klasik olasılık. Rastgele bir olayın olasılığı. Olayların bağımsızlığı. Olasılık çarpım teoremi

Başlangıçta, sadece zar oyununa ilişkin bilgi ve ampirik gözlemlerin bir derlemesi olan olasılık teorisi, sağlam bir bilim haline geldi. Fermat ve Pascal buna matematiksel bir çerçeve veren ilk kişilerdi.

Ebedi olana dair düşüncelerden olasılık teorisine

Olasılık teorisinin birçok temel formülü borçlu olduğu iki kişi, Blaise Pascal ve Thomas Bayes, son derece dindar insanlar olarak biliniyor; ikincisi bir Presbiteryen papazıydı. Görünüşe göre, bu iki bilim adamının, favorilerine iyi şanslar bahşederek belirli bir Şans hakkındaki görüşün yanlışlığını kanıtlama arzusu, bu alanda araştırmalara ivme kazandırdı. Sonuçta, aslında herhangi bir şans oyunu, kazançları ve kayıpları ile sadece matematiksel ilkelerin bir senfonisidir.

Hem kumarbaz hem de bilime kayıtsız olmayan Chevalier de Mere'nin heyecanı sayesinde Pascal, olasılığı hesaplamanın bir yolunu bulmak zorunda kaldı. De Mere şu soruyla ilgilendi: "12 puan alma olasılığının %50'yi aşması için iki zarı çiftler halinde kaç kez atmanız gerekir?". Beyefendiyi son derece ilgilendiren ikinci soru: "Bitmemiş oyunda bahis katılımcılar arasında nasıl paylaştırılır?" Elbette Pascal, olasılık teorisinin gelişiminin farkında olmadan başlatıcısı haline gelen de Mere'nin her iki sorusunu da başarıyla yanıtladı. De Mere'nin kişiliğinin edebiyatta değil, bu alanda bilinmesi ilginçtir.

Daha önce hiçbir matematikçi olayların olasılıklarını hesaplama girişiminde bulunmamıştı, çünkü bunun yalnızca tahmine dayalı bir çözüm olduğuna inanılıyordu. Blaise Pascal bir olayın olasılığının ilk tanımını yapmış ve bunun matematiksel olarak gerekçelendirilebilecek spesifik bir rakam olduğunu göstermiştir. Olasılık teorisi istatistiğin temeli haline geldi ve modern bilimde yaygın olarak kullanıldı.

Rastgelelik nedir

Sonsuz sayıda tekrarlanabilen bir test düşünürsek, rastgele bir olay tanımlayabiliriz. Bu, deneyimin olası sonuçlarından biridir.

Deneyim, belirli eylemlerin sabit koşullar altında uygulanmasıdır.

Deneyim sonuçlarıyla çalışabilmek için olaylar genellikle A, B, C, D, E harfleriyle gösterilir ...

Rastgele bir olayın olasılığı

Olasılığın matematiksel kısmına geçebilmek için tüm bileşenlerini tanımlamak gerekir.

Bir olayın olasılığı, bir deneyimin sonucu olarak bazı olayların (A veya B) meydana gelme olasılığının sayısal bir ölçüsüdür. Olasılık P(A) veya P(B) olarak gösterilir.

Olasılık teorisi:

• güvenilir deneyin sonucunda olayın gerçekleşmesi garanti edilir Р(Ω) = 1;
• imkansız olay hiçbir zaman gerçekleşemez Р(Ø) = 0;
• rastgele olay kesin ile imkansız arasında yer alır, yani gerçekleşme olasılığı mümkündür ancak garanti edilmez (rastgele bir olayın olasılığı her zaman 0≤P(A)≤1 dahilindedir).

Olaylar arasındaki ilişkiler

Olay, A veya B bileşenlerinden en az birinin veya her ikisinin - A ve B - uygulanmasında sayıldığında, A + B olaylarının hem biri hem de toplamı dikkate alınır.

Birbirleriyle ilişkili olarak olaylar şunlar olabilir:

• Aynı derecede mümkün.
• uyumlu.
• Uyumsuz.
• Zıt (birbirini dışlayan).
• Bağımlı.

Eğer iki olay eşit olasılıkla gerçekleşebiliyorsa, o zaman bunlar eşit derecede mümkün.

A olayının meydana gelmesi B olayının meydana gelme olasılığını ortadan kaldırmıyorsa, bu durumda uyumlu.

A ve B olayları aynı deneyde aynı anda meydana gelmiyorsa bu olaylara denir. uyumsuz. Yazı tura atmak buna iyi bir örnektir: yazı gelmesi otomatik olarak tura gelmemesi anlamına gelir.

Bu tür uyumsuz olayların toplamının olasılığı, olayların her birinin olasılıklarının toplamından oluşur:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini imkansız hale getiriyorsa bunlara zıt denir. Daha sonra bunlardan biri A, diğeri - Ā olarak adlandırılır ("A değil" olarak okunur). A olayının gerçekleşmesi, Ā olayının gerçekleşmediği anlamına gelir. Bu iki olay, olasılık toplamı 1'e eşit olan tam bir grup oluşturur.

Bağımlı olaylar birbirlerinin olasılığını azaltarak veya artırarak karşılıklı etkiye sahiptir.

Olaylar arasındaki ilişkiler. Örnekler

Olasılık teorisinin ilkelerini ve olayların birleşimini örnekler kullanarak anlamak çok daha kolaydır.

Yapılacak deney topları kutudan çıkarmaktır ve her deneyin sonucu temel bir sonuçtur.

Bir olay, bir deneyimin olası sonuçlarından biridir - kırmızı bir top, mavi bir top, altı numaralı bir top vb.

1 numaralı test. 6 top vardır; bunlardan üçü mavi tek sayılı, diğer üçü kırmızı olup çift sayılıdır.

2 numaralı test. Birden altıya kadar sayıların yazılı olduğu 6 mavi top vardır.

Bu örneğe dayanarak kombinasyonları adlandırabiliriz:

• Güvenilir olay.İspanyolca'da 2 numara, "mavi topu al" olayı güvenilirdir, çünkü gerçekleşme olasılığı 1'dir, çünkü tüm toplar mavidir ve kaçırma söz konusu olamaz. Oysa "1 numaradan topu alma" olayı rastgeledir.
• İmkansız olay.İspanyolca'da Mavi ve kırmızı toplarla 1 numara olan "mor topu alma" olayı, gerçekleşme olasılığı 0 olduğundan imkansızdır.
• Eşdeğer olaylar.İspanyolca'da 1 numarada, "2 numarayla topu al" ve "3 numarayla topu al" olayları eşit olasılıklıdır ve "çift sayıyla topu al" ve "2 numarayla topu al" olayları eşit olasılıklıdır ” farklı olasılıklara sahip.
• Uyumlu olaylar. Bir zarı art arda iki kez atarken altı almak uyumlu olaylardır.
• Uyumsuz olaylar. Aynı İspanyolcada 1 numaralı "kırmızı topu al" ve "tek sayıyla topu al" etkinlikleri aynı deneyimde birleştirilemez.
• zıt olaylar. Bunun en çarpıcı örneği, tura çekmenin yazı çekmemekle aynı olduğu ve olasılıklarının toplamının her zaman 1 (tam grup) olduğu yazı tura atmadır.
• Bağımlı olaylar. Yani, İspanyolca 1 numara, kırmızı topu arka arkaya iki kez çıkarma hedefini kendinize belirleyebilirsiniz. İlk defa çıkarmak veya çıkarmamak, ikinci defa çıkarma olasılığını etkiler.

İlk olayın ikinci olayın olasılığını (%40 ve %60) önemli ölçüde etkilediği görülmektedir.

Olay Olasılığı Formülü

Falcılıktan kesin verilere geçiş, konunun matematiksel düzleme aktarılmasıyla gerçekleşir. Yani, "yüksek olasılık" veya "minimum olasılık" gibi rastgele bir olaya ilişkin yargılar, belirli sayısal verilere çevrilebilir. Bu tür materyallerin değerlendirilmesine, karşılaştırılması ve daha karmaşık hesaplamalara dahil edilmesine zaten izin verilmektedir.

Hesaplama açısından bakıldığında, bir olayın olasılığının tanımı, temel olumlu sonuçların sayısının, belirli bir olayla ilgili deneyimin tüm olası sonuçlarının sayısına oranıdır. Olasılık P (A) ile gösterilir; burada P, Fransızca'dan "olasılık" olarak çevrilen "olasılık" kelimesi anlamına gelir.

Yani bir olayın olasılığının formülü şu şekildedir:

M, A olayı için olumlu sonuçların sayısı iken, n, bu deneyim için olası tüm sonuçların toplamıdır. Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Bir olayın olasılığının hesaplanması. Örnek

İspanyolcayı ele alalım. Daha önce açıklanan toplarla 1 numara: 1/3/5 numaralı 3 mavi top ve 2/4/6 numaralı 3 kırmızı top.

Bu teste dayanarak birkaç farklı görev dikkate alınabilir:

• A - kırmızı top düşüşü. 3 kırmızı top var ve toplamda 6 değişken var.Bu en basit örnektir, bir olayın olasılığı P(A)=3/6=0,5'tir.
• B - çift sayıyı düşürmek. Toplamda 3 (2,4,6) çift sayı vardır ve olası sayısal seçeneklerin toplam sayısı 6'dır. Bu olayın olasılığı P(B)=3/6=0,5'tir.
• C - 2'den büyük bir sayının kaybı. Olası sonuçların toplam sayısı içinde bu tür 4 seçenek (3,4,5,6) vardır 6. C olayının olasılığı P(C)=4/6= 0.67.

Hesaplamalardan da anlaşılacağı üzere C olayının olası olumlu sonuç sayısı A ve B olayına göre daha fazla olduğu için olasılığı daha yüksektir.

Uyumsuz olaylar

Bu tür olaylar aynı deneyimde aynı anda ortaya çıkamaz. İspanyolca olduğu gibi 1 numara, aynı anda hem mavi hem de kırmızı top elde etmek imkansızdır. Yani mavi veya kırmızı bir top alabilirsiniz. Aynı şekilde bir zarda aynı anda hem çift hem de tek sayı bulunamaz.

İki olayın olasılığı, toplamlarının veya çarpımlarının olasılığı olarak kabul edilir. Bu tür A + B olaylarının toplamı, A veya B olayının ortaya çıkmasından ve bunların AB'sinin çarpımından - her ikisinin de ortaya çıkmasından oluşan bir olay olarak kabul edilir. Örneğin, tek atışta iki zarın yüzünde aynı anda iki altının görünmesi.

Birkaç olayın toplamı, bunlardan en az birinin meydana geldiğini ima eden bir olaydır. Çeşitli olayların ürünü, hepsinin ortak olarak ortaya çıkmasıdır.

Olasılık teorisinde, kural olarak, "ve" birliğinin kullanımı toplamı, "veya" birliği - çarpmayı belirtir. Örnekli formüller olasılık teorisindeki toplama ve çarpma mantığını anlamanıza yardımcı olacaktır.

Uyumsuz olayların toplamının olasılığı

Uyumsuz olayların olasılığı dikkate alınırsa, olayların toplamının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Örneğin: İspanyolca'da olasılığını hesaplıyoruz. Mavi ve kırmızı toplarla 1 numaraya 1 ile 4 arasında bir sayı düşecek. Tek hamlede değil, temel bileşenlerin olasılıklarının toplamına göre hesaplayacağız. Yani böyle bir deneyde yalnızca 6 top veya tüm olası sonuçlardan 6'sı vardır. Koşulu sağlayan sayılar 2 ve 3'tür. 2 sayısının gelme olasılığı 1/6, 3 sayısının gelme olasılığı da 1/6'dır. 1 ile 4 arasında bir sayı gelme olasılığı:

Tam bir grubun uyumsuz olaylarının toplamının olasılığı 1'dir.

Yani, bir küple yapılan deneyde tüm sayıları alma olasılıklarını toplarsak, sonuç olarak bir tane elde ederiz.

Bu aynı zamanda zıt olaylar için de geçerlidir; örneğin, bir tarafının A olayı, diğer tarafının da karşıt olayı olduğu madeni para deneyinde bilindiği gibi,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Uyumsuz olaylar üretme olasılığı

Bir gözlemde iki veya daha fazla uyumsuz olayın meydana gelmesi dikkate alındığında olasılıkların çarpımı kullanılır. A ve B olaylarının aynı anda ortaya çıkma olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir veya:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Örneğin, olasılık İki deneme sonucunda 1 numaraya eşit iki kez mavi top görünecektir.

Yani, topların çıkarılmasıyla ilgili iki deneme sonucunda yalnızca mavi topların çıkarılacağı bir olayın meydana gelme olasılığı% 25'tir. Bu problem üzerinde pratik deneyler yapmak ve durumun gerçekten böyle olup olmadığını görmek çok kolaydır.

Ortak Etkinlikler

Birinin ortaya çıkışı diğerinin görünümüyle örtüştüğünde olaylar ortak olarak kabul edilir. Ortak olmalarına rağmen bağımsız olayların olasılığı dikkate alınır. Örneğin iki zar atmak, her ikisine de 6 rakamı düştüğünde sonuç verebilir.Olaylar çakışıp aynı anda ortaya çıkmasına rağmen birbirlerinden bağımsızdırlar - yalnızca altılıdan biri düşebilir, ikinci zarın hiçbir özelliği yoktur. üzerindeki etkisi.

Ortak olayların olasılığı, toplamlarının olasılığı olarak kabul edilir.

Ortak olayların toplamının olasılığı. Örnek

Birbirlerine göre ortak olan A ve B olaylarının toplamının olasılığı, olayın olasılıklarının toplamı eksi bunların sonucunun olasılığına (yani ortak gerçekleşmelerine) eşittir:

R eklemi. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Hedefi tek atışla vurma olasılığının 0,4 olduğunu varsayalım. Daha sonra A olayı - ilk denemede hedefi vurmak, B - ikinci denemede. Bu olaylar ortaktır, çünkü hedefi hem birinci atıştan hem de ikinci atıştan vurmak mümkündür. Ancak olaylar bağımlı değildir. Hedefin iki atışla (en az bir) vurulması olayının olasılığı nedir? Formüle göre:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Sorunun cevabı şu: "İki atışta hedefi vurma ihtimali %64."

Bir olayın olasılığına ilişkin bu formül, bir olayın ortak meydana gelme olasılığının P(AB) = 0 olduğu uyumsuz olaylara da uygulanabilir. Bu, uyumsuz olayların toplamının olasılığının özel bir durum olarak değerlendirilebileceği anlamına gelir. Önerilen formülün

Netlik için olasılık geometrisi

İlginç bir şekilde, ortak olayların toplamının olasılığı birbiriyle kesişen iki A ve B alanı olarak temsil edilebilir. Resimden de görebileceğiniz gibi, birleşimlerinin alanı, toplam alan eksi kesişme alanlarının alanına eşittir. Bu geometrik açıklama, mantıksız gibi görünen formülü daha anlaşılır kılmaktadır. Olasılık teorisinde geometrik çözümlerin nadir olmadığını unutmayın.

Bir dizi (ikiden fazla) ortak olayın toplamının olasılığının tanımı oldukça zahmetlidir. Hesaplamak için bu durumlar için sağlanan formülleri kullanmanız gerekir.

Bağımlı olaylar

Bağımlı olaylardan birinin (A) meydana gelmesi, diğerinin (B) meydana gelme olasılığını etkiliyorsa denir. Ayrıca A olayının hem gerçekleşmesinin hem de gerçekleşmemesinin etkisi dikkate alınır. Olaylar tanım gereği bağımlı olarak adlandırılsa da olaylardan yalnızca biri bağımlıdır (B). Olağan olasılık P(B) veya bağımsız olayların olasılığı olarak gösterildi. Bağımlı kişiler durumunda, yeni bir kavram tanıtılmıştır - bağlı olduğu A olayının (hipotez) meydana gelmesi koşuluyla bağımlı B olayının olasılığı olan koşullu olasılık P A (B).

Ancak A olayı da rastgeledir, dolayısıyla hesaplamalarda dikkate alınması gereken ve dikkate alınabilecek bir olasılığa da sahiptir. Aşağıdaki örnek bağımlı olaylarla ve bir hipotezle nasıl çalışılacağını gösterecektir.

Bağımlı olayların olasılığını hesaplama örneği

Bağımlı olayların hesaplanmasına iyi bir örnek, standart bir kart destesidir.

36 kartlık bir deste örneğinde bağımlı olayları düşünün. İlk çekilen kartın aşağıdaki olması durumunda, desteden çekilen ikinci kartın elmas rengi olma olasılığını belirlemek gerekir:

1. Tef.
2. Başka bir takım elbise.

Açıkçası, ikinci B olayının olasılığı ilk A'ya bağlıdır. Yani, eğer destede 1 kart (35) ve 1 karo (8) eksik olan ilk seçenek doğruysa, B olayının olasılığı:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

İkinci seçenek doğruysa, destede 35 kart vardır ve toplam tef sayısı (9) hala korunursa, aşağıdaki olayın olasılığı B'dir:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

A olayının ilk kartın elmas olması şartına bağlı olması durumunda, B olayının olasılığının azaldığı ve bunun tersinin de geçerli olduğu görülebilir.

Bağımlı olayların çarpımı

Bir önceki bölümden yola çıkarak ilk olayı (A) bir gerçek olarak kabul ediyoruz ancak özünde rastlantısal bir karaktere sahiptir. Bu olayın olasılığı, yani bir deste karttan tefin çıkarılması şuna eşittir:

P(A) = 9/36=1/4

Teori kendi başına mevcut olmadığından ve pratik amaçlara hizmet etmesi istendiğinden, çoğu zaman bağımlı olayların ortaya çıkma olasılığına ihtiyaç duyulduğunu belirtmekte fayda vardır.

Bağımlı olayların olasılıklarının çarpımı teoremine göre, A ve B'nin ortaklaşa bağımlı olaylarının meydana gelme olasılığı, bir A olayının olasılığı ile B olayının koşullu olasılığı (A'ya bağlı olarak) çarpımına eşittir:

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

O halde desteli örnekte, karo takımlı iki kart çekme olasılığı şöyledir:

9/36*8/35=0,0571 veya %5,7

Ve ilk önce elmasları değil, sonra elmasları çıkarma olasılığı şuna eşittir:

27/36*9/35=0,19 veya %19

Baklava dışında başka bir renkten bir kartın ilk olarak çekilmesi koşuluyla B olayının gerçekleşme olasılığının daha yüksek olduğu görülebilir. Bu sonuç oldukça mantıklı ve anlaşılır.

Bir olayın toplam olasılığı

Koşullu olasılıklı bir problem çok yönlü hale geldiğinde geleneksel yöntemlerle hesaplanamaz. İkiden fazla hipotez olduğunda, yani A1, A2, ..., A n , .., şu koşul altında tam bir olaylar grubu oluşturur:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A ben ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k Bir k =Ω.

Dolayısıyla, A1, A2, ..., A n rastgele olaylarından oluşan tam bir grupla B olayının toplam olasılığının formülü şöyledir:

Geleceğe bir bakış

Rastgele bir olayın olasılığı bilimin birçok alanında esastır: ekonometri, istatistik, fizik vb. Bazı süreçler kendileri olasılıksal olduğundan deterministik olarak tanımlanamadığından, özel çalışma yöntemlerine ihtiyaç vardır. Bir olay teorisinin olasılığı herhangi bir teknolojik alanda bir hata veya arıza olasılığını belirlemenin bir yolu olarak kullanılabilir.

Olasılığın farkına vararak geleceğe bir şekilde teorik bir adım attığımız, geleceğe formüller prizmasından baktığımız söylenebilir.

Şu tarihte: Herhangi bir rastgele olayın meydana gelme olasılığını tahmin etmek için, bizi ilgilendiren olayın meydana gelme olasılığının () diğer olayların nasıl geliştiğine bağlı olup olmadığı konusunda önceden iyi bir fikre sahip olmak çok önemlidir.

Klasik şemada, tüm sonuçlar eşit derecede olası olduğunda, bizi ilgilendiren bireysel olayın olasılık değerlerini zaten kendi başımıza tahmin edebiliriz. Olay birkaç temel sonuçtan oluşan karmaşık bir koleksiyon olsa bile bunu yapabiliriz. Peki ya aynı anda ya da ardışık olarak birden fazla rastgele olay meydana gelirse? Bu bizi ilgilendiren olayın olasılığını nasıl etkiler?

Zarı birkaç kez atarsam ve altı almak istersem ve her zaman şanssızsam, bu, olasılık teorisine göre şansım yaver gitmek üzere olduğu için bahsimi artırmam gerektiği anlamına mı gelir? Ne yazık ki olasılık teorisi böyle bir şey söylemiyor. Zar yok, kart yok, madeni para yok hatırlayamıyorum geçen sefer bize gösterdikleri şey. Bugün kaderimi ilk kez mi yoksa onuncu kez mi sınayacağım onlar için hiç önemli değil. Her tekrar atışımda tek bir şey biliyorum: ve bu sefer tekrar "altı" atma olasılığı altıda birdir. Elbette bu, ihtiyacım olan sayının hiçbir zaman düşmeyeceği anlamına gelmiyor. Bu sadece ilk atıştan ve diğer atışlardan sonraki kaybımın bağımsız olaylar olduğu anlamına gelir.

A ve B olaylarına denir bağımsız Bunlardan birinin gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını hiçbir şekilde etkilemiyorsa. Örneğin, iki silahtan ilkiyle hedefi vurma olasılıkları, diğer silahın hedefi vurup vurmamasına bağlı olmadığından, "ilk silah hedefi vurdu" ve "ikinci silah hedefi vurdu" olayları bağımsızdır.

A ve B olaylarından ikisi bağımsızsa ve her birinin olasılığı biliniyorsa, hem A olayının hem de B olayının (AB ile gösterilir) aynı anda meydana gelme olasılığı aşağıdaki teorem kullanılarak hesaplanabilir.

Bağımsız olaylar için olasılık çarpım teoremi

Örnek.Birinci ve ikinci silah ateşlendiğinde hedefi vurma olasılıkları sırasıyla eşittir: p 1 =0,7; p2 =0,8. Her iki silahın aynı anda tek bir yaylım ateşiyle vurma olasılığını bulun.

Çözüm: Daha önce de gördüğümüz gibi, A (ilk silahla vuruldu) ve B (ikinci silahla vuruldu) olayları bağımsızdır, yani. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Başlatıcı olaylar bağımsız değilse tahminlerimize ne olur? Önceki örneği biraz değiştirelim.

Örnek.Bir müsabakada iki atıcı hedeflere ateş eder ve içlerinden biri isabetli atış yaparsa rakip sinirlenmeye başlar ve sonuçları kötüleşir. Bu günlük durumu bir matematik problemine nasıl dönüştürebilir ve çözmenin yollarını nasıl özetleyebiliriz? Olayların gelişimine ilişkin iki senaryoyu bir şekilde ayırmanın, aslında iki senaryoyu, iki farklı görevi oluşturmanın gerekli olduğu sezgisel olarak açıktır. İlk durumda, rakip ıskalarsa senaryo gergin sporcunun lehine olacak ve isabetliliği daha yüksek olacaktır. İkinci durumda, eğer rakip şansını iyi değerlendirmişse, ikinci sporcunun hedefi vurma olasılığı azalır.

Olayların gelişimine ilişkin olası senaryoları (bunlara genellikle hipotez denir) ayırmak için sıklıkla "olasılık ağacı" şemasını kullanırız. Bu şema anlam olarak muhtemelen daha önce uğraşmak zorunda kaldığınız karar ağacına benzer. Her dal ayrı bir senaryodur, ancak şimdi sözde kendi anlamı vardır. koşullu olasılıklar (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Bu şema ardışık rastgele olayların analizi için çok uygundur.

Bir önemli soruyu daha açıklığa kavuşturmak kalıyor: olasılıkların başlangıç ​​​​değerleri nerede? gerçek durumlar ? Sonuçta olasılık teorisi aynı para ve zarlarla işe yaramıyor, değil mi? Genellikle bu tahminler istatistiklerden alınır ve istatistik bulunmadığında kendi araştırmamızı yaparız. Ve çoğu zaman buna veri toplamakla değil, genel olarak hangi bilgilere ihtiyacımız olduğu sorusuyla başlamamız gerekir.

Örnek.100.000 nüfuslu bir şehirde, boyalı saç kremi gibi temel olmayan yeni bir ürün için pazarın büyüklüğünü tahmin etmemiz gerektiğini varsayalım. "Olasılıklar ağacı" şemasını ele alalım. Bu durumda, her bir "dal" üzerindeki olasılık değerini yaklaşık olarak tahmin etmemiz gerekir. Yani, pazar kapasitesi tahminlerimiz:

1) Şehirde yaşayanların %50’sinin kadın olması,

2) tüm kadınların yalnızca %30'u saçlarını sıklıkla boyatıyor,

3) Bunlardan sadece %10'u boyalı saçlar için balsam kullanıyor,

4) Bunlardan sadece %10'u yeni bir ürünü deneme cesaretini toplayabiliyor,

5) Bunların %70'i genellikle her şeyi bizden değil rakiplerimizden satın alıyor.

Çözüm: Olasılıkların çarpımı yasasına göre bizi ilgilendiren olayın olasılığını A \u003d (bir şehir sakini bu yeni balsamı bizden satın alır) \u003d 0,00045 belirleriz.

Bu olasılık değerini şehrin sakinlerinin sayısıyla çarpın. Sonuç olarak, yalnızca 45 potansiyel alıcımız var ve bu ürünün bir şişesinin birkaç ay dayandığı göz önüne alındığında, ticaret pek canlı değil.

Yine de değerlendirmelerimizin faydaları var.

Öncelikle farklı iş fikirlerinin tahminlerini karşılaştırabiliriz, diyagramlarda farklı “çatallara” sahip olacaklar ve elbette olasılık değerleri de farklı olacaktır.

İkincisi, daha önce de söylediğimiz gibi, rastgele bir değişkene rastgele denmez çünkü hiçbir şeye bağlı değildir. Sadece o bire bir aynı değeri önceden bilinmez. Ortalama alıcı sayısının artırılabileceğini biliyoruz (örneğin yeni bir ürünün reklamını yaparak). Bu nedenle, olasılık dağılımının bize özellikle uymadığı "çatallara", etkileyebildiğimiz faktörlere odaklanmak mantıklıdır.

Tüketici davranışı araştırmasının başka bir niceliksel örneğini düşünün.

Örnek. Gıda pazarını günde ortalama 10.000 kişi ziyaret ediyor. Bir pazar ziyaretçisinin mandıraya girme olasılığı 1/2'dir. Bu pavyonda günde ortalama 500 kg çeşitli ürünün satıldığı biliniyor.

Pavyondaki ortalama alımın sadece 100 gram olduğu söylenebilir mi?

Tartışma. Tabii ki değil. Pavyona giren herkesin oradan bir şey satın almadığı açık.

Diyagramda görüldüğü gibi ortalama satın alma ağırlığı sorusunun cevabını verebilmek için pavyona giren kişinin oradan bir şey satın alma olasılığı nedir sorusunun cevabını bulmamız gerekiyor. Elimizde bu tür veriler yoksa ancak bunlara ihtiyacımız varsa, pavyonun ziyaretçilerini bir süre gözlemledikten sonra bunları kendimiz elde etmek zorunda kalacağız. Gözlemlerimizin pavyonu ziyaret edenlerin yalnızca beşte birinin bir şey satın aldığını gösterdiğini varsayalım.

Bu tahminler tarafımızca elde edildiği anda iş artık basitleşiyor. Pazara gelen 10.000 kişiden 5.000'i süt ürünleri pavyonuna gidecek, sadece 1.000 alım yapılacak.Ortalama alım ağırlığı 500 gram. Neler olup bittiğinin tam bir resmini oluşturmak için, koşullu "dallanma" mantığının, akıl yürütmemizin her aşamasında sanki "somut" bir durumla çalışıyormuşuz gibi net bir şekilde tanımlanması gerektiğini belirtmek ilginçtir. olasılıklarla.

Kendi kendini test etme görevleri

1. Her biri birbirinden bağımsız çalışan n adet seri bağlı elemandan oluşan bir elektrik devresi olsun.

Her bir elemanın arızalanmama olasılığı p bilinmektedir. Devrenin tüm bölümünün düzgün çalışma olasılığını belirleyin (olay A).

2. Öğrenci 25 sınav sorusundan 20'sini bilir. Öğrencinin kendisine sınav görevlisi tarafından verilen üç soruyu bilme olasılığını bulun.

3. Üretim, her biri bir sonraki ay içindeki arıza olasılıkları sırasıyla p 1 , p 2 , p 3 ve p 4 olan ekipmanı çalıştıran birbirini izleyen dört aşamadan oluşur. Ekipman arızası nedeniyle bir ay içinde üretimin durmaması olasılığını bulun.

Kısa teori

Olayların meydana gelme olasılık derecesine göre niceliksel bir karşılaştırması için, olayın olasılığı adı verilen sayısal bir ölçüm uygulanır. Rastgele bir olayın olasılığı bir olayın ortaya çıkmasının nesnel olasılığının ölçüsünün ifadesi olan bir sayı denir.

Bir olayın meydana gelmesine güvenmenin objektif gerekçelerinin ne kadar önemli olduğunu belirleyen değerler, olayın olasılığı ile karakterize edilir. Olasılığın, bilen kişiden bağımsız olarak var olan ve bir olayın meydana gelmesine katkıda bulunan koşulların bütünü tarafından koşullandırılan nesnel bir nicelik olduğu vurgulanmalıdır.

Olasılık kavramına yaptığımız açıklamalar, bu kavramı niceliksel olarak tanımlamadığından matematiksel bir tanım değildir. Belirli problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılan, rastgele bir olayın olasılığının çeşitli tanımları vardır (klasik, olasılığın geometrik tanımı, istatistiksel vb.).

Bir olayın olasılığının klasik tanımı Bu kavramı, artık tanıma tabi olmayan ve sezgisel olarak açık olduğu varsayılan, eşit olasılıklı olaylara ilişkin daha temel bir kavrama indirgemektedir. Örneğin, eğer bir zar homojen bir küpse, bu küpün yüzlerinden herhangi birinin serpintisi eşit derecede olası olaylar olacaktır.

Belirli bir olayın, toplamı olayı veren eşit olasılıklı durumlara bölünmesine izin verin. Yani, içine girdiği durumlar olay için elverişli olarak adlandırılır, çünkü bunlardan birinin ortaya çıkması saldırıyı garanti eder.

Bir olayın olasılığı sembolü ile gösterilecektir.

Bir olayın olasılığı, benzersiz, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumların toplam sayısı içinden kendisi için uygun olan durumların sayısının, yani;

Bu olasılığın klasik tanımıdır. Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını dikkate aldıktan sonra, tek mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlardan oluşan bir dizi bulmak, bunların toplam sayısını n, yani olay sayısını hesaplamak gerekir. bu olayı tercih edin ve ardından hesaplamayı yukarıdaki formüle göre yapın.

Bir olayın, olaya uygun deneyim sonuçlarının sayısının, deneyimin toplam sonuçları sayısına oranına eşit olasılığına denir. klasik olasılık rastgele olay.

Tanımdan aşağıdaki olasılık özellikleri çıkar:

Özellik 1. Belirli bir olayın olasılığı bire eşittir.

Özellik 2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Özellik 3. Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.

Özellik 4. Tam bir grup oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir.

Özellik 5. Ters olayın meydana gelme olasılığı, A olayının meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde tanımlanır.

Ters olayın gerçekleşmesini destekleyen olayların sayısı. Dolayısıyla, zıt olayın meydana gelme olasılığı, birlik ile A olayının meydana gelme olasılığı arasındaki farka eşittir:

Bir olayın olasılığının klasik tanımının önemli bir avantajı, onun yardımıyla bir olayın olasılığının deneyime başvurmadan, mantıksal akıl yürütme temelinde belirlenebilmesidir.

Bir takım koşullar sağlandığında belli bir olay mutlaka gerçekleşecek, imkansız olan ise kesinlikle olmayacaktır. Bir koşullar kompleksi yaratıldığında meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek olaylardan, bazılarının meydana gelmesine daha fazla sebep ile, diğerlerinin ortaya çıkışına ise daha az sebep ile güvenilebilir. Örneğin, kavanozda siyah toplardan daha fazla beyaz top varsa, o zaman kutudan rastgele çıkarıldığında beyaz bir topun ortaya çıkmasını umut etmek için siyah bir topun ortaya çıkmasından daha fazla neden vardır.

Bir sonraki sayfada görüldü.

Sorun çözümü örneği

örnek 1

Bir kutuda 8 beyaz, 4 siyah ve 7 kırmızı top bulunmaktadır. Rastgele 3 top çekiliyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: - çekilen en az 1 kırmızı top vardır, - aynı renkte en az 2 top vardır, - en az 1 kırmızı ve 1 beyaz top vardır.

Sorunun çözümü

Toplam test sonucu sayısını, her biri 3 olan 19 (8 + 4 + 7) elemanın kombinasyon sayısı olarak buluyoruz:

Bir olayın olasılığını bulun– çekilen en az 1 kırmızı top (1,2 veya 3 kırmızı top)

Gerekli olasılık:

Hadi olay- aynı renkte en az 2 top var (2 veya 3 beyaz top, 2 veya 3 siyah top ve 2 veya 3 kırmızı top)

Etkinliği destekleyen sonuçların sayısı:

Gerekli olasılık:

Hadi olay– en az bir kırmızı ve bir beyaz top var

(1 kırmızı, 1 beyaz, 1 siyah veya 1 kırmızı, 2 beyaz veya 2 kırmızı, 1 beyaz)

Etkinliği destekleyen sonuçların sayısı:

Gerekli olasılık:

Cevap: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Örnek 2

İki zar atılıyor. Puanların toplamının en az 5 olma olasılığını bulun.

Çözüm

Etkinlik 5'ten az olmayan puanların toplamı olsun

Olasılığın klasik tanımını kullanalım:

Olası deneme sonuçlarının toplam sayısı

İlgimizi çeken olayın lehine olan denemelerin sayısı

İlk zarın düşen yüzünde bir puan, iki puan..., altı puan görünebilir. benzer şekilde, ikinci zar atışında altı sonuç mümkündür. İlk zarın sonuçlarının her biri, ikinci zarın sonuçlarının her biriyle birleştirilebilir. Bu nedenle, testin olası temel sonuçlarının toplam sayısı, tekrarlı yerleştirme sayısına eşittir (6. ciltten 2 öğenin yerleştirilmesiyle seçim):

Ters olayın olasılığını bulun - puanların toplamı 5'ten azdır

Düşen puanların aşağıdaki kombinasyonları etkinliğin lehine olacaktır:

Orta kontrol işini çözmenin maliyeti 700 - 1200 ruble (ancak tüm sipariş için en az 300 ruble değil). Fiyat, kararın aciliyetinden büyük ölçüde etkilenir (günlerden birkaç saate kadar). Sınavda / testte çevrimiçi yardımın maliyeti - 1000 ruble'den. Bilet çözümü için.

Uygulama, daha önce görevlerin durumunu atarak ve bunu çözmek için son tarihler hakkında sizi bilgilendirerek doğrudan sohbette bırakılabilir. Yanıt süresi birkaç dakikadır.

İlgili görev örnekleri

Toplam Olasılık Formülü. Bayes formülü
Problemin çözümü örneğinde toplam olasılık formülü ve Bayes formülü ele alınmakta, ayrıca hipotezlerin ve koşullu olasılıkların ne olduğu anlatılmaktadır.

Olayları olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırabilmek için her olaya belirli bir sayıyı ilişkilendirmek gerekir ki bu sayı ne kadar büyükse olay o kadar olasıdır. Bu sayıya olayın olasılığı diyoruz. Böylece, olay olasılığı bu olayın nesnel olasılık derecesinin sayısal bir ölçüsüdür.

Kumar analizinden ortaya çıkan ve başlangıçta sezgisel olarak uygulanan klasik olasılık tanımı, olasılığın ilk tanımı olarak kabul edilmelidir.

Olasılığı belirlemenin klasik yolu, belirli bir deneyimin sonuçları olan ve tam bir uyumsuz olaylar grubunu oluşturan eşit derecede olası ve uyumsuz olaylar kavramına dayanmaktadır.

Tam bir grup oluşturan eşit derecede mümkün ve uyumsuz olayların en basit örneği, aynı boyutta, ağırlıkta ve diğer somut özelliklerde, yalnızca renkleri farklı olan, çıkarılmadan önce iyice karıştırılan birkaç top içeren bir kavanozdan bir veya başka bir topun ortaya çıkmasıdır. .

Bu nedenle, sonuçları tam bir uyumsuz ve eşit olasılıklı olaylar grubu oluşturan bir testin, bir kutu şemasına veya bir vaka şemasına indirgendiği veya klasik şemaya uyduğu söylenir.

Tam bir grubu oluşturan eşit derecede mümkün ve uyumsuz olaylara basit vakalar veya şanslar adı verilecektir. Üstelik her deneyde vakalarla birlikte daha karmaşık olaylar da meydana gelebiliyor.

Örnek: Bir zar atıldığında, A i - i puanlarının üst yüzeye düşmesi durumlarıyla birlikte, B - çift sayıda puanın düşmesi, C - üç puanın katı gibi olaylar ...

Deneyin uygulanması sırasında meydana gelebilecek her olayla ilgili olarak vakalar aşağıdakilere ayrılmıştır: elverişli Bu olayın meydana geldiği yer ve olumsuz, olayın meydana gelmediği yer. Önceki örnekte B olayı A 2 , A 4 , A 6 durumları tarafından tercih edilmektedir; olay C - vakalar A 3, A 6.

klasik olasılık bir olayın meydana gelmesi, bu olayın ortaya çıkmasını destekleyen vaka sayısının, belirli bir deneyimde tam bir grup oluşturan, eşit derecede mümkün, uyumsuz vakaların toplam vaka sayısına oranıdır:

Nerede P(A)- A olayının gerçekleşme olasılığı; M- A olayı için elverişli durumların sayısı; N toplam vaka sayısıdır.

Örnekler:

1) (yukarıdaki örneğe bakın) P(B)= , P(C) =.

2) Bir torbada 9 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Rasgele çekilen bir veya iki topun kırmızı olma olasılığını bulun.

A- rastgele çekilen kırmızı bir top:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- rastgele çekilen iki kırmızı top:

Aşağıdaki özellikler, olasılığın klasik tanımından kaynaklanmaktadır (kendinizi gösterin):

1) İmkansız bir olayın olasılığı 0'dır;

2) Belirli bir olayın olasılığı 1'dir;

3) Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır;

4) A olayının tersi bir olayın olasılığı,

Olasılığın klasik tanımı, bir denemenin sonuçlarının sayısının sonlu olduğunu varsayar. Ancak pratikte çoğu zaman olası durumların sayısı sonsuz olan denemeler olur. Ek olarak, klasik tanımın zayıflığı, bir testin sonucunu bir dizi temel olay olarak temsil etmenin çoğu zaman imkansız olmasıdır. Testin temel sonuçlarının eşit derecede olası kabul edilmesinin gerekçelerini belirtmek daha da zordur. Genellikle testin temel sonuçlarının eşitliği simetri hususlarından elde edilir. Ancak pratikte bu tür görevler çok nadirdir. Bu nedenlerden dolayı klasik olasılık tanımının yanı sıra başka olasılık tanımları da kullanılmaktadır.

İstatistiksel Olasılık A olayı, gerçekleştirilen testlerde bu olayın göreceli görülme sıklığıdır:

A olayının gerçekleşme olasılığı nerede;

A olayının göreceli görülme sıklığı;

A olayının ortaya çıktığı denemelerin sayısı;

Toplam deneme sayısı.

Klasik olasılıktan farklı olarak istatistiksel olasılık, deneysel olasılığın bir özelliğidir.

Örnek: Bir partideki ürünlerin kalitesini kontrol etmek için rastgele 100 ürün seçildi ve bunların arasından 3 ürünün hatalı olduğu ortaya çıktı. Evlenme olasılığını belirleyin.

.

Olasılığı belirlemeye yönelik istatistiksel yöntem yalnızca aşağıdaki özelliklere sahip olaylara uygulanabilir:

Göz önünde bulundurulan olaylar, yalnızca aynı koşullar altında sınırsız sayıda tekrarlanabilecek denemelerin sonuçları olmalıdır.

Olayların istatistiksel kararlılığa (veya göreceli frekansların kararlılığına) sahip olması gerekir. Bu, farklı test serilerinde olayın göreceli sıklığının önemli ölçüde değişmediği anlamına gelir.

A olayıyla sonuçlanan denemelerin sayısı yeterince büyük olmalıdır.

Olasılığın klasik tanımdan gelen özelliklerinin, olasılığın istatistiksel tanımında da korunduğunu doğrulamak kolaydır.

Bir madeni para atıldığında tura düşeceği söylenebilir veya olasılık bunun 1/2'si. Elbette bu, bir paranın 10 kez atılması durumunda mutlaka 5 kez tura geleceği anlamına gelmez. Eğer para "makul" ise ve birçok kez atılırsa, yarıda tura çok yakın gelecektir. Dolayısıyla iki tür olasılık vardır: deneysel Ve teorik .

Deneysel ve teorik olasılık

Bir parayı çok sayıda (örneğin 1000) kez atarsak ve kaç kez tura geldiğini sayarsak, yazı gelme olasılığını belirleyebiliriz. Eğer tura 503 kez gelirse, gelme olasılığını hesaplayabiliriz:
503/1000 veya 0,503.

Bu deneysel Olasılığın tanımı. Olasılığın bu tanımı, verilerin gözlemlenmesinden ve incelenmesinden gelir ve oldukça yaygın ve çok faydalıdır. Örneğin deneysel olarak belirlenen bazı olasılıklar şunlardır:

1. Bir kadının meme kanserine yakalanma ihtimali 1/11'dir.

2. Soğuk algınlığı olan birini öperseniz sizin de soğuk algınlığına yakalanma olasılığınız 0,07'dir.

3. Cezaevinden yeni çıkmış bir kişinin yeniden cezaevine dönme ihtimali %80'dir.

Yazı tura atmayı dikkate alırsak ve yazı veya tura gelme olasılığının eşit olduğunu hesaba katarsak, tura gelme olasılığını hesaplayabiliriz: 1/2. Bu, olasılığın teorik tanımıdır. Matematik kullanılarak teorik olarak belirlenen diğer bazı olasılıklar şunlardır:

1. Bir odada 30 kişi varsa, bu kişilerden ikisinin doğum gününün (yıl hariç) aynı olma olasılığı 0,706'dır.

2. Bir yolculuk sırasında birisiyle tanışırsınız ve konuşma sırasında ortak bir tanıdığınız olduğunu keşfedersiniz. Tipik tepki: "Bu olamaz!" Aslında bu ifade uymuyor çünkü böyle bir olayın olasılığı oldukça yüksek -% 22'nin biraz üzerinde.

Bu nedenle deneysel olasılık gözlem ve veri toplama yoluyla belirlenir. Teorik olasılıklar matematiksel akıl yürütmeyle belirlenir. Yukarıda tartışılanlar gibi deneysel ve teorik olasılık örnekleri ve özellikle de beklemediğimiz örnekler bizi olasılığı çalışmanın önemine yönlendirir. "Gerçek olasılık nedir?" diye sorabilirsiniz. Aslında hiçbiri yok. Olasılıkların belirli sınırlar içerisinde belirlenmesi deneysel olarak mümkündür. Teorik olarak elde ettiğimiz olasılıklarla örtüşebilir veya örtüşmeyebilirler. Bir olasılık türünü tanımlamanın diğerine göre çok daha kolay olduğu durumlar vardır. Örneğin teorik olasılığı kullanarak soğuk algınlığına yakalanma olasılığını bulmak yeterli olacaktır.

Deneysel olasılıkların hesaplanması

İlk önce olasılığın deneysel tanımını düşünün. Bu tür olasılıkları hesaplamak için kullandığımız temel prensip aşağıdaki gibidir.

Prensip P (deneysel)

n gözlemin yapıldığı bir deneyde, E durumu veya olayı n gözlemde m kez meydana geliyorsa, olayın deneysel olasılığına P(E) = m/n denir.

örnek 1 Sosyolojik araştırma. Solak, sağ elini kullanan ve her iki eli de eşit derecede gelişmiş olan kişilerin sayısını belirlemek amacıyla deneysel bir çalışma yapıldı ve sonuçlar grafikte gösterildi.

a) Kişinin sağ elini kullanma olasılığını belirleyin.

b) Kişinin solak olma olasılığını belirleyin.

c) Kişinin her iki elinde de eşit derecede akıcı olma olasılığını belirleyin.

d) Çoğu PBA turnuvasında 120 oyuncu bulunur. Bu deneye göre kaç oyuncu solak olabilir?

Çözüm

a) Sağ elini kullananların sayısı 82, solakların sayısı 17, her iki elini eşit derecede akıcı kullananların sayısı ise 1'dir. Toplam gözlem sayısı 100'dür. Buna göre olasılık Bir kişinin sağ elini kullanması P'dir
P = 82/100 veya 0,82 veya %82.

b) Bir kişinin solak olma olasılığı P'dir, burada
P = 17/100 veya 0,17 veya %17.

c) Bir kişinin her iki elini de eşit derecede akıcı kullanabilme olasılığı P'dir; burada
P = 1/100 veya 0,01 veya %1.

d) 120 bowling oyuncusu ve (b)'den %17'sinin solak olmasını bekleyebiliriz. Buradan
120'nin %17'si = 0,17,120 = 20,4,
yani yaklaşık 20 oyuncunun solak olmasını bekleyebiliriz.

Örnek 2 Kalite kontrol . Bir üreticinin ürünlerinin kalitesini üst düzeyde tutması çok önemlidir. Hatta şirketler bu sürecin sağlanması için kalite kontrol müfettişleri çalıştırıyor. Amaç mümkün olan en az sayıda kusurlu ürünü piyasaya sürmektir. Ancak şirket her gün binlerce ürün ürettiğinden, her bir ürünün kusurlu olup olmadığını belirlemek için incelemeye gücü yetmiyor. Şirket, ürünlerin yüzde kaçının kusurlu olduğunu bulmak için çok daha az ürünü test ediyor.
USDA, yetiştiricilerin sattığı tohumların %80'inin çimlenmesini şart koşuyor. Tarım şirketinin ürettiği tohumların kalitesini belirlemek için üretilen tohumlardan 500 adet tohum ekilmektedir. Daha sonra 417 tohumun çimlendiği hesaplandı.

a) Tohumun çimlenme olasılığı nedir?

b) Tohumlar hükümet standartlarını karşılıyor mu?

Çözüm a) Ekilen 500 tohumdan 417 tanesinin filizlendiğini biliyoruz. Tohum çimlenme olasılığı P ve
P = 417/500 = 0,834 veya %83,4.

b) Talep üzerine çimlenen tohum oranı %80'i aştığı için tohumlar devlet standartlarını karşılamaktadır.

Örnek 3 Televizyon derecelendirmeleri. İstatistiklere göre Amerika Birleşik Devletleri'nde 105.500.000 televizyonlu hane bulunmaktadır. Her hafta programların izlenmesine ilişkin bilgiler toplanır ve işlenir. Bir hafta içinde 7.815.000 hane CBS'nin hit komedi dizisi Everyone Loves Raymond'u, 8.302.000 hane ise NBC'nin hit dizisi Law & Order'ı izledi (Kaynak: Nielsen Media Research). Belirli bir hafta boyunca bir evin televizyonunun "Herkes Raymond'u Seviyor" ya da "Kanun ve Düzen" programına ayarlanması olasılığı nedir?

Çözüm Bir evdeki televizyonun "Herkes Raymond'u Seviyor" olarak ayarlanması olasılığı P'dir ve
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ %7,4.
Evdeki televizyonun "Law & Order" olarak ayarlanmış olma olasılığı P'dir ve
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ %7,9.
Bu yüzdelere derecelendirme denir.

teorik olasılık

Bir bozuk para veya dart atmak, desteden bir kart çekmek veya montaj hattındaki öğeleri test etmek gibi bir deney yaptığımızı varsayalım. Böyle bir deneyin olası her sonucuna ne ad verilir? Çıkış . Olası tüm sonuçların kümesine denir sonuç alanı . Etkinlik bir sonuçlar kümesidir, yani sonuçlar uzayının bir alt kümesidir.

Örnek 4 Dart atmak. Diyelim ki "dart atma" deneyinde dart hedefe çarpıyor. Aşağıdakilerden her birini bulun:

b) Sonuç alanı

Çözüm
a) Sonuçlar şunlardır: siyaha vurmak (H), kırmızıya vurmak (K) ve beyaza vurmak (B).

b) Basitçe (B, R, B) şeklinde yazılabilen bir sonuç uzayı vardır (siyaha çarptı, kırmızıya çarptı, beyaza çarptı).

Örnek 5 Zar atma. Zar, her birinde birden altıya kadar nokta bulunan altı kenarı olan bir küptür.


Diyelim ki bir zar atıyoruz. Bulmak
a) Sonuçlar
b) Sonuç alanı

Çözüm
a) Sonuçlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Sonuç alanı (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Bir E olayının meydana gelme olasılığını P(E) olarak gösteriyoruz. Örneğin, "paranın yazıya düşmesi" H ile gösterilebilir. Bu durumda P(H), madalyonun yazıya gelme olasılığıdır. Bir deneyin tüm sonuçlarının gerçekleşme olasılığı aynıysa, bunların eşit olasılıklı olduğu söylenir. Eşit olasılıklı olaylar ile eşit olasılıklı olmayan olaylar arasındaki farkı görmek için aşağıda gösterilen hedefi göz önünde bulundurun.

A hedefi için siyah, kırmızı ve beyaz sektörler aynı olduğundan siyah, kırmızı ve beyaz isabet olayları eşit olasılıklıdır. Ancak B hedefi için bu renklere sahip bölgeler aynı değildir, yani bunlara çarpma olasılığı eşit değildir.

Prensip P (Teorik)

Eğer bir E olayı, S sonuç uzayındaki n olası eş olasılıklı sonuçtan m farklı şekilde gerçekleşebilirse, o zaman teorik olasılık olay, P(E)
P(E) = m/n.

Örnek 6 Bir zarın atılmasıyla 3 gelme olasılığı nedir?

Çözüm Zarda eşit olasılıklı 6 sonuç vardır ve 3 sayısının atılmasının tek bir olasılığı vardır. Bu durumda P olasılığı P(3) = 1/6 olacaktır.

Örnek 7 Zarın üzerine çift sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm Olay çift sayının atılmasıdır. Bu 3 şekilde gerçekleşebilir (eğer 2, 4 veya 6 atarsanız). Eş olası sonuçların sayısı 6'dır. O halde olasılık P(çift) = 3/6 veya 1/2'dir.

Standart 52 kartlık desteyle ilgili birkaç örnek kullanacağız. Böyle bir deste aşağıdaki şekilde gösterilen kartlardan oluşur.

Örnek 8İyi karıştırılmış bir kart destesinden as çekme olasılığı nedir?

Çözüm 52 sonuç vardır (destedeki kart sayısı), bunlar eşit olasılıklıdır (eğer deste iyi karışmışsa) ve as çekmenin 4 yolu vardır, dolayısıyla P ilkesine göre olasılık
P(as çekmek) = 4/52 veya 1/13.

Örnek 9 3 kırmızı ve 4 yeşil bilyeden oluşan bir torbadan bir bilyeye bakmadan seçtiğimizi varsayalım. Kırmızı topun seçilme olasılığı nedir?

Çözüm Herhangi bir topu almanın eşit olasılıklı 7 sonucu vardır ve kırmızı topu çekmenin yollarının sayısı 3 olduğundan, şunu elde ederiz:
P(kırmızı top seçmek) = 3/7.

Aşağıdaki ifadeler P ilkesinin sonuçlarıdır.

Olasılık Özellikleri

a) E olayı gerçekleşemiyorsa P(E) = 0 olur.
b) E olayının gerçekleşmesi kaçınılmazsa P(E) = 1 olur.
c) E olayının gerçekleşme olasılığı 0 ile 1 arasında bir sayıdır: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Örneğin bir madeni para atıldığında paranın kenarına düşme ihtimali sıfırdır. Bir madalyonun tura veya tura gelme olasılığı 1'dir.

Örnek 10 52 kartlı bir desteden 2 kartın çekildiğini varsayalım. Her ikisinin de maça olma olasılığı nedir?

Çözümİyi karıştırılmış 52 kartlık bir desteden 2 kart çekmenin yol sayısı n 52 C2'dir. 52 kartın 13'ü maça olduğundan, 2 maça çekme yollarının m sayısı 13 C 2'dir. Daha sonra,
P(2 tepe noktasının uzatılması) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Örnek 11 6 erkek ve 4 kadından oluşan bir gruptan rastgele 3 kişinin seçildiğini varsayalım. 1 erkek ve 2 kadının seçilme olasılığı nedir?

Çözüm 10 kişilik bir gruptan üç kişiyi seçmenin yol sayısı 10 C 3 . Bir erkek 6C 1 şekilde, 2 kadın ise 4C2 şekilde seçilebilir. Saymanın temel prensibine göre 1. erkek ve 2. kadını seçecek yol sayısı 6 C 1'dir. 4C2. O halde 1 erkek ve 2 kadının seçilme olasılığı;
P = 6 C1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Örnek 12 Zar atma. İki zarın toplamının 8 gelmesi olasılığı nedir?

Çözüm Her zarda 6 olası sonuç vardır. Sonuçlar ikiye katlanır, yani iki zardaki sayıların düşmesinin 6,6 veya 36 olası yolu vardır. (Küplerin farklı olması daha iyidir; örneğin birinin kırmızı, diğerinin mavi olması, sonucun görselleştirilmesine yardımcı olacaktır.)

Aşağıdaki şekilde toplamı 8 olan sayı çiftleri gösterilmektedir. Toplamı 8'e eşitlemenin 5 olası yolu vardır, dolayısıyla olasılık 5/36'dır.