Dar açının sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantı. trigonometrik fonksiyonlar. Trigonometrik fonksiyonları bulma kuralları: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant

Trigonometri çalışmamıza bir dik üçgenle başlıyoruz. Sinüs ve kosinüsün yanı sıra dar açının teğet ve kotanjantını tanımlayalım. Bunlar trigonometrinin temelleridir.

Hatırlamak sağ açı 90 dereceye eşit bir açıdır. Diğer bir deyişle, katlanmamış köşenin yarısı.

Keskin köşe- 90 dereceden az.

Geniş açı- 90 dereceden büyük. Böyle bir açıyla ilgili olarak "kör" bir hakaret değil, matematiksel bir terimdir :-)

Bir dik üçgen çizelim. Bir dik açı genellikle belirtilir. Köşenin karşısındaki tarafın aynı harfle, yalnızca küçük olarak gösterildiğine dikkat edin. Böylece A açısının karşısındaki kenar gösterilir.

Bir açı, karşılık gelen Yunan harfiyle gösterilir.

Hipotenüs Dik üçgen, dik açının karşısındaki kenardır.

bacaklar- keskin köşelerin karşısındaki taraflar.

Köşenin karşısındaki bacağa denir zıt(açıya göre). Köşenin bir tarafında kalan diğer bacağa denir. bitişik.

Sinüs Bir dik üçgende dar açı, karşı bacağın hipotenüse oranıdır:

Kosinüs dik üçgende dar açı - bitişik bacağın hipotenüse oranı:

Teğet dik üçgende dar açı - karşı bacağın bitişik olana oranı:

Başka bir (eşdeğer) tanım: dar açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:

Kotanjant dik üçgende dar açı - bitişik bacağın karşı tarafa oranı (veya eşdeğer olarak kosinüsün sinüse oranı):

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant için aşağıda verilen temel oranlara dikkat edin. Sorunları çözmede bize faydalı olacaklar.

Bazılarını kanıtlayalım.

Tamam, tanımları verdik ve formüller yazdık. Ama neden sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta ihtiyacımız var?

Biz biliyoruz ki herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı.

arasındaki ilişkiyi biliyoruz. partiler sağ üçgen. Bu Pisagor teoremidir: .

Görünüşe göre bir üçgende iki açıyı bilerek üçüncüyü bulabilirsiniz. Bir dik üçgende iki tarafı bilerek üçüncüyü bulabilirsiniz. Yani, açılar için - oranları, taraflar için - kendi. Ancak, bir dik üçgende bir açı (doğru olan hariç) ve bir taraf biliniyorsa, ancak diğer tarafları bulmanız gerekiyorsa ne yapmalısınız?

İnsanların geçmişte, bölgenin ve yıldızlı gökyüzünün haritalarını çizerek karşı karşıya kaldıkları şey buydu. Sonuçta, bir üçgenin tüm kenarlarını doğrudan ölçmek her zaman mümkün değildir.

Sinüs, kosinüs ve teğet - bunlara aynı zamanda denir açının trigonometrik fonksiyonları- arasındaki oranı ver partiler Ve köşelerüçgen. Açıyı bilerek, tüm trigonometrik fonksiyonlarını özel tablolar kullanarak bulabilirsiniz. Ve bir üçgenin ve kenarlarından birinin sinüslerini, kosinüslerini ve teğetlerini bilerek gerisini bulabilirsiniz.

Ayrıca to'dan "iyi" açılar için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri tablosu çizeceğiz.

Tablodaki iki kırmızı çizgiye dikkat edin. Açıların karşılık gelen değerleri için teğet ve kotanjant yoktur.

FIPI Bankası görevlerinden trigonometrideki birkaç sorunu inceleyelim.

1. Bir üçgende açı , dir. Bulmak .

Sorun dört saniyede çözülür.

Çünkü , .

2. Bir üçgende, açı , , . Bulmak .

Pisagor teoremi ile bulalım.

Sorun çözüldü.

Genellikle problemlerde açıları olan ve veya açıları ve olan üçgenler vardır. Onlar için temel oranları ezbere ezberleyin!

Açıları olan bir üçgen için ve açının karşısındaki bacak şuna eşittir: hipotenüsün yarısı.

Açıları olan bir üçgen ve ikizkenardır. İçinde, hipotenüs bacaktan kat daha büyüktür.

Dik üçgenleri çözmek için - yani bilinmeyen kenarları veya açıları bulmak için - problemler düşündük. Ama hepsi bu değil! Matematikteki sınavın varyantlarında, üçgenin dış açısının sinüsünün, kosinüsünün, tanjantının veya kotanjantının göründüğü birçok görev vardır. Bir sonraki makalede bununla ilgili daha fazla bilgi.

Bir bilim olarak trigonometri, Eski Doğu'da ortaya çıktı. İlk trigonometrik oranlar, gökbilimciler tarafından doğru bir takvim oluşturmak ve yıldızlara göre yön belirlemek için geliştirildi. Küresel trigonometri ile ilgili bu hesaplamalar, okul dersinde ise düz bir üçgenin kenarlarının ve açısının oranını inceliyorlar.

Trigonometri, trigonometrik fonksiyonların özelliklerini ve üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyi inceleyen bir matematik dalıdır.

MS 1. binyılda kültür ve bilimin altın çağında, bilgi Antik Doğu'dan Yunanistan'a yayıldı. Ancak trigonometrinin ana keşifleri, Arap Halifeliği adamlarının erdemidir. Özellikle, Türkmen bilim adamı el-Marazvi, teğet ve kotanjant gibi işlevleri tanıttı, sinüsler, teğetler ve kotanjantlar için ilk değer tablolarını derledi. Sinüs ve kosinüs kavramı Hintli bilim adamları tarafından tanıtıldı. Öklid, Arşimet ve Eratosthenes gibi antik çağın büyük figürlerinin eserlerinde trigonometriye çok dikkat edilir.

Temel trigonometri miktarları

Sayısal bir argümanın temel trigonometrik fonksiyonları sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanttır. Her birinin kendi grafiği vardır: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.

Bu niceliklerin değerlerini hesaplama formülleri Pisagor teoremine dayanmaktadır. Okul çocukları tarafından şu formülasyonda daha iyi bilinir: "Pisagor pantolonu, her yöne eşit", çünkü kanıt bir ikizkenar dik üçgen örneğinde verilmiştir.

Sinüs, kosinüs ve diğer bağımlılıklar, herhangi bir dik üçgenin keskin açıları ve kenarları arasında bir ilişki kurar. A açısı için bu miktarları hesaplamak için formüller veriyoruz ve trigonometrik fonksiyonların ilişkisini izliyoruz:

Gördüğünüz gibi, tg ve ctg ters fonksiyonlardır. A ayağını günah A ve hipotenüs c'nin ürünü olarak ve bacak b'yi cos A * c olarak temsil edersek, teğet ve kotanjant için aşağıdaki formülleri elde ederiz:

trigonometrik daire

Grafiksel olarak, belirtilen miktarların oranı aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Daire, bu durumda, α açısının 0° ila 360° arasındaki tüm olası değerlerini temsil eder. Şekilden de görülebileceği gibi, her fonksiyon açıya bağlı olarak negatif veya pozitif bir değer almaktadır. Örneğin sin α, eğer α dairenin I ve II çeyreklerine aitse, yani 0° ile 180° aralığındaysa “+” işaretli olacaktır. α ile 180° ila 360° (III ve IV çeyrekler), sin α yalnızca negatif bir değer olabilir.

Belirli açılar için trigonometrik tablolar oluşturmaya çalışalım ve miktarların anlamını bulalım.

α'nın 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ve benzeri değerlere eşit olması özel durumlar olarak adlandırılır. Onlar için trigonometrik fonksiyonların değerleri hesaplanır ve özel tablolar şeklinde sunulur.

Bu açılar tesadüfen seçilmedi. Tablolardaki π gösterimi radyan içindir. Rad, dairesel bir yayın uzunluğunun yarıçapına karşılık geldiği açıdır. Bu değer, evrensel bir ilişki kurmak için verilmiştir; radyan cinsinden hesaplanırken, cm cinsinden yarıçapın gerçek uzunluğu önemli değildir.

Trigonometrik fonksiyonlar için tablolardaki açılar radyan değerlere karşılık gelir:

Dolayısıyla 2π'nin tam daire veya 360° olduğunu tahmin etmek zor değil.

Trigonometrik fonksiyonların özellikleri: sinüs ve kosinüs

Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjantın temel özelliklerini dikkate almak ve karşılaştırmak için fonksiyonlarını çizmek gerekir. Bu, iki boyutlu bir koordinat sisteminde bulunan bir eğri şeklinde yapılabilir.

Sinüs dalgası ve kosinüs dalgası için karşılaştırmalı bir özellik tablosu düşünün:

Bir fonksiyonun çift olup olmadığını belirlemek çok basittir. Trigonometrik nicelik işaretleri olan bir trigonometrik daire hayal etmek ve grafiği OX eksenine göre zihinsel olarak "katlamak" yeterlidir. İşaretler aynı ise fonksiyon çift, aksi halde tektir.

Radyanların tanıtılması ve sinüzoidal ve kosinüs dalgasının ana özelliklerinin sıralanması, aşağıdaki modeli getirmemize izin verir:

Formülün doğruluğunu kontrol etmek çok kolaydır. Örneğin, x = π/2 için sinüs, x = 0'ın kosinüsü gibi 1'e eşittir. Verilen değerler için tablolara bakarak veya fonksiyon eğrilerini izleyerek kontrol yapılabilir.

Tanjantoid ve kotangentoidin özellikleri

Teğet ve kotanjant fonksiyonların grafikleri, sinüzoidal ve kosinüs dalgasından önemli ölçüde farklıdır. tg ve ctg değerleri birbirine terstir.

1. Y = tgx.
2. Teğet, y'nin x = π/2 + πk'deki değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
3. Tanjantoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, yani işlev tektir.
5. Tg x = 0, x = πk için.
6. Fonksiyon artıyor.
7. Tg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ için (— π/2 + πk, πk).
9. Türev (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Metinde aşağıdaki kotanjantoidin grafik gösterimini düşünün.

Kotanjantoidin ana özellikleri:

1. Y = ctgx.
2. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından farklı olarak tanjantoidde Y, tüm gerçek sayılar kümesinin değerlerini alabilir.
3. Kotanjantoid, x = πk'deki y değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
4. Kotanjantoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, yani işlev tektir.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk için.
7. Fonksiyon azalıyor.
8. Ctg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ için (π/2 + πk, πk).
10. Türev (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Sabit

Bence sen bundan daha fazlasını hak ediyorsun. İşte benim trigonometri anahtarım:

• Kubbeyi, duvarı ve tavanı çizin
• Trigonometrik fonksiyonlar, bu üç formun yüzdelerinden başka bir şey değildir.

Sinüs ve kosinüs metaforu: kubbe

Üçgenlerin kendilerine bakmak yerine, gerçek hayattan belirli bir örnek bularak onları çalışırken hayal edin.

Bir kubbenin ortasında olduğunuzu ve bir film projektör perdesini asmak istediğinizi hayal edin. Parmağınızı kubbeye bir "x" açısıyla doğrultuyorsunuz ve bu noktadan bir ekran asılmalıdır.

İşaret ettiğiniz açı şunları belirler:

• sinüs(x) = sin(x) = ekran yüksekliği (yerden kubbeye montaj noktası)
• kosinüs(x) = cos(x) = sizden ekrana olan mesafe (kat bazında)
• hipotenüs, sizden ekranın üst kısmına olan mesafe, her zaman aynı, kubbenin yarıçapına eşittir

Ekranın olabildiğince büyük olmasını ister misiniz? Hemen üstünüze asın.

Ekranın sizden olabildiğince uzağa sarkmasını ister misiniz? Düz dik olarak asın. Ekran bu konumda sıfır yüksekliğe sahip olacak ve istediğiniz kadar geriye doğru sarkacaktır.

Ekrandan yükseklik ve mesafe ters orantılıdır: ekran ne kadar yakınsa, yüksekliği o kadar yüksek olacaktır.

Sinüs ve kosinüs yüzdedir

Çalışma yıllarımda ne yazık ki kimse bana sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonlarının yüzdelerden başka bir şey olmadığını açıklamadı. Değerleri +%100 ile 0 ile -%100 arasında veya pozitif maksimumdan sıfıra ve negatif maksimuma kadar değişir.

Diyelim ki 14 ruble vergi ödedim. Ne kadar olduğunu bilmiyorsun. Ama verginin yüzde 95'ini ben ödedim derseniz, derimi bir yapışkan gibi yüzdüğümü anlayacaksınız.

Mutlak yükseklik hiçbir şey ifade etmez. Ancak sinüs değeri 0,95 ise, TV'nin neredeyse kubbenizin üzerinde asılı olduğunu anlıyorum. Çok yakında kubbenin ortasında maksimum yüksekliğe ulaşacak ve ardından tekrar alçalmaya başlayacak.

Bu yüzdeyi nasıl hesaplayabiliriz? Çok basit: mevcut ekran yüksekliğini mümkün olan maksimum değere bölün (kubbenin yarıçapı, aynı zamanda hipotenüs olarak da adlandırılır).

Bu yüzden bize “kosinüs = karşı bacak / hipotenüs” söylendi. Bunların hepsi bir yüzde almak için! Sinüsü tanımlamanın en iyi yolu, "mevcut yüksekliğin mümkün olan maksimum değerden yüzdesi" dir. (Açınız "yeraltını" gösteriyorsa sinüs negatif olur. Açı arkanızdaki kubbe noktasını gösteriyorsa kosinüs negatif olur.)

Birim çemberin (yarıçap = 1) merkezinde olduğumuzu varsayarak hesaplamaları basitleştirelim. Bölmeyi atlayıp sinüsü yüksekliğe eşit alabiliriz.

Aslında her daire tektir, büyütülür veya istenen boyuta küçültülür. Böylece birim çember üzerindeki ilişkileri belirleyin ve sonuçları kendi daire boyutunuza uygulayın.

Deney: herhangi bir köşeyi alın ve yüksekliğin genişliğe yüzde kaçını gösterdiğine bakın:

Sinüs değerinin büyümesinin grafiği sadece düz bir çizgi değildir. İlk 45 derece yüksekliğin %70'ini kaplar ve son 10 derece (80°'den 90°'ye) sadece %2'sini kaplar.

Bu sizin için daha net hale getirecektir: Bir daire içinde giderseniz, 0 ° 'de neredeyse dikey olarak yükselirsiniz, ancak kubbenin tepesine yaklaştıkça yükseklik gittikçe daha az değişir.

Teğet ve sekant. Duvar

Bir gün bir komşu bir duvar ördü. sağ arka arkaya senin kubbene Pencere görünümünüzü ve iyi satış fiyatınızı ağlattı!

Ancak bu durumda bir şekilde kazanmak mümkün mü?

Tabii ki evet. Ya komşunun duvarına bir film perdesi assak? Köşeye (x) nişan alın ve şunları elde edin:

• tan(x) = tan(x) = duvardaki ekran yüksekliği
• sizden duvara olan mesafe: 1 (bu sizin kubbenizin yarıçapıdır, duvar sizden hiçbir yere hareket etmez, değil mi?)
• sekant(x) = sec(x) = "merdivenin uzunluğu" kubbenin ortasında duran sizden asılı ekranın tepesine kadar

Teğet veya ekran yüksekliği hakkında birkaç şeyi açıklığa kavuşturalım.

• 0'dan başlar ve sonsuza kadar yükselebilir. En sevdiğiniz filmi izlemek için sonsuz bir tuval elde etmek için ekranı duvarda daha yükseğe ve daha yükseğe uzatabilirsiniz! (Böylesine büyük bir şey için elbette çok para harcamanız gerekecek).
• teğet, sinüsün sadece büyütülmüş halidir! Ve kubbenin tepesine doğru ilerledikçe sinüsün büyümesi yavaşlarken teğet büyümeye devam ediyor!

Sekansu'nun da övünecek bir şeyi var:

• sekant 1'den başlar (merdiven yerde, sizden uzakta duvara doğru) ve oradan yukarıya doğru çıkmaya başlar.
• Kesen her zaman teğetten daha uzundur. Ekranınızı asacağınız eğimli merdiven, ekranın kendisinden daha uzun olmalı, değil mi? (Gerçekçi olmayan boyutlarda, ekran çoooook uzun olduğunda ve merdivenin neredeyse dikey olarak yerleştirilmesi gerektiğinde, boyutları hemen hemen aynıdır. Ancak o zaman bile sekant biraz daha uzun olacaktır).

değerlerin olduğunu unutmayın yüzde. Ekranı 50 derecelik açıyla asmaya karar verirseniz tan(50)=1.19. Ekranınız duvara olan mesafeden (kubbe yarıçapı) %19 daha büyüktür.

(x=0 girin ve sezginizi test edin - tan(0) = 0 ve sec(0) = 1.)

Kotanjant ve kosekant. Tavan

İnanılmaz bir şekilde, komşunuz şimdi kubbenizin üzerine bir tavan yapmaya karar verdi. (Onun nesi var? Görünüşe göre bahçede çıplak dolaşırken onu dikizlemenizi istemiyor...)

Pekala, çatıya bir çıkış yapmanın ve komşuyla konuşmanın zamanı geldi. Eğim açısını seçersiniz ve inşa etmeye başlarsınız:

• çatı çıkışı ile zemin arasındaki dikey mesafe her zaman 1'dir (kubbenin yarıçapı)
• kotanjant(x) = manşon(x) = kubbe üstü ile çıkış noktası arasındaki mesafe
• cosekant(x) = csc(x) = çatıya giden yolunuzun uzunluğu

Teğet ve sekant duvarı, kotanjant ve kosekant ise zemini tanımlar.

Bu seferki sezgisel sonuçlarımız öncekilere benziyor:

• 0° açı yaparsanız çatıya çıkışınız asla tavana ulaşmayacağı için sonsuza kadar sürecektir. Sorun.
• Çatıya giden en kısa "merdiven", zemine 90 derecelik bir açıyla inşa ederseniz elde edilecektir. Kotanjant 0'a eşit olacak (çatı boyunca hiç hareket etmiyoruz, kesinlikle dikey olarak çıkıyoruz) ve kosekant 1'e eşit olacak (“merdivenin uzunluğu” minimum olacaktır).

Bağlantıları Görselleştirin

Her üç durum da kubbe-duvar-zemin kombinasyonunda çizilirse, aşağıdakiler elde edilecektir:

Vay canına, hepsi aynı üçgen, duvara ve tavana ulaşmak için büyütülmüş. Dikey kenarlarımız (sinüs, teğet), yatay kenarlarımız (kosinüs, kotanjant) ve "hipotenüslerimiz" (sekant, kosekant) var. (Oklardan her bir elemanın ne kadar uzağa ulaştığını görebilirsiniz. Kosekant, sizden çatıya olan toplam mesafedir).

Biraz sihir. Tüm üçgenler aynı eşitlikleri paylaşır:

Pisagor teoreminden (a 2 + b 2 = c 2) her üçgenin kenarlarının nasıl bağlandığını görüyoruz. Ayrıca yükseklik-genişlik oranları da tüm üçgenler için aynı olmalıdır. (Sadece en büyük üçgenden küçük olana geri adım atın. Evet, boyut değişti, ancak kenarların oranları aynı kalacak).

Her bir üçgende hangi kenarın 1 (kubbenin yarıçapı) olduğunu bilerek, "sin/cos = tan/1" olduğunu kolayca hesaplayabiliriz.

Bu gerçekleri her zaman basit görselleştirme yoluyla hatırlamaya çalıştım. Resimde bu bağımlılıkları açıkça görebilir ve nereden geldiklerini anlayabilirsiniz. Bu teknik, kuru formülleri ezberlemekten çok daha iyidir.

Diğer Açıları Unutma

Şşşt... Teğetin hep 1'den küçük olduğunu düşünerek tek bir grafiğe takılıp kalmanıza gerek yok. Açıyı artırırsanız duvara ulaşmadan tavana ulaşabilirsiniz:

Pisagor bağlantıları her zaman çalışır, ancak göreli boyutlar farklı olabilir.

(Muhtemelen sinüs ve kosinüs oranının her zaman en küçük olduğunu fark etmişsinizdir, çünkü bunlar bir kubbe içine alınmıştır.)

Özetlemek gerekirse: neyi hatırlamamız gerekiyor?

Çoğumuz için şunun yeterli olacağını söyleyebilirim:

• trigonometri, daireler ve tekrar eden aralıklar gibi matematiksel nesnelerin anatomisini açıklar.
• kubbe/duvar/çatı analojisi, farklı trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösterir.
• trigonometrik fonksiyonların sonucu, senaryomuza uyguladığımız yüzdelerdir.

1 2 + cot 2 = csc 2 gibi formülleri ezberlemenize gerek yok. Yalnızca bir gerçeğin bilgisinin onu anlıyormuş gibi sunulduğu aptalca testler için uygundurlar. Kubbe, duvar ve çatı şeklinde yarım daire çizmek için bir dakikanızı ayırın, elemanları imzalayın ve tüm formüller sizden kağıt üzerinde istenecektir.

Uygulama: Ters Fonksiyonlar

Herhangi bir trigonometrik fonksiyon, girdi olarak bir açı alır ve sonucu yüzde olarak verir. sin(30) = 0.5. Bu, 30 derecelik bir açının maksimum yüksekliğin %50'sini kapladığı anlamına gelir.

Ters trigonometrik fonksiyon sin -1 veya arcsin ("arxine") olarak yazılır. Ayrıca çeşitli programlama dillerinde genellikle asin olarak yazılır.

Yüksekliğimiz kubbe yüksekliğinin %25'i ise açımız nedir?

Oran tablomuzda, sekantın 1'e bölündüğü oranı bulabilirsiniz. Örneğin, sekant 1 (yatayın hipotenüsü) 1 bölü kosinüs'e eşit olacaktır:

Diyelim ki sekantımız 3.5, yani Birim daire yarıçapının %350'si. Bu değer duvara hangi eğim açısına karşılık gelir?

Ek: Bazı örnekler

Sıkıcı görev. "Sinüsü bul" banalını "Maksimumun (hipotenüs) yüzdesi olarak yükseklik nedir?" İle karmaşıklaştıralım.

İlk olarak, üçgenin döndürüldüğüne dikkat edin. Bunda bir yanlışlık yok. Üçgenin de bir yüksekliği vardır, şekilde yeşil renkle gösterilmiştir.

Hipotenüs neye eşittir? Pisagor teoreminden şunu biliyoruz:

3 2 + 4 2 = hipotenüs 2 25 = hipotenüs 2 5 = hipotenüs

İyi! Sinüs, üçgenin en uzun kenarından veya hipotenüsten yüksekliğin yüzdesidir. Örneğimizde sinüs 3/5 veya 0,60'tır.

Elbette birkaç yoldan gidebiliriz. Şimdi sinüsün 0,60 olduğunu biliyoruz ve yayı kolayca bulabiliriz:

Asin(0.6)=36.9

Ve işte başka bir yaklaşım. Üçgenin "duvarla yüz yüze" olduğuna dikkat edin, bu nedenle sinüs yerine teğet kullanabiliriz. Yükseklik 3, duvara olan mesafe 4, dolayısıyla teğet ¾ veya %75'tir. Yüzdeden açıya gitmek için yay teğetini kullanabiliriz:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Örnek: Kıyıya yüzecek misin?

Bir teknedesiniz ve 2 km yol alacak kadar yakıtınız var. Artık kıyıdan 0,25 km uzaktasınız. Yeterli yakıtınız olması için kıyıya maksimum hangi açıda yüzebilirsiniz? Problemin durumuna ek olarak: sadece ark kosinüs değerleri tablomuz var.

Neyimiz var? Ünlü üçgenimizde kıyı şeridi bir “duvar” olarak ve duvara bağlı “merdivenlerin uzunluğu” tekne ile kıyıya mümkün olan maksimum mesafe (2 km) olarak gösterilebilir. Bir sekant ortaya çıkıyor.

İlk olarak, yüzdelere geçmeniz gerekir. 2 / 0.25 = 8'e sahibiz, bu da kıyıya (veya duvara) düz mesafenin 8 katı kadar yüzebileceğimiz anlamına gelir.

"Sekant 8 nedir?" Sorusu ortaya çıkıyor. Ancak elimizde sadece ark kosinüsleri olduğu için buna bir cevap veremiyoruz.

Keseni kosinüs ile eşlemek için önceden türetilmiş bağımlılıklarımızı kullanırız: "sn/1 = 1/cos"

8'in sekant değeri ⅛'nin kosinüsüne eşittir. Kosinüsü ⅛ olan açı acos(1/8) = 82,8'dir. Ve bu, belirtilen miktarda yakıtla bir teknede karşılayabileceğimiz en büyük açıdır.

Fena değil, değil mi? Kubbe-duvar-tavan benzetmesi olmasaydı, bir sürü formül ve hesaplamada kafam karışırdı. Sorunun görselleştirilmesi, çözüm aramayı büyük ölçüde basitleştirir, ayrıca hangi trigonometrik fonksiyonun sonunda yardımcı olacağını görmek ilginçtir.

Her görev için şöyle düşünün: Bir kubbe (sin/cos), bir duvar (tan/sn) veya bir tavan (karyola/csc) ile ilgileniyor muyum?

Ve trigonometri çok daha keyifli hale gelecek. Sizin için kolay hesaplamalar!

Bir açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı, kotanjantı nedir, dik üçgeni anlamanıza yardımcı olacaktır.

Dik üçgenin kenarlarına ne ad verilir? Doğru, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs, dik açının karşısındaki taraftır (bizim örneğimizde, bu taraf \ (AC \) ); bacaklar kalan iki taraftır \ (AB \) ve \ (BC \) (dik açıya bitişik olanlar), ayrıca bacakları \ (BC \) açısına göre düşünürsek, \ (AB \) bacak bitişik bacak ve bacak \ (BC \) karşı taraftır. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve kotanjantı nedir?

bir açının sinüsü- bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.

Bizim üçgenimizde:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

bir açının kosinüsü- bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.

Bizim üçgenimizde:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

açı teğeti- bu, karşı (uzak) bacağın bitişik (yakın) olana oranıdır.

Bizim üçgenimizde:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

bir açının kotanjantı- bu, bitişik (yakın) bacağın karşı (uzak) olana oranıdır.

Bizim üçgenimizde:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için, bunu açıkça anlamanız gerekir. teğet Ve kotanjant sadece bacaklar oturur ve hipotenüs sadece sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:

kosinüs→dokunma→dokunma→bitişik;

Kotanjant→dokunma→dokunma→bitişik.

Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları olarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın bu kenarların uzunluklarına (bir açıda) bağlı olmadığını hatırlamak gerekir. İnanma? Ardından resme bakarak emin olun:

Örneğin, \(\beta \) açısının kosinüsünü ele alalım. Tanım olarak, bir üçgenden \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ancak \(\beta \) açısının kosinüsünü \(AHI \) üçgeninden hesaplayabiliriz: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüs değeri aynı. Böylece sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.

Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve düzeltin!

Aşağıdaki şekilde gösterilen \(ABC \) üçgeni için şunu buluruz: \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Peki, anladın mı? O zaman kendiniz deneyin: aynısını \(\beta \) açısı için hesaplayın.

Yanıtlar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Birim (trigonometrik) daire

Derece ve radyan kavramlarını anlayarak, \ (1 \) yarıçapına eşit bir daire düşündük. Böyle bir daire denir Bekar. Trigonometri çalışmasında çok faydalıdır. Bu nedenle, üzerinde biraz daha ayrıntılı olarak duruyoruz.

Gördüğünüz gibi, bu daire Kartezyen koordinat sisteminde inşa edilmiştir. Çemberin yarıçapı bire eşittir, çemberin merkezi orijinde iken, yarıçap vektörünün ilk konumu \(x \) ekseninin pozitif yönü boyunca sabitlenir (bizim örneğimizde, bu yarıçaptır \(AB \) ).

Daire üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: \(x \) ekseni boyunca koordinat ve \(y \) ekseni boyunca koordinat. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, eldeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik açılı üçgeni hatırlayın. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgen görebilirsiniz. \(ACG \) üçgenini ele alalım. Dikdörtgendir çünkü \(CG \), \(x \) eksenine diktir.

\(ACG \) üçgeninden \(\cos \ \alpha \) nedir? Bu doğru \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ayrıca, \(AC \)'nin birim çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz, dolayısıyla \(AC=1 \) . Bu değeri kosinüs formülümüzde değiştirin. İşte olanlar:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Ve \(ACG \) üçgeninden \(\sin \ \alpha \) nedir? Tabii ki \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Bu formülde \ (AC \) yarıçapının değerini değiştirin ve şunu elde edin:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Peki çembere ait olan \(C\) noktasının koordinatlarını söyleyebilir misiniz? Olamaz mı? Peki ya \(\cos \ \alpha \) ve \(\sin \alpha \)'nin sadece sayı olduğunu anlarsanız? \(\cos \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Tabii ki, koordinat \(x \) ! Ve \(\sin \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Doğru, \(y \) koordinatı! Yani nokta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

O halde \(tg \alpha \) ve \(ctg \alpha \) nedir? Bu doğru, teğet ve kotanjantın uygun tanımlarını kullanalım ve bunu elde edelim. \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ya açı daha büyükse? Burada, örneğin, bu resimdeki gibi:

Bu örnekte ne değişti? Hadi çözelim. Bunu yapmak için yine dik açılı bir üçgene dönüyoruz. Bir dik üçgen \(((A)_(1))((C)_(1))G \) düşünün : bir açı ( \(\beta \) açısına bitişik olarak). Bir açı için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın değeri nedir? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Bu doğru, trigonometrik fonksiyonların karşılık gelen tanımlarına bağlı kalıyoruz:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y;\\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1)) G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\açı ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac( y )(x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1))G)=\dfrac(x)(y)\end(dizi) \)

Gördüğünüz gibi, açının sinüsünün değeri hala \ (y \) koordinatına karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat \ (x \) ; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Böylece, bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanabilir.

Yarıçap vektörünün başlangıç ​​konumunun \(x \) ekseninin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şimdiye kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük, peki saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belirli bir boyutta bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürürken, pozitif açılar ve saat yönünde döndürürken - olumsuz.

Böylece, yarıçap vektörünün daire etrafındaki tüm dönüşünün \(360()^\circ \) veya \(2\pi \) olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü \(390()^\circ \) veya \(-1140()^\circ \) ile döndürmek mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! İlk durumda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), böylece yarıçap vektörü bir tam dönüş yapacak ve \(30()^\circ \) veya \(\dfrac(\pi )(6) \) noktasında duracaktır.

İkinci durumda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \) yani, yarıçap vektörü üç tam tur yapacak ve \(-60()^\circ \) veya \(-\dfrac(\pi )(3) \) konumunda duracaktır.

Böylece, yukarıdaki örneklerden, \(360()^\circ \cdot m \) veya \(2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tamsayıdır) ile farklılık gösteren açıların, yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık geldiği sonucuna varabiliriz.

Aşağıdaki şekil \(\beta =-60()^\circ \) açısını göstermektedir. Aynı görüntü köşeye karşılık gelir \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vesaire. Bu liste süresiz olarak devam ettirilebilir. Tüm bu açılar genel formül ile yazılabilir. \(\beta +360()^\circ \cdot m \) veya \(\beta +2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tam sayıdır)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Şimdi, temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak, değerlerin neye eşit olduğunu cevaplamaya çalışın:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =?\\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =? \\\) text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text(ctg)\ 270() ^\circ = ?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^\circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text(tg)\ 450()^\ circ =?\\ \text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(dizi) \)

İşte size yardımcı olacak bir birim çember:

Herhangi bir zorluk var mı? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x)(y).\end(array) \)

Buradan açının belirli ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: köşe \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) koordinatları \(\left(0;1 \right) \) olan bir noktaya karşılık gelir, dolayısıyla:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- bulunmuyor;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Ayrıca, aynı mantığa bağlı kalarak, köşelerin \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \) koordinatlı noktalara karşılık gelir \(\left(-1;0 \sağ),\text( )\left(0;-1 \sağ),\text( )\left(1;0 \sağ),\text( )\left(0;1 \sağ) \), sırasıyla. Bunu bilerek, karşılık gelen noktalardaki trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, sonra cevapları kontrol edin.

Yanıtlar:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- bulunmuyor

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- bulunmuyor

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- bulunmuyor

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- bulunmuyor

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Böylece aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz:

Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Hatırlamanız veya çıktı alabilmeniz gerekiyor!! \) !}

Ve işte açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri ve \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) aşağıdaki tabloda verildiğini hatırlamanız gerekir:

Korkmanıza gerek yok, şimdi karşılık gelen değerlerin oldukça basit bir şekilde ezberlenmesinin örneklerinden birini göstereceğiz:

Bu yöntemi kullanmak için, üç açı ölçüsünün tümü için sinüs değerlerini hatırlamak çok önemlidir ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), ayrıca \(30()^\circ \) içindeki açının tanjantının değeri. Bu \(4\) değerlerini bilmek, tüm tabloyu geri yüklemek oldukça kolaydır - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ =\cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt( 3)) (2)\ \end(dizi) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), bunu bilerek, değerleri geri yüklemek mümkündür \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). “\(1 \) ” payı \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ile eşleşir ve “\(\sqrt(\text(3)) \) ” paydası \(\text(tg)\ 60()^\circ \ \) ile eşleşir. Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara göre aktarılır. Bunu anlar ve oklarla şemayı hatırlarsanız, tablodan sadece \(4 \) değerlerini hatırlamanız yeterli olacaktır.

Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları

Dairenin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilerek bir daire üzerinde bir nokta (koordinatları) bulmak mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! Bir noktanın koordinatlarını bulmak için genel bir formül türetelim. Burada, örneğin, böyle bir dairemiz var:

Bize o nokta verildi \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) dairenin merkezidir. Çemberin yarıçapı \(1,5 \) 'dir. \(O\) noktasının \(\delta \) derece döndürülmesiyle elde edilen \(P\) noktasının koordinatlarını bulmak gerekir.

Şekilden de görüleceği üzere \(P\) noktasının \(x \) koordinatı \(TP=UQ=UK+KQ\) doğru parçasının uzunluğuna karşılık gelmektedir. \ (UK \) segmentinin uzunluğu dairenin merkezinin \ (x \) koordinatına karşılık gelir, yani \ (3 \) 'e eşittir. \(KQ \) segmentinin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

O zaman \(P \) noktası için koordinata sahibiz. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Aynı mantıkla \(P\) noktası için y koordinatının değerini buluyoruz. Böylece,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Dolayısıyla, genel olarak noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

\(\begin(dizi)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(dizi) \), Nerede

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - dairenin merkezinin koordinatları,

\(r\) - daire yarıçapı,

\(\delta \) - vektör yarıçapının dönüş açısı.

Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim çember için, merkezin koordinatları sıfır ve yarıçap bire eşit olduğundan, bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometride kullanımını inceleyen bir matematik dalıdır. Trigonometrinin gelişimi eski Yunanistan günlerinde başladı. Orta Çağ boyunca, Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamları bu bilimin gelişmesine önemli katkılarda bulundular.

Bu makale, trigonometrinin temel kavram ve tanımlarına ayrılmıştır. Ana trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant. Geometri bağlamındaki anlamları açıklanmış ve gösterilmiştir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Başlangıçta, bağımsız değişkeni bir açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları, bir dik üçgenin kenarlarının oranıyla ifade ediliyordu.

trigonometrik fonksiyonların tanımları

Bir açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki bacağın hipotenüse oranıdır.

Açının kosinüsü (cos α), bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.

Açının tanjantı (t g α), karşı bacağın bitişik olana oranıdır.

Açının kotanjantı (c t g α), bitişik bacağın karşıdakine oranıdır.

Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!

Bir örnek verelim.

C dik açısına sahip ABC üçgeninde, A açısının sinüsü, BC kenarının AB hipotenüsüne oranına eşittir.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları, bu fonksiyonların değerlerini bir üçgenin bilinen kenar uzunluklarından hesaplamayı mümkün kılar.

Hatırlamak önemlidir!

Sinüs ve kosinüs değer aralığı: -1'den 1'e kadar. Diğer bir deyişle sinüs ve kosinüs, -1'den 1'e kadar değerler alır.

Yukarıda verilen tanımlar dar açıları ifade eder. Trigonometride, değeri dar bir açıdan farklı olarak 0 ila 90 derecelik çerçevelerle sınırlı olmayan dönme açısı kavramı tanıtılır Derece veya radyan cinsinden dönme açısı - ∞ ila + ∞ arasında herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir.

Bu bağlamda, keyfi büyüklükteki bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını tanımlayabiliriz. Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç ​​noktasında merkezli bir birim çember hayal edin.

(1 , 0) koordinatlı A başlangıç ​​noktası, birim çemberin merkezi etrafında bir α açısı kadar döner ve A1 noktasına gider. Tanım, A 1 (x, y) noktasının koordinatları aracılığıyla verilir.

Dönme açısının sinüsü (sin)

α dönüş açısının sinüsü, A 1 (x, y) noktasının ordinatıdır. sina = y

Dönme açısının kosinüsü (cos)

α dönme açısının kosinüsü, A 1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x

Dönme açısının teğeti (tg)

Dönme açısının tanjantı α, A 1 (x, y) noktasının ordinatının apsisine oranıdır. t g α = y x

Dönme açısının kotanjantı (ctg)

α dönme açısının kotanjantı, A 1 (x, y) noktasının apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y

Sinüs ve kosinüs, herhangi bir dönüş açısı için tanımlanır. Bu mantıklıdır, çünkü dönmeden sonraki noktanın apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Teğet ve kotanjant ile durum farklıdır. Dönüşten sonraki nokta sıfır apsisli (0 , 1) ve (0 , - 1) noktaya gittiğinde teğet tanımlanmaz. Bu gibi durumlarda, t g α = y x teğet ifadesi, sıfıra bölmeyi içerdiğinden basitçe bir anlam ifade etmez. Durum kotanjanta benzer. Aradaki fark, noktanın ordinatının sıfır olduğu durumlarda kotanjantın tanımlanmamasıdır.

Hatırlamak önemlidir!

Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır.

Teğet, α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanmıştır.

Kotanjant, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanmıştır.

Pratik örnekleri çözerken "dönme açısının sinüsü α" demeyin. "Dönme açısı" sözcükleri basitçe çıkarılmıştır, bu da bağlamdan neyin tehlikede olduğunun zaten açık olduğunu ima eder.

Sayılar

Bir sayının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantının tanımı ve dönme açısının tanımına ne dersiniz?

Bir sayının sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantı

Bir sayının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı T Sırasıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta eşit olan bir sayı denir. T radyan.

Örneğin, 10 π sinüsü, 10 π rad dönme açısının sinüsüne eşittir.

Bir sayının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımına başka bir yaklaşım daha vardır. Daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Herhangi bir gerçek sayı T birim çember üzerindeki bir nokta, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin orijinindeki merkeze karşılık gelecek şekilde konur. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bu noktanın koordinatlarına göre tanımlanır.

Çemberin başlangıç ​​noktası, koordinatları (1 , 0) olan A noktasıdır.

pozitif sayı T

negatif sayı T daire etrafında saat yönünün tersine hareket ederse ve t yolunu geçerse başlangıç ​​noktasının hareket edeceği noktaya karşılık gelir.

Sayı ile daire üzerindeki nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın tanımına geçebiliriz.

t sayısının sinüsü (sin)

bir sayının sinüsü T- sayıya karşılık gelen birim daire noktasının ordinatı T. günah t = y

t'nin kosinüsü (cos)

bir sayının kosinüsü T- sayıya karşılık gelen birim çemberin noktasının apsisi T. çünkü t = x

Teğet (tg)

bir sayının teğeti T- ordinatın, sayıya karşılık gelen birim çember noktasının apsisine oranı T. t g t = y x = sin t cos t

İkinci tanımlar, bu bölümün başında verilen tanımla tutarlıdır ve onunla çelişmez. Bir sayıya karşılık gelen bir dairenin üzerine gelin T, açıdan döndükten sonra başlangıç ​​noktasının geçtiği nokta ile çakışıyor T radyan.

Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları

α açısının her değeri, bu açının sinüs ve kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir. Tıpkı α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) dışındaki tüm açılar gibi teğetin belirli bir değerine karşılık gelir. Yukarıda belirtildiği gibi kotanjant, α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z) hariç tüm α için tanımlanmıştır.

sin α , cos α , t g α , c t g α'nın alfa açısının fonksiyonları veya açısal argümanın fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz.

Benzer şekilde, sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanttan sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak söz edilebilir. Her gerçek sayı T bir sayının sinüs veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T. π 2 + π · k , k ∈ Z dışındaki tüm sayılar teğetin değerine karşılık gelir. Kotanjant, π · k , k ∈ Z dışındaki tüm sayılar için benzer şekilde tanımlanır.

Trigonometrinin temel işlevleri

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.

Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanıyla (açısal argüman veya sayısal argüman) uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır.

Tanımların en başındaki verilere ve 0 ila 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın trigonometrik tanımları, bir dik üçgenin kenarlarının oranları kullanılarak verilen geometrik tanımlarla tamamen uyumludur. Hadi gösterelim.

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde ortalanmış bir birim çember alın. A başlangıç ​​noktasını (1, 0) 90 dereceye kadar döndürelim ve ortaya çıkan A 1 (x, y) noktasından x eksenine dik çizelim. Ortaya çıkan dik üçgende, A 1 O H açısı dönme açısına α, O H bacağının uzunluğu A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Köşenin karşısındaki bacağın uzunluğu A 1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve birim çemberin yarıçapı olduğu için hipotenüsün uzunluğu bire eşittir.

Geometrideki tanıma göre, α açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Bu, en-boy oranından geçen bir dik üçgendeki dar açının sinüsünün tanımının, alfanın 0 ila 90 derece aralığında yer aldığı α dönme açısının sinüsünün tanımına eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde kosinüs, teğet ve kotanjant için tanımların karşılıkları gösterilebilir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.