Ev · Diğer · uyumsuz sistemler Genel çözümü olan sistemler. Özel kararlar. Doğrusal denklem sistemlerini çözmede üç durum

uyumsuz sistemler Genel çözümü olan sistemler. Özel kararlar. Doğrusal denklem sistemlerini çözmede üç durum

Bir doğrusal denklem sistemi, her biri k değişken içeren n doğrusal denklemin birleşimidir. Şöyle yazılır:

Birçoğu, ilk kez daha yüksek cebirle karşı karşıya kaldıklarında, yanlışlıkla denklem sayısının mutlaka değişken sayısıyla çakışması gerektiğine inanır. Okul cebirinde bu genellikle böyledir, ancak daha yüksek cebir için bu, genel olarak doğru değildir.

Bir denklem sisteminin çözümü, sistemin her denkleminin çözümü olan bir sayı dizisidir (k 1 , k 2 , ..., k n ), yani bu denklemde x 1 , x 2 , ... değişkenleri yerine ikame edildiğinde, x n doğru sayısal eşitliği verir.

Buna göre, bir denklem sistemini çözmek, tüm çözümlerinin kümesini bulmak veya bu kümenin boş olduğunu kanıtlamak anlamına gelir. Denklem sayısı ile bilinmeyen sayısı aynı olmayabileceğinden, üç durum mümkündür:

  1. Sistem tutarsız, yani tüm çözümlerin kümesi boştur. Sistemi çözmek için hangi yöntemden bağımsız olarak kolayca tespit edilen oldukça nadir bir durum.
  2. Sistem tutarlı ve tanımlıdır, örn. tam olarak bir çözümü vardır. Okuldan beri iyi bilinen klasik versiyon.
  3. Sistem tutarlı ve tanımsızdır, yani sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu en zor seçenektir. "Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır" demek yeterli değildir - bu kümenin nasıl düzenlendiğini açıklamak gerekir.

x i değişkeni, sistemin yalnızca bir denkleminde yer alıyorsa ve katsayısı 1 ise izin verilir olarak adlandırılır. Diğer bir deyişle, kalan denklemlerde x i değişkeninin katsayısı sıfıra eşit olmalıdır.

Her denklemde izin verilen bir değişken seçersek, tüm denklem sistemi için izin verilen değişkenler kümesini elde ederiz. Bu formda yazılan sistemin kendisine de izin verilir. Genel olarak konuşursak, bir ve aynı başlangıç ​​sistemi farklı izin verilen sistemlere indirgenebilir, ancak bu bizi şimdi ilgilendirmiyor. İşte izin verilen sistem örnekleri:

x1 , x3 ve x4 değişkenlerine göre her iki sisteme de izin verilir. Ancak aynı başarı ile x 1 , x 3 ve x 5'e göre ikinci sisteme izin verildiği söylenebilir. Son denklemi x 5 = x 4 şeklinde yeniden yazmak yeterlidir.

Şimdi daha genel bir durumu ele alalım. Toplamda r'ye izin verilen k değişkenimiz olduğunu varsayalım. O zaman iki durum mümkündür:

  1. İzin verilen değişken sayısı r, toplam değişken sayısına eşittir k : r = k . R = k'nin değişkenlere izin verdiği bir k denklem sistemi elde ederiz. Böyle bir sistem işbirlikçi ve kesindir, çünkü x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
  2. İzin verilen değişken sayısı r, toplam değişken sayısından azdır k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dolayısıyla, yukarıdaki sistemlerde x 2 , x 5 , x 6 (birinci sistem için) ve x 2 , x 5 (ikinci sistem için) değişkenleri serbesttir. Serbest değişkenlerin olduğu durum, bir teorem olarak daha iyi formüle edilir:

Lütfen dikkat: bu çok önemli bir nokta! Ortaya çıkan sistemi nasıl yazdığınıza bağlı olarak, aynı değişkene hem izin verilebilir hem de serbest bırakılabilir. Çoğu ileri düzey matematik öğretmeni, değişkenleri sözlük sırasına göre yazmayı önerir; artan indeks Ancak, bu tavsiyeye hiç uymak zorunda değilsiniz.

teorem. n denklem sisteminde x 1 , x 2 , ..., x r değişkenlerine izin veriliyorsa ve x r + 1 , x r + 2 , ..., x k serbestse, o zaman:

  1. Serbest değişkenlerin (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ) değerlerini ayarlarsak ve ardından x 1 , x 2 , ..., x r değerlerini bulursak, çözümlerden birini elde ederiz.
  2. İki çözümdeki serbest değişkenlerin değerleri aynıysa, izin verilen değişkenlerin değerleri de aynıdır, yani. çözümler eşittir.

Bu teoremin anlamı nedir? İzin verilen denklem sisteminin tüm çözümlerini elde etmek için, serbest değişkenleri ayırmak yeterlidir. Ardından serbest değişkenlere farklı değerler atayarak hazır çözümler elde ederiz. Hepsi bu kadar - bu şekilde sistemin tüm çözümlerini elde edebilirsiniz. Başka çözümler yok.

Sonuç: izin verilen denklem sistemi her zaman tutarlıdır. İzin verilen sistemdeki denklem sayısı değişken sayısına eşit ise sistem belirli, az ise belirsiz olacaktır.

Ve her şey yoluna girecek, ancak şu soru ortaya çıkıyor: Çözülmüş olanı orijinal denklem sisteminden nasıl elde edebilirim? Bunun için var

Bir lineer yaş denklemleri sistemini (SLAE) uyumluluk açısından araştırmak, bu sistemin çözümleri olup olmadığını bulmak anlamına gelir. Pekala, çözümler varsa, o zaman kaç tanesini belirtin.

"Doğrusal cebirsel denklem sistemi. Temel terimler. Matris notasyonu" konusundan bilgiye ihtiyacımız olacak. Kronecker-Capelli teoreminin formülasyonu bunlara dayandığından, özellikle sistemin matrisi ve sistemin genişletilmiş matrisi gibi kavramlara ihtiyaç vardır. Her zaman olduğu gibi, sistemin matrisi $A$ harfiyle ve sistemin genişletilmiş matrisi $\widetilde(A)$ harfiyle gösterilecektir.

Kronecker-Capelli teoremi

Bir lineer cebirsel denklemler sistemi, ancak ve ancak sistemin matrisinin rankı sistemin genişletilmiş matrisinin rankına eşitse tutarlıdır, yani $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

En az bir çözümü olan bir sisteme eklem denildiğini hatırlatmama izin verin. Kronecker-Capelli teoremi şunu söylüyor: eğer $\rang A=\rang\widetilde(A)$ ise, o zaman bir çözüm vardır; $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ise, bu SLAE'nin çözümü yoktur (tutarsızdır). Bu çözümlerin sayısı ile ilgili sorunun cevabı, Kronecker-Capelli teoreminin bir sonucu olarak verilmektedir. Sonuç bildirimi, verilen SLAE'deki değişken sayısına eşit olan $n$ harfini kullanır.

Kronecker-Capelli teoreminden sonuç

  1. $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ise, SLAE tutarsızdır (çözümsüzdür).
  2. $\rang A=\rang\widetilde(A) ise< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
  3. $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$ ise, SLAE kesindir (tam olarak bir çözümü vardır).

Formüle edilmiş teoremin ve sonucunun SLAE'nin çözümünün nasıl bulunacağını göstermediğine dikkat edin. Onların yardımıyla, yalnızca bu çözümlerin var olup olmadığını ve varsa kaç tane olduğunu öğrenebilirsiniz.

Örnek 1

Tutarlılık için SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned)\right.$'ı inceleyin. SLAE tutarlıysa, çözüm sayısını belirtin.

Belirli bir SLAE'nin çözümlerinin varlığını bulmak için Kronecker-Capelli teoremini kullanırız. $A$ sisteminin matrisine ve $\widetilde(A)$ sisteminin genişletilmiş matrisine ihtiyacımız var, bunları yazıyoruz:

$$ A=\left(\begin(dizi) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(dizi) \sağ);\; \widetilde(A)=\left(\begin(dizi) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(dizi) \sağ). $$

$\rang A$ ve $\rang\widetilde(A)$ bulmamız gerekiyor. Bunu yapmanın birçok yolu vardır ve bunlardan bazıları Matrix Rank bölümünde listelenmiştir. Genellikle, bu tür sistemleri incelemek için iki yöntem kullanılır: "Tanıma göre bir matrisin sırasının hesaplanması" veya "Temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasının hesaplanması".

Yöntem numarası 1. Tanıma göre sıralamaların hesaplanması.

Tanıma göre, sıra, matrisin küçüklerinin en yüksek sırasıdır ve aralarında sıfırdan en az bir tane vardır. Genellikle çalışma birinci dereceden minörlerle başlar, ancak burada hemen $A$ matrisinin üçüncü dereceden minörünün hesaplanmasına geçmek daha uygundur. Üçüncü dereceden minörün elemanları, incelenen matrisin üç satırının ve üç sütununun kesişme noktasındadır. $A$ matrisi yalnızca 3 satır ve 3 sütun içerdiğinden, $A$ matrisinin üçüncü dereceden minörü $A$ matrisinin determinantıdır, yani $\DeltaA$. Determinantı hesaplamak için "İkinci ve üçüncü dereceden determinantları hesaplamak için formüller" konusundan 2 numaralı formülü uyguluyoruz:

$$ \Delta A=\sol| \begin(dizi) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(dizi) \right|=-21. $$

Yani, $A$ matrisinin sıfıra eşit olmayan üçüncü dereceden bir minörü vardır. 4. dereceden bir minör oluşturulamaz, çünkü 4 satır ve 4 sütun gerektirir ve $A$ matrisi yalnızca 3 satır ve 3 sütuna sahiptir. Dolayısıyla, aralarında sıfır olmayan en az bir tane bulunan $A$ matrisinin küçüklerin en yüksek sırası 3'e eşittir. Bu nedenle, $\rang A=3$.

Ayrıca $\rang\widetilde(A)$'ı bulmamız gerekiyor. $\widetilde(A)$ matrisinin yapısına bakalım. $\widetilde(A)$ matrisindeki satıra kadar $A$ matrisinin elemanları vardır ve $\Delta A\neq 0$ olduğunu bulduk. Bu nedenle, $\widetilde(A)$ matrisinin sıfıra eşit olmayan üçüncü dereceden bir minörü vardır. $\widetilde(A)$ matrisinin dördüncü dereceden minörlerini oluşturamayız, dolayısıyla şu sonuca varırız: $\rang\widetilde(A)=3$.

Kronecker-Capelli teoremine göre $\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, sistem tutarlıdır, yani bir çözümü vardır (en az bir). Çözüm sayısını belirtmek için, SLAE'mizin 3 bilinmeyen içerdiğini dikkate alıyoruz: $x_1$, $x_2$ ve $x_3$. Bilinmeyenlerin sayısı $n=3$ olduğu için şu sonuca varıyoruz: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, dolayısıyla Kronecker-Capelli teoreminin sonucuna göre sistem kesindir, yani benzersiz bir çözümü vardır.

Sorun çözüldü. Bu yöntemin dezavantajları ve avantajları nelerdir? İlk olarak, profesyonellerden bahsedelim. İlk olarak, sadece bir determinant bulmamız gerekiyordu. Bundan sonra, çözümlerin sayısı hakkında hemen bir sonuca vardık. Genellikle, standart tipik hesaplamalarda, üç bilinmeyen içeren ve tek bir çözümü olan denklem sistemleri verilir. Bu tür sistemler için bu yöntem çok uygundur çünkü önceden bir çözüm olduğunu biliyoruz (aksi takdirde tipik bir hesaplamada örnek olmazdı). Onlar. sadece çözümün varlığını en hızlı şekilde göstermemiz gerekiyor. İkinci olarak, sistem matrisinin determinantının (yani $\Delta A$) hesaplanan değeri daha sonra kullanışlı olacaktır: verilen sistemi Cramer yöntemini veya ters matrisi kullanarak çözmeye başladığımızda.

Bununla birlikte, tanım gereği, sistem matrisi $A$ dikdörtgen ise sıralamayı hesaplama yöntemi istenmez. Bu durumda, aşağıda tartışılacak olan ikinci yöntemi uygulamak daha iyidir. Ayrıca $\Delta A=0$ ise, verilen homojen olmayan bir SLAE için çözüm sayısı hakkında bir şey söyleyemeyiz. Belki SLAE'nin sonsuz sayıda çözümü vardır veya belki de hiçbiri yoktur. $\Delta A=0$ ise, genellikle külfetli olan ek araştırma gerekir.

Söylenenleri özetleyerek, ilk yöntemin sistem matrisi kare olan SLAE'ler için iyi olduğunu not ediyorum. Aynı zamanda, SLAE'nin kendisi üç veya dört bilinmeyen içerir ve standart standart hesaplamalardan veya kontrol çalışmalarından alınır.

Yöntem numarası 2. Sıralamanın temel dönüşümler yöntemiyle hesaplanması.

Bu yöntem, ilgili konuda ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. $\widetilde(A)$ matrisinin rankını hesaplayacağız. Neden $\widetilde(A)$ matrisleri $A$ değil? Mesele şu ki, $A$ matrisi $\widetilde(A)$ matrisinin bir parçasıdır, dolayısıyla $\widetilde(A)$ matrisinin rankını hesaplayarak aynı anda $A$ matrisinin rankını bulacağız.

\begin(hizalı) &\widetilde(A) =\left(\begin(dizi) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(dizi) \sağ) \rightarrow \left|\text(birinci ve ikinci satırları değiştir)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(dizi) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(dizi) \sağ) \begin(dizi) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(dizi) \rightarrow \ left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(dizi) ) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(dizi) \sağ) \end(hizalı)

$\widetilde(A)$ matrisini yamuk biçime indirgedik. Ortaya çıkan matrisin $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right)$ ana köşegeninde sıfır olmayan üç öğe vardır: -1, 3 ve -7. Sonuç: $\widetilde(A)$ matrisinin sıralaması 3'tür, yani $\rank\widetilde(A)=3$. $\widetilde(A)$ matrisinin elemanları ile dönüşümler yaparak, satırdan önce bulunan $A$ matrisinin elemanlarını eş zamanlı olarak dönüştürdük. $A$ matrisi de yamuktur: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right)$. Sonuç: $A$ matrisinin sıralaması da 3'e eşittir, yani $\sıra A=3$.

Kronecker-Capelli teoremine göre $\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, sistem tutarlıdır, yani bir çözümü var. Çözüm sayısını belirtmek için, SLAE'mizin 3 bilinmeyen içerdiğini dikkate alıyoruz: $x_1$, $x_2$ ve $x_3$. Bilinmeyenlerin sayısı $n=3$ olduğu için şu sonuca varırız: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, bu nedenle, Kronecker-Capelli teoreminin sonucuna göre sistem tanımlanır, yani. benzersiz bir çözümü vardır.

İkinci yöntemin avantajları nelerdir? Başlıca avantajı çok yönlülüğüdür. Sistemin matrisinin kare olup olmaması bizim için önemli değil. Ayrıca Gauss yönteminin ileriye dönük dönüşümlerini fiilen gerçekleştirdik. Sadece birkaç adım kaldı ve bu SLAE'nin çözümünü bulabiliriz. Dürüst olmak gerekirse, ikinci yolu birinciden daha çok seviyorum ama seçim bir zevk meselesi.

Cevap: Verilen SLAE tutarlıdır ve tanımlanmıştır.

Örnek 2

SLAE'yi keşfedin $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end(al ign ed) \right.$ tutarlılık için.

Sistem matrisinin derecelerini ve sistemin genişletilmiş matrisini temel dönüşümler yöntemiyle bulacağız. Genişletilmiş sistem matrisi: $\widetilde(A)=\left(\begin(dizi) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Sistemin artırılmış matrisini dönüştürerek gerekli sıraları bulalım:

Sistemin genişletilmiş matrisi basamaklı bir forma indirgenmiştir. Matris kademeli bir forma indirgenirse, sıralaması sıfır olmayan satırların sayısına eşittir. Bu nedenle, $\rank A=3$. $A$ matrisi (çizgiye kadar) yamuk forma indirgenmiştir ve rankı 2'ye eşittir, $\rang A=2$.

$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarsızdır (yani çözümü yoktur).

Cevap: Sistem tutarsız.

Örnek 3

SLAE'yi Keşfedin $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_ 4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(hizalı) \right.$ uyumluluk için.

Genişletilmiş sistem matrisi: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -1 7 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(dizi) \sağ)$. Bu matrisin birinci ve ikinci satırlarını, birinci satırın ilk elemanı bir olacak şekilde değiştirin: \ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Sistemin genişletilmiş matrisini ve sistemin kendisinin matrisini yamuk bir forma indirdik. Sistemin genişletilmiş matrisinin rankı üçe eşittir, sistemin matrisinin rankı da üçe eşittir. Sistem $n=5$ bilinmeyen içerdiğinden, yani $\rang\widetilde(A)=\rank A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Cevap: sistem belirsizdir.

İkinci bölümde, yüksek matematikte standart hesaplamalara veya testlere sıklıkla dahil edilen örnekleri analiz edeceğiz: uyumluluk çalışması ve içinde yer alan parametrelerin değerlerine bağlı olarak SLAE'nin çözümü.

Bununla birlikte, pratikte iki vaka daha yaygındır:

– Sistem tutarsız (çözüm yok);
Sistem tutarlıdır ve sonsuz sayıda çözümü vardır.

Not : "tutarlılık" terimi, sistemin en azından bir miktar çözümü olduğunu ima eder. Bir dizi görevde, sistemin uyumluluk açısından önceden incelenmesi gerekir, bunun nasıl yapılacağı - hakkındaki makaleye bakın matris sıralaması.

Bu sistemler için, tüm çözüm yöntemlerinin en evrensel olanı kullanılır - Gauss yöntemi. Aslında, "okul" yöntemi de cevaba yol açacaktır, ancak daha yüksek matematikte, bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması için Gauss yöntemini kullanmak gelenekseldir. Gauss yöntemi algoritmasına aşina olmayanlar, lütfen önce dersi çalışın. mankenler için gauss yöntemi.

Temel matris dönüşümlerinin kendileri tamamen aynıdır, fark çözümün sonunda olacaktır. İlk olarak, sistemin çözümü olmayan (tutarsız) birkaç örneği ele alalım.

örnek 1

Bu sistemde hemen gözünüze çarpan nedir? Denklem sayısı değişken sayısından azdır. Denklem sayısı değişken sayısından az ise, o zaman hemen sistemin ya tutarsız olduğunu ya da sonsuz sayıda çözümü olduğunu söyleyebiliriz. Ve sadece öğrenmek için kalır.

Çözümün başlangıcı oldukça sıradan - sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getiriyoruz:

(1) Sol üst adımda +1 veya -1 almamız gerekiyor. İlk sütunda böyle bir sayı yoktur, bu nedenle satırları yeniden düzenlemek işe yaramaz. Birim bağımsız olarak organize edilmelidir ve bu birkaç şekilde yapılabilir. Bunu yaptım: İlk satıra üçüncü satırı -1 ile çarparak ekleyin.

(2) Şimdi ilk sütunda iki sıfır alıyoruz. İkinci satıra birinci satırın 3 ile çarpımını ekliyoruz. Üçüncü satıra ilk satırın 5 ile çarpımını ekliyoruz.

(3) Dönüşüm yapıldıktan sonra, ortaya çıkan dizileri basitleştirmenin mümkün olup olmadığını görmek her zaman tavsiye edilir. Olabilmek. İkinci satırı 2'ye bölüyoruz, aynı zamanda ikinci adımda istenen -1'i alıyoruz. Üçüncü satırı -3'e bölün.

(4) İkinci satırı üçüncü satıra ekleyin.

Muhtemelen herkes, temel dönüşümlerin bir sonucu olarak ortaya çıkan kötü çizgiye dikkat etti: . Bunun böyle olamayacağı açıktır. Aslında, ortaya çıkan matrisi yeniden yazıyoruz doğrusal denklem sistemine geri dönelim:

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, formun bir dizisi elde edilirse, burada sıfır olmayan bir sayı, o zaman sistem tutarsızdır (çözüm yoktur) .

Bir görevin sonu nasıl kaydedilir? Beyaz tebeşirle çizelim: "temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, formun bir çizgisi elde edilir, nerede" ve cevabı verelim: sistemin çözümü yok (tutarsız).

Duruma göre sistemin uyumluluk açısından KEŞFEDİLMESİ gerekiyorsa, o zaman konsepti içeren daha sağlam bir üslupla çözüm üretmek gerekir. matris sıralaması ve Kronecker-Capelli teoremi.

Lütfen burada Gauss algoritmasının ters hareketi olmadığına dikkat edin - çözüm yok ve bulunacak hiçbir şey yok.

Örnek 2

Doğrusal denklem sistemini çözme

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Sizin çözüm yolunuz benim çözüm yolumdan farklı olabilir, Gauss algoritmasının güçlü bir “katılığı” olmadığını tekrar hatırlatırım.

Çözümün bir teknik özelliği daha: temel dönüşümler durdurulabilir Bir kerede, nerede gibi bir satır en kısa sürede . Koşullu bir örnek ele alalım: İlk dönüşümden sonra bir matris elde ettiğimizi varsayalım. . Matris henüz kademeli bir forma indirgenmemiştir, ancak formun bir çizgisi göründüğü için daha fazla temel dönüşüme gerek yoktur, burada . Sistemin uyumsuz olduğu hemen cevaplanmalıdır.

Bir doğrusal denklem sisteminin çözümü olmadığında, bu neredeyse bir hediyedir, çünkü bazen tam anlamıyla 2-3 adımda kısa bir çözüm elde edilir.

Ancak bu dünyadaki her şey dengelidir ve sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu problem sadece daha uzundur.

Örnek 3

Doğrusal denklem sistemini çözme

4 denklem ve 4 bilinmeyen vardır, bu nedenle sistemin tek bir çözümü olabilir veya hiç çözümü olmayabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Her ne ise, ama Gauss yöntemi her halükarda bizi cevaba götürecektir. Çok yönlülüğü burada yatıyor.

Başlangıç ​​yine standarttır. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu bir adım formuna getiriyoruz:

Hepsi bu ve sen korkuyordun.

(1) İlk sütundaki tüm sayıların 2'ye bölünebilir olduğuna dikkat edin, bu nedenle sol üst basamakta 2 olması uygundur. İkinci satıra ilk satırı -4 ile çarparak ekleriz. Üçüncü satıra ilk satırı -2 ile çarparak ekleriz. Dördüncü satıra ilk satırı -1 ile çarparak ekleriz.

Dikkat! Birçoğu dördüncü satırdan baştan çıkarılabilir çıkarmakİlk satır. Bu yapılabilir, ancak gerekli değildir, deneyim, hesaplamalarda hata olasılığının birkaç kat arttığını göstermektedir. Sadece toplayın: Dördüncü satıra, ilk satırı ekleyin, -1 ile çarpın - Kesinlikle!

(2) Son üç satır orantılıdır, ikisi silinebilir.

Burada tekrar göstermek gerekir. artan dikkat, ancak çizgiler gerçekten orantılı mı? Reasürans için (özellikle bir çaydanlık için), ikinci satırı -1 ile çarpmak ve dördüncü satırı 2'ye bölerek üç özdeş satır elde etmek gereksiz olmaz. Ve ancak bundan sonra ikisini çıkarın.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, sistemin genişletilmiş matrisi basamaklı bir forma indirgenir:

Defterde bir görevi tamamlarken, netlik için aynı notları kurşun kalemle yapmanız önerilir.

Karşılık gelen denklem sistemini yeniden yazıyoruz:

Sistemin “alışılmış” tek çözümü burada kokmuyor. Kötü bir çizgi de yok. Bu, bunun kalan üçüncü durum olduğu anlamına gelir - sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Bazen, duruma göre, sistemin uyumluluğunu araştırmak gerekir (yani, bir çözümün var olduğunu kanıtlamak için), bunu makalenin son paragrafında okuyabilirsiniz. Bir matrisin rankı nasıl bulunur? Ama şimdilik, temelleri inceleyelim:

Sistemin sonsuz çözüm kümesi kısaca şu şekilde yazılır: genel sistem çözümü .

Gauss yönteminin ters hareketini kullanarak sistemin genel çözümünü bulacağız.

Öncelikle hangi değişkenlere sahip olduğumuzu belirlememiz gerekiyor. temel ve hangi değişkenler özgür. Doğrusal cebirin terimleriyle uğraşmaya gerek yok, böyle olduğunu hatırlamak yeterli. temel değişkenler Ve serbest değişkenler.

Temel değişkenler her zaman kesinlikle matrisin basamaklarına "oturur".
Bu örnekte, temel değişkenler ve

Serbest değişkenler her şeydir geriye kalan adım atmayan değişkenler. Bizim durumumuzda bunlardan iki tane var: - serbest değişkenler.

şimdi ihtiyacın var Tüm temel değişkenler ifade etmek sadece aracılığıyla serbest değişkenler.

Gauss algoritmasının ters hareketi geleneksel olarak aşağıdan yukarıya doğru çalışır.
Sistemin ikinci denkleminden temel değişkeni ifade ediyoruz:

Şimdi ilk denkleme bakın: . İlk olarak, bulunan ifadeyi bunun yerine koyarız:

Geriye temel değişkeni serbest değişkenler cinsinden ifade etmek kalır:

Sonuç, ihtiyacınız olan şeydir - Tüm temel değişkenler ( ve ) ifade edilir sadece aracılığıylaücretsiz değişkenler:

Aslında, genel çözüm hazır:

Genel çözüm nasıl yazılır?
Serbest değişkenler genel çözüme "kendi başlarına" ve kesinlikle yerlerine yazılır. Bu durumda serbest değişkenler ikinci ve dördüncü pozisyonlara yazılmalıdır:
.

Temel değişkenler için sonuç ifadeleri ve açıkçası birinci ve üçüncü pozisyonlara yazılması gerekiyor:

Serbest değişkenler vermek keyfi değerler, sonsuz sayıda var özel kararlar. Belirli bir çözüm elde edilmesi en kolay olduğu için en popüler değerler sıfırlardır. Genel çözümde ikame edin:

özel bir karardır.

Birler başka bir tatlı çift, hadi genel çözümde yerine koyalım:

başka bir özel çözümdür.

Denklem sisteminin olduğunu görmek kolaydır. sonsuz sayıda çözüm(serbest değişkenler verebileceğimiz için herhangi değerler)

Her biri belirli bir çözüm tatmin etmelidir her birine sistem denklemi. Bu, çözümün doğruluğunun "hızlı" kontrolünün temelidir. Örneğin, belirli bir çözümü alın ve orijinal sistemdeki her denklemin sol tarafına koyun:

Her şey bir araya gelmeli. Ve elde ettiğiniz herhangi bir özel çözümle, her şey aynı zamanda birleşmelidir.

Ancak, kesin konuşmak gerekirse, belirli bir çözümün doğrulanması bazen yanıltıcıdır; bazı özel çözümler sistemin her denklemini karşılayabilir ve genel çözümün kendisi aslında yanlış bulunur.

Bu nedenle, genel çözümün doğrulanması daha kapsamlı ve güvenilirdir. Ortaya çıkan genel çözüm nasıl kontrol edilir ?

Kolay, ama oldukça sıkıcı. ifade almamız gerekiyor temel değişkenler, bu durumda ve , ve bunları sistemin her denkleminin sol tarafına yerleştirin.

Sistemin ilk denkleminin sol tarafında:


Sistemin ikinci denkleminin sol tarafında:


Orijinal denklemin sağ tarafı elde edilir.

Örnek 4

Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözün. Genel bir çözüm ve iki özel çözüm bulun. Genel çözümü kontrol edin.

Bu bir kendin yap örneğidir. Burada, bu arada, yine denklem sayısı bilinmeyen sayısından azdır, bu da sistemin ya tutarsız ya da sonsuz sayıda çözümle olacağı hemen belli olduğu anlamına gelir. Karar sürecinin kendisinde önemli olan nedir? Dikkat ve yine dikkat. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ve malzemeyi güçlendirmek için birkaç örnek daha

Örnek 5

Doğrusal denklem sistemini çözün. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa, iki özel çözüm bulun ve genel çözümü kontrol edin.

Çözüm: Sistemin artırılmış matrisini yazalım ve elementer dönüşümler yardımıyla basamak formuna getirelim:

(1) Birinci satırı ikinci satıra ekleyin. Üçüncü satıra birinci satırın 2 ile çarpımını ekliyoruz. Dördüncü satıra ilk satırın 3 ile çarpımını ekliyoruz.
(2) Üçüncü satıra, ikinci satırı -5 ile çarparak ekleyin. Dördüncü satıra ikinci satırı -7 ile çarparak ekleriz.
(3) Üçüncü ve dördüncü satırlar aynı, birini siliyoruz.

İşte böyle bir güzellik:

Temel değişkenler basamaklara oturur, dolayısıyla temel değişkenlerdir.
Adım almayan yalnızca bir serbest değişken vardır:

Ters hareket:
Temel değişkenleri serbest değişken cinsinden ifade ediyoruz:
Üçüncü denklemden:

İkinci denklemi ele alın ve bulunan ifadeyi yerine koyun:


İlk denklemi düşünün ve bulunan ifadeleri yerine koyun:

Evet, sıradan kesirleri sayan bir hesap makinesi hala kullanışlıdır.

Yani genel çözüm:

Bir kez daha, nasıl oldu? Serbest değişken, haklı dördüncü sırasına tek başına oturur. Temel değişkenler için ortaya çıkan ifadeler de sıra yerlerini aldı.

Hemen genel çözümü kontrol edelim. Siyahlar için çalış, ama ben zaten yaptım, öyleyse yakala =)

Sistemin her denkleminin sol tarafına üç karakter , , koyuyoruz:

Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece genel çözüm doğru bulunur.

Şimdi bulunan genel çözümden iki özel çözüm elde ederiz. Buradaki şef tek serbest değişkendir. Kafanı kırmana gerek yok.

izin ver o zaman özel bir karardır.
izin ver o zaman başka bir özel çözümdür.

Cevap: Ortak karar: , özel çözümler: , .

Buradaki siyahları boşuna hatırladım ... ... çünkü aklıma her türlü sadist güdü geldi ve beyaz tulumlu Ku Klux Klansmen'in sahada siyah bir futbolcunun ardından koştuğu ünlü fotozhaba'yı hatırladım. Oturup sessizce gülümsüyorum. Ne kadar dikkat dağıtıcı olduğunu biliyorsun….

Çok fazla matematik zararlıdır, bu nedenle bağımsız bir çözüm için benzer bir son örnek.

Örnek 6

Doğrusal denklem sisteminin genel çözümünü bulun.

Genel çözümü zaten kontrol ettim, cevaba güvenilebilir. Sizin çözümünüz benim çözümümden farklı olabilir, asıl önemli olan genel çözümlerin uyuşmasıdır.

Muhtemelen, çoğu kişi çözümlerde hoş olmayan bir an fark etmiştir: çok sık olarak, Gauss yönteminin tersi sırasında, sıradan kesirler ile oynamak zorunda kaldık. Uygulamada bu doğrudur, kesirlerin olmadığı durumlar çok daha az yaygındır. Zihinsel olarak ve en önemlisi teknik olarak hazırlanın.

Çözülmüş örneklerde bulunmayan çözümün bazı özellikleri üzerinde duracağım.

Sistemin genel çözümü bazen bir sabit (veya sabitler) içerebilir, örneğin: . Burada temel değişkenlerden biri sabit bir sayıya eşittir: . Bunda egzotik bir şey yok, oluyor. Açıkçası, bu durumda, herhangi bir özel çözüm ilk konumda beş içerecektir.

Nadiren, ancak içinde bulunduğu sistemler vardır. denklem sayısı değişken sayısından fazladır. Gauss yöntemi en ağır koşullarda çalışır, standart algoritmaya göre sistemin genişletilmiş matrisini sakin bir şekilde kademeli bir forma getirmelisiniz. Böyle bir sistem tutarsız olabilir, sonsuz sayıda çözümü olabilir ve garip bir şekilde benzersiz bir çözümü olabilir.

Bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi olarak da adlandırılan Gauss yöntemi aşağıdakilerden oluşur. Temel dönüşümleri kullanarak, lineer denklem sistemi, katsayı matrisinin şu şekilde olduğu bir forma getirilir: yamuk (üçgen veya basamaklı ile aynı) veya yamuğa yakın (o zaman Gauss yönteminin doğrudan seyri - sadece doğrudan bir hareket). Böyle bir sistemin bir örneği ve çözümü yukarıdaki şekilde gösterilmiştir.

Böyle bir sistemde, son denklem sadece bir değişken içerir ve değeri benzersiz olarak bulunabilir. Daha sonra bu değişkenin değeri önceki denklemde yerine konur ( Gauss tersi , sonra - önceki değişkenin bulunduğu sadece bir ters hareket) vb.

Yamuk (üçgen) bir sistemde, gördüğümüz gibi, üçüncü denklem artık değişkenleri içermez. y Ve X ve ikinci denklem - değişken X .

Sistemin matrisi yamuk şeklini aldıktan sonra, sistemin uyumluluğu sorununu çözmek, çözüm sayısını belirlemek ve çözümü kendisinin bulmak artık zor değil.

Yöntemin avantajları:

  1. üçten fazla denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken, Gauss yöntemini çözerken daha az hesaplama gerektiğinden, Gauss yöntemi Cramer yöntemi kadar zahmetli değildir;
  2. Gauss yöntemini kullanarak, belirsiz doğrusal denklem sistemlerini, yani ortak bir çözüme sahip olarak çözebilirsiniz (ve bunları bu derste analiz edeceğiz) ve Cramer yöntemini kullanarak, yalnızca sistemin belirsiz olduğunu belirtebilirsiniz;
  3. bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olmadığı doğrusal denklem sistemlerini çözebilirsiniz (bu derste onları da analiz edeceğiz);
  4. yöntem, ilköğretim (okul) yöntemlerine dayanmaktadır - bilinmeyenleri değiştirme yöntemi ve ilgili makalede değindiğimiz denklem ekleme yöntemi.

Herkesin yamuk (üçgen, adım) lineer denklem sistemlerinin çözüldüğü basitlikle aşılanması için, böyle bir sistemin çözümünü ters vuruş kullanarak sunuyoruz. Bu sisteme hızlı bir çözüm dersin başında resimde gösterilmiştir.

örnek 1 Ters hareketi kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bu yamuk sistemde, değişken z benzersiz olarak üçüncü denklemden bulunur. Değerini ikinci denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız. y:

Artık iki değişkenin değerlerini biliyoruz - z Ve y. Bunları ilk denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız. X:

Önceki adımlardan, denklem sisteminin çözümünü yazıyoruz:

Çok basit bir şekilde çözdüğümüz böyle bir yamuk lineer denklem sistemini elde etmek için, lineer denklem sisteminin temel dönüşümleriyle ilişkili doğrudan bir hareket uygulamak gerekir. Ayrıca çok da zor değil.

Bir doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleri

Okulun sistem denklemlerinin cebirsel toplama yöntemini tekrarlayarak, sistemin denklemlerinden birine sistemin başka bir denkleminin eklenebileceğini ve denklemlerin her birinin bazı sayılarla çarpılabileceğini bulduk. Sonuç olarak, verilene eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz. İçinde, bir denklem zaten yalnızca bir değişken içeriyordu ve değerini diğer denklemlerle değiştirerek bir çözüme ulaştık. Bu tür ekleme, sistemin temel dönüşüm türlerinden biridir. Gauss yöntemini kullanırken, birkaç tür dönüşüm kullanabiliriz.

Yukarıdaki animasyon, denklem sisteminin nasıl kademeli olarak yamuk bir sisteme dönüştüğünü göstermektedir. Yani, ilk animasyonda gördüğünüz ve ondan tüm bilinmeyenlerin değerlerini bulmanın kolay olduğundan emin olduğunuz. Böyle bir dönüşümün nasıl gerçekleştirileceği ve tabii ki örnekler daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Denklem sisteminde ve sistemin genişletilmiş matrisinde herhangi bir sayıda denklem ve bilinmeyen içeren lineer denklem sistemlerini çözerken Olabilmek:

  1. takas hatları (bu, bu makalenin en başında belirtilmişti);
  2. diğer dönüşümlerin bir sonucu olarak eşit veya orantılı çizgiler ortaya çıktıysa, biri hariç bunlar silinebilir;
  3. tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu "boş" satırları silin;
  4. herhangi bir diziyi bir sayı ile çarpın veya bölün;
  5. herhangi bir satıra bir sayı ile çarpılmış başka bir satır ekleyin.

Dönüşümlerin bir sonucu olarak, verilene eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

Algoritma ve Gauss yöntemiyle sistemin kare matrisi ile doğrusal denklemler sistemini çözme örnekleri

Önce bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olduğu lineer denklem sistemlerinin çözümünü ele alalım. Böyle bir sistemin matrisi karedir, yani içindeki satır sayısı sütun sayısına eşittir.

Örnek 2 Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Doğrusal denklem sistemlerini okul yöntemlerini kullanarak çözerken, denklemlerin terimlerini belirli bir sayı ile çarptık, böylece iki denklemdeki ilk değişkenin katsayıları zıt sayılar oldu. Denklemler eklenirken bu değişken elenir. Gauss yöntemi de benzer şekilde çalışır.

Çözümün görünümünü basitleştirmek için sistemin artırılmış matrisini oluşturmak:

Bu matriste bilinmeyenlerin katsayıları solda dikey çubuktan önce, serbest üyeler ise dikey çubuktan sonra sağda yer almaktadır.

Değişkenlerin katsayılarını bölme kolaylığı için (bire bölmek için) sistem matrisinin birinci ve ikinci satırlarını değiştirin. Verilene eşdeğer bir sistem elde ederiz, çünkü lineer denklem sisteminde denklemler yeniden düzenlenebilir:

Yeni ilk denklem ile değişkeni ortadan kaldırmak X ikinci ve sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, matrisin ikinci satırına (bizim durumumuzda ile) ile çarpılan ilk satırı ve üçüncü satıra (bizim durumumuzda ile) ile çarpılan ilk satırı ekleyin.

bu mümkün çünkü

Sistemimizde üçten fazla denklem varsa, sonraki tüm denklemlere ilk satır eklenmeli, karşılık gelen katsayıların eksi işaretiyle alınan oranıyla çarpılmalıdır.

Sonuç olarak, ikinciden başlayarak tüm denklemlerin verildiği yeni bir denklem sisteminin verilen sistemine eşdeğer bir matris elde ederiz. bir değişken içermez X :

Ortaya çıkan sistemin ikinci satırını basitleştirmek için, onu ile çarparız ve bu sisteme eşdeğer denklem sisteminin matrisini tekrar elde ederiz:

Şimdi, ortaya çıkan sistemin ilk denklemini değiştirmeden, ikinci denklemi kullanarak değişkeni ortadan kaldırırız y sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, sistem matrisinin üçüncü satırına (bizim durumumuzda, ile) ile çarpılan ikinci satırı ekleyin.

Sistemimizde üçten fazla denklem varsa, ikinci satır sonraki tüm denklemlere eklenmeli, karşılık gelen katsayıların eksi işaretiyle alınan oranıyla çarpılmalıdır.

Sonuç olarak, verilen doğrusal denklem sistemine eşdeğer sistemin matrisini tekrar elde ederiz:

Verilene eşdeğer yamuk bir lineer denklem sistemi elde ettik:

Denklem ve değişken sayısı örneğimizdekinden daha fazlaysa, değişkenlerin sıralı olarak yok edilmesi işlemi, demo örneğimizde olduğu gibi sistem matrisi yamuk hale gelene kadar devam eder.

Çözümü "sondan" bulacağız - tersi. Bunun için belirlediğimiz son denklemden z:
.
Bu değeri önceki denklemde yerine koyarsak, bulmak y:

İlk denklemden bulmak X:

Cevap: Bu denklem sisteminin çözümü - .

: Bu durumda sistemin tek çözümü varsa aynı cevap verilecektir. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa, o zaman cevap da olacaktır ve bu, bu dersin beşinci bölümünün konusudur.

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın

Önümüzde yine denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olduğu tutarlı ve kesin bir lineer denklem sistemi örneği var. Algoritmadan demo örneğimizin farkı, zaten dört denklem ve dört bilinmeyen olmasıdır.

Örnek 4 Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Biraz hazırlık çalışması yapalım. Katsayıların oranını daha uygun hale getirmek için, ikinci satırın ikinci sütununda bir birim almanız gerekir. Bunu yapmak için üçüncü satırı ikinci sıradan çıkarın ve elde edilen ikinci satırı -1 ile çarpın.

Şimdi değişkenin üçüncü ve dördüncü denklemlerden fiilen elenmesini gerçekleştirelim. Bunu yapmak için, üçüncü satıra , ile çarpılmış ikinciyi ve dördüncüye , ile çarpılmış ikinciyi ekleyin.

Şimdi, üçüncü denklemi kullanarak değişkeni dördüncü denklemden çıkarıyoruz. Bunu yapmak için, dördüncü satıra üçüncüyü ekleyin, ile çarpın. Trapez şeklinde genişletilmiş bir matris elde ediyoruz.

Verilen sisteme eşdeğer bir denklem sistemi elde ettik:

Bu nedenle, ortaya çıkan ve verilen sistemler tutarlı ve kesindir. Nihai çözümü "sondan" buluyoruz. Dördüncü denklemden "x four" değişkeninin değerini doğrudan ifade edebiliriz:

Bu değeri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyarız ve

,

,

Son olarak, değer ikamesi

İlk denklemde verir

,

"önce x" i bulduğumuz yer:

Cevap: Bu denklem sisteminin tek bir çözümü vardır. .

Sistemin çözümünü Cramer yöntemiyle çözen bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda, sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Alaşımlar için bir problem örneği üzerinde uygulamalı problemlerin Gauss yöntemi ile çözümü

Doğrusal denklem sistemleri, fiziksel dünyanın gerçek nesnelerini modellemek için kullanılır. Alaşımlar için bu sorunlardan birini çözelim. Benzer görevler - karışımlar için görevler, bir mal grubundaki tek tek malların maliyeti veya özgül ağırlığı ve benzerleri.

Örnek 5Üç adet alaşımın toplam kütlesi 150 kg'dır. İlk alaşım% 60 bakır, ikinci -% 30, üçüncü -% 10 içerir. Aynı zamanda birlikte alınan ikinci ve üçüncü alaşımlarda bakır birinci alaşıma göre 28,4 kg, üçüncü alaşımda bakır ikinciye göre 6,2 kg daha azdır. Her bir alaşım parçasının kütlesini bulun.

Çözüm. Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz:

İkinci ve üçüncü denklemleri 10 ile çarparak, eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz:

Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz:

Dikkat, doğrudan hareket. Bir sayı ile çarpılan bir satırı ekleyerek (bizim durumumuzda çıkararak) (bunu iki kez uygularız), sistemin genişletilmiş matrisinde aşağıdaki dönüşümler gerçekleşir:

Düz koşu bitti. Trapez şeklinde genişletilmiş bir matrisimiz var.

Tersini kullanalım. Sondan bir çözüm buluyoruz. Bunu görüyoruz.

Bulduğumuz ikinci denklemden

Üçüncü denklemden -

Sistemin çözümünü Cramer yöntemiyle çözen bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda, sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Gauss yönteminin basitliği, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un onu icat etmesinin sadece 15 dakika sürmesiyle kanıtlanıyor. Kendi adının yöntemine ek olarak, Gauss'un eserlerinden "Bize inanılmaz ve doğal olmayan görüneni kesinlikle imkansız olanla karıştırmamalıyız" sözü, keşifler yapmak için bir tür kısa talimattır.

Uygulanan birçok problemde üçüncü bir kısıtlama, yani üçüncü bir denklem olmayabilir, o zaman üç bilinmeyenli iki denklemli bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmek gerekir veya tam tersine, denklemlerden daha az bilinmeyen vardır. Şimdi bu tür denklem sistemlerini çözmeye başlıyoruz.

Gauss yöntemini kullanarak, herhangi bir sistemin tutarlı veya tutarsız olup olmadığını belirleyebilirsiniz. N doğrusal denklemler N değişkenler.

Gauss yöntemi ve sonsuz sayıda çözüm içeren lineer denklem sistemleri

Bir sonraki örnek, tutarlı fakat belirsiz bir lineer denklem sistemidir, yani sonsuz sayıda çözümü vardır.

Sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler yapıldıktan sonra (satırları değiştirme, satırları belirli bir sayı ile çarpma ve bölme, bir satırı diğerine ekleme), formun satırları

şeklinde olan tüm denklemlerde ise

Serbest üyeler sıfıra eşittir, bu, sistemin belirsiz olduğu, yani sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir ve bu tür denklemler "gereksizdir" ve sistemden çıkarılır.

Örnek 6

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturalım. Ardından, ilk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden çıkarırız. Bunu yapmak için, ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlara, sırasıyla birinciyi çarpımını ekleyin:

Şimdi ikinci satırı üçüncü ve dördüncü satıra ekleyelim.

Sonuç olarak sisteme geliyoruz.

Son iki denklem formun denklemleri haline geldi. Bu denklemler bilinmeyenlerin herhangi bir değeri için tatmin edicidir ve atılabilir.

İkinci denklemi sağlamak için, ve için rasgele değerler seçebiliriz, ardından için değeri açık bir şekilde belirlenecektir: . İlk denklemden, değeri de benzersiz bir şekilde bulunur: .

Hem verilen hem de son sistemler uyumludur ancak belirsizdir ve formüller

keyfi ve bize verilen sistemin tüm çözümlerini verin.

Gauss yöntemi ve çözümü olmayan lineer denklem sistemleri

Aşağıdaki örnek tutarsız bir doğrusal denklem sistemidir, yani çözümü yoktur. Bu tür sorunların cevabı şu şekilde formüle edilmiştir: sistemin çözümü yoktur.

İlk örnekle bağlantılı olarak daha önce bahsedildiği gibi, sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler yapıldıktan sonra formun satırları

formun bir denklemine karşılık gelen

Aralarında sıfır olmayan serbest terimli (yani ) en az bir denklem varsa, o zaman bu denklem sistemi tutarsızdır, yani çözümü yoktur ve bu, çözümünü tamamlar.

Örnek 7 Gauss yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz. İlk denklemi kullanarak, değişkeni sonraki denklemlerden hariç tutuyoruz. Bunu yapmak için, birinci çarpımı ikinci satıra, birinci çarpı üçüncü satırı ve birinci çarpı dördüncü satırı ekleyin.

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Katsayıların tamsayı oranlarını elde etmek için, sistemin genişletilmiş matrisinin ikinci ve üçüncü satırlarını yer değiştiririz.

Üçüncü ve dördüncü denklemlerden hariç tutmak için, üçüncü satıra ikinciyi , ile çarpın ve dördüncüye , ile çarpılan ikinciyi ekleyin.

Şimdi, üçüncü denklemi kullanarak değişkeni dördüncü denklemden çıkarıyoruz. Bunu yapmak için, dördüncü satıra üçüncüyü ekleyin, ile çarpın.

Verilen sistem bu nedenle aşağıdakine eşdeğerdir:

Ortaya çıkan sistem tutarsızdır, çünkü son denklemi bilinmeyenlerin herhangi bir değeri ile karşılanamaz. Bu nedenle, bu sistemin çözümü yoktur.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

  • Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

  • Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
  • Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
  • Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
  • Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

  • Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, yasa uygulama veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
  • Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.