Çözüm örnekleri iki zarın aynı anda atılması. Zar Olasılığı

Şunun için görevler: olasılık zar yazı tura atma problemlerinden daha az popüler değil. Böyle bir problemin durumu genellikle şöyle görünür: Bir veya daha fazla zar (2 veya 3) atıldığında, puanların toplamının 10 veya puan sayısının 4 olma olasılığı veya sayıların çarpımı nedir? puan sayısı veya puan sayısının çarpımı 2'ye bölünebilir vb.

Formülün uygulanması klasik olasılık Bu tür problemleri çözmenin ana yöntemidir.

Bir ölür, olasılık.

Biriyle baş etmek oldukça basit zar. şu formülle belirlenir: P=m/n; burada m, olay için olumlu sonuçların sayısıdır ve n, bir zarın veya zarın atılmasıyla elde edilen deneyin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısıdır.

Problem 1. Bir zar bir kez atılıyor. Çift sayıda puan alma olasılığı nedir?

Zar bir küp olduğundan (veya normal zar olarak da adlandırıldığından, küp dengeli olduğu için tüm yüzlere aynı olasılıkla düşecektir), zarın 6 yüzü vardır (1'den 6'ya kadar olan puan sayısı; genellikle noktalarla gösterilir), yani görevdeki toplam sonuç sayısı: n=6. Bu olay yalnızca, bu tür yüzlerden oluşan bir küp için, 2,4 ve 6 çift noktaları olan bir yüzün düştüğü sonuçlarla tercih edilir: m=3. Artık bir zarın istenen olasılığını belirleyebiliriz: P=3/6=1/2=0,5.

Görev 2. Bir zar bir kez atılır. En az 5 puan alma olasılığı nedir?

Böyle bir sorun yukarıda belirtilen örneğe benzetilerek çözülür. Bir zar atıldığında, eşit derecede olası sonuçların toplam sayısı: n=6 ve problemin koşulunu karşılıyor (en az 5 puan düştü, yani 5 veya 6 puan düştü) sadece 2 sonuç, yani m =2. Daha sonra istenen olasılığı buluyoruz: P=2/6=1/3=0,333.

İki zar, olasılık.

2 zar atma problemlerini çözerken özel bir skor tablosu kullanmak çok uygundur. Üzerinde, ilk zara düşen puanların sayısı yatay olarak, ikinci zara düşen puanların sayısı ise dikey olarak çizilir. İş parçası şöyle görünür:

Ancak şu soru ortaya çıkıyor: Tablonun boş hücrelerinde ne olacak? Çözülecek göreve bağlıdır. Sorun puanların toplamıyla ilgiliyse, toplam oraya yazılır, farkla ilgiliyse fark yazılır vb.

Problem 3. 2 zar aynı anda atılıyor. Toplamın 5 puandan az olması olasılığı nedir?

Öncelikle deneyin toplam sonuçlarının ne olacağını bulmanız gerekir. Bir zar atıldığında zarın 6 yüzü - deneyin 6 sonucu - her şey açıktı. Ancak zaten iki zar varsa, olası sonuçlar (x, y) biçimindeki sıralı sayı çiftleri olarak temsil edilebilir; burada x, ilk zara kaç puan düştüğünü gösterir (1'den 6'ya) ve y - ikinci zarda kaç puan düştü (1'den 6'ya kadar). Toplamda şu sayısal çiftler olacaktır: n=6*6=36 (sonuç tablosunda 36 hücre bunlara karşılık gelir).

Artık tabloyu doldurabilirsiniz, bunun için her hücreye birinci ve ikinci zara düşen puanların toplamının sayısı girilir. Tamamlanan tablo şuna benzer:

Tablo sayesinde "toplamda 5 puanın altına düşen" olayı destekleyen sonuçların sayısını belirleyeceğiz. Hücre sayısını sayalım, toplamın değeri sayıdan az 5 (bu 2, 3 ve 4'tür). Kolaylık sağlamak için bu tür hücrelerin üzerini boyarız, bunlar m = 6 olacaktır:

Tablo verilerine bakıldığında, zar olasılığı eşittir: P=6/36=1/6.

Problem 4. İki zar atıldı. Nokta sayısının çarpımının 3'e bölünme olasılığını belirleyin.

Sorunu çözmek için birinci ve ikinci zara düşen puanların çarpımlarından oluşan bir tablo yapacağız. İçinde hemen 3'ün katı olan sayıları seçiyoruz:

Deneyin toplam sonuç sayısını n=36 (gerekçe önceki problemdekiyle aynı) ve olumlu sonuçların sayısını (tabloda gölgelenen hücre sayısı) m=20 olarak yazıyoruz. Bir olayın olasılığı: P=20/36=5/9.

Problem 5. Bir zar iki kez atılıyor. Birinci ve ikinci zardaki puan sayısı arasındaki farkın 2 ile 5 arasında olma olasılığı nedir?

Belirlemek, birsey belirlemek zar olasılığı Puan farkları tablosunu yazalım ve içindeki farkın değeri 2 ile 5 arasında olacak hücreleri seçelim:

Olumlu sonuçların sayısı (tabloda gölgelenen hücrelerin sayısı) m=10'a eşittir, eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı n=36 olacaktır. Bir olayın olasılığını belirler: P=10/36=5/18.

Basit bir olay durumunda ve 2 zar atarken, bir masa oluşturmanız, ardından içindeki gerekli hücreleri seçmeniz ve sayılarını 36'ya bölmeniz gerekir, bu bir olasılık olarak kabul edilecektir.

Soldaki cevap Misafir

Tek zarla durum müstehcen derecede basittir. Olasılığın P=m/n formülüyle bulunduğunu hatırlatayım.
P
=
M
N
, nerede n
N
- Bir zarın veya zarın atılmasıyla elde edilen deneyin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısı ve m
M
- olayı destekleyen sonuçların sayısı.

Örnek 1. Bir zar bir kez atılıyor. Çift sayıda puan alma olasılığı nedir?

Zar bir küp olduğundan (aynı zamanda normal bir zar derler, yani bir zar dengelidir, böylece tüm yüzlere aynı olasılıkla düşer), zarın yüzleri 6'dır (1'den itibaren puan sayısıyla) 6'ya kadar, genellikle puanlarla gösterilir), ardından görevdeki toplam sonuç sayısı n=6
N
=
6
. 2, 4 veya 6 puanlı (yalnızca çift olanlar) bir yüzün düştüğü olay için yalnızca bu tür sonuçlar uygundur, bu tür yüzler m = 3'tür.
M
=
3
. O halde istenen olasılık P=3/6=1/2=0,5'tir.
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Örnek 2. Bir zar atılıyor. En az 5 puan alma olasılığını bulun.

Önceki örnekte olduğu gibi tartışıyoruz. Bir zar atıldığında eşit olasılıklı sonuçların toplam sayısı n=6
N
=
6
ve "en az 5 puan düştü" yani "ya 5 ya da 6 puan düştü" koşulu 2 sonuçla sağlanır, m=2
M
=
2
. Gerekli olasılık P=2/6=1/3=0,333'tür.
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Daha fazla örnek vermenin manasını bile göremiyorum, her şeyin daha ilginç ve daha zor olduğu iki zara geçelim.

İki zar

2 zar atmayla ilgili sorunlar söz konusu olduğunda skor tablosunu kullanmak çok uygundur. İlk zardaki puan sayısını yatay olarak, ikinci zardaki puan sayısını da dikey olarak çizelim. Hadi böyle bir boşluk bırakalım (genellikle Excel'de yapıyorum, aşağıdaki dosyayı indirebilirsiniz):

2 zar atmak için puanlama tablosu
Peki ya masa hücreleri? Ve hangi sorunu çözeceğimize bağlı. Puanların toplamı ile ilgili bir görev olacak - toplamı oraya yazacağız, fark hakkında - farkı yazacağız vb. Başlıyor muyuz?

Örnek 3. 2 zar aynı anda atılıyor. Toplam atışın 5'ten az olma olasılığını bulun.

Öncelikle deneyin toplam sonuç sayısıyla ilgilenelim. Bir zar attığımızda her şey açıktı; 6 yüz - 6 sonuç. Burada zaten iki kemik var, dolayısıyla sonuçlar (x, y) formundaki sıralı sayı çiftleri olarak temsil edilebilir.
X
,
sen
, nerede x
X
- ilk zarda kaç puan düştü (1'den 6'ya kadar), y
sen
- ikinci zarda kaç puan düştü (1'den 6'ya kadar). Açıkçası, bu tür sayı çiftleri n=6⋅6=36 olacak
N
=
6
⋅
6
=
36
(ve sonuç tablosundaki yalnızca 36 hücreye karşılık gelirler).

Şimdi tabloyu doldurmanın zamanı geldi. Her hücreye birinci ve ikinci zara düşen puanların toplamını gireceğiz ve aşağıdaki resmi elde edeceğiz:

2 zar atmak için puanlama tablosu
Şimdi bu tablo "toplam 5'ten az" sonucunu destekleyen sonuçların sayısını bulmamıza yardımcı olacak. Bunu yapmak için, toplam değeri 5'ten (yani 2, 3 veya 4) küçük olan hücreleri sayarız. Netlik sağlamak için bu hücrelerin üzerini boyayacağız, bunlar m = 6 olacak
M
=
6
:

2 zar atıldığında 5'ten küçük puanların toplamları tablosu
O zaman olasılık: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Örnek 4. İki zar atılıyor. Nokta sayısının çarpımının 3'e bölünebilme olasılığını bulun.

Birinci ve ikinci zarlara düşen puanların çarpımlarından oluşan bir tablo hazırlıyoruz. Hemen 3'ün katları olan sayıları seçin:

2 zar atmak için puanlama tablosu
Geriye sadece toplam sonuç sayısının n=36 olduğunu yazmak kalıyor
N
=
36
(önceki örneğe bakın, mantık aynı) ve olumlu sonuçların sayısı (yukarıdaki tabloda dolu hücrelerin sayısı) m=20
M
=
20
. O zaman olayın olasılığı P=20/36=5/9 olacaktır.
P
=
20
36
=
5
9
.

Gördüğünüz gibi, bu tür bir görev, uygun hazırlıkla (birkaç görevi daha çözmek için) hızlı ve kolay bir şekilde çözülebilir. Değişiklik olsun diye başka bir tabloyla bir görev daha yapalım (tüm tablolar sayfanın alt kısmından indirilebilir).

Örnek 5. Bir zar iki kez atılıyor. Birinci ve ikinci zardaki puan sayısı arasındaki farkın 2'den 5'e kadar olma olasılığını bulun.

Puan farkları tablosunu yazalım, içindeki farkın değerinin 2 ile 5 arasında olacağı hücreleri seçelim:

2 zar atma için puan farkı tablosu
Böylece eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı n=36
N
=
36
ve olumlu sonuçların sayısı (yukarıdaki tabloda dolu hücrelerin sayısı) m=10'dur
M
=
10
. O zaman olayın olasılığı P=10/36=5/18'e eşit olacaktır.
P
=
10
36
=
5
18
.

Yani 2 zar atma ve basit bir olay söz konusu olduğunda, bir masa oluşturmanız, içindeki gerekli hücreleri seçmeniz ve sayılarını 36'ya bölmeniz gerekir, bu olasılık olacaktır. Puan sayısının toplamı, çarpımı ve farkı ile ilgili görevlerin yanı sıra, farkın modülü, düşen en küçük ve en büyük puan sayısı ile ilgili görevler de vardır (uygun tabloları Excel dosyasında bulabilirsiniz) .

Görevler 1.4 - 1.6

Sorun 1.4 koşulu

Sorunun "çözümünde" hatayı belirtin: iki zar atılıyor; Yuvarlanan noktaların toplamının 3 olma olasılığını bulun (A olayı). "Çözüm". Testin iki sonucu mümkündür: Bırakılan puanların toplamı 3'tür, düşürülen puanların toplamı 3'e eşit değildir. A olayı bir sonuç tarafından tercih edilir, toplam sonuç sayısı ikidir. Bu nedenle gerekli olasılık P(A) = 1/2'ye eşittir.

Problem 1.4'ün çözümü

Bu "çözüm"ün yanılgısı, söz konusu sonuçların eşit derecede olası olmamasıdır. Doğru çözüm: Eşit olasılıklı sonuçların toplam sayısı eşittir (bir zarda atılan her puan, başka bir zarda atılan tüm puanlarla birleştirilebilir). Bu sonuçlar arasında sadece iki sonuç olayı lehte tutuyor: (1; 2) ve (2; 1). Yani istenilen olasılık

Cevap:

Sorun 1.5 koşulu

İki zar atılıyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: a) yuvarlanan noktaların toplamı yediye eşittir; b) bırakılan puanların toplamı sekize eşit ve fark dört; c) Farklarının dörde eşit olduğu biliniyorsa, bırakılan puanların toplamı sekize eşittir; d) Bırakılan noktaların toplamı beş, çarpımı ise dört olur.

Problem 1.5'in çözümü

a) İlk zarda altı, ikinci zarda altı çeşit. Toplam seçenekler: (çarpım kuralına göre). Toplam 7'ye eşit seçenekler: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - toplamda altı seçenek. Araç,

b) Sadece iki uygun seçenekler: (6.2) ve (2.6). Araç,

c) Yalnızca iki uygun seçenek vardır: (2.6), (6.2). Ama sadece seçenekler 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Araç, .

d) 5'e eşit bir toplam için şu seçenekler uygundur: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Ürün sadece iki seçenek için 4'tür. Daha sonra

Cevap: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; 1/18

Sorun 1.6 durumu

Her tarafı boyalı bir küp, aynı büyüklükte bin küp halinde kesilir ve bunlar daha sonra iyice karıştırılır. Şans eseri çıkarılan küpün renkli yüzlere sahip olma olasılığını bulun: a) bir; b) iki; saat üçte.

Problem 1.6'nın çözümü

Toplamda 1000 küp oluşturuldu. Üç renkli yüzü olan küpler: 8 (bunlar köşe zarlarıdır). İki boyalı yüzü olan: 96 (çünkü her kenarda 8 küp bulunan 12 küp kenarı vardır). Kenarları boyalı zarlar: 384 (çünkü 6 yüz vardır ve her yüzde 64 zar vardır). Bulunan her sayıyı 1000'e bölmek kalır.

Cevap: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008