Uygun kesir birden büyük veya küçüktür. Uygunsuz kesirler: onlarla örneklerin nasıl çözüleceği nasıl öğrenilir

Basit matematik kuralları ve teknikleri sürekli kullanılmadığı takdirde en çabuk unutulur. Terimler hafızadan daha da hızlı kaybolur.

Bu basit işlemlerden biri, bileşik kesri, düzgün veya diğer bir deyişle karışık kesire dönüştürmektir.

Uygunsuz kesir

Uygunsuz kesir, payın (çizginin üzerindeki sayı) paydadan (çizginin altındaki sayı) büyük veya ona eşit olduğu kesirdir. Bu kesir, kesirlerin eklenmesi veya bir kesirin bir tam sayı ile çarpılmasıyla elde edilir. Matematik kurallarına göre böyle bir kesrin uygun kesir haline dönüştürülmesi gerekir.

Uygun kesir

Diğer tüm kesirlerin uygun olarak adlandırıldığını varsaymak mantıklıdır. Kesin bir tanım, payı paydasından küçük olan bir kesirin doğru olarak adlandırılmasıdır. Tamsayı kısmı olan bir kesire bazen karışık kesir denir.

Uygun olmayan bir kesri uygun bir kesire dönüştürme

İlk durum: pay ve payda birbirine eşittir. Böyle bir kesri dönüştürmenin sonucu birdir. Üçte üç ya da yüz yirmi beş yüz yirmi beşte olması önemli değil. Esasen böyle bir kesir, bir sayının kendisine bölünmesi eylemini ifade eder.

İkinci durum: Pay, paydadan büyüktür. Burada sayıları kalanla bölme yöntemini hatırlamanız gerekir.
Bunu yapmak için paydaya kalansız bölünebilen pay değerine en yakın sayıyı bulmanız gerekir. Örneğin, on dokuz üçte birlik kesiriniz var. Üçe bölünebilen en yakın sayı on sekizdir. Bu altı. Şimdi elde edilen sayıyı paydan çıkarın. Bir tane alıyoruz. Geriye kalan bu. Dönüşümün sonucunu yazın: altı tam ve üçte biri.

Ancak bir kesri doğru şekline indirgemeden önce, onun azaltılıp azaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir.
Pay ve paydanın ortak bir çarpanı varsa kesri azaltabilirsiniz. Yani her ikisinin de kalansız bölünebildiği sayıdır. Bu tür bölenlerin sayısı birden fazlaysa en büyüğünü bulmanız gerekir.
Örneğin, tüm çift sayıların böyle bir ortak böleni vardır - iki. Ve on altı on ikinci kesirin bir ortak böleni daha var - dört. Bu en büyük bölendir. Pay ve paydayı dörde bölün. Azaltma sonucu: üçte dört. Şimdi pratik olarak bu kesri uygun kesre dönüştürün.

"Kesirler" kelimesi birçok tüyleri diken diken ediyor. Çünkü okulu ve matematikte çözülen görevleri hatırlıyorum. Bu yerine getirilmesi gereken bir görevdi. Doğru ve yanlış kesirleri içeren problemleri bir bulmaca gibi ele alsanız ne olur? Sonuçta birçok yetişkin dijital ve Japonca bulmacaları çözüyor. Kuralları çözdük ve bu kadar. Burada da durum aynı. Kişinin yalnızca teoriye dalması gerekir - ve her şey yerine oturacaktır. Ve örnekler beyninizi eğitmenin bir yoluna dönüşecek.

Ne tür kesirler vardır?

Ne olduğuyla başlayalım. Kesir, bir kısmı bire sahip olan bir sayıdır. İki biçimde yazılabilir. İlkine sıradan denir. Yani yatay veya eğimli bir çizgiye sahip olan. Bölme işaretine eşdeğerdir.

Bu gösterimde çizginin üstündeki sayıya pay, altındaki sayıya ise payda adı verilir.

Sıradan kesirler arasında uygun ve yanlış kesirler ayırt edilir. Birincisi için payın mutlak değeri her zaman paydadan küçüktür. Yanlış olanlara böyle denir çünkü onlarda her şey tam tersidir. Bir uygun kesrin değeri her zaman birden küçüktür. Yanlış olan ise her zaman bu sayıdan büyüktür.

Ayrıca tamsayı ve kesirli kısmı olan karışık sayılar da vardır.

İkinci gösterim türü ondalık kesirdir. Onun hakkında ayrı bir konuşma var.

Uygunsuz kesirlerin karışık sayılardan farkı nedir?

Aslında hiçbir şey. Bunlar sadece aynı numaranın farklı kayıtlarıdır. Uygun olmayan kesirler, basit adımlardan sonra kolayca karışık sayılara dönüşür. Ve tam tersi.

Her şey özel duruma bağlıdır. Bazen görevlerde uygunsuz bir kesir kullanmak daha uygundur. Bazen bunu tam sayıya dönüştürmek gerekir ve o zaman örnek çok kolay çözülecektir. Bu nedenle ne kullanılacağı: uygunsuz kesirler, karışık sayılar, problemi çözen kişinin gözlem becerisine bağlıdır.

Karışık sayı aynı zamanda tam sayı ve kesirli kısmın toplamı ile de karşılaştırılır. Üstelik ikincisi her zaman birden küçüktür.

Karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak nasıl gösterebilirim?

Farklı formlarda yazılmış birkaç sayıyla herhangi bir işlem yapmanız gerekiyorsa bunları aynı yapmanız gerekir. Yöntemlerden biri sayıları uygunsuz kesirler olarak temsil etmektir.

Bu amaçla aşağıdaki algoritmayı uygulamanız gerekecektir:

paydayı tam kısımla çarpın;
payın değerini sonuca ekleyin;
cevabı satırın üstüne yazın;
paydayı aynı bırakın.

Karışık sayılardan uygunsuz kesirlerin nasıl yazılacağına dair örnekler:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Uygunsuz bir kesir karışık sayı olarak nasıl yazılır?

Bir sonraki teknik yukarıda tartışılanın tam tersidir. Yani, tüm karışık sayıların yerini uygunsuz kesirler aldığında. Eylem algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

kalanı elde etmek için payın paydaya bölünmesi;
bölümü karışık olanın tamamı yerine yazın;
geri kalanı çizginin üstüne yerleştirilmelidir;
bölen payda olacaktır.

Böyle bir dönüşümün örnekleri:

76/14; 76:14 = 5, kalan 6; cevap 5 tam ve 6/14 olacak; bu örnekteki kesirli kısmın 2 oranında azaltılması gerekiyor, sonuçta 3/7 elde ediliyor; son cevap 5 nokta 3/7'dir.

108/54; bölme işleminden sonra kalansız 2 bölümü elde edilir; bu, tüm uygunsuz kesirlerin karışık sayı olarak temsil edilemeyeceği anlamına gelir; cevap bir tam sayı olacaktır - 2.

Bir tam sayıyı yanlış kesire nasıl dönüştürebilirim?

Böyle bir eylemin gerekli olduğu durumlar vardır. Bilinen bir paydaya sahip uygunsuz kesirler elde etmek için aşağıdaki algoritmayı uygulamanız gerekecektir:

bir tam sayıyı istenen paydayla çarpın;
bu değeri satırın üstüne yazın;
paydayı altına yerleştirin.

En basit seçenek, paydanın bire eşit olmasıdır. O zaman çoğalmaya gerek yok. Örnekte verilen tamsayıyı yazıp satırın altına bir tane yerleştirmek yeterlidir.

Örnek: 5'i paydası 3 olan bileşik kesir yapın. 5'i 3 ile çarpmak 15'i verir. Bu sayı payda olacaktır. Görevin cevabı kesirdir: 15/3.

Farklı sayılarla görevleri çözmeye yönelik iki yaklaşım

Örnek, iki sayının toplamı ve farkının yanı sıra çarpımı ve bölümünün de hesaplanmasını gerektirir: 2 tam sayı 3/5 ve 14/11.

İlk yaklaşımda karışık sayı uygunsuz bir kesir olarak temsil edilecektir.

Yukarıda anlatılan adımları uyguladıktan sonra şu değeri elde edersiniz: 13/5.

Toplamı bulmak için kesirleri aynı paydaya indirmeniz gerekir. 13/5'in 11 ile çarpılması 143/55 olur. Ve 14/11, 5 ile çarpıldığında 70/55 şeklini alacaktır. Toplamı hesaplamak için yalnızca payları eklemeniz gerekir: 143 ve 70 ve ardından cevabı bir paydayla yazın. 213/55 - Bu bileşik kesir sorunun cevabıdır.

Farkı bulurken aynı sayılar çıkarılır: 143 - 70 = 73. Cevap kesir olacaktır: 73/55.

13/5 ile 14/11'i çarparken ortak bir paydaya indirmenize gerek yoktur. Sadece pay ve paydaları çiftler halinde çarpın. Cevap: 182/55 olacaktır.

Aynı şey bölme için de geçerli. Doğru çözmek için bölmeyi çarpmayla değiştirmeniz ve böleni ters çevirmeniz gerekir: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

İkinci yaklaşımda Uygunsuz bir kesir karışık bir sayıya dönüşür.

Algoritmanın işlemlerini gerçekleştirdikten sonra 14/11, tamsayı kısmı 1 ve kesirli kısmı 3/11 olan karışık bir sayıya dönüşecektir.

Toplamı hesaplarken tamsayı ve kesirli kısımları ayrı ayrı eklemeniz gerekir. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Son cevap 3 nokta 48/55'tir. İlk yaklaşımda kesir 213/55 idi. Karışık sayıya dönüştürerek doğruluğunu kontrol edebilirsiniz. 213'ü 55'e böldüğümüzde bölüm 3, kalan 48 oluyor. Cevabın doğru olduğunu görmek çok kolay.

Çıkarma işleminde “+” işaretinin yerini “-” alır. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Kontrol etmek için, önceki yaklaşımdan elde edilen cevabın karışık bir sayıya dönüştürülmesi gerekir: 73, 55'e bölünür ve bölüm 1, kalan ise 18'dir.

Çarpımı ve bölümü bulmak için karışık sayıları kullanmak sakıncalıdır. Burada her zaman uygunsuz kesirlere geçilmesi tavsiye edilir.

Uygunsuz kesir

Çeyrekler

Düzenlilik. A Ve B kişinin aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz bir şekilde tanımlamasına izin veren bir kural vardır: "< », « >" veya " = ". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: negatif olmayan iki sayı ve iki tam sayı ve ile aynı ilişkiyle ilişkilidir; pozitif olmayan iki sayı A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve ; eğer aniden A olumsuz değil ama B- negatif o halde A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Kesirleri Ekleme
Ekleme işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var toplama kuralı C. Üstelik sayının kendisi C isminde miktar sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplama. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
Çarpma işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var çarpma kuralı onlara bazı rasyonel sayılar atar C. Üstelik sayının kendisi C isminde iş sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denir çarpma işlemi. Çarpma kuralı şuna benzer: .
Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için A , B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C. 6435">Toplamanın değişmezliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.
Eklemenin ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.
Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
Birimin kullanılabilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
Karşılıklı sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına aynı rasyonel sayı eklenebilir. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ek özellikler

Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler temel özellikler olarak ayırt edilmez, çünkü genel olarak konuşursak, bunlar artık doğrudan tamsayıların özelliklerine dayanmaz, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan bazı matematiksel nesnelerin tanımıyla kanıtlanabilirler. . Bunun gibi pek çok ek özellik var. Bunlardan sadece birkaçını burada listelemek anlamlı olacaktır.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Bir kümenin sayılabilirliği

Rasyonel sayıların numaralandırılması

Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir.

Bu algoritmaların en basiti şuna benzer. Her birinde sıradan kesirlerden oluşan sonsuz bir tablo derlenir. Ben her birinde -inci satır J kesrin bulunduğu inci sütun. Kesinlik açısından bu tablonun satır ve sütunlarının birden başlayarak numaralandırıldığı varsayılmaktadır. Tablo hücreleri ile gösterilir; burada Ben- hücrenin bulunduğu tablo satırının numarası ve J- sütun numarası.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.

Böyle bir geçiş sürecinde her yeni rasyonel sayı başka bir doğal sayıyla ilişkilendirilir. Yani, 1/1 kesri 1 sayısına, 2/1 kesri 2 sayısına vb. atanır. Yalnızca indirgenemez kesirlerin numaralandırıldığına dikkat edilmelidir. İndirgenemezliğin resmi bir işareti, kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşit olmasıdır.

Bu algoritmayı takip ederek tüm pozitif rasyonel sayıları sıralayabiliriz. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturmak, her rasyonel sayıya basitçe onun tersini atayarak kolaydır. O. Negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri aynı zamanda sayılabilir kümelerin özelliği ile de sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi aynı zamanda sayılabilir bir kümenin sonlu bir kümeyle birleşimi olarak da sayılabilir.

Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliğiyle ilgili ifade bazı karışıklıklara neden olabilir, çünkü ilk bakışta doğal sayılar kümesinden çok daha kapsamlı gibi görünmektedir. Aslında durum böyle değildir ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı vardır.

Rasyonel sayıların eksikliği

Böyle bir üçgenin hipotenüsü herhangi bir rasyonel sayıyla ifade edilemez.

1 / formunun rasyonel sayıları N genel olarak N keyfi olarak küçük miktarlar ölçülebilir. Bu gerçek, rasyonel sayıların herhangi bir geometrik mesafeyi ölçmek için kullanılabileceği yönünde yanıltıcı bir izlenim yaratmaktadır. Bunun doğru olmadığını göstermek kolaydır.

Pisagor teoreminden, bir dik üçgenin hipotenüsünün, dik kenarlarının kareleri toplamının karekökü olarak ifade edildiğini biliyoruz. O. Birim kenarlı bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu, yani karesi 2 olan sayıya eşittir.

Bir sayının herhangi bir rasyonel sayı ile temsil edilebileceğini varsayarsak, o zaman böyle bir tamsayı vardır. M ve böyle bir doğal sayı N, bu ve kesir indirgenemez, yani sayılar M Ve N- karşılıklı olarak basit.

Tüm bilimlerin kraliçesi olan matematik üzerinde çalışırken, bir noktada herkes kesirlerle karşılaşır. Bu kavram (kesirlerin türleri veya onlarla yapılan matematiksel işlemler gibi) hiç de karmaşık olmasa da, onu dikkatli bir şekilde ele almanız gerekir çünkü okul dışındaki gerçek hayatta çok faydalı olacaktır. Öyleyse kesirler hakkındaki bilgilerimizi tazeleyelim: Nedirler, ne işe yararlar, türleri nelerdir ve onlarla çeşitli aritmetik işlemler nasıl yapılır.

Majesteleri kesri: nedir bu

Matematikte kesirler, her biri bir birimin bir veya daha fazla kısmından oluşan sayılardır. Bu tür kesirlere sıradan veya basit de denir. Kural olarak yatay veya eğik çizgiyle ayrılmış iki sayı şeklinde yazılırlar, buna "kesirli" çizgi denir. Örneğin: ½, ¾.

Bu sayıların üst veya birincisi pay (sayıdan kaç kesir alındığını gösterir), alt veya ikincisi ise paydadır (birimin kaç parçaya bölündüğünü gösterir).

Kesir çubuğu aslında bölme işareti olarak işlev görür. Örneğin 7:9=7/9

Geleneksel olarak ortak kesirler birden küçüktür. Ondalık sayılar bundan daha büyük olabilir.

Kesirler ne içindir? Evet, her şey için çünkü gerçek dünyada tüm sayılar tam sayı değildir. Örneğin, kafeteryadaki iki kız öğrenci birlikte lezzetli bir çikolata satın aldı. Tatlıyı paylaşmak üzereyken bir arkadaşlarıyla tanıştılar ve ona da ikram etmeye karar verdiler. Ancak artık çikolatanın 12 kareden oluştuğu göz önüne alındığında doğru şekilde bölünmesi gerekiyor.

İlk başta kızlar her şeyi eşit olarak paylaşmak istediler, sonra her biri dört parça alacaktı. Ancak iyice düşündükten sonra arkadaşlarına çikolatanın 1/3'ünü değil 1/4'ünü ikram etmeye karar verdiler. Ve kız öğrenciler kesirleri iyi çalışmadıkları için, böyle bir durumda sonuç olarak ikiye çok zayıf bölünmüş 9 parçaya sahip olacaklarını hesaba katmadılar. Bu oldukça basit örnek, bir sayının kısmını doğru bir şekilde bulmanın ne kadar önemli olduğunu göstermektedir. Ancak hayatta bu tür daha birçok vaka var.

Kesir türleri: sıradan ve ondalık

Tüm matematiksel kesirler iki büyük basamağa bölünmüştür: sıradan ve ondalık sayı. Bunlardan ilkinin özellikleri önceki paragrafta anlatılmıştı, bu yüzden şimdi ikinciye dikkat etmeye değer.

Ondalık sayı, bir sayının kesirinin, virgülle ayrılmış bir harfle, tire veya eğik çizgi olmadan sabitlenmiş konumsal gösterimidir. Örneğin: 0,75, 0,5.

Aslında ondalık kesir sıradan bir kesirle aynıdır, ancak paydası her zaman bir ve ardından sıfır gelir; adı da buradan gelir.

Ondalık noktadan önceki sayı tamsayı kısmıdır ve virgülden sonraki her şey kesirli kısımdır. Herhangi bir basit kesir ondalık sayıya dönüştürülebilir. Yani önceki örnekte belirtilen ondalık kesirler sıradan olarak yazılabilir: ¾ ve ½.

Hem ondalık hem de sıradan kesirlerin hem pozitif hem de negatif olabileceğini belirtmekte fayda var. Önlerinde "-" işareti varsa, bu kesir negatiftir, "+" ise pozitiftir.

Sıradan kesirlerin alt türleri

Bu tür basit kesirler vardır.

Ondalık kesrin alt türleri

Basit bir kesirden farklı olarak ondalık kesir yalnızca 2 türe ayrılır.

Son - virgülden sonra sınırlı (sonlu) sayıda basamağa sahip olması nedeniyle bu adı almıştır: 19.25.
Sonsuz kesir, virgülden sonra sonsuz sayıda basamak içeren bir sayıdır. Örneğin 10'u 3'e böldüğümüzde sonuç 3,333 gibi sonsuz bir kesir olacaktır...

Kesirleri Ekleme

Kesirlerle çeşitli aritmetik işlemler yapmak sıradan sayılardan biraz daha zordur. Ancak temel kuralları anlarsanız onlarla herhangi bir örneği çözmek zor olmayacaktır.

Örneğin: 2/3+3/4. Bunların en küçük ortak katı 12 olacağından her paydada bu sayının olması gerekir. Bunu yapmak için ilk kesrin payını ve paydasını 4 ile çarpıyoruz, 8/12 çıkıyor, ikinci terim için de aynısını yapıyoruz ama sadece 3 - 9/12 ile çarpıyoruz. Artık örneği kolaylıkla çözebilirsiniz: 8/12+9/12= 17/12. Ortaya çıkan kesir yanlış bir birimdir çünkü pay paydadan büyüktür. 17:12 = 1 ve 5/12'ye bölünerek doğru karışıma dönüştürülebilir ve dönüştürülmelidir.

Karışık kesirler eklenirken önce tam sayılarla, sonra kesirlerle işlemler yapılır.

Örnek bir ondalık kesir ve bir normal kesir içeriyorsa, her ikisini de basit hale getirip ardından aynı paydaya getirip eklemek gerekir. Örneğin 3,1+1/2. 3.1 sayısı, 3 ve 1/10'un karışık kesri veya yanlış kesir - 31/10 olarak yazılabilir. Terimlerin ortak paydası 10 olacaktır, yani 1/2'nin payını ve paydasını dönüşümlü olarak 5 ile çarpmanız gerekir, 5/10 elde edersiniz. O zaman her şeyi kolaylıkla hesaplayabilirsiniz: 31/10+5/10=35/10. Elde edilen sonuç uygunsuz indirgenebilir bir kesirdir, onu 5: 7/2 = 3 ve 1/2 veya ondalık - 3,5 oranında azaltarak normal forma getiriyoruz.

2 ondalık kesir eklerken, virgülden sonra aynı sayıda rakamın olması önemlidir. Durum böyle değilse, gerekli sayıda sıfır eklemeniz yeterlidir, çünkü ondalık kesirlerde bu ağrısız bir şekilde yapılabilir. Örneğin, 3,5+3,005. Bu sorunu çözmek için ilk sayıya 2 sıfır ekleyip ardından birer birer eklemeniz gerekir: 3.500+3.005=3.505.

Kesirlerde Çıkarma

Kesirleri çıkarırken, eklerken yaptığınızın aynısını yapmalısınız: ortak bir paydaya azaltın, bir payı diğerinden çıkarın ve gerekirse sonucu karışık kesire dönüştürün.

Örneğin: 16/20-5/10. Ortak payda 20 olacak. İkinci kesri bu paydaya getirmeniz gerekiyor, onun her iki parçasını da 2 ile çarparak 10/20 elde edersiniz. Artık örneği çözebilirsiniz: 16/20-10/20= 6/20. Ancak bu sonuç indirgenebilir kesirler için geçerli olduğundan her iki tarafı da 2'ye bölmek gerekir ve sonuç 3/10 olur.

Kesirlerin Çarpılması

Kesirleri bölme ve çarpma, toplama ve çıkarmaya göre çok daha basit işlemlerdir. Gerçek şu ki, bu görevleri yerine getirirken ortak bir payda aramaya gerek yok.

Kesirleri çarpmak için her iki payı da birer birer çarpmanız ve ardından her iki paydayı da çarpmanız yeterlidir. Kesir indirgenebilir bir miktar ise, ortaya çıkan sonucu azaltın.

Örneğin: 4/9x5/8. Alternatif çarpma işleminden sonra sonuç 4x5/9x8=20/72 olur. Bu kesir 4'e kadar azaltılabilir, dolayısıyla örnekteki son cevap 5/18'dir.

Kesirler nasıl bölünür

Kesirleri bölmek de basit bir işlemdir; aslında iş yine de onları çarpmaktan ibarettir. Bir kesri diğerine bölmek için ikinciyi ters çevirip birinciyle çarpmanız gerekir.

Örneğin 5/19 ve 5/7 kesirlerini bölmek. Örneği çözmek için ikinci kesrin paydasını ve payını değiştirip çarpmanız gerekir: 5/19x7/5=35/95. Sonuç 5 azaltılabilir - 7/19 çıkıyor.

Bir kesri asal sayıya bölmeniz gerekiyorsa teknik biraz farklıdır. Başlangıçta bu sayıyı uygunsuz bir kesir olarak yazmalı ve ardından aynı şemaya göre bölmelisiniz. Örneğin 2/13:5 2/13:5/1 şeklinde yazılmalıdır. Şimdi 5/1'i çevirip elde edilen kesirleri çarpmanız gerekiyor: 2/13x1/5= 2/65.

Bazen karışık kesirleri bölmeniz gerekir. Onlara tam sayılarda olduğu gibi davranmalısınız: onları bileşik kesirlere dönüştürün, böleni ters çevirin ve her şeyi çarpın. Örneğin, 8 ½: 3. Her şeyi bileşik kesirlere dönüştürün: 17/2: 3/1. Bunu 3/1 çevirme ve çarpma takip eder: 17/2x1/3= 17/6. Şimdi yanlış kesri doğru kesre çevirmelisiniz: 2 tam ve 5/6.

Yani kesirlerin ne olduğunu ve onlarla çeşitli aritmetik işlemleri nasıl gerçekleştirebileceğinizi anladıktan sonra, bunu unutmamaya çalışmalısınız. Sonuçta, insanlar her zaman bir şeyi eklemek yerine parçalara ayırmaya daha eğilimlidirler, bu nedenle bunu doğru şekilde yapabilmeniz gerekir.

Kesirlerle okulda çalışmaya başlamadan çok daha önce karşılaşırız. Bir elmayı tam olarak ikiye bölersek meyvenin yarısını elde ederiz. Tekrar kesin - ¼ olacak. Kesirlerin durumu budur. Ve öyle görünüyor ki her şey basit. Bir yetişkin için. Bir çocuk için (ve bu konu ilkokulun sonunda incelenmeye başlar), soyut matematiksel kavramlar hala korkutucu derecede anlaşılmazdır ve öğretmen, doğru ve yanlış kesrin, ortak ve ondalık sayının ne olduğunu, hangi işlemlerin yapılabileceğini açıkça açıklamalıdır. onlarla ve en önemlisi tüm bunlara neden ihtiyaç duyulduğu.

Kesirler nelerdir

Okulda yeni bir konunun tanıtılması sıradan kesirlerle başlar. Üstteki ve alttaki iki sayıyı ayıran yatay çizgiyle kolayca tanınırlar. Üsttekine pay, alttakine ise payda denir. Ayrıca uygunsuz ve doğru sıradan kesirleri eğik çizgiyle yazmak için küçük harf seçeneği de vardır, örneğin: ½, 4/9, 384/183. Bu seçenek, satır yüksekliğinin sınırlı olduğu ve “iki katlı” giriş formunun kullanılmasının mümkün olmadığı durumlarda kullanılır. Neden? Evet çünkü daha kullanışlı. Bunu biraz sonra göreceğiz.

Sıradan kesirlerin yanı sıra ondalık kesirler de vardır. Bunları ayırt etmek çok basittir: Bir durumda yatay veya eğik çizgi kullanılıyorsa, diğerinde sayı dizilerini ayırmak için virgül kullanılır. Bir örnek görelim: 2.9; 163.34; 1.953. Sayıları sınırlandırmak için kasıtlı olarak ayırıcı olarak noktalı virgül kullandık. Bunlardan ilki şu şekilde okunacak: "iki virgül dokuz."

Yeni konseptler

Sıradan kesirlere dönelim. Bunlar iki çeşittir.

Düzgün kesirin tanımı şu şekildedir: Payı paydasından küçük olan kesirdir. Neden önemlidir? Şimdi göreceğiz!

Birkaç elmanız var, yarıya bölünmüş. Toplamda - 5 parça. Nasıl dersiniz: “iki buçuk” veya “beş buçuk” elmanız var mı? Elbette ilk seçenek kulağa daha doğal geliyor ve bunu arkadaşlarımızla konuşurken kullanacağız. Ama her kişinin kaç meyve alacağını hesaplamamız gerekirse, şirkette beş kişi varsa 5/2 sayısını yazıp 5'e böleriz - matematiksel açıdan bu daha net anlaşılır. .

Yani, doğru ve yanlış kesirleri adlandırmak için kural şudur: Bir kesirde tam kısım ayırt edilebiliyorsa (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), o zaman düzensizdir. ½, 13/16, 9/10 gibi bu yapılamıyorsa doğru olacaktır.

Bir kesrin temel özelliği

Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıyla aynı anda çarpılır veya bölünürse değeri değişmez. Düşünün: pastayı 4 eşit parçaya bölüp size bir tane verdiler. Aynı pastayı sekiz parçaya bölüp sana ikisini verdiler. Gerçekten önemli mi? Sonuçta ¼ ile 2/8 aynı şeydir!

Kesinti

Matematik ders kitaplarındaki problemlerin ve örneklerin yazarları genellikle yazılması zahmetli olan ancak gerçekte kısaltılabilen kesirler sunarak öğrencilerin kafasını karıştırmaya çalışırlar. İşte uygun bir kesir örneği: 167/334, öyle görünüyor ki, çok "korkutucu" görünüyor. Ama aslında bunu ½ olarak da yazabiliriz. 334 sayısı 167'ye kalansız bölünebilir - bu işlemi yaptıktan sonra 2 elde ederiz.

Karışık sayılar

Uygunsuz bir kesir, karışık bir sayı olarak temsil edilebilir. Bu, parçanın tamamının öne getirilerek yatay çizgi seviyesinde yazılmasıdır. Aslında ifade bir toplam şeklini alır: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 vb.

Parçanın tamamını çıkarmak için payı paydaya bölmeniz gerekir. Bölmenin geri kalanını en üste, çizginin üstüne ve tamamını ifadeden önce yazın. Böylece iki yapısal parça elde ederiz: tam birimler + doğru kesir.

Ters işlemi de gerçekleştirebilirsiniz - bunu yapmak için tamsayı kısmını paydayla çarpmanız ve elde edilen değeri paya eklemeniz gerekir. Karmaşık bir şey yok.

Çarpma ve bölme

İşin garibi, kesirleri çarpmak toplama yapmaktan daha kolaydır. Tek yapmanız gereken yatay çizgiyi uzatmak: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Bölme işleminde de her şey basittir: Kesirleri çapraz olarak çarpmanız gerekir: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Kesirleri Ekleme

Toplama yapmanız gerekiyorsa veya paydada farklı sayılar varsa ne yapmalısınız? Çarpma işleminde olduğu gibi aynısını yapmak işe yaramayacaktır - burada uygun kesirin tanımını ve özünü anlamalısınız. Terimleri ortak bir paydaya getirmek, yani her iki kesirin alt kısmının aynı sayılara sahip olması gerekir.

Bunu yapmak için kesirin temel özelliğini kullanmalısınız: her iki parçayı da aynı sayıyla çarpın. Örneğin, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Terimlerin hangi paydaya indirileceği nasıl seçilir? Bu, kesirlerin paydalarındaki her iki sayının katı olan minimum sayı olmalıdır: 1/3 ve 1/9 için 9 olacaktır; ½ ve 1/7 - 14 için, çünkü 2 ve 7'ye kalansız bölünebilen daha küçük bir değer yoktur.

Kullanım

Uygunsuz kesirler ne işe yarar? Sonuçta, tüm parçayı hemen seçmek, karışık bir sayı elde etmek ve bu işi bitirmek çok daha uygundur! İki kesri çarpmanız veya bölmeniz gerekiyorsa, düzensiz olanları kullanmanın daha karlı olduğu ortaya çıktı.

Şu örneği ele alalım: (2 + 3/17) / (37/68).

Görünüşe göre kesilecek hiçbir şey yok. Peki ya toplama sonucunu ilk parantez içine bileşik kesir olarak yazarsak? Bak: (37/17) / (37/68)

Artık her şey yerine oturuyor! Örneği her şey belli olacak şekilde yazalım: (37*68) / (17*37).

Pay ve paydadaki 37'yi iptal edelim ve son olarak üst ve alt kısmı 17'ye bölelim. Doğru ve yanlış kesirlerin temel kuralını hatırlıyor musunuz? Pay ve payda için aynı anda yaptığımız sürece bunları herhangi bir sayıyla çarpabilir ve bölebiliriz.

Böylece cevabı alıyoruz: 4. Örnek karmaşık görünüyordu, ancak cevap yalnızca bir sayı içeriyor. Bu matematikte sıklıkla olur. Önemli olan korkmamak ve basit kurallara uymaktır.

Yaygın hatalar

Uygulama yaparken öğrenci sık yapılan hatalardan birini kolaylıkla yapabilir. Genellikle dikkatsizlik nedeniyle ve bazen de çalışılan materyalin henüz kafada uygun şekilde saklanmaması nedeniyle ortaya çıkarlar.

Çoğu zaman paydaki sayıların toplamı, tek tek bileşenlerini azaltmak istemenize neden olur. Örnekte diyelim ki (13 + 2) / 13, parantezsiz (yatay çizgiyle) yazılmış, birçok öğrenci deneyimsizlik nedeniyle üstte ve altta 13'ün üzerini çiziyor. Ancak bu hiçbir koşulda yapılmamalıdır çünkü bu büyük bir hatadır! Toplama yerine çarpma işareti olsaydı cevapta 2 sayısını alırdık ama toplama yaparken terimlerden biriyle işlem yapılmasına izin verilmez, yalnızca toplamın tamamıyla işlem yapılmasına izin verilir.

Erkekler ayrıca kesirleri bölerken sıklıkla hata yaparlar. İndirgenemeyen iki tam kesir alıp birbirine bölelim: (5/6) / (25/33). Öğrenci bunu karıştırıp ortaya çıkan ifadeyi (5*25) / (6*33) şeklinde yazabilir. Ancak çarpma işleminde bu olur, ancak bizim durumumuzda her şey biraz farklı olacaktır: (5*33) / (6*25). Mümkün olanı azaltıyoruz ve cevap 11/10 olacak. Ortaya çıkan uygunsuz kesri ondalık sayı olarak yazıyoruz - 1.1.

Parantez

Herhangi bir matematiksel ifadede işlem sırasının, işlem işaretlerinin önceliğine ve parantezlerin varlığına göre belirlendiğini unutmayın. Diğer her şey eşit olduğunda eylemlerin sırası soldan sağa doğru sayılır. Bu aynı zamanda kesirler için de geçerlidir - pay veya paydadaki ifade kesinlikle bu kurala göre hesaplanır.

Sonuçta bu, bir sayının diğerine bölünmesinin sonucudur. Eşit olarak bölünmezlerse, kesir haline gelir - hepsi bu.

Bilgisayarda kesir nasıl yazılır

Standart araçlar her zaman iki “katmandan” oluşan bir kesir oluşturmaya izin vermediğinden, öğrenciler bazen çeşitli hilelere başvururlar. Örneğin pay ve paydaları Paint grafik düzenleyicisine kopyalayıp birbirine yapıştırarak aralarında yatay bir çizgi çiziyorlar. Elbette, gelecekte işinize yarayacak birçok ek özellik sağlayan daha basit bir seçenek de var.

Microsoft Word'ü açın. Ekranın üst kısmındaki panellerden birine "Ekle" denir - tıklayın. Sağ tarafta pencereyi kapat ve simge durumuna küçült simgelerinin bulunduğu tarafta “Formül” butonu bulunmaktadır. Tam olarak ihtiyacımız olan şey bu!

Bu işlevi kullanırsanız, ekranda klavyede olmayan herhangi bir matematiksel işareti kullanabileceğiniz ve kesirleri klasik biçimde yazabileceğiniz dikdörtgen bir alan görünecektir. Yani pay ve paydayı yatay bir çizgiyle bölmek. Hatta böylesine düzgün bir kesir yazmanın bu kadar kolay olmasına şaşırabilirsiniz.

Matematik öğren

Eğer 5-6. Sınıftaysanız, yakında birçok okul dersinde matematik bilgisi (kesirlerle çalışma yeteneği dahil!) gerekli olacaktır. Fizikteki hemen hemen her problemde, kimyada, geometride ve trigonometride maddelerin kütlesini ölçerken kesirler olmadan yapamazsınız. Yakında, ifadeleri kağıda bile yazmadan kafanızda her şeyi hesaplamayı öğreneceksiniz, ancak giderek daha karmaşık örnekler ortaya çıkacak. Öyleyse düzgün kesirin ne olduğunu ve onunla nasıl çalışılacağını öğrenin, müfredatınıza uyun, ödevinizi zamanında yapın, başarılı olacaksınız.