Tilki, kaplumbağa ve karınca. Minimum çatal gerektiren karınca yolları böceklerin kaybolmamasına yardımcı oldu Bir karınca ve kaplumbağa binanın duvarı boyunca hareket ediyor

22 Şubat 2014 07:00

Bu yazıyı internette buldum. Hiçbir şey anlamadım. Belki birileri burada yazılanlara net bir cevap verebilir...

İpteki karınca paradoksu her mesafenin aşılabileceğini gösteriyor. Ama mutlaka hızlı değil. Bir metre uzunluğundaki lastik halatın ucunda bir karıncanın bulunduğunu, halatın diğer ucunun da bir arabaya bağlandığını düşünün. Karınca hareket etmeye başlar ve aynı anda araba da hareket etmeye başlar. Bir karınca saniyede bir santimetre hızla, bir araba ise saniyede bir kilometre hızla hareket etmektedir. Talihsiz karıncanın bir gün ipin diğer ucuna ulaşması imkânsız gibi görünmektedir. Çünkü ip, karıncanın hareket edebileceğinden daha hızlı gerilmektedir.

Evet, normal bir karınca gerçekten ona ulaşamazdı. Ama bizde karınca ölümsüz olacak, yakıt kaynağı sonsuz olacak, ip de sonsuz olacak ve Evren elbette sonsuz ve herhangi bir varsayıma sahip olmayacak. Bu koşullar altında karınca er ya da geç sona ulaşacaktır.

Karınca ile ipin birbirinden bağımsız hareket ettiğini düşündüğümüz için çözüm imkansız görünüyor. Ancak ipin karıncanın arkasındaki kısmı (hala hareket ediyor, unutmayın) ipin hala önünde olan kısmı ile aynı şekilde gerildiğini hesaba katın. Buradaki matematik karmaşıktır, ancak karınca ile ipin birbirinden ayrılamaz olduğunu düşünün.

Sıfır saniyede karınca ipin ilk ucundadır ve yolun %100'ü daha önündedir. İlk saniyede karıncanın kat etmesi gereken mesafe artıyor, bu doğru ama önünde artık yolun %100'ü değil, daha azı kalıyor. Ve karınca yüzde olarak ne kadar uzun yol kat ederse, elinde o kadar az şey kalır - yine yüzde cinsinden. Er ya da geç kalan yolun yüzdesi sıfır olacaktır.

Bir karıncanın 2.8×1043.429 saniye sonra sona ulaşarak mutluluğa ulaşacağı tahmin edilmektedir. O halde ışığa uzan küçük karınca!

"Karınca" paradoksunu anlıyor musunuz? kauçuk kablo"? 20 Haziran 2017

Her nasılsa sizinle böyle bir paradoksu zaten tartışmıştık, buna "Aşil ve kaplumbağa" ya da bir böcek ve elastik bant deniyor, ancak bu yazıya yapılan yorumları okuduktan sonra, çok az kişinin bunu fark ettiğini ve genel olarak buna inandığını fark ettim. .

Durumumuz nedir?

Başlangıçta karınca lastik bandın bir ucundadır. İkincisi arabaya bağlı. Hem karınca hem de araba aynı anda hareket etmeye başlar. Araba saniyede bir kilometre hızla hareket ediyor. Bir karınca saniyede bir santimetre hızla sürünür. Karınca arabaya ulaşabilecek mi? Tamamen imkansız görünüyor; lastik, karıncanın hareket ettiğinden daha hızlı esniyor.

Yani karınca arabaya ulaşmayacak mı? Yoksa oraya varacak mı?

Blogcu Biglebowsky bana bu hikayeyi hatırlattı.

Akademisyen L.B.'nin Anıları levrek. "Üç bölüm", "Nature" dergisi, 1990, Sayı: 8, s.119.

"Büyük fizikçi A.D. Sakharov, bu sorunu çözme hızı konusunda resmi olmayan rekoru elinde tutuyor.
21 Temmuz 1976, Tiflis'teki "Aragvi" restoranı, yüksek enerji fiziği üzerine uluslararası konferansın (Rochester konferansı olarak adlandırılan bir dizi XVIII) katılımcılarının gala yemeğinin yapıldığı yer. Bir sürü uzun masa. Bunlardan birinin arkasında kendimi Andrei Dmitrievich'e yakın buldum. Genel konuşma stokastik olarak yön değiştirdi. Bir noktada yaratıcılık gerektiren görevler hakkında konuşmaya başladılar. Ve sonra Andrei Dmitrievich'e bir hata sorununu önerdim. mükemmel kauçuk. Onun özü şudur.

1 km uzunluğunda bir lastik kordon bir ucu duvara tutturulur, diğer ucu elinizdedir. Böcek, duvardaki kablo boyunca 1 cm/sn hızla size doğru ilerlemeye başlar. İlk santimetreyi süründüğünde kauçuğu 1 km uzatıyorsunuz, ikinci santimetreyi süründüğünde 1 km daha uzatıyorsunuz ve bu böyle her saniye devam ediyor. Soru şu: Böcek size doğru sürünecek mi ve eğer sürünürse ne kadar zaman alacak?

Bu akşamdan önce de sonra da görev verdim farklı insanlar. Bazılarının sorunu çözmesi yaklaşık bir saat sürdü, diğerleri bir gün sürdü, diğerleri ise böceğin sürünmeyeceğine kesin olarak inanıyordu ve zaman sorusu yanlış yola saptırmak için sorulmuştu.

Andrey Dmitrievich sorunun durumunu tekrar sordu ve bir parça kağıt istedi. Ziyafet davetiyemi kendisine verdim, o da hemen arkasına hiçbir yorum yapmadan sorunun çözümünü yazdı. Yaklaşık bir dakika sürdü."

Makalede Sakharov'un kararıyla aynı davetiyenin fotoğrafı yer alıyordu.

Peki ya basit anlamda o zaman açıkla?

İşte o zaman blog yazarının önerdiği şey: mischa_poet :

Öncelikle karıncanın bandın farklı yerlerindeki hızının farklı olacağını kanıtlayalım. Basitleştirmek adına karıncanın hiç hareket etmediğini varsayalım.

Durum 1. Bandın ucunda bir karınca oturuyor, arkasındaki mesafe 0 m, önü 1 metre. Araç 1 metre yol kat etti. Karıncanın arkasındaki mesafe 0 m, karıncanın önündeki mesafe ise 2 metredir. Hızı sıfırdır.

Durum 2. Bandın ortasında bir karınca oturuyor, arkasındaki mesafe 0,5 metre, önü ise 0,5 metre. Araç 1 metre yol kat etti. Bandın uzunluğu 2 metre oldu ancak merkezi aynı kaldı, karıncanın arkasındaki mesafe 1 metre, karıncanın önündeki mesafe ise 1 metre oldu. Başlangıçta 0,5 metre geride olmasına rağmen. Onlar. bir saniyede 0,5 metreyi aştı.

Ve böylece, bandın farklı kısımlarında karıncanın hızının farklı olacağını, arabaya ne kadar yakınsa hızının da o kadar yüksek olacağını görebilirsiniz.

İşi kolaylaştıralım ve koordinat sisteminin merkezini karıncaya taşıyalım.

Basitlik açısından tekrar merkezi ele alalım. Karınca ancak şimdi hareket ediyor.

0 saniye. Araba karıncaya göre 50 cm uzaklıkta olacak

1 saniye. Mesafe artık (50-1)*esneme faktörü olacaktır. Esneme faktörü, bir kord parçasının kaç kat arttığını gösteren bir rakamdır. Kordon 1 metreydi, saniyede 2 metre oldu, esneme katsayısı ikiye eşit oldu.
Yani arabaya olan mesafe artık (50-1)*2 veya 98

2 saniye. Şimdi mesafe [(50-1)*2-1]*esneme faktörü olacaktır. Kordon 2 metreydi, 3 metre oldu => esneme faktörü artık 1,5 olacak
Yani arabaya olan mesafe artık [(50-1)*2-1]*1,5 veya 145,5

İşte kafanızı karıştıran an şu ki, mesafe gerçekten 50, sonra 98, sonra 145,5 artıyor. Ama bu artışın hızlanmasını hesaba katmıyorsunuz, o da olumsuz. Birinci ve ikinci değer arasındaki fark 48, üçüncü ve ikinci değer arasındaki fark ise zaten 47,5. Daha sonra aynı şey olacak, araba ile karınca arasındaki mesafe 1 cm'nin altına gelinceye kadar sürekli azalacak, o noktada araba ile karınca arasındaki mesafe azalmaya başlayacaktır.

Ya da Akhilleus ve kaplumbağayla ilgili örnekte olduğu gibi:
Başlangıçta bandın ortasında durmasına izin verin (ona bir avantaj vereceğiz) ve her saniyede bandın geri kalan kısmının tam yarısının üstesinden gelin (tüm ölçümler bant uzunluğunun kesirleri cinsinden yapılır, bu nedenle bu "Sabit gözlemci" bandına göre uzamaya devam etmesine rağmen, şartlı olarak 1'e eşit kabul edilecektir. Bir saniyede kaplumbağa, bandın mevcut uzunluğunun 3/4'ünde (o anda 11 metre olacak), başka bir saniyede 7/8'de olacak ve bu şekilde devam edecek. yavaş yavaş filmin sonuna yaklaşıyoruz.

Peki şimdi sonuç:

Peki sizce paradoks daha mı netleşti yoksa karıncanın arabaya yetişeceğine inanmak hala zor mu?

Bir karınca kablo boyunca saniyede bir santimetre hızla sürünüyor. Kablo kauçuktan yapılmıştır ve saniyede bir kilometre hızla gerilir. Acaba sonuna kadar varabilecek mi? İmkansız gibi görünüyor. Ama hadi çözelim

Çeviri – Svetlana Gogol

Bir karınca kablo boyunca saniyede bir santimetre hızla sürünüyor. Kablo kauçuktan yapılmıştır ve saniyede bir kilometre hızla gerilir. Acaba sonuna kadar varabilecek mi? Uzun ve sıkıcı projeler üzerinde çalışmayı simgeleyen bir paradoks.

Bazen bu paradoks "lastik bant üzerinde sürünen bir tırtıl" olarak tanımlanır. Ama koşullar önemli değil. Her halükarda böceğin sonuna kadar sürünme şansı sıfır gibi görünüyor. Ama sadece görünüyor.

Hadi çözelim.

İÇİNDE gerçek hayat bu gerçekten imkansızdır: Ya karınca ölecek, ya kablo kopacak ya da benzin bitecek. Ancak ölümsüz bir karıncanın, yakıtı hiç bitmeyen bir arabanın olduğu, kablonun tüm uzunluğu boyunca eşit ve süresiz olarak uzayabildiği ve bizim durumumuzda da önemli olan bu kablonun sonsuz bir Evrende gerildiği varsayımsal bir durumu düşünüyoruz. .

Ve eğer tüm bu koşullar yerine getirilirse, o zaman karınca gerçekten sona ulaşacaktır.

Sorun imkansız gibi görünüyor çünkü hayalimizde kablo ve karınca birbirinden bağımsız hareket ediyor. Ancak karıncanın kablonun üzerinde olduğunu ve karıncanın arkasındaki kablo parçasının önündeki kabloyla tam olarak aynı hızda çekildiğini fark edersek durum biraz netleşmeye başlar.

Bu durumda matematiksel hesaplamalar oldukça karmaşıktır, ancak resmin tamamını hayal etmeye çalışın. Başlangıçta kablonun yüzde 100'ü karıncanın önündedir. Bir saniye sonra, karıncanın işi çok daha zorlaşsa da, önünde daha yolun yüzde 100'ünden biraz daha az bir mesafe vardır. Ve karıncanın zaten yapmış olduğu yolun bu kısmı da kablonun geri kalanıyla orantılı olarak uzayacaktır. Karıncanın giderek arabanın gerisinde kaldığını hayal etmek yerine, kat ettiği mesafenin yüzdesinin yavaş ama emin adımlarla arttığını hayal edin. Ve bir gün bu yüzde sıfıra inecek.

Bu durumda bu işlem 2,8 x 10^43,429 saniyede gerçekleşecektir.

Fizikte problem - 149

2014-05-31
Kenarı $l$ olan $ABCD$ karesinin köşelerinde kaplumbağalar a,b,c,d. Zamanın bir noktasında sabit bir $v$ hızıyla hareket etmeye başlarlar ve böylece a kaplumbağasının hızı, düzlemin o anda b kaplumbağasının bulunduğu noktaya yönlendirilir ve b kaplumbağasının hızı da aynı yönde olur. uçağın şu anda kaplumbağanın bulunduğu noktaya vb. Hareketin başlamasından kaplumbağaların buluşmasına kadar geçen süre ne kadar sürecek? Kaplumbağaların boyutunu göz ardı edin.

Çözüm:

Sorunun simetrisinden dolayı, tüm kaplumbağaların yörüngeleri aynı şekle sahip olacak ve orijinal karenin merkezi etrafında $90^(\circ)$'ın katları olan açılarla döndürüldüğünde, tüm noktaları birbiriyle örtüşecektir. diğer. Kaplumbağalar yörüngeleri boyunca aynı hızla hareket ettikleri için, hareketin başladığı andan itibaren sayılan herhangi bir t anında, $A^(\prime)B^( karesinin köşelerinde olacaklar. \prime)C^(\prime)D ^(\prime)$ ile $l^(\prime) tarafı
Herhangi bir t zamanında kaplumbağanın karenin merkezinden $r(t)$ $OA^(\prime)$ uzaklığını $r(t)$ ile belirtin. Hız vektörü $\bar(v(t))$'dir ve bu an, $A^(\prime)B^(\prime)$ karesinin $A^(\prime)B^(\ kenarı boyunca yönlendirilmiştir. asal)C^( \prime)D^(\prime)$. Problemin koşuluna göre, $\bar(v(t))$ vektörünün uzunluğu t'den bağımsız ve v'ye eşit, sabit bir değerdir.
$|\bar(v(t))| = v = sabit$.
$\bar(v(t))$ vektörünün karenin merkezine doğru yönlendirilen çizgiye izdüşümü şuna eşittir:
$v_(r)(t) = |\bar(v(t))|\cos \frac(\pi)(4)= \frac(v)(\sqrt(2))$.
Dolayısıyla bu projeksiyon sabit bir değerdir. Kaplumbağanın merkezden $r(t)$ uzaklığı yasaya göre zamanla değişir
$r(t) = r_(0) – v_(r)t = \frac(l)(\sqrt(2)) – \frac(vt)(\sqrt(2))$. (1)
Burada $r_(0) = OA = l/\sqrt(2)$ kaplumbağa a'nın merkezden başlangıç uzaklığıdır. Kaplumbağaların buluştuğu $t=T$ anında, $r = 0$. (1)'de $t = T$ ve $r(T) = 0$ ayarlandığında denklemi elde ederiz
$\frac(l-vT)(\sqrt(2))=0$,
Bunu çözdüğümüzde $T = l/v$'yi buluruz.

Durumumuz nedir?

Yani karınca arabaya ulaşmayacak mı? Yoksa oraya varacak mı?

Blogcu Biglebowsky bana bu hikayeyi hatırlattı.

Akademisyen L.B.'nin Anıları levrek. "Üç bölüm", "Nature" dergisi, 1990, Sayı: 8, s.119.

"Büyük fizikçi A.D. Sakharov, bu sorunu çözme hızı konusunda resmi olmayan rekoru elinde tutuyor.
21 Temmuz 1976, Tiflis'teki "Aragvi" restoranı, yüksek enerji fiziği üzerine uluslararası konferansın (Rochester konferansı olarak adlandırılan bir dizi XVIII) katılımcılarının gala yemeğinin yapıldığı yer. Bir sürü uzun masa. Bunlardan birinin arkasında kendimi Andrei Dmitrievich'e yakın buldum. Genel konuşma stokastik olarak yön değiştirdi. Bir noktada yaratıcılık gerektiren görevler hakkında konuşmaya başladılar. Ve sonra Andrei Dmitrievich'e ideal bir lastikteki böcek sorununu önerdim. Onun özü şudur.

Bu akşamdan önce de, sonra da sorunu farklı kişilere aktardım. Bazılarının sorunu çözmesi yaklaşık bir saat sürdü, diğerleri bir gün sürdü, diğerleri ise böceğin sürünmeyeceğine kesin olarak inanıyordu ve zaman sorusu yanlış yola saptırmak için sorulmuştu.

Makalede Sakharov'un kararıyla aynı davetiyenin fotoğrafı yer alıyordu.

Peki bunu basit terimlerle nasıl açıklayabilirim?

İşte o zaman blog yazarının önerdiği şey: mischa_poet :

Öncelikle karıncanın bandın farklı yerlerindeki hızının farklı olacağını kanıtlayalım. Basitleştirmek adına karıncanın hiç hareket etmediğini varsayalım.

Ve böylece, bandın farklı kısımlarında karıncanın hızının farklı olacağını, arabaya ne kadar yakınsa hızının da o kadar yüksek olacağını görebilirsiniz.

İşi kolaylaştıralım ve koordinat sisteminin merkezini karıncaya taşıyalım.

Basitlik açısından tekrar merkezi ele alalım. Karınca ancak şimdi hareket ediyor.

0 saniye. Araba karıncaya göre 50 cm uzaklıkta olacak

2 saniye. Şimdi mesafe [(50-1)*2-1]*esneme faktörü olacaktır. Kordon 2 metreydi, 3 metre oldu => esneme faktörü artık 1,5 olacak
Yani arabaya olan mesafe artık [(50-1)*2-1]*1,5 veya 145,5

Peki şimdi sonuç:

Peki sizce paradoks daha mı netleşti yoksa karıncanın arabaya yetişeceğine inanmak hala zor mu?