X'in kuvvetlerindeki genişleme. Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi

Pratik becerilerin eğitimi için bir sitedeki bir işlevin Taylor, Maclaurin ve Laurent serisine genişletilmesi. Bir fonksiyonun bu seri açılımı, matematikçilerin, fonksiyonun tanım alanındaki bir noktada yaklaşık değerini tahmin etmelerine olanak tanır. Böyle bir fonksiyon değerini hesaplamak, bilgisayar teknolojisi çağında artık alakasız olan Bredis tablosunu kullanmakla karşılaştırıldığında çok daha kolaydır. Bir fonksiyonu Taylor serisine genişletmek, bu serinin doğrusal fonksiyonlarının katsayılarını hesaplamak ve bunu doğru biçimde yazmak anlamına gelir. Öğrenciler ikincinin genel durumunun ne olduğunu ve özel durumunun ne olduğunu anlamadan bu iki seriyi karıştırırlar. Maclaurin serisinin Taylor serisinin özel hali olduğunu yani Taylor serisi olduğunu ancak x = 0 noktasında olduğunu bir kez daha hatırlatalım. Bilinen fonksiyonların açılımına ilişkin tüm kısa girişler, e^x, Sin(x), Cos(x) ve diğerleri gibi bunlar Taylor serisi açılımlarıdır, ancak argüman için 0 noktasındadır. Karmaşık bir argümanın fonksiyonları için Laurent serisi, iki taraflı sonsuz bir seriyi temsil ettiğinden TFCT'de en yaygın sorundur. İki serinin toplamıdır. Doğrudan web sitesindeki bir ayrıştırma örneğine bakmanızı öneririz; herhangi bir rakamla "Örnek" ve ardından "Çözüm" düğmesine tıklayarak bunu yapmak çok kolaydır. Değişken apsis bölgesine aitse, orijinal fonksiyonu ordinat ekseni boyunca belirli bir bölgede sınırlayan, tam olarak bir fonksiyonun bir çoğullaştırıcı seriyle ilişkili bir seriye genişlemesidir. Vektör analizi matematikteki başka bir ilginç disiplinle karşılaştırılır. Her dönemin incelenmesi gerektiğinden süreç oldukça fazla zaman gerektirmektedir. Herhangi bir Taylor serisi, x0'ı sıfırla değiştirerek bir Maclaurin serisiyle ilişkilendirilebilir, ancak bir Maclaurin serisi için Taylor serisini tersten temsil etmek bazen açık değildir. Sanki bunun saf haliyle yapılması gerekmiyormuş gibi, genel kişisel gelişim için ilginçtir. Her Laurent serisi, z-a'nın tamsayı kuvvetleri cinsinden iki taraflı sonsuz kuvvet serisine, diğer bir deyişle aynı Taylor tipinde, ancak katsayıların hesaplanmasında biraz farklı bir seriye karşılık gelir. Laurent serisinin yakınsaklık bölgesinden biraz sonra birkaç teorik hesaplamadan sonra bahsedeceğiz. Geçen yüzyılda olduğu gibi, paydalardaki fonksiyonlar doğrusal olmadığından, bir fonksiyonun adım adım bir seriye genişletilmesi, terimlerin ortak bir paydaya getirilmesiyle pek mümkün değildir. Problemlerin formülasyonu, fonksiyonel değerin yaklaşık bir hesaplamasını gerektirir. Bir Taylor serisinin argümanı doğrusal bir değişken olduğunda, genişletmenin birkaç adımda gerçekleştiğini, ancak genişletilen fonksiyonun argümanı karmaşık veya doğrusal olmayan bir fonksiyon olduğunda resmin tamamen farklı olduğunu, o zaman işlemin tamamen farklı olduğunu düşünün. Böyle bir fonksiyonun bir güç serisinde temsil edilmesi açıktır, çünkü bu şekilde, yaklaşık bir değer de olsa, tanım bölgesindeki herhangi bir noktada, sonraki hesaplamalar üzerinde çok az etkisi olan minimum hatayla hesaplama yapmak kolaydır. Bu aynı zamanda Maclaurin serisi için de geçerlidir. fonksiyonun sıfır noktasında hesaplanması gerektiğinde. Ancak Laurent serisinin kendisi burada hayali birimlerle düzlemde bir genişleme ile temsil edilmektedir. Ayrıca sorunun genel süreç içerisinde doğru çözümü de başarıdan mahrum kalmayacaktır. Bu yaklaşım matematikte bilinmiyor ama nesnel olarak var. Sonuç olarak, noktasal alt kümeler olarak adlandırılan sonuca varabilirsiniz ve bir serideki bir fonksiyonun genişletilmesinde, türev teorisinin uygulanması gibi bu süreç için bilinen yöntemleri kullanmanız gerekir. Hesaplama sonrası hesaplamaların sonuçlarına ilişkin varsayımlarda bulunan öğretmenin haklı olduğuna bir kez daha ikna olduk. Matematiğin tüm kanonlarına göre elde edilen Taylor serisinin var olduğunu ve tüm sayısal eksende tanımlandığını belirtelim, ancak site hizmetinin sevgili kullanıcıları, orijinal fonksiyonun türünü unutmayın çünkü ortaya çıkabilir başlangıçta fonksiyonun tanım alanını oluşturmak, yani fonksiyonun gerçek sayılar alanında tanımlanmadığı noktaları yazmak ve daha fazla değerlendirmenin dışında tutmak gerekir. Tabiri caizse bu, sorunu çözme konusundaki verimliliğinizi gösterecektir. Sıfır argüman değerine sahip bir Maclaurin serisinin oluşturulması, söylenenlerin bir istisnası olmayacaktır. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulma süreci iptal edilmemiştir ve bu matematiksel işleme tüm ciddiyetle yaklaşmalısınız. Ana parçayı içeren bir Laurent serisi durumunda, “a” parametresine izole edilmiş tekil nokta adı verilecek ve Laurent serisi bir halkada genişletilecektir - bu, parçalarının yakınsama alanlarının kesişimidir, dolayısıyla karşılık gelen teorem takip edecektir. Ancak her şey deneyimsiz bir öğrenciye ilk bakışta göründüğü kadar karmaşık değildir. Taylor serisini inceledikten sonra, sayıların uzayını genişletmek için genelleştirilmiş bir durum olan Laurent serisini kolayca anlayabilirsiniz. Bir fonksiyonun herhangi bir seri açılımı, yalnızca fonksiyonun tanım alanındaki bir noktada gerçekleştirilebilir. Fonksiyonların periyodiklik veya sonsuz türevlenebilirlik gibi özellikleri dikkate alınmalıdır. Ayrıca, çevrimiçi hesap makinemizi kullanarak görülebileceği gibi, bir fonksiyon düzinelerce farklı kuvvet serisiyle temsil edilebildiğinden, temel fonksiyonların hazır Taylor serisi açılımları tablosunu kullanmanızı öneririz. Çevrimiçi Maclaurin serisinin belirlenmesi çok kolaydır, eğer benzersiz web sitesi hizmetini kullanıyorsanız, yalnızca doğru yazılı işlevi girmeniz yeterlidir ve sunulan yanıtı birkaç saniye içinde alacaksınız, doğruluğu garantilidir ve zamanında standart bir yazılı form. Öğretmene göndermek üzere sonucu doğrudan temiz bir kopyaya kopyalayabilirsiniz. Söz konusu fonksiyonun önce halkalarda analitikliğini belirlemek, ardından bu tür halkaların hepsinde Laurent serisine genişletilebilir olduğunu açıkça belirtmek doğru olacaktır. Laurent serisinin negatif kuvvetler içeren terimlerinin gözden kaçırılmaması önemlidir. Mümkün olduğunca buna odaklanın. Bir fonksiyonun tamsayı kuvvetlerine genişletilmesine ilişkin Laurent teoremini iyi bir şekilde kullanın.

16.1. Temel fonksiyonların Taylor serilerine genişletilmesi ve

Maclaurin

Bir küme üzerinde keyfi bir fonksiyonun tanımlandığını gösterelim.
, noktanın yakınında
birçok türevi vardır ve bir kuvvet serisinin toplamıdır:

o zaman bu serinin katsayılarını bulabilirsiniz.

Bir kuvvet serisinde yerine koyalım
. Daha sonra
.

Fonksiyonun ilk türevini bulalım
:

Şu tarihte:
:
.

İkinci türev için şunu elde ederiz:

Şu tarihte:
:
.

Bu prosedüre devam etmek N bir kez elde ettiğimizde:
.

Böylece şu formda bir kuvvet serisi elde ettik:

,

buna denir Taylor'ın yanında fonksiyon için
noktanın yakınında
.

Taylor serisinin özel bir durumu Maclaurin serisi en
:

Taylor (Maclaurin) serisinin geri kalanı ana serinin atılmasıyla elde edilir. N ilk üyeler ve şu şekilde gösterilir:
. Daha sonra fonksiyon
toplam olarak yazılabilir N serinin ilk üyeleri
ve geri kalanı
:,

.

Geriye kalan kısım genellikle
farklı formüllerle ifade edilir.

Bunlardan biri Lagrange formundadır:

, Nerede
.
.

Pratikte Maclaurin serisinin daha sık kullanıldığını unutmayın. Bu nedenle fonksiyonu yazmak için
kuvvet serisi toplamı şeklinde gereklidir:

1) Maclaurin (Taylor) serisinin katsayılarını bulun;

2) ortaya çıkan kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini bulun;

3) bu serinin fonksiyona yakınsak olduğunu kanıtlayın
.

Teorem1 (Maclaurin serisinin yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul). Serinin yakınsaklık yarıçapı olsun
. Bu serinin aralıkta yakınsaması için
işlev görmek
Koşulun gerçekleşmesi için gerekli ve yeterlidir:
belirtilen aralıkta.

Teorem 2. Fonksiyonun herhangi bir mertebeden türevleri ise
belli bir aralıkta
mutlak değer olarak aynı sayıyla sınırlı M, yani
, o zaman bu aralıkta fonksiyon
Maclaurin serisine genişletilebilir.

Örnek1 . Nokta etrafında Taylor serisini genişletin
işlev.

Çözüm.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Yakınsama bölgesi
.

Örnek2 . Bir işlevi genişlet bir nokta etrafındaki Taylor serisinde
.

Çözüm:

Fonksiyonun değerini ve türevlerini bulun
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Bu değerleri sıralayalım. Şunu elde ederiz:

veya
.

Bu serinin yakınsaklık bölgesini bulalım. D'Alembert testine göre bir seri şu durumda yakınsar:

.

Bu nedenle herhangi bir kişi için bu limit 1'den küçüktür ve bu nedenle serinin yakınsaklık aralığı şöyle olacaktır:
.

Temel temel fonksiyonların Maclaurin serisi açılımının birkaç örneğini ele alalım. Maclaurin serisini hatırlayın:

.

aralıkta yakınsar
işlev görmek
.

Bir fonksiyonu bir seriye genişletmek için aşağıdakilerin gerekli olduğunu unutmayın:

a) bu fonksiyon için Maclaurin serisinin katsayılarını bulun;

b) ortaya çıkan serinin yakınsama yarıçapını hesaplayın;

c) Ortaya çıkan serinin fonksiyona yakınsak olduğunu kanıtlayın
.

Örnek 3.İşlevi düşünün
.

Çözüm.

Fonksiyonun değerini ve türevlerini hesaplayalım.
.

O halde serinin sayısal katsayıları şu şekildedir:

herkes için N. Bulunan katsayıları Maclaurin serisine koyalım ve şunu elde edelim:

Ortaya çıkan serinin yakınsaklık yarıçapını bulalım:

.

Bu nedenle seri aralıkta yakınsar
.

Bu seri fonksiyona yakınsar herhangi bir değer için , çünkü herhangi bir aralıkta
işlev ve mutlak değerli türevlerinin sayısı sınırlıdır .

Örnek4 . İşlevi düşünün
.

Çözüm.

:

Eşit mertebeden türevlerin olduğunu görmek kolaydır
ve türevler tek sıralıdır. Bulunan katsayıları Maclaurin serisine koyalım ve açılımı elde edelim:

Bu serinin yakınsaklık aralığını bulalım. D'Alembert'in işaretine göre:

herkes için . Bu nedenle seri aralıkta yakınsar
.

Bu seri fonksiyona yakınsar
Çünkü tüm türevleri birlikle sınırlıdır.

Örnek5 .
.

Çözüm.

Fonksiyonun değerini ve türevlerini bulalım.
:

Böylece bu serinin katsayıları:
Ve
, buradan:

Önceki satıra benzer şekilde yakınsama alanı
. Seri fonksiyona yakınsar
Çünkü tüm türevleri birlikle sınırlıdır.

Lütfen işlevin
Tek kuvvetlerde tek ve seri açılım, fonksiyon
– çift ve çift kuvvetlerde bir seriye genişleme.

Örnek6 . Binom serisi:
.

Çözüm.

Fonksiyonun değerini ve türevlerini bulalım.
:

Bundan şunu görmek mümkündür:

Bu katsayı değerlerini Maclaurin serisine koyalım ve bu fonksiyonun bir kuvvet serisine genişletilmesini elde edelim:

Bu serinin yakınsaklık yarıçapını bulalım:

Bu nedenle seri aralıkta yakınsar
. Sınırlayıcı noktalarda
Ve
üsse bağlı olarak bir seri yakınsak olabilir veya olmayabilir
.

İncelenen seriler aralıkta yakınsaktır
işlev görmek
yani serinin toplamı
en
.

Örnek7 . Fonksiyonu Maclaurin serisine genişletelim
.

Çözüm.

Bu fonksiyonu bir seriye genişletmek için binom serisini kullanırız.
. Şunu elde ederiz:

Kuvvet serisinin özelliğine dayanarak (bir kuvvet serisi yakınsaklık bölgesinde entegre edilebilir), bu serinin sol ve sağ taraflarının integralini buluruz:

Bu serinin yakınsaklık alanını bulalım:
,

yani bu serinin yakınsaklık alanı aralıktır
. Serinin aralığın sonlarında yakınsaklığını belirleyelim. Şu tarihte:

. Bu seri uyumlu bir seridir, yani ıraksamaktadır. Şu tarihte:
ortak terimli bir sayı serisi elde ederiz
.

Seri Leibniz kriterine göre yakınsaktır. Dolayısıyla bu serinin yakınsaklık bölgesi aralıktır.
.

16.2. Güç serilerinin yaklaşık hesaplamalarda uygulanması

Yaklaşık hesaplamalarda kuvvet serileri son derece önemli bir rol oynamaktadır. Onların yardımıyla, örneğin olasılık teorisi ve matematiksel istatistik gibi çeşitli bilgi alanlarında kullanılan trigonometrik fonksiyon tabloları, logaritma tabloları, diğer fonksiyonların değer tabloları derlenmiştir. Ek olarak, fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi teorik çalışmaları açısından faydalıdır. Yaklaşık hesaplamalarda kuvvet serilerini kullanırken asıl sorun, bir serinin toplamını ilk serinin toplamı ile değiştirirken hatayı tahmin etme sorunudur. Nüyeler.

İki durumu ele alalım:

fonksiyon, işaret dönüşümlü bir seriye genişletilir;

fonksiyon bir dizi sabit işarete genişletilir.

Alternatif serileri kullanarak hesaplama

Fonksiyona izin ver
alternatif kuvvet serisine genişletildi. Daha sonra bu fonksiyonu belirli bir değer için hesaplarken Leibniz kriterini uygulayabileceğimiz bir sayı serisi elde ederiz. Bu kritere göre bir serinin toplamı ilk serinin toplamı ile değiştirilirse N Bu durumda mutlak hata bu serinin geri kalanının ilk terimini aşmaz, yani:
.

Örnek8 . Hesaplamak
0,0001 doğrulukla.

Çözüm.

Maclaurin serisini kullanacağız
radyan cinsinden açı değerini değiştirerek:

Serinin birinci ve ikinci terimlerini belirli bir doğrulukla karşılaştırırsak: .

Üçüncü genişleme dönemi:

Belirtilen hesaplama doğruluğundan daha az. Bu nedenle hesaplamak
serinin iki terimini bırakmak yeterlidir, yani

.

Böylece
.

Örnek9 . Hesaplamak
0,001 doğrulukla.

Çözüm.

Binom serisi formülünü kullanacağız. Bunu yapmak için yazalım
gibi:
.

Bu ifadede
,

Serinin her terimini belirtilen doğrulukla karşılaştıralım. Açık ki
. Bu nedenle hesaplamak
serinin üç terimini bırakmak yeterlidir.

veya
.

Pozitif serileri kullanarak hesaplama

Örnek10 . Numarayı hesapla 0,001 doğrulukla.

Çözüm.

Bir işlev için arka arkaya
hadi değiştirelim
. Şunu elde ederiz:

Bir serinin toplamını ilk serinin toplamıyla değiştirirken ortaya çıkan hatayı tahmin edelim. üyeler. Açık eşitsizliği yazalım:

bu 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Soruna göre bulmanız gerekir Nöyle ki aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:
veya
.

Bunu ne zaman kontrol etmek kolaydır N= 6:
.

Buradan,
.

Örnek11 . Hesaplamak
0,0001 doğrulukla.

Çözüm.

Logaritmaları hesaplamak için fonksiyona yönelik bir serinin kullanılabileceğini unutmayın.
ancak bu seri çok yavaş yakınsar ve verilen doğruluğu elde etmek için 9999 terimin alınması gerekir! Bu nedenle, logaritmaları hesaplamak için kural olarak fonksiyona yönelik bir seri kullanılır.
aralıkta birleşen
.

Haydi hesaplayalım
bu seriyi kullanıyoruz. İzin vermek
, Daha sonra .

Buradan,
,

Hesaplamak için
Belirli bir doğrulukla ilk dört terimin toplamını alın:
.

Serinin geri kalanı
onu bir kenara bırakalım. Hatayı tahmin edelim. Açıkça görülüyor ki

veya
.

Böylece hesaplama için kullanılan seride fonksiyon için serideki 9999 yerine sadece ilk dört terimin alınması yeterli olmuştur.
.

Kendi kendine teşhis soruları

1. Taylor serisi nedir?

2. Maclaurin serisinin şekli nasıldı?

3. Bir fonksiyonun Taylor serisindeki açılımına ilişkin bir teorem formüle edin.

4. Ana fonksiyonların Maclaurin serisi açılımını yazın.

5. Ele alınan serilerin yakınsaklık alanlarını belirtiniz.

6. Kuvvet serileri kullanılarak yaklaşık hesaplamalarda hata nasıl tahmin edilir?

Fonksiyonel seriler teorisinde merkezi yer, bir fonksiyonun seriye genişletilmesine ayrılan bölüm tarafından işgal edilir.

Böylece görev belirlenir: belirli bir işlev için böyle bir kuvvet serisi bulmamız gerekiyor

belirli bir aralıkta birleşen ve toplamı şuna eşit olan
, onlar.

= ..

Bu göreve denir Bir fonksiyonu kuvvet serisine genişletme problemi.

Bir kuvvet serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için gerekli bir koşul sonsuz sayıda türevlenebilirliğidir - bu, yakınsak güç serilerinin özelliklerinden kaynaklanır. Bu koşul, kural olarak, tanım alanlarındaki temel işlevler için karşılanır.

Yani fonksiyonun olduğunu varsayalım
herhangi bir mertebeden türevleri vardır. Bunu kuvvet serisine genişletmek mümkün müdür, öyleyse bu seriyi nasıl bulabiliriz? Sorunun ikinci kısmını çözmek daha kolay, o yüzden onunla başlayalım.

Fonksiyonun olduğunu varsayalım.
noktayı içeren aralıkta yakınsayan bir kuvvet serisinin toplamı olarak temsil edilebilir. X 0 :

= .. (*)

Nerede A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – bilinmeyen (henüz) katsayılar.

Değeri eşitliğe (*) koyalım x = x 0 , o zaman alırız

.

Kuvvet serisi (*) terimini terim bazında ayıralım

= ..

ve buraya inanmak x = x 0 , aldık

.

Bir sonraki farklılaşma ile seriyi elde ederiz

= ..

inanmak x = x 0 , aldık
, Neresi
.

Sonrasında P- elde ettiğimiz çoklu farklılaşma

Son eşitliği varsayarsak x = x 0 , aldık
, Neresi

Böylece katsayılar bulunur

,
,
, …,
,….,

(*) dizisine hangisinin yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan seriye denir Taylor'ın yanında fonksiyon için
.

Böylece şunu tespit ettik: eğer fonksiyon (x - x) kuvvetleri cinsinden bir kuvvet serisine genişletilebilirse 0 ), bu genişleme tektir ve ortaya çıkan seri zorunlu olarak bir Taylor serisidir.

Taylor serisinin herhangi bir noktada türevi herhangi bir mertebeden olan herhangi bir fonksiyon için elde edilebileceğini unutmayın. x = x 0 . Ancak bu, fonksiyon ile sonuç serisi arasına eşit işaret konulabileceği anlamına gelmez; serinin toplamının orijinal fonksiyona eşit olduğu. Birincisi, böyle bir eşitlik ancak yakınsaklık bölgesinde anlam ifade edebilir ve fonksiyon için elde edilen Taylor serileri ıraksaklaşabilir, ikinci olarak Taylor serisi yakınsaksa toplamı orijinal fonksiyonla çakışmayabilir.

3.2. Taylor serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için yeterli koşullar

Görevin çözüleceği yardımı ile bir ifade formüle edelim.

Eğer fonksiyon
x noktasının bir mahallesinde 0 kadar türevleri vardır (N+ 1) sipariş dahil, o zaman bu mahallede elimizdeformül Taylor

NeredeR N (X)-Taylor formülünün kalan terimi – şu şekle sahiptir (Lagrange formu)

Nerede noktaξ x ve x arasında yer alır 0 .

Taylor serisi ile Taylor formülü arasında bir fark olduğuna dikkat edin: Taylor formülü sonlu bir toplamdır; P - sabit numara.

Serinin toplamını hatırlayın S(X) kısmi toplamların fonksiyonel dizisinin limiti olarak tanımlanabilir S P (X) belli aralıklarla X:

.

Buna göre bir fonksiyonu Taylor serisine genişletmek, herhangi bir fonksiyon için öyle bir seri bulmak anlamına gelir ki XX

Taylor formülünü şu şekilde yazalım:

dikkat et ki
aldığımız hatayı tanımlar, işlevi değiştirir F(X) polinom S N (X).

Eğer
, O
,onlar. fonksiyon Taylor serisine genişletilir. Tam tersi ise
, O
.

Böylece kanıtladık Taylor serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için kriter.

Fonksiyonun gerçekleşebilmesi içinF(x) bir Taylor serisine genişliyor, bu aralıkta olması gerekli ve yeterli
, NeredeR N (X) Taylor serisinin kalan terimidir.

Formüle edilmiş kriteri kullanarak şunları elde edebilirsiniz: yeterliTaylor serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için koşullar.

Eğer içindeysex noktasının bir mahallesi 0 fonksiyonun tüm türevlerinin mutlak değerleri aynı M sayısıyla sınırlıdır≥ 0, yani

, To bu komşulukta fonksiyon bir Taylor serisine genişler.

Yukarıdan şu şekilde çıkıyor algoritmafonksiyon genişletme F(X) Taylor serisinde bir noktanın yakınında X 0 :

1. Fonksiyonların türevlerini bulma F(X):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (N) (X),…

2. Fonksiyonun değerini ve türevlerinin değerlerini noktadaki hesaplayın X 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), F (N) (X 0 ),…

3. Taylor serisini resmi olarak yazıyoruz ve ortaya çıkan kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini buluyoruz.

4. Yeterli koşulların yerine getirilip getirilmediğini kontrol ederiz; bunun için kuruyoruz X yakınsama bölgesinden kalan terim R N (X) sıfıra doğru eğilim gösterir
veya
.

Bu algoritma kullanılarak fonksiyonların Taylor serisine genişletilmesine denir. bir fonksiyonun tanımı gereği Taylor serisine genişletilmesi veya doğrudan ayrışma.

Yüksek matematik öğrencileri, bize verilen serinin yakınsaklık aralığına ait belirli bir kuvvet serisinin toplamının, sürekli ve sınırsız sayıda farklılaşmış fonksiyona dönüştüğünü bilmelidir. Şu soru ortaya çıkıyor: Belirli bir keyfi fonksiyonun f(x) belirli bir kuvvet serisinin toplamı olduğunu söylemek mümkün mü? Yani, f(x) fonksiyonu hangi koşullar altında bir kuvvet serisiyle temsil edilebilir? Bu sorunun önemi, f(x) fonksiyonunu yaklaşık olarak bir kuvvet serisinin, yani bir polinomun ilk birkaç teriminin toplamıyla değiştirmenin mümkün olması gerçeğinde yatmaktadır. Bir fonksiyonun oldukça basit bir ifadeyle (bir polinom) bu şekilde değiştirilmesi, belirli problemleri çözerken de kullanışlıdır, yani: integralleri çözerken, hesaplama yaparken vb.

Belirli bir f(x) fonksiyonu için, (α - R; x 0 + R) civarında, sonuncusu da dahil olmak üzere (n+1)'inci mertebeye kadar türevleri hesaplamanın mümkün olduğu kanıtlanmıştır. ) bir x = α noktasında, şu formül doğrudur:

Bu formül adını ünlü bilim adamı Brooke Taylor'dan almıştır. Bir önceki seriden elde edilen seriye Maclaurin serisi adı verilir:

Maclaurin serisinde genişletme yapmayı mümkün kılan kural:

1. Birinci, ikinci, üçüncü... derecelerin türevlerini belirleyin.
2. X=0 noktasındaki türevlerin neye eşit olduğunu hesaplayın.
3. Bu fonksiyonun Maclaurin serisini yazın ve yakınsaklık aralığını belirleyin.
4. Maclaurin formülünün geri kalanının bulunduğu (-R;R) aralığını belirleyin.

R n (x) -> 0, n -> sonsuz. Eğer biri varsa, içindeki f(x) fonksiyonu Maclaurin serisinin toplamı ile çakışmalıdır.

Şimdi bireysel fonksiyonlar için Maclaurin serisini ele alalım.

1. Yani ilki f(x) = e x olacaktır. Elbette, özellikleri gereği böyle bir fonksiyonun çok farklı mertebelerde türevleri vardır ve f (k) (x) = e x , burada k tümüne eşittir. Yerine x = 0. f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 elde ederiz... Yukarıdakilere dayanarak e x serisi şöyle görünecektir:

2. f(x) = sin x fonksiyonu için Maclaurin serisi. Tüm bilinmeyenler için fonksiyonun türevlerinin olacağını hemen açıklayalım, ayrıca f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), burada k herhangi bir doğal sayıya eşittir.Yani basit hesaplamalar yaptıktan sonra şu sonuca ulaşabiliriz: f(x) = sin x serisinin şu şekilde görüneceği sonucu:

3. Şimdi f(x) = cos x fonksiyonunu ele almaya çalışalım. Tüm bilinmeyenler için keyfi dereceli türevleri vardır ve |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Yani bir Maclaurin serisinde genişletilebilecek en önemli fonksiyonları listeledik, ancak bazı fonksiyonlar için Taylor serileri tarafından desteklenmiştir. Şimdi bunları listeleyeceğiz. Taylor ve Maclaurin serilerinin yüksek matematikte serilerin çözümüne yönelik pratik çalışmanın önemli bir parçası olduğunu da belirtmekte fayda var. Yani Taylor serisi.

1. İlki f(x) = ln(1+x) fonksiyonuna ait seri olacaktır. Önceki örneklerde olduğu gibi, verilen f(x) = ln(1+x) için Maclaurin serisinin genel formunu kullanarak seriyi toplayabiliriz. ancak bu fonksiyon için Maclaurin serisi çok daha basit bir şekilde elde edilebilir. Belirli bir geometrik serinin entegre edilmesiyle böyle bir numunenin f(x) = ln(1+x) serisini elde ederiz:

2. Makalemizde son olacak olan ikincisi ise f(x) = arctan x serisi olacaktır. [-1;1] aralığına ait x için genişletme geçerlidir:

Bu kadar. Bu makale yüksek matematikte, özellikle ekonomi ve teknik üniversitelerde en çok kullanılan Taylor ve Maclaurin serilerini inceledi.

Eğer f(x) fonksiyonunun a noktasını içeren belirli bir aralıktaki tüm mertebelerden türevleri varsa, Taylor formülü ona uygulanabilir:
,
Nerede r n– kalan terim veya serinin geri kalanı olarak adlandırılan Lagrange formülü kullanılarak tahmin edilebilir:
burada x sayısı x ile a arasındadır.

İşlev girme kuralları:

Eğer bir değer için X r n→0 saat N→∞, limitte Taylor formülü bu değer için yakınsak hale gelir Taylor serisi:
,
Dolayısıyla, f(x) fonksiyonu aşağıdaki durumlarda x noktasında bir Taylor serisine genişletilebilir:
1) tüm mertebelerden türevleri vardır;
2) Oluşturulan seri bu noktada yakınsar.

a = 0 olduğunda, adı verilen bir seri elde ederiz. Maclaurin yakınında:
,
Maclaurin serisindeki en basit (temel) fonksiyonların genişletilmesi:
Üstel fonksiyonlar
, R=∞
Trigonometrik fonksiyonlar
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Actgx fonksiyonu x'in kuvvetlerine göre genişlemez çünkü ctg0=∞
Hiperbolik fonksiyonlar


Logaritmik fonksiyonlar
, -1
Binom serisi
.

Örnek No.1. Fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletin f(x)= 2X.
Çözüm. Fonksiyonun değerlerini ve türevlerini bulalım. X=0
f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X In2, F"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2X 2 2'de, F""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2X içinde N 2, f(n)( 0) = 2 0 içinde N 2=ln N 2.
Türevlerin elde edilen değerlerini Taylor serisi formülüne değiştirerek şunu elde ederiz:

Bu serinin yakınsaklık yarıçapı sonsuza eşit olduğundan bu genişleme -∞ için geçerlidir.<X<+∞.

Örnek No.2. Taylor serisini kuvvetlerle yazın ( X+4) işlev için f(x)= e X.
Çözüm. e fonksiyonunun türevlerini bulma X ve değerleri bu noktada X=-4.
f(x)= e X, F(-4) = e -4 ;
f"(x)= e X, F"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e X, F""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Bu nedenle, fonksiyonun gerekli Taylor serisi şu şekildedir:

Bu genişleme -∞ için de geçerlidir.<X<+∞.

Örnek No. 3. Bir işlevi genişlet f(x)=n X bir dizi güçte ( X- 1),
(yani noktanın yakınındaki Taylor serisinde X=1).
Çözüm. Bu fonksiyonun türevlerini bulun.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Bu değerleri formülde değiştirerek istenilen Taylor serisini elde ederiz:

D'Alembert testini kullanarak serinin ½x-1½ noktasında yakınsadığını doğrulayabilirsiniz.<1 . Действительно,

½ ise seri yakınsar X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 Leibniz kriterinin koşullarını karşılayan bir alternatif seri elde ederiz. x=0 olduğunda fonksiyon tanımlı değildir. Dolayısıyla Taylor serisinin yakınsaklık bölgesi yarı açık aralıktır (0;2).

Örnek No. 4. Fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletin.
Çözüm. Genişlemede (1) x'i -x 2 ile değiştirirsek şunu elde ederiz:
, -∞

Örnek No. 5. Fonksiyonu bir Maclaurin serisine genişletin.
Çözüm. Sahibiz
Formül (4)'ü kullanarak şunu yazabiliriz:

Formülde x yerine –x koyarsak şunu elde ederiz:

Buradan şunu buluruz: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Parantezleri açıp serinin terimlerini yeniden düzenleyip benzer terimleri getirerek şunu elde ederiz:
. Bu seri, her biri bu aralıkta yakınsayan iki seriden elde edildiği için (-1;1) aralığında yakınsar.

Yorum .
Formüller (1)-(5), karşılık gelen fonksiyonları bir Taylor serisine genişletmek için de kullanılabilir; fonksiyonları pozitif tamsayı kuvvetleriyle genişletmek için ( Ha). Bunu yapmak için, (1)-(5) fonksiyonlarından birini elde etmek amacıyla belirli bir fonksiyon üzerinde bu tür özdeş dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir; bunun yerine X maliyetler k( Ha) m , burada k sabit bir sayıdır, m ise pozitif bir tam sayıdır. Değişkende değişiklik yapmak genellikle uygundur T=Ha ve elde edilen fonksiyonu Maclaurin serisinde t'ye göre genişletin.

Bu yöntem, bir fonksiyonun kuvvet serisindeki açılımının benzersizliğine ilişkin teoreme dayanmaktadır. Bu teoremin özü, açılımı ne şekilde yapılırsa yapılsın, aynı noktanın komşuluğunda aynı fonksiyona yakınsayacak iki farklı kuvvet serisinin elde edilememesidir.

Örnek No. 5a. Fonksiyonu bir Maclaurin serisinde genişletin ve yakınsaklık bölgesini belirtin.
Çözüm. İlk önce 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) ,'yi buluyoruz.
ilkokula:

3/(1-3x) kesri, |3x| ise, paydası 3x olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı olarak düşünülebilir.< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

yakınsama bölgesi ile |x|< 1/3.

Örnek No. 6. Fonksiyonu x = 3 noktası civarında bir Taylor serisine genişletin.
Çözüm. Bu problem, daha önce olduğu gibi, fonksiyonun türevlerini ve değerlerini bulmamız gereken Taylor serisinin tanımı kullanılarak çözülebilir. X=3. Ancak mevcut genişletmeyi kullanmak daha kolay olacaktır (5):
=
Ortaya çıkan seri veya –3'te yakınsar

Örnek No. 7. Taylor serisini ln(x+2) fonksiyonunun (x -1) kuvvetlerine yazın.
Çözüm.


Seri , veya -2'de yakınsar< x < 5.

Örnek No. 8. f(x)=sin(πx/4) fonksiyonunu x =2 noktası yakınındaki bir Taylor serisine genişletin.
Çözüm. Değiştirmeyi t=x-2 yapalım:

X'in yerine π / 4 t'yi koyduğumuz genişleme (3)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan seri verilen fonksiyona -∞ noktasında yakınsar< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Böylece,
, (-∞

Güç serilerini kullanarak yaklaşık hesaplamalar

• ortaya çıkan seri dönüşümlü ise aşağıdaki özellik kullanılır: Leibniz koşullarını karşılayan alternatif bir seri için serinin geri kalanı mutlak değer olarak ilk atılan terimi aşmaz.
• Belirli bir seri sabit işaretliyse, o zaman atılan terimlerden oluşan seri, sonsuz azalan geometrik ilerlemeyle karşılaştırılır.
• genel durumda Taylor serisinin geri kalanını tahmin etmek için Lagrange formülünü kullanabilirsiniz: a X ).

Örnek No.1. ln(3)'ü en yakın 0,01'e kadar hesaplayın.
Çözüm. x=1/2 olan açılımı kullanalım (önceki konudaki örnek 5'e bakınız):

Açılımın ilk üç teriminden sonra kalan kısmı atıp atamayacağımızı kontrol edelim; bunun için sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını kullanarak hesaplayacağız:

Böylece bu kalanı atıp şunu elde edebiliriz:

Örnek No.2. En yakın 0,0001'e kadar hesaplayın.
Çözüm. Binom serisini kullanalım. 5 3, 130'a en yakın bir tam sayının küpü olduğundan, 130 sayısının 130 = 5 3 +5 olarak temsil edilmesi önerilir.



Leibniz kriterini karşılayan sonuçta ortaya çıkan alternatif serinin dördüncü terimi zaten gerekli doğruluktan daha az olduğundan:
, dolayısıyla o ve onu takip eden terimler atılabilir.
Pratik olarak gerekli olan pek çok belirli veya uygunsuz integral, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanamaz, çünkü uygulaması, temel fonksiyonlarda genellikle bir ifadeye sahip olmayan antiderivatifin bulunmasıyla ilişkilidir. Aynı zamanda bir antiderivatif bulmak da mümkündür, ancak bu gereksiz derecede emek yoğundur. Bununla birlikte, eğer integrand fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletilirse ve integrasyonun sınırları bu serinin yakınsama aralığına aitse, o zaman integralin önceden belirlenmiş bir doğrulukla yaklaşık olarak hesaplanması mümkündür.

Örnek No. 3. ∫ 0 1 4 sin (x) x'in integralini 10 -5 dahilinde hesaplayın.
Çözüm. Karşılık gelen belirsiz integral temel fonksiyonlarda ifade edilemez, yani. “kalıcı olmayan bir integrali” temsil eder. Newton-Leibniz formülü burada uygulanamaz. İntegrali yaklaşık olarak hesaplayalım.
Günah serisini terime bölme X Açık X, şunu elde ederiz:

Bu seriyi terim terim entegre ederek (integrasyonun sınırları bu serinin yakınsama aralığına ait olduğundan bu mümkündür), şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan seri Leibniz koşullarını sağladığından ve istenilen değeri belirli bir doğrulukla elde etmek için ilk iki terimin toplamını almak yeterlidir.
Böylece buluyoruz
.

Örnek No. 4. ∫ 0 1 4 e x 2 integralini 0,001 doğrulukla hesaplayın.
Çözüm.
. Ortaya çıkan serinin ikinci teriminden sonra kalan kısmı atıp atamayacağımızı kontrol edelim.
0,0001<0.001. Следовательно, .