Tam ikinci dereceden denklemlerin diskriminant cinsinden çözümü. Diskriminant bulma, formül, sıfırla karşılaştırma

İkinci dereceden denklem görevleri hem okul müfredatında hem de üniversitelerde incelenmektedir. Bunlar a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 formundaki denklemler olarak anlaşılırlar; X- değişken, a,b,c – sabitler; A<>0. Sorun denklemin köklerini bulmaktır.

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamı

İkinci dereceden bir denklemle temsil edilen bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. İkinci dereceden bir denklemin çözümleri (kökleri), parabolün x ekseni ile kesişme noktalarıdır. Buradan üç olası durumun olduğu anlaşılmaktadır:
1) Parabolün x ekseniyle kesişme noktası yoktur. Bu, dalları yukarı doğru olan üst düzlemde veya dalları aşağı doğru olan alt düzlemde olduğu anlamına gelir. Bu gibi durumlarda, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur (iki karmaşık kökü vardır).

2) parabolün Ox ekseni ile bir kesişme noktası vardır. Böyle bir noktaya parabolün tepe noktası denir ve içindeki ikinci dereceden denklem minimum veya maksimum değerini alır. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin bir gerçek kökü (veya iki özdeş kökü) vardır.

3) Son durum pratikte daha ilginçtir - parabolün apsis ekseni ile kesiştiği iki nokta vardır. Bu, denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir.

Değişkenlerin kuvvetlerindeki katsayıların analizine dayanarak parabolün yerleşimi hakkında ilginç sonuçlara varılabilir.

1) a katsayısı sıfırdan büyükse parabol yukarı doğru, negatifse parabolün dalları aşağı doğru yönlendirilir.

2) B katsayısı sıfırdan büyükse, parabolün tepe noktası sol yarı düzlemdedir, negatif bir değer alırsa sağdadır.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için bir formülün türetilmesi

Sabiti ikinci dereceden denklemden aktaralım

eşittir işareti için ifadeyi elde ederiz

Her iki tarafı da 4a ile çarpın

Solda tam kare elde etmek için her iki parçaya da b ^ 2 ekleyin ve dönüşümü gerçekleştirin

Buradan buluyoruz

Diskriminant formülü ve ikinci dereceden denklemin kökleri

Diskriminant radikal ifadenin değeridir.Pozitif ise denklemin formülle hesaplanan iki gerçek kökü vardır. Diskriminant sıfır olduğunda, ikinci dereceden denklemin tek bir çözümü vardır (iki çakışan kök), ve bunu yukarıdaki D=0 formülünden elde etmek kolaydır. Diskriminant negatif olduğunda, denklemin gerçek kökleri yoktur. Bununla birlikte, ikinci dereceden denklemin karmaşık düzlemdeki çözümlerini incelemek ve değerleri formülle hesaplanır.

Vieta'nın teoremi

İkinci dereceden bir denklemin iki kökünü göz önünde bulundurun ve bunlara dayanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturun. Gösterimden Vieta teoremi kolaylıkla şu şekilde çıkar: Eğer ikinci dereceden bir denklemimiz varsa: o zaman köklerinin toplamı, ters işaretle alınan p katsayısına eşittir ve denklemin köklerinin çarpımı, serbest terim q'ya eşittir. Yukarıdaki formül şöyle görünecektir: Klasik denklemdeki a sabiti sıfırdan farklıysa, o zaman tüm denklemi buna bölmeniz ve ardından Vieta teoremini uygulamanız gerekir.

Faktörlere ilişkin ikinci dereceden denklemin çizelgesi

Görev belirlensin: İkinci dereceden denklemi faktörlere ayırmak. Bunu gerçekleştirmek için önce denklemi çözeriz (kökleri buluruz). Daha sonra, bulunan kökleri ikinci dereceden denklemi genişletmek için formüle koyarız, bu problem çözülecektir.

İkinci dereceden denklem için görevler

Görev 1. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun

x^2-26x+120=0 .

Çözüm: Katsayıları yazın ve diskriminant formülünde yerine koyun.

Bu değerin kökü 14'tür, hesap makinesiyle bulmak kolaydır veya sık kullanımla hatırlamak kolaydır, ancak kolaylık sağlamak için makalenin sonunda size sıklıkla bulunabilecek sayıların karelerinin bir listesini vereceğim. bu tür görevlerde bulunur.
Bulunan değer kök formülde değiştirilir

ve alıyoruz

Görev 2. denklemi çözün

2x2+x-3=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var, katsayıları yazıyoruz ve diskriminantı buluyoruz

İyi bilinen formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerini buluyoruz

Görev 3. denklemi çözün

9x2 -12x+4=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var. Diskriminantı belirleyin

Köklerin çakıştığı durumla karşılaştık. Köklerin değerlerini formülle buluyoruz

Görev 4. denklemi çözün

x^2+x-6=0 .

Çözüm: X'in katsayılarının küçük olduğu durumlarda Vieta teoreminin uygulanması tavsiye edilir. Durumuna göre iki denklem elde ederiz

İkinci koşuldan çarpımın -6'ya eşit olması gerektiğini anlıyoruz. Bu, köklerden birinin negatif olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki olası çözüm çiftine sahibiz(-3;2), (3;-2) . İlk koşulu dikkate alarak ikinci çözüm çiftini reddediyoruz.
Denklemin kökleri

Görev 5. Çevresi 18 cm ve alanı 77 cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulun.

Çözüm: Dikdörtgenin çevresinin yarısı komşu kenarların toplamına eşittir. Büyük tarafı x olarak gösterelim, o zaman 18-x küçük tarafı olsun. Bir dikdörtgenin alanı bu uzunlukların çarpımına eşittir:
x(18x)=77;
veya
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Denklemin diskriminantını bulun

Denklemin köklerini hesaplıyoruz

Eğer x=11, O 18x=7 , bunun tersi de doğrudur (eğer x=7 ise 21-x=9).

Problem 6. İkinci dereceden 10x 2 -11x+3=0 denklemini çarpanlarına ayırın.

Çözüm: Denklemin köklerini hesaplayın, bunun için diskriminantı buluruz

Bulunan değeri kök formülüne koyarız ve hesaplarız

İkinci dereceden denklemi kökler cinsinden genişletmek için formülü uyguluyoruz

Parantezleri genişleterek kimliği elde ederiz.

Parametreli ikinci dereceden denklem

Örnek 1. Parametrenin hangi değerleri için A ,(a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 denkleminin bir kökü var mı?

Çözüm: a=3 değerini doğrudan yerine koyarsak çözümü olmadığını görürüz. Daha sonra, sıfır diskriminantla denklemin çokluk 2'nin bir köküne sahip olduğu gerçeğini kullanırız. Diskriminantını yazalım

basitleştirin ve sıfıra eşitleyin

Vieta teoremini kullanarak çözümü elde edilmesi kolay olan a parametresine göre ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Köklerin toplamı 7, çarpımı 12'dir. Basit bir numaralandırmayla 3,4 sayısının denklemin kökleri olacağını tespit ederiz. Hesaplamaların başında a=3 çözümünü zaten reddettiğimiz için tek doğru çözüm şu olacaktır: a=4. Dolayısıyla a = 4 için denklemin bir kökü vardır.

Örnek 2. Parametrenin hangi değerleri için A , denklem a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birden fazla kökü var mı?

Çözüm: İlk önce tekil noktaları düşünün, bunlar a=0 ve a=-3 değerleri olacaktır. a=0 olduğunda denklem 6x-9=0 şeklinde basitleştirilecektir; x=3/2 ve bir kök olacak. a= -3 için 0=0 kimliğini alırız.
Diskriminantı hesaplayın

ve a'nın pozitif olduğu değerlerini bulun

İlk koşuldan a>3 elde ederiz. İkinci olarak denklemin diskriminantını ve köklerini buluyoruz.

Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıkları tanımlayalım. a=0 noktasını değiştirerek şunu elde ederiz: 3>0 . Yani (-3; 1/3) aralığının dışında fonksiyon negatiftir. Noktayı unutma a=0 orijinal denklemin içinde bir kökü olduğundan bu hariç tutulmalıdır.
Sonuç olarak problemin koşulunu sağlayan iki aralık elde ederiz.

Pratikte pek çok benzer görev olacak, görevleri kendiniz halletmeye çalışın ve birbirini dışlayan koşulları dikkate almayı unutmayın. İkinci dereceden denklemleri çözmek için formülleri iyi inceleyin; bunlara çeşitli problemler ve bilimlerdeki hesaplamalarda sıklıkla ihtiyaç duyulur.

İkinci dereceden denklemler. Ayrımcı. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyal.
Kesinlikle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok..." diyenler için)

İkinci dereceden denklem türleri

İkinci dereceden denklem nedir? Nasıl görünüyor? Dönem içi ikinci dereceden denklem anahtar kelime: "kare". Bu demektir ki denklemde mutlaka bir x kare olmalı. Buna ek olarak denklemde sadece x (birinci dereceye kadar) ve sadece bir sayı olabilir (ya da olmayabilir!) (Ücretsiz Üye). Ve ikiden büyük derecede x'ler olmamalıdır.

Matematiksel açıdan ikinci dereceden bir denklem, şu formdaki bir denklemdir:

Burada a, b ve c- bazı sayılar. b ve c- kesinlikle herhangi biri, ancak A- sıfır dışında her şey. Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, fikri anladınız...

Bu ikinci dereceden denklemlerde, solda, tam setüyeler. x kare katsayılı A, x üzeri katsayılı birinci kuvvet B Ve ücretsiz üye

Bu tür ikinci dereceden denklemlere denir tamamlamak.

Ve eğer B= 0, ne elde edeceğiz? Sahibiz X birinci derecede ortadan kaybolacaktır. Bu, sıfırla çarpıldığında gerçekleşir.) Örneğin ortaya çıkıyor:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Ve benzeri. Ve eğer her iki katsayı da B Ve C sıfıra eşitse, o zaman daha da basittir:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Bir şeyin eksik olduğu bu tür denklemlere denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Bu oldukça mantıklı.) Lütfen x karenin tüm denklemlerde mevcut olduğunu unutmayın.

Bu arada neden A sıfır olamaz mı? Ve onun yerine sen geçiyorsun A sıfır.) Karedeki X kaybolacak! Denklem doğrusal hale gelecektir. Ve farklı şekilde yapılıyor...

İkinci dereceden denklemlerin tüm ana türleri bunlardır. Tam ve eksik.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü.

Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

İkinci dereceden denklemlerin çözülmesi kolaydır. Formüllere ve açık basit kurallara göre. İlk aşamada verilen denklemin standart forma getirilmesi gerekmektedir. görünümüne:

Eğer denklem size zaten bu formda verilmişse, ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur.) Önemli olan tüm katsayıları doğru belirlemek, A, B Ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şuna benzer:

Kök işaretinin altındaki ifadeye denir ayrımcı. Ama onun hakkında daha fazla bilgiyi aşağıda bulabilirsiniz. Gördüğünüz gibi x'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c bu formüle girin ve sayın. Yerine geçmek işaretlerinle! Örneğin denklemde:

A =1; B = 3; C= -4. İşte şunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

Her şey çok basit. Peki ne düşünüyorsun, yanlış gidemezsin? Evet, nasıl...

En yaygın hatalar değerlerin işaretleriyle karıştırılmasıdır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılacak?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada belirli numaralarla formülün ayrıntılı bir kaydı kaydedilir. Hesaplamalarda sorun varsa, öyleyse yap!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada A = -6; B = -5; C = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır yazmak 30 saniye sürecektir ve hata sayısı keskin bir şekilde düşecek. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli boyamak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece görünüyor. Dene. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli boyamanıza gerek kalmayacak. Sadece doğru çıkacak. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri uygularsanız. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülecek!

Ancak ikinci dereceden denklemler sıklıkla biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Biliyor muydunuz?) Evet! Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

Ayrıca genel formülle de çözülebilirler. Burada neyin eşit olduğunu doğru bir şekilde bulmanız yeterli a, b ve c.

Gerçekleştirilmiş? İlk örnekte bir = 1; b = -4; A C? Hiç mevcut değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! Bu kadar. Formülde yerine sıfır koyun C, ve bizim için her şey yoluna girecek. İkinci örnekte de aynı şekilde. Burada sadece sıfır yok İle, A B !

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha kolay çözülebilir. Herhangi bir formül olmadan. İlk tamamlanmamış denklemi düşünün. Sol tarafta ne yapılabilir? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.

Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! İnanmıyor musun? O halde çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor? Bir şey...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. İkisi de uygun. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm genel formülden çok daha basittir. Bu arada, hangi X'in ilk, hangisinin ikinci olacağını not ediyorum - kesinlikle kayıtsız. Sırayla yazmak kolay x 1- hangisi daha azsa x 2- daha fazlası olan.

İkinci denklem de kolaylıkla çözülebilir. 9'u sağa doğru hareket ettiriyoruz. Şunu elde ederiz:

Geriye 9'dan kökü çıkarmak kalıyor, hepsi bu. Elde etmek:

ayrıca iki kök . x1 = -3, x 2 = 3.

Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerden çıkararak ya da sayıyı sağa aktarıp ardından kökü çıkararak.
Bu yöntemleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, ilk durumda kökü X'ten çıkarmanız gerekecek ki bu bir şekilde anlaşılmaz ve ikinci durumda parantezlerden çıkarılacak hiçbir şey yok ...

Ayrımcı. Ayırıcı formül.

sihirli kelime ayrımcı ! Nadir bir lise öğrencisi bu sözü duymadı! “Ayrımcıya göre karar verin” ifadesi güven verici ve güven vericidir. Çünkü ayrımcının hilelerini beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur.) Çözüm için en genel formülü hatırlatıyorum. herhangi ikinci dereceden denklemler:

Kök işaretinin altındaki ifadeye diskriminant denir. Ayırt edici genellikle harfle gösterilir D. Diskriminant formülü:

D = b 2 - 4ac

Peki bu ifadeyi bu kadar özel kılan ne? Neden özel bir ismi hak ediyor? Ne diskriminantın anlamı? Nihayet -B, veya 2a bu formülde özel olarak isimlendirilmiyorlar ... Harfler ve harfler.

Mesele şu ki. Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken mümkündür sadece üç vaka.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökü ondan çıkarabileceğiniz anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Prensip olarak neyin çıkarıldığı önemlidir. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz var. Çünkü paya sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak basitleştirilmiş bir versiyonda, hakkında konuşmak gelenekseldir. bir çözüm.

3. Diskriminant negatiftir. Negatif bir sayı karekök almaz. İyi tamam. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Dürüst olmak gerekirse, ikinci dereceden denklemlerin basit bir çözümünde, diskriminant kavramına gerçekten ihtiyaç duyulmaz. Katsayıların değerlerini formülde yerine koyarız ve dikkate alırız. Orada her şey kendi kendine ortaya çıkıyor ve iki kök ve bir, tek bir kök değil. Ancak daha karmaşık görevleri bilgi olmadan çözerken anlam ve ayırt edici formül yeterli değil. Özellikle parametreli denklemlerde. Bu tür denklemler GIA ve Birleşik Devlet Sınavı için akrobasi niteliğindedir!)

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığın ayrımcı aracılığıyla. Veya öğrenilmiş ki bu da fena değil.) Nasıl doğru bir şekilde tanımlanacağını biliyorsun a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin şu olduğunu anladınız mı? dikkatle mi?

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananlar ... O zaman acı verici ve aşağılayıcıdır ...

İlk resepsiyon . İkinci dereceden bir denklemi standart bir forma getirmek için çözmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Herhangi bir dönüşümden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiğinizi varsayalım:

Köklerin formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce x kare, sonra karesiz, sonra serbest üye. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! X kareden önceki eksi sizi çok üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz. Kendi başınıza karar verin. Sonunda 2 ve -1 köklerini elde etmelisin.

İkinci resepsiyon. Köklerinizi kontrol edin! Vieta teoremine göre. Merak etmeyin, her şeyi açıklayacağım! Kontrol etme son şey denklem. Onlar. köklerin formülünü yazdığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kolayca kontrol edin. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Ücretsiz bir terim almalısınız, yani. bizim durumumuzda -2. 2'ye değil -2'ye dikkat! Ücretsiz Üye senin burcunla . Eğer işe yaramadıysa, bu zaten bir yerlerde işleri berbat ettikleri anlamına gelir. Bir hata arayın.

İşe yararsa, kökleri katlamanız gerekir. Son ve son kontrol. Bir oran olmalı Bİle zıt imza. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B x'ten önceki , -1'e eşittir. Yani her şey yolunda!
Sadece x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü. bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Daha az hata olacak.

Üçüncü resepsiyon . Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Denklemi "Denklemler nasıl çözülür? Kimlik dönüşümleri" dersinde anlatıldığı gibi ortak paydayla çarpın. Kesirlerle çalışırken, bazı nedenlerden dolayı hatalar tırmanıyor ...

Bu arada, basitleştirmek için bir sürü eksi içeren kötü bir örnek sözü verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerde kafanın karışmaması için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Bu kadar! Karar vermek eğlencelidir!

O halde konuyu tekrar özetleyelim.

Pratik İpuçları:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getiriyoruz, oluşturuyoruz Sağ.

2. Karedeki x'in önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare safsa, katsayısı bire eşitse, çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca kontrol edilebilir. Yap!

Artık karar verebilirsiniz.)

Denklemleri Çöz:

8x2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Cevaplar (karışıklık içinde):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - herhangi bir sayı

x1 = -3
x 2 = 3

çözüm yok

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Her şey uyuyor mu? Harika! İkinci dereceden denklemler sizin değil baş ağrısı. İlk üçü çıktı ama geri kalanı çıkmadı mı? O zaman sorun ikinci dereceden denklemlerde değil. Sorun denklemlerin özdeş dönüşümlerindedir. Linke bir göz atın, işinize yarar.

Pek işe yaramıyor mu? Yoksa hiç çalışmıyor mu? O zaman Bölüm 555 size yardımcı olacaktır.Orada tüm bu örnekler kemiklere göre sıralanmıştır. Gösterilen anaÇözümdeki hatalar. Elbette aynı dönüşümlerin çeşitli denklemlerin çözümünde uygulanması da anlatılmaktadır. Çok yardımcı oluyor!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Modern toplumda, kare değişkeni içeren denklemler üzerinde işlem yapma yeteneği birçok faaliyet alanında yararlı olabilir ve bilimsel ve teknik gelişmelerde pratikte yaygın olarak kullanılır. Bu, deniz ve nehir gemilerinin, uçakların ve füzelerin tasarımıyla kanıtlanabilir. Bu tür hesaplamaların yardımıyla uzay nesneleri de dahil olmak üzere çeşitli cisimlerin hareket yörüngeleri belirlenir. İkinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler yalnızca ekonomik tahminlerde, binaların tasarımında ve yapımında değil, aynı zamanda en sıradan günlük koşullarda da kullanılmaktadır. Kamp gezilerinde, spor etkinliklerinde, mağazalarda alışveriş yaparken ve diğer çok yaygın durumlarda bunlara ihtiyaç duyulabilir.

İfadeyi bileşen faktörlerine ayıralım

Bir denklemin derecesi, verilen ifadenin içerdiği değişkenin derecesinin maksimum değeri ile belirlenir. Eğer 2'ye eşitse, böyle bir denklem ikinci dereceden denklem olarak adlandırılır.

Formül diliyle konuşursak, bu ifadeler, nasıl görünürse görünsün, her zaman ifadenin sol tarafı üç terimden oluştuğu şekle getirilebilir. Bunlar arasında: ax 2 (yani, katsayısı ile karesi olan bir değişken), bx (katsayısıyla karesi olmayan bilinmeyen) ve c (serbest bileşen, yani sıradan bir sayı). Bütün bunlar sağ tarafta 0'a eşittir.Böyle bir polinomun ax 2 hariç kendisini oluşturan terimlerden herhangi birine sahip olmaması durumunda buna tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir. Değişkenlerin değerinin bulunmasının zor olmadığı bu tür problemlerin çözümüne yönelik örnekler öncelikle ele alınmalıdır.

İfade, ifadenin sağ tarafında iki terim içeriyor gibi görünüyorsa, daha doğrusu ax 2 ve bx, değişkeni parantez içine alarak x'i bulmak en kolay yoldur. Şimdi denklemimiz şöyle görünecek: x(ax+b). Ayrıca, ya x=0 olur ya da problem şu ifadeden bir değişken bulmaya indirgenir: ax+b=0. Bu, çarpmanın özelliklerinden biri tarafından belirlenir. Kural, iki faktörün çarpımının yalnızca biri sıfır olduğunda 0 ile sonuçlanacağını söylüyor.

Örnek

x=0 veya 8x - 3 = 0

Sonuç olarak denklemin iki kökünü elde ederiz: 0 ve 0,375.

Bu tür denklemler, başlangıç noktası olarak alınan belirli bir noktadan hareket etmeye başlayan yerçekimi etkisi altındaki cisimlerin hareketini tanımlayabilir. Burada matematiksel gösterim şu biçimi alır: y = v 0 t + gt 2/2. Gerekli değerleri yerine koyarak, sağ tarafı 0'a eşitleyerek ve olası bilinmeyenleri bularak, vücudun yükseldiği andan düştüğü ana kadar geçen süreyi ve daha birçok niceliği bulabilirsiniz. Ancak bunun hakkında daha sonra konuşacağız.

Bir İfadeyi Faktoringe Alma

Yukarıda açıklanan kural, bu sorunların daha karmaşık durumlarda çözülmesini mümkün kılar. Bu tür ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekleri düşünün.

X2 - 33x + 200 = 0

Bu kare trinomial tamamlandı. Öncelikle ifadeyi dönüştürüp faktörlere ayrıştırıyoruz. Bunlardan iki tane var: (x-8) ve (x-25) = 0. Sonuç olarak elimizde 8 ve 25 olmak üzere iki kök var.

9. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler, bu yöntemin yalnızca ikinci değil, üçüncü ve dördüncü dereceden ifadelerde de bir değişken bulmasına olanak tanır.

Örneğin: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Sağ tarafı değişkenli faktörlere ayırırken bunlardan üç tane vardır, yani (x + 1), (x-3) ve (x + 3).

Sonuç olarak bu denklemin üç kökü olduğu ortaya çıkıyor: -3; -1; 3.

Karekök çıkarma

İkinci dereceden tamamlanmamış bir denklemin bir başka durumu da, sağ tarafı ax 2 ve c bileşenlerinden oluşturulacak şekilde harf dilinde yazılmış bir ifadedir. Burada değişkenin değerini elde etmek için serbest terim sağ tarafa aktarılır ve ardından eşitliğin her iki tarafından karekök çıkarılır. Bu durumda genellikle denklemin iki kökü olduğuna dikkat edilmelidir. Tek istisna, c terimini hiç içermeyen, değişkenin sıfıra eşit olduğu eşitliklerin yanı sıra sağ tarafın negatif olduğu ifadelerin çeşitleridir. İkinci durumda, yukarıdaki eylemler köklerle gerçekleştirilemediğinden hiçbir çözüm yoktur. Bu tür ikinci dereceden denklemlerin çözüm örnekleri dikkate alınmalıdır.

Bu durumda denklemin kökleri -4 ve 4 sayıları olacaktır.

Arazi alanının hesaplanması

Bu tür hesaplamalara duyulan ihtiyaç eski zamanlarda ortaya çıktı, çünkü o uzak zamanlarda matematiğin gelişimi büyük ölçüde arazi parsellerinin alanlarını ve çevrelerini en yüksek doğrulukla belirleme ihtiyacından kaynaklanıyordu.

Bu tür problemlere dayanarak derlenen ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekleri de düşünmeliyiz.

Yani diyelim ki uzunluğu genişliğinden 16 metre fazla olan dikdörtgen bir arazi parçası var. Alanının 612 m 2 olduğu biliniyorsa, sitenin uzunluğunu, genişliğini ve çevresini bulmalısınız.

İşe başlarken ilk önce gerekli denklemi yapacağız. Kesitin genişliğini x olarak gösterelim, uzunluğu (x + 16) olacaktır. Yazılanlardan, problemimizin durumuna göre 612 olan alanın x (x + 16) ifadesiyle belirlendiği anlaşılmaktadır. Bu, x (x + 16) \u003d 612 anlamına gelir.

Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü, ki bu ifade tam da budur, aynı şekilde yapılamaz. Neden? Sol tarafında hala iki faktör bulunsa da bunların çarpımı hiç 0'a eşit olmadığından burada başka yöntemler kullanılıyor.

diskriminant

Öncelikle gerekli dönüşümleri yapacağız, ardından bu ifadenin görünümü şu şekilde görünecektir: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu, daha önce belirtilen standarda karşılık gelen formda bir ifade aldığımız anlamına gelir; a=1, b=16, c= -612.

Bu, ikinci dereceden denklemlerin diskriminant yoluyla çözülmesine bir örnek olabilir. Burada gerekli hesaplamalar şemaya göre yapılır: D = b 2 - 4ac. Bu yardımcı değer, ikinci dereceden denklemde istenilen değerlerin bulunmasını mümkün kılmakla kalmaz, olası seçeneklerin sayısını da belirler. D>0 durumunda iki tane vardır; D=0 için bir kök vardır. D durumunda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kökler ve formülleri hakkında

Bizim durumumuzda diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. Bu, problemimizin bir cevabı olduğunu gösterir. Eğer biliyorsanız ikinci dereceden denklemlerin çözümüne aşağıdaki formül kullanılarak devam edilmelidir. Kökleri hesaplamanızı sağlar.

Bu, sunulan durumda şu anlama gelir: x 1 =18, x 2 =-34. Bu ikilemde ikinci seçenek çözüm olamaz çünkü arsanın büyüklüğü negatif değerlerle ölçülemez, bu da x'in (yani arsanın genişliğinin) 18 m olduğu anlamına gelir.Buradan uzunluğu hesaplıyoruz: 18+16=34 ve çevre 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Örnekler ve görevler

İkinci dereceden denklemleri incelemeye devam ediyoruz. Aşağıda bunlardan birkaçının örnekleri ve ayrıntılı bir çözümü verilecektir.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Her şeyi eşitliğin sol tarafına aktaralım, bir dönüşüm yapalım yani denklemin genellikle standart denilen formunu alıp sıfıra eşitleyelim.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Benzerlerini ekledikten sonra diskriminantı belirliyoruz: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Yani denklemimizin iki kökü olacak. Bunları yukarıdaki formüle göre hesaplıyoruz, yani birincisi 4/3'e, ikincisi ise 1'e eşit olacak.

2) Şimdi farklı türden bilmeceleri ortaya çıkaracağız.

Burada x 2 - 4x + 5 = 1 köklerinin olup olmadığını bulalım. Kapsamlı bir cevap elde etmek için polinomu karşılık gelen tanıdık forma getiririz ve diskriminantı hesaplarız. Bu örnekte ikinci dereceden denklemi çözmeye gerek yok çünkü sorunun özü hiç de bunda değil. Bu durumda D \u003d 16 - 20 \u003d -4, bu da gerçekte kök olmadığı anlamına gelir.

Vieta'nın teoremi

İkinci dereceden denklemleri yukarıdaki formüller ve diskriminant aracılığıyla çözmek, ikincisinin değerinden karekök çıkarıldığında uygundur. Ancak bu her zaman gerçekleşmez. Ancak bu durumda değişkenlerin değerlerini almanın birçok yolu vardır. Örnek: İkinci dereceden denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi. Adını 16. yüzyıl Fransa'sında yaşayan ve matematik yeteneği ve saraydaki bağlantıları sayesinde parlak bir kariyere sahip olan bir adamdan almıştır. Portresi makalede görülebilir.

Ünlü Fransız'ın fark ettiği desen şu şekildeydi. Denklemin köklerinin toplamının -p=b/a'ya eşit olduğunu ve çarpımlarının q=c/a'ya karşılık geldiğini kanıtladı.

Şimdi belirli görevlere bakalım.

3x2 + 21x - 54 = 0

Basit olması açısından ifadeyi dönüştürelim:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoremini kullanarak bu bize şunu verecektir: Köklerin toplamı -7 ve çarpımı -18'dir. Buradan denklemin köklerinin -9 ve 2 sayıları olduğunu anlıyoruz. Bir kontrol yaptıktan sonra değişkenlerin bu değerlerinin ifadeye gerçekten uyduğundan emin olacağız.

Parabolün Grafiği ve Denklemi

İkinci dereceden fonksiyon ve ikinci dereceden denklem kavramları yakından ilişkilidir. Bunun örnekleri daha önce verilmişti. Şimdi bazı matematik bulmacalarına biraz daha detaylı bakalım. Tanımlanan türdeki herhangi bir denklem görsel olarak temsil edilebilir. Grafik şeklinde çizilen böyle bir bağımlılığa parabol denir. Çeşitli türleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Her parabolün bir tepe noktası, yani dallarının çıktığı bir nokta vardır. Eğer a>0 ise, sonsuza kadar yükselirler ve<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Fonksiyonların görsel temsilleri, ikinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere tüm denklemlerin çözülmesine yardımcı olur. Bu yönteme grafik denir. X değişkeninin değeri ise grafik çizgisinin 0x ile kesiştiği noktalardaki apsis koordinatıdır. Tepe noktasının koordinatları az önce verilen x 0 = -b / 2a formülüyle bulunabilir. Ve ortaya çıkan değeri fonksiyonun orijinal denkleminde değiştirerek, y 0'ı, yani y eksenine ait parabol tepe noktasının ikinci koordinatını bulabilirsiniz.

Parabolün dallarının apsis ekseni ile kesişimi

İkinci dereceden denklemlerin çözümüyle ilgili pek çok örnek var ama aynı zamanda genel modeller de var. Onları ele alalım. a>0 için grafiğin 0x ekseni ile kesişmesinin ancak y 0'ın negatif değerler alması durumunda mümkün olacağı açıktır. Ve bir için<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aksi takdirde D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Bir parabolün grafiğinden kökleri de belirleyebilirsiniz. Bunun tersi de doğrudur. Yani ikinci dereceden bir fonksiyonun görsel temsilini elde etmek kolay değilse ifadenin sağ tarafını 0'a eşitleyebilir ve ortaya çıkan denklemi çözebilirsiniz. Ve 0x ekseni ile kesişme noktalarını bilmek, çizimi daha kolaydır.

Tarihten

Eskiden kare değişkeni içeren denklemler yardımıyla sadece matematiksel hesaplamalar yapılmıyor ve geometrik şekillerin alanı belirleniyordu. Kadim insanlar, fizik ve astronomi alanındaki görkemli keşiflerin yanı sıra astrolojik tahminler yapmak için bu tür hesaplamalara ihtiyaç duyuyorlardı.

Modern bilim adamlarının önerdiği gibi, Babil sakinleri ikinci dereceden denklemleri ilk çözenler arasındaydı. Çağımızın başlangıcından dört yüzyıl önce oldu. Elbette onların hesaplamaları şu anda kabul edilenlerden temelde farklıydı ve çok daha ilkel olduğu ortaya çıktı. Örneğin Mezopotamyalı matematikçilerin negatif sayıların varlığından haberleri yoktu. Ayrıca zamanımızın herhangi bir öğrencisinin bildiği diğer inceliklere de yabancıydılar.

Belki de Babil'in bilim adamlarından bile önce, Hindistan'dan gelen bilge Baudhayama ikinci dereceden denklemlerin çözümünü ele aldı. Bu, İsa döneminin gelişinden yaklaşık sekiz yüzyıl önce gerçekleşti. Doğru, ikinci dereceden denklemler, verdiği çözme yöntemleri en basitleriydi. Onun yanı sıra Çinli matematikçiler de eski günlerde benzer sorularla ilgileniyorlardı. Avrupa'da ikinci dereceden denklemler ancak 13. yüzyılın başında çözülmeye başlandı, ancak daha sonra Newton, Descartes ve diğerleri gibi büyük bilim adamları tarafından çalışmalarında kullanıldılar.

Bu konu, pek çok basit olmayan formül nedeniyle ilk bakışta karmaşık görünebilir. İkinci dereceden denklemlerin yalnızca uzun girişleri yoktur, aynı zamanda kökler de diskriminant aracılığıyla bulunur. Toplamda üç yeni formül var. Hatırlanması çok kolay değil. Bu ancak bu tür denklemlerin sık sık çözülmesinden sonra mümkündür. Daha sonra tüm formüller kendiliğinden hatırlanacak.

İkinci dereceden denklemin genel görünümü

Burada, en büyük derece önce ve sonra azalan sırada yazıldığında açık gösterimleri önerilmektedir. Çoğu zaman terimlerin birbirinden farklı olduğu durumlar vardır. O zaman denklemi değişkenin derecesine göre azalan sırada yeniden yazmak daha iyidir.

Gösterimi tanıtalım. Bunlar aşağıdaki tabloda sunulmaktadır.

Bu gösterimleri kabul edersek, tüm ikinci dereceden denklemler aşağıdaki gösterime indirgenir.

Üstelik a ≠ 0 katsayısı. Bu formülün bir rakamıyla gösterilmesine izin verin.

Denklem verildiğinde cevabın kaç kök olacağı belli değildir. Çünkü üç seçenekten biri her zaman mümkündür:

çözümün iki kökü olacak;
cevap bir sayı olacak;
Denklemin hiçbir kökü yoktur.

Ve kararın sonuna getirilmemesine rağmen, belirli bir durumda seçeneklerden hangisinin ortaya çıkacağını anlamak zordur.

İkinci dereceden denklemlerin kayıt türleri

Görevlerin farklı girişleri olabilir. Her zaman ikinci dereceden bir denklemin genel formülüne benzemeyeceklerdir. Bazen bazı terimler eksik olacaktır. Yukarıda yazılanlar denklemin tamamıdır. Eğer içindeki ikinci veya üçüncü terimi çıkarırsanız, başka bir şey elde edersiniz. Bu kayıtlara ikinci dereceden denklemler de denir, ancak eksiktir.

Üstelik yalnızca "b" ve "c" katsayılarının ortadan kalkabileceği terimler. "A" sayısı hiçbir durumda sıfıra eşit olamaz. Çünkü bu durumda formül doğrusal bir denkleme dönüşür. Denklemlerin eksik formuna ilişkin formüller aşağıdaki gibi olacaktır:

Yani sadece iki tür var, tam olanlara ek olarak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler de var. İlk formül iki numara, ikinci formül üç numara olsun.

Diskriminant ve kök sayısının değerine bağımlılığı

Denklemin köklerinin hesaplanabilmesi için bu sayının bilinmesi gerekir. İkinci dereceden denklemin formülü ne olursa olsun her zaman hesaplanabilir. Diskriminant hesaplamak için aşağıda yazılan ve dört rakamını alacak eşitliği kullanmanız gerekir.

Katsayıların değerlerini bu formülde değiştirdikten sonra farklı işaretli sayılar elde edebilirsiniz. Cevap evet ise denklemin cevabı iki farklı kök olacaktır. Negatif bir sayı ile ikinci dereceden denklemin kökleri mevcut olmayacaktır. Sıfıra eşitse cevap bir olacaktır.

Tam bir ikinci dereceden denklem nasıl çözülür?

Aslında bu konunun değerlendirilmesi çoktan başladı. Çünkü önce diskriminantı bulmanız gerekiyor. İkinci dereceden denklemin köklerinin olduğu açıklığa kavuşturulduktan ve sayıları bilindikten sonra değişkenler için formülleri kullanmanız gerekir. İki kök varsa böyle bir formül uygulamanız gerekir.

İçinde “±” işareti bulunduğu için iki değer olacaktır. Karekök işaretinin altındaki ifade diskriminanttır. Bu nedenle formül farklı şekilde yeniden yazılabilir.

Formül beş. Aynı kayıttan, diskriminantın sıfır olması durumunda her iki kökün de aynı değerleri alacağı görülmektedir.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü henüz çözülmediyse, diskriminant ve değişken formülleri uygulamadan önce tüm katsayıların değerlerini yazmak daha iyidir. Daha sonra bu an zorluklara neden olmayacak. Ancak başlangıçta bir kafa karışıklığı var.

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür?

Burada her şey çok daha basit. Hatta ek formüllere gerek yok. Ve zaten ayırt edici ve bilinmeyen için yazılmış olanlara ihtiyacınız olmayacak.

İlk olarak, iki numaralı tamamlanmamış denklemi düşünün. Bu eşitlikte bilinmeyen değeri parantezden çıkarıp, parantez içinde kalacak doğrusal denklemi çözmemiz gerekiyor. Cevabın iki kökü olacak. İlki zorunlu olarak sıfıra eşittir çünkü değişkenin kendisinden oluşan bir faktör vardır. İkincisi doğrusal bir denklemin çözülmesiyle elde edilir.

Üç numaradaki eksik denklem, denklemin sol tarafındaki sayının sağ tarafa aktarılmasıyla çözülür. O zaman bilinmeyenin önündeki katsayıya bölmeniz gerekir. Geriye sadece karekökü çıkarmak kalıyor ve bunu zıt işaretlerle iki kez yazmayı unutmayın.

Aşağıda ikinci dereceden denklemlere dönüşen her türlü eşitliği nasıl çözeceğinizi öğrenmenize yardımcı olacak bazı eylemler yer almaktadır. Öğrencinin dikkatsizlikten kaynaklanan hatalardan kaçınmasına yardımcı olacaktır. Bu eksiklikler, kapsamlı "İkinci Dereceden Denklemler (8. Sınıf)" konusunu çalışırken düşük notların nedenidir. Daha sonra bu eylemlerin sürekli olarak yapılmasına gerek kalmayacaktır. Çünkü istikrarlı bir alışkanlık olacak.

Öncelikle denklemi standart biçimde yazmanız gerekir. Yani, önce değişkenin en büyük derecesine sahip terim, sonra derece olmadan ve sonuncusu sadece bir sayıdır.

"A" katsayısından önce bir eksi görünüyorsa, bu, yeni başlayan birinin ikinci dereceden denklemleri incelemesini zorlaştırabilir. Ondan kurtulmak daha iyi. Bu amaçla tüm eşitliklerin "-1" ile çarpılması gerekir. Bu, tüm terimlerin işaretinin tersine değişeceği anlamına gelir.

Aynı şekilde kesirlerden de kurtulmanız tavsiye edilir. Paydaların birbirini götürmesi için denklemi uygun faktörle çarpmanız yeterlidir.

Örnekler

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek gerekir:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

İlk denklem: x 2 - 7x \u003d 0. Eksiktir, bu nedenle iki numaralı formülde anlatıldığı gibi çözülür.

Basamaklamadan sonra ortaya çıkıyor: x (x - 7) \u003d 0.

İlk kök şu değeri alır: x 1 \u003d 0. İkincisi doğrusal denklemden bulunacaktır: x - 7 \u003d 0. X 2 \u003d 7 olduğunu görmek kolaydır.

İkinci denklem: 5x2 + 30 = 0. Yine eksik. Sadece üçüncü formülde anlatıldığı gibi çözülür.

30'u denklemin sağ tarafına aktardıktan sonra: 5x 2 = 30. Şimdi 5'e bölmeniz gerekiyor. Çıkıyor: x 2 = 6. Cevaplar sayı olacak: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Üçüncü denklem: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Burada ve aşağıda, ikinci dereceden denklemlerin çözümü, bunları standart bir forma yeniden yazarak başlayacaktır: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Şimdi ikinciyi kullanma zamanı yararlı ipucu ve her şeyi eksi bir ile çarpın. X 2 + 2x - 15 \u003d 0 ortaya çıkıyor. Dördüncü formüle göre, diskriminantı hesaplamanız gerekir: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. pozitif sayı. Yukarıda söylenenlerden denklemin iki kökü olduğu ortaya çıkıyor. Beşinci formüle göre hesaplanmaları gerekiyor. Buna göre x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2 olduğu ortaya çıkıyor. Sonra x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Dördüncü denklem x 2 + 8 + 3x \u003d 0 şuna dönüştürülür: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Ayırt edicisi şu değere eşittir: -23. Bu sayı negatif olduğundan bu görevin cevabı şu giriş olacaktır: "Kök yok."

Beşinci denklem 12x + x 2 + 36 = 0 şu şekilde yeniden yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant formülü uygulandıktan sonra sıfır sayısı elde edilir. Bu, tek bir kökü olacağı anlamına gelir: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Altıncı denklem (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2), parantezleri açmadan önce benzer terimleri getirmeniz gerektiği gerçeğinden oluşan dönüşümleri gerektirir. İlkinin yerine şöyle bir ifade olacak: x 2 + 2x + 1. Eşitlikten sonra şu girdi ortaya çıkacak: x 2 + 3x + 2. Benzer terimler sayıldıktan sonra denklem şu şekli alacaktır: x 2 - x \u003d 0. Eksik hale geldi. Benzeri zaten biraz daha yüksek kabul edildi. Bunun kökleri 0 ve 1 sayıları olacaktır.

Hadi birlikte çalışalım ikinci dereceden denklemler. Bunlar çok popüler denklemler! En genel haliyle ikinci dereceden denklem şuna benzer:

Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, fikri anladınız...

İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür? Bu formda ikinci dereceden bir denkleminiz varsa, her şey basittir. Sihirli kelimeyi hatırla ayrımcı . Nadir bir lise öğrencisi bu sözü duymadı! “Ayrımcıya göre karar verin” ifadesi güven verici ve güven vericidir. Çünkü ayrımcının hilelerini beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur. Yani ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şöyle görünür:

Kök işaretinin altındaki ifade aynıdır ayrımcı. Gördüğünüz gibi x'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c bu formüle girin ve düşünün. Yerine geçmek işaretlerinle! Örneğin, ilk denklem için A =1; B = 3; C= -4. İşte şunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Bu kadar.

Bu formülü kullanırken hangi durumlar mümkündür? Sadece üç vaka var.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökü ondan çıkarabileceğiniz anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Prensip olarak neyin çıkarıldığı önemlidir. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz var. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak bu, konuyu daha ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz eşitsizliklerde rol oynuyor.

3. Diskriminant negatiftir. Negatif bir sayı karekök almaz. İyi tamam. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Her şey çok basit. Peki ne düşünüyorsun, yanlış gidemezsin? Evet, nasıl...
En yaygın hatalar değerlerin işaretleriyle karıştırılmasıdır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılacak?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada belirli numaralarla formülün ayrıntılı bir kaydı kaydedilir. Hesaplamalarda sorun varsa, öyleyse yap!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada bir = -6; b = -5; c=-1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır yazmak 30 saniye sürecektir ve hata sayısı keskin bir şekilde düşecek. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığımız diskriminant aracılığıyla. Veya öğrenilmiş olması da iyi bir şey. Doğru şekilde tanımlayabilir misiniz? a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin şu olduğunu anladınız mı? dikkatle mi?

Ancak ikinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler . Ayrıştırma yöntemiyle de çözülebilirler. Burada neyin eşit olduğunu doğru bir şekilde bulmanız yeterli a, b ve c.

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha kolay çözülebilir. Hiçbir ayrım yapmadan. İlk tamamlanmamış denklemi düşünün. Sol tarafta ne yapılabilir? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. İkisi de uygun. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda, doğru özdeşlik 0 = 0'ı elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, diskriminant yoluyla çözümden çok daha basittir.

İkinci denklem de kolaylıkla çözülebilir. 9'u sağa doğru hareket ettiriyoruz. Şunu elde ederiz:

Geriye 9'dan kökü çıkarmak kalıyor, hepsi bu. Elde etmek:

ayrıca iki kök . x = +3 ve x = -3.

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananlar ... O zaman acı verici ve aşağılayıcıdır ...

İlk resepsiyon. İkinci dereceden bir denklemi standart bir forma getirmek için çözmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Herhangi bir dönüşümden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiğinizi varsayalım:

Artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz. Kendi başınıza karar verin. Sonunda 2 ve -1 köklerini elde etmelisin.

İkinci resepsiyon. Köklerinizi kontrol edin! Vieta teoremine göre. Merak etmeyin, her şeyi açıklayacağım! Kontrol etme son şey denklem. Onlar. köklerin formülünü yazdığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kolayca kontrol edin. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Ücretsiz bir terim almalısınız, yani. bizim durumumuzda -2. 2'ye değil -2'ye dikkat! Ücretsiz Üye senin burcunla . Eğer işe yaramadıysa, bu zaten bir yerlerde işleri berbat ettikleri anlamına gelir. Bir hata arayın. İşe yararsa, kökleri katlamanız gerekir. Son ve son kontrol. Bir oran olmalı Bİle zıt imza. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B x'ten önceki , -1'e eşittir. Yani her şey yolunda!
Sadece x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü. bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Daha az hata olacak.

Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Denklemi önceki bölümde anlatıldığı gibi ortak paydayla çarpın. Kesirlerle çalışırken, bazı nedenlerden dolayı hatalar tırmanıyor ...

Bu arada, basitleştirmek için bir sürü eksi içeren kötü bir örnek sözü verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerde kafanın karışmaması için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Bu kadar! Karar vermek eğlencelidir!

O halde konuyu tekrar özetleyelim.

Pratik İpuçları:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getiriyoruz, oluşturuyoruz Sağ.

2. Karedeki x'in önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare safsa, katsayısı bire eşitse, çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca kontrol edilebilir. Yap!

Kesirli denklemler. ODZ.

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Son görünüm kaldı kesirli denklemler. Veya çok daha sağlam olarak da adlandırılırlar - kesirli rasyonel denklemler. Bu aynı.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size hatırlatmama izin verin, eğer sadece paydalarda ise sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğu zaman doğrusal veya ikinci dereceden bir denklem haline gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda bundan bahsedeceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin tümü uygulanıyor.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azalır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklıyorum. Diyelim ki denklemi çözmemiz gerekiyor:

İlkokulda nasıl eğitildiler? Her şeyi tek yönde aktarıyoruz, ortak bir paydaya indiriyoruz vb. Ne kadar kötü bir rüya olduğunu unut! Kesirli ifadeleri toplarken veya çıkarırken yapmanız gereken şey budur. Veya eşitsizliklerle çalışın. Ve denklemlerde, hemen her iki parçayı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle (yani özünde ortak bir paydayla) çarpıyoruz. Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta paydayı azaltmak için şununla çarpmanız gerekir: x+2. Sağ tarafta ise 2 ile çarpmak gerekiyor, dolayısıyla denklem şu şekilde çarpılmalıdır: 2(x+2). Çarpıyoruz:

Bu, kesirlerin olağan çarpımıdır, ancak ayrıntılı olarak yazacağım:

Lütfen parantezi henüz açmadığımı unutmayın. (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta ise tamamen küçültülmüş (x+2), ve sağda 2. Gerektiği gibi! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Bu denklemi herkes çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1 yazılabilir:

Ve yine, gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden kurtuluyoruz.

Paydayı x ile azaltmak için kesri ile çarpmanın gerekli olduğunu görüyoruz. (x - 2). Ve birimler bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf ve Tümü Sağ Taraf:

Tekrar parantez (x - 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak, sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla kestik (x - 2) ve denklemi herhangi bir kesir olmadan bir cetvelde elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açıyoruz:

Benzerlerini veriyoruz, her şeyi sol tarafa aktarıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Klasik ikinci dereceden denklem. Ancak önümüzdeki eksi iyi değil. Her zaman -1 ile çarparak veya bölerek bundan kurtulabilirsiniz. Ancak örneğe yakından bakarsanız, bu denklemi -2'ye bölmenin en iyisi olduğunu fark edeceksiniz! Tek bir hamlede eksi ortadan kaybolacak ve katsayılar daha güzel hale gelecektir! -2'ye bölüyoruz. Sol tarafta - terim terim ve sağda - sıfırı -2'ye, sıfıra bölün ve şunu elde edin:

Diskriminant aracılığıyla çözüyoruz ve Vieta teoremine göre kontrol ediyoruz. Aldık x=1 ve x=3. İki kök.

Gördüğünüz gibi ilk durumda dönüşümden sonraki denklem doğrusal hale geldi ve burada ikinci dereceden. Kesirlerden kurtulduktan sonra tüm x'ler azalır. 5=5 gibi bir şey kaldı. Bu demektir x herhangi bir şey olabilir. Ne olursa olsun yine de azalacak. Ve saf gerçeği bulun, 5=5. Ancak kesirlerden kurtulduktan sonra 2=7 gibi tamamen yanlış olduğu ortaya çıkabilir. Ve bu şu anlama geliyor çözüm yok! Herhangi bir x ile yanlış olduğu ortaya çıkıyor.

Çözümün ana yolunu fark ettim kesirli denklemler? Basit ve mantıklıdır. Hoşumuza gitmeyen her şeyin kaybolması için orijinal ifadeyi değiştiriyoruz. Veya müdahale edin. Bu durumda kesirler var. Aynısını logaritmalar, sinüsler ve diğer dehşetlerle her türlü karmaşık örnekle yapacağız. Biz Her zaman tüm bunlardan kurtulacağız.

Ancak orijinal ifadeyi ihtiyacımız olan yönde değiştirmemiz gerekiyor. kurallara göre, evet ... Gelişimi matematik sınavına hazırlıktır. İşte öğreniyoruz.

Şimdi bunlardan birini nasıl bypass edeceğimizi öğreneceğiz. sınavdaki ana pusular! Ama önce bakalım bu duruma düşecek misiniz, düşmeyecek misiniz?

Basit bir örnek verelim:

Konu zaten tanıdık, her iki parçayı da çarpıyoruz (x - 2), şunu elde ederiz:

Unutmayın, parantezlerle (x - 2) tek, bütünsel bir ifadeyle çalışıyoruz!

Burada artık paydalarda olanı yazmadım, onursuz ... Ve paydalarda parantez çizmedim, hariç x - 2 hiçbir şey yok, çizemezsin. Kısaltıyoruz:

Parantezleri açıyoruz, her şeyi sola kaydırıyoruz, benzerlerini veriyoruz:

Çözüyoruz, kontrol ediyoruz, iki kök alıyoruz. x = 2 Ve x = 3. Harika.

Görevin, kökü veya birden fazla kök varsa bunların toplamını yazmanız gerektiğini varsayalım. Ne yazacağız?

Cevabın 5 olduğuna karar verirseniz, pusuya düşürüldü. Ve görev sizin için sayılmayacaktır. Boşuna çalıştılar... Doğru cevap 3.

Sorun ne?! Ve kontrol etmeye çalışıyorsun. Bilinmeyenlerin değerlerini yerine koyun ilkörnek. Ve eğer x = 3 her şey harika bir şekilde birlikte büyür, 9 = 9 elde ederiz, sonra x = 2 sıfıra bölme! Kesinlikle yapılamaz. Araç x = 2 bir çözüm değildir ve cevapta dikkate alınmaz. Bu sözde yabancı veya ekstra köktür. Sadece onu atıyoruz. Yalnızca bir son kök vardır. x = 3.

Nasıl yani?! Öfkeli ünlemler duyuyorum. Bize bir denklemin bir ifadeyle çarpılabileceği öğretildi! Bu aynı dönüşüm!

Evet, aynı. Küçük bir koşul altında - çarptığımız (böldüğümüz) ifade - sıfırdan farklı. A x - 2 en x = 2 sıfıra eşittir! Yani her şey adil.

Peki şimdi ne yapabilirim? İfadeyle çarpmayın mı? Her seferinde kontrol ediyor musun? Yine belirsiz!

Sakin ol! Panik yok!

Bu zor durumda bizi üç sihirli harf kurtaracak. Ne düşündüğünü biliyorum. Sağ! Bu ODZ . Geçerli Değerlerin Alanı.