Tam sayı örneklerinde denklemleri çözün. Tamsayılardaki denklemleri bazı değişkenlere göre kareler halinde çözme. Diğer türdeki denklem sistemlerinin çözüm örnekleri

Tam sayılarda denklemler iki veya daha fazla bilinmeyen değişkenli ve tamsayı katsayılı cebirsel denklemlerdir. Böyle bir denklemin çözümlerinin tümü, bu denklemi sağlayan bilinmeyen değişkenlerin tamsayı (bazen doğal veya rasyonel) değer kümeleridir. Bu tür denklemlere aynı zamanda denir diofantÇağımızdan önce bu tür denklemlerin bazı türlerini inceleyen eski Yunan matematikçisinin onuruna.

Diophantine problemlerinin modern formülasyonunu Fransız matematikçiye borçluyuz. Belirsiz denklemleri yalnızca tam sayılarla çözme sorununu Avrupalı ​​​​matematikçilerden önce gündeme getiren oydu. Tamsayılardaki en ünlü denklem Fermat'nın son teoremidir: denklem

tüm doğal n > 2 için sıfırdan farklı rasyonel çözümlere sahip değildir.

Tamsayılardaki denklemlere teorik ilgi oldukça büyüktür, çünkü bu denklemler sayılar teorisindeki birçok problemle yakından ilişkilidir.

1970 yılında, Leningrad matematikçi Yuri Vladimirovich Matiyasevich, tamsayılardaki keyfi Diophantine denklemlerinin sonlu sayıda adımda çözülmesine izin veren genel bir yöntemin var olmadığını ve var olamayacağını kanıtladı. Bu nedenle farklı denklem türleri için kendi çözüm yöntemlerinizi seçmelisiniz.

Tam sayılarda ve doğal sayılarda denklemleri çözerken kabaca aşağıdaki yöntemler ayırt edilebilir:

seçenekleri sıralamanın yolu;

Öklid algoritmasının uygulanması;

sayıların devam eden (devam eden) kesirler biçiminde temsili;

çarpanlara ayırma;

tamsayılardaki denklemlerin herhangi bir değişkene göre kare (veya başka) olarak çözülmesi;

artık yöntem;

sonsuz iniş yöntemi

Çözümlerle ilgili sorunlar

1. Tamsayılarda x 2 – xy – 2y 2 = 7 denklemini çözün.

Denklemi (x – 2y)(x + y) = 7 formunda yazalım.

x, y tam sayılar olduğundan orijinal denklemin çözümlerini aşağıdaki dört sistemin çözümleri olarak buluyoruz:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Bu sistemleri çözdükten sonra şu denklemin çözümlerini elde ederiz: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) ve (–5; –2).

Cevap: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

a) 20x + 12y = 2013;

b) 5x + 7y = 19;

c) 201x – 1999y = 12.

a) X ve y'nin herhangi bir tam sayı değeri için denklemin sol tarafı ikiye bölünebildiğinden ve sağ tarafı tek sayı olduğundan denklemin tamsayılarda çözümü yoktur.

Cevap: Çözüm yok.

b) Önce belirli bir çözümü seçelim. Bu durumda, örneğin, basittir;

x 0 = 1, y 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(x – x 0) + 7(y – y 0) = 0,

5(x – x 0) = –7(y – y 0).

5 ve 7 sayıları aralarında asal olduğundan

x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.

Yani genel çözüm şudur:

x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,

burada k keyfi bir tam sayıdır.

Cevap: (1+7k; 2–5k), burada k bir tam sayıdır.

c) Bu durumda seçim yaparak spesifik bir çözüm bulmak oldukça zordur. 1999 ve 201 sayıları için Öklid algoritmasını kullanalım:

OBEB(1999, 201) = OOB(201, 190) = OOB(190, 11) = OOB(11, 3) = OOB(3, 2) = OOB(2, 1) = 1.

Bu işlemi tersten yazalım:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =

121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Bu, (1273, 128) çiftinin 201x – 1999y = 1 denkleminin bir çözümü olduğu anlamına gelir. Daha sonra sayı çifti

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

201x – 1999y = 12 denkleminin bir çözümüdür.

Bu denklemin genel çözümü şu şekilde yazılacaktır:

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, burada k bir tam sayıdır,

veya yeniden tasarımdan sonra (15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201'i kullanıyoruz),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, burada n bir tam sayıdır.

Cevap: (1283+1999n, 129+201n), burada n bir tam sayıdır.

3. Denklemi tam sayılarla çözün:

a) x3 + y3 = 3333333;

b) x 3 + y3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

a) x 3 ve y 3, 9'a bölündüğünde yalnızca 0, 1 ve 8 kalanlarını verebildiğinden (bölümdeki tabloya bakınız), bu durumda x 3 + y 3 yalnızca 0, 1, 2, 7 ve 8 kalanlarını verebilir. Ancak 3333333 sayısı 9'a bölündüğünde 3 kalanını verir. Dolayısıyla orijinal denklemin tamsayılarda çözümü yoktur.

b) Orijinal denklemi (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4 formunda yeniden yazalım. Tamsayıların küpleri 7'ye bölündüğünde 0, 1 ve 6 kalanlarını verdiğinden ancak 4 vermediğinden, o zaman Denklemin tam sayı çözümleri yoktur.

Cevap: Tamsayı çözüm yoktur.

a) asal sayılarda x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y denklemi;

b) tam sayılarda x + y = x 2 – xy + y 2 denklemi.

a) Bu denklemi y değişkenine göre ikinci dereceden denklem olarak çözelim. Aldık

y = x + 9 veya y = 16 – x.

Tek x için x + 9 sayısı çift olduğundan, ilk eşitliği sağlayan tek asal sayı çifti (2; 11)'dir.

X, y basit olduğundan, y = 16 – x eşitliğinden elde ederiz

2 x 16,2 en 16.

Seçenekler arasında arama yaparak kalan çözümleri buluruz: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Cevap: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

b) Bu denklemi x için ikinci dereceden bir denklem olarak düşünün:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Bu denklemin diskriminantı –3y 2 + 6y + 1'dir. Yalnızca aşağıdaki y değerleri için pozitiftir: 0, 1, 2. Bu değerlerin her biri için, orijinal denklemden x için ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. , kolayca çözülebilir.

Cevap: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 olacak şekilde sonsuz sayıda x, y, z tamsayı üçlüsü var mıdır?

y = –z olan üçlüleri seçmeye çalışalım. O zaman y 3 ve z 3 her zaman birbirini götürecektir ve denklemimiz şöyle görünecektir:

x 2 + 2y 2 = x 3

ya da,

x 2 (x–1) = 2y 2 .

Bir (x; y) tam sayı çiftinin bu koşulu sağlaması için x-1 sayısının tam sayının karesinin iki katı olması yeterlidir. Böyle sonsuz sayıda sayı vardır, yani bunların hepsi 2n 2 +1 formundaki sayılardır. Bu sayıyı x 2 (x–1) = 2y 2 olarak değiştirerek basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Bu şekilde elde edilen tüm üçlüler (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n) formundadır.

Cevap: var.

6. x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu olacak şekilde x, y, z, u tam sayılarını bulun.

X 2 + y 2 + z 2 + u 2 sayısı çifttir, dolayısıyla x, y, z, u sayıları arasında çift sayıda tek sayı vardır.

Dört sayının tümü x, y, z, u tek ise, o zaman x 2 + y 2 + z 2 + u 2 4'e bölünebilir, ancak 2xyzu 4'e bölünemez - bu bir tutarsızlıktır.

Eğer x, y, z, u sayılarından tam olarak ikisi tek ise, o zaman x 2 + y 2 + z 2 + u 2 4'e bölünemez, ancak 2xyzu 4'e bölünebilir; bu da yine bir tutarsızlıktır.

Bu nedenle tüm x, y, z, u sayıları çifttir. O zaman şunu yazabiliriz

x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,

ve orijinal denklem şu şekli alacaktır

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + sen 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 sen 1 .

Şimdi (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1'in 8'e bölündüğünde 1 kalanını verdiğine dikkat edin. Bu nedenle, eğer tüm x 1 , y 1 , z 1 , u 1 sayıları tek ise, o zaman x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2, 8'e bölünemez. Ve eğer bu sayılardan tam olarak ikisi tekse, o zaman x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2, 8'e bölünemez. 4. Bu şu anlama gelir:

x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,

ve denklemi elde ederiz

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + sen 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 sen 2 .

Aynı mantığı bir kez daha tekrarlarsak, x, y, z, u'nun tüm doğal n'ler için 2 n'ye bölünebildiğini buluruz; bu yalnızca x = y = z = u = 0 için mümkündür.

Cevap: (0; 0; 0; 0).

7. Denklemin olduğunu kanıtlayın

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

tamsayılarda çözümü yoktur.

Aşağıdaki kimliği kullanalım:

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).

O zaman orijinal denklem şu şekilde yazılabilir:

(x – y)(y – z)(z – x) = 10.

a = x – y, b = y – z, c = z – x şeklinde gösterelim ve elde edilen eşitliği formda yazalım.

Ayrıca a + b + c = 0 olduğu açıktır. Permütasyona kadar abc = 10 eşitliğinin |a|, |b|, |c| sayılarına işaret ettiğini doğrulamak kolaydır. 1, 2, 5 veya 1, 1, 10'a eşittir. Ancak tüm bu durumlarda, a, b, c işaretlerinin herhangi bir seçimi için a + b + c toplamı sıfır değildir. Dolayısıyla orijinal denklemin tamsayı çözümleri yoktur.

8. Denklem 1'i tam sayılarla çözün! + 2! + . . . +x! = y 2 .

Açıkça görülüyor ki

eğer x = 1 ise y 2 = 1,

x = 3 ise y 2 = 9 olur.

Bu durumlar aşağıdaki sayı çiftlerine karşılık gelir:

x1 = 1, y1 = 1;

x2 = 1, y2 = –1;

x3 = 3, y3 = 3;

x4 = 3, y4 = –3.

X = 2 için 1'e sahip olduğumuzu unutmayın! + 2! = 3, x = 4 için 1 var! + 2! +3! + 4! = 33 ve ne 3 ne de 33 tamsayıların karesi değil. Eğer x > 5 ise, o zaman

5! + 6! + . . . + x! = 10n,

bunu yazabiliriz

1! + 2! +3! + 4! + 5! + . . . +x! = 33 + 10n.

33 + 10n, sonu 3 ile biten bir sayı olduğundan bir tam sayının karesi değildir.

Cevap: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Doğal sayılarda aşağıdaki denklem sistemini çözün:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0 ise a 3 > b3 + c3;

böylece elimizde

Bu eşitsizlikleri topladığımızda şunu elde ederiz:

Son eşitsizliği dikkate alarak sistemin ikinci denkleminden şunu elde ederiz:

Ancak sistemin ikinci denklemi de a'nın çift sayı olduğunu gösteriyor. Böylece a = 2, b = c = 1 olur.

Cevap: (2; 1; 1)

10. x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y denklemini sağlayan tüm x ve y tam sayı çiftlerini bulun.

Bu denklemin her iki tarafını da çarpanlarına ayırdığımızda şunu elde ederiz:

x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),

x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)

Böyle bir eşitlik, sol ve sağ tarafların sıfıra eşit olması veya ardışık iki tam sayının çarpımı olması durumunda mümkündür. Bu nedenle, belirli faktörleri sıfıra eşitleyerek 4 çift istenen değişken değeri elde ederiz:

x1 = 0, y1 = 0;

x2 = 0, y2 = –1;

x3 = –1, y3 = 0;

x4 = –1, y4 = –1.

(y 2 + y)(y 2 + 1) çarpımı, yalnızca y = 2 olduğunda ardışık sıfır olmayan iki tam sayının çarpımı olarak düşünülebilir. Dolayısıyla x(x + 1) = 30, dolayısıyla x 5 = 5, x 6 = –6. Bu, orijinal denklemi sağlayan iki tam sayı çiftinin daha olduğu anlamına gelir:

x5 = 5, y5 = 2;

x 6 = –6, y 6 = 2.

Cevap: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Çözümü olmayan sorunlar

1. Denklemi tam sayılarla çözün:

a) xy = x + y + 3;

b) x 2 + y 2 = x + y + 2.

2. Denklemi tam sayılarla çözün:

a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;

b) 15x 2 – 7y 2 = 9.

3. Denklemi doğal sayılarla çözün:

a) 2 x + 1 = y2;

b) 3 2 x + 1 = y 2.

4. Rasyonel sayılarda x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz denkleminin tek bir çözümü olduğunu kanıtlayın

5. Tam sayılarda x 2 + 5 = y 3 denkleminin çözümü olmadığını kanıtlayın.

Ormanın kenarından çalılıklara doğru giden birçok yol var. Kıvrımlıdırlar, birleşirler, tekrar ayrılırlar ve birbirleriyle tekrar kesişirler. Yürürken sadece bu yolların çokluğunu fark edebilir, bir kısmı boyunca yürüyebilir ve ormanın derinliklerine doğru yönlerini takip edebilirsiniz. Ormanı ciddi bir şekilde incelemek için, kuru çam iğneleri ve çalılar arasında görünene kadar yolları takip etmeniz gerekir.

Bu nedenle modern matematiğin kıyısındaki olası yürüyüşlerden birinin açıklaması olarak değerlendirilebilecek bir proje yazmak istedim.

Çevreleyen dünya, ulusal ekonominin ihtiyaçları ve çoğu zaman günlük endişeler, çözümü her zaman açık olmayan bir kişi için giderek daha fazla yeni görev oluşturmaktadır. Bazen belirli bir sorunun birçok olası cevabı olabilir ve bu da sorunların çözülmesini zorlaştırır. Doğru ve en uygun seçenek nasıl seçilir?

Belirsiz denklemlerin çözümü bu konuyla doğrudan ilgilidir. İki veya daha fazla değişken içeren, tamamı tamsayı veya doğal çözümlerinin bulunması gereken bu tür denklemler, eski çağlardan beri düşünülmüştür. Örneğin Yunan matematikçi Pisagor (M.Ö. IV. Yüzyıl). İskenderiyeli matematikçi Diophantus (MS II-III yüzyıl) ve bize daha yakın bir dönemin en iyi matematikçileri - P. Fermat (XVII yüzyıl), L. Euler (XVIII yüzyıl), J. L. Lagrange (XVIII yüzyıl) ve diğerleri.

Obninsk'teki Rus yazışma yarışmasına, Uluslararası Oyun Yarışmasına > ve Ural Federal Bölgesi Olimpiyatına katıldığımda bu tür görevlerle sık sık karşılaşıyorum. Bunun nedeni çözümlerinin yaratıcı olmasıdır. Tamsayılarda denklem çözerken ortaya çıkan problemler hem karmaşıklıktan hem de okulda bunlara az zaman ayrılmasından kaynaklanmaktadır.

Diophantus, bilim tarihinin en zor gizemlerinden birini sunuyor. Onun hangi dönemde yaşadığını ve aynı alanda çalışmış olan seleflerini bilmiyoruz. Eserleri aşılmaz karanlığın ortasında parlayan bir ateş gibidir.

Diophantus'un yaşayabileceği süre yarım bin yıldır! Alt sınır zorlanmadan belirlenir: Diophantus çokgen sayılar üzerine yazdığı kitabında 2. yüzyılın ortalarında yaşamış matematikçi İskenderiyeli Hypsicles'ten defalarca bahseder. M.Ö e.

Öte yandan İskenderiyeli Theon'un ünlü gökbilimci Ptolemy'e yaptığı yorumda Diophantus'un eserinden bir alıntı yer alıyor. Theon 4. yüzyılın ortalarında yaşadı. N. e. Bu, bu aralığın üst sınırını belirler. Yani 500 yıl!

Diophantus'un en eksiksiz metninin editörü olan Fransız bilim tarihçisi Paul Tannry, bu boşluğu daraltmaya çalıştı. Escurial kütüphanesinde 11. yüzyıl Bizans bilgini Michael Psellus'un bir mektubundan alıntılar buldu. En bilgili Anatoly'nin, bu bilimin en önemli kısımlarını topladıktan sonra, bilinmeyenlerin derecelerinin tanıtılmasından ve bunların (atamalarının) arkadaşı Diophantus'a ithaf edildiği söylenir. İskenderiyeli Anatoly aslında Iamblichus ve Eusenius'un mevcut eserlerinde alıntılanan alıntılardan oluşan bir eserdir. Ancak Anatoly, MÖ 111. yüzyılın ortalarında İskenderiye'de yaşadı. e ve daha doğrusu - Laodacia'nın piskoposu olduğu 270 yılına kadar. Bu da herkesin İskenderiye dediği Diophantus'la dostluğunun bundan önce gerçekleşmiş olması gerektiği anlamına gelir. Yani ünlü İskenderiyeli matematikçi ile Anatoly'nin Diophantus adlı arkadaşı bir kişi ise Diophantus'un yaşadığı dönem MS 111. yüzyılın ortalarıdır.

Ancak Diophantus'un ikamet yeri iyi bilinmektedir - bilimsel düşüncenin ve Helenistik dünyanın merkezi olan İskenderiye.

Palatine Antolojisi'nin epigramlarından biri günümüze kadar gelmiştir:

Diophantus'un külleri mezarda duruyor: hayret edin - ve taş

Merhumun yaşı onun hikmetli sanatıyla konuşur.

Tanrıların izniyle hayatının altıda birini çocuk olarak geçirdi.

Ve beş buçukta yanaklarımda tüylerle karşılaştım.

Kız arkadaşıyla nişanlanışı henüz yedinci gündü.

Bilge, onunla beş yıl geçirdikten sonra oğlunu bekledi.

Babasının çok sevdiği oğlu ömrünün sadece yarısını yaşadı.

Babasının elinden erken mezarı tarafından alındı.

İki yıl boyunca iki kez ebeveyn şiddetli kederden yas tuttu.

Burada hüzünlü hayatımın sınırını gördüm.

Modern denklem çözme yöntemlerini kullanarak Diophantus'un kaç yıl yaşadığını hesaplamak mümkündür.

Diophantus'un x yıl yaşamasına izin verin. Denklemi oluşturup çözelim:

Kesirlerden kurtulmak için denklemi 84 ile çarpalım:

Böylece Diophantus 84 yıl yaşadı.

En gizemli olanı Diophantus'un eseridir. Birleştirilen on üç kitaptan altısı bize ulaştı; bu kitapların üslubu ve içeriği, sayılar teorisi ve cebir üzerine klasik antik eserlerden oldukça farklıdır; bunların örneklerini Öklid, onun >, eserlerinden lemmalardan biliyoruz. Arşimed ve Apollonius'un. > şüphesiz tamamen bilinmeyen çok sayıda çalışmanın sonucuydu.

Köklerini ancak tahmin edebiliriz ve yöntemlerinin ve sonuçlarının zenginliğine ve güzelliğine hayran kalabiliriz.

> Diophanta, her birinin bir çözümü olan bir sorun koleksiyonudur (toplamda 189). İçindeki problemler dikkatle seçilmiştir ve çok spesifik, kesinlikle düşünülmüş yöntemleri açıklamaya hizmet etmektedir. Eski zamanlarda alışılmış olduğu gibi, yöntemler genel bir biçimde formüle edilmez, benzer sorunları çözmek için tekrarlanır.

Efsaneye göre mezar taşına oyulmuş ve bir bulmaca görevini temsil eden Diophantus'un benzersiz bir biyografisi güvenilir bir şekilde bilinmektedir:

Bu bulmaca Diophantus'un çözdüğü sorunlara bir örnek teşkil ediyor. Tam sayılarla ilgili problemlerin çözümünde uzmanlaştı. Bu tür problemler şu anda Diophantine problemleri olarak biliniyor.

Diophantine denklemlerinin incelenmesi genellikle büyük zorluklarla ilişkilidir.

1900 yılında Paris'te düzenlenen Dünya Matematikçiler Kongresi'nde dünyanın önde gelen matematikçilerinden David Hilbert, matematiğin çeşitli alanlarından 23 problem belirledi. Bu problemlerden biri Diophantine denklemlerini çözme problemiydi. Sorun şuydu: Rastgele sayıda bilinmeyen ve tamsayı katsayıları olan bir denklemi, bir algoritma kullanarak belirli bir şekilde çözmek mümkün mü? Görev şu şekildedir: Belirli bir denklem için, denklemde yer alan değişkenlerin gerçek bir eşitliğe dönüştüğü tüm tamsayı veya doğal değerlerini bulmanız gerekir. Diophantus bu tür denklemler için birçok farklı çözüm buldu. Diophantine denklemlerinin sonsuz çeşitliliği nedeniyle, bunları çözmek için genel bir algoritma yoktur ve neredeyse her denklem için ayrı bir teknik icat edilmesi gerekir.

1. dereceden bir Diophantine denklemi veya iki bilinmeyenli doğrusal bir Diophantine denklemi şu formda bir denklemdir: ax+by=c, burada a,b,c tam sayılardır, OBEB(a,b)=1.

Tamsayılarda iki değişkenin belirsiz birinci derece denklemlerini çözmek için bir algoritmanın derlenebileceği temelinde teoremlerin formülasyonlarını vereceğim.

Teorem 1. Bir denklem varsa, denklemin en az bir çözümü vardır.

Kanıt:

>0 olduğunu varsayabiliriz. X denklemini çözdükten sonra şunu elde ederiz: x = c-vua. Bu formülde y yerine a ve 0'dan küçük tüm doğal sayıları, yani 0;1;2;3; sayılarını yerine koyarsak bunu kanıtlayacağım. ;a-1 ve her bölme işlemi yaptığınızda tüm a kalanları farklı olacaktır. Aslında y yerine a'dan küçük m1 ve m2 sayılarını koyacağım. Sonuç olarak iki kesir elde edeceğim: c-bm1a ve c-bm2a. Bölmeyi gerçekleştirip eksik bölümleri q1 ve q2 ile, geri kalanları da r1 ve r2 ile gösterdikten sonra с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а'yı bulacağım.

r1 ve r2 kalanlarının eşit olduğunu varsayacağım. Daha sonra ikinciyi birinci eşitlikten çıkardığımda şunu elde ederim: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2 veya b(m1 - m2)a = q1-q2.

q1-q2 bir tam sayı olduğundan sol tarafın da bir tam sayı olması gerekir. Dolayısıyla bm1 - m2'nin a'ya bölünebilmesi gerekir, yani her biri a'dan küçük olan iki doğal sayının farkının a'ya bölünebilmesi gerekir ki bu imkansızdır. Bu, r1 ve r2 kalanlarının eşit olduğu anlamına gelir. Yani tüm kalıntılar farklıdır.

O. A'dan daha az çeşitli bakiyeler aldım. Ancak a'yı aşmayan doğal sayıların farklı a'ları 0;1;2;3; sayılarıdır. ;a-1. Sonuç olarak, kalanlar arasında mutlaka sıfıra eşit bir ve yalnızca bir tane olacaktır. (c-vu)a ifadesine ikame edildiğinde 0 kalanını veren ve x=(c-vu)a'yı bir tamsayıya dönüştüren y'nin değeri. Q.E.D.

Teorem 2. Eğer denklemde c bölünemiyorsa, denklemin tamsayı çözümü yoktur.

Kanıt:

m ve n tam sayılar olmak üzere a=md, b=nd olacak şekilde d=OBEB(a;b) olsun. O zaman denklem şu formu alacaktır: mdх+ ndу=с veya d(mх+ nу)=с.

Denklemi sağlayan x ve y tam sayıları olduğunu varsayarsak, c katsayısının d'ye bölünebileceğini buluyorum. Ortaya çıkan çelişki teoremi kanıtlıyor.

Teorem 3. Eğer denklemde ise ve o zaman denklemin eşdeğeridir.

Teorem 4. Bir denklem varsa, bu denklemin tüm tamsayı çözümleri aşağıdaki formüllerde bulunur:

burada x0, y0 denklemin tamsayı çözümüdür, herhangi bir tamsayıdır.

Formüle edilmiş teoremler, tamsayılar biçimindeki bir denklemin çözümü için aşağıdaki algoritmanın oluşturulmasını mümkün kılar.

1. a ve b sayılarının en büyük ortak bölenini bulun, eğer c ile bölünemiyorsa denklemin tamsayı çözümü yoktur; eğer ve sonra

2. Denklem terimini terime bölün ve içinde bir denklem elde edin.

3. 1'i sayıların doğrusal birleşimi olarak temsil ederek denklemin tamsayı çözümünü (x0, y0) bulun;

4. Bu denklemin tamsayı çözümleri için genel bir formül oluşturun; burada x0, y0 denklemin tamsayı çözümüdür ve herhangi bir tamsayıdır.

2. 1 İNİŞ YÖNTEMİ

Birçoğu > belirsiz denklemlerin çözümüne yönelik yöntemlere dayanmaktadır. Örneğin doğum tarihini tahmin etmeyi içeren bir hile.

Arkadaşınızı, doğum tarihinin çarpımına 12 ve doğduğu ayın sayısına 31 eşit sayıların toplamına göre doğum gününü tahmin etmeye davet edin.

Arkadaşınızın doğum gününü tahmin etmek için şu denklemi çözmeniz gerekir: 12x + 31y = A.

Size 380 sayısı verilse, yani 12x + 31y = 380 denklemimiz var. X ve y'yi bulmak için şu şekilde mantık yürütebilirsiniz: 12x + 24y sayısı 12'ye bölünebilir, dolayısıyla özelliklerine göre bölünebilirlik (Teorem 4.4), 7y ve 380 sayısının 12'ye bölündüğünde aynı kalana sahip olması gerekir. 380 sayısı, 12'ye bölündüğünde 8 kalanını verir, dolayısıyla 7y, 12'ye bölündüğünde de 8 kalanını bırakmalıdır ve çünkü y ayın numarasıdır, ardından 1

Çözdüğümüz denklem iki bilinmeyenli 1. derece Diophantine denklemidir. Bu tür denklemleri çözmek için iniş yöntemi adı verilen yöntem kullanılabilir. Bu yöntemin algoritmasını 5x + 8y = 39 özel denklemini kullanarak ele alacağım.

1. Katsayıları en küçük olan bilinmeyeni seçeceğim (bizim durumumuzda x) ve bunu başka bir bilinmeyen aracılığıyla ifade edeceğim:. Bütün kısmı vurgulayacağım: Açıkçası, ifadenin bir tam sayı olduğu ortaya çıkarsa x bir tam sayı olacaktır; bu da, 4 - 3y sayısının 5'e kalansız bölünebildiği durumlarda geçerli olacaktır.

2. Ek bir z tamsayı değişkenini şu şekilde tanıtacağım: 4 - 3y = 5z. Sonuç olarak, orijinaliyle aynı türden ancak daha küçük katsayılı bir denklem elde edeceğim. Bunu y: değişkenine göre çözeceğim. Parçanın tamamını seçtiğimde şunu elde ederim:

Öncekine benzer şekilde akıl yürüterek yeni bir değişken u tanıtıyorum: 3u = 1 - 2z.

3. Bilinmeyeni en küçük katsayı ile, bu durumda z: = değişkeniyle ifade edeceğim. Bunun bir tamsayı olması koşuluyla şunu elde ederim: 1 - u = 2v, dolayısıyla u = 1 - 2v. Artık kesir kalmadı, iniş tamamlandı.

4. Şimdi ihtiyacınız var >. Önce v değişkeni üzerinden ifade edeceğim, sonra y ve sonra da x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.

5. v'nin isteğe bağlı bir tam sayı olduğu x = 3+8v ve y = 3 - 5v formülleri, orijinal denklemin tamsayı cinsinden genel çözümünü temsil eder.

Yorum. Bu nedenle, iniş yöntemi, ilk olarak bir değişkenin diğerine göre, değişkenin temsilinde hiçbir kesir kalmayıncaya kadar sırayla ifade edilmesini ve ardından denklemin genel bir çözümünü elde etmek için bir eşitlikler zinciri boyunca sıralı olarak ifade edilmesini içerir.

2. 2 ANKET YÖNTEMİ

Tavşanlar ve sülünler bir kafeste otururlar; toplam 18 bacakları vardır. Hücrede her ikisinden de kaç tane olduğunu buldunuz mu?

x'in tavşan sayısı, y'nin ise sülün sayısı olduğu iki bilinmeyenli bir denklem oluşturayım:

4x + 2y = 18 veya 2x + y = 9.

Cevap. 1) 1 tavşan ve 7 sülün; 2) 2 tavşan ve 5 sülün; 3) 3 tavşan ve 3 sülün; 4) 4 tavşan ve 1 sülün.

1. PRATİK BÖLÜM

3.1 İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin çözümü

1. 407x - 2816y = 33 denklemini tam sayılarla çözün.

Derlenmiş algoritmayı kullanacağım.

1. Öklid algoritmasını kullanarak 407 ve 2816 sayılarının en büyük ortak bölenini bulacağım:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Dolayısıyla (407,2816) = 11, 33 11'e bölünebilir.

2. Orijinal denklemin her iki tarafını da 11'e bölersek 37x - 256y = 3 ve (37, 256) = 1 denklemini elde ederiz.

3. Öklid algoritmasını kullanarak 1 sayısının 37 ve 256 sayılarına kadar doğrusal bir temsilini bulacağım.

256 = 37 6 + 34;

Son eşitlikten 1'i ifade edeceğim, ardından eşitlikleri art arda yukarıya doğru giderek 3'ü ifade edeceğim; 34 ve elde edilen ifadeleri 1'in yerine koyun.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

83 37 - 256 (- 12)

Dolayısıyla 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, dolayısıyla x0 = - 83 ve y0 = - 12 sayı çifti 37x - 256y = 3 denkleminin bir çözümüdür.

4. t'nin herhangi bir tam sayı olduğu orijinal denklemin çözümlerinin genel formülünü yazacağım.

Cevap. (-83c+bt; -12c-at), t є Z.

Yorum. Eğer (x1,y1) çifti denklemin tamsayı çözümüyse, bu denklemin tüm tamsayı çözümlerinin şu formüller kullanılarak bulunduğu kanıtlanabilir: x=x1+bty=y1-at

2. 14x - 33y=32 denklemini tam sayılarla çözün.

Çözüm: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2y + 5y + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p + Z

1'den 13'e kadar ara

y = 2 olduğunda; (5 [. ] 2 + 4): 14

Orijinal denklemde y = 2'yi yerine koyayım

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66x = 98: 14 = 7

Bulunan bölümden tüm tamsayı çözümlerini bulacağım:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x - 7) - 33(y - 2)=0

14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k + Z

Orijinal denklemde yerine koyayım:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32y = 14k + 2; x = 33k + 7, burada k є Z. Bu formüller orijinal denklemin genel çözümünü belirtir.

Cevap. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.

3. Tam sayılarla x - 3y = 15 denklemini çözün.

OBEB(1,3)=1'i bulacağım

Belirli bir çözüm belirleyeceğim: x=(15+3y):1 numaralandırma yöntemini kullanarak, y=0 değerini buluyorum, sonra x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - özel çözüm.

Diğer tüm çözümler şu formüller kullanılarak bulunur: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z k=0 için, belirli bir çözüm elde ederim (15;0)

Cevap: (3k+15; k), k є Z.

4. 7x - y = 3 denklemini tam sayılarla çözün.

OBEB(7, -1)=1'i bulacağım

Belirli bir çözümü tanımlayacağım: x = (3+y):7

Kaba kuvvet yöntemini kullanarak y є y = 4, x = 1 değerini buluyoruz

Bu, (1;4)'ün özel bir çözüm olduğu anlamına gelir.

Diğer tüm çözümleri şu formülleri kullanarak buluyorum: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

Cevap: (k+1;7k+4); k є Z.

5. 15x+11 y = 14 tamsayı denklemini çözün.

OBEB(15, -14)=1'i bulacağım

Belirli bir çözümü tanımlayacağım: x = (14 - 11y):15

Kaba kuvvet yöntemini kullanarak y є y = 4, x = -2 değerini buluyorum

(-2;4) özel bir çözümdür.

Diğer tüm çözümleri şu formülleri kullanarak buluyorum: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

Cevap: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. 3x - 2y = 12 tam sayı denklemini çözün.

OBEB(3; 2)=1'i bulacağım

Belirli bir çözümü tanımlayacağım: x = (12+2y):3

Kaba kuvvet yöntemini kullanarak y є y = 0, x = 4 değerini buluyorum

(4;0) özel bir çözümdür.

Diğer tüm çözümleri şu formülleri kullanarak buluyorum: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

Cevap: (2k+4; 3k); k є Z.

7. Tam sayılarda xy = x + y denklemini çözün.

xy - x - y + 1 = 1 veya (x - 1)(y - 1) = 1'im var

Bu nedenle x - 1 = 1, y - 1 = 1, dolayısıyla x = 2, y = 2 veya x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, dolayısıyla x = 0, y = 0 tam sayılarda verilen diğer çözümler denklem yoktur.

Cevap. 0;0;(2;2).

8. 60x - 77y = 1 denklemini tam sayılarla çözün.

Bu denklemi x için çözeyim: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.

(17y + 1) / 60 = z olsun, o zaman y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. (9z - 1) / 17'yi t ile gösterirsek, z = (17t) + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Son olarak (- t + 1) / 9 = n olsun, o zaman t = 1- 9n olsun. Denklemin yalnızca tam sayı çözümlerini bulduğum için z, t, n tamsayı olmalıdır.

Böylece, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n ve dolayısıyla y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Dolayısıyla, eğer x ve y belirli bir denklemin tamsayı çözümleriyse, o zaman x = 9 - 77n, y = 7 - 60n olacak şekilde bir n tamsayısı vardır. Tersine, eğer y = 9 - 77n, x = 7 - 60n ise, o zaman açıkçası x, y tam sayılardır. Kontrol, bunların orijinal denklemi karşıladığını gösterir.

Cevap. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.

9. 2x+11y =24 denklemini tam sayılarla çözün.

OBEB(2; 11)=1'i bulacağım

Belirli bir çözümü tanımlayacağım: x = (24-11y):2

Kaba kuvvet yöntemini kullanarak y є y = 0, x = 12 değerini buluyorum

(12;0) özel bir çözümdür.

Diğer tüm çözümleri şu formülleri kullanarak buluyorum: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z

Cevap:(-11k+12; 2k); k є Z.

10. 19x - 7y = 100 denklemini tam sayılarla çözün.

OBEB(19, -7)=1'i bulacağım

Belirli bir çözümü tanımlayacağım: x = (100+7y):19

Kaba kuvvet yöntemini kullanarak y є y = 2, x = 6 değerini buluyorum

(6;2) özel bir çözümdür.

Diğer tüm çözümleri şu formülleri kullanarak buluyorum: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

Cevap:(7k+6; 19k+2); kє Z.

11. 24x - 6y = 144 denklemini tam sayılarla çözün

OBEB(24, 6)=3'ü bulacağım.

Denklemin çözümü yok çünkü OBEB(24, 6)!=1.

Cevap. Hiçbir çözüm yok.

12. Denklemi tam sayılarla çözün.

Bilinmeyenler için katsayıların oranını dönüştürüyorum.

Öncelikle bileşik kesrin tam kısmını vurgulayacağım;

Uygun kesri eşit kesirle değiştireceğim.

O zaman alacağım.

Paydada elde edilen bileşik kesirle aynı dönüşümleri yapacağım.

Şimdi orijinal kesir şu şekli alacaktır:

Kesir için aynı mantığı tekrarladığımda şunu anladım.

Uygunsuz kesrin tamamını ayırarak nihai sonuca varıyorum:

Sonlu sürekli kesir veya sürekli kesir adı verilen bir ifade buldum. Bu devam eden kesirin son halkasını - beşte biri - attıktan sonra, elde edilen yeni sürekli kesri basit bir kesire dönüştüreceğim ve onu orijinal kesirden çıkaracağım.

Ortaya çıkan ifadeyi ortak bir paydaya indirgeyeceğim ve onu atacağım, sonra

Ortaya çıkan eşitliği denklemle karşılaştırdığımızda, bu denklemin bir çözümü olacağı ve teoreme göre tüm çözümlerinin, içinde yer alacağı sonucu çıkar.

Cevap. (9+52t; 22+127t), t є Z.

Elde edilen sonuç, genel durumda, denkleme bir çözüm bulmak için, bilinmeyenlerin katsayılarının oranını sürekli bir kesir halinde genişletmenin, son bağlantısını atmanın ve burada yapılanlara benzer hesaplamalar yapmanın gerekli olduğunu göstermektedir. yukarıda.

13. Tam sayılarda 3xy + 2x + 3y = 0 denklemini çözün.

3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3y + 2) - 2,

(x + 1)(3y + 2) = 2,

3y + 2 = 1 veya 3y + 1 = 2 veya 3y + 1 = -1 veya 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 veya x = 0 veya x = -3 veya x = -2 y cent z, y = 0, y = -1, y cent z.

Cevap: (0;0);(-3;-1).

14. Tam sayılarda y - x - xy = 2 denklemini çözün.

Çözüm: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

y + 1 = 1 veya y + 1 = 3 veya y + 1 = -1 veya y + 1 = -3

1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.

y = 0 veya y = 2 veya y = -2 veya y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2

Cevap: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Tam sayılarla y + 4x + 2xy = 0 denklemini çözün.

Çözüm: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1= 1 veya 2x + 1= 2 veya 2x + 1= -1 veya 2x + 1= -2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 veya y = -1 veya y = -4 veya y = -3 x = 0, x cent Z, x = -1, x cent Z.

Cevap: (-1;-4);(0;0).

16. 5x + 10y = 21 denklemini tam sayılarla çözün.

5(x + 2y) = 21, 21 != 5n olduğuna göre kök yoktur.

Cevap. Kök yok.

17. Doğal sayılarda 3x + 9y = 51 denklemini çözün.

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1cent N.

Cevap:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).

18. 7x+5y=232 denklemini tam sayılarla çözün.

Bu denklemi en küçük (modülo) katsayının bulunduğu bilinmeyene göre yani bu durumda y: y = 232-7x5'e göre çözeceğim.

Bu ifadede x yerine sayıları koyayım: 0;1;2;3;4. Şunu elde ederim: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43,6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8

Cevap. (1;45).

19. 3x + 4y + 5xy = 6 denklemini tam sayılarla çözün.

3∙4 + 5∙6 = 42 = mn'im var

Bölenler 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 ile çözümlerin şöyle olduğunu buldum: x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

Yani bu denklemin tam sayılarda 4 çözümü var, doğal sayılarda ise çözümü yok.

Cevap. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Doğal sayılarda 8x+65y=81 denklemini çözün.

81⋮OBEB(8;65)=>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.

1-y8=t, t Є Z olsun. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 tt=0.

t=0 x=2y=1'de

Cevap. (2;1).

21. 3x+7y=250 denkleminin negatif olmayan tamsayı çözümlerini bulun.

250⋮OEB(3;7) =>denklem tamsayılarla çözülebilir.

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

1-y3=t, tЄ Z olsun.

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

x=81+7tу=1-3t t=-11 ​​​​x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1

Cevap. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Tam sayılarda xy+x+y3=1988 denklemini çözün.

Denklemin her iki tarafını da 3 ile çarpalım. Şunu elde ederiz:

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3х+1)+(3х+у)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

5965=1∙5965 veya 5965=5965∙1 veya 5965=-1∙(-5965) veya 5965=-5965∙(-1) veya 5965=5∙1193 veya 5965=1193∙1 veya 5965=-5∙( -1193) veya 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 tamsayılarda çözümler tamsayılarda çözüm yok hayır

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 tam sayılarda çözüm yok tam sayılarda çözüm yok

7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

Cevap. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3.2 SORUNLARI ÇÖZMEK

Birkaç tür problem vardır, çoğu zaman bunlar Diophantine denklemlerini çözmeye indirgenen Olimpiyat niteliğindeki problemlerdir. Örneğin: a) Belirli bir değere sahip bir miktar paranın değişimine ilişkin görevler.

b) Transfüzyon ve nesnelerin bölünmesiyle ilgili sorunlar.

1. 7'li ve 12'li kutularda 390 adet renkli kalem aldık. Bunlardan ve diğer kutulardan kaç tane satın aldınız?

Şunları belirleyeceğim: x kutuda 7 kalem, y kutuda 12 kalem.

Bir denklem oluşturayım: 7x + 12y = 390

OBEB(7, 12)=1'i bulacağım

Belirli bir çözümü tanımlayacağım: x = (390 - 12y):7

Kaba kuvvet yöntemini kullanarak y є y = 1, x = 54 değerini buluyorum

(54;1) özel bir çözümdür.

Diğer tüm çözümleri şu formülleri kullanarak buluyorum: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

Denklemin birçok çözümünü buldum. Sorunun koşullarını dikkate alarak her iki kutunun olası sayısını belirleyeceğim.

Cevap. Şunları satın alabilirsiniz: 54 kutu 7 kalem ve 1 kutu 12 kalem veya 42 kutu 7 kalem ve 8 kutu 12 kalem veya 30 kutu 7 kalem ve 15 kutu 12 kalem veya 28 kutu 7 kalem ve 22 kalem 12 kalemlik kutu veya 6 kutu 7 kalem ve 29 kutu 12 kalem.

2. Bir dik üçgenin bir bacağı diğerinden 7 cm daha büyüktür ve üçgenin çevresi 30 cm'dir.Üçgenin tüm kenarlarını bulun.

Şunları belirleyeceğim: x cm - bir kenar, (x+7) cm - diğer kenar, y cm - hipotenüs

Diofant denklemini oluşturup çözeceğim: x+(x+7)+y=30

OBEB(2; 1)=1'i bulacağım

Belirli bir çözümü tanımlayacağım: x = (23 - y):2

Kaba kuvvet yöntemini kullanarak y =1 y = 1, x = 11 değerini buluyorum.

(11;1) özel bir çözümdür.

Denklemin diğer tüm çözümlerini şu formülleri kullanarak buluyorum: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

Bir üçgenin herhangi bir kenarının diğer iki kenarın toplamından küçük olduğunu düşünürsek, kenarları 7, 9 ve 14 olan üç üçgenin olduğu sonucuna varırız; 6, 11 ve 13; 5, 13 ve 12. Problemin koşullarına göre bir dik üçgen verilmiştir. Bu, kenarları 5, 13 ve 12 olan bir üçgendir (Pisagor teoremi geçerlidir).

Cevap: Bir bacağı 5 cm, diğeri 12 cm, hipotenüs 13 cm'dir.

3. Birkaç çocuk elma topluyordu. Her erkek 21 kg, kız ise 15 kg topladı. Toplamda 174 kg topladılar. Kaç erkek ve kaç kız elma topladı?

X ve y doğal sayılar olmak üzere x erkek ve y kız olsun. Bir denklem oluşturayım:

Seçim yöntemiyle çözüyorum: x

6 Yalnızca x = 4'te ikinci bilinmeyen pozitif bir tamsayı değeri alır (y = 6). X'in diğer herhangi bir değeri için, y ya kesirli ya da negatif olacaktır. Bu nedenle sorunun tek bir çözümü vardır.

Cevap. 4 erkek ve 6 kız.

4. 3 ruble değerinde kalem ve 6 ruble değerinde 20 ruble değerinde kalem seti oluşturmak mümkün müdür?

Setteki kalem sayısına x ve kalem sayısına y diyelim.

Bir denklem oluşturayım:

Herhangi bir x ve y tam sayısı için denklemin sol tarafı 3'e bölünebilir olmalıdır; sağ taraf 3'e bölünemez. Bu, denklemimizi sağlayacak hiçbir x ve y tam sayısının olmadığı anlamına gelir. Bu denklem tam sayılarla çözülemez. Böyle bir set oluşturmak imkansızdır.

Cevap. Hiçbir çözüm yok.

5. 3'e bölündüğünde 2 kalanını, 5'e bölündüğünde ise 3 kalanını veren bir doğal sayı bulun.

Gerekli sayıyı x ile göstereceğim. Eğer x'in 3'e y'ye bölümünü ve 5'e z'ye bölünme bölümünü gösterirsem şunu elde ederim: x=3y+2x=5z+3

Problemin anlamına göre x, y ve z doğal sayılar olmalıdır. Bu, tam sayılarda belirsiz bir denklem sistemini çözmemiz gerektiği anlamına gelir.

Herhangi bir y ve z tam sayısı için x de bir tam sayı olacaktır. İkinci denklemden birinciyi çıkarırım ve şunu elde ederim:

5z - 3y + 1 = 0.

Tüm pozitif tamsayılar y ve z'yi bulduktan sonra, hemen x'in tüm pozitif tamsayı değerlerini elde edeceğim.

Bu denklemden şunu buluyorum:

Bir çözüm açıktır: z = 1 için y = 2 elde ederiz ve x ile y tamsayılardır. x = 8 çözümü bunlara karşılık gelir.

Başka çözümler bulacağım. Bunu yapmak için, z = 1 + u şeklinde ayarlanan bir yardımcı bilinmeyen u tanıtacağım. Alacağım:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, yani 5u = 3y - 6 veya 5u = 3(y - 2).

Son denklemin sağ tarafı herhangi bir y tamsayısı için 3'e bölünebilir. Bu, sol tarafın da 3'e bölünebilmesi gerektiği anlamına gelir. Ancak 5 sayısı, 3 sayısıyla aralarında asaldır; bu nedenle u 3'e bölünebilir olmalıdır, yani 3n biçiminde olmalıdır; burada n bir tam sayıdır. Bu durumda y eşit olacaktır

15n/3 + 2 = 5n + 2, yani aynı zamanda bir tamsayı. Yani z = 1 + u = 1 + 3n, dolayısıyla x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Sonuç bir değil, x için sonsuz bir değer kümesidir: x = 8 + 15n; burada n bir tam sayıdır (pozitif veya sıfır):

Cevap. x=8+15n; n = 0;1;2;

6. Denekler Şah'a hediye olarak 300 değerli taş getirdiler: her biri 15'er adetlik küçük kutularda ve 40 adetlik büyük kutularda. Küçüklerin sayısının büyüklere göre daha az olduğu biliniyorsa, bunlardan ve diğer kutulardan kaç tane vardı?

Küçük kutuların sayısını x, büyük kutuların sayısını da y ile göstereyim.

15x+40y=300. 5'e kadar keseceğim.

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X=20-2y-2y3

Bir kesrin değerinin tam sayı olabilmesi için 2y'nin 3'ün katı olması gerekir, yani 2y = 3c.

Y değişkenini ifade edip tüm kısmı seçeceğim:

Z, 2'nin katı olmalıdır, yani z=2u.

x ve y değişkenlerini u cinsinden ifade edeyim:

X=20-2y-2y3

Х=20-2∙3u-2∙3u3

Bir eşitsizlik sistemi oluşturup çözeceğim:

Çözümlerin tamamını yazacağım: 1; 2. Şimdi u=1 için x ve y değerlerini bulacağım; 2.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

Cevap. 4 küçük kutu; 6 büyük kutu.

7. İki Ural 5557 araba verildi, arabalar Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk uçuşuyla gönderildi. Bu uçuşu tamamlamak için toplamda 4 ton dizel yakıt ve 2 sürücüye ihtiyaç duyuldu. Toplamda 76.000 ruble harcandığı biliniyorsa, nakliye maliyetlerinin yani 1 ton mazot maliyetinin ve bu uçuşu gerçekleştiren sürücülerin ücretlerinin belirlenmesi gerekiyor.

1 ton dizel yakıtın maliyeti x ruble, sürücü ücretleri de x ruble olsun. Daha sonra uçuşta (4x + 2y) ruble harcandı. Ve sorunun koşullarına göre 76.000 ruble harcandı.

Denklemi alıyorum:

Bu denklemi çözmek için kaba kuvvet yöntemi emek yoğun bir süreç olacaktır. Bu yüzden > yöntemini kullanacağım.

Y'den x'e kadar olan değişkeni ifade edeceğim, tüm kısmı seçeceğim ve şunu elde edeceğim: (1).

Bir kesrin değerinin tam sayı olabilmesi için 2x'in 4'ün katı olması gerekir. Yani 2x = 4z, burada z bir tam sayıdır. Buradan:

X'in değerini ifade (1)'de yerine koyacağım:

x, y 0, sonra 19000 z 0 olduğundan, 0'dan 19000'e kadar z tamsayı değerleri vererek aşağıdaki x ve y değerlerini elde ederim: z

Taşıma maliyetlerine ilişkin gerçek verilerden 1 ton dizel yakıtın (x) 18.000 rubleye mal olduğu bilinmektedir. ve (y) uçuşunu gerçekleştiren sürücüler için ödeme 10.000 ruble. (veriler yaklaşık olarak alınmıştır). Tablodan, 18000'e eşit x değerinin ve 10000'e eşit y değerinin 9000'e eşit bir z değerine karşılık geldiğini buluyoruz, aslında: ;.

8. 27 ruble miktarını kaç şekilde toplayabilirsiniz? , bir sürü iki ruble ve beş rublelik madeni paranız mı var?

Şunu belirteyim: x iki rublelik madeni paralar ve y beş rublelik madeni paralar

Problemin durumunu dikkate alarak 2x + 5y = 27 denklemini oluşturacağım.

OBEB(2;5)=1'i bulacağım

Belirli bir çözümü tanımlayacağım: x = (27-5y):2

Kaba kuvvet yöntemini kullanarak y є y = 1, x = 11 değerini buluyorum

(11;1) özel bir çözümdür.

Diğer tüm çözümler şu formüller kullanılarak bulunur: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

Bu denklemin birçok çözümü var. Sunulan paralarla 27 ruble miktarını toplayabileceğiniz tüm yolları bulalım. k

Cevap. Çok sayıda iki ruble ve beş rublelik madeni paranız varsa, bu tutarı toplamanın üç yolu vardır.

9. Diyelim ki ahtapotlar ve deniz yıldızları bir akvaryumda yaşıyor. Ahtapotların 8, deniz yıldızlarının 5 bacağı vardır. Toplamda 39 uzuv vardır. Akvaryumda kaç hayvan vardır?

Deniz yıldızı sayısı x, ahtapot sayısı y olsun. O halde tüm ahtapotların 8 bacağı ve tüm yıldızların 5 bacağı vardır.

Bir denklem oluşturayım: 5x + 8y = 39.

Hayvan sayısının tam sayı olmayan veya negatif sayılarla ifade edilemeyeceğini lütfen unutmayın. Bu nedenle, eğer x negatif olmayan bir tam sayı ise, o zaman y = (39 - 5x)/8 de bir tam sayı olmalı ve negatif olmamalıdır ve bu nedenle 39 - 5x ifadesinin 8'e a olmadan bölünebilmesi gerekir. Basit bir seçenek araştırması bunun yalnızca x = 3 ve ardından y = 3 olduğunda mümkün olduğunu gösterir.

Cevap: (3; 3).

10. Bir mobilya fabrikası üç ve dört ayaklı tabureler üretmektedir. Usta 18 bacak yapmış. Tüm bacakların kullanılabilmesi için kaç tabure yapılabilir?

Üç ayaklı taburelerin sayısı x, dört ayaklı taburelerin sayısı da y olsun. O zaman 3x + 4y = 18 olur.

4y =18 - 3x'im var; y = 3(6 - x):4.

Şunu elde ederim: x = 2; y = 3 veya x = 6; y = 0.

x 6 olduğundan başka çözüm yok.

Cevap. 2;3;(6;0).

11. Kabinlerde boş koltuk kalmaması için 4 ve 8 yataklı kabinlerde 718 kişinin konaklaması mümkün müdür?

4 yataklı kabinlere x ve 8 yataklı kabinlere y diyelim, o zaman:

2(x + 2y) = 309

Cevap. Yasaktır.

12. 124x + 216y = 515 doğrusu üzerinde koordinatları tam sayı olan tek bir noktanın olmadığını kanıtlayın.

GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, bu da tamsayı çözümlerin olmadığı anlamına gelir.

Cevap. Hiçbir çözüm yok.

13. Malların maliyeti 23 ruble, alıcının yalnızca 2 ruble parası var ve kasiyerin 5 ruble parası var. Önce para alışverişi yapmadan satın alma işlemi yapmak mümkün müdür?

X, 2 rublelik madeni paraların sayısı, y ise 5 rublelik madeni paraların sayısı olsun, o zaman 2x - 5y = 23 olsun, burada x,y є N.

Şunu elde ediyorum: 2x = 23 + 5y, buradan x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x, eğer 1 + y2 bir tam sayı ise, bir tam sayı olacaktır.

1 + y2 = t, burada t Euro Z, bu durumda y = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

İle. x = 5t + 9 ve y = 2t - 1, burada t є z.

Problemin birçok tamsayı çözümü vardır. Bunlardan en basiti t = 1, x =14, y = 1 içindir, yani alıcı on dört adet 2 rublelik jeton verecek ve değişim olarak bir adet 5 rublelik jeton alacaktır.

Cevap. Olabilmek.

14. Mağazanın ticari defterleri incelendiğinde, kayıtlardan birinin mürekkeple kaplı olduğu ve şöyle göründüğü ortaya çıktı:

> Satılan metre sayısını tespit etmek imkansızdı ama bu rakamın kesirli olmadığına şüphe yoktu; gelirlerde sadece son üç rakamı ayırt etmek mümkün olduğu gibi, önlerinde üç rakam daha olduğunu tespit etmek de mümkün oldu. Bu verileri kullanarak bir kaydı geri yüklemek mümkün müdür?

Metre sayısı x olsun, o zaman malın kopek cinsinden maliyeti 4936x olur. Doldurulmuş üç rakamın toplamını y olarak gösteriyoruz, bu bin kopek sayısıdır ve kopek cinsinden tutarın tamamı şu şekilde ifade edilecektir (1000y + 728).

4936x = 1000y + 728 denklemini elde ediyorum, 8'e bölüyorum.

617x - 125y = 91, burada x,y є z, x,y

125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =

5x - 1 + 2t, burada t = 17 - 4x125, t Euro Z.

t = (17 - 4x)/125 denkleminden x = 4 - 31t + 1 - t4 = elde ediyorum

4 - 31t + t1, burada t1 = 1 - t4, dolayısıyla t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

Koşullu olarak biliyorum ki 100

100 = 234/617 ve t1

Bu, 98 metrenin 4837,28 rubleye satıldığı anlamına geliyor. Kayıt geri yüklendi.

Cevap. 98 metre serbest bırakıldı.

15. Bir ruble için 40 kopek, 4 kopek ve 12 kopek olmak üzere 40 posta pulu satın alınması gerekmektedir. Her mezhepten kaç tane pul satın alabilirsiniz?

İki denklem oluşturabilirsiniz: x + 4y + 12z = 100 ve x + y + z = 40; burada x, kuruş marklarının sayısıdır, y, 4 kopeklik markların sayısıdır, z, 12 kopeklik markların sayısıdır . İkinciyi birinci denklemden çıkarırım ve şunu elde ederim:

3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.

Z3 = t, z = 3t olsun, burada t Euro Z. O zaman x + y + z = 40 ve z = 3t ve y = 20 - 11t, x = 20 + 8t ise elde ederim.

x >= 0, y >= 0, z >= 0 olduğundan 0 olur

Sonra buna göre şunu elde ederim: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.

Yani pul alımı yalnızca iki şekilde yapılabilir; eğer her mezhepten en az bir pul satın alınması şartı varsa, o zaman tek yolla yapılabilir.

Cevap. 28 mark 1 kopek, 9 mark 4 kopek ve 3 mark 12 kopek.

16. Bir öğrenciye 20 problemden oluşan bir görev verildi. Doğru çözülen her soru için 8 puan alır, çözülmeyen her soru için ise 5 puan kesilir. Üstlenmediği bir görev için - 0 puan. Öğrenci toplamda 13 puan aldı. Kaç problemi çözmeyi üstlendi?

Doğru çözülen problemlere x, yanlış çözülen problemlere y, dikkate alınmayan problemlere ise z diyelim.

O zaman x + y + z = 20 ve 8x - 5y = 13 olur.

y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, ​​​​burada t = x - 15 ve x = 5t + 1.

x + y koşuluna göre

Cevap: Öğrenci 13 problem üstlendi, 6'sını çözdü ve 7'sinde başarısız oldu.

17. Aptal Ivanushka, 2001 başlı Yılan Gorynych ile savaşır. Kılıcını sola doğru sallayan Ivan, 10 baş keser ve karşılığında 16 baş çıkar. Kılıcını sağa sallayarak 15 baş keser ve 6 baş çıkar. Tüm başlar kesilirse yenisi çıkmaz. İstediğiniz sırayla sallanabilirsiniz, ancak 15'ten az gol varsa, o zaman yalnızca sola doğru ve 10'dan azsa, o zaman hiç sallanmayın. Aptal Ivanushka, Yılan Gorynych'i yenebilecek mi?

Sorunu yeniden ifade edeyim: 1986 kellesini kesmek mümkün mü? Daha sonra Ivan, kalan 15 tanesini sağa doğru tek bir darbe ile kesecek ve yenileri çıkmayacak.

Sağa doğru vuruş sayısı x, sola doğru vuruş sayısı y olsun, o zaman 1986 - 9x + 6y = 0.

Denklemin tamamını 6'ya bölersem, şunu elde ederim:

3x - 2y = 662.

y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.

x2 = t, sonra x = 2t ve y = 3t - 331 olsun.

x >= 0, y >= 0 olduğuna göre t >= 111, dolayısıyla t = 111, x = 222, y = 2.

Anladım: 220 kez sağa vurarak Ivan 1980 kafa kesiyor ve Yılanın 21 kafası kaldı; daha sonra sola 2 vuruş yapılır ve Yılan 12 tura çıkarak toplamda 33 tura çıkar; sağa doğru sonraki 2 darbe, Yılan'ın 18 başından mahrum kalır ve Ivan, sağa doğru son darbe ile kalan 15'i keser ve yeni kafalar çıkmaz.

Cevap: Sağa 220 vuruş, sola 2 vuruş ve sağa 3 vuruş daha.

18. Bir zarın kenarları 1, 2, 3, 4, 5, 6 olarak numaralandırılmıştır. Bu tür 5 küpten bir kule inşa ettiler ve üstteki küpü çıkardıktan sonra görünen tüm yüzlerdeki puanların toplamını saydılar. 19 azaldı, hangi sayı üstteki küpün üst kenarı oldu?

Bir küpün noktalarının toplamı 21'dir.

Üstteki küpün alt kenarındaki noktaların sayısı x, bir sonraki küpün üst kenarındaki noktaların sayısı y olsun. Üstteki küpü çıkardığınızda, üstteki küpün noktalarının toplamı (21 - x) olan 5 yüzünün noktaları ve noktaların göründüğü yüz kaybolur, bu da noktaların toplamının şu anlama geldiği anlamına gelir: (21 - x) - y kadar azalır ve koşula göre 19 olur, dolayısıyla:

(21 - x) - y = 19, x + y = 2.

Dolayısıyla y = 2 - x ve koşul 1'e göre

19. Birisi aynı değerden 30 madeni para karşılığında 30 kuş satın aldı. Her 3 serçe için 1 jeton, 2 şakrak kuşu için 1 jeton, 1 güvercin için 2 jeton ödersiniz. Her türden kaç kuş vardı?

x serçe, y şakrak kuşu ve z güvercin olsun. O halde koşula göre x + y + z = 30 ve 13x + 12y + 2z = 30 olur.

x + y + z = 30 ve 2x + 3y + 12z = 180 veya y + 10z = 120, y = 120 - 10z elde ediyorum, burada x koşuluna göre

Dolayısıyla aşağıdaki seçenekler (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

Cevap: serçeler - 0, şakrak kuşları - 20, güvercinler - 10; serçeler - 9, şakrak kuşları - 10, güvercinler - 11; serçeler - 18, şakrak kuşları - 0, güvercinler - 12.

20. Her biri 2'ye indirgendiğinde rakamları çarpımının beş katına eşit olan tüm iki basamaklı sayıları bulun.

Gerekli iki basamaklı sayılar xy olsun.

xy - 2 = 5xy veya (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 denklemi için (x; 2) kümesinden tüm doğal çözümleri bulacağım.

X iki basamaklı sayıların ilk basamağı olduğundan yalnızca 9 değer alabilir.

O. , gerekli sayılar şöyle olacaktır: 12, 22, 32,. , 92.

Cevap. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. 102 cm uzunluğundaki bir telin tamamının kullanılabilmesi için 15 cm ve 12 cm uzunluğunda parçalar halinde kesilmesi gerekmektedir. Nasıl yapılır?

15 cm uzunluğundaki telin parça sayısı x, 12 cm uzunluğundaki telin parça sayısı y olsun.Bir denklem oluşturayım:

15x+12y=102 /:3

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.

1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1.5t t=0;-1 olsun.

Eğer t=0 ise x=6y=1

Eğer t=-1 ise x=2y=6

Cevap. Sorunun iki çözümü var:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. 1987 yılında Petya, doğduğu yılın rakamlarının toplamı kadar yaşlıydı. Hangi yılda doğdu?

Petya'nın 1919'da doğmasına izin verin. Daha sonra 1987'de 1987-19xy veya (1+9+x+y) yaşındaydı. Denklemimiz var:

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.

X ve y'nin ondalık sayı sisteminin rakamları olduğunu düşünürsek, seçim yaparak buluruz: x=3, y=1.

Cevap. Petya 1970 yılında doğdu.

23. Birisi bir mağazadan 19 ruble değerinde bir ürün satın alıyor. Kasiyerin elinde yalnızca 20-beş rublelik banknotlar varken, kendisinin yalnızca 15-üç rublelik banknotları var. Ödeyebilir miyim ve nasıl?

Sorun, Diophantine denklemini pozitif tamsayılarda çözmekle ilgilidir: 3x - 5y = 19, burada x

x>0 ve y>0 olması nedeniyle ve problemin koşulları dikkate alındığında 0 olduğunu tespit etmek kolaydır.

Bu, 2 olası değere yol açar: x

Cevap. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. Sadece 4 ağırlığı 3 g ve 7 ağırlığı 5 g olan bir kap terazisinde 28 g belirli bir maddeyi tartmak mümkün müdür?

Bunu yapmak için denklemi çözmeniz gerekir:

x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

Yani x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Problemin koşullarından y1'e negatif değerler verilemeyeceği sonucu çıkar. Sonraki y1 olmalı

Cevap. 3 gramda 1 ağırlık ve 5 gramda 5 ağırlık.

25. Alıcı mağazadan 21 rubleye satın aldı. mal. Ancak kasiyerin 3 rublesi varken, kendisinin yalnızca 5 rublelik banknotları var. Paranız varsa kasiyere ödeme yapıp yapamayacağınızı ve tam olarak nasıl ödeyebileceğinizi bilmek mi istiyorsunuz?

X, 5 - ruble, y - 3 - ruble sayısı olsun.

Koşula göre x > 0, y > 0 demektir.

Ayrıca t çifttir, aksi halde ne x ne de y tam sayı olacaktır.

t = 4, 6, 8'de. bizde: t

Cevap. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. 110 sayfa kağıt var. Her biri 8 sayfa ve 10 sayfa olan defterlerin dikilmesi gerekmektedir. Kaç tane dikmeniz gerekiyor?

8 sayfalık defterlerin sayısı x, 10 sayfalık defterlerin sayısı y olsun.

Yani t = 0 veya t = - 1

Cevap. 5;7;(10;3).

27. Sayıları ve doğum tarihlerini tahmin etmeye yönelik birçok eski yöntem, Diophantine denklemlerinin çözümüne dayanmaktadır. Örneğin muhatabınızın doğum tarihini (ay ve gün) tahmin etmek için ona iki ürünün eklenmesiyle elde edilen toplamı sormanız yeterlidir: 12'ye kadar tarih numarası (x) ve 31'e kadar ay numarası (y) .

Söz konusu ürünlerin toplamı 330 olsun. Doğum tarihini bulun.

Belirsiz denklemi çözelim: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

Yani doğum tarihi: 6. ayın 12. günü.

28. 51 ruble miktarını iki ruble ve beş rublelik madeni paralarla toplamak mümkün müdür? Mümkünse kaç yol vardır?

X adet iki rublelik madeni para ve beş rublelik madeni para olsun.

1+y2=z olsun, o zaman

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Cevap: 5 yol.

29. 10'lu ve 12'li kutulara iki yüz yumurta koymak mümkün mü? Mümkünse tüm bu yolları bulun.

Her birinde 10 adet olan x kutu olsun ve kutuların her birinde 12 adet olsun. Bir denklem oluşturayım: z = 1, 2, 3

Cevap: 14;5;8;10;(2;15)

30. 257 sayısını iki doğal terimin toplamı olarak düşünün: a) biri 3'ün katı, diğeri 4'ün katıdır; b) Biri 5'in katı, diğeri 8'in katıdır.

Cevap: 1) 249 ve 8; 2) 225 ve 32.

Belirsiz denklemler içeren problemlerde çok çeşitli durumlarla karşılaştım: problem tamamen çözülemez olabilir (Problem 4), sonsuz sayıda çözümü olabilir (Problem 2), birkaç kesin çözümü olabilir; özellikle tek bir benzersiz çözümü olabilir (Sorun 1).

ÇÖZÜM

Kendim için belirlediğim hedefe ulaşıldı. Proje üzerinde çalışmak ilgi uyandırdı ve beni büyüledi. Bu çalışma benden sadece belirli bir matematik bilgisi ve azim gerektirmekle kalmadı, aynı zamanda bana bağımsız keşfetmenin büyük mutluluğunu hissetme fırsatını da verdi.

Diophantine denklemleri Olimpiyat görevlerinde bulunur, bu nedenle mantıksal düşünmeyi geliştirir, matematik kültürü düzeyini artırır ve matematikte bağımsız araştırma çalışması becerilerini aşılar.

Denklemleri ve Diofant denklemlerine indirgenen problemleri çözerken asal sayıların özellikleri, bir polinomu çarpanlara ayırma yöntemi, numaralandırma yöntemi, iniş yöntemi ve Öklid algoritması kullanılır. Bana göre iniş yöntemi en zor olanıdır. Ancak kaba kuvvet yöntemi benim için daha güzel çıktı.

İşimde 54 problem çözdüm.

Bu çalışma okul müfredatının daha derinlemesine anlaşılmasına katkıda bulundu ve ufkumu genişletti.

Bu materyal matematiğe ilgi duyan öğrenciler için faydalı olacaktır. Bazı derslerde ve ders dışı etkinliklerde kullanılabilir.

Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Çalışmanın tam versiyonuna PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir.

Çalışmanın amacı.

Araştırma, sayı teorisinin en ilginç bölümlerinden biri olan tamsayılardaki denklemlerin çözülmesiyle ilgilidir.

Çalışma konusu.

Tamsayı katsayılı ve birden fazla bilinmeyenli tamsayı cebirsel denklemleri çözmek, en zor ve eski matematik problemlerinden biridir ve okul matematik derslerinde yeterince sunulmamaktadır. Çalışmamda tamsayılardaki denklemlerin oldukça eksiksiz bir analizini, bu denklemlerin çözüm yöntemlerine göre sınıflandırılmasını, bunları çözmek için algoritmaların bir tanımını ve tamsayılardaki denklemleri çözmek için her yöntemin kullanımına ilişkin pratik örnekler sunacağım. .

Hedef.

Tamsayılardaki denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenin.

Görevler:

Eğitim ve referans literatürünü inceleyin;

Denklemlerin nasıl çözüleceğine ilişkin teorik materyal toplayın;

Bu tür denklemlerin çözümüne yönelik algoritmaları analiz edin;

Çözümleri açıklayın;

Bu yöntemleri kullanarak denklem çözme örneklerini düşünün.

Hipotez:

Olimpiyat görevlerinde tamsayılarda denklemlerle karşılaştığımda, bunları çözmedeki zorlukların, bunları çözmenin tüm yöntemlerinin benim tarafımdan bilinmemesinden kaynaklandığını varsaydım.

Uygunluk:

Birleşik Devlet Sınavı görevlerinin örnek versiyonlarını çözerken, genellikle tamsayılarda birinci ve ikinci derece denklemleri çözmeye yönelik görevlerin olduğunu fark ettim. Ayrıca çeşitli seviyelerdeki Olimpiyat görevleri, tamsayılarda denklemler veya tamsayılarda denklem çözme yeteneği kullanılarak çözülen problemleri de içerir. Tam sayılarda denklemlerin nasıl çözüleceğini bilmenin önemi araştırmamın uygunluğunu belirler.

Araştırma Yöntemleri

Tam sayılarda denklemlerle ilgili bilimsel literatür bilgilerinin teorik analizi ve genelleştirilmesi.

Tamsayılardaki denklemlerin çözüm yöntemlerine göre sınıflandırılması.

Tam sayılarda denklem çözme yöntemlerinin analizi ve genelleştirilmesi.

Araştırma sonuçları

Çalışma denklemleri çözme yöntemlerini açıklıyor, Fermat teoreminin, Pisagor teoreminin ve Öklid algoritmasının teorik materyalini ele alıyor ve çeşitli karmaşıklık seviyelerindeki problemlere ve denklemlere yönelik çözüm örnekleri sunuyor.

2. Tamsayılarda Denklemlerin Tarihçesi

Diophantus - Antik Yunan bilim adamı - cebirci, bazı kaynaklara göre MS 364'e kadar yaşadı. e. Tam sayılarla ilgili problemlerin çözümünde uzmanlaştı. Diophant denklemleri adı buradan gelmektedir. Diophantus'un çözdüğü en ünlü problem "iki kareye ayrıştırma" problemidir. Bunun eşdeğeri, iyi bilinen Pisagor teoremidir. Diophantus'un hayatı ve çalışmaları İskenderiye'de gerçekleşti; bilinen sorunları toplayıp çözdü ve yenilerini buldu. Daha sonra bunları Aritmetik adlı büyük eserinde birleştirdi. Aritmetiği oluşturan on üç kitaptan yalnızca altısı Orta Çağ'a kadar varlığını sürdürmüş ve Rönesans matematikçileri için bir ilham kaynağı olmuştur.Diophantus'un Aritmetiği, her biri bir çözüm ve gerekli açıklamayı içeren bir problemler koleksiyonudur. Koleksiyonda çeşitli sorunlar yer alıyor ve bunların çözümleri genellikle son derece ustaca. Diophantus yalnızca pozitif tam sayılarla ve rasyonel çözümlerle ilgilenir. İrrasyonel kararları “imkansız” olarak adlandırıyor ve istenen pozitif, rasyonel çözümlerin elde edilmesi için katsayıları dikkatle seçiyor.

Fermat teoremi tamsayılardaki denklemleri çözmek için kullanılır. Kanıtın tarihi oldukça ilginçtir. Pek çok seçkin matematikçi, Büyük Teoremin tam bir kanıtı üzerinde çalıştı ve bu çabalar, modern sayılar teorisinin birçok sonucunun ortaya çıkmasına yol açtı. Yanlış ispat sayısı açısından teoremin ilk sırada yer aldığı düşünülmektedir.

Dikkat çekici Fransız matematikçi Pierre Fermat, n ≥ 3 tamsayısı denkleminin pozitif x, y, z tam sayılarında çözümü olmadığını belirtmiştir (xyz = 0, x, y, z'nin pozitifliği tarafından hariç tutulmuştur. n = 3 durumu için bu, Teorem 10. yüzyılda Orta Asyalı matematikçi el-Hojandi tarafından kanıtlanarak denenmiş, ancak kanıtı günümüze ulaşamamıştır.Bir süre sonra Fermat, n = 4 için özel bir durumun kanıtını kendisi yayınladı.

Euler 1770'te n = 3 durumu için teoremi kanıtladı; Dirichlet ve Legendre 1825'te - n = 5 için, Lame - n = 7 için. Kummer, olası istisna dışında, teoremin 100'den küçük tüm asal sayılar için doğru olduğunu gösterdi. 37, 59, 67'den.

1980'lerde sorunun çözümüne yönelik yeni bir yaklaşım ortaya çıktı. 1983'te Faltings tarafından kanıtlanan Mordell'in varsayımından şu sonuç çıkıyor: denklem

n > 3 için yalnızca sonlu sayıda nispeten basit çözüm bulunabilir.

Teoremin kanıtlanmasındaki son ama en önemli adım Wiles tarafından Eylül 1994'te atıldı. 130 sayfalık kanıtı Annals of Mathematics dergisinde yayınlandı. Kanıt, Alman matematikçi Gerhard Frey'in, Fermat'ın Son Teoreminin Taniyama-Shimura varsayımının bir sonucu olduğu yönündeki varsayımına dayanmaktadır (bu varsayım, J.-P. Serres'in katılımıyla Ken Ribet tarafından kanıtlanmıştır).Wiles ilkini yayınladı. Kanıtının 1993'teki versiyonu (7 yıllık sıkı çalışmanın ardından), ancak çok geçmeden ciddi bir boşluk ortaya çıktı; Richard Lawrence Taylor'ın yardımıyla aradaki fark hızla kapandı. Son versiyon 1995'te yayımlandı. 15 Mart 2016 Andrew Wiles, Abel Ödülü'nü aldı. Şu anda prim 6 milyon Norveç kronu, yani yaklaşık 50 milyon ruble. Wiles'a göre ödül kendisi için "tamamen sürpriz" oldu.

3. Tamsayılarda doğrusal denklemler

Doğrusal denklemler tüm Diophantine denklemlerinin en basitidir.

a ve b'nin bazı sayılar ve x'in bilinmeyen bir değişken olduğu ax=b formundaki bir denkleme, bir bilinmeyenli doğrusal denklem denir. Burada denklemin yalnızca tamsayı çözümlerini bulmamız gerekiyor. a ≠ 0 ise denklemin tamsayı çözümüne ancak b'nin a'ya tamamen bölünebilmesi ve bu çözümün x = b/ph olması durumunda sahip olacağı belirtilebilir. Eğer a=0 ise, b=0 olduğunda denklemin tamsayı çözümü olacaktır ve bu durumda x herhangi bir sayıdır.

Çünkü 12 4'e bölünüyorsa

Çünkü a=o ve b=0 ise x herhangi bir sayıdır

Çünkü 7, 10'a tam olarak bölünemiyorsa çözüm yoktur.

4. Seçenekleri numaralandırma yöntemi.

Seçenekleri numaralandırma yönteminde, sayıların bölünebilirlik işaretlerini dikkate almak ve son numaralandırmanın eşitliği için olası tüm seçenekleri dikkate almak gerekir. Bu yöntem şu sorunları çözmek için kullanılabilir:

№1 49x+69y=602 denkleminin çözümü olan tüm doğal sayı çiftlerinin kümesini bulun

x = denkleminden ifade ederiz,

Çünkü x ve y doğal sayılarsa, x = ≥ 1 ise paydadan kurtulmak için denklemin tamamını 49 ile çarpın:

602'yi sola taşıyın:

51y ≤ 553, y'yi ifade edin, y= 10

Seçeneklerin tam olarak araştırılması denklemin doğal çözümlerinin x=5, y=7 olduğunu gösterir.

Cevap:(5.7).-

№2 Sorunu çözün

2, 4, 7 rakamlarından tek bir rakamın ikiden fazla tekrar edilemeyeceği üç basamaklı bir sayı oluşturmalısınız.

2 rakamıyla başlayan tüm üç basamaklı sayıların sayısını bulalım: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - bunlardan 8 tane var.

Benzer şekilde, 4 ve 7 rakamlarından başlayan tüm üç basamaklı sayıları buluruz: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - ayrıca her birinde 8 sayı vardır. Henüz ayın 24'ü.

Cevap: 24.

5. Sürekli kesir ve Öklid algoritması

Devamlı bir kesir, sıradan bir kesrin formdaki bir ifadesidir.

burada q 1 bir tam sayıdır ve q 2, ..., qn doğal sayılardır. Bu ifadeye sürekli (sonlu sürekli) kesir adı verilir. Sonlu ve sonsuz sürekli kesirler vardır.

Rasyonel sayılar için sürekli kesir sonlu bir forma sahiptir. Ek olarak a i dizisi, bir kesrin pay ve paydasına Öklid algoritması uygulanarak elde edilen bölüm dizisinin tam olarak aynısıdır.

Devamlı kesirli denklemleri çözerken, tamsayılardaki denklemleri çözmenin bu yöntemi için genel bir algoritma derledim.

Algoritma

1) Bilinmeyenler için katsayıların oranını kesir şeklinde oluşturun

2) İfadeyi uygunsuz bir kesire dönüştürün

3) Uygunsuz kesirin tamamını seçin

4) Uygun bir kesri eşit bir kesirle değiştirin

5) Ortaya çıkan uygunsuz kesri paydada kullanarak 3.4'ü yapın

6) Nihai sonuca kadar 5'i tekrarlayın

7) Ortaya çıkan ifadede, devam eden kesrin son halkasını atın, elde edilen yeni sürekli kesri basit bir kesre çevirin ve orijinal kesirden çıkarın.

Örnek№1 Tam sayılarda 127x- 52y+ 1 = 0 denklemini çözün

Bilinmeyenler için katsayıların oranını dönüştürelim.

Öncelikle bileşik kesrin tam kısmını seçelim; = 2 +

Uygun kesri eşit kesirle değiştiririz.

Başlangıç ​​= 2+

Paydada elde edilen uygunsuz kesirle aynı dönüşümleri yapalım.

Şimdi orijinal kesir şu şekli alacaktır: Elde ettiğimiz kesir için aynı mantığı tekrarlarsak, bileşik kesrin tamamını ayırarak nihai sonuca ulaşırız:

Sonlu sürekli kesir adı verilen bir ifade elde ettik. Bu devam eden kesirin son halkasını - beşte biri - attıktan sonra, elde edilen yeni sürekli kesri basit bir kesire çeviririz ve onu orijinal kesirden çıkarırız:

Ortaya çıkan ifadeyi ortak bir paydaya indirgeyelim ve onu atalım.

127∙9-52∙22+1=0 nereden geliyor? Ortaya çıkan eşitliği 127x- 52y+1 = 0 denklemiyle karşılaştırdığımızda orijinal denklemin çözümü x= 9, y= 22 olur ve teoreme göre tüm çözümleri x ilerlemesinde yer alacaktır. = 9+ 52t, y= 22+ 127t , burada t=(0; ±1; ±2…..) Elde edilen sonuç genel durumda ax+by+c= denklemine bir çözüm bulunması gerektiğini göstermektedir. 0, bilinmeyenlerin katsayılarının oranını sürekli bir kesire genişletmek, son bağlantısını atmak ve yukarıda verilenlere benzer hesaplamalar yapmak gerekir.

Bu varsayımı kanıtlamak için sürekli kesirlerin bazı özelliklerine ihtiyacımız olacak.

İndirgenemez bir kesri ele alalım. A'nın b'ye bölümünden kalan bölümü q 1 ve r 2 ile gösterelim. Sonra şunu elde ederiz:

O zaman b=q 2 r 2 +r 3 ,

Benzer

r2 =q3r3 +r4, ;

r3 =q4r4 +r5,;

………………………………..

q 1, q 2,... niceliklerine eksik bölümler denir. Yukarıdaki eksik bölümlerin oluşum sürecine denir Öklid algoritması. r 2 , r 3 ,…bölümünden kalanlar eşitsizlikleri karşılar

onlar. negatif olmayan bir dizi azalan sayı oluşturur.

Örnek No. 2 170x+190y=3000 denklemini tam sayılarla çözün

10 azaltıldıktan sonra denklem şöyle görünür:

Belirli bir çözüm bulmak için bir kesirin sürekli kesire ayrıştırılmasını kullanırız.

Kendisiyle eşleşen sondan bir önceki kesri sıradan bir kesir haline getirerek

Bu denklemin özel bir çözümü şu şekildedir:

X 0 = (-1)4300∙9=2700, y 0 =(-1)5300∙8=-2400,

ve genel olanı formülle verilir

x=2700-19k, y= -2400+17k.

buradan k parametresinin koşulunu elde ederiz

Onlar. k=142, x=2, y=14. .

6. Çarpanlara ayırma yöntemi

Seçenekleri numaralandırma yöntemi uygunsuz bir yöntemdir, çünkü bu tür çözümlerin sonsuz sayıda olması nedeniyle numaralandırma yoluyla tam çözümler bulmanın imkansız olduğu durumlar vardır. Çarpanlara ayırma yöntemi çok ilginç bir tekniktir ve hem ilköğretim hem de yüksek matematikte bulunur.

Esas olan kimlik dönüşümüdür. Herhangi bir özdeş dönüşümün anlamı, bir ifadenin özünü koruyarak farklı bir biçimde yazılmasıdır. Bu yöntemi kullanma örneklerine bakalım.

№1 Denklemi y tam sayılarında çözün 3 - X 3 = 91.

Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak denklemin sağ tarafını çarpanlara ayırıyoruz:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

91 sayısının tüm bölenlerini yazıyoruz: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Herhangi bir x ve y tamsayısı için sayının

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

bu nedenle denklemin sol tarafındaki her iki faktörün de pozitif olması gerekir. O zaman orijinal denklem bir dizi denklem sistemine eşdeğerdir:

Sistemleri çözdükten sonra tam sayı olan kökleri seçiyoruz.

Orijinal denklemin çözümlerini elde ediyoruz: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Cevap: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 x denklemini sağlayan tüm doğal sayı çiftlerini bulun 2 -y 2 = 69

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayıralım ve denklemi forma yazalım.

Çünkü 69 sayısının bölenleri 1, 3, 23 ve 69 sayıları olduğundan 69 iki şekilde elde edilebilir: 69=1·69 ve 69=3·23. X-y > 0 olduğunu düşünürsek, gerekli sayıları bulabileceğimiz iki denklem sistemi elde ederiz:

Bir değişkeni ifade edip ikinci denklemde yerine koyarak denklemlerin köklerini buluyoruz.Birinci sistemin çözümü x=35;y=34, ikinci sistemin çözümü x=13, y=10'dur.

Cevap: (35; 34), (13; 10).

№3 Tamsayılarda x + y = xy denklemini çözün:

Denklemi formda yazalım.

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım. Aldık

İki tam sayının çarpımı yalnızca iki durumda 1'e eşit olabilir: her ikisi de 1 veya -1'e eşitse. İki sistem alıyoruz:

Birinci sistemin çözümü x=2, y=2, ikinci sistemin ise çözümü x=0, y=0'dır Cevap: (2; 2), (0; 0).

№4 Denklemin (x - y) olduğunu kanıtlayın 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30'un tam sayılarda çözümü yoktur.

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıp her iki tarafı da 3'e bölerek aşağıdaki denklemi elde edelim:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

10'un bölenleri ±1, ±2, ±5, ±10 sayılarıdır. Denklemin sol tarafındaki faktörlerin toplamının 0'a eşit olduğuna da dikkat edin. 10 sayısının bölenleri kümesinden 10 sonucunu veren herhangi üç sayının toplamının eşit olmayacağını kontrol etmek kolaydır. 0. Sonuç olarak orijinal denklemin tamsayılarda çözümü yoktur.

7. Artık yöntem

Yöntemin asıl görevi, elde edilen sonuçlara göre denklemin her iki tarafını bir tam sayıya bölerek kalanı bulmaktır. Çoğu zaman elde edilen bilgiler denklemin çözüm kümelerinin olasılığını azaltır. Örneklere bakalım:

№1 Denklemin x olduğunu kanıtlayın 2 = 3y + 2'nin tamsayı çözümü yoktur.

Kanıt.

x, y ∈ N durumunu düşünün. Her iki taraf da 3'e bölündüğünde kalanı düşünün. Denklemin sağ tarafı, herhangi bir y değeri için 3'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Bir doğal sayının karesi olan sol taraf, 3'e bölündüğünde daima 0 veya 1 kalanını verir. Buradan hareketle doğal sayılarda bu denklemin bir çözümünün olmadığını görüyoruz.

Sayılardan birinin 0 olduğu durumu ele alalım. O zaman tam sayılarda çözüm olmadığı açıktır.

Y'nin negatif bir tam sayı olduğu durumun çözümü yoktur çünkü sağ taraf negatif, sol taraf pozitif olacaktır.

X'in negatif bir tam sayı olduğu durumun da çözümü yoktur çünkü (-x) 2 = (x) 2 olması nedeniyle daha önce ele alınan durumlardan birine girer.

Belirtilen denklemin tamsayılarda hiçbir çözümü olmadığı ortaya çıktı ve bunun kanıtlanması gerekiyordu.

№2 Tam sayılarla çözün 3 X = 1 + y 2 .

Bu denklemin çözümünün (0; 0) olduğunu fark etmek zor değil. Geriye denklemin başka tamsayı köklerinin olmadığını kanıtlamak kalıyor.

Durumları ele alalım:

1) Eğer x∈N, y∈N ise 3, kalansız olarak üçe bölünebilir ve 1 + y 2, 3'e bölündüğünde şunu verir:

kalan ya 1 ya da 2'dir. Bu nedenle doğal eşitlik

değerleri x, y imkansızdır.

2) Eğer x negatif bir tam sayı ise, y∈Z, bu durumda 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

eşitlik de imkansızdır. Bu nedenle, (0; 0) tektir

Cevap: (0; 0).

№3 Denklem 2x'i çözün 2 Tamsayılarda -2xy+9x+y=2:

Denklemin sadece birinci dereceden içerdiği bilinmeyeni yani y değişkenini ifade edelim:

2x 2 +9x-2=2xy-y, nereden

Bir polinomu bir polinoma bir “açıya” bölme kuralını kullanarak bir kesrin tüm kısmını seçelim. Şunu elde ederiz:

Açıkçası 2x-1 farkı yalnızca -3, -1, 1 ve 3 değerlerini alabilir.

Geriye bu dört durumu incelemeye devam ediyoruz ve bunun sonucunda çözümleri elde ediyoruz: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Cevap: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Tam sayılarda iki değişkenli denklemlerin değişkenlerden birine göre kare olarak çözülmesine bir örnek

№1 5x denklemini tam sayılarla çözün 2 +5y 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Bu denklem çarpanlara ayırma yoluyla çözülebilir, ancak bu yöntem bu denkleme uygulandığında oldukça emek yoğundur. Daha rasyonel bir yol düşünelim.

Denklemi x değişkenine göre ikinci dereceden biçimde yazalım:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Köklerini buluyoruz.

Bu denklemin ancak ve ancak diskriminant olması durumunda bir çözümü vardır.

bu denklemin sıfıra eşittir, yani. - 9(y+1) 2 =0, dolayısıyla y= - 1.

Eğer y= -1 ise x= 1 olur.

Cevap: (1; - 1).

9.Tamsayılarda denklemleri kullanarak problem çözme örneği.

№ 1. Denklemi doğal sayılarla çözün : burada n>m

n değişkenini m değişkeni aracılığıyla ifade edelim:

625 sayısının bölenlerini bulalım: bu 1; 5; 25; 125; 625

1) m-25 =1 ise m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5 ise m=30, n=150

3) m-25 =25 ise m=50, n=50

4) m-25 =125 ise m=150, n=30

5) m-25 =625 ise m=650, n=26

Cevap: m=150, n=30

№ 2. Denklemi doğal sayılarla çözün: mn +25 = 4m

Çözüm: mn +25 = 4m

1) 4m değişkenini n cinsinden ifade edin:

2) 25 sayısının doğal bölenlerini bulun: bu 1'dir; 5; 25

4-n =1 ise n=3, m=25

4-n=5, sonra n=-1, m=5; 4-n =25, sonra n=-21, m=1 (yabancı kökler)

Cevap: (25;3)

Tamsayılarda bir denklemi çözme görevlerinin yanı sıra, denklemin tamsayı köklerine sahip olmadığını kanıtlamaya yönelik görevler de vardır.

Bu tür problemleri çözerken aşağıdaki bölünebilirlik özelliklerini hatırlamak gerekir:

1) nZ ise; n 2'ye bölünebilirse n = 2k, k ∈ Z olur.

2) Eğer n ∈ Z ise; n 2'ye bölünemiyorsa n = 2k+1, k ∈ Z olur.

3) Eğer n ∈ Z ise; n 3'e bölünebilirse n = 3k, k ∈ Z olur.

4) Eğer n ∈ Z ise; n 3'e bölünemiyorsa n = 3k±1, k ∈ Z olur.

5) Eğer n ∈ Z ise; n 4'e bölünemiyorsa n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Eğer n ∈ Z ise; n(n+1) 2'ye bölünebilirse, n (n+1)(n+2) 2;3;6'ya bölünebilir.

7)n; n+1 göreceli olarak asaldır.

№3 Denklemin x olduğunu kanıtlayın 2 - 3y = 17'nin tamsayı çözümü yoktur.

Kanıt:

x olsun; y - denklemin çözümleri

x 2 = 3(y+6)-1 Çünkü y ∈ Z ise y+6 ∈ Z, yani 3(y+6) 3'e bölünebilir, dolayısıyla 3(y+6)-1 3'e bölünemez, dolayısıyla x 2 3'e bölünemez, dolayısıyla , x 3'e bölünemez, bu da x = 3k±1, k ∈ Z anlamına gelir.

Bunu orijinal denklemde yerine koyalım.

Bir çelişki yaşadık. Bu, denklemin tam çözümünün olmadığı anlamına gelir ve bunun da kanıtlanması gerekir.

10.Pika formülü

Pieck formülü, 1899'da Avusturyalı matematikçi Georg Pieck tarafından keşfedildi. Formül, tıpkı denklemlerdeki tamsayılar gibi çokgenlerden yalnızca tamsayı düğümlerinin alınması nedeniyle tamsayılardaki denklemlerle ilgilidir.

Bu formülü kullanarak, bir kağıt parçası üzerine inşa edilen bir şeklin alanını bir kafeste (üçgen, kare, yamuk, dikdörtgen, çokgen) bulabilirsiniz.

Bu formülde çokgenin içinde ve sınırında tam sayı noktaları bulacağız.

Birleşik Devlet Sınavında çıkacak problemlerde, bir çokgenin verildiği, bir kağıt parçası üzerine kare şeklinde inşa edildiği ve sorunun alanı bulmayla ilgili olduğu bir dizi görev vardır. Hücre ölçeği bir santimetre karedir.

Örnek No.1

M - üçgenin sınırındaki düğüm sayısı (kenarlarda ve köşelerde)

N, üçgenin içindeki düğümlerin sayısıdır.

* “Düğümler” derken çizgilerin kesişimini kastediyoruz. Üçgenin alanını bulalım:

Düğümleri işaretleyelim:

M = 15 (kırmızıyla belirtilmiştir)

N=34 (mavi)

Örnek No.2

Çokgenin alanını bulalım: Düğümleri işaretleyin:

M = 14 (kırmızıyla belirtilmiştir)

N=43 (mavi)

12.İniş yöntemi

Tam sayılarda denklem çözme yöntemlerinden biri olan iniş yöntemi Fermat teoremine dayanmaktadır.

İniş yöntemi, sonsuz azalan pozitif z ile sonsuz çözüm dizisine tek bir çözüm oluşturmayı içeren bir yöntemdir.

Belirli bir denklemi çözme örneğini kullanarak bu yöntemin algoritmasını ele alalım.

Örnek 1. Denklemi 5x + 8y = 39 tam sayılarında çözün.

1) En küçük katsayıya sahip bilinmeyeni (bizim durumumuzda x) seçelim ve onu başka bir bilinmeyenle ifade edelim:

2) Tamsayı kısmını seçelim: Açıkçası, ifadenin bir tam sayı olduğu ortaya çıkarsa x bir tam sayı olacaktır ve bu da 4 - 3y sayısının 5'e kalansız olarak bölünmesi durumunda ortaya çıkacaktır.

3) Ek bir z tamsayı değişkenini şu şekilde tanıtalım: 4 -3y = 5z. Sonuç olarak, orijinaliyle aynı türde ancak daha küçük katsayılı bir denklem elde ederiz.

4) Bunu y değişkenine göre çözeriz, tam olarak 1, 2. noktalarda olduğu gibi mantık yürüterek: Parçanın tamamını seçerek şunu elde ederiz:

5) Öncekine benzer şekilde akıl yürüterek yeni bir değişken u getiriyoruz: 3u = 1 - 2z.

6) Bilinmeyeni en küçük katsayıyla, bu durumda z: değişkeniyle ifade edin. Tamsayı olması koşuluyla şunu elde ederiz: 1 - u = 2v, dolayısıyla u = 1 - 2v. Kesir kalmadı, iniş tamamlandı (bir sonraki değişkenin ifadesinde kesir kalmayıncaya kadar işleme devam ediyoruz).

7) Şimdi “yukarı çıkmanız” gerekiyor. Önce v değişkeni, sonra z, sonra y ve sonra x değişkeni aracılığıyla ifade edelim:

8) v'nin isteğe bağlı bir tam sayı olduğu x = 3+8v ve y = 3 - 5v formülleri, orijinal denklemin tamsayı cinsinden genel çözümünü temsil eder.

Bu nedenle iniş yöntemi, değişkenin temsilinde hiç kesir kalmayıncaya kadar ilk olarak bir değişkenin diğerine göre sırayla ifade edilmesini ve ardından denklemin genel bir çözümünü elde etmek için eşitlikler zinciri boyunca sırayla "yükselmeyi" içerir.

12.Sonuç

Çalışma sonucunda, tamsayılardaki denklemleri çözmedeki zorlukların, bunları çözmenin tüm yöntemlerinin benim tarafımdan bilinmemesinden kaynaklandığı hipotezi doğrulandı. Araştırmam sırasında tam sayılarda denklem çözmenin az bilinen yöntemlerini bulup anlatabildim ve bunları örneklerle gösterebildim. Araştırmamın sonuçları matematiğe ilgi duyan tüm öğrencilere faydalı olabilir.

13. Kaynakça

Kitap kaynakları:

1. N. Ya.Vilenkin ve diğerleri, Cebir ve matematiksel analiz / 10. sınıf, 11. sınıf // M., “Aydınlanma”, 1998;

2. A.F. Ivanov ve diğerleri, Matematik. Sınava hazırlık için eğitim ve öğretim materyalleri // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gelfond, Matematik, sayılar teorisi // Tam sayılarda denklem çözme // LIBROKOM Kitap Evi

İnternet kaynakları:

4. Matematikte birleşik devlet sınavının kontrol ölçüm materyallerinin gösteri versiyonları http://fipi.ru/

5. Tamsayılardaki denklemlerin çözüm örnekleri http://reshuege.ru

6. Tamsayılardaki denklemlerin çözüm örnekleri http://mat-ege.ru

7. Diophant denklemlerinin tarihi http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Diophantus'un Tarihi http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9. Diophant denklemlerinin tarihi http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Diophantus'un Tarihi http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

Tamsayılarda denklem çözme.

Belirsiz denklemler birden fazla bilinmeyen içeren denklemlerdir. Belirsiz bir denklemin tek çözümü ile, verilen denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren bilinmeyenlerin bir dizi değerini kastediyoruz.

Tamsayılı formdaki bir denklemi çözmek için ah + ile = C , Nerede A, B , C - Sıfır dışındaki tamsayılar için bir karar kuralı oluşturmamıza olanak sağlayacak bir takım teorik hükümler sunuyoruz. Bu hükümler aynı zamanda bölünebilirlik teorisinin bilinen gerçeklerine de dayanmaktadır.

Teorem 1.eğer gcd (A, B ) = D , o zaman böyle tamsayılar var X Ve en eşitliğin geçerli olduğu ah + B y = D . (Bu eşitliğe doğrusal kombinasyon veya iki sayının en büyük ortak böleninin sayıların kendisi cinsinden doğrusal temsili denir.)

Teoremin kanıtı, iki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasının eşitliğinin kullanılmasına dayanmaktadır (en büyük ortak bölen, Öklid algoritmasındaki son eşitlikten başlayarak kısmi bölümler ve kalanlar cinsinden ifade edilir).

Örnek.

1232 ve 1672 sayılarının en büyük ortak böleninin doğrusal temsilini bulun.

Çözüm.

1. Öklid algoritmasının eşitliklerini oluşturalım:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, yani (1672.352) = 88.

2) 88'i yukarıda elde ettiğimiz eşitlikleri kullanarak sondan başlayarak eksik bölüm ve kalanlarla sıralı olarak ifade edelim:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, yani. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorem 2. Denklem ise ah + B y = 1 eğer gcd ise (A, B ) = 1 sayısını hayal etmek yeterli 1 a ve sayılarının doğrusal birleşimi olarak B.

Bu teoremin geçerliliği Teorem 1'den kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla denklemin tek bir tamsayı çözümünü bulmak için ah + B y = 1, gcd (a, b) = 1 ise 1 sayısını sayıların doğrusal birleşimi olarak temsil etmek yeterlidir A Ve V .

Örnek.

15x + 37y = 1 denkleminin tamsayı çözümünü bulun.

Çözüm.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorem 3. Eğer Denklem'de ise. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 Ve İle bölünemez D , bu durumda denklemin tamsayı çözümü yoktur.

Teoremi kanıtlamak için bunun tersini varsaymak yeterlidir.

Örnek.

16x - 34y = 7 denkleminin tamsayı çözümünü bulun.

Çözüm.

(16.34)=2; 7, 2'ye bölünemez, denklemin tam sayı çözümü yoktur

Teorem 4. Eğer Denklem'de ise. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 ve c D , o zaman öyle

Teoremi kanıtlarken, birinci denklemin keyfi bir tamsayı çözümünün aynı zamanda ikinci denklemin de çözümü olduğu ve bunun tersinin de geçerli olduğu gösterilmelidir.

Teorem 5. Eğer Denklem'de ise. ah + B y = c gcd(a, B ) = 1, bu durumda bu denklemin tüm tamsayı çözümleri formüllerde bulunur:

T – herhangi bir tamsayı.

Teoremi ispatlarken, öncelikle yukarıdaki formüllerin aslında bu denklemin çözümlerini sağladığı ve ikinci olarak, yukarıdaki formüllerde bu denklemin keyfi bir tamsayı çözümünün yer aldığı gösterilmelidir.

Yukarıdaki teoremler tam sayılarda denklemi çözmek için aşağıdaki kuralı oluşturmamızı sağlar ah + B y = c gcd(a, B ) = 1:

1) Denklemin tamsayı çözümü bulundu ah + B y = 1 1'i sayıların doğrusal birleşimi olarak temsil ederek A VeB (bu denklemin tam çözümlerini bulmanın başka yolları da vardır; örneğin sürekli kesirleri kullanmak);

Vermek T Belirli tamsayı değerleri kullanarak bu denklemin kısmi çözümlerini elde edebilirsiniz: mutlak değerdeki en küçük, pozitif olan en küçük (mümkünse), vb.

Örnek.

Denklemin tamsayı çözümlerini bulun 407x - 2816y = 33.

Çözüm.

1. Bu denklemi basitleştirerek 37x - 256y = 3 formuna getiriyoruz.

2. 37x - 256y = 1 denklemini çözün.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Bu denklemin tüm tamsayı çözümlerinin genel görünümü:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Değişkenlerin tüm olası değerlerinin kapsamlı numaralandırılması yöntemi,

denkleme dahil edilmiştir.

49x + 51y = 602 denkleminin çözümü olan tüm doğal sayı çiftlerinin kümesini bulun.

Çözüm:

X değişkenini denklemden y x = ile ifade edelim.x ve y doğal sayılar olduğundan x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

Seçeneklerin tam olarak araştırılması denklemin doğal çözümlerinin x=5, y=7 olduğunu gösterir.

Cevap: (5;7).

Denklemleri çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözme.

Diophantus, doğrusal denklemlerin yanı sıra ikinci dereceden ve kübik belirsiz denklemleri de dikkate aldı. Bunları çözmek genellikle zordur.

Denklemlere kareler farkı formülünün veya başka bir çarpanlara ayırma yönteminin uygulanabileceği bir durumu ele alalım.

Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + 23 = y 2

Çözüm:

Denklemi şu şekilde yeniden yazalım: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

X ve y tam sayı ve 23 asal sayı olduğundan aşağıdaki durumlar mümkündür:

Ortaya çıkan sistemleri çözerek şunları buluruz:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Bir değişkeni diğerine göre ifade etmek ve kesrin tamamını ayırmak.

Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Çözüm:

Bu denklemden y'den x'e kadar ifade edelim:

y(x - 1) =2 - x 2,

Yazarın bu konuya yaklaşımı tesadüfi değildir. İki değişkenli denklemlerle ilk kez 7. sınıf dersinde karşılaşılmaktadır. İki değişkenli bir denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu, ax + by=c olarak verilen doğrusal bir fonksiyonun grafiğinde açıkça gösterilmiştir. Okul dersinde öğrenciler iki değişkenli iki denklem sistemini incelerler. Sonuç olarak, denklemin katsayısı ile ilgili sınırlı koşullara sahip bir dizi problem ve bunları çözme yöntemleri öğretmenin ve dolayısıyla öğrencinin görüş alanından çıkar.

Tamsayılarda veya doğal sayılarda iki bilinmeyenli bir denklemin çözülmesinden bahsediyoruz.

Okulda 4-6. Sınıflarda doğal sayılar ve tamsayılar işleniyor. Okuldan mezun olduklarında tüm öğrenciler bu sayı kümeleri arasındaki farkları hatırlamayabilir.

Ancak üniversitelere giriş sınavlarında ve Birleşik Devlet Sınavı materyallerinde "tamsayılarda ax + by=c formundaki bir denklemi çözme" gibi bir soruna giderek daha fazla rastlanıyor.

Belirsiz denklemleri çözmek mantıksal düşünmeyi, zekayı ve analize olan ilgiyi geliştirir.

Bu konuyla ilgili birkaç ders geliştirmeyi öneriyorum. Bu derslerin zamanlaması konusunda net tavsiyelerim yok. Bazı unsurlar 7. sınıfta da kullanılabilir (güçlü bir sınıf için). Bu dersler temel alınarak 9. sınıfta meslek öncesi eğitime ilişkin küçük bir seçmeli ders geliştirilebilir. Ve elbette bu materyal 10-11. Sınıflarda sınavlara hazırlanmak için kullanılabilir.

Dersin amacı:

• “Birinci ve ikinci dereceden denklemler” konusundaki bilgilerin tekrarı ve genelleştirilmesi
• konuya bilişsel ilgiyi beslemek
• Analiz etme, genelleme yapma, bilgiyi yeni bir duruma aktarma yeteneğini geliştirmek

Tanım. İki değişkenli doğrusal bir denklem, formun bir denklemidir

mx + ny = k, burada m, n, k sayılardır, x, y ise değişkenlerdir.

Örnek: 5x+2y=10

Tanım. İki değişkenli bir denklemin çözümü, denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren değişkenlerin bir çift değeridir.

Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklemlere eşdeğer denir.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6

Bu denklemin herhangi bir sayıda çözümü olabilir. Bunu yapmak için herhangi bir x değerini alıp ona karşılık gelen y değerini bulmak yeterlidir.

x = 2, y = -2,5 2+6 = 1 olsun

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Sayı çiftleri (2;1); (4;-4) – denklem (1)'in çözümleri.

Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

3) Tarihsel arka plan

Belirsiz (Diophantine) denklemler birden fazla değişken içeren denklemlerdir.

3. yüzyılda. reklam – İskenderiyeli Diophantus, sayılar kümesini rasyonel sayılara genişlettiği ve cebirsel sembolizmi tanıttığı “Aritmetik”i yazdı.

Diophantus ayrıca belirsiz denklemlerin çözümü problemlerini de ele aldı ve ikinci ve üçüncü dereceden belirsiz denklemlerin çözümü için yöntemler verdi.

4) Yeni materyalin incelenmesi.

Tanım: İki bilinmeyen x, y içeren birinci dereceden homojen olmayan Diofant denklemi mx + ny = k formunda bir denklemdir; burada m, n, k, x, y Z k0

Açıklama 1.

Denklem (1)'deki serbest terim k, m ve n sayılarının en büyük ortak bölenine (OBB) bölünemiyorsa, denklem (1)'in tamsayı çözümü yoktur.

Örnek: 34x – 17y = 3.

OBEB (34; 17) = 17, 3 17'ye tam olarak bölünemez, tamsayılarda çözüm yoktur.

k'nin gcd (m, n)'ye bölünmesine izin verin. Tüm katsayıları bölerek m ve n'nin aralarında asal olmasını sağlayabiliriz.

Açıklama 2.

Eğer denklem (1)'deki m ve n göreceli asal sayılar ise bu denklemin en az bir çözümü vardır.

Açıklama 3.

Denklemin (1) m ve n katsayıları eş asal sayılar ise, bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır:

(; ) denklem (1)'in herhangi bir çözümü olduğunda, t Z

Tanım. İki bilinmeyen x, y içeren birinci dereceden homojen bir Diophantine denklemi, mx + ny = 0 formunda bir denklemdir; burada (2)

Açıklama 4.

Eğer m ve n eş asal sayılar ise, o zaman denklem (2)'nin herhangi bir çözümü şu şekildedir:

5) Ev ödevi. Denklemi tam sayılarla çözün:

1. 9x – 18y = 5
2. x + y= xy
3. Birkaç çocuk elma topluyordu. Her erkek 21 kg, kız ise 15 kg topladı. Toplamda 174 kg topladılar. Kaç erkek ve kaç kız elma topladı?

Yorum. Bu ders tam sayılarda denklem çözme örnekleri sunmamaktadır. Bu nedenle çocuklar ödevlerini 1. ifadeye ve seçime göre çözerler.

Ders 2.

1) 9x – 18y = 5

5, 9'a bölünmez, tam sayıların çözümü yoktur.

Seçim yöntemini kullanarak bir çözüm bulabilirsiniz

Cevap: (0;0), (2;2)

3) Bir denklem kuralım:

Erkeklere x, x Z ve kızlara y, y Z diyelim, o zaman 21x + 15y = 174 denklemini oluşturabiliriz.

Bir denklem yazan birçok öğrenci onu çözemeyecek.

Cevap: 4 erkek, 6 kız.

Ödevleri tamamlamada zorluklarla karşılaşan öğrenciler, belirsiz denklemleri çözme yöntemlerini öğrenmeleri gerektiğine ikna oldular. Bunlardan bazılarına bakalım.

I. Bölme kalanlarını dikkate alma yöntemi.

Örnek. Denklemi 3x – 4y = 1 tam sayılarında çözün.

Denklemin sol tarafı 3'e bölünebildiğinden sağ tarafının da bölünmesi gerekir. Üç durumu ele alalım.

Cevap: nerede m Z.

Açıklanan yöntemin, m ve n sayıları küçük değilse, ancak basit faktörlere ayrıştırılabiliyorsa kullanılması uygundur.

Örnek: Tam sayılarda denklemleri çözün.

y = 4n olsun, o zaman 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) 4'e bölünür.

y = 4n+1 ise 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n 4'e bölünemez.

y = 4n+2 ise 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n 4'e bölünemez.

y = 4n+3 ise 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n 4'e bölünemez.

Bu nedenle y = 4n, o zaman

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Cevap: , burada n Z.

II. 2. Dereceden Belirsiz Denklemler

Bugün dersimizde sadece ikinci mertebeden Diophantine denklemlerinin çözümüne değineceğiz.

Ve tüm denklem türlerinden, kareler farkı formülünü veya başka bir çarpanlara ayırma yöntemini uygulayabildiğimiz durumu ele alacağız.

Örnek: Tam sayılarla bir denklem çözün.

13 bir asal sayı olduğundan yalnızca dört şekilde çarpanlara ayrılabilir: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Bu durumları ele alalım

Cevap: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

Örnekler. Denklemi tam sayılarla çözün:

(x - y)(x + y)=4

Cevap: (-2;0), (2;0).

Cevaplar: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Cevap: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Sonuçlar. Tam sayılarda bir denklemi çözmek ne anlama gelir?

Belirsiz denklemleri çözmek için hangi yöntemleri biliyorsunuz?

Başvuru:

Eğitim için alıştırmalar.

1) Tam sayılarla çözün.

2) Denklemin negatif olmayan tamsayı çözümlerini bulun.