Karmaşık denklemi çevrimiçi çözün. Matris denklemlerinin çözümü
İki tür denklem çözme sistemini analiz edeceğiz:
1. Sistemin ikame yöntemiyle çözümü.
2. Sistem denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) yoluyla sistemin çözümü.
Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemi basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. İfade ediyoruz. Herhangi bir denklemden bir değişkeni ifade ederiz.
2. Değiştir. Ortaya çıkan değeri ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözüyoruz. Sisteme çözüm buluyoruz.
Çözmek için dönem dönem ekleme (çıkarma) yöntemiyle sistemşunları yapmanız gerekir:
1. Aynı katsayıları yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri topluyor veya çıkarıyoruz, sonuçta tek değişkenli bir denklem elde ediyoruz.
3. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözüyoruz. Sisteme çözüm buluyoruz.
Sistemin çözümü fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktalarıdır.
Örnekleri kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.
Örnek 1:
Yerine koyma yöntemiyle çözelim
Denklem sistemini ikame yöntemiyle çözme2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)
1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeninin olduğu görülmekte, dolayısıyla x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu ortaya çıkmaktadır.
x=3+10y
2. İfade ettikten sonra birinci denklemde x değişkeni yerine 3 + 10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözüyoruz.
2(3+10y)+5y=1 (açık parantez)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişim noktalarıdır, dolayısıyla x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişim noktası x ve y'den oluşuyor.X'i bulalım, ifade ettiğimiz ilk paragrafta y'yi oraya yazıyoruz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
İlk etapta noktaları yazmak gelenekseldir, x değişkenini, ikinci sıraya da y değişkenini yazarız.
Cevap: (1; -0,2)
Örnek #2:
Terim terim toplama (çıkarma) yaparak çözelim.
Bir denklem sistemini toplama yöntemiyle çözme3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)
1. Bir değişken seçin, diyelim ki x'i seçtik. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz ve toplam 6 katsayısını elde ediyoruz.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. X değişkeninden kurtulmak için ilk denklemden ikinciyi çıkarın.Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. x'i bulun. Bulunan y'yi herhangi bir denklemde, diyelim ki ilk denklemde yerine koyarız.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Kesişme noktası x=4,6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)
Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? Çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yapmıyorum.
matematik çözmek için. Hızlıca bulun matematik denklem çözümü modunda çevrimiçi. www.site web sitesi izin verir denklemi çözün neredeyse verilen her şey cebirsel, trigonometrik veya aşkın denklem çevrimiçi. Matematiğin hemen hemen her bölümünü farklı aşamalarda çalışırken, kişinin çevrimiçi denklemler. Hemen yanıt almak ve en önemlisi doğru yanıt almak için bunu yapmanıza olanak tanıyan bir kaynağa ihtiyacınız var. www.site'ye teşekkürler denklemleri çevrimiçi çöz birkaç dakika sürecektir. Matematik çözerken www.sitenin temel avantajı çevrimiçi denklemler- verilen yanıtın hızı ve doğruluğudur. Site her türlü sorunu çözebilir cebirsel denklemler çevrimiçi, trigonometrik denklemler çevrimiçi, aşkın denklemler çevrimiçi, Ve denklemler modda bilinmeyen parametrelerle çevrimiçi. Denklemler güçlü bir matematiksel aygıt olarak hizmet eder çözümler pratik görevler. Yardımla matematiksel denklemlerİlk bakışta kafa karıştırıcı ve karmaşık görünebilecek olguları ve ilişkileri ifade etmek mümkündür. bilinmeyen miktarlar denklemler problemi formüle ederek bulunabilir. matematiksel formdaki dil denklemler Ve karar vermek modda alınan görev çevrimiçi www.site web sitesinde. Herhangi cebirsel denklem, trigonometrik denklem veya denklemler kapsamak transandantal kolayca özellikleri karar vermekçevrimiçi olun ve doğru cevabı alın. Doğa bilimlerini inceleyen kişi kaçınılmaz olarak şu ihtiyaçla karşılaşır: denklem çözme. Bu durumda cevabın doğru olması ve modda hemen alınması gerekir. çevrimiçi. Bu nedenle, matematik denklemlerini çevrimiçi çöz için vazgeçilmez hesap makineniz olacak www.site sitesini öneriyoruz. cebirsel denklemleri çevrimiçi çöz, trigonometrik denklemler çevrimiçi, Ve aşkın denklemler çevrimiçi veya denklemler bilinmeyen parametrelerle Çeşitli köklerin bulunmasına ilişkin pratik problemler için matematiksel denklemler kaynak www.. Çözme çevrimiçi denklemler kendiniz, alınan cevabı kullanarak kontrol etmeniz yararlı olacaktır. Denklemlerin çevrimiçi çözümü www.site web sitesinde. Denklemi doğru yazmak ve anında almak gerekiyor çevrimiçi çözüm, bundan sonra geriye yalnızca cevabı denklemin çözümüyle karşılaştırmak kalır. Cevabı kontrol etmek bir dakikadan fazla sürmeyecek, yeterli denklemi çevrimiçi çöz ve cevapları karşılaştırın. Bu, hatalardan kaçınmanıza yardımcı olacaktır karar ve cevabı zamanında düzeltin çevrimiçi denklem çözme herhangi biri cebirsel, trigonometrik, aşkın veya denklem bilinmeyen parametrelerle
I. balta 2 \u003d 0 – tamamlanmamış ikinci dereceden denklem (b=0, c=0 ). Çözüm: x=0. Cevap: 0.
Denklemleri çözün.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Çözüm. Parantezleri çarparak genişletin 2 kere parantez içindeki her terim için:
2x2 +6x=6x-x2 ; terimleri sağ taraftan sol tarafa taşımak:
2x2 +6x-6x+x2=0; İşte benzer terimler:
3x 2 =0, dolayısıyla x=0.
Cevap: 0.
II. ax2+bx=0 –tamamlanmamış ikinci dereceden denklem (s=0 ). Çözüm: x (ax+b)=0 → x 1 =0 veya ax+b=0 → x 2 =-b/a. Cevap: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
Çözüm. Ortak çarpanı çıkar X parantez için:
x(5x-26)=0; her faktör sıfır olabilir:
x=0 veya 5x-26=0→ 5x=26, eşitliğin her iki tarafını da şuna bölün: 5 ve şunu elde ederiz: x \u003d 5,2.
Cevap: 0; 5,2.
Örnek 3 64x+4x2=0.
Çözüm. Ortak çarpanı çıkar 4x parantez için:
4x(16+x)=0. Bu nedenle 4≠0 olmak üzere üç çarpanımız var veya x=0 veya 16+x=0. Son eşitlikten x=-16 elde ederiz.
Cevap: -16; 0.
Örnek 4(x-3) 2 +5x=9.
Çözüm.İki ifadenin farkının karesi formülünü uygulayarak parantezleri açın:
x 2 -6x+9+5x=9; şu forma dönüştürün: x 2 -6x+9+5x-9=0; İşte benzer terimler:
x2-x=0; dayanmak X parantezlerin dışında şunu elde ederiz: x (x-1)=0. Buradan veya x=0 veya x-1=0→x=1.
Cevap: 0; 1.
III. ax2+c=0 –tamamlanmamış ikinci dereceden denklem (b=0 ); Çözüm: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
Eğer (-CA)<0 , o zaman gerçek kökler yoktur. Eğer (-s/a)>0
Örnek 5 x 2 -49=0.
Çözüm.
x 2 \u003d 49, buradan x=±7. Cevap:-7; 7.
Örnek 6 9x2-4=0.
Çözüm.
Çoğunlukla ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamını (x 1 2 + x 2 2) veya küplerinin toplamını (x 1 3 + x 2 3), daha az sıklıkla - denklemin karşılıklılarının toplamını bulmanız gerekir. köklerin kareleri veya ikinci dereceden denklemin köklerinden aritmetik kareköklerin toplamı:
Vieta teoremi bu konuda yardımcı olabilir:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
İfade etmek başından sonuna kadar P Ve Q:
1) denklemin köklerinin karelerinin toplamı x2+px+q=0;
2) denklemin köklerinin küplerinin toplamı x2+px+q=0.
Çözüm.
1) İfade x 1 2 + x 2 2 denklemin her iki tarafının karesi alınarak elde edilir x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; parantezleri açın: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; istenen miktarı ifade ediyoruz: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Kullanışlı bir denklemimiz var: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) İfade x 1 3 + x 2 3 formdaki küplerin toplamı formülüyle temsil edin:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).
Başka bir yararlı denklem: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
Örnekler.
3) x 2 -3x-4=0. Denklemi çözmeden ifadenin değerini hesaplayın x 1 2 + x 2 2.
Çözüm.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, ve iş x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dörnek 1'de) eşitlik:
x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q. Sahibiz -P=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Daha sonra x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
Cevap: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Hesaplayın: x 1 3 +x 2 3 .
Çözüm.
Vieta teoremine göre, bu indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, ve iş x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-4. Edindiklerimizi uygulayalım ( örnek 2'de) eşitlik: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
Cevap: x 1 3 + x 2 3 =32.
Soru: Bize indirgenmemiş ikinci dereceden bir denklem verilirse ne olur? Cevap: Her zaman terimi terime birinci katsayıya bölerek “azaltılabilir”.
5) 2x2 -5x-7=0.Çözmeden hesaplayın: x 1 2 + x 2 2.
Çözüm. Bize tam ikinci dereceden bir denklem veriliyor. Denklemin her iki tarafını da 2'ye (birinci katsayı) bölün ve aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde edin: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.
Vieta teoremine göre köklerin toplamı 2,5 ; köklerin ürünü -3,5 .
Örnekle aynı şekilde çözüyoruz 3) eşitliği kullanarak: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Cevap: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0. Bulmak:
Bu eşitliği dönüştürelim ve köklerin toplamını Vieta teoremine göre değiştirerek, -P ve köklerin çarpımı Q, başka bir yararlı formül elde ederiz. Formülü türetirken eşitlik 1'i kullandık): x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
Örneğimizde x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Bu değerleri ortaya çıkan formülde değiştirin:
7) x 2 -13x+36=0. Bulmak:
Bu toplamı dönüştürelim ve ikinci dereceden bir denklemin köklerinden aritmetik kareköklerin toplamını bulmanın mümkün olacağı bir formül elde edelim.
Sahibiz x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Bu değerleri türetilmiş formülde değiştirin:
Tavsiye : Her zaman ikinci dereceden bir denklemin köklerini uygun bir şekilde bulma olasılığını kontrol edin, çünkü 4 gözden geçirildi faydalı formüller Her şeyden önce, ayırt edicinin "uygunsuz" bir sayı olduğu durumlarda görevi hızlı bir şekilde tamamlamanıza olanak tanır. Tüm basit durumlarda kökleri bulun ve üzerlerinde işlem yapın. Örneğin son örnekte kökleri Vieta teoremini kullanarak seçiyoruz: köklerin toplamı şuna eşit olmalıdır: 13 ve köklerin çarpımı 36 . Bu sayılar nedir? Kesinlikle, 4 ve 9.Şimdi bu sayıların kareköklerinin toplamını hesaplayın: 2+3=5. Bu kadar!
I. Vieta teoremi indirgenmiş ikinci dereceden denklem için.
İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı x 2 +px+q=0 ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşittir ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Vieta teoremini kullanarak verilen ikinci dereceden denklemin köklerini bulun.
Örnek 1) x 2 -x-30=0. Bu indirgenmiş ikinci dereceden denklemdir ( x 2 +px+q=0), ikinci katsayı p=-1 ve serbest terim q=-30.Öncelikle verilen denklemin köklerinin olduğundan ve köklerin (eğer varsa) tam sayı olarak ifade edileceğinden emin olun. Bunun için diskriminantın bir tam sayının tam karesi olması yeterlidir.
Diskriminant bulma D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Şimdi Vieta teoremine göre köklerin toplamı ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olmalıdır, yani. ( -P) ve ürün serbest terime eşittir, yani. ( Q). Daha sonra:
x1 + x2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30.Çarpımları eşit olacak şekilde iki sayı seçmeliyiz -30 ve toplamı birim. Bunlar sayılar -5 Ve 6 . Cevap: -5; 6.
Örnek 2) x 2 +6x+8=0.İkinci katsayılı indirgenmiş ikinci dereceden denklemimiz var p=6 ve ücretsiz üye q=8. Tamsayı köklerin olduğundan emin olun. Diskriminantını bulalım D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 sayının tam karesidir 1 yani bu denklemin kökleri tam sayılardır. Kökleri Vieta teoremine göre seçiyoruz: köklerin toplamı şuna eşittir: –p=-6 ve köklerin çarpımı q=8. Bunlar sayılar -4 Ve -2 .
Aslında: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Cevap: -4; -2.
Örnek 3) x 2 +2x-4=0. Bu indirgenmiş ikinci dereceden denklemde, ikinci katsayı p=2 ve serbest terim q=-4. Diskriminantını bulalım D1Çünkü ikinci katsayı çift sayıdır. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant bir sayının tam karesi değildir, dolayısıyla bunu yaparız. çözüm: bu denklemin kökleri tam sayı değildir ve Vieta teoremi kullanılarak bulunamaz. Yani bu denklemi her zamanki gibi formüllere göre (bu durumda formüllere göre) çözüyoruz. Şunu elde ederiz:
Örnek 4). Aşağıdaki durumlarda köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem yazın: x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Çözüm.İstenilen denklem şu şekilde yazılacaktır: x 2 +px+q=0 ayrıca Vieta teoremine dayanarak –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . O zaman denklem şu şekli alacaktır: x2 +3x-28=0.
Örnek 5). Aşağıdaki durumlarda köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem yazın:
II. Vieta'nın teoremi ikinci dereceden denklemin tamamı için ax2+bx+c=0.
Köklerin toplamı eksidir B bölü A, köklerin çarpımı İle bölü A:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
Örnek 6).İkinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamını bulun 2x2 -7x-11=0.
Çözüm.
Bu denklemin köklerinin olacağına inanıyoruz. Bunu yapmak için diskriminant için bir ifade yazmak yeterlidir ve hesaplamadan diskriminantın sıfırdan büyük olduğundan emin olun. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Ve şimdi kullanalım teorem Vieta tam ikinci dereceden denklemler için.
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
Örnek 7). İkinci dereceden bir denklemin köklerinin çarpımını bulun 3x2 +8x-21=0.
Çözüm.
Diskriminantını bulalım D1, ikinci katsayıdan beri ( 8 ) çift sayıdır. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . İkinci dereceden denklem vardır 2 kök, Vieta teoremine göre köklerin çarpımı x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. balta 2 +bx+c=0 genel bir ikinci dereceden denklemdir
diskriminant D=b 2 - 4ac.
Eğer D>0, o zaman iki gerçek kökümüz var:
Eğer D=0, o zaman tek bir kökümüz (veya iki eşit kökümüz) olur x=-b/(2a).
Eğer D<0, то действительных корней нет.
Örnek 1) 2x2 +5x-3=0.
Çözüm. A=2; B=5; C=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 gerçek kök.
4x2 +21x+5=0.
Çözüm. A=4; B=21; C=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 gerçek kök.
II. ax2+bx+c=0 – özel ikinci dereceden denklem bir saniyeliğine
katsayı B
Örnek 3) 3x2 -10x+3=0.
Çözüm. A=3; B\u003d -10 (çift sayı); C=3.
Örnek 4) 5x2-14x-3=0.
Çözüm. A=5; B= -14 (çift sayı); C=-3.
Örnek 5) 71x2 +144x+4=0.
Çözüm. A=71; B=144 (çift sayı); C=4.
Örnek 6) 9x2 -30x+25=0.
Çözüm. A=9; B\u003d -30 (çift sayı); C=25.
III. ax2+bx+c=0 – ikinci dereceden denklem sağlanan özel tür: a-b+c=0.
İlk kök her zaman eksi birdir ve ikinci kök eksidir İle bölü A:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.
Örnek 7) 2x2+9x+7=0.
Çözüm. A=2; B=9; C=7. Eşitliği kontrol edelim: a-b+c=0.Şunu elde ederiz: 2-9+7=0 .
Daha sonra x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3,5. Cevap: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – koşulu altında belirli bir formun ikinci dereceden denklemi : a+b+c=0.
İlk kök her zaman bire, ikinci kök ise eşittir İle bölü A:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.
Örnek 8) 2x2 -9x+7=0.
Çözüm. A=2; B=-9; C=7. Eşitliği kontrol edelim: a+b+c=0.Şunu elde ederiz: 2-9+7=0 .
Daha sonra x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3,5. Cevap: 1; 3,5.
Sayfa 1/1 1
7.sınıf matematik dersinde ilk kez tanışırlar. iki değişkenli denklemler ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, denklemin katsayılarına onları sınırlayan belirli koşulların getirildiği bir takım problemler gözden kayboluyor. Ayrıca USE materyallerinde ve giriş sınavlarında bu tür problemlerle giderek daha sık karşılaşılsa da “Doğal veya tamsayılarda denklem çözme” gibi problem çözme yöntemleri de göz ardı ediliyor.
Hangi denkleme iki değişkenli denklem denir?
Yani örneğin 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.
2x - y = 1 denklemini düşünün. X = 2 ve y = 3'te gerçek bir eşitliğe dönüşür, dolayısıyla bu değişken değer çifti, söz konusu denklemin çözümüdür.
Böylece, iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, sıralı çiftler (x; y) kümesidir, bu denklemin gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğü değişkenlerin değerleri.
İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:
A) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denkleminin tek bir çözümü vardır (0; 0);
B) birden fazla çözümü var.Örneğin, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);
V) hiçbir çözümü yok.Örneğin x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;
G) sonsuz sayıda çözümü var.Örneğin, x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3 olan sayılar olacaktır. Bu denklemin çözüm kümesi (k; 3 - k) şeklinde yazılabilir; burada k herhangi bir gerçek sayıdır.
İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, ifadeleri çarpanlara ayırmaya, tam kareyi vurgulamaya, ikinci dereceden denklemin özelliklerini kullanmaya, sınırlı ifadelere ve değerlendirme yöntemlerine dayalı yöntemlerdir. Denklem, kural olarak, bilinmeyenleri bulmak için bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.
Faktorizasyon
örnek 1
Denklemi çözün: xy - 2 = 2x - y.
Çözüm.
Faktoring amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. Her parantezden ortak faktörü çıkarın:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. Elimizde:
y = 2, x herhangi bir gerçek sayıdır veya x = -1, y herhangi bir gerçek sayıdır.
Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R formundaki tüm çiftlerdir.
Negatif olmayan sayıların sıfıra eşitliği
Örnek 2
Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Çözüm.
Gruplandırma:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Artık her parantez kare fark formülü kullanılarak daraltılabilir.
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.
Negatif olmayan iki ifadenin toplamı yalnızca 3x - 2 = 0 ve 2y - 3 = 0 ise sıfırdır.
Yani x = 2/3 ve y = 3/2.
Cevap: (2/3; 3/2).
Evrim metodu
Örnek 3
Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Çözüm.
Her parantez içinde tam kareyi seçin:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin parantez içindeki ifadelerin anlamı.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y - 2) 2 + 2 ≥ 2 ise denklemin sol tarafı her zaman en az 2 olur. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:
(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y - 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.
Cevap: (-1; 2).
İkinci dereceden iki değişkenli denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım. Bu yöntem, denklemin şu şekilde kabul edilmesidir: bazı değişkenlere göre kare.
Örnek 4
Denklemi çözün: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
Çözüm.
Denklemi x'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Denklemin çözümü yalnızca D = 0 olduğunda, yani y = 4 olduğunda olacaktır. Y'nin değerini orijinal denklemde yerine koyarız ve x = 3 olduğunu buluruz.
Cevap: (3; 4).
Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde değişkenlere ilişkin kısıtlamalar.
Örnek 5
Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Çözüm.
Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 şeklinde yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklemin sağ tarafı 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Dolayısıyla x 2, 5'e bölünemez. Ancak karesi 5'e bölünemeyen bir sayının kalanını 1 veya 4 verir. Dolayısıyla eşitlik mümkün değildir ve çözüm yoktur.
Cevap: Kök yok.
Örnek 6
Denklemi çözün: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
Çözüm.
Her parantez içindeki tam kareleri seçelim:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Denklemin sol tarafı her zaman 3'ten büyük veya eşittir. Eşitlik |x| ise mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3 olur.
Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).
Örnek 7
Denklemi karşılayan her negatif tam sayı (x; y) çifti için
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, (x + y) toplamını hesaplayın. En küçük miktarı cevaplayın.
Çözüm.
Tam kareleri seçin:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tam sayı olduğundan kareleri de tam sayıdır. 1 + 36'yı topladığımızda iki tam sayının kareleri toplamı 37'ye eşit olur. Dolayısıyla:
(x - y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1
(x - y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.
Bu sistemleri çözüp x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak şu çözümleri buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Cevap: -17.
İki bilinmeyenli denklemleri çözerken zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratik yaparak her denklemde ustalaşabileceksiniz.
Sormak istediğiniz bir şey var mı? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenin yardımını almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanması durumunda kaynağa bir bağlantı gereklidir.