Dikkat çekici sınırlar. Çözüm örnekleri. İkinci dikkat çekici sınır: bulma örnekleri, sorunlar ve ayrıntılı çözüm

Dikkate değer ilk limit aşağıdaki eşitliktir:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(denklem)

$\alpha\to(0)$ için $\sin\alpha\to(0)$ elimizde olduğundan, ilk kayda değer limitin $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizliği ortaya çıkardığını söylüyorlar. Genel olarak konuşursak, formül (1)'de $\alpha$ değişkeni yerine, iki koşul karşılandığı sürece sinüs işaretinin altına ve paydaya herhangi bir ifade yerleştirilebilir:

1. Sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadeler aynı anda sıfıra yönelir; $\frac(0)(0)$ biçiminde belirsizlik vardır.
2. Sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadeler aynıdır.

İlk dikkate değer limitten elde edilen sonuçlar da sıklıkla kullanılır:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(denklem)

Bu sayfada on bir örnek çözülmüştür. Örnek No. 1, formül (2)-(4)'ün ispatına ayrılmıştır. 2, No. 3, No. 4 ve No. 5'teki örnekler ayrıntılı yorumlar içeren çözümler içermektedir. 6-10 numaralı örnekler, önceki örneklerde ayrıntılı açıklamalar verildiği için neredeyse hiç yorum içermeyen çözümler içermektedir. Çözüm, bulunabilecek bazı trigonometrik formülleri kullanır.

$\frac (0) (0)$ belirsizliğiyle birlikte trigonometrik fonksiyonların varlığının mutlaka ilk dikkate değer limitin uygulanması anlamına gelmediğini belirtmek isterim. Bazen basit trigonometrik dönüşümler yeterlidir - örneğin bkz.

Örnek No.1

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) olduğunu kanıtlayın (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ olduğundan, o zaman:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ve $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ olduğundan, O:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) $\alpha=\sin(y)$ değişikliğini yapalım. $\sin(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ koşulundan $y\to(0)$ elde ederiz. Ek olarak, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ olan bir sıfır mahallesi vardır, yani:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ eşitliği kanıtlandı.

c) $\alpha=\tg(y)$ yerine koyalım. $\tg(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ ve $y\to(0)$ koşulları eşdeğerdir. Ek olarak, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ olan bir sıfır mahallesi vardır, bu nedenle a) noktasının sonuçlarına dayanarak şunu elde ederiz:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ eşitliği kanıtlandı.

a), b), c) eşitlikleri sıklıkla ilk dikkate değer limitle birlikte kullanılır.

Örnek No.2

Limiti hesaplayın $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ve $\lim_( x olduğundan \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, yani ve kesrin hem payı hem de paydası aynı anda sıfıra yöneliyorsa, burada $\frac(0)(0)$ biçimindeki bir belirsizlikle uğraşıyoruz, yani. Tamamlandı. Ek olarak, sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadelerin çakıştığı (yani ve karşılandığı) açıktır:

Yani sayfanın başında listelenen her iki koşul da karşılanmıştır. Buradan formülün uygulanabilir olduğu sonucu çıkar; $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Cevap: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Örnek No.3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$'ı bulun.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ve $\lim_(x\to(0))x=0$ olduğundan, $\frac formundaki bir belirsizlikle uğraşıyoruz (0 )(0)$, yani Tamamlandı. Ancak sinüs işaretinin altındaki ifadeler ile paydadaki ifadeler örtüşmemektedir. Burada paydadaki ifadeyi istediğiniz forma ayarlamanız gerekir. $9x$ ifadesinin paydada olmasına ihtiyacımız var, o zaman bu doğru olacaktır. Aslında paydada $9$ faktörünü kaçırıyoruz ki bunu girmek o kadar da zor değil; sadece paydadaki ifadeyi $9$ ile çarpmanız yeterli. Doğal olarak, $9$ ile çarpma işlemini telafi etmek için hemen $9$'a bölmeniz gerekecektir:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x)(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Artık paydadaki ve sinüs işaretinin altındaki ifadeler çakışıyor. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ limitinin her iki koşulu da karşılandı. Bu nedenle, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Bu da şu anlama geliyor:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Örnek No. 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$'ı bulun.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ve $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ olduğundan, burada formun belirsizliğiyle ilgileniyoruz $\frac(0)(0)$. Ancak birinci dikkat çekici sınırın şekli ihlal edilmiştir. $\sin(5x)$ içeren bir pay, $5x$ paydasını gerektirir. Bu durumda en kolay yol payı $5x$'a bölüp hemen $5x$ ile çarpmaktır. Ek olarak, paydayla benzer bir işlem gerçekleştireceğiz, $\tg(8x)$'ı $8x$ ile çarpıp böleceğiz:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ azaltıp $\frac(5)(8)$ sabitini limit işaretinin dışına çıkarırsak şunu elde ederiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$'ın ilk dikkat çekici limitin gerekliliklerini tamamen karşıladığını unutmayın. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$'ı bulmak için aşağıdaki formül uygulanabilir:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Örnek No. 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$'ı bulun.

Çünkü $\lim_(x\to(0)(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) ve $\'ı unutmayın lim_(x\to(0))x^2=0$, o zaman $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. Bununla birlikte, ilk dikkate değer limiti uygulamak için paydaki kosinüsten kurtulmalı, sinüslere (daha sonra formülü uygulamak için) veya teğetlere (daha sonra formülü uygulamak için) geçmelisiniz. Bu, aşağıdaki dönüşümle yapılabilir:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Sınıra geri dönelim:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kesri zaten ilk dikkate değer limit için gereken forma yakındır. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kesiriyle biraz çalışalım ve onu ilk kayda değer limite ayarlayalım (paydaki ve sinüs altındaki ifadelerin eşleşmesi gerektiğine dikkat edin):

$$\frac(\sin^2(5x)(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Söz konusu sınıra dönelim:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Örnek No. 6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ limitini bulun.

$\lim_(x\to(0)(1-\cos(6x))=0$ ve $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ olduğundan, o zaman $\frac(0)(0)$ belirsizliğiyle uğraşıyoruz. İlk dikkat çeken limitin yardımıyla bunu açığa çıkaralım. Bunu yapmak için kosinüslerden sinüslere geçelim. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ olduğundan, o zaman:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Verilen limitteki sinüslere geçerek şunu elde ederiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\sağ)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Örnek No.7

$\alpha\neq'e bağlı olarak $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ limitini hesaplayın \ beta$.

Ayrıntılı açıklamalar daha önce verilmişti, ancak burada yine $\frac(0)(0)$ belirsizliğinin olduğunu not ediyoruz. Formülü kullanarak kosinüslerden sinüslere geçelim

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Bu formülü kullanarak şunları elde ederiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Örnek No. 8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ limitini bulun.

$\lim_(x\to(0)(\tg(x)-\sin(x))=0$ olduğundan ( $\sin(0)=\tg(0)=0$) ve $\'ı unutmayın lim_(x\to(0))x^3=0$, o zaman burada $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. Bunu şu şekilde parçalayalım:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Örnek No. 9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ limitini bulun.

$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ve $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - olduğundan) 3)(2)=0$ ise $\frac(0)(0)$ formunda belirsizlik vardır. Genişletmeye geçmeden önce, yeni değişkenin sıfıra yöneleceği şekilde bir değişken değişikliği yapmak uygundur (formüllerde $\alpha \to 0$ değişkeninin olduğuna dikkat edin). En kolay yol $t=x-3$ değişkenini tanıtmaktır. Bununla birlikte, daha sonraki dönüşümlerin kolaylığı açısından (bu fayda aşağıdaki çözüm sürecinde görülebilir), şu değiştirmeyi yapmaya değer: $t=\frac(x-3)(2)$. Bu durumda her iki değişikliğin de geçerli olduğunu unutmayın, sadece ikinci değişiklik kesirlerle daha az çalışmanıza izin verecektir. $x\to(3)$ olduğundan, $t\to(0)$ olur.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ için(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Cevap: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Örnek No. 10

Limiti bulun $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Bir kez daha belirsizlikle karşı karşıyayız $\frac(0)(0)$. Genişletmeye geçmeden önce, yeni değişkenin sıfıra yaklaşacağı şekilde bir değişken değişikliği yapmak uygundur (formüllerde değişkenin $\alpha\to(0)$ olduğunu unutmayın). En kolay yol $t=\frac(\pi)(2)-x$ değişkenini tanıtmaktır. $x\to\frac(\pi)(2)$ olduğundan, $t\to(0)$'a:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\sol|\frac(0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Cevap: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Örnek No. 11

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) limitlerini bulun \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Bu durumda ilk harika limiti kullanmak zorunda değiliz. Hem birinci hem de ikinci limitlerin yalnızca trigonometrik fonksiyonları ve sayıları içerdiğini lütfen unutmayın. Çoğu zaman bu tür örneklerde limit işaretinin altında yer alan ifadeyi basitleştirmek mümkündür. Üstelik yukarıda bahsedilen basitleştirme ve bazı faktörlerin azaltılması sonrasında belirsizlik ortadan kalkıyor. Bu örneği tek bir amaç için verdim: Limit işareti altında trigonometrik fonksiyonların varlığının mutlaka ilk dikkate değer limitin kullanılması anlamına gelmediğini göstermek.

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ olduğundan ( $\sin\frac(\pi)(2)=1$ olduğunu unutmayın) ve $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (size $\cos\frac(\pi)(2)=0$ olduğunu hatırlatmama izin verin), o zaman elimizde $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşmak. Ancak bu, ilk harika sınırı kullanmamız gerekeceği anlamına gelmez. Belirsizliği ortaya çıkarmak için $\cos^2x=1-\sin^2x$ değerini hesaba katmak yeterlidir:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x)((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Demidovich’in çözüm kitabında (No. 475) da benzer bir çözüm var. İkinci limite gelince, bu bölümdeki önceki örneklerde olduğu gibi $\frac(0)(0)$ şeklinde bir belirsizliğimiz var. Neden ortaya çıkıyor? Bunun nedeni $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ve $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ olmasıdır. Bu değerleri pay ve paydadaki ifadeleri dönüştürmek için kullanırız. Eylemlerimizin amacı pay ve paydadaki toplamları çarpım olarak yazmaktır. Bu arada, genellikle benzer bir türde, yeni değişken sıfıra yönelecek şekilde yapılan bir değişkeni değiştirmek uygundur (örneğin, bu sayfadaki 9 veya 10 numaralı örneklere bakın). Bununla birlikte, bu örnekte değiştirmenin bir anlamı yoktur, ancak istenirse $t=x-\frac(2\pi)(3)$ değişkeninin değiştirilmesinin uygulanması zor değildir.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ için\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\sağ)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Gördüğünüz gibi ilk harika limiti uygulamamıza gerek kalmadı. Elbette isterseniz bunu yapabilirsiniz (aşağıdaki nota bakın), ancak bu gerekli değildir.

İlk dikkate değer limiti kullanan çözüm nedir? göster\gizle

İlk dikkate değer limiti kullanarak şunu elde ederiz:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ sağ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Cevap: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Yukarıdaki makaleden sınırın ne olduğunu ve neyle yenildiğini öğrenebilirsiniz - bu ÇOK önemlidir. Neden? Determinantların ne olduğunu anlayamayabilir ve başarılı bir şekilde çözemeyebilirsiniz, türevin ne olduğunu hiç anlayamayabilir ve bunları “A” ile bulabilirsiniz. Ancak sınırın ne olduğunu anlamıyorsanız pratik görevleri çözmek zor olacaktır. Ayrıca örnek çözümlere ve tasarım önerilerime aşina olmanız da iyi bir fikir olacaktır. Tüm bilgiler basit ve erişilebilir bir biçimde sunulmaktadır.

Ve bu dersin amaçları doğrultusunda aşağıdaki öğretim materyallerine ihtiyacımız olacak: Harika Sınırlar Ve Trigonometrik formüller. Sayfada bulunabilirler. Kılavuzların çıktısını almak en iyisidir; çok daha kullanışlıdır ve ayrıca bunlara sıklıkla çevrimdışı olarak başvurmanız gerekecektir.

Olağanüstü sınırları bu kadar özel kılan ne? Bu sınırların dikkat çekici yanı, ünlü matematikçilerin en büyük beyinleri tarafından kanıtlanmış olmaları ve minnettar torunların, bir yığın trigonometrik fonksiyon, logaritma ve kuvvetle ilgili korkunç sınırlardan muzdarip olmak zorunda olmamasıdır. Yani limitleri bulurken teorik olarak kanıtlanmış hazır sonuçları kullanacağız.

Birkaç harika sınır vardır, ancak pratikte vakaların %95'inde yarı zamanlı öğrencilerin iki harika sınırı vardır: İlk harika sınır, İkinci harika sınır. Bunların tarihsel olarak belirlenmiş isimler olduğunu ve örneğin "ilk dikkate değer sınır"dan bahsettiklerinde bununla çok spesifik bir şeyi kastettiklerini ve tavandan alınan rastgele bir sınırı değil, unutulmamalıdır.

İlk harika sınır

Aşağıdaki sınırı göz önünde bulundurun: (yerel harf “o” yerine Yunanca “alfa” harfini kullanacağım, bu materyalin sunumu açısından daha uygundur).

Limit bulma kuralımıza göre (bkz. makale Sınırlar. Çözüm örnekleri) fonksiyona sıfır koymaya çalışıyoruz: payda sıfır alıyoruz (sıfırın sinüsü sıfırdır) ve paydada da açıkça sıfır var. Bu nedenle, neyse ki açıklanmasına gerek olmayan bir biçim belirsizliğiyle karşı karşıyayız. Matematiksel analiz sırasında aşağıdakiler kanıtlanmıştır:

Bu matematiksel gerçeğe denir İlk harika sınır. Limitin analitik kanıtını vermeyeceğim ama geometrik anlamına derste bakacağız. sonsuz küçük fonksiyonlar.

Çoğu zaman pratik görevlerde işlevler farklı şekilde düzenlenebilir, bu hiçbir şeyi değiştirmez:

- aynı ilk harika sınır.

Ancak pay ve paydayı kendiniz yeniden düzenleyemezsiniz! Eğer formda bir limit verilmişse, hiçbir şeyi yeniden düzenlemeden aynı formda çözülmesi gerekir.

Pratikte sadece bir değişken değil, aynı zamanda bir temel fonksiyon veya karmaşık bir fonksiyon da parametre olarak hareket edebilir. Önemli olan tek şey sıfıra doğru yönelmesidir.

Örnekler:
, , ,

Burada , , , ve her şey yolunda - ilk harika sınır geçerlidir.

Ancak aşağıdaki girdi sapkınlıktır:

Neden? Polinom sıfıra yönelmediği için beşe yönelir.

Bu arada kısa bir soru: Limit nedir? ? Cevabı dersin sonunda bulabilirsiniz.

Pratikte her şey o kadar düzgün değildir; neredeyse hiçbir zaman bir öğrenciye ücretsiz bir limit çözmesi ve kolay bir geçiş yapması teklif edilmez. Hmmm... Bu satırları yazıyorum ve aklıma çok önemli bir fikir geldi - sonuçta, "özgür" matematiksel tanımları ve formülleri ezbere hatırlamak daha iyidir, bu, soru ne zaman sorulacaksa testte paha biçilmez bir yardım sağlayabilir. “iki” ve “üç” arasında karar verilir ve öğretmen öğrenciye basit bir soru sormaya veya basit bir örneği çözmeyi teklif etmeye karar verir (“belki o(lar) hala neyi biliyordur?!”).

Pratik örnekleri ele almaya devam edelim:

örnek 1

Sınırı bulun

Limitte bir sinüs fark edersek, bu bizi hemen ilk dikkate değer limiti uygulama olasılığı hakkında düşünmeye sevk etmelidir.

Öncelikle limit işaretinin altındaki ifadeye 0'ı koymaya çalışıyoruz (bunu zihinsel olarak veya taslak halinde yapıyoruz):

Yani formda bir belirsizlik var mutlaka belirtin bir karar verirken. Limit işaretinin altındaki ifade ilk harika limite benzer ama bu tam olarak o değil, sinüsün altında ama paydada.

Böyle durumlarda ilk dikkat çeken limiti yapay bir teknik kullanarak kendimiz düzenlememiz gerekiyor. Akıl yürütme şu şekilde olabilir: "sahip olduğumuz sinüsün altında, bu da demek oluyor ki paydaya da girmemiz gerekiyor."
Ve bu çok basit bir şekilde yapılır:

Yani bu durumda payda yapay olarak 7 ile çarpılır ve aynı yediye bölünür. Artık kaydımız tanıdık bir şekil aldı.
Görev elle çizildiğinde, ilk dikkate değer sınırın basit bir kalemle işaretlenmesi tavsiye edilir:

Ne oldu? Aslında daire içine alınmış ifademiz eserde bir birime dönüşerek yok oldu:

Şimdi geriye kalan tek şey üç katlı kesirden kurtulmak:

Çok seviyeli kesirlerin basitleştirilmesini kim unuttu, lütfen referans kitabındaki materyali yenileyin Okul matematik dersi için sıcak formüller .

Hazır. Son cevap:

Kurşun kalemle işaret kullanmak istemiyorsanız çözüm şu şekilde yazılabilir:

“

İlk harika limiti kullanalım

“

Örnek 2

Sınırı bulun

Limitte yine bir kesir ve bir sinüs görüyoruz. Pay ve paydanın yerine sıfır koymayı deneyelim:

Aslında belirsizlik var ve bu nedenle ilk harika sınırı düzenlemeye çalışmamız gerekiyor. Derste Sınırlar. Çözüm örnekleri Belirsizliğimiz olduğunda pay ve paydayı çarpanlara ayırmamız gerektiği kuralını dikkate aldık. Burada da aynı şey var, dereceleri çarpım (çarpan) olarak temsil edeceğiz:

Önceki örneğe benzer şekilde, dikkat çekici sınırların çevresine bir kalem çiziyoruz (burada bunlardan iki tane var) ve birlik eğiliminde olduklarını belirtiyoruz:

Aslında cevap hazır:

Aşağıdaki örneklerde Paint'te sanat yapmayacağım, bir defterde bir çözümün nasıl doğru bir şekilde çizileceğini düşünüyorum - zaten anlıyorsunuz.

Örnek 3

Sınırı bulun

Limit işaretinin altındaki ifadeye sıfır koyarız:

Açıklanması gereken bir belirsizlik elde edildi. Limitte bir teğet varsa, o zaman hemen hemen her zaman iyi bilinen trigonometrik formül kullanılarak sinüs ve kosinüse dönüştürülür (bu arada, kotanjant ile yaklaşık olarak aynı şeyi yaparlar, metodolojik materyale bakın) Sıcak trigonometrik formüller Sayfada Matematiksel formüller, tablolar ve referans materyalleri).

Bu durumda:

Sıfırın kosinüsü bire eşittir ve bundan kurtulmak kolaydır (bire eğilimli olduğunu işaretlemeyi unutmayın):

Bu nedenle, eğer kosinüs limitte bir ÇARPAN ise, o zaman kabaca konuşursak, üründe kaybolan bir birime dönüştürülmesi gerekir.

Burada her şey çarpma ve bölme olmadan daha basit hale geldi. Çarpımda dikkat çeken ilk limit de bire dönüşerek yok oluyor:

Sonuç olarak sonsuzluk elde edilir ve bu olur.

Örnek 4

Sınırı bulun

Pay ve paydanın yerine sıfır koymayı deneyelim:

Belirsizlik elde edilir (hatırladığımız gibi sıfırın kosinüsü bire eşittir)

Trigonometrik formülü kullanıyoruz. Not alın! Bazı nedenlerden dolayı bu formülün kullanıldığı sınırlamalar çok yaygındır.

Sabit faktörleri sınır simgesinin ötesine taşıyalım:

İlk harika sınırı düzenleyelim:

Burada dikkat çekici tek bir sınırımız var, o da bire dönüşerek üründe kayboluyor:

Üç katlı yapıdan kurtulalım:

Limit aslında çözüldü, kalan sinüsün sıfıra doğru yöneldiğini belirtiyoruz:

Örnek 5

Sınırı bulun

Bu örnek daha karmaşıktır, kendiniz çözmeye çalışın:

Bazı limitler, bir değişken değiştirilerek 1. dikkat çekici limite indirilebilir, bunu makalenin biraz ilerisinde okuyabilirsiniz. Sınırları çözme yöntemleri.

İkinci harika sınır

Matematiksel analiz teorisinde şu kanıtlanmıştır:

Bu gerçeğe denir ikinci harika sınır.

Referans: irrasyonel bir sayıdır.

Parametre sadece bir değişken değil aynı zamanda karmaşık bir fonksiyon da olabilir. Önemli olan sonsuzluk için çabalamasıdır.

Örnek 6

Sınırı bulun

Limit işaretinin altındaki ifadenin derece olması, ikinci harika limiti uygulamaya çalışmanız gerektiğinin ilk işaretidir.

Ama önce, her zaman olduğu gibi, ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışıyoruz, bunun nasıl yapıldığına dair prensip derste tartışılıyor. Sınırlar. Çözüm örnekleri.

Bunu fark etmek kolaydır derecenin tabanı ve üs ise yani formda belirsizlik var:

Bu belirsizlik ikinci dikkat çekici limitin yardımıyla tam olarak ortaya çıkıyor. Ancak çoğu zaman olduğu gibi, ikinci harika sınır gümüş bir tabakta yatmıyor ve yapay olarak düzenlenmesi gerekiyor. Şu şekilde mantık yürütebilirsiniz: Bu örnekte parametre dır, bu da göstergede de düzenleme yapmamız gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmak için tabanı kuvvete yükseltiyoruz ve ifadenin değişmemesi için kuvvete yükseltiyoruz:

Görev elle tamamlandığında kalemle işaretliyoruz:

Hemen hemen her şey hazır, korkunç derece güzel bir mektuba dönüştü:

Bu durumda limit simgesinin kendisini göstergeye taşıyoruz:

Örnek 7

Sınırı bulun

Dikkat! Bu tür limitlere çok sık rastlanır, lütfen bu örneği çok dikkatli inceleyin.

Limit işaretinin altındaki ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışalım:

Sonuç belirsizliktir. Ancak ikinci dikkate değer sınır, biçimin belirsizliğiyle ilgilidir. Ne yapalım? Derecenin tabanını dönüştürmemiz gerekiyor. Şöyle mantık yürütüyoruz: paydada , yani payda da düzenleme yapmamız gerekiyor.

Dikkate değer birçok sınır vardır, ancak en ünlüsü birinci ve ikinci dikkat çekici sınırlardır. Bu limitlerin dikkat çekici yanı, yaygın olarak kullanılması ve onların yardımıyla birçok problemde karşılaşılan diğer limitlerin bulunabilmesidir. Bu dersin pratik kısmında yapacağımız şey budur. Problemleri birinci veya ikinci dikkate değer limite indirerek çözmek için, bu limitlerin değerleri uzun zamandır büyük matematikçiler tarafından çıkarıldığı için, içerdikleri belirsizlikleri ortaya çıkarmaya gerek yoktur.

İlk dikkate değer sınır sonsuz küçük bir yayın sinüsünün aynı yaya oranının radyan ölçüsüyle ifade edilen limiti denir:

İlk dikkat çekici sınırdaki problemleri çözmeye geçelim. Not: Limit işaretinin altında trigonometrik bir fonksiyon varsa bu, bu ifadenin dikkate değer ilk limite indirgenebileceğinin neredeyse kesin bir işaretidir.

Örnek 1. Limiti bulun.

Çözüm. Bunun yerine oyuncu değişikliği X sıfır belirsizliğe yol açar:

.

Payda sinüs olduğundan ifade ilk dikkate değer limite getirilebilir. Dönüşüme başlayalım:

.

Payda üç X'in sinüsüdür, ancak payda yalnızca bir X vardır, bu da payda üç X almanız gerektiği anlamına gelir. Ne için? 3'ü tanıtmak X = A ve ifadeyi alın.

Ve ilk dikkate değer sınırın bir varyasyonuna geliyoruz:

çünkü bu formülde X yerine hangi harfin (değişkenin) durduğunun bir önemi yok.

X'i üçle çarpıyoruz ve hemen bölüyoruz:

.

Dikkat çeken ilk sınıra uygun olarak kesirli ifadeyi değiştiriyoruz:

Artık nihayet bu sınırı çözebiliriz:

.

Örnek 2. Limiti bulun.

Çözüm. Doğrudan ikame yine "sıfır bölü sıfır" belirsizliğine yol açar:

.

İlk dikkate değer limiti elde etmek için payda sinüs işaretinin altındaki x ile paydada sadece x'in aynı katsayıya sahip olması gerekir. Bu katsayı 2'ye eşit olsun. Bunu yapmak için x'in mevcut katsayısını aşağıdaki gibi hayal edin, kesirlerle işlemler yaparak şunu elde ederiz:

.

Örnek 3. Limiti bulun.

Çözüm. Yerine koyarken yine "sıfır bölü sıfır" belirsizliğini elde ederiz:

.

Muhtemelen zaten orijinal ifadeden, ilk harika limit ile ilk harika limitin çarpımını elde edebileceğinizi anlıyorsunuz. Bunu yapmak için paydaki x'in ve paydadaki sinüsün karelerini aynı çarpanlara ayırıyoruz ve x ve sinüs için aynı katsayıları elde etmek için paydaki x'i 3'e bölüp hemen çarpıyoruz. 3'e kadar. Şunu elde ederiz:

.

Örnek 4. Limiti bulun.

Çözüm. Bir kez daha "sıfır bölü sıfır" belirsizliğini elde ediyoruz:

.

İlk iki dikkate değer limitin oranını elde edebiliriz. Hem payı hem de paydayı x'e bölüyoruz. Daha sonra, sinüs ve x'lerin katsayıları çakışacak şekilde, üstteki x'i 2 ile çarpıp hemen 2'ye böleriz, alttaki x'i 3 ile çarpıp hemen 3'e böleriz. Şunu elde ederiz:

Örnek 5. Limiti bulun.

Çözüm. Ve yine “sıfır bölü sıfır”ın belirsizliği:

Trigonometriden tanjantın sinüsün kosinüse oranı olduğunu ve sıfırın kosinüsünün bire eşit olduğunu hatırlıyoruz. Dönüşümleri gerçekleştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:

.

Örnek 6. Limiti bulun.

Çözüm. Limit işareti altındaki trigonometrik fonksiyon yine ilk dikkate değer limitin kullanılmasını önerir. Bunu sinüsün kosinüse oranı olarak temsil ediyoruz.

"Dikkat çekici sınır" terimi, ders kitaplarında ve öğretim yardımcılarında, önemli ölçüde yardımcı olan önemli kimlikleri belirtmek için yaygın olarak kullanılmaktadır. işinizi basitleştirin sınırları bulma konusunda.

Ama getirebilmek Dikkat çekici olana dair sınırınız, buna iyi bakmanız gerekiyor, çünkü bunlar doğrudan formda değil, çoğu zaman ek şartlar ve faktörlerle donatılmış sonuçlar şeklinde bulunur. Ancak önce teori, sonra örnekler ve başaracaksınız!

İlk harika sınır

Beğendin mi? Yer imlerine ekle

Dikkate değer ilk limit şu şekilde yazılır ($0/0$ formundaki belirsizlik):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

İlk dikkate değer limitten elde edilen sonuçlar

Örnek çözümler: 1 harika limit

Örnek 1. Limiti hesaplayın $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Çözüm.İlk adım her zaman aynıdır - $x=0$ limit değerini fonksiyona koyarız ve şunu elde ederiz:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Açıklanması gereken $\left[\frac(0)(0)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ettik. Yakından bakıldığında orijinal sınırın ilk dikkate değer olana çok benzediği ancak aynı olmadığı görülür. Bizim görevimiz onu benzerliğe getirmektir. Bunu şu şekilde dönüştürelim - sinüsün altındaki ifadeye bakın, aynısını payda için de yapın (göreceli olarak konuşursak, $3x$ ile çarpın ve bölün), ardından azaltın ve basitleştirin:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Yukarıda tam olarak dikkate değer ilk sınır yer almaktadır: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y) ))(y)=1, \text( koşullu bir değişiklik yapıldı ) y=3x. $$ Cevap: $3/8$.

Örnek 2. Limiti hesaplayın $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Çözüm.$x=0$ sınır değerini fonksiyona koyarız ve şunu elde ederiz:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\sağ].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ettik. Sadeleştirmede ilk harika limiti (üç kez!) kullanarak limiti dönüştürelim:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Cevap: $9/16$.

Örnek 3. Limiti bulun $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Çözüm. Trigonometrik fonksiyonun altında karmaşık bir ifade varsa ne olur? Hiç önemli değil, burada da aynı şekilde ilerliyoruz. Öncelikle belirsizliğin türünü kontrol edelim, fonksiyona $x=0$ koyalım ve şunu elde edelim:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ettik. Çarp ve $2x^3+3x$ ile böl:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Yine belirsizlikle karşı karşıyayız, ancak bu durumda bu sadece bir kısımdır. Pay ve paydayı $x$ azaltalım:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ kesir(3)(5). $$

Cevap: $3/5$.

İkinci harika sınır

Dikkate değer ikinci limit şu şekilde yazılır ($1^\infty$ formundaki belirsizlik):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(veya) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

İkinci dikkate değer sınırın sonuçları

Çözüm örnekleri: 2 harika limit

Örnek 4. Limiti bulun $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Çözüm. Belirsizliğin türünü kontrol edelim, fonksiyona $x=\infty$ koyalım ve şunu elde edelim:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

$\left$ formunda bir belirsizlik elde ettik. Sınır ikinci dikkat çekici şeye indirgenebilir. Haydi dönüştürelim:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Parantez içindeki ifade aslında ikinci dikkate değer limittir $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t= - 3x/2$, yani

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Cevap:$e^(-2/3)$.

Örnek 5. $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ limitini bulun. $

Çözüm. Fonksiyonda $x=\infty$ yerine koyarız ve $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ederiz. Ve $\left$'a ihtiyacımız var. O halde parantez içindeki ifadeyi dönüştürerek başlayalım:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Parantez içindeki ifade aslında ikinci dikkate değer limittir $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, dolayısıyla

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

İlk dikkate değer limit genellikle sinüs, ark sinüs, tanjant, ark tanjant içeren limitleri ve sıfırın sıfıra bölünmesiyle elde edilen belirsizlikleri hesaplamak için kullanılır.

Formül

İlk dikkate değer limitin formülü şöyledir: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$ \alpha\to 0 $ için $ \sin\alpha \to 0 $ elde ettiğimizi, dolayısıyla payda ve paydada sıfırlarımızın olduğunu not ediyoruz. Dolayısıyla $ \frac(0)(0) $ belirsizliklerini ortaya çıkarmak için ilk dikkate değer limitin formülüne ihtiyaç vardır.

Formülü uygulamak için iki koşulun karşılanması gerekir:

1. Kesirin sinüsü ile paydasının içerdiği ifadeler aynıdır
2. Bir kesrin sinüs ve paydasındaki ifadeler sıfıra eğilimlidir

Dikkat! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Sinüs altındaki ve paydadaki ifadeler aynı olmasına rağmen $ 2x ^2+1 = 1 $, $ x\to 0 $ için. İkinci koşul karşılanmadığından formülü uygulayamazsınız!

Sonuçlar

Oldukça nadiren görevlerde, cevabı hemen yazabileceğiniz saf bir ilk harika sınır görebilirsiniz. Pratikte her şey biraz daha karmaşık görünüyor ancak bu gibi durumlarda ilk dikkate değer limitin sonuçlarını bilmek faydalı olacaktır. Onlar sayesinde gerekli limitleri hızlı bir şekilde hesaplayabilirsiniz.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Çözüm örnekleri

İlk dikkate değer limiti, trigonometrik fonksiyonlar ve belirsizlik içeren limitlerin hesaplanmasına yönelik çözüm örneklerini ele alalım $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Makalede: "İlk dikkate değer limit, çözüm örnekleri", bu formülün kullanılmasının tavsiye edildiği durumlardan ve sonuçlarından bahsetti.