Düzlemler arasındaki açının bulunması (dihedral açı). Matematik dersi notları "Dihedral açı"

İki farklı düzlem arasındaki açının büyüklüğü, düzlemlerin herhangi bir göreceli konumu için belirlenebilir.

Düzlemlerin paralel olması önemsiz bir durum. Daha sonra aralarındaki açının sıfıra eşit olduğu kabul edilir.

Düzlemlerin kesişmesi önemsiz olmayan bir durum. Bu dava daha fazla tartışmanın konusudur. Öncelikle dihedral açı kavramına ihtiyacımız var.

9.1 Dihedral açı

Dihedral açı, ortak bir düz çizgiye sahip iki yarım düzlemdir (buna dihedral açının kenarı denir). İncirde. Şekil 50, yarım düzlemlerin oluşturduğu bir dihedral açıyı göstermektedir ve; bu dihedral açının kenarı, bu yarım düzlemlerde ortak olan düz çizgi a'dır.

Pirinç. 50. Dihedral açı

Dihedral açı tek kelimeyle derece veya radyan cinsinden ölçülebilir; dihedral açının açısal değerini girin. Bu şu şekilde yapılır.

Yarım düzlemlerin oluşturduğu dihedral açının kenarında keyfi bir M noktası alıyoruz. Bu yarım düzlemlerde bulunan ve kenara dik olan sırasıyla MA ve MB ışınlarını çizelim (Şekil 51).

Pirinç. 51. Doğrusal dihedral açı

Ortaya çıkan AMB açısı dihedral açının doğrusal açısıdır. " = \AMB açısı tam olarak dihedral açımızın açısal değeridir.

Tanım. Bir dihedral açının açısal büyüklüğü, belirli bir dihedral açının doğrusal açısının büyüklüğüdür.

Dihedral açının tüm doğrusal açıları birbirine eşittir (sonuçta birbirlerinden paralel kayma ile elde edilirler). Dolayısıyla bu tanım doğrudur: " değeri, dihedral açının kenarındaki M noktasının özel seçimine bağlı değildir.

9.2 Düzlemler arasındaki açının belirlenmesi

İki düzlem kesiştiğinde dört dihedral açı elde edilir. Hepsi aynı boyuta sahipse (her biri 90), o zaman düzlemlere dik denir; Bu durumda düzlemler arasındaki açı 90 olur.

Tüm dihedral açılar aynı değilse (yani, iki dar ve iki geniş açı varsa), o zaman düzlemler arasındaki açı, dar dihedral açının değeridir (Şekil 52).

Pirinç. 52. Düzlemler arasındaki açı

9.3 Problem çözme örnekleri

Şimdi üç soruna bakalım. Birincisi basit, ikincisi ve üçüncüsü matematikte Birleşik Devlet Sınavında yaklaşık olarak C2 düzeyindedir.

Problem 1. Düzgün bir tetrahedronun iki yüzü arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. ABCD düzgün bir dörtyüzlü olsun. Karşılık gelen yüzlerin ortancalarını AM ve DM'yi ve ayrıca tetrahedronun DH yüksekliğini çizelim (Şekil 53).

Pirinç. 53. Görev 1'e

Medyan olan AM ve DM aynı zamanda ABC ve DBC eşkenar üçgenlerinin de yükseklikleridir. Dolayısıyla " = \AMD açısı, ABC ve DBC yüzlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bunu DHM üçgeninden buluruz:

			sabah 1

Cevap: arccos 1 3 .

Problem 2. Düzenli dörtgen piramit SABCD'de (köşe noktası S olan), yan kenar tabanın kenarına eşittir. K noktası SA kenarının orta noktasıdır. Düzlemler arasındaki açıyı bulun

Çözüm. BC çizgisi AD'ye paraleldir ve dolayısıyla ADS düzlemine paraleldir. Bu nedenle, KBC düzlemi ADS düzlemini BC'ye paralel KL düz çizgisi boyunca keser (Şekil 54).

Pirinç. 54. Görev 2'ye

Bu durumda KL aynı zamanda AD doğrusuna da paralel olacaktır; dolayısıyla KL, ADS üçgeninin orta çizgisidir ve L noktası DS'nin orta noktasıdır.

Piramidin yüksekliğini SO bulalım. N, DO'nun ortası olsun. O halde LN, DOS üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla LN k SO'dur. Bu, LN'nin ABC düzlemine dik olduğu anlamına gelir.

N noktasından dik NM'yi BC düz çizgisine indiriyoruz. Düz çizgi NM, eğimli LM'nin ABC düzlemine izdüşümü olacaktır. Üç dik teoreminden LM'nin aynı zamanda BC'ye de dik olduğu sonucu çıkar.

Dolayısıyla " = \LMN açısı, KBC ve ABC yarım düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bu açıyı LMN dik üçgeninde arayacağız.

Piramidin kenarı a'ya eşit olsun. İlk önce piramidin yüksekliğini buluyoruz:

SO=p

Çözüm. A1 K ve AB doğrularının kesişme noktası L olsun. Daha sonra A1 KC düzlemi ABC düzlemini CL düz çizgisi boyunca keser (Şekil 55).

A C

Pirinç. 55. Sorun 3'e

A1 B1 K ve KBL üçgenlerinin kenar ve dar açıları eşittir. Dolayısıyla diğer bacaklar eşittir: A1 B1 = BL.

ACL üçgenini düşünün. İçinde BA = BC = BL. CBL açısı 120'dir; dolayısıyla \BCL = 30 . Ayrıca \BCA = 60 . Bu nedenle \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Peki LC? AC. Ancak AC çizgisi, A1 C çizgisinin ABC düzlemine izdüşümü olarak hizmet eder. Üç dik teoreminden şu sonuca varırız: LC? A1 C.

Dolayısıyla A1 CA açısı, A1 KC ve ABC yarım düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bu istenilen açıdır. A1 AC ikizkenar dik üçgeninden bunun 45'e eşit olduğunu görüyoruz.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizin şirket düzeyinde korunması

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bu ders “Dihedral Açı” konusunun bağımsız olarak incelenmesi için tasarlanmıştır. Bu derste öğrenciler en önemli geometrik şekillerden biri olan dihedral açıya aşina olacaklardır. Ayrıca derste söz konusu geometrik şeklin doğrusal açısının nasıl belirleneceğini ve şeklin tabanındaki dihedral açının ne olduğunu öğreneceğiz.

Düzlemde açının ne olduğunu ve nasıl ölçüldüğünü tekrarlayalım.

Pirinç. 1. Düzlem

α düzlemini ele alalım (Şekil 1). noktadan HAKKINDA iki ışın yayılıyor - doğum günü Ve OA.

Tanım. Bir noktadan çıkan iki ışının oluşturduğu şekle açı denir.

Açı derece ve radyan cinsinden ölçülür.

Radyanın ne olduğunu hatırlayalım.

Pirinç. 2. Radyan

Yay uzunluğu yarıçapa eşit olan bir merkez açımız varsa, bu tür bir merkez açıya 1 radyan açı denir. ,∠ AOB= 1 rad (Şekil 2).

Radyan ve derece arasındaki ilişki.

memnun.

Anladık, sevindim. (). Daha sonra,

Tanım. Dihedral açı Bir doğrunun oluşturduğu şekle denir A ve ortak sınırı olan iki yarım düzlem A, aynı düzleme ait değil.

Pirinç. 3. Yarım düzlemler

İki yarım düzlemi (α ve β) ele alalım (Şekil 3). Bunların ortak sınırı A. Bu şekle dihedral açı denir.

Terminoloji

Yarım düzlemler α ve β bir dihedral açının yüzleridir.

Dümdüz A dihedral açının bir kenarıdır.

Ortak bir kenarda A dihedral açı, rastgele bir nokta seçin HAKKINDA(Şekil 4). α noktasından yarım düzlemde HAKKINDA dikeyi geri yükle OA düz bir çizgiye A. Aynı noktadan HAKKINDA ikinci yarı düzlemde β'ya dik bir çizgi oluşturuyoruz doğum günü kenara A. Bir açı var AOB buna dihedral açının doğrusal açısı denir.

Pirinç. 4. Dihedral açı ölçümü

Belirli bir dihedral açı için tüm doğrusal açıların eşitliğini kanıtlayalım.

Bir dihedral açımız olsun (Şekil 5). Bir nokta seçelim HAKKINDA ve dönem Ç 1 düz bir çizgi üzerinde A. Noktaya karşılık gelen doğrusal bir açı oluşturalım HAKKINDA yani iki dik çizgi çiziyoruz OA Ve doğum günü kenara doğru sırasıyla α ve β düzlemlerinde A. Açıyı elde ediyoruz AOB- dihedral açının doğrusal açısı.

Pirinç. 5. Kanıtın gösterimi

noktadan Ç 1 iki dik çizgi çizelim OA 1 Ve Doğum Günü 1 kenara A sırasıyla α ve β düzlemlerinde ikinci doğrusal açıyı elde ederiz bir 1 O 1 B 1.

Işınlar Ç 1 A 1 Ve OA eş yönlüdürler, çünkü aynı yarım düzlemde bulunurlar ve aynı çizgiye dik iki nokta gibi birbirlerine paraleldirler. A.

Aynı şekilde ışınlar Yaklaşık 1'i 1 Arada Ve doğum günü birlikte yönetiliyorlar, yani ∠ AOB =∠ bir 1 O 1 B 1 kanıtlanması gereken şeyin eş yönlü kenarları olan açılar olduğu.

Doğrusal açının düzlemi dihedral açının kenarına diktir.

Kanıtlamak: A ⊥ AOB.

Pirinç. 6. Kanıtın gösterimi

Kanıt:

OA ⊥ A inşaat yoluyla, doğum günü ⊥ A inşaat yoluyla (Şekil 6).

Bunu anlıyoruz A kesişen iki çizgiye dik OA Ve doğum günü uçak dışında AOB yani düz anlamına gelir A düzleme dik OAV Kanıtlanması gereken şey buydu.

Dihedral açı doğrusal açısıyla ölçülür. Bu, doğrusal bir açıda ne kadar çok derece radyan varsa, dihedral açıda da aynı sayıda derece radyanın bulunduğu anlamına gelir. Buna göre aşağıdaki dihedral açı türleri ayırt edilir.

Akut (Şekil 6)

Bir dihedral açı, doğrusal açısı dar ise dardır, yani. .

Düz (Şek. 7)

Dihedral açı, doğrusal açısı 90° olduğunda diktir - Geniş (Şekil 8)

Bir dihedral açı, doğrusal açısı geniş olduğunda geniştir, yani. .

Pirinç. 7. Dik açı

Pirinç. 8. Geniş açı

Gerçek şekillerde doğrusal açı oluşturma örnekleri

ABCD- tetrahedron.

1. Bir kenarla dihedral açının doğrusal açısını oluşturun AB.

Pirinç. 9. Problemin gösterimi

Yapı:

Bir kenarın oluşturduğu dihedral açıdan bahsediyoruz AB ve kenarlar ABD Ve ABC(Şekil 9).

Düz bir çizgi çizelim DN düzleme dik ABC, N- dikeyin tabanı. Eğik bir çizelim DMçizgiye dik AB,M- eğimli taban. Üç dik teoreminden eğik bir çizginin izdüşümünün olduğu sonucuna varırız. NM aynı zamanda çizgiye dik AB.

Yani şu noktadan M kenara iki dik açı geri yüklendi AB iki tarafta ABD Ve ABC. Doğrusal bir açımız var DMN.

dikkat et ki AB, doğrusal açının düzlemine, yani düzleme dik olan bir dihedral açının kenarı DMN. Problem çözüldü.

Yorum. Dihedral açı şu şekilde gösterilebilir: DABC, Nerede

AB- kenar ve noktalar D Ve İLE açının farklı taraflarında yatın.

2. Bir kenarla dihedral açının doğrusal açısını oluşturun AC.

Bir dik çizelim DN uçağa ABC ve eğimli DNçizgiye dik AC.Üç dik teoremi kullanarak şunu buluruz: HN- eğik projeksiyon DN uçağa ABC, aynı zamanda çizgiye dik AC.DKuzeydoğu- kenarlı bir dihedral açının doğrusal açısı AC.

Bir tetrahedronda DABC tüm kenarlar eşittir. Nokta M- kaburganın ortası AC. Açının olduğunu kanıtlayın DOG- doğrusal dihedral açı SEND, yani bir kenarı olan bir dihedral açı AC. Kenarlarından biri ACD, ikinci - DIA(Şekil 10).

Pirinç. 10. Problemin gösterimi

Çözüm:

Üçgen ADC- eşkenar, DM- medyan ve dolayısıyla yükseklik. Araç, DM ⊥ AC. Aynı şekilde üçgen AİÇİNDEC- eşkenar, İÇİNDEM- medyan ve dolayısıyla yükseklik. Araç, VM ⊥ AC.

Yani noktadan M pirzola AC dihedral açı iki dik açıyı restore etti DM Ve VM dihedral açının yüzlerindeki bu kenara.

Yani, ∠ DMİÇİNDE kanıtlanması gereken dihedral açının doğrusal açısıdır.

Böylece dihedral açıyı, dihedral açının doğrusal açısını tanımladık.

Bir sonraki dersimizde doğruların ve düzlemlerin dikliklerine bakacağız, ardından şekillerin tabanında dihedral açının ne olduğunu öğreneceğiz.

"Dihedral açı", "Geometrik şekillerin tabanındaki dihedral açı" konusundaki referansların listesi

Geometri. 10-11. Sınıflar: genel eğitim kurumları için ders kitabı / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: hasta.
Geometri. 10. sınıf: derinlemesine ve özel matematik çalışması içeren genel eğitim kurumları için ders kitabı /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. baskı, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: hasta.

Yaklass.ru ().
E-science.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Tutoronline.ru ().

"Dihedral açı" konulu ödev, şekillerin tabanındaki dihedral açının belirlenmesi

Geometri. 10-11. Sınıflar: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı (temel ve uzmanlık seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, düzeltilmiş ve genişletilmiş - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.

Görevler 2, 3 s.67.

Doğrusal dihedral açı nedir? Nasıl inşa edilir?

ABCD- tetrahedron. Bir kenarla dihedral açının doğrusal açısını oluşturun:

A) İÇİNDED B) DİLE.

ABCSavcı 1 B 1 C 1 D 1 - küp Dihedral Açının Doğrusal Açısını Oluşturun bir 1 ABC kaburgalı AB. Derece ölçüsünü belirleyin.

Öğrencileri matematikte Birleşik Devlet Sınavına girmeye hazırlamak, kural olarak, düzlemler arasındaki açıyı belirlemenize izin verenler de dahil olmak üzere temel formüllerin tekrarlanmasıyla başlar. Geometrinin bu bölümünün okul müfredatında yeterince ayrıntılı olarak ele alınmasına rağmen, birçok mezunun temel materyali tekrarlaması gerekiyor. Düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını anlayan lise öğrencileri, bir sorunu çözerken doğru cevabı hızlı bir şekilde hesaplayabilecek ve birleşik devlet sınavını geçme sonuçlarında iyi puanlar alacaklarına güvenebilecekler.

Ana nüanslar

Dihedral açının nasıl bulunacağı sorusunun zorluğa neden olmamasını sağlamak için, Birleşik Durum Sınavı görevleriyle başa çıkmanıza yardımcı olacak bir çözüm algoritması izlemenizi öneririz.

Öncelikle düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi belirlemeniz gerekir.

Daha sonra bu doğru üzerinde bir nokta seçip ona iki dik çizgi çizmeniz gerekiyor.

Bir sonraki adım, diklerin oluşturduğu dihedral açının trigonometrik fonksiyonunu bulmaktır. Bunu yapmanın en uygun yolu, açının da bir parçası olduğu ortaya çıkan üçgenin yardımıyladır.

Cevap açının değeri veya trigonometrik fonksiyonu olacaktır.

Shkolkovo ile sınav testine hazırlanmak başarınızın anahtarıdır

Birleşik Devlet Sınavını geçmenin arifesinde dersler sırasında birçok okul çocuğu, 2 düzlem arasındaki açıyı hesaplamalarına olanak tanıyan tanım ve formül bulma sorunuyla karşı karşıyadır. Bir okul ders kitabı her zaman tam olarak ihtiyaç duyulduğunda elinizin altında olmayabilir. İnternette çevrimiçi olarak uçaklar arasındaki açıyı bulmak da dahil olmak üzere gerekli formülleri ve bunların doğru uygulamalarına ilişkin örnekleri bulmak için, bazen çok zaman harcamanız gerekir.

Shkolkovo matematik portalı devlet sınavına hazırlanmak için yeni bir yaklaşım sunuyor. Web sitemizdeki dersler, öğrencilerin kendileri için en zor bölümleri belirlemelerine ve bilgi boşluklarını doldurmalarına yardımcı olacaktır.

Gerekli tüm materyali hazırladık ve net bir şekilde sunduk. Temel tanımlar ve formüller “Teorik Bilgiler” bölümünde sunulmaktadır.

Materyali daha iyi anlamak için uygun alıştırmaları yapmanızı da öneririz. Örneğin, çeşitli karmaşıklık derecelerine sahip çok çeşitli görevler "Katalog" bölümünde sunulmaktadır. Tüm görevler, doğru cevabı bulmak için ayrıntılı bir algoritma içerir. Web sitesindeki egzersizlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

Öğrenciler, iki düzlem arasındaki açıyı bulmayı gerektiren problemleri çözme alıştırmaları yaparken, istedikleri görevi çevrimiçi olarak "Favoriler" olarak kaydetme olanağına sahip oluyorlar. Bu sayede gerekli sayıda geri dönebilecekler ve çözümünün ilerleyişini bir okul öğretmeni veya özel öğretmenle tartışabilecekler.

Dihedral açı. Doğrusal dihedral açı. Dihedral açı, aynı düzleme ait olmayan ve ortak bir sınıra sahip olan iki yarım düzlemden oluşan bir şekildir - düz çizgi a. Bir dihedral açı oluşturan yarım düzlemlere yüzleri denir ve bu yarım düzlemlerin ortak sınırına dihedral açının kenarı denir. Bir dihedral açının doğrusal açısı, kenarları dihedral açının yüzlerinin dihedral açının kenarına dik bir düzlemle kesiştiği ışınlar olan bir açıdır. Her dihedral açının herhangi bir sayıda doğrusal açısı vardır: bir kenarın her noktası boyunca bu kenara dik bir düzlem çizilebilir; Bu düzlemin bir dihedral açının yüzleriyle kesiştiği ışınlar doğrusal açılar oluşturur.

Bir dihedral açının tüm doğrusal açıları birbirine eşittir. KABC piramidinin taban düzlemi ile yan yüzlerinin düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açılar eşitse, K köşesinden çizilen dikme tabanının ABC üçgenindeki yazılı dairenin merkezi olduğunu kanıtlayalım.

Kanıt. Öncelikle eşit dihedral açılardan oluşan doğrusal açılar oluşturalım. Tanım gereği, doğrusal bir açının düzlemi dihedral açının kenarına dik olmalıdır. Bu nedenle, bir dihedral açının kenarı, doğrusal açının kenarlarına dik olmalıdır. KO taban düzlemine dik ise, o zaman OR'ye dik AC, OR'ye dik SV, OQ AB'ye dik çizebilir ve ardından P, Q, R noktalarını K noktasına bağlayabiliriz. Böylece eğimli RK, QK'nin bir izdüşümünü oluşturacağız. , RK öyle ki AC, NE, AB kenarları bu çıkıntılara dik olsun. Sonuç olarak, bu kenarlar eğimli kenarlara diktir. Ve bu nedenle ROK, QOK, ROK üçgenlerinin düzlemleri dihedral açının karşılık gelen kenarlarına diktir ve durumda belirtilen eşit doğrusal açıları oluşturur. ROK, QOK, ROK dik üçgenleri uyumludur (çünkü ortak bir OK bacağı vardır ve bu bacağın karşısındaki açılar eşittir). Bu nedenle OR = OR = OQ. O merkezli ve OP yarıçaplı bir daire çizersek, ABC üçgeninin kenarları OP, OR ve OQ yarıçaplarına diktir ve dolayısıyla bu daireye teğettir.

Düzlemlerin dikliği. Alfa ve beta düzlemleri, kesişme noktalarında oluşan dihedral açılardan birinin doğrusal açısı 90'a eşitse dik olarak adlandırılır." İki düzlemin diklik işaretleri İki düzlemden biri diğer düzleme dik bir çizgiden geçiyorsa, o zaman bu düzlemler diktir.

Şekilde dikdörtgen bir paralelyüz gösterilmektedir. Tabanları ABCD ve A1B1C1D1 dikdörtgenleridir. Ve AA1 BB1, CC1, DD1 yan kaburgaları tabanlara diktir. AA1'in AB'ye dik olduğu, yani yan yüzün bir dikdörtgen olduğu sonucu çıkar. Böylece dikdörtgen bir paralel borunun özelliklerini gerekçelendirebiliriz: Dikdörtgen bir paralel boruda altı yüzün tümü dikdörtgendir. Dikdörtgen bir paralelyüzde altı yüzün tümü dikdörtgendir. Dikdörtgen bir paralelyüzün tüm dihedral açıları dik açıdır. Dikdörtgen bir paralelyüzün tüm dihedral açıları dik açıdır.

Teorem Dikdörtgen bir paralelyüzün köşegeninin karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir. Tekrar şekle dönüp AC12 = AB2 + AD2 + AA12 olduğunu kanıtlayalım. CC1 kenarı ABCD tabanına dik olduğundan ACC1 açısı diktir. Pisagor teoremini kullanarak ACC1 dik üçgeninden AC12 = AC2 + CC12 elde ederiz. Ancak AC, ABCD dikdörtgeninin köşegenidir, yani AC2 = AB2 + AD2. Ayrıca CC1 = AA1. Dolayısıyla AC12= AB2+AD2+AA12 Teoremi kanıtlanmıştır.