çözmenize yardımcı olacaktır.

Örnek 4

Kutuda keçeli kalemler var: yeşil, kırmızı, mavi, sarı, siyah.

Kırmızı kalem DEĞİL çizme olasılığı nedir?

Çözüm:

sayıyı sayalım olumlu sonuçlar.

Kırmızı işaret DEĞİL, bu yeşil, mavi, sarı veya siyah anlamına gelir.

Tüm olayların olasılığı. Ve olumsuz olduğunu düşündüğümüz olayların olasılığı (kırmızı keçeli kalemi çıkardığımızda) .

Bu nedenle, kırmızı keçeli kalem DEĞİL çizme olasılığı -'dir.

Cevap:

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Bağımsız olayların ne olduğunu zaten biliyorsunuz.

Ve iki (veya daha fazla) bağımsız olayın arka arkaya meydana gelme olasılığını bulmanız gerekiyorsa?

Diyelim ki bir yazı tura atarak kartalı iki kez görme olasılığımızın ne olduğunu bilmek istiyoruz.

- 'yi zaten düşündük.

Yazı tura atarsak ne olur? Bir kartalı arka arkaya iki kez görme olasılığı nedir?

Toplam olası seçenekler:

1. Kartal-kartal-kartal
2. Kartal-kafa-kuyrukları
3. Yazı-tura-kartal
4. tura-yazı-yazı
5. kuyruk-kartal-kartal
6. Yazı-tura-yazı
7. Yazı-yazı-kafa
8. Yazı-kuyruk-kuyruk

Sizi bilmem ama ben bu listeyi bir kere yanlış yaptım. Vay! Ve bize sadece seçenek (ilk) uygundur.

5 atış için olası sonuçların bir listesini kendiniz yapabilirsiniz. Ama matematikçiler sizin kadar çalışkan değiller.

Bu nedenle, belirli bir bağımsız olaylar dizisinin olasılığının her seferinde bir olayın olasılığı kadar azaldığını önce fark ettiler ve sonra kanıtladılar.

Başka bir deyişle,

Aynı, talihsiz madeni para örneğini düşünün.

Bir duruşmada tura çıkma olasılığı? . Şimdi yazı tura atıyoruz.

Arka arkaya yazı gelme olasılığı nedir?

Bu kural, yalnızca aynı olayın arka arkaya birkaç kez meydana gelme olasılığını bulmamız istendiğinde işe yaramaz.

Ardışık taklalarda KUYRUK-KARTAL-KUYRUK dizisini bulmak isteseydik, aynısını yapardık.

Yazı gelme olasılığı - , tura - .

KUYRUK-KARTAL-KUYRUK-KUYRUK dizisinin gelme olasılığı:

Bir tablo yaparak kendiniz kontrol edebilirsiniz.

Uyumsuz olayların olasılıklarını toplama kuralı.

Bu yüzden dur! Yeni tanım.

Hadi çözelim. Eskiyen bozuk paramızı alıp bir kez çevirelim.
Olası seçenekler:

1. Kartal-kartal-kartal
2. Kartal-kafa-kuyrukları
3. Yazı-tura-kartal
4. tura-yazı-yazı
5. kuyruk-kartal-kartal
6. Yazı-tura-yazı
7. Yazı-yazı-kafa
8. Yazı-kuyruk-kuyruk

Yani burada birbiriyle bağdaşmayan olaylar var, bu belirli, verili bir olaylar dizisi. bağdaşmayan olaylardır.

İki (veya daha fazla) uyumsuz olayın olasılığını belirlemek istiyorsak, bu olayların olasılıklarını toplarız.

Bir kartalın veya kuyruğun kaybının iki bağımsız olay olduğunu anlamalısınız.

Bir dizinin (veya herhangi bir dizinin) düşme olasılığını belirlemek istiyorsak, olasılıkları çarpma kuralını kullanırız.
İlk atışta tura, ikinci ve üçüncü atışta yazı gelme olasılığı nedir?

Ancak, birkaç diziden birini elde etme olasılığının ne olduğunu bilmek istiyorsak, örneğin tam olarak bir kez tura geldiğinde, yani seçenekler ve sonra bu dizilerin olasılıklarını eklemeliyiz.

Toplam seçenekler bize uygun.

Aynı şeyi, her dizinin oluşma olasılıklarını toplayarak da elde edebiliriz:

Bu nedenle, uyumsuz bazı olay dizilerinin olasılığını belirlemek istediğimizde olasılıkları ekleriz.

Yemek yemek mükemmel kural, bu da ne zaman çarpılacağı ve ne zaman ekleneceği konusunda kafanızın karışmamasına yardımcı olur:

Bir kere yazı tura attığımız ve bir kere tura gelme olasılığını bilmek istediğimiz örneğe geri dönelim.
Ne olacak?

Düşmeli:
(yazı VE yazı VE yazı) VEYA (yazı VE yazı VE yazı) VEYA (yazı VE yazı VE yazı)
Ve böylece ortaya çıkıyor:

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 5

Kutuda kalemler var. kırmızı, yeşil, turuncu ve sarı ve siyah. Kalemlerin kırmızı veya yeşil olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Ne olacak? Dışarı çekmeliyiz (kırmızı VEYA yeşil).

Şimdi açık, bu olayların olasılıklarını topluyoruz:

Cevap:

Örnek 6

Bir zar iki kez atılıyor toplam 8 gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm.

Nasıl puan alabiliriz?

(ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve).

Bir (herhangi) yüzden düşme olasılığı .

Olasılığı hesaplıyoruz:

Cevap:

Eğitim.

Olasılıkları ne zaman saymanız, ne zaman toplamanız ve ne zaman çarpmanız gerektiğini artık anladığınızı düşünüyorum. Değil mi? Biraz egzersiz yapalım.

Görevler:

Kartların maça, kör, 13 sinek ve 13 tef olduğu bir iskambil destesi alalım. Her renkten Ace'e.

1. Art arda sinek çekme olasılığı nedir (ilk çekilen kartı desteye geri koyar ve karıştırırız)?
2. Siyah bir kart (maça veya sinek) çekme olasılığı nedir?
3. Bir resim çizme olasılığı nedir (vale, kız, papaz veya as)?
4. Arka arkaya iki resim çekme olasılığı nedir (desteden çekilen ilk kartı kaldırırız)?
5. İki kart alarak bir kombinasyon toplama olasılığı nedir - (Vale, Kız veya Papaz) ve As Kartların çekileceği sıra önemli değil.

Yanıtlar:

1. Her değere sahip bir kart destesinde şu anlama gelir:
2. Olaylar bağımlıdır, çünkü çekilen ilk karttan sonra destedeki kart sayısı ("resimlerin" yanı sıra) azalmıştır. Başlangıçta destedeki toplam valeler, kızlar, papazlar ve aslar, yani ilk kartla “resmi” çizme olasılığı:

   İlk kartı desteden çıkardığımıza göre, destede zaten resimleri olan bir kart kalmış demektir. İkinci kartla resim çizme olasılığı:

   Desteden “resim” VE “resim” aldığımız durumla ilgilendiğimiz için, olasılıkları çarpmamız gerekiyor:

   Cevap:

3. İlk kart çekildikten sonra destedeki kart sayısı azalacaktır, bu nedenle iki seçeneğimiz var:
   1) İlk kartla As'ı çıkarıyoruz, ikinci - vale, kız veya papaz
   2) İlk kartla bir vale, kraliçe veya papaz, ikincisi - bir as çıkarıyoruz. (as ve (vale veya kız veya papaz)) veya ((vale veya kız veya papaz) ve as). Destedeki kart sayısını azaltmayı unutmayın!

Tüm sorunları kendi başınıza çözebildiyseniz, o zaman harika bir adamsınız! Şimdi sınavda olasılık teorisi üzerine görevler deli gibi tıklayacaksınız!

OLASILIK TEORİSİ. ORTALAMA SEVİYE

Bir örnek düşünün. Diyelim ki zar attık. Bu ne tür bir kemik, biliyor musun? Bu, yüzlerinde sayılar bulunan bir küpün adıdır. Kaç yüz, çok sayıda sayı: kaçtan kaça? Önce.

Bu yüzden bir zar atıyoruz ve bir veya ile gelmesini istiyoruz. Ve düşüyoruz.

Olasılık teorisinde ne olduğunu söylerler elverişli olay(iyi ile karıştırılmamalıdır).

Düşerse, olay da hayırlı olur. Toplamda, yalnızca iki olumlu olay meydana gelebilir.

Kaç tane kötü? Tüm olası olaylar olduğundan, bunların olumsuzları olaylardır (bu, eğer düşerse veya).

Tanım:

Olasılık, olumlu olayların sayısının olası tüm olayların sayısına oranıdır.. Yani olasılık, olası tüm olayların ne kadarının olumlu olduğunu gösterir.

Olasılık bir Latin harfiyle gösterilir (görünüşe göre ingilizce kelime olasılık - olasılık).

Olasılığı yüzde olarak ölçmek gelenekseldir (konuya bakın). Bunu yapmak için, olasılık değeri ile çarpılmalıdır. ile örnekte zar olasılık.

Ve yüzde olarak: .

Örnekler (kendiniz karar verin):

1. Bir madeni paranın havaya atılmasının tura gelme olasılığı kaçtır? Yazı gelme olasılığı nedir?
2. Bir zar atıldığında çift sayı gelme olasılığı kaçtır? Ve neyle - garip?
3. Düz, mavi ve kırmızı kalemlerle dolu bir çekmecede. Rastgele bir kalem çiziyoruz. Basit olanı çıkarma olasılığı nedir?

Çözümler:

1. Kaç tane seçenek var? Tura ve yazı - sadece iki. Ve kaç tanesi uygun? Sadece biri kartal. Yani olasılık

   Kuyruklarla aynı: .

2. Toplam seçenekler: (bir küpün kaç kenarı vardır, o kadar çok Çeşitli seçenekler). Olumlu olanlar: (bunların hepsi çift sayılardır :).
   olasılık. Garip, elbette aynı şeyle.
3. Toplam: . Uygun: . Olasılık: .

Tam Olasılık

Çekmecedeki tüm kalemler yeşil. Kırmızı bir kalem çizme olasılığı nedir? Şans yok: olasılık (sonuçta olumlu olaylar -).

Böyle bir olaya imkansız denir.

Yeşil bir kalem çizme olasılığı nedir? Tam olarak toplam olay sayısı kadar olumlu olay vardır (tüm olaylar olumludur). Yani olasılık ya da.

Böyle bir olaya kesin denir.

Kutuda yeşil ve kırmızı kalemler varsa, yeşil veya kırmızı çizme olasılığı nedir? Bir kez daha. Şuna dikkat edin: yeşil çizme olasılığı eşittir ve kırmızı .

Özetle, bu olasılıklar tam olarak eşittir. Yani, olası tüm olayların olasılıklarının toplamı veya'ya eşittir.

Örnek:

Bir kutu kalemde, aralarında mavi, kırmızı, yeşil, sade, sarı ve geri kalanlar turuncu renktedir. Yeşil çizmeme olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm olasılıkların toplandığını unutmayın. Ve yeşil çizme olasılığı eşittir. Bu, yeşil çizmeme olasılığının eşit olduğu anlamına gelir.

Bu hileyi hatırla: Bir olayın olmama olasılığı, o olayın olma olasılığından farklıdır.

Bağımsız olaylar ve çarpma kuralı

Bir yazı turayı iki kez atıyorsunuz ve ikisinde de tura gelmesini istiyorsunuz. Bunun olasılığı nedir?

Tüm olası seçenekleri gözden geçirelim ve kaç tane olduğunu belirleyelim:

Kartal-Kartal, Kuyruk-Kartal, Kartal-Yazı, Yazı-Yazı. Başka ne?

Tüm varyant. Bunlardan sadece biri bize yakışır: Kartal-Kartal. Yani olasılık eşittir.

İyi. Şimdi yazı tura atalım. Kendinizi sayın. Olmuş? (cevap).

Bir sonraki atışın eklenmesiyle olasılığın bir faktör azaldığını fark etmiş olabilirsiniz. Genel kural isminde çarpma kuralı:

Bağımsız olayların olasılıkları değişir.

Bağımsız olaylar nedir? Her şey mantıklı: bunlar birbirine bağlı olmayanlar. Örneğin, birkaç kez yazı tura attığımızda, her seferinde yeni bir atış yapılır ve bunun sonucu önceki tüm atışlara bağlı değildir. Aynı başarı ile iki farklı jetonu aynı anda atabiliyoruz.

Daha fazla örnek:

1. Bir zar iki kez atılıyor. Her iki seferde de gelme olasılığı nedir?
2. Bir madeni para defa atılıyor. Önce tura, sonra iki kez yazı gelme olasılığı nedir?
3. Oyuncu iki zar atar. Üzerlerindeki sayıların toplamının eşit olma olasılığı kaçtır?

Yanıtlar:

1. Olaylar bağımsızdır, yani çarpma kuralı çalışır: .
2. Bir kartal olasılığı eşittir. Kuyruk olasılığı da. Çarpıyoruz:
3. 12, yalnızca iki -ki düşerse elde edilebilir: .

Uyumsuz olaylar ve toplama kuralı

Uyumsuz olaylar, tam olasılıkla birbirini tamamlayan olaylardır. Adından da anlaşılacağı gibi, aynı anda olamazlar. Örneğin bir yazı tura atarsak tura veya yazı gelebilir.

Örnek.

Bir kutu kalemde, aralarında mavi, kırmızı, yeşil, sade, sarı ve geri kalanlar turuncu renktedir. Yeşil veya kırmızı çekme olasılığı nedir?

Çözüm .

Yeşil bir kalem çizme olasılığı eşittir. Kırmızı - .

Tüm hayırlı olaylar: yeşil + kırmızı. Yani yeşil veya kırmızı çekme olasılığı eşittir.

Aynı olasılık aşağıdaki biçimde temsil edilebilir: .

Bu toplama kuralıdır: uyumsuz olayların olasılıkları toplanır.

Karışık görevler

Örnek.

Madeni para iki kez atılıyor. Zarların sonucunun farklı olma olasılığı nedir?

Çözüm .

Bu, ilk önce tura gelirse yazının ikinci olması gerektiği ve bunun tersinin de geçerli olduğu anlamına gelir. Burada iki çift bağımsız olay olduğu ve bu çiftlerin birbiriyle uyumsuz olduğu ortaya çıktı. Nerede çarpılacağı ve nereye ekleneceği konusunda kafanız nasıl karışmaz.

Bu tür durumlar için basit bir kural vardır. Olayları "VE" veya "VEYA" birleşimleriyle ilişkilendirerek ne olması gerektiğini açıklamaya çalışın. Örneğin, bu durumda:

Yuvarlanmalı (yazılar ve yazılar) veya (yazılar ve yazılar).

"ve" birliğinin olduğu yerde, çarpma olacak ve "veya" toplamanın olduğu yerde:

Kendin dene:

1. İki madeni para atışında her ikisinin de aynı tarafla gelme olasılığı nedir?
2. Bir zar iki kez atılıyor. Toplamın puan düşürme olasılığı nedir?

Çözümler:

1. (Yazı yukarıda ve yazı yukarıda) veya (yazı yukarıda ve yazı yukarıda): .
2. Seçenekler nedir? Ve. Daha sonra:
   Haddelenmiş (ve) veya (ve) veya (ve): .

Başka bir örnek:

Bir kere yazı tura atıyoruz. En az bir kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Oh, seçenekleri nasıl sıralamak istemiyorum ... Yazı-tura-yazı, Kartal-yazı-yazı, ... Ama buna gerek yok! Tam olasılık hakkında konuşalım. Hatırladı? Kartal olma olasılığı nedir? asla düşmeyecek? Çok basit: kuyruklar her zaman uçar, yani.

OLASILIK TEORİSİ. ANA KONU HAKKINDA KISACA

Olasılık, olumlu olayların sayısının olası tüm olayların sayısına oranıdır.

Bağımsız olaylar

Birinin gerçekleşmesi diğerinin olma olasılığını değiştirmiyorsa iki olay bağımsızdır.

Tam Olasılık

Tüm olası olayların olasılığı ()'dir.

Bir olayın olmama olasılığı, o olayın olma olasılığından farklıdır.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Belirli bir bağımsız olaylar dizisinin olasılığı, olayların her birinin olasılıklarının ürününe eşittir.

Uyumsuz olaylar

Uyumsuz olaylar, bir deney sonucunda aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylardır. Bir dizi uyumsuz olay, tam bir olay grubunu oluşturur.

Uyumsuz olayların olasılıkları toplanır.

Ne olması gerektiğini açıkladıktan sonra, "VE" yerine "VE" veya "VEYA" sendikalarını kullanarak çarpma işaretini ve "VEYA" yerine - toplama işaretini koyarız.

neyse konu kapandı Bu satırları okuyorsanız, çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların sadece %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, o zaman% 5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu ... bu sadece süper! Akranlarınızın büyük çoğunluğundan zaten daha iyisiniz.

Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...

Ne için?

başarılı için sınavı geçmek, bütçeyle enstitüye kabul için ve EN ÖNEMLİ OLARAK ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...

İyi bir eğitim almış kişiler, almayanlardan çok daha fazla kazanıyor. Bu istatistik.

Ama asıl mesele bu değil.

Asıl mesele, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle araştırmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? bilmiyorum...

Ama kendin için düşün...

Sınavda diğerlerinden daha iyi olacağından ve nihayetinde ... daha mutlu olacağından emin olmak için ne gerekiyor?

ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONU İLE İLGİLİ SORUNLARI ÇÖZÜN.

Sınavda size teori sorulmayacaktır.

İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.

Ve onları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanında yapamayacaksınız.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.

İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun çözümlerle mutlaka detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değil) ve kesinlikle tavsiye ediyoruz.

Görevlerimizden yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek vardır:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 299 ovmak
2. Öğreticideki 99 makalenin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 999 ovmak

Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere erişim ve bunlardaki tüm gizli metinler anında açılabilir.

ikinci durumda sana vereceğiz simulator "Her konu için, tüm karmaşıklık düzeyleri için çözümler ve yanıtlar içeren 6000 görev." Herhangi bir konudaki problemlerin çözümüne el atmanız kesinlikle yeterlidir.

Aslında, bu sadece bir simülatörden çok daha fazlasıdır - tam bir eğitim programı. Gerekirse ÜCRETSİZ olarak da kullanabilirsiniz.

Sitenin tüm kullanım ömrü boyunca tüm metinlere ve programlara erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmediyseniz, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.

“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Madeni para atmak. Olasılığı bulmak için problem çözme

Bu sayfada, olasılık teorisi üzerine herhangi bir ders kitabında ve kılavuzda bulunan popüler bir görev sınıfından bahsedeceğim - yazı tura atmayla ilgili problemler (bu arada, USE'nin B6 bölümünde bulunurlar). İfade farklı olabilir, örneğin "Simetrik bir madeni para iki kez atılır ..." veya "3 madeni para atın ..." ama çözümün ilkesi bundan değişmez, göreceksiniz.

bir madeni paranın havaya atılma olasılığını bulunuz
Bu arada, bu tür problemler bağlamında "3 jeton at" veya "3 kere jeton at" yazmanın şart olmadığını, sonucun (olasılığın hesaplanması anlamında) aynı olacağını (atmaların sonuçları birbirinden bağımsız olduğu için) hemen belirteceğim.

Yazı tura atma problemlerini çözmenin iki ana yöntemi vardır, biri formülle klasik olasılık(aslında okul çocukları tarafından bile erişilebilen bir sıralama yöntemi) ve daha fazlası zor seçenek kombinatorik kullanarak, ikincisi - Bernoulli formülüne göre (bence bu ilkinden bile daha kolay, sadece formülü hatırlamanız gerekiyor). Her iki yöntemi de sırayla okumanızı ve ardından çözerken uygun olanı seçmenizi öneririm.

Klasik olasılık (kaba kuvvet)
Klasik olasılık (kombinatoryal yaklaşım)
Bernoulli formülü
kullanışlı bağlantılar
Yöntem 1. Olasılığın klasik tanımı

Öncelikle, hesaplayacağımız formülün kendisini hatırlamanız gerekir. Dolayısıyla, olasılık P=m/nP=m/n olarak bulunur; burada nn, rastgele savurma deneyimizin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısıdır ve mm, olayı destekleyen sonuçların sayısıdır (yani, problemin durumunda belirtilenler). Ancak bu gizemli sonuçlar nasıl bulunur? Örneklerle açıklamak en kolayı.

Yani madeni para iki kez atılıyor. Kuyruk kaybını (sayıları) P harfiyle ve kartal kaybını (arması) O harfiyle gösterirsek, olası tüm kayıplar şu şekilde yazılabilir: PP, OR, RO ve OO (sırasıyla iki kuyruk düştü, bir kartal sonra bir kuyruk, bir kuyruk sonra bir kartal ve iki kartal). Bu kombinasyonların sayısını sayar ve n=4n=4 elde ederiz. Şimdi bunlardan yalnızca "tam olarak bir kez tura" koşulunu karşılayanları seçmek gerekiyor, bunlar OR ve RO kombinasyonlarıdır ve tam olarak m=2m=2 tane vardır. O zaman istenen olasılık P=2/4=1/2=0.5P=2/4=1/2=0.5'tir. Hazır!

Örnek 2. Simetrik bir madeni para iki kez atılıyor. Aynı tarafın her iki seferde de çekilme olasılığını bulun.

Madeni para tekrar iki kez atıldığından, deneyin tüm temel sonuçlarının (veya burada kolaylık olması için kombinasyonlar olarak adlandırdığımız kombinasyonların) kümesi tamamen aynıdır: PP, OP, PO ve OO, n=4n=4. Ancak "bir taraf her iki seferde de düştü" koşulu, diğer kombinasyonlar tarafından karşılanır: PP ve OO, dolayısıyla m=2m=2. İstenen olasılık P=2/4=1/2=0.5P=2/4=1/2=0.5'tir.

Gördüğünüz gibi, her şey oldukça basit. Biraz daha zor bir probleme geçelim.

Örnek 3. Rastgele bir deneyde, simetrik bir madeni para üç kez atılıyor. Yazıların tam olarak iki kez gelme olasılığını bulun.

Klasik olasılık formülünü tekrar uygulayalım. Birinci adım - 3 atış için tüm olası kombinasyonları yazın! Bunlar: OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR olacaktır. Bakın, sadece bir atış daha var ve zaten n=8n=8 olası kombinasyon var (bu arada, bunlar n=2kn=2k formülüyle bulunur, burada kk, yazı tura atma sayısıdır).

Şimdi bu listeden sadece O'nun 2 kez geçtiği kombinasyonları bırakmak gerekiyor, yani: OOP, ORO, POO, m = 3m = 3 tane olacak. O zaman olayın olasılığı P=m/n=3/8=0.375P=m/n=3/8=0.375 olur.

Hız aşırtmayı aldık ve 4 madeni paraya gittik.

Hesaplamaya başlayalım. Birinci adım - 4 yazı tura atmak için olası tüm kombinasyonları yazın. Kendimizi test etmek için hemen n=24=16n=24=16 adet olması gerektiğini hesaplayalım! İşte buradalar:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Şimdi amblemin (aka kartal, diğer adıyla O harfi) 2 veya 3 kez geçtiği yerleri seçiyoruz: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO,
m=10m=10 tane olacak. O zaman olasılık P=m/n=10/16=5/8=0,625P=m/n=10/16=5/8=0,625'tir.

Sanırım bu zamana kadar yöntemin özünü zaten anladınız ve 2-3-4 madeni paranın atıldığı ve turaların asla düşmediği veya yazıların tam olarak bir kez vb. Atıldığı sorunları kendi başınıza çözebileceksiniz.

Yöntem 2. Kombinatoryal yaklaşım + klasik olasılık

Yalnızca kaba kuvvet yöntemiyle hareket edersek (yukarıda yapıldığı gibi), madeni para sayısındaki artışla birlikte kombinasyon sayısının hızla arttığına (5 madeni para için - 32, 6 madeni para için - 64 vb.), Sonuçları yazarken hata yapma olasılığı yüksektir, çözüm yöntemi basitliğini ve çekiciliğini kaybeder.

Bu sorunu çözmenin bir yolu, klasik olasılık formülü içinde kalmak, ancak sonuçların sayısını saymak için kombinatoryal yöntemler (buradaki kombinatorik formüllere bakın) kullanmaktır. Son problemin örneğini kullanarak, farklı bir şekilde çözerek açıklayayım.

Örnek 4. Bir madeni para 4 kez atılıyor. Armanın 2 ila 3 kez görünme olasılığını bulun.

4 madeni paranın havaya atılmasından oluşan deneyin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısını bulalım. Tüm sonuçlar, X1X2X3X4X1X2X3X4 biçiminde bir dizi tarafından kodlanabilir, burada Xi=OXi=O (ii. kez tura gelir) veya Xi=PXi=P (ii. kez yazı gelir). Tüm bu dizilerin sayısını bulalım. X1X1'in değeri (ilk atışın sonucu) 2 şekilde seçilebilir (tura veya yazı), X2X2'nin değeri (ikinci atışın sonucu) 2 şekilde seçilebilir (tura veya yazı) vb. Toplamda n=2⋅2⋅2⋅2=16n=2⋅2⋅2⋅2=16 farklı sonuç elde ederiz. Veya, 2 nesnenin 4 konumda tekrarlı yerleşim sayısı için kombinatorik formülünü kullanırsak, hemen n=A24=24=16n=A42=24=16 elde ederiz.

Kombinatorik kullanarak olumlu sonuçların sayısını bulalım. İlk olarak, O'nun tam olarak 2 kez geçtiği bu tür dizilerin sayısını bulun. C24C42'yi O'nun duracağı 2 konumlu şekilde seçiyoruz (sonra kalanlara yazı atıyoruz). Benzer şekilde, O'nun tam olarak 3 kez geçtiği diziler için - C34C43 yolları, O'nun duracağı 3 konum seçeriz (kalan konumda yazı yazılır). Kombinasyon sayısını sayarak ve ekleyerek, uygun kombinasyonların sayısını buluruz:
m=C24+C34=4!2!2!+4!3!1!=3⋅41⋅2+4=6+4=10.
m=C42+C43=4!2!2!+4!3!1!=3⋅41⋅2+4=6+4=10.
Toplamda aynı olasılık değerini elde ederiz: P=m/n=10/16=0,625P=m/n=10/16=0,625.

Elbette, çözümün daha resmi matematiksel tanımı nedeniyle bu yaklaşım daha karmaşık görünüyor, ancak ölçeklenmesi çok daha kolay.

Örneğin, benzer bir sorunu ele alırsak:

Örnek 5. Bir madeni para 8 kez atılıyor. Armanın tam olarak 4 kez görünme olasılığını bulun

Cevap, yukarıdaki örneğe benzetilerek 256 kombinasyon (!!!) yazılmadan elde edilebilir:
n=28=256;m=C48=8!4!4!=5⋅6⋅7⋅81⋅2⋅3⋅4=70;P=nn=70256=0,273.
n=28=256;m=C84=8!4!4!=5⋅6⋅7⋅81⋅2⋅3⋅4=70;P=nn=70256=0,273.
Bütünlük adına, bu şekilde çözülen başka bir problem örneği vereceğim (ancak isterseniz hemen daha fazlasına geçebilirsiniz. kolay yol 3).

Örnek 6. Bir madeni para 6 kez atılıyor. Amblemlerin iki kez ve yalnızca üst üste düşme olasılığını bulun ve geri kalan zamanlarda yalnızca yazı olacaktır.

6 madeni paranın havaya atılmasından oluşan deneyin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısını bulalım. Her rulo 2 olası sonuç verdiğinden (0 veya P), toplamda n=26=64n=26=64 temel sonuç elde ederiz (OPOROP, OOORRR, vb. gibi kombinasyonlar).

Olumlu sonuçların sayısını bulun. Yan yana görünmesi gereken iki armayı zihinsel olarak tek bir nesnede (OO) birleştirelim. Geriye kalan 4 kuyruk arasından onun için bir yer seçmeye devam ediyor (böylece armalar 2, ardından kuyruklar - 6-2 = 4 düşmelidir). 5 nesne dizisinde konum seçmenin m=C15=5m=C51=5 yolu vardır. Anlaşılır olması için, 2. konum seçilirse, yani her iki arma da ikinci sıradaysa, bu Р (ОО) РРР'nin bir kombinasyonudur, 4. konum seçilirse - РРР (ОО) Р.
İstenen olasılık: P=m/n=5/64=0,078P=m/n=5/64=0,078.

Yöntem 3. Bernoulli formülü

Yazı tura atma genel problemini ele alalım.
nn madeni para atılsın (veya eşdeğer olarak, madeni para nn kez atılsın). Armanın tam olarak kk kez görünme olasılığını hesaplamamız gerekiyor.

Madeni para atışları bağımsız olaylar olduğundan (bir yazı tura atmanın sonucu sonraki atışları etkilemez), her atışta bir armanın düşme olasılığı aynıdır (ve p=1/2=0,5p=1/2=0,5'e eşittir), o zaman olasılığı hesaplamak için Bernoulli formülünü uygulayabiliriz:
P=Pn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=Ckn⋅(1/2)k⋅(1−1/2)n−k=Ckn⋅(1/2)n.
P=Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k=Cnk⋅(1/2)k⋅(1−1/2)n−k=Cnk⋅(1/2)n.
yani aldık Genel formül, "armanın nn üzerinden tam olarak kk kez görünme olasılığı nedir" sorusuna cevap verir (bunu üç eşdeğer biçimde yazacağız, sizin için uygun olanı seçin):
P=Ckn⋅(1/2)n=Ckn2n=Ckn⋅0.5n,Ckn=n!k!(n−k)!.
P=Cnk⋅(1/2)n=Cnk2n=Cnk⋅0.5n,Cnk=n!k!(n−k)!.
Ve şimdi tüm görevler armut bombardımanı kadar kolay çözülüyor, bakın!

Örnek 1. Rastgele bir deneyde, simetrik bir madeni para iki kez atılıyor. Yazıların tam olarak bir kez gelme olasılığını bulun.

n=2,k=1n=2,k=1 yerine koyun ve P=C12⋅(1/2)2=2⋅14=12=0,5.P=C21⋅(1/2)2=2⋅14=12=0,5 elde edin.

Örnek 4. Bir madeni para 4 kez atılıyor. Armanın 2 ila 3 kez görünme olasılığını bulun.

Bu, sorunu çözmenin üçüncü yolu!
n=4,k=2n=4,k=2 ve k=3k=3'ü yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
P=C24⋅(1/2)4+C34⋅(1/2)4=(6+4)⋅116=1016=0,625.
P=C42⋅(1/2)4+C43⋅(1/2)4=(6+4)⋅116=1016=0,625.
Örnek 7. Rastgele bir deneyde, simetrik bir madeni para üç kez atılıyor. Hiç tura gelmeme olasılığını bulun.

n=3,k=0n=3,k=0 yerine koyun ve P=C03⋅(1/2)3=1⋅18=18=0,125.P=C30⋅(1/2)3=1⋅18=18=0,125 elde edin.

Örnek 8. 8 madeni para atalım. En az 7 kez tura gelme olasılığını bulun.

n=8,k=7n=8,k=7 ve k=8k=8 yerine koyun ve elde edin
P=C88⋅(1/2)8+C78⋅(1/2)8=(1+8)⋅1256=9256=0,035.
P=C88⋅(1/2)8+C87⋅(1/2)8=(1+8)⋅1256=9256=0,035.
Böylece birini kullanarak en basit formül, birçok sorunu çözebilirsiniz ve 3 jeton veya 30 jeton atılması fark etmez, hesaplamaların karmaşıklığı yaklaşık olarak aynıdır. Ancak atış sayısı çok artarsa, burada bulabileceğiniz yaklaşık Moivre-Laplace formüllerini kullanmak daha uygundur.

Yazı tura atma bulmacaları oldukça zor kabul edilir. Ve bunları çözmeden önce küçük bir açıklama gerekiyor. Bir düşünün, olasılık teorisindeki herhangi bir görev nihayetinde standart formüle indirgenir:

p istenen olasılık, k bize uyan olay sayısı, n olası olayların toplam sayısıdır.

B6 problemlerinin çoğu bu formül kullanılarak tam anlamıyla tek satırda çözülür - sadece koşulu okuyun. Ancak yazı tura atma durumunda bu formül işe yaramaz çünkü bu tür problemlerin metninden k ve n sayılarının neye eşit olduğu hiç de net değil. Karmaşıklığın yattığı yer burasıdır.

Ancak, en az iki temel farklı yöntemçözümler:

1. Kombinasyonları numaralandırma yöntemi standart bir algoritmadır. Tüm yazı ve yazı kombinasyonları yazılır, ardından gerekli olanlar seçilir;
2. Özel olasılık formülü - madeni paralarla çalışmaya uygun olacak şekilde özel olarak yeniden yazılmış standart bir olasılık tanımı.

B6 problemini çözmek için her iki yöntemi de bilmeniz gerekir. Maalesef okullarda sadece birincisi öğretiliyor. Okul hatalarını tekrarlamayalım. O zaman hadi gidelim!

Kombinasyon numaralandırma yöntemi

Bu yöntem aynı zamanda "çığır açan karar" olarak da bilinir. Üç adımdan oluşur:

1. Tüm olası tura ve yazı kombinasyonlarını yazın. Örneğin: OR, RO, OO, RR. Bu tür kombinasyonların sayısı n'dir;
2. Elde edilen kombinasyonlar arasında, problemin durumunun gerektirdiği kombinasyonları not ediyoruz. İşaretli kombinasyonları sayıyoruz - k sayısını alıyoruz;
3. Olasılığı bulmak için kalır: p = k : n .

Ne yazık ki, bu yöntem yalnızca az sayıda atış için işe yarar. Çünkü her yeni atışta kombinasyon sayısı ikiye katlanıyor. Örneğin, 2 jeton için sadece 4 kombinasyon yazmanız gerekecek. 3 madeni para için zaten 8 tane var ve 4 - 16 için ve hata olasılığı% 100'e yaklaşıyor. Örneklere bir göz atın ve her şeyi kendiniz anlayacaksınız:

Görev. Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para 2 kez atılıyor. Aynı sayıda yazı ve tura gelme olasılığını bulun.

Yani madeni para iki kez atılıyor. Tüm olası kombinasyonları yazalım (O - baş, P - kuyruk):

Toplam n = 4 seçenek. Şimdi sorunun durumuna uygun seçenekleri yazıyoruz:

Böyle k = 2 seçenek vardı. Olasılığı buluyoruz:

Görev. Madeni para dört kez atılıyor. Hiç yazı gelmeme olasılığını bulun.

Yine, olası tüm yazı ve tura kombinasyonlarını yazıyoruz:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Toplamda n=16 seçenek vardır. Görünüşe göre hiçbir şeyi unutmamış. Bu seçeneklerden yalnızca içinde hiç kuyruk olmayan "OOOO" kombinasyonundan memnunuz. Bu nedenle, k = 1. Olasılığı bulmak için kalır:

Gördüğünüz gibi, son görevde 16 seçenek yazmam gerekti. Bunları tek bir hata yapmadan yazabileceğinden emin misin? Şahsen ben emin değilim. Öyleyse ikinci çözüme bakalım.

Özel Olasılık Formülü

Yani madeni paralarla ilgili problemlerde tescilli formül olasılıklar. O kadar basit ve önemli ki onu bir teorem haline getirmeye karar verdim. Bir göz at:

teorem. Madeni para n kez atılsın. Ardından, kafaların tam olarak k kez düşme olasılığı şu formülle bulunabilir:

C n k, aşağıdaki formülle hesaplanan k ile n elemanın kombinasyon sayısıdır:

Bu nedenle madeni para problemini çözmek için iki sayıya ihtiyaç vardır: atış sayısı ve tura sayısı. Çoğu zaman, bu sayılar doğrudan sorunun metninde verilir. Dahası, tam olarak neyin sayılacağı önemli değil: kuyruklar veya kartallar. Cevap aynı olacak.

İlk bakışta, teorem çok hantal görünüyor. Ancak biraz pratik yapmaya değer - ve artık yukarıda açıklanan standart algoritmaya geri dönmek istemezsiniz.

Görev. Madeni para dört kez atılıyor. Tam olarak üç kez tura gelme olasılığını bulun.

Problemin durumuna göre n = 4 toplam atış vardı Gerekli kafa sayısı: k = 3. Formülde n ve k'yi değiştirin:

Görev. Madeni para üç kez atılıyor. Hiç yazı gelmeme olasılığını bulun.

Yine n ve k sayılarını yazıyoruz. Madeni para 3 kez atıldığı için, n = 3. Ve yazı gelmemesi gerektiğinden, k = 0. Formülde n ve k sayılarını değiştirmek kalır:

Size 0 olduğunu hatırlatmama izin verin! = 1 tanım gereği. Bu nedenle C 3 0 = 1.

Görev. Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para 4 kez atılıyor. Turaların yazılardan daha fazla gelme olasılığını bulun.

Yazıdan daha fazla tura olması için ya 3 kez (o zaman 1 yazı olacak) veya 4 (o zaman hiç yazı olmayacak) düşmelidir. Bu olayların her birinin olasılığını bulalım.

3 kez tura gelme olasılığı p 1 olsun. O zaman n = 4, k = 3. Elimizde:

Şimdi p 2'yi buluyoruz - 4 kez tura düşme olasılığı. Bu durumda n = 4, k = 4. Elimizde:

Cevabı almak için, olasılıkları toplamaya devam ediyor p 1 ve p 2 . Unutmayın: yalnızca birbirini dışlayan olaylar için olasılıklar ekleyebilirsiniz. Sahibiz:

p \u003d p 1 + p 2 \u003d 0,25 + 0,0625 \u003d 0,3125

Bu nedenle, yakın eğlenceniz son derece faydalı olacaktır. Ek olarak, size neyin yanlış olduğunu söyleyeceğim ezici çoğunluk piyango ve kumar katılımcıları. ... Hayır, inanç veya "büyük ikramiyeyi vurmak" konusundaki zayıf umudun bununla kesinlikle hiçbir ilgisi yok ;-) Gözümüzü bile kırpmadan konuya dalıyoruz:

Ne oldu bağımsız testler ? Hemen hemen her şey ismin kendisinden açıktır. Birkaç test yapalım. Her birinde bazı olayların meydana gelme olasılığı ise bağlı değil testlerin geri kalanının sonuçlarından, o zaman ... cümleyi koro halinde bitiriyoruz =) Aferin. Aynı zamanda, "bağımsız testler" ifadesi genellikle şu anlama gelir: tekrarlanan bağımsız testler - birbiri ardına gerçekleştirildiklerinde.

En basit örnekler:
- bir madeni para 10 kez atılıyor;
- Bir zar 20 defa atılıyor.

Herhangi bir denemede tura veya yazı gelme olasılığının diğer zarların sonuçlarına bağlı olmadığı oldukça açıktır. Benzer bir ifade elbette küp için de geçerli.

Ancak kartların desteden sırayla çıkarılması, bir dizi bağımsız test değildir - hatırladığınız gibi, bu bir zincirdir. bağımlı olaylar. Ancak kart her seferinde iade edilirse durum “olması gerektiği gibi” olacaktır.

Memnun etmek için acele ediyorum - konuğumuz olarak başarılarına / başarısızlıklarına kesinlikle kayıtsız kalan ve bu nedenle şutları bir istikrar modelidir =):

Görev 1

Atıcı hedefe 4 el ateş eder. Her atışta isabet olasılığı sabittir ve eşittir. Şu olasılığı bulun:

a) atıcı yalnızca bir kez vuracaktır;
b) atıcı 2 kez vuracaktır.

Çözüm: koşul formüle edildi V Genel görünüm ve her atışta hedefi vurma olasılığı ünlü sayılır. O eşittir (gerçekten zorsa, parametreye bir parametre atayın. özel anlam, Örneğin,) .

Bildiğimiz anda, her atışta ıskalama olasılığını bulmak kolaydır:
, yani "ku" aynı zamanda bilinen miktar.

a) Bir olay düşünün "Atıcı yalnızca bir kez vurur" ve olasılığını şu şekilde gösterir: (endeksler "dörtte bir isabet" olarak anlaşılır). Bu etkinlik 4 uyumsuz sonuçtan oluşur: atıcı 1.'yi vuracak veya 2.'de veya 3.'de veya 4. denemede

10 madeni para atıldığında 3 madeni paranın tura gelme olasılığını bulunuz.

Burada testler tekrarlanmaz, bunun yerine eşzamanlı olarak gerçekleştirilir, ancak yine de aynı formül çalışır:

Çözüm, özellikle anlam ve bazı yorumlar açısından farklılık gösterecektir:
tura düşecek 3 jeton seçebileceğiniz yollar.
10 madeni paranın her birinde tura gelme olasılığıdır
vesaire.

Bununla birlikte, pratikte, bu tür sorunlar çok yaygın değildir ve görünüşe göre, bu nedenle, Bernoulli formülü neredeyse basmakalıp olarak yalnızca tekrarlanan testlerle ilişkilendirilir. Az önce gösterildiği gibi, yinelenebilirlik hiç de gerekli değildir.

için sonraki görev bağımsız çözüm:

Görev 3

Bir zar 6 kez atılıyor. 5 puan olma olasılığını bulun:

a) düşmez (0 kez düşecek);
b) 2 kez düşecek;
c) 5 kez bırak.

Sonuçları 4 ondalık basamağa yuvarlayın.

Hızlı Çözüm ve dersin sonunda cevap.

Açıktır ki, ele alınan örneklerde bazı olaylar daha olasıdır ve bazıları daha az olasıdır. Örneğin, zarın 6 kez atılmasıyla, herhangi bir hesaplama yapılmasa bile, "a" ve "be" noktalarının olaylarının olasılıklarının, "beş" in 5 kez düşme olasılığından çok daha yüksek olduğu sezgisel olarak açıktır. Şimdi bulmak için görevi ayarlayalım

Bağımsız denemelerde bir olayın EN YÜKSEK oluşum sayısı

Yine 3. Problemdeki sezgi düzeyinde, "beş" in en olası oluşum sayısının bire eşit olduğu sonucuna varabiliriz - sonuçta toplamda altı yüz vardır ve 6 zar atıldığında, her birinin ortalama olarak bir kez düşmesi gerekir. Dileyenler olasılığı hesaplayabilir ve "rakip" değerlerden büyük olup olmadığını görebilir ve .

Kesin bir kriter formüle edelim: bağımsız denemelerde rastgele bir olayın meydana gelme olasılığının en yüksek sayısını bulmak için (her denemede olasılıkla) aşağıdaki çifte eşitsizlik tarafından yönlendirilir:

, Ve:

1) değer kesirli ise, en olası tek bir sayı vardır;
özellikle, eğer bir tam sayı ise, o zaman en olası sayıdır: ;

2) if bir tamsayıdır, o zaman vardır iki en olası sayılar: ve .

6 zar atışında "beş"in en olası oluşum sayısı, özel durum ilk paragraf:

Malzemeyi pekiştirmek için birkaç sorunu çözeceğiz:

Görev 4

Bir basketbolcunun topu fırlatırken sepete vurma olasılığı 0,3'tür. 8 atışta en olası isabet sayısını ve buna karşılık gelen olasılığı bulun.

Ve bu, Terminatör değilse bile, en azından soğukkanlı bir atlet =)

Çözüm: en olası isabet sayısını tahmin etmek için çift eşitsizliği kullanırız . Bu durumda:

- toplam atış;
- her atışta sepete çarpma olasılığı;
her atışta ıskalama olasılığıdır.

Bu nedenle, 8 atıştaki en olası vuruş sayısı aşağıdaki sınırlar içindedir:

Sol kenarlık bir kesirli sayı olduğundan (madde 1), o zaman en olası tek bir değer vardır ve açıkça eşittir .

Bernoulli formülünü kullanma , 8 atışta tam olarak 2 vuruş olma olasılığını hesaplayın:

Cevap: - 8 atışla en olası vuruş sayısı,
karşılık gelen olasılıktır.

Bağımsız bir çözüm için benzer bir görev:

Görev 5

Madeni para 9 kez atılıyor. Bir kartalın en olası oluşum sayısının olasılığını bulun

Dersin sonunda örnek çözüm ve cevap.

Heyecan verici bir konudan sonra, birkaç probleme daha göz atalım ve ardından doğru oyunun sırrını paylaşacağım. kumar ve piyangolar.

Görev 6

Otomatik makinede üretilen ürünler arasında ortalama %60 oranında birinci sınıf ürünler bulunmaktadır. Rastgele seçilen 6 öğeden aşağıdakilerin olma olasılığı nedir?

a) 2 ila 4 birinci sınıf ürün;
b) birinci dereceden en az 5 ürün;
c) daha düşük kalitede en az bir ürün.

Birinci sınıf bir ürün üretme olasılığı, üretilen diğer ürünlerin kalitesine bağlı değildir, bu nedenle burada bağımsız testlerden bahsediyoruz. Durumun analizini ihmal etmemeye çalışın, aksi takdirde olaylar ortaya çıkabilir. bağımlı Veya sorun tamamen başka bir şeydir.

Çözüm: olasılık, yüzde olarak şifrelenir, size hatırlatırım, yüze bölünmesi gerekir: - seçilen ürünün 1. sınıf olma olasılığı.
O zaman: - birinci sınıf olmama olasılığı.

a) Olay “Rastgele seçilen 6 ürün arasında 2 ila 4 arasında birinci sınıf ürün olacak” birbiriyle bağdaşmayan üç sonuçtan oluşur:

ürünler arasında 2 adet birinci sınıf olacak veya 3 birinci sınıf veya 4 birinci sınıf.

Sonuçları ayrı ayrı ele almak daha uygundur. Bernoulli formülünü üç kez kullanıyoruz :

- gün boyunca altı bilgisayardan en az 5'inin hatasız çalışma olasılığı.

verilen değer bilgisayar merkezinin gerekli güvenilirliğinden daha az olduğu için bize de uymayacak:

Dolayısıyla altı bilgisayar da yeterli değil. Bir tane daha ekleyelim:

3) Bilgisayar merkezinde bilgisayarlar olsun. O zaman 5, 6 veya 7 bilgisayar hatasız çalışmalıdır. Bernoulli formülünü kullanarak ve uyumsuz olayların olasılıkları için toplama teoremi, gün boyunca yedi bilgisayardan en az 5'inin hatasız çalışma olasılığını buluyoruz.