Belirtilen çizgilerle sınırlanan alanı hesaplayın. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim yapmayı içerir, bu nedenle çizim oluşturma konusundaki bilgi ve becerileriniz çok daha acil bir soru olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemek ve en azından bir düz çizgi ve bir hiperbol oluşturabilmek faydalıdır.

Eğri bir yamuk, bir eksenle, düz çizgilerle ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış düz bir şekildir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel yamuğun alanı sayısal olarak belirli integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır.

Geometri açısından bakıldığında belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir atama beyanıdır. Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimdir. Üstelik çizimin DOĞRU şekilde yapılması gerekiyor.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: önce tüm düz çizgileri (varsa) ve ancak o zaman parabolleri, hiperbolleri ve diğer fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha iyidir. Fonksiyonların grafiklerini nokta nokta oluşturmak daha karlı olur.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Cevap:

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli yamuk eksenin altında bulunuyorsa (veya en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.

Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir.

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Bir çizim yapalım:

Ve şimdi çalışma formülü: Bir segmentte bazı sürekli fonksiyonlar bazı sürekli fonksiyonlardan büyük veya ona eşitse, o zaman bu fonksiyonların grafikleri ve düz çizgilerle sınırlı olan şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu - eksenin üstünde veya altında - düşünmenize gerek yok ve kabaca konuşursak, hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğu önemlidir.

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Örnek 4

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir (duruma dikkatlice bakın - şeklin ne kadar sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle sıklıkla bir şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanızı gerektiren bir "aksaklık" meydana gelir!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır.

Gerçekten :

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

İntegralin uygulamalı problemlerin çözümüne uygulanması

Alan hesaplaması

Negatif olmayan sürekli bir f(x) fonksiyonunun belirli integrali sayısal olarak y = f(x) eğrisi, O x ekseni ve x = a ve x düz çizgileriyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanına eşittir. = b. Buna göre alan formülü şu şekilde yazılır:

Düzlem şekillerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin bazı örnekleri düşünün.

Görev numarası 1. Y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.

Çözüm. Alanı hesaplamamız gereken bir rakam oluşturalım.

y = x 2 + 1, dalları yukarıya doğru yönlendirilen ve parabolün O y eksenine göre bir birim yukarıya doğru kaydırıldığı bir paraboldür (Şekil 1).

Şekil 1. y = x 2 + 1 fonksiyonunun grafiği

Görev No. 2. y = x 2 – 1, y = 0 doğrularının sınırladığı alanı 0 ila 1 aralığında hesaplayın.

Çözüm. Bu fonksiyonun grafiği yukarıya doğru uzanan dallardan oluşan bir paraboldür ve parabol O y eksenine göre bir birim aşağı doğru kaydırılmıştır (Şekil 2).

Şekil 2. y \u003d x 2 - 1 fonksiyonunun grafiği

Görev numarası 3. Bir çizim yapın ve şeklin çizgilerle sınırlanan alanını hesaplayın

y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4.

Çözüm. Bu iki çizgiden ilki, x2'nin katsayısı negatif olduğundan dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür, ikinci çizgi ise her iki koordinat eksenini kesen düz bir çizgidir.

Bir parabol oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını bulalım: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – köşe apsisi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ordinatı, N(1;9) tepe noktasıdır.

Şimdi denklem sistemini çözerek parabol ile doğrunun kesişme noktalarını buluyoruz:

Sol tarafları eşit olan bir denklemin sağ taraflarını eşitleme.

8 + 2x – x 2 = 2x – 4 veya x 2 – 12 = 0 elde ederiz, dolayısıyla .

Yani noktalar bir parabol ile düz bir çizginin kesişme noktalarıdır (Şekil 1).

Şekil 3 y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4 fonksiyonlarının grafikleri

y = 2x – 4 şeklinde bir doğru çizelim. Koordinat eksenlerinde (0;-4), (2;0) noktalarından geçer.

Bir parabol oluşturmak için 0x ekseniyle kesişme noktalarını, yani 8 + 2x – x 2 = 0 veya x 2 – 2x – 8 = 0 denkleminin köklerini de kullanabilirsiniz. Vieta teoremini kullanarak bunu yapmak kolaydır. köklerini bulmak için: x 1 = 2, x 2 = 4.

Şekil 3, bu çizgilerle sınırlandırılmış bir şekli (M 1 N M 2 parabolik segmenti) göstermektedir.

Sorunun ikinci kısmı bu şeklin alanını bulmaktır. Alanı aşağıdaki formüle göre belirli bir integral kullanılarak bulunabilir: .

Bu koşula göre integrali elde ederiz:

2 Bir devrim cismin hacminin hesaplanması

y = f(x) eğrisinin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

O y ekseni etrafında dönerken formül şöyle görünür:

Görev No.4. x = 0 x = 3 düz çizgileri ve y = eğrisi ile sınırlanan kavisli bir yamuğun O x ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini belirleyin.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 4).

Şekil 4. y = fonksiyonunun grafiği

Gerekli hacim

Görev No.5. y = x 2 eğrisi ve y = 0 ve y = 4 düz çizgileriyle sınırlanan eğri bir yamuğun O y ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Sahibiz:

Soruları gözden geçirin

Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Bu evrensel yöntem, basitliğin yanı sıra sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artırılmasına da yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanarak web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenden dolayı geçici olarak kullanılamaz duruma gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Bu kadar. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmanın yinelemeli algoritması oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Kalan 20 küçük küpten oluşan bir set ortaya çıkıyor. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işleme süresiz devam ederek Menger süngerini elde ediyoruz.

Belirli bir integralin geometrik anlamının analizine ayrılan önceki bölümde, eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamak için bir dizi formül aldık:

Yandex.RTB R-A-339285-1

[ a ; parçası üzerinde sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon için S (G) = ∫ a b f (x) d x y = f (x) B ] ,

[ a ; parçası üzerinde sürekli ve pozitif olmayan bir y = f (x) fonksiyonu için S (G) = - ∫ a b f (x) d x B ] .

Bu formüller nispeten basit problemleri çözmek için uygulanabilir. Aslında çoğu zaman daha karmaşık şekillerle çalışmak zorunda kalıyoruz. Bu bağlamda, bu bölümü, açık biçimdeki işlevlerle sınırlı olan rakamların alanını hesaplamak için algoritmaların analizine ayıracağız; y = f(x) veya x = g(y) gibi.

y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) fonksiyonlarının [ a ; parçası üzerinde tanımlı ve sürekli olmasına izin verin. b ] ve f 1 (x) ≤ f 2 (x), [ a ; B ] . Daha sonra x = a, x = b, y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) çizgileriyle sınırlanan G şeklinin alanını hesaplama formülü S (G) = ∫ gibi görünecektir. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Benzer bir formül, y = c, y = d, x = g 1 (y) ve x = g 2 (y) çizgileriyle sınırlanan bir şeklin alanı için geçerli olacaktır: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Kanıt

Formülün geçerli olacağı üç durumu analiz edeceğiz.

İlk durumda, alanın toplamsallığı özelliği dikkate alındığında, orijinal G şeklinin ve eğrisel yamuk G1'in alanlarının toplamı, G2 şeklinin alanına eşittir. Bu demektir

Bu nedenle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Son geçişi belirli integralin üçüncü özelliğini kullanarak yapabiliriz.

İkinci durumda eşitlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafik gösterimi şöyle görünecektir:

Her iki fonksiyon da pozitif değilse şunu elde ederiz: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx . Grafik gösterimi şöyle görünecektir:

Şimdi y = f 1 (x) ve y = f 2 (x)'in O x ekseniyle kesiştiği genel durumu ele almaya devam edelim.

Kesişme noktalarını x i, i = 1, 2, olarak gösteririz. . . , n - 1 . Bu noktalar [a; b ] n parçaya x i - 1; x ben, ben = 1, 2, . . . , n, burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Buradan,

S (G) = ∑ ben = 1 n S (G ben) = ∑ ben = 1 n ∫ x ben x ben f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Son geçişi belirli integralin beşinci özelliğini kullanarak yapabiliriz.

Genel durumu grafik üzerinde gösterelim.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formülü kanıtlanmış sayılabilir.

Şimdi y = f (x) ve x = g (y) çizgileriyle sınırlanan şekillerin alanını hesaplama örneklerini analiz etmeye geçelim.

Örneklerden herhangi birini incelemeye bir grafik oluşturarak başlayacağız. Görüntü, karmaşık şekilleri daha basit şekillerin birleşimi olarak temsil etmemize olanak tanıyacak. Üzerinde grafik ve şekil oluşturmak sizin için zorsa, temel temel fonksiyonlar, fonksiyonların grafiklerinin geometrik dönüşümü ve bir fonksiyonu incelerken grafiklerin oluşturulması ile ilgili bölümü inceleyebilirsiniz.

örnek 1

Şeklin y = - x 2 + 6 x - 5 parabolü ve y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 düz çizgileriyle sınırlı olan alanını belirlemek gerekir.

Çözüm

Grafikteki çizgileri Kartezyen koordinat sistemine göre çizelim.

Segmentte [ 1 ; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolünün grafiği y = - 1 3 x - 1 2 düz çizgisinin üzerinde yer alır. Bu bağlamda, cevabı elde etmek için daha önce elde edilen formülün yanı sıra Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrali hesaplama yöntemini kullanıyoruz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Cevap: S(G) = 13

Daha karmaşık bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Şeklin y = x + 2, y = x, x = 7 çizgileriyle sınırlı olan alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Bu durumda x eksenine paralel olan tek bir düz çizgimiz var. Bu x = 7'dir. Bu da entegrasyonun ikinci sınırını kendimiz bulmamızı gerektiriyor.

Bir grafik oluşturalım ve problem ifadesinde verilen çizgileri çizelim.

Grafiği gözümüzün önünde tutarak, entegrasyonun alt sınırının, y = x düz çizgisi ile y = x + 2 yarı parabolünün grafiğinin kesişme noktasının apsisi olacağını kolayca belirleyebiliriz. Apsis'i bulmak için eşitlikleri kullanırız:

y = x + 2 Ö DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ Ö DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ Ö DZ

Kesişme noktasının apsisinin x = 2 olduğu ortaya çıkıyor.

Çizimdeki genel örnekte y = x + 2, y = x doğrularının (2; 2) noktasında kesiştiğine dolayısıyla bu tür detaylı hesaplamaların gereksiz görünebileceğine dikkatinizi çekeriz. Burada bu kadar ayrıntılı bir çözüm sunmamızın nedeni, daha karmaşık durumlarda çözümün o kadar açık olmayabilmesidir. Bu, doğruların kesişim koordinatlarını analitik olarak hesaplamanın her zaman daha iyi olduğu anlamına gelir.

[ 2 ; 7] y = x fonksiyonunun grafiği, y = x + 2 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer alır. Alanı hesaplamak için formülü uygulayalım:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Cevap: S(G) = 59 6

Örnek 3

y = 1 x ve y = - x 2 + 4 x - 2 fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlı olan şeklin alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Doğruları grafik üzerinde işaretleyelim.

Entegrasyonun sınırlarını tanımlayalım. Bunu yapmak için 1 x ve - x 2 + 4 x - 2 ifadelerini eşitleyerek çizgilerin kesişme noktalarının koordinatlarını belirliyoruz. X'in sıfır olmaması koşuluyla, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 eşitliği, tamsayı katsayılı üçüncü derece denklem - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0'a eşdeğer olur. Bu tür denklemlerin çözümüne yönelik algoritmaya ilişkin hafızanızı tazelemek için “Kübik denklemlerin çözülmesi” bölümüne bakabiliriz.

Bu denklemin kökü x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0'dır.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadesini binom x - 1'e bölerek şunu elde ederiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kalan kökleri x 2 - 3 x - 1 = 0 denkleminden bulabiliriz:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

x ∈ 1 aralığını bulduk; 3 + 13 2, burada G rakamı mavi çizginin üstünde ve kırmızı çizginin altındadır. Bu, şeklin alanını belirlememize yardımcı olur:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Cevap: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Örnek 4

Şeklin y = x 3, y = - log 2 x + 1 eğrileri ve apsis ekseni ile sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Grafikteki tüm doğruları çizelim. y = - log 2 x + 1 fonksiyonunun grafiğini, x eksenine göre simetrik olarak konumlandırıp bir birim yukarı hareket ettirirsek, y = log 2 x grafiğinden elde edebiliriz. X ekseninin denklemi y = 0'dır.

Doğruların kesişme noktalarını işaretleyelim.

Şekilden görüldüğü gibi y = x 3 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (0; 0) noktasında kesişmektedir. Bunun nedeni x = 0'ın x 3 = 0 denkleminin tek gerçek kökü olmasıdır.

Denklemin tek kökü x = 2'dir - log 2 x + 1 = 0, dolayısıyla y = - log 2 x + 1 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (2; 0) noktasında kesişir.

x = 1 denklemin tek köküdür x 3 = - log 2 x + 1 . Bu bakımdan y = x 3 ve y = - log 2 x + 1 fonksiyonlarının grafikleri (1; 1) noktasında kesişmektedir. Son ifade açık olmayabilir, ancak x 3 = - log 2 x + 1 denkleminin birden fazla kökü olamaz, çünkü y = x 3 fonksiyonu kesin olarak artmaktadır ve y = - log 2 x + 1 fonksiyonu şu şekildedir: kesin olarak azalıyor.

Diğer çözüm birkaç seçeneği içerir.

Seçenek 1

G şeklini, x ekseninin üzerinde yer alan iki eğrisel yamuğun toplamı olarak hayal edebiliriz; bunlardan ilki, x ∈ 0 parçası üzerinde orta çizginin altında yer alır; 1 ve ikincisi x ∈ 1 segmentindeki kırmızı çizginin altındadır; 2. Bu, alanın S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x'e eşit olacağı anlamına gelir.

Seçenek No.2

Şekil G, ilki x ekseninin üzerinde ve x ∈ 0 parçası üzerindeki mavi çizginin altında yer alan iki şeklin farkı olarak temsil edilebilir; 2 ve ikincisi x ∈ 1 segmentindeki kırmızı ve mavi çizgiler arasında; 2. Bu, alanı şu şekilde bulmamızı sağlar:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bu durumda alanı bulmak için S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y formundaki bir formülü kullanmanız gerekecektir. Aslında şekli sınırlayan çizgiler y argümanının fonksiyonları olarak temsil edilebilir.

y = x 3 ve - log 2 x + 1 denklemlerini x'e göre çözelim:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Gerekli alanı elde ediyoruz:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Cevap: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Örnek 5

Şeklin y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Kırmızı bir çizgiyle y = x fonksiyonu tarafından tanımlanan çizgiyi çiziyoruz. y = - 1 2 x + 4 çizgisini mavi, y = 2 3 x - 3 çizgisini siyah çiziyoruz.

Kesişme noktalarını işaretleyelim.

y = x ve y = - 1 2 x + 4 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarını bulalım:

x = - 1 2 x + 4 Ö DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrol edin: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 değil Denklemin çözümü x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 denklemin çözümüdür ⇒ (4; 2) kesişme noktası i y = x ve y = - 1 2 x + 4

y = x ve y = 2 3 x - 3 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktasını bulalım:

x = 2 3 x - 3 Ö DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrol edin: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 denklemin çözümüdür ⇒ (9 ; 3) nokta a s y = x ve y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Denklemin çözümü yok

y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3 doğrularının kesişme noktasını bulalım:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) kesişme noktası y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3

Yöntem No.1

İstenilen şeklin alanını tek tek şekillerin alanlarının toplamı olarak hayal edelim.

O zaman şeklin alanı:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Yöntem No.2

Orijinal şeklin alanı diğer iki rakamın toplamı olarak gösterilebilir.

Daha sonra çizginin denklemini x'e göre çözeriz ve bundan sonra şeklin alanını hesaplamak için formülü uygularız.

y = x ⇒ x = y 2 kırmızı çizgi y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 siyah çizgi y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ben n ben a l ben n e

Yani alan:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Gördüğünüz gibi değerler aynı.

Cevap: S(G) = 11 3

Bir şeklin verilen çizgilerle sınırlı alanını bulmak için düzlem üzerinde çizgiler çizmemiz, kesişme noktalarını bulmamız ve alanı bulmak için formülü uygulamamız gerekir. Bu bölümde en yaygın görev çeşitlerini inceledik.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Problem 1 (kavisli bir yamuğun alanının hesaplanması hakkında).

Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde xOy, x ekseni, düz çizgiler x = a, x = b (a eğrisel bir yamuk tarafından) ile sınırlanan bir şekil verilir (şekle bakın). Eğrisel alanın hesaplanması gerekir. yamuk.
Çözüm. Geometri bize çokgenlerin alanlarını ve bir dairenin bazı kısımlarını (sektör, parça) hesaplamak için tarifler verir. Geometrik değerlendirmeleri kullanarak, aşağıdaki mantıkla gerekli alanın yalnızca yaklaşık değerini bulabiliriz.

[a; segmentini bölelim; b] (kavisli bir yamuğun tabanı) n eşit parçaya bölünür; bu bölme x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 noktaları kullanılarak gerçekleştirilir. Bu noktalardan y eksenine paralel düz çizgiler çizelim. Daha sonra verilen eğrisel yamuk n parçaya, n dar sütuna bölünecektir. Tüm yamuğun alanı sütunların alanlarının toplamına eşittir.

K'inci sütunu ayrı ayrı ele alalım, yani. tabanı bir segment olan kavisli bir yamuk. Bunu, tabanı ve yüksekliği f(xk) ile aynı olan bir dikdörtgenle değiştirelim (şekle bakın). Dikdörtgenin alanı \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \'ye eşittir, burada \(\Delta x_k \) parçanın uzunluğudur; derlenen ürünü k'inci sütunun alanının yaklaşık değeri olarak düşünmek doğaldır.

Şimdi aynısını diğer tüm sütunlar için yaparsak, şu sonuca varırız: belirli bir eğrisel yamuğun S alanı, n dikdörtgenden oluşan basamaklı bir şeklin S n alanına yaklaşık olarak eşittir (şekle bakın):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Burada, gösterimin tekdüzeliği adına, a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - parçanın uzunluğu, \(\Delta x_1 \) - parçanın uzunluğu, vb.; bu durumda yukarıda anlaştığımız gibi, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Yani, \(S \approx S_n \) ve bu yaklaşık eşitlik, n ne kadar büyük olursa o kadar doğrudur.
Tanım gereği, eğrisel yamuğun istenen alanının dizinin sınırına (S n) eşit olduğu varsayılmaktadır:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2 (bir noktayı hareket ettirmeyle ilgili)
Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder. Hızın zamana bağımlılığı v = v(t) formülüyle ifade edilir. Bir noktanın belirli bir zaman periyodundaki hareketini bulun [a; B].
Çözüm. Eğer hareket tekdüze olsaydı sorun çok basit bir şekilde çözülürdü: s = vt, yani. s = v(b-a). Düzensiz hareket için, önceki problemin çözümünün dayandığı aynı fikirlerin kullanılması gerekir.
1) Zaman aralığını [a; b] n eşit parçaya bölünür.
2) Bir zaman aralığı düşünün ve bu zaman aralığı boyunca hızın, örneğin tk zamanında, sabit olduğunu varsayalım. Dolayısıyla v = v(t k) olduğunu varsayıyoruz.
3) Zaman aralığı boyunca nokta yer değiştirmesinin yaklaşık değerini bulun; bu yaklaşık değer sk ile gösterilecektir.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Yer değiştirme s'nin yaklaşık değerini bulun:
\(s \yaklaşık S_n \) burada
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Gerekli yer değiştirme dizinin sınırına eşittir (S n):
$$ s = \lim_(n \ile \infty) S_n $$

Özetleyelim. Çeşitli problemlerin çözümleri aynı matematiksel modele indirgendi. Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarındaki pek çok problem, çözüm sürecinde aynı modele yol açmaktadır. Bu, bu matematiksel modelin özel olarak incelenmesi gerektiği anlamına gelir.

[a; B]:
1) [a] parçasını bölün; b] n eşit parçaya bölünür;
2) toplamı oluşturun $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$'ı hesaplayın

Matematiksel analiz sırasında bu sınırın sürekli (veya parçalı sürekli) bir fonksiyon durumunda mevcut olduğu kanıtlanmıştır. Buna y = f(x) fonksiyonunun [a; b] ve aşağıdaki gibi gösterilir:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
A ve b sayılarına entegrasyon sınırları denir (sırasıyla alt ve üst).

Yukarıda tartışılan görevlere dönelim. Problem 1'de verilen alan tanımı artık aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
burada S, yukarıdaki şekilde gösterilen eğrisel yamuğun alanıdır. Belirli integralin geometrik anlamı budur.

Problem 2'de verilen, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesinin s tanımı aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:

Öncelikle şu soruyu cevaplayalım: Belirli integral ile ters türev arasındaki bağlantı nedir?

Cevap Problem 2'de bulunabilir. Bir yandan, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesi s şu şekilde hesaplanır: formül
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Öte yandan, hareketli bir noktanın koordinatı hızın ters türevidir; buna s(t) diyelim; Bu, s yer değiştirmesinin s = s(b) - s(a) formülüyle ifade edildiği anlamına gelir. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
burada s(t), v(t)'nin ters türevidir.

Aşağıdaki teorem matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.
Teorem. Eğer y = f(x) fonksiyonu [a; b] ise formül geçerlidir
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
burada F(x), f(x)'in terstürevidir.

Yukarıdaki formüle genellikle İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve onu birbirlerinden bağımsız olarak ve neredeyse aynı anda alan Alman filozof Gottfried Leibniz'in (1646-1716) onuruna Newton-Leibniz formülü denir.

Uygulamada, F (b) - F (a) yazmak yerine \ ( \ left. F (x) \ right | _a ^ b \) gösterimini kullanırlar (buna bazen çift ikame denir) ve buna göre yeniden yazılır Newton - Leibniz formülü bu formda:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Belirli bir integrali hesaplarken, önce ters türevi bulun ve ardından ikili ikame yapın.

Newton-Leibniz formülüne dayanarak belirli integralin iki özelliğini elde edebiliriz.

Özellik 1. Fonksiyonların toplamının integrali, integrallerin toplamına eşittir:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Özellik 2. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

İntegrali kullanarak, yalnızca kavisli yamukların alanlarını değil, aynı zamanda daha karmaşık tipteki düzlemsel figürlerin, örneğin şekilde gösterilenin alanlarını da hesaplayabilirsiniz. P şekli x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) sürekli fonksiyonlarının grafikleriyle ve [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği geçerlidir. Böyle bir şeklin S alanını hesaplamak için şu şekilde ilerleyeceğiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Yani, x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan bir şeklin S alanı, parça üzerinde süreklidir ve parçadaki herhangi bir x için öyledir [A; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği sağlanır, formülle hesaplanır
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)