Ev · elektrik güvenliği · Doğrusal fonksiyon formülü. Doğrusal fonksiyon ve grafiği

Doğrusal fonksiyon formülü. Doğrusal fonksiyon ve grafiği

Doğrusal bir fonksiyon formun bir fonksiyonudur

x-argümanı (bağımsız değişken),

y-fonksiyonu (bağımlı değişken),

k ve b bazı sabit sayılardır

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği dümdüz.

Grafik oluşturmak için yeterli iki puan çünkü iki noktadan düz bir çizgi ve üstelik yalnızca bir çizgi çizebilirsiniz.

Eğer k˃0 ise grafik 1. ve 3. koordinat bölgelerinde yer alır. Eğer k˂0 ise grafik 2. ve 4. koordinat bölgelerinde yer alır.

k sayısına y(x)=kx+b fonksiyonunun düz grafiğinin eğimi denir. Eğer k˃0 ise, y(x)= kx+b düz çizgisinin Ox pozitif yönüne olan eğim açısı dardır; k˂0 ise bu açı geniştir.

Katsayı b, grafiğin op-amp ekseni (0; b) ile kesişme noktasını gösterir.

y(x)=k∙x-- tipik bir fonksiyonun özel durumuna doğru orantılılık denir. Grafik orijinden geçen düz bir çizgidir, dolayısıyla bu grafiği oluşturmak için bir nokta yeterlidir.

Doğrusal Bir Fonksiyonun Grafiği

Katsayısı k = 3 olduğunda, dolayısıyla

Fonksiyonun grafiği artacak ve Ox ekseniyle dar açı yapacaktır çünkü k katsayısı artı işaretine sahiptir.

OOF doğrusal fonksiyonu

Doğrusal bir fonksiyonun OPF'si

Şu durum hariç

Ayrıca formun doğrusal bir fonksiyonu

Genel formun bir fonksiyonudur.

B) k=0 ise; b≠0,

Bu durumda grafik Ox eksenine paralel ve (0; b) noktasından geçen düz bir çizgidir.

B) k≠0 ise; b≠0 ise doğrusal fonksiyon y(x)=k∙x+b formuna sahiptir.

örnek 1 . y(x)= -2x+5 fonksiyonunun grafiğini çizin

Örnek 2 . y=3x+1, y=0; fonksiyonunun sıfırlarını bulalım.

– fonksiyonun sıfırları.

Cevap: veya (;0)

Örnek 3 . x=1 ve x=-1 için y=-x+3 fonksiyonunun değerini belirleyin

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Cevap: y_1=2; y_2=4.

Örnek 4 . Kesişme noktalarının koordinatlarını belirleyin veya grafiklerin kesişmediğini kanıtlayın. y 1 =10∙x-8 ve y 2 =-3∙x+5 fonksiyonları verilsin.

Fonksiyonların grafikleri kesişiyorsa fonksiyonların bu noktadaki değerleri eşittir

x=1'i yerine koyarsak, y 1 (1)=10∙1-8=2 olur.

Yorum. Ayrıca argümanın sonuç değerini y 2 =-3∙x+5 fonksiyonunda da yerine koyabilirsiniz, o zaman aynı cevabı y 2 (1)=-3∙1+5=2 elde ederiz.

y=2- kesişim noktasının koordinatı.

(1;2) - y=10x-8 ve y=-3x+5 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişme noktası.

Cevap: (1;2)

Örnek 5 .

y 1 (x)= x+3 ve y 2 (x)= x-1 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturun.

Her iki fonksiyon için de k=1 katsayısının olduğunu fark edebilirsiniz.

Yukarıdakilerden, doğrusal bir fonksiyonun katsayıları eşitse, koordinat sistemindeki grafiklerinin paralel olduğu anlaşılmaktadır.

Örnek 6 .

Fonksiyonun iki grafiğini oluşturalım.

İlk grafikte formül var

İkinci grafikte formül var

Bu durumda elimizde (0;4) noktasında kesişen iki doğrunun grafiği var. Bu, eğer x = 0 ise, grafiğin Ox ekseni üzerindeki yükselişinin yüksekliğinden sorumlu olan katsayı b anlamına gelir. Bu, her iki grafiğin b katsayısının 4'e eşit olduğunu varsayabileceğimiz anlamına gelir.

Editörler: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

>>Matematik: Doğrusal fonksiyon ve grafiği

Doğrusal fonksiyon ve grafiği


 Matematikçiler, tüm açıklığı ve kesinliği nedeniyle, § 28'de formüle ettiğimiz ax + by + c = 0 denkleminin grafiğini oluşturma algoritmasını gerçekten sevmiyorlar. Genellikle algoritmanın ilk iki adımıyla ilgili iddialarda bulunurlar. Denklemi neden y değişkeni için iki kez çözelim diyorlar: önce ax1 + by + c = O, sonra ax1 + by + c = O? Y'yi ax + ile + c = 0 denkleminden hemen ifade etmek daha iyi değil mi, o zaman hesaplamaları yapmak daha kolay (ve en önemlisi daha hızlı) olacak mı? Hadi kontrol edelim. Önce düşünelim denklem 3x - 2y + 6 = 0 (bkz. § 28'deki örnek 2).

X'e özgü değerler verilerek karşılık gelen y değerlerinin hesaplanması kolaydır. Örneğin x = 0 olduğunda y = 3 elde ederiz; x = -2'de y = 0'a sahibiz; x = 2 için y = 6; x = 4 için şunu elde ederiz: y = 9.

§ 28'deki örnek 2'de vurgulanan (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) ve (4; 9) noktalarının ne kadar kolay ve hızlı bulunduğunu görüyorsunuz.

Aynı şekilde, bx - 2y = 0 denklemi (bkz. § 28'deki örnek 4) 2y = 16 -3x formuna dönüştürülebilir. ayrıca y = 2,5x; bu denklemi sağlayan (0; 0) ve (2; 5) noktalarını bulmak zor değil.

Son olarak aynı örnekteki 3x + 2y - 16 = 0 denklemi 2y = 16 -3x formuna dönüştürülebilir ve daha sonra onu sağlayan (0; 0) ve (2; 5) noktalarını bulmak zor değildir.

Şimdi bu dönüşümleri genel hatlarıyla ele alalım.


Böylece iki değişkenli x ve y doğrusal denklemi (1) her zaman şu forma dönüştürülebilir:
y = kx + m,(2) burada k,m sayılardır (katsayılar) ve .

Bu özel doğrusal denklem türüne doğrusal fonksiyon adını vereceğiz.

Eşitlik (2)'yi kullanarak belirli bir x değerini belirlemek ve karşılık gelen y değerini hesaplamak kolaydır. Örneğin,

y = 2x + 3. O halde:
eğer x = 0 ise y = 3;
eğer x = 1 ise y = 5;
eğer x = -1 ise y = 1;
x = 3 ise y = 9 vb.

Tipik olarak bu sonuçlar formda sunulur. tablolar:

Tablonun ikinci satırındaki y değerlerine, x = 0, x = 1, x = -1, x = - noktalarında sırasıyla y = 2x + 3 doğrusal fonksiyonunun değerleri denir. 3.

Denklem (1)'de hnu değişkenleri eşittir, ancak denklem (2)'de değildir: bunlardan birine belirli değerler atarız - değişken x, değişken y'nin değeri ise x değişkeninin seçilen değerine bağlıdır. Bu nedenle genellikle x'in bağımsız değişken (veya argüman), y'nin bağımlı değişken olduğunu söyleriz.

Doğrusal bir fonksiyonun iki değişkenli özel bir tür doğrusal denklem olduğuna dikkat edin. Denklem grafiği y - kx + m, iki değişkenli herhangi bir doğrusal denklem gibi düz bir çizgidir - buna aynı zamanda y = kx + m doğrusal fonksiyonunun grafiği de denir. Dolayısıyla aşağıdaki teorem geçerlidir.


Örnek 1. y = 2x + 3 doğrusal fonksiyonunun grafiğini oluşturun.

Çözüm. Bir tablo yapalım:

İkinci durumda ise ilk durumda olduğu gibi gün sayısını ifade eden bağımsız değişken x yalnızca 1, 2, 3, ..., 16 değerlerini alabilmektedir. Nitekim x = 16 ise, daha sonra y = 500 - 30x formülünü kullanarak şunu buluruz: y = 500 - 30 16 = 20. Bu, 17. günde 30 ton kömürü depodan çıkarmanın mümkün olmayacağı anlamına gelir, çünkü bugüne kadar sadece 20 ton kömür var. ton depoda kalacak ve kömür çıkarma işleminin durdurulması gerekecek. Dolayısıyla ikinci durumun geliştirilmiş matematiksel modeli şuna benzer:

y = 500 - ZOD:, burada x = 1, 2, 3, .... 16.

Üçüncü durumda ise bağımsız değişken x teorik olarak negatif olmayan herhangi bir değeri alabilir (örneğin, x değeri = 0, x değeri = 2, x değeri = 3,5, vb.), ancak pratikte bir turist herhangi bir miktarda uyku ve dinlenme olmadan sabit bir hızda yürüyemez. zamanın. Bu yüzden x'e (örneğin 0) makul kısıtlamalar getirmemiz gerekiyordu.< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Katı olmayan çift eşitsizliğin geometrik modelinin 0 olduğunu hatırlayın< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

“x, X kümesine aittir” ifadesi yerine yazmayı kabul edelim (okuyun: “x elemanı X kümesine aittir”, e üyeliğin işaretidir). Gördüğünüz gibi matematik diliyle tanışıklığımız sürekli devam ediyor.

Doğrusal fonksiyon y = kx + m, x'in tüm değerleri için değil, yalnızca belirli bir X sayısal aralığındaki x değerleri için dikkate alınmalıysa, o zaman şunu yazarlar:

Örnek 2. Doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizin:

Çözüm, a) y = 2x + 1 doğrusal fonksiyonu için bir tablo oluşturalım.

xOy koordinat düzleminde (-3; 7) ve (2; -3) noktalarını oluşturalım ve bunların içinden geçen düz bir çizgi çizelim. Bu, y = -2x: + 1 denkleminin grafiğidir. Daha sonra oluşturulan noktaları birleştiren bir doğru parçası seçin (Şekil 38). Bu parça, xe [-3, 2] olan y = -2x+1 doğrusal fonksiyonunun grafiğidir.

Genellikle şunu söylerler: [- 3, 2] parçası üzerinde y = - 2x + 1 doğrusal fonksiyonunu çizdik.

b) Bu örneğin öncekinden farkı nedir? Doğrusal fonksiyon aynıdır (y = -2x + 1), bu da grafiği olarak aynı düz çizginin kullanıldığı anlamına gelir. Ama dikkat et! - bu sefer x e (-3, 2), yani x = -3 ve x = 2 değerleri dikkate alınmaz, (- 3, 2) aralığına ait değildir. Koordinat doğrusu üzerinde bir aralığın uçlarını nasıl işaretledik? Işık çemberleri (Şekil 39), bundan § 26'da bahsetmiştik. Benzer şekilde, (- 3; 7) ve B noktaları; - 3) çizimde açık renkli dairelerle işaretlenmesi gerekecektir. Bu bize sadece y = - 2x + 1 doğrusu üzerinde dairelerle işaretlenmiş noktalar arasında kalan noktaların alındığını hatırlatacaktır (Şekil 40). Ancak bazen bu gibi durumlarda açık renkli daireler yerine okları kullanırlar (Şek. 41). Bu temel değil, asıl önemli olan ne söylendiğini anlamaktır.


Örnek 3. Doğrusal bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun.
Çözüm. Doğrusal bir fonksiyon için bir tablo yapalım

XOy koordinat düzleminde (0; 4) ve (6; 7) noktalarını oluşturalım ve bunların içinden düz bir çizgi çizelim - doğrusal x fonksiyonunun bir grafiği (Şekil 42).

Bu doğrusal fonksiyonu bir bütün olarak değil, bir parça üzerinde, yani x e için dikkate almamız gerekir.

Grafiğin ilgili bölümü çizimde vurgulanmıştır. Seçilen parçaya ait noktaların en büyük koordinatının 7'ye eşit olduğunu not ediyoruz - bu, segmentteki doğrusal fonksiyonun en büyük değeridir. Genellikle şu gösterim kullanılır: y max =7.

Şekil 42'de vurgulanan çizginin kısmına ait noktaların en küçük koordinatının 4'e eşit olduğunu not ediyoruz - bu, segment üzerindeki doğrusal fonksiyonun en küçük değeridir.
Genellikle şu gösterim kullanılır: y adı. = 4.

Örnek 4. Y naib ve y naim'i bulun. doğrusal bir fonksiyon için y = -1,5x + 3,5

a) segmentte; b) (1.5) aralığında;
c) yarım aralıklarla.

Çözüm. Y = -l.5x + 3.5 doğrusal fonksiyonu için bir tablo yapalım:

xOy koordinat düzleminde (1; 2) ve (5; - 4) noktalarını oluşturalım ve bunların içinden düz bir çizgi çizelim (Şekil 43-47). Oluşturulan düz çizgi üzerinde segmentten (Şekil 43), A, 5 aralığından (Şekil 44), yarım aralıktan (Şekil 47) x değerlerine karşılık gelen kısmı seçelim.

a) Şekil 43'ü kullanarak y max = 2 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 1'de ulaşır) ve y min olduğu sonucunu çıkarmak kolaydır. = - 4 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 5'te ulaşır).

b) Şekil 44'ü kullanarak şu sonuca varıyoruz: bu doğrusal fonksiyon, belirli bir aralıkta ne en büyük ne de en küçük değerlere sahiptir. Neden? Gerçek şu ki, önceki durumdan farklı olarak, en büyük ve en küçük değerlere ulaşılan segmentin her iki ucu da değerlendirme dışı bırakılmıştır.

c) Şekil 45'i kullanarak y max sonucunu çıkarıyoruz. = 2 (ilk durumda olduğu gibi) ve doğrusal fonksiyonun minimum değeri yoktur (ikinci durumda olduğu gibi).

d) Şekil 46'yı kullanarak şu sonuca varıyoruz: y max = 3,5 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 0'da ulaşır) ve y max. bulunmuyor.

e) Şekil 47'yi kullanarak şu sonuca varıyoruz: y maksimum = -1 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 3'te ulaşır) ve y maksimum yoktur.

Örnek 5. Doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizin

y = 2x - 6. Grafiği kullanarak aşağıdaki soruları yanıtlayın:

a) x'in hangi değerinde y = 0 olur?
b) x'in hangi değerleri için y > 0 olur?
c) x'in hangi değerlerinde y olacak< 0?

Çözüm: y = 2x-6 doğrusal fonksiyonu için bir tablo oluşturalım:

(0; - 6) ve (3; 0) noktaları boyunca düz bir çizgi çiziyoruz - y = 2x - 6 fonksiyonunun grafiği (Şekil 48).

a) x = 3'te y = 0. Grafik x eksenini x = 3 noktasında kesiyor, ordinatı y = 0 olan nokta burası.
b) x > 3 için y > 0. Aslında, eğer x > 3 ise, bu durumda düz çizgi x ekseninin üzerinde yer alır, bu da düz çizginin karşılık gelen noktalarının koordinatlarının pozitif olduğu anlamına gelir.

kedi< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Lütfen bu örnekte aşağıdakileri çözmek için grafiği kullandığımızı unutmayın:

a) denklem 2x - 6 = 0 (x = 3 elde ettik);
b) eşitsizlik 2x - 6 > 0 (x > 3 elde ettik);
c) eşitsizlik 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Yorum. Rusça'da aynı nesne genellikle farklı şekilde adlandırılır, örneğin: "ev", "bina", "yapı", "yazlık", "konak", "kışla", "kulübe", "kulübe". Matematik dilinde de durum yaklaşık olarak aynıdır. Diyelim ki, k, m'nin belirli sayılar olduğu, y = kx + m gibi iki değişkenli bir eşitlik doğrusal bir fonksiyon olarak adlandırılabilir, iki x ve y değişkenli (veya iki bilinmeyenli x ve y) doğrusal bir denklem olarak adlandırılabilir, formül olarak adlandırılabilir, x ile y'yi birbirine bağlayan ilişki olarak adlandırılabilir, son olarak x ile y arasındaki bağımlılık olarak adlandırılabilir. Bu önemli değil, asıl önemli olan her durumda y = kx + m matematiksel modelinden bahsettiğimizi anlamaktır.

.

Şekil 49, a'da gösterilen doğrusal fonksiyonun grafiğini düşünün. Bu grafikte soldan sağa doğru hareket edersek, grafikteki noktaların koordinatları sanki "tepeye tırmanıyormuşuz" gibi sürekli artıyor. Bu gibi durumlarda matematikçiler artış terimini kullanır ve şunu söylerler: eğer k>0 ise y = kx + m doğrusal fonksiyonu artar.

Şekil 49, b'de gösterilen doğrusal fonksiyonun grafiğini düşünün. Bu grafikte soldan sağa doğru hareket edersek, grafikteki noktaların koordinatları sanki "tepeden aşağı iniyormuşuz" gibi sürekli azalıyor. Bu gibi durumlarda matematikçiler azalma terimini kullanırlar ve şunu söylerler: eğer k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Hayatta doğrusal fonksiyon

Şimdi bu konuyu özetleyelim. Doğrusal fonksiyon gibi bir kavramla zaten tanıştık, özelliklerini biliyoruz ve grafiklerin nasıl oluşturulacağını öğrendik. Ayrıca doğrusal fonksiyonların özel durumlarını incelediniz ve doğrusal fonksiyonların grafiklerinin göreceli konumunun neye bağlı olduğunu öğrendiniz. Ancak günlük yaşamımızda da bu matematiksel modelle sürekli kesiştiğimiz ortaya çıktı.

Doğrusal fonksiyonlar gibi bir kavramla hangi gerçek yaşam durumlarının ilişkilendirildiğini düşünelim. Ayrıca hangi nicelikler veya yaşam durumları arasında doğrusal bir ilişki kurmak mümkündür?

Birçoğunuz muhtemelen neden doğrusal fonksiyonları incelemeniz gerektiğini tam olarak anlamıyorsunuz çünkü bunun daha sonraki yaşamda yararlı olması pek mümkün değil. Ancak burada çok yanılıyorsunuz çünkü işlevlerle her zaman ve her yerde karşılaşıyoruz. Çünkü düzenli bir aylık kira bile aynı zamanda birçok değişkene bağlı bir fonksiyondur. Ve bu değişkenler metrekareyi, sakinlerin sayısını, tarifeleri, elektrik kullanımını vb. içerir.

Elbette doğrusal bağımlılık fonksiyonlarının en sık karşılaştığımız örnekleri matematik derslerindedir.

Sen ve ben, arabaların, trenlerin veya yayaların belirli bir hızda kat ettiği mesafeyi bulduğumuz problemleri çözdük. Bunlar hareket zamanının doğrusal fonksiyonlarıdır. Ancak bu örnekler sadece matematikte geçerli değil, günlük yaşamımızda da mevcut.

Süt ürünlerinin kalori içeriği yağ içeriğine bağlıdır ve bu tür bir bağımlılık genellikle doğrusal bir fonksiyondur. Örneğin ekşi kremadaki yağ yüzdesi arttığında ürünün kalori içeriği de artar.



Şimdi denklem sistemini çözerek hesaplamaları yapalım ve k ve b değerlerini bulalım:


Şimdi bağımlılık formülünü türetelim:

Sonuç olarak doğrusal bir ilişki elde ettik.

Sıcaklığa bağlı olarak sesin yayılma hızını bilmek için aşağıdaki formülü kullanarak bulmak mümkündür: v = 331 +0,6t, burada v hızdır (m/s cinsinden), t ise sıcaklıktır. Bu ilişkinin grafiğini çizersek doğrusal olacağını yani düz bir çizgiyi temsil edeceğini göreceğiz.

Ve doğrusal fonksiyonel bağımlılığın uygulanmasında bilginin bu tür pratik kullanımları uzun süre listelenebilir. Telefon şarjlarından başlayarak, saç uzunluğu ve uzamasına ve hatta edebiyattaki atasözlerine kadar. Ve bu liste uzayıp gidiyor.

Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda Matematik indir

A. V. Pogorelov, 7-11. Sınıflar için Geometri, Eğitim kurumları için ders kitabı

Uygulamada görüldüğü gibi, ikinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafikleri ile ilgili görevler ciddi zorluklara neden olur. Bu oldukça garip çünkü 8. sınıfta ikinci dereceden fonksiyonu inceliyorlar ve ardından 9. sınıfın ilk çeyreği boyunca parabolün özelliklerine "eziyet ediyorlar" ve çeşitli parametrelere göre grafiklerini oluşturuyorlar.

Bunun nedeni, öğrencileri parabol oluşturmaya zorlarken pratikte grafikleri "okumaya" zaman ayırmamaları, yani resimden alınan bilgileri kavrama pratiği yapmamalarıdır. Görünüşe göre, bir düzine veya iki grafik oluşturduktan sonra akıllı bir öğrencinin formüldeki katsayılar ile grafiğin görünümü arasındaki ilişkiyi kendisinin keşfedip formüle edeceği varsayılmaktadır. Pratikte bu işe yaramıyor. Böyle bir genelleme için, dokuzuncu sınıf öğrencilerinin çoğunun elbette sahip olmadığı matematiksel mini araştırma konusunda ciddi bir deneyim gereklidir. Bu arada Devlet Müfettişliği, programı kullanarak katsayıların işaretlerini belirlemeyi teklif ediyor.

Okul çocuklarından imkansızı talep etmeyeceğiz ve sadece bu tür sorunları çözmek için algoritmalardan birini sunacağız.

Yani formun bir fonksiyonu y = eksen 2 + bx + c ikinci dereceden denir, grafiği bir paraboldür. Adından da anlaşılacağı gibi ana terim balta 2. Yani A sıfıra eşit olmamalıdır, kalan katsayılar ( B Ve İle) sıfıra eşit olabilir.

Katsayılarının işaretlerinin bir parabolün görünümünü nasıl etkilediğini görelim.

Katsayı için en basit bağımlılık A. Çoğu okul çocuğu güvenle cevap verir: “eğer A> 0 ise parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir ve eğer A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

Bu durumda A = 0,5

Ve şimdi A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Bu durumda A = - 0,5

Katsayının etkisi İle Takip edilmesi de oldukça kolaydır. Bir fonksiyonun değerini bir noktada bulmak istediğimizi düşünelim. X= 0. Formülde sıfırı yerine koyun:

sen = A 0 2 + B 0 + C = C. Şekline dönüştü y = c. Yani İle parabolün y ekseniyle kesişme noktasının koordinatıdır. Genellikle bu noktayı grafikte bulmak kolaydır. Ve sıfırın üstünde mi yoksa altında mı olduğunu belirleyin. Yani İle> 0 veya İle < 0.

İle > 0:

y = x 2 + 4x + 3

İle < 0

y = x 2 + 4x - 3

Buna göre eğer İle= 0 ise parabol mutlaka orijinden geçecektir:

y = x 2 + 4x


Parametreyle daha zor B. Onu bulacağımız nokta yalnızca şuna bağlı değildir: B ama aynı zamanda A. Burası parabolün tepesi. Apsis (eksen koordinatı) X) formülle bulunur x'te = - b/(2a). Böylece, b = - 2ax inç. Yani şu şekilde ilerliyoruz: Grafikte parabolün tepe noktasını buluyoruz, apsisinin işaretini belirliyoruz, yani sıfırın sağına bakıyoruz ( x giriş> 0) veya sola ( x giriş < 0) она лежит.

Ancak hepsi bu değil. Katsayının işaretine de dikkat etmemiz gerekiyor. A. Yani parabolün dallarının nereye yönlendirildiğine bakın. Ve ancak bundan sonra formüle göre b = - 2ax inç işareti belirlemek B.

Bir örneğe bakalım:

Dallar yukarı doğru yönlendirilir, yani A> 0, parabol eksenle kesişiyor en sıfırın altında yani İle < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x giriş> 0. Yani b = - 2ax inç = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, İle < 0.

“Bir fonksiyonun kritik noktaları” - Kritik noktalar. Kritik noktalar arasında ekstremum noktalar bulunmaktadır. Bir ekstremum için gerekli bir koşul. Cevap: 2. Tanım. Ancak f"(x0) = 0 ise x0 noktasının bir uç nokta olmasına gerek yoktur. Ekstrem noktalar (tekrar). Fonksiyonun kritik noktaları. Ekstrem noktalar.

“Koordinat düzlemi 6. sınıf” - Matematik 6. sınıf. 1. X. 1. A, B, C, D: -6 noktalarının koordinatlarını bulun ve yazın. Koordinat uçağı. O.-3. 7.Ü.

“Fonksiyonlar ve grafikleri” - Süreklilik. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri. Ters fonksiyon kavramı. Doğrusal. Logaritmik. Monoton. Eğer k > 0 ise oluşan açı dardır, eğer k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Fonksiyonlar 9. sınıf” - Fonksiyonlar üzerinde geçerli aritmetik işlemler. [+] – toplama, [-] – çıkarma, [*] – çarpma, [:] – bölme. Bu gibi durumlarda fonksiyonun grafiksel olarak belirtilmesinden bahsediyoruz. Temel fonksiyonlar sınıfının oluşturulması. Güç fonksiyonu y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, RMOU Raduzhskaya Ortaokulu 9. sınıf öğrencisi.

“Ders Teğet Denklemi” - 1. Bir fonksiyonun grafiğine teğet kavramını açıklayın. Leibniz keyfi bir eğriye teğet çizme problemini değerlendirdi. y=f(x) FONKSİYONUNUN GRAFİĞİNE Teğet Bir Denklem Geliştirme Algoritması. Ders konusu: Test: Bir fonksiyonun türevini bulun. Teğet denklemi. Akı. Sınıf 10. Isaac Newton'un türev fonksiyonu dediği şeyin şifresini çözün.

“Bir fonksiyonun grafiğini oluşturun” - y=3cosx fonksiyonu verilir. y=m*sin x fonksiyonunun grafiği. Fonksiyonun grafiğini çizin. İçerik: Verilen fonksiyon: y=sin (x+?/2). y=cosx grafiğinin y ekseni boyunca uzatılması. Devam etmek için l'ye tıklayın. Fare tuşu. y=cosx+1 fonksiyonu verildiğinde. Grafik y=sinx'i dikey olarak kaydırır. y=3sinx fonksiyonu verildiğinde. y=cosx grafiğinin yatay yer değiştirmesi.

Konuda toplam 25 sunum bulunmaktadır.

Sayısal fonksiyon kavramı. Bir işlevi belirtme yöntemleri. Fonksiyonların özellikleri.

Sayısal işlev, bir sayısal uzaydan (küme) başka bir sayısal uzaya (küme) etki eden bir işlevdir.

Bir fonksiyonu tanımlamanın üç ana yolu: analitik, tablosal ve grafiksel.

1. Analitik.

Bir formülü kullanarak bir fonksiyonu belirleme yöntemine analitik denir. Bu yöntem mattaki ana yöntemdir. analiz, ancak pratikte uygun değildir.

2. Bir işlevi belirtmenin tablo yöntemi.

Bağımsız değişken değerlerini ve bunlara karşılık gelen işlev değerlerini içeren bir tablo kullanılarak bir işlev belirtilebilir.

3. Bir işlevi belirtmenin grafiksel yöntemi.

Bir y=f(x) fonksiyonunun grafiği oluşturulmuşsa grafiksel olarak verildiği söylenir. Bir fonksiyonu belirlemenin bu yöntemi, bir grafik oluşturmak ve üzerinde fonksiyon değerlerini bulmak hatalarla ilişkili olduğundan, fonksiyon değerlerinin yalnızca yaklaşık olarak belirlenmesini mümkün kılar.

Bir fonksiyonun grafiğini oluştururken dikkate alınması gereken özellikleri:

1) Fonksiyonun tanım alanı.

Fonksiyonun etki alanı, yani F =y (x) fonksiyonunun x argümanının alabileceği değerler.

2) Artan ve azalan fonksiyonların aralıkları.

Fonksiyona artan denir eğer argümanın daha büyük bir değeri y(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa, söz konusu aralıkta. Bu, söz konusu aralıktan iki keyfi argüman x 1 ve x 2 alınırsa ve x 1 > x 2 olursa, o zaman y(x 1) > y(x 2) anlamına gelir.

Fonksiyona azalan denir eğer argümanın daha büyük bir değeri y(x) fonksiyonunun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, söz konusu aralıkta. Bu, söz konusu aralıktan iki keyfi argüman x 1 ve x 2 alınırsa ve x 1 anlamına gelir.< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Fonksiyon sıfırları.

F = y (x) fonksiyonunun apsis eksenini kestiği noktalara (y(x) = 0 denkleminin çözülmesiyle elde edilirler) fonksiyonun sıfırları denir.

4) Çift ve tek fonksiyonlar.

Fonksiyon eşit olarak adlandırılır, kapsamdaki tüm argüman değerleri için ise



y(-x) = y(x).

Çift fonksiyonun grafiği ordinat etrafında simetriktir.

Fonksiyona tek denir, eğer tanım alanındaki argümanın tüm değerleri içinse

y(-x) = -y(x).

Çift fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

5) Fonksiyonun periyodikliği.

Fonksiyona periyodik denir, tanım alanındaki argümanın tüm değerleri için öyle bir P sayısı varsa

y(x + P) = y(x).


Doğrusal fonksiyon, özellikleri ve grafiği.

Doğrusal bir fonksiyon formun bir fonksiyonudur y = kx + b, tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlıdır.

k– eğim (gerçek sayı)

B– kukla terim (gerçek sayı)

X- bağımsız değişken.

· Özel durumda, eğer k = 0 ise, grafiği (0; b) koordinatlı noktadan geçen Ox eksenine paralel bir düz çizgi olan sabit bir y = b fonksiyonu elde ederiz.

· Eğer b = 0 ise, doğru orantılılık olan y = kx fonksiyonunu elde ederiz.

o B katsayısının geometrik anlamı, düz çizginin Oy ekseni boyunca kestiği parçanın orijinden itibaren uzunluğudur.

o k katsayısının geometrik anlamı, düz çizginin Ox ekseninin pozitif yönüne saat yönünün tersine hesaplanan eğim açısıdır.

Doğrusal bir fonksiyonun özellikleri:

1) Doğrusal bir fonksiyonun tanım alanı gerçek eksenin tamamıdır;

2) Eğer k ≠ 0 ise, doğrusal fonksiyonun değer aralığı gerçek eksenin tamamıdır.

Eğer k = 0 ise, doğrusal fonksiyonun değer aralığı b sayısından oluşur;

3) Doğrusal bir fonksiyonun düzgünlüğü ve tekliği k ve b katsayılarının değerlerine bağlıdır.

a) b ≠ 0, k = 0, dolayısıyla y = b – çift;

b) b = 0, k ≠ 0, dolayısıyla y = kx – tek;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, dolayısıyla y = kx + b genel formun bir fonksiyonudur;

d) b = 0, k = 0, dolayısıyla y = 0 hem çift hem de tek fonksiyondur.

4) Doğrusal bir fonksiyon periyodiklik özelliğine sahip değildir;

5) Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları:

Öx: y = kx + b = 0, x = -b/k, dolayısıyla (-b/k; 0), x ekseniyle kesişme noktasıdır.

Oy: y = 0k + b = b, dolayısıyla (0; b) ordinatla kesişme noktasıdır.

Yorum. Eğer b = 0 ve k = 0 ise, o zaman y = 0 fonksiyonu x değişkeninin herhangi bir değeri için sıfırlanır. Eğer b ≠ 0 ve k = 0 ise, y = b fonksiyonu x değişkeninin herhangi bir değeri için kaybolmaz.

6) Sabit işaret aralıkları k katsayısına bağlıdır.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – (-b/k; +∞)'dan x'te pozitif,

y = kx + b – (-∞; -b/k)'den x için negatif.

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – (-∞; -b/k)'den x'te pozitif,

y = kx + b – x için negatif (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b tüm tanım alanı boyunca pozitiftir,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Doğrusal bir fonksiyonun monotonluk aralıkları k katsayısına bağlıdır.

k > 0, dolayısıyla y = kx + b tüm tanım alanı boyunca artar,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. y = ax 2 + bx + c fonksiyonu, özellikleri ve grafiği.

y = ax 2 + bx + c (a, b, c sabittir, a ≠ 0) fonksiyonu çağrılır ikinci dereceden En basit durumda y = ax 2 (b = c = 0) grafiği orijinden geçen eğri bir çizgidir. y = ax 2 fonksiyonunun grafiği olarak hizmet veren eğri bir paraboldür. Her parabolün bir simetri ekseni vardır. parabolün ekseni. Bir parabolün ekseni ile kesiştiği noktanın O noktasına denir. parabolün tepe noktası.
Grafik aşağıdaki şemaya göre oluşturulabilir: 1) Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulun x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Parabole ait birkaç nokta daha inşa ediyoruz; inşa ederken parabolün x = -b/2a düz çizgisine göre simetrilerini kullanabiliriz. 3) Belirtilen noktaları düzgün bir çizgiyle birleştirin. Örnek. b = x 2 + 2x - 3 fonksiyonunun grafiğini çizin.Çözümler. Fonksiyonun grafiği, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Parabolün tepe noktasının apsisi x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, koordinatları y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Yani parabolün tepe noktası (-1; -4) noktasıdır. Parabolün simetri ekseninin sağında bulunan birkaç nokta için bir değer tablosu derleyelim - düz çizgi x = -1.

Fonksiyon özellikleri.